山东省新泰一中2012-2013学年高二上学期期中考试数学(理)试题

2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝03．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ） A ．{AB →，12AC →，AS →} B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →} D ．{AS →，AB →，√55BC →}4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√327．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A （1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x +y ﹣3＝0C ．2x ﹣y ＝0D ．x ﹣y ﹣1＝010．已知点P 在圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0上，直线AB ：y ＝x +2，则（ ） A ．直线AB 与圆C 相交 B ．直线AB 与圆C 相离C ．点P 到直线AB 距离最大值为2√2+2D ．点P 到直线AB 距离最小值为2√2−111．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面面积最大值为√312．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2 B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是 ．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝ ．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 ． 16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 米．（注意：√10≈3.162)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1．（1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）． （1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行，则{a 2−1=0a +1≠0⇒a =1； 若a ＝1，则直线x +y ﹣1＝0与直线x +y +1＝0平行，∴直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行是a ＝1的充分必要条件． 故选：B ．2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝0解：根据题意，{x +y =22x −y =1，解可得{x =1y =1，即两直线的交点为（1，1），设A （1，1），设直线上任意一点为M ，其坐标为（x ，y ）， 直线的一个方向向量v →=(−6，4)，则MA →∥v →，则有4（x ﹣1）＝﹣6（y ﹣1），即4x +6y ﹣10＝0，变形可得2x +3y ﹣5＝0， 故要求直线的方程为2x +3y ﹣5＝0． 故选：D ．3．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）A ．{AB →，12AC →，AS →}B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →}D ．{AS →，AB →，√55BC →}解：由于SA ⊥平面ABC ， 所以：SA ⊥AB ，SA ⊥AC ， 由于AB ⊥AC ，AB ＝1，BC =√5， 所以AC ＝2．所以空间的一个单位正交基底可以为{AB →，12AC →，AS →}．故选：A ．4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同解：椭圆x 216+y 24=1中a 2＝16，b 2＝4，故c 2＝16﹣4＝12，x 236+y 224=1中a 2＝36，b 2＝24，故c 2＝36﹣24＝12，故两个椭圆的a ，b 都不相等，而c 相等，故焦距相等． 故选：C ．5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解：圆的标准方程为M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a 2（a ＞0）， 则圆心为（0，a ），半径R ＝a ， 圆心到直线x +y ＝0的距离d =a2， ∵圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2， ∴2√R 2−d 2=2√a 2−a 22=2√a22=2√2，即√a 22=√2，即a 2＝4，a ＝2，则圆心为M （0，2），半径R ＝2，圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心为N （1，1），半径r ＝1，则MN =√12+12=√2， ∵R +r ＝3，R ﹣r ＝1，∴R ﹣r ＜MN ＜R +r ，即两个圆相交． 故选：B ．6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√32解：建立空间直角坐标系如图，则A （1，1，0），C （0，2，0），G （0，0，2），Q （1，0，2）， GQ →=(1，0，0)，GC →=(0，2，−2)，CA →=(1，−1，0)， 设平面QGC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅GQ →=x =0n →⋅GC →=2y −2z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)， ∴点A 到平面QGC 的距离是|n →⋅CA →||n →|=√2=√22． 故选：C ．7．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=1解：F （﹣2，0），C （2，0），点F 关于折痕l 的对称点A 在圆周上，折痕l 为线段AF 的垂直平分线，折痕l 与AC 相交于点P ，如图所示：则有|P A |＝|PF |，可知|PF |+|PC |＝|P A |+|PC |＝|AC |＝8＞|FC |＝4，所以点P 的轨迹是以F ，C 为左、右焦点的椭圆，其中长轴2a ＝8，焦距2c ＝4， 所以点P 的轨迹方程为x 216+y 212=1，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为x 216+y 212=1．故选：A ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1P A 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0解：当直线经过原点时，斜率为k=2−01−0=2，所求的直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；综上知，所求的直线方程为2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．故选：ABC．10．已知点P在圆C：x2+y2﹣4x＝0上，直线AB：y＝x+2，则（）A．直线AB与圆C相交B．直线AB与圆C相离C．点P到直线AB距离最大值为2√2+2D．点P到直线AB距离最小值为2√2−1解：圆C：x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，圆心为C（2，0），半径r＝2，则圆心C到直线AB的距离d=|2+2−0|√1+(−1)2=2√2＞r，所以直线AB与圆C相离，又点P在圆C上，所以点P到直线AB距离最大值为2√2+2，点P到直线AB距离最小值为2√2−2，故正确的有B、C．故选：BC．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（）A．截面形状可能为正三角形B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正六边形D．截面面积最大值为√3解：如图所示，当截面为B 1CD 1时，截面为正三角形，选项A 正确；当截面过棱A 1B 1，B 1B ，BC ，CD ，DD 1，D 1A 1的中点时，截面为正六边形，选项C 正确； 当截面为正六边形时，面积最大，因为MN =√2，GH =√22，OE =√(12)2+(√24)2=√64， 所以S ＝2×12×（√22+√2）×√64=3√34，选项D 错误； 与AC 1垂直的截面不可能是正方形，选项B 错误． 故选：AC ．12．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9解：由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝3，所以c ＝4，由题意可得A （﹣5，0），B （5，0），F 1（﹣4，0），F 2（4，0），设上顶点为D （0，3），A 中，DF 1→•DF 2→=（﹣4，﹣3）•（4，﹣3）＝﹣16+9＝﹣7＜0，所以∠F 1PF 2的最大角为钝角， 所以存在P 使得∠F 1PF 2为直角，所以A 正确；B 中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可得m +n ＝2a ＝10，cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2−(2c)22mn =(m+n)2−2mn−642mn =36−2mn 2mn =18mn−1， 因为mn ≤（m+n 2）2＝25，当且仅当m ＝n 时取等号，所以cos ∠F 1PF 2≥1825−1=−725，即cos ∠F 1PF 2的最小值为−725，所以B 不正确； C 中，设P （x 0，y 0），则x 0225+y 029=1，所以y 02=9（1−x 0225），可得k P A •k PB =y 0x 0+5•y 0x 0−5=y 02x 02−25=9(1−x 0225)x 02−25=−925，所以C 不正确；D 中，PF 1⊥PF 2，由B 选项及由勾股定理可得：m 2+n 2＝（2c ）2＝64，即（m +n ）2﹣2mn ＝64， 即2mn ＝100﹣64＝36，所以mn ＝18，所以S △F 1PF 2=12mn ＝9，所以D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是： （x ﹣1）2+（y +2）2＝9 ． 解：圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝2， 则圆心C （1，﹣2）， ∵圆过点A （1，1）， ∴半径R ＝|AC |＝3，则圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝9． 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝9．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝23．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系， A （0，0，0），因为P A ＝AB ＝2，C （2，2，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），O （1，1，0），因为E ，F 分别是PD ，PB 中点，设G （0，0，b ），设平面EFC 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 因为OG ∥平面EFC ，所以OG →•n →=0，OG →=（﹣1，﹣1，b ）， 所以E （0，1，1），F （1，0，1），则EF →=（1，﹣1，0）， CE →=（﹣2，﹣1，1），则{n →⋅EF →=0n →⋅CE →=0，即{x −y =0−2x −y +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n →=（1，1，3）， 所以OG →•n →=−1﹣1+3b ＝0，解得b =23， 所以AG ＝b =23． 故答案为：23．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 √10 ． 解：直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）， 整理得：λ（x +y ﹣1）+（2x ﹣2）＝0， 故{x +y −1=02x −2=0，解得{x =1y =0，故直线l 恒过点Q （1，0），故点P （﹣2，﹣1）到直线l 的最大距离d =√(−2−1)2+(−1−0)2=√10． 故答案为：√10．16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 6.48 米．（注意：√10≈3.162)解：以O 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 设圆心坐标（0，a ），P （0，10），A （﹣50，0）， 则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2，所以{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， 所以圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， 因为y ＞0，所以y ＝40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48， 所以MN 的高度是6.48米． 故答案为：6.48．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．（1）证明：由直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0，得m （x ﹣1）﹣y +1＝0，由{x −1=0−y +1=0，得{x =1y =1，∴直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0过定点p （1，1），代入圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5，得12+（1﹣1）2＝1＜5，∴点p （1，1）在圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5内部， ∴对任意的m ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）解：直线l 的斜率存在，由|AB|=√17，圆的半径为√5，得圆心到直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0的距离为√5−174=√32． 则√m 2+1=√32，解得：m =±√3．∴直线l 为y =√3x +1−√3或y =−√3x +1−√3．直线l 的倾斜角为60°或120°．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1． （1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．解：（1）∵P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，又∠BAD ＝90°， ∴AB ⊥AD ，∵为PB 与底面所成的角为45°， ∴∠PBA ＝45°，故AB ＝P A ＝1，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ， 则B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，1），C （1，1，0）， 则PC →=（1，1，﹣1），PB →=（1，0，﹣1），PD →=（0，2，﹣1）， 设平面PBD 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PB →=0m →⋅PD →=0，即{x −z =02y −z =0，取z ＝2，则x ＝2，y ＝1，此时m →=（2，1，2）， 设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜m →，PC →＞|＝|m →⋅PC→|PC →||m →|||√3×3|√39． 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为√39． （2）平面P AB 的一个法向量j →=（0，1，0） 设平面PCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅PC →=0n →⋅PD →=0，即{x +y −z =02y −z =0， 取y ＝l ，则z ＝2，x ＝l ，此时n →=（1，1，2）， cos ＜n →，j →＞=n →⋅j→|n →||j →|=6×1=√66， 所以平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为√66．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |．解：（1）圆C 1方程可化为（x ﹣2）2+（y ﹣3）＝4，则圆心C 1（2，3），半径为2， 由 （3﹣2）2+（5﹣3）2＞4，可知点P 在圆外， 设l 的方程为y ﹣5＝k （x ﹣3），即kx ﹣y +5﹣3k ＝0， 则圆心C 1到直线l 的距离为√1+k 2=2，解得k ＝0或k =−43，∴l 的方程为4x +3y ﹣27＝0或y ＝5．（2）把两圆的方程相减可得直线AB 的方程为6x +2y ﹣13＝0， 则圆心C 到直线AB 的距离d =|6×2+2×3−13|√36+4=√104＜2，直线与圆相交，所以|AB |＝2√4−1016=3√62． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）．（1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 解：（1）由离心率e =c a =√22，则a =√2c ， 又上顶点A （0，1），知b ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝1，可知c ＝1，a =√2， ∴椭圆E 的方程为x 22+y 2=1；（2）设直线l ：y =kx +√3，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则{y =kx +√3x 22+y 2=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4√3kx +4=0，Δ=(4√3k)2−4×4×(1+2k 2)＞0，即k 2＞1， ∴x 1+x 2=−4√3k 1+2k2，x 1x 2=41+2k2，∴|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√(1+k 2)(k 2−1)1+2k2=8√27， 即17k 4﹣32k 2﹣57＝0，解得：k 2＝3或−1917（舍去）， ∴k =±√3．21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为OO 1⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DA ，OF →，OO 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线OO 1所成的角为45°，则B （2，2，0），D 1(−1，−1，√2)，C 1(−1，1，√2)，F （0，2，0），E （﹣2，0，0），A 1(1，−1，√2)，所以BD 1→=(−3，−3，√2)，CE 1→=(−1，−1，√2)，EF →=(2，2，0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EF →=x +y =0n →⋅C 1E →=x +y +√2z =0，令x ＝1，则n →=（1，﹣1，0）， 因为BD 1→=（﹣3，﹣3，√2），所以n →•BD 1→=0，所以n →⊥BD 1→， 又因为BD 1⊂平面C 1EF ，所以BD 1∥平面 C 1EF ；（2）假设边BC 上存在点M （x ，2，0）满足条件，x ∈[﹣2，2]， 则A 1M →=（x ﹣1，3，−√2），设直线A 1M 与平面C 1EFF 所成角为θ，由题意可得sin θ＝|cos ＜A 1M →，n →＞|=|A 1M →⋅n →||A 1M →|⋅|n →|=|x−4|√2⋅√x 2−2x+12=3√2222， 化简得x 2﹣35x +34＝0，则x ＝1或x ＝34（舍去），即存在点M 符合题意，此时BM ＝1． 22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．解：（1）由题意可得a =2，b =c =√2，所以Γ：x 24+y 22=1，A(0，−√2)，因为AM 的中点在x 轴上， 所以点M 的纵坐标为√2， 将y =√2代入x +y −4√2=0中， 解得x ＝3√2， 则M(3√2，√2)； （2）易知d =|acosθ+bsinθ−42|2=6−2a ，因为椭圆在直线的左下方， 所以acosθ+bsinθ−422=6−2a ，即4√2−√a 2+b 2sin(θ+φ)=6√2−2√2a ， 又a 2＝b 2+2，可得√2a 2−2sin(θ+φ)=2√2a −2√2， 此时√a 2−1sin(θ+φ)=2a −2，|sin(θ+φ)|=√a 2−1≤1，整理得（a ﹣1）（3a ﹣5）≤0， 即1≤a ≤53，所以d =6−2a ≥6−2×53=83． 故d 的最小值为83．。

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

山东省济宁市邹城市2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题一、单选题1．已知空间两点()()0,1,2,2,3,1A B -，则A B ､两点间的距离是（）A ．2B ．3C ．4D ．92．若直线l 经过点()(1,0,2,A B -，则直线l 的斜率是（）AB ．CD ．3．甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是14，甲获胜的概率的是13，则乙不输的概率是（）A ．512B ．712C ．23D ．344．已知直线0x y +=与圆22:(2)8C x y +-=相交于,A B 两点，则AB =（）A ．B ．4CD ．25．已知空间三点()()()2,0,0,0,0,0,1,1,2P O A -，则点P 到直线OA 的距离是（）A ．6B ．306C D ．36．甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（）A ．118B ．19C ．16D ．297．在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱AB 的中点，1BC 与1B C 交于点E ，若1AB AA =，则1B D 与1A E 所成角的余弦值是（）A B C D 8．若过直线34120x y ++=上一点P 作圆22:20C x y x +-=的两条切线，切点为,A B ，则PC AB ⋅的最小值是（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．设直线12:20,:0l x ay a l ax y a -+=++=的交点为()00,M x y ，则（）A ．1l 恒过定点0,2B ．12l l ⊥C ．2200x y +的最大值为52D ．点()3,2-到直线1l 的距离的最大值为510．某学校数学、物理两兴趣小组各有3名男生、3名女生，假设物理兴趣小组的3名女生为甲、乙、丙，现从数学、物理两兴趣小组各随机选出1名同学参加比赛.设事件1M 为“从数学兴趣小组中选出的是男生”；事件2M 为“从物理兴趣小组选出的是女生乙”；事件3M 为“从两兴趣小组选出的都是男生”；事件4M 为“从两兴趣小组中选出的是1名男生和1名女生”，则（）A ．()116P M =B ．()314P M =C ．2M 与4M 相互独立D ．2M 与4M 互斥11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 满足DP xDA yDC =+，其中][0,1,0,1x y ∈∈⎡⎤⎣⎦，则（）A ．存在唯一点P ，使得1C P ⊥平面11B DC B ．存在唯一点P ，使得1//A P 平面11BD CC ．当1x y +=时，点1B 到平面11PA DD ．当2214x y +=时，三棱锥1P ACB -的体积的最小值为43-三、填空题12．若实数,x y 满足方程250x y +-=的最小值为.13．某商场调查500名顾客的满意度情况，得到的数据如下表：不满意一般满意女性2564x男性1536y若160198x ≤≤，则满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为.14．已知正四棱柱11111,24,ABCD A B C D AA AD O -==为对角线1AC 的中点，过点O 的直线与长方体表面交于,E F 两点，M 为长方体表面上的动点，则ME MF ⋅的取值范围是.四、解答题15．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，124AA AD AB ===，设AC BD E = .(1)证明：1B E ∥平面11AC D ；(2)求平面11A B E 与平面11C B E 夹角的余弦值.16．在某电视民间歌手挑战赛活动中，有4位民间歌手参加比赛，由现场观众投票选出最受欢迎的歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选2名歌手.其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另外在其他歌手中随机选1名；观众乙、丙对4位歌手没有偏爱，因此，乙、丙在4名歌手中随机选2名歌手.(1)求观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手的概率；(2)设3号歌手得到观众甲、乙、丙的选票数之和为X ，求2X =的概率.17．已知直线l 经过直线12:230,:30l x y l x y -+=+-=的交点P ，且3,2､()1,2B --两点到直线l 的距离相等.(1)求直线l 的一般式方程；(2)若点A B ､在直线l 的同侧，且Q 为直线l 上一个动点，求AQ BQ +的最小值.18．如图，在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将ADC △折起，点D 到达点P 的位置，使点P 在平面ABC 的射影H 落在边AB 上.(1)证明：PA BC ⊥；(2)求点B 到平面PAC 的距离；(3)若2CM MP = ，求直线AC 与平面AMB 所成角的正弦值.19．在平面直角坐标系中，已知圆C 经过原点和点()2,0P ，并且圆心在x 轴上.(1)求圆C 的标准方程；(2)设12PP 为圆C 的动弦，且12PP 不经过点P ，记12k k ､分别为弦12PP P P ､的斜率.（i ）若121k k ×=-，求12PPP 面积的最大值；（ii ）若123k k ⋅=，请判断动弦12PP 是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.。

2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣43．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．44．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ） A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．126．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．567．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)被直线方程2x ﹣y +9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（ ） A ．x 28+y 24=1 B ．x 232+y 216=1C ．x 28+y 24=1或y 28+x 24=1D ．x 232+y 216=1或y 232+x 216=18．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB ＝100米，拱高OP ＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（ ）米．（注意：√10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ ．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ ． 15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 ．16．如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为边BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折成△AB 1E （点B 1位于平面ABCD 上方），连接B 1C 和B 1D ，F 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，AE 与B 1C 的夹角为 ，点F 的轨迹的长度为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 的外接圆的方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C ，E ，D ，G 在同一平面内，且CG＝DG ．（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若直线GC 与平面ABG 所成角的正弦值为√105，求平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值．22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k AP、k AQ．（ⅰ）求证：k AP•k AQ为定值；（ⅱ）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)解：因为A （3，2，3），B （1，1，4），所以中点M(3+12，2+12，3+42)=(2，32，72)． 故选：B ．2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣4解：因为l 1∥l 2，所以42=n 2≠1−5⇒n =4．故选：C ．3．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．4解：将A （1，1）代入x 2+y 2﹣6x ，得到12+12﹣6×1＜0，所以点A 在圆内， 再根据x 2+y 2﹣6x ＝0可得圆心坐标M （3，0），可知当l 与AM 垂直时，弦长最小， 因为AM =√5，即最短弦长为的一半为√32−(√5)2=2，所以最短弦长为2×2＝4． 故选：D ．4．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ）A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+34MN →=OM →+34(MO →+OC →+CN →)=OM →+34MO →+34OC →+34×12CB →=14OM →+34OC →+38(OB →−OC →)=18OA →+38OB →+38OC → 故选：A ．5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．12解：C 的方程x 2+y 2﹣2x ＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝1， 它表示圆心（1，0），半径为1的圆，y+1x+1表示圆上的点与点P （﹣1，﹣1）的连线的斜率k ， 设过圆上点与点P （﹣1，﹣1）的直线方程为y +1＝k （x +1）， 则圆心（1，0）到直线y +1＝k （x +1）的距离d =|2k−1|√k +1≤1，可得0≤k ≤43，即最大值为43，故选：B ．6．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．56解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴的对称，则B 的坐标为（﹣2，3）， 则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，设反射光线所在直线的方程为：y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆x2﹣6x+y2+4y+12＝0的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝1，则圆心为（3，﹣2），半径r＝1，由圆心（3，﹣2）到反射光线的距离等于半径可得：√1+k2=1，即12k2+25k+12＝0，解得k=−43或k=−34．故选：A．7．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x2m2+y2n2=1(m＞0，n＞0，m≠n)被直线方程2x﹣y+9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（）A．x28+y24=1B．x232+y216=1C．x28+y24=1或y28+x24=1D．x232+y216=1或y232+x216=1解：设直线2x﹣y+9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由{x12m2+y12n2=1x22 m2+y22n2=1，得(x1+x2)(x1−x2)m2+(y1+y2)(y1−y2)n2=0，得k=y1−y2x1−x2=−n2m2×x1+x2y1+y2=2，弦的中点坐标是M（﹣4，1），直线AB的斜率k＝2，所以n2m2=12，m2=2n2，又m2﹣n2＝16，所以m2＝32，n2＝16，椭圆的标准方程为x232+y216=1．故选：B．8．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB＝100米，拱高OP＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A．6.48B．4.48C．2.48D．以上都不对解：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标（0，a），P（0，10），A（﹣50，0），则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2， ∴{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， ∴圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， ∵y ＞0，∴y =40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底 解：因为OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，所以AB →=OB →−OA →=(0，0，−2)，所以|AB →|=2，选项A 正确； 又因为OC →=(2，3，−1)，所以BC →=OC →−OB →=(3，1，0)， 所以AB →⋅BC →=0，所以△ABC 是直角三角形，选项B 正确； 因为|OA →|=√1+4+1=√6， 所以与OA →平行的单位向量的坐标为：±OA →|OA →|=±(√66，−√63，−√66)，选项C 错误； 假设OA →，OB →，OC →共面，则存在唯一的有序数对（x ，y ）使OA →=xOB →+yOC →，即（﹣1，2，1）＝x （﹣1，2，﹣1）+y （2，3，﹣1）＝（﹣x +2y ，2x +3y ，﹣x ﹣y ）， 所以{−1=−x +2y 2=2x +3y 1=−x −y ，此方程组无解，故OA →，OB →，OC →不共面，故可作为空间一组基底，选项D 正确． 故选：ABD ．10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB解：选项A ，因为OA ⊥面OBC ，故∠ABO 为直线AB 与平面OBC 所成的角， 又OA ＝OC ＝OB ＝1，所以tan ∠ABO ＝1，故直线AB 与平面OBC 所成的角是45°，故A 正确； 选项B ，取BC 中点为D ，连接OD ，AD ，因为OA ＝OB ＝OC ＝1，OA ⊥平面OBC ，∠BOC =π3，所以AB =AC =√2，BC =1，OD ⊥BC ，AD ⊥BC ， 因为OD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AOD ，故∠ODA 为二面角O ﹣BC ﹣A 的平面角，则tan ∠ODA =OA OD =2√33， 故二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为2√33，故B 错误；选项C ，因为AB =AC =√2，BC =1，所以AD =√72，设O 到面ABC 的距离为h ，则由V A ﹣OBC ＝V O ﹣ABC ，可得：13×√34×1=13×12×√72×ℎ，解得ℎ=√217，故C 正确；选项D ，若OC ⊥AB ，又OC ⊥OA ，且AB ∩OA ＝A ，则OC ⊥面OAB ， 则有OC ⊥OB ，与∠BOC =π3矛盾，故D 错误．故选：AC ．11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个解：由直线l ：kx ﹣y +2k ＝0，整理成k （x +2）﹣y ＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A 错误； 若直线l ：kx ﹣y +2k ＝0与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直， 则k +2＝0，解得k ＝﹣2，故B 正确；因为（﹣2）2+0＝4＜8，所以定点（﹣2，0）在圆O ：x 2+y 2＝8内部， 所以直线l 与圆O 相交，故C 正确； 当k ＝1时，直线l 化为x ﹣y +2＝0， 圆心O 到直线的距离d =|2|√2=√2，圆O 半径2√2， 因为d ＜r 且d =12r ，所以圆O 到直线l 距离为√2的点有三个，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP解：对于选项A ：因为抛物线方程为y 2＝4x ，可得该抛物线的准线方程为x ＝﹣1，故选项A 正确； 对于选项B ：不妨设A （x 0，y 0），因为|AF |＝5，所以x 0+p2=x 0+1=5，x 0=4，解得y 0＝±4， 又P （1，1），则直线AP 的斜率为4−14−1=1或−4−14−1=−53，故选项B 错误； 对于选项C ：不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为P （1，1），所以BP →=(1−x 2，1−y 2)，PA →=(x 1−1，y 1−1)， 因为PA →=3BP →，所以{3(1−x 2)=x 1−13(1−y 2)=y 1−1，得{x 1=4−3x 2y 1=4−3y 2．因为y 12=4x 1，所以(4−3y 2)2=4(4−3x 2)，即3y 22−8y 2=−4x 2， 因为y 22=4x 2，所以4y 22−8y 2=0，y 2=0或y 2＝2，当y 2＝0时，x 2＝0，解得x 1＝4，y 1＝4； 当y 2＝2时，x 2＝1，解得x 1＝1，y 1＝﹣2，此时直线AB 的斜率不存在，直线CD 的斜率为0，不符合题意；则A （4，4），B （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝x ，故选项C 正确． 对于选项D ：易知直线AB ，CD 的斜率存在，不妨设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）+1， 则直线CD ：y ＝﹣k （x ﹣1）+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立{y =k(x −1)+1y 2=4x ，即{x =1k (y −1)+1y 2=4x，消去x 并整理得y 2−4k y +4k −4=0，因为P （1，1）在抛物线内部，所以Δ＞0， 由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k−4，因为|AP|=√1+1k 2|y 1−1|，|BP|=√1+1k2|y 2−1|， 所以|AP|⋅|BP|=(1+1k 2)|(y 1−1)(y 2−1)|=(1+1k2)|y 1y 2−(y 1+y 2)+1| =(1+1k 2)|4k −4−4k +1|=3(1+1k2)， 同理得|CP|⋅|DP|=3[1+1(−k)2]=3(1+1k 2)，所以|AP |•|BP |＝|CP |•|DP |，即|AP||DP|=|CP||BP|，又∠CP A ＝∠BPD ，所以△APC ∽△BPD ，则∠CAP ＝∠BDP ，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ 1 ． 解：过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°， 则k PQ ＝tan45°＝1，又k PQ =4−aa+2=1⇒a =1． 故答案为：1．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ 2 ． 解：因为a →，b →，c →共面，所以存在x ，y ∈R ，使得c →=xa →+yb →， 又因为a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)， 所以（﹣3，1，k ）＝x （1，﹣1，2）+y （﹣2，1，0）， 所以{−3=x −2y1=−x +y k =2x ，解得x ＝1，y ＝2，k ＝2．故答案为：2．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 √5 ．解：以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为y 轴，在平面β内与x轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）．∵两个圆锥的底面直径均为4，则底面半径为2，又侧面积均为2√5π，∴一个圆锥的母线长为√5．则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即ba=2．∴双曲线的离心率为e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√1+(ba)2=√5．故答案为：√5．16．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E （点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，AE与B1C的夹角为90°，点F的轨迹的长度为π2．解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，所以AE⊥BC，在翻折过程中，有AE⊥B1E，AE⊥CE，因为B1E∩CE＝E，B1E、CE⊂平面B1CE，所以AE⊥平面B1CE，又B1C⊂平面B1CE，所以AE⊥B1C，即AE与B1C的夹角为90°；分别取AB ，AB 1的中点M 和N ，连接EM ，EN ，FN ，因为N ，F 分别为AB 1和B 1D 的中点， 所以FN =12AD ，FN ∥AD ，又E 为BC 的中点，所以CE =12BC =12AD ，CE ∥AD ，所以FN ＝CE ，FN ∥CE ，所以点F 的轨迹与点N 的轨迹相同，即从点M 到点N 的轨迹，因为AE ⊥平面B 1CE ，所以点B 1的轨迹是以E 为圆心，BE 为半径的圆， 所以点N 的轨迹是以AE 的中点为圆心，BE 2为半径的圆， 所以点N 的轨迹长度为12×2π×BE2=π×12=π2，即点F 的轨迹长度为π2．故答案为：90°，π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．解：（1）由题意，AB →=(1，k −2，−2)，a →=(−3，4，5)， 因为AB →⊥a →，所以AB →⋅a →=0，即﹣3+4k ﹣8﹣10＝0，得k =214． （2）由题意，AC →=(−1，3，2)，a →=(−3，4，5)，所以向量AC →在向量上a →上的投影向量为：(AC →⋅a →|a →|)a →|a →|=3+12+10√9+16+253√210，2√25，√22)=(−32，2，52)．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程． 解：（1）∵A （5，1），B （1，3）， ∴直线AB 的斜率k AB =1−35−1=−12， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为2， ∵AB 边上的高所在直线过点C （4，4），∴AB 边上的高所在直线的方程为y ﹣4＝2（x ﹣4），即2x ﹣y ﹣4＝0． （2）∵CA →=(1，−3)，CB →=(−3，−1)， ∴CA →⋅CB →=0，即△ABC 为以角C 为直角的直角三角形， 故△ABC 的外接圆以AB 中点（3，2）为圆心，|AB|2=12√(1−5)2+(3−1)2=√5为半径，∴△ABC 的外接圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．解：（1）依题意：AA 1⊥平面ABCD ，连接AC ，则A 1C 与平面ABCD 所成夹角为∠A 1CA ，∵AA 1＝5，AC =√32+42=5， ∴△A 1CA 为等腰三角形， ∴∠A 1CA =π4，∴直线A 1C 和平面ABCD 的夹角为π4，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A （0，0，0），C （3，4，0），A 1（0，0，5），M （3，0，2）， ∴AC →=（3，4，0），A 1C →=（3，4，﹣5），MC →=（0，4．﹣2）， 设平面A 1MC 的法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅A 1C →=3x +4y −5z =0n →⋅MC →=4y −2z =0，可得n →=（2，1，2）， ∴点A 到平面A 1MC 的距离d =|AC →⋅n →||n →|=3×2+4×1√2+1+2=103．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．解：定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）设点C 的坐标为（x ，y ），则点B 的坐标为（2x ﹣1，2y +2）， ∵点B 为圆（x +1）2+（y +2）2＝4上的动点，∴（2x ﹣1+1）2+（2y +2+4）2＝4，即x 2+（y +3）2＝1， ∴AB 的中点C 的轨迹方程为x 2+（y +3）2＝1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2=k(x−12 )，∵圆的半径r＝1且|MN|=√3，∴圆心到直线的距离d=1 2，∴d=|1−k2|√1+k=12，解得k=34，∴直线l的方程为y+2=34(x−12)，即6x﹣8y﹣19＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1 2，此时|MN|=√3，满足条件；综上，直线l的方程为x=12或6x﹣8y﹣19＝0．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为√105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，CG＝DG，所以∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，所以CE⊥CG，因为BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF 为平行四边形， 所以BF ∥CE ， 所以BF ⊥CG ，因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ， 所以BC ⊥BF ，因为BC ，CG ⊂平面BCG ，BC ∩CG ＝C ， 所以BF ⊥平面BCG ， 因为BF ⊂平面BFD ， 所以平面BFD ⊥平面BCG ．（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AF ＝2，AD ＝t ，则A （0，0，0），B （0，2，0），F （2，0，0），D （0，0，t ），G （﹣1，1，t ），C （0，2，t ），则AB →=(0，2，0)，AG →=(−1，1，t)，GC →=(1，1，0)， 设平面ABG 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅AB →=0，m →⋅AG →=0，所以{m →⋅AB →=(x ，y ，z)⋅(0，2，0)=2y =0m →⋅AG →=(x ，y ，z)⋅(−1，1，t)=−x +y +tz =0，令z ＝1，y ＝0，x ＝t ，所以m →=(t ，0，1)，记直线GC 与平面ABG 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈GC →，m →〉|=|GC →⋅m →||GC →||m →|=|t|√2×√t +1=√105，解得t ＝2（负值舍去），即AD ＝2，设平面BFD 的一个法向量为n →=(x′，y′，z′)，FB →=(−2，2，0)，FD →=(−2，0，2)，则{n →⋅FB →=0n →⋅FD →=0即{−2x ′+2y ′=0−2x′+2z′=0，令x ′＝1，则n →=(1，1，1)， 所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√2+1⋅√1+1+1=35×3=√155，所以平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值为√155． 22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）： 步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线x ＝4于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q ．直线AP 、AQ 的斜率分别为k AP 、k AQ ． （ⅰ）求证：k AP •k AQ 为定值；（ⅱ）证明直线PQ 经过x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．解：（1）因为|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4＞|EF|=2√3， 所以点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，且长轴长2a ＝4的椭圆， 焦距2c =|EF|=2√3， 此时b 2＝a 2﹣c 2＝1， 则轨迹C 方程为x 24+y 2=1；（2）证明：（i ）不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），T （4，m ）， 由题可知A （﹣2，0），B （2，0），第21页（共21页） 则k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AT =m−04−(−2)=m 6， 因为k BP =k BT =y 1x 1−2=m 2， 所以m =2y 1x 1−2， 所以k AP ⋅k AQ =y 1x 1+2⋅m 6=y 1x 1+2⋅y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)，① 因为点P 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，② 联立①②，解得k AP •k AQ =−112， 故k AP •k AQ 为定值；（ii ）证明：不妨设直线PQ 的方程为x ＝ty +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x =ty +nx 24+y 2=1，消去x 并整理得（t 2+4）y 2+2tny +n 2﹣4＝0， 由韦达定理得{y 1+y 2=−2tn t 2+4y 1y 2=n 2−4t 2+4， 由（i ）知k AP ⋅k AQ =−112， 即y 1x 1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(ty 1+n+2)(ty 2+n+2)=−112， 整理得n 2−44n 2+16n+16=−112， 解得n ＝1或n ＝﹣2（舍去），所以直线PQ 的方程为x ＝ty +1，故直线PQ 经过定点（1，0）．。

2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12 B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣13．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1D ．x 216+y 225=14．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（ ）A ．56B ．65C ．23D ．325．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ） A ．4B ．1C ．12D ．146．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．a 2023＝26B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+1898．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（ ） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−1210．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（ ） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√212．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（ ） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为 ．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为 ． 15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为 ．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54； （2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0． （1）求顶点C 的坐标． （2）求直线BC 的方程．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9． （1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长． 20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ；（3）设∁n =(a n+4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°解：因为直线√3x −3y −2=0的斜率为√33，故直线的倾斜角为30°．故选：C ．2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣1解：根据题意，抛物线的标准方程为y 2＝2x ，则其焦点在x 轴正半轴上，且p ＝1，则其准线方程为x =−12， 故选：C ． 3．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1 D ．x 216+y 225=1解：双曲线x 216−y 29=1，双曲线的焦点（±5，0），则椭圆的顶点（±5，0），双曲线顶点为（±4，0），椭圆的焦点（±4，0），可得a ＝5，c ＝4，则b ＝3， 所以椭圆方程为：x 225+y 29=1．故选：B ．4．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（ ）A ．56B ．65C ．23D ．32解：因为正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5， 所以a 4•a 6＝6，a 4+a 6＝5，解得a 4＝3，a 6＝2，a 5a 7=a 4a 6=32．故选：D ．5．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ）A ．4B ．1C ．12D ．14解：由题意可设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），P （x ，y ）， 则m 2﹣n 2＝6，x 2﹣y 2＝6， 即有y 2﹣n 2＝x 2﹣m 2， 即y 2−n 2x 2−m 2=1，由k P A =y−nx−m ，k PB =y+nx+m ，可得k P A •k PB =y 2−n 2x 2−m 2=1，而k P A ＝2，所以k PB =12． 故选：C ．6．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m解：取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则C （4，﹣4），设抛物线方程x 2＝﹣2py （p ＞0），将点C 代入抛物线方程得p ＝2， ∴抛物线方程为x 2＝﹣4y ， 行车道总宽度AB ＝6m ，∴将x ＝3代入抛物线方程，y ＝﹣2.25m ， ∴限度为6﹣2.25﹣0.5＝3.25m ． 故选：C ．7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．a 2023＝26 B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+189解：由题意，可知新数列{a n }为：在每项都为1的常数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间等比数列{2n }的前n 项， 故新数列{a n }：1，21，1，21，22，1，21，22，23，1，21，22，23，24，… 可将数列{a n }进行分组，第1组为1，21，共2项， 第2组为1，21，22，共3项， 第3组为1，21，22，23，共4项， 第4组为1，21，22，23，24，共5项，… 第n 组为1，21，22，…，2n ，共n +1项， ∴前n ﹣1组一共有2+3+4+…+n ＝（1+2+3+4+…+n ）﹣1 =n(n+1)2−1项， ∵当n ＝63时，63×642−1＝2015＜2023，当n ＝64时，64×652−1＝2079＞2023，∴a 2023在数列{a n }的第64组的第2023﹣2015＝8个， ∴a 2023＝28﹣1＝27，故选项A 错误；同理，a 2024在数列{a n }的第64组的第2024﹣2015＝9个， 故a 2024＝29﹣1＝28，故选项B 错误；∴S 2023＝a 1+a 2+…+a 2023＝（1+21）+（1+21+22）+（1+21+22+23）+...+（1+21+...+262）+（1+21+ (27)=1−221−2+1−231−2+1−241−2+⋯+1−2631−2+1−281−2＝（22﹣1）+（23﹣1）+（24﹣1）+…+（263﹣1）+（28﹣1）＝（22+23+24+…+263）﹣62+28﹣1=22−2641−2−62+256﹣1＝264+189，故选项C 错误，选项D 正确． 故选：D ．8．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（ ） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8解：由题意设P （n 24，n ），A （﹣2，0），B （2，0），|PB||PA|=√(n 24−2)2+n 2√(n 24+2)2+n 2=√n 416+4n 416+4+2n 2=√1+n 216+4n 2，当n 216+4n2取得最小值时，|PB||PA|取得最小值，n 216+4n 2≥2√n216⋅4n 2=1，当且仅当n 216=4n2，即n =±2√2时，取等号．此时P （2，±2√2），则点P 到坐标原点的距离为：√4+8=2√3． 故选：C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12解：因为l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0，可得l 2与l 3相交， 联立{3x −2y −5=06x +y −5=0，解得x ＝1，y ＝﹣1，即两条直线的交点（1，﹣1），且l 2的斜率为k 2=32，直线l 3的斜率k 3＝﹣6，要使三条直线不能围成三角形，则l 1∥l 2或l 1∥l 3或直线l 1过（1，﹣1）， 所以−3m =32或−3m =−6或3×1+m （﹣1）﹣1＝0，解得m ＝﹣2或m =12或m ＝2． 故选：ABC ．10．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列解：A ．若{a n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ，为常数，则{A n }是等差数列，故A 正确，B ..若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ， 即{a n }的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，则整体{a n }不一定是等差数列，故B 错误，C ．若{a n }是等比数列，设公比为q ，则当q ＝﹣1时，A n ＝a n +a n +1＝0，则{A n }不是等比数列，故C 错误，D …若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，a 2n ﹣a 2（n ﹣1）＝a 2n ﹣a 2n ﹣2＝2d ，则{a 2n }都是等差数列，故D 正确， 故选：AD ．11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（ ） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√2解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为M （x ，y ）， 则x 1+x 2＝2x ，y 1+y 2＝2y ，∵x 12+y 12=9，x 22+y 22=9，∴x 12+x 22+y 12+y 22=18，即(x 1+x 2)2−2x 1x 2+(y 1+y 2)2−2y 1y 2=18，∴x 1x 2+y 1y 2＝2x 2+2y 2﹣9①， ∵点P （4，0）满足的P A ⊥PB ， ∴PA →⋅PB →=0，∵PA →=(x 1−4，y 1)，PB →=(x 2−4，y 2)，∴x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16+y 1y 2＝0，即x 1x 2+y 1y 2＝4（x 1+x 2）﹣16＝8x ﹣16②， 结合①②可得，2x 2+2y 2﹣9＝8x ﹣16，即(x −2)2+y 2=12，（另解：设AB 的中点M （x ，y ），由OM ⊥AB ，可得OM 2+MB 2＝OB 2， 而MP ＝MA ＝MB ，即OM 2+MP 2＝OB 2， 即x 2+y 2+（x ﹣4）2+y 2＝9， 化为（x ﹣2）2+y 2=12），故中点M 的轨迹方程为(x −2)2+y 2=12，圆心为（2，0），半径为√22，则|OM |的最大值为√(2−0)2+(0−0)2+√22=2+√22， 则|OM |的最小值为√(2−0)2+(0−0)2−√22=2−√22， ∴|OM |的取值范围为[2−√22，2+√22]．故选：AC ．12．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（ ） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|解：设|QF 2|＝t ，则|PF 2|＝2t ，|PF 1|＝2t +2a 0，|QF 1|＝t +2a 0，在△PF 1Q 中，由余弦定理|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ ， 得(t +2a 0)2=(2t +2a 0)2+9t 2−2(2a 0+2t)⋅3t ⋅cos60°， 化简得a 0＝3t ，|PF 1|＝2t +2a 0＝8t ＝4|PF 2|，D 正确； 又2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝10t ， 所以a ＝5t ， 又|QF 1|＝t +2a 0＝7t ，则△PF 1Q 的周长为8t +3t +7t =18t =185a ，A 错误； △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理得4c 2＝（8t ）2+（2t ）2﹣2×8t ×2t ×cos60°， 所以c =√13t ，因此双曲线的离心率为e 1=c a 0=√13t 3t =√133，B 正确；椭圆的离心率为e 2=c a =√13t 5t =√135，C 正确，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为 4√3 ．解：∵双曲线的方程为x 2m 2+8−y 24−m 2=1，∴a 2＝m 2+8，b 2＝4﹣m 2，（m 2＜4）， ∴c 2＝a 2+b 2＝12，∴c ＝2√3， ∴双曲线的焦距为2c ＝4√3． 故答案为：4√3．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为 27 ．解：作出与已知直线平行且与圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9相切的直线， 切点分别为P 1、P 2，如图所示：则动点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动时，若C 与点P 1重合时， △ABC 面积达到最小值；而C 与点P 2重合时，△ABC 面积达到最大值， ∵直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A （4，0）、B （0，3）两点， 可得|AB |=√42+32=5，∴△ABC 面积的最大值和最小值之和为：S =S △ABP 2+S △ABP 1=12|AB |（d 2+d 1）=52（d 2+d 1）， 其中d 2、d 1分别为点P 2、点P 1到直线AB 的距离， ∵P 1、P 2是圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9的两条平行切线， 设圆心到直线的距离为d ，∴点P 2、点P 1到直线AB 的距离之和等于2d ，即d 2+d 1＝2d ＝2×|15+4×6−12|√3+4=542，因此△ABC 面积的最大值和最小值之和为52（d 2+d 1）=52×542=27．15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为57．解：依题意，由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，则该抛物线的准线过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ， 则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝sin ∠F 1PQ =|PQ||PF 1|=57， 故答案为：57．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是500243，至少需要前 8 个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．解：根据题意，设第n 个正方形的边长为a n ，则a 1＝3，∵每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， ∴A 2B 1=23a 1，B 1B 2=13a 1， 又由∠A 2B 1B 2＝90°，∴A 2B 2=√A 2B 12+B 1B 22=√49a 12+19a 12=√53a 1， 即a 2=√53a 1，同理可得a n+1=√53a n ， 即数列{a n }是首项为3，公比为√53的等比数列， ∴a 7=a 1×(√53)6=3×125729=125243，∴第7个正方形的周长是4a 7=500243， ∵a n =a 1×(√53)n−1=3×(√53)n−1，∴第n 个正方形的面积为a n 2=9×(59)n−1，∴前n 个正方形的面积之和S ＝9[1+59+(59)2+⋯+(59)n−1]＝9×1×[1−(59)n]1−59=814[1﹣（59）n ]， 令814[1−(59)n ]＞2得，(59)n ＜181， 两边取常用对数得，nlg 59＜lg181，变形可得：n ＞lg81lg9−lg5=4lg32lg3−lg5≈7.48， 故至少需要前8个正方形的面积之和超过20． 故答案为：500243；8．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54； （2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．解：（1）因为该双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54， 所以{2a =8e =c a=54， 解得a ＝4，c ＝5， 则b 2＝c 2﹣a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 216−y 29=1；（2）当双曲线焦点在x 轴上时， 因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{ba =22b =4，解得a ＝1，b ＝2，则双曲线的标准方程为x 2−y 24=1； 当双曲线焦点在y 轴上时，因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{a b =22b =4，解得a ＝4，b ＝2， 则双曲线的标准方程为y 216−x 24=1．综上所述，双曲线的标准方程为x 2−y 24=1或y 216−x 24=1．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0． （1）求顶点C 的坐标． （2）求直线BC 的方程．解：（1）∵边AC 上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0 ∴k AC •k BH ＝﹣1， ∴k AC ＝﹣2，∵△ABC 的顶点A （5，1），∴直线AC 方程；y ﹣1＝﹣2（x ﹣5），即2x +y ﹣11＝0 与2x ﹣y ﹣5＝0联立，{2x +y −11=02x −y −5=0，解得：{x =4y =3．∴顶点C 的坐标为（4，3）．（2）∵CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，设点M （m ，2m ﹣5）∵M 是AB 中点，A （5，1）， ∴B （2m ﹣5，4m ﹣11）∵B （2m ﹣5，4m ﹣11）在BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0上 ∴2m ﹣5﹣2（4m ﹣11）﹣7＝0， 解得：m =53， 所以B(−53，−133)， ∴BC 的方程为：y −3=2217(x −4)， 即22x ﹣17y ﹣37＝0．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9． （1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长． 解：（1）不妨设A （x ，y ）， 因为点A 在抛物线上， 所以y 2＝2px （p ＞0），因为点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9， 所以AF =9+p2=12， 解得p ＝6；（2）由（1）知抛物线C ：y 2＝12x ，焦点F （3，0）， 此时直线l 的方程为y ＝x ﹣3，联立{y 2=12x y =x −3，消去y 并整理得x 2﹣18x +9＝0，此时Δ＝182﹣4×9＞0，不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由韦达定理得x 1+x 2＝18，则|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+p ＝18+6＝24．20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．解：（1）由a n a n+1=16n ，a 1=2，可得a 2＝8， 由a n+1a n+2=16n+1，又a n a n +1＝16n ， 上面两式相除得：a n+2a n=16，可得数列{a n }的奇数项和偶数项均为公比为16的等比数列， 则a 2k =8×16k−1=24k−1，即a n =22n−1， a 2k−1=2×16k−1=24k−3，即a n =22n−1， 综上所述，{a n }的通项公式为：a n =22n−1； （2）由题设及（1）可知：b n ={22n−1，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，S 2n ＝b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n ﹣1+b 2n ＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+⋯+b 2n ） ＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 1+2+b 3+4+b 5+6+⋯+b 2n ﹣1+2n ）＝2（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（2+4+6+⋯+2n ）＝2（21+25+29+⋯+24n ﹣3）+（2+4+6+⋯+2n ）=2×2(1−16n )1−16+n(2n+2)2=4(16n−1)15+n(n +1)．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ； （3）设∁n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．解：（1）数列{a n }的首项为a 1，公差为d 的等差数列，数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2， 整理得：{a 1+2d =2a 1+d +1S 3=3a 1+3×22d =a 1+3d +2，解得{a 1=1d =2，所以a n ＝2n ﹣1．递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． 所以公比q ＞1．利用2×(b 1q)⬚=b 1+(b 1q 2−4)，解得q ＝3或﹣1（﹣1舍去）， 故b n =3n−1，（2）由（1）得：令c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1， 所以T n =1×30+3×31+...+(2n −1)⋅3n−1①， 3T n =1×31+3×32+...+(2n −1)⋅3n ②，①﹣②得：−2T n =1+2×[3×(3n−1−1)3−1]−(2n −1)⋅3n ，故T n =(n −1)⋅3n +1． （3）由于C n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1=2n+3(n 2+n)⋅3n =1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n，所以A n =11×30−12×31+...+1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n =1−1(n+1)⋅3n ， 由于A n ≥λn+1恒成立， 即1−1(n+1)⋅3n ≥λn+1恒成立， 故λ≤n +1−13n ， 由于函数f （x ）=x +1−13x 为增函数，故f(x)min =f(1)=2−13=53， 所以λ≤53， 故λ的最大值为53．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围． 解：（1）由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0）， 可得{c a =2√23a =3a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =1，c =2√2，故椭圆C 的标准方程为：x 29+y 2＝1；（2）直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29， 由（1）得：x 29+y 2＝1，因为直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，由题可知，直线l 斜率为0时，k 1k 2＞0，所以直线l 的斜率不为0， 设直线l ：x ＝my +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立方程{x =my +n x 29+y 2=1，得（m 2+9）y 2+2mny +n 2﹣9＝0， 所以Δ＝4m 2n 2﹣4（m 2+9）（n 2﹣9）＝36（m 2﹣n 2+9），且y 1+y 2=−2mn m 2+9，y 1•y 2=n 2−9m 2+9， 所以k 1k 2=y 1x 1+3⋅y 2x 2+3=y 1y 2(my 1+n+3)(my 2+n+3)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(n+3)(y 1+y 2)+(n+3)2=n 2−99(n+3)2=n−39(n+3)=−29，解得n ＝﹣1，此时Δ＝36（m 2+8）＞0恒成立，所以直线l 的方程为x ＝my ﹣1，直线l 过定点（﹣1，0）， 此时y 1+y 2=2m m 2+9，y 1y 2=−8m 2+9， 所以|PQ|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+m 2⋅√4m 2(m 2+9)2+32m 2+9=6√(m 2+1)(m 2+8)m 2+9，令t ＝m 2+9≥9， 所以|PQ|=6√(t−8)(t−1)t 2=6√8t2−9t +1， 令u =1t，则t ∈（0，19]，故|PQ |＝6√8u 2−9u +1在(0，19]上单调递减， 故|PQ |的取值范围为[4√23，6）．。

高二数学试题（答案在最后）2024.11主考学校：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知直线l 320y --=，则l 的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A 【解析】【分析】由直线方程计算直线斜率，由斜率得到倾斜角.【详解】由题意得，直线斜率为3k =，即tan 3α=，又0180α≤< ，则30α=︒.故直线的倾斜角为30︒.故选：A.2.已知直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行，则m 的值为（）A.3-B.1- C.2D.3-或2【答案】A 【解析】【分析】由两直线平行公式计算m 的值，代入验证排除直线重合的情况即可得到结果.【详解】由两直线平行得：(1)230m m +-´=，解得2m =或3m =-.当2m =时，1:3210l x y ++=，2:3210l x y ++=，两直线重合，不合题意.当3m =-时，1:2210l x y -++=，即2210x y --=，23310:x y l -+=，两直线平行，符合题意.故m 的值为3-.故选：A.3.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>，若点()0,2到E的渐近线距离为3，则双曲线E 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出ba的值，即可求出该双曲线的离心率的值.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a=±，即0bx y a ±=，因为点()0,2到E 的渐近线距离为233，即233=，解得ba=，因此，该双曲线的离心率为c e a ====.故选：B.4.在四面体O ABC -中，点D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且2AE ED =，用向量OA ，OB ，OC 表示OE ，则OE =（）A.111333OA OB OC-++u u ur u u u r u u u r B.1133OA OB OC-+u u u r u u u r u u u rC.111333OA OB OC +-u u ur u u u r u u u r D.111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】如图，由题意得，()221332OE OA AE OA AD OA AB AC=+=+=+⋅+ ()11113333OA OB OA OC OA OA OB OC =+-+-=++ .故选：D.5.已知圆()()221x m y n -+-=不经过坐标原点，且与圆224x y +=相切，则mn 的最大值为（）A.1B.32C.92D.814【答案】C 【解析】【分析】根据两圆相切以及()()221x m y n -+-=不过原点先求解出,m n 的关系式，然后结合基本不等式求解出最大值.【详解】因为()()221x m y n -+-=与224x y +=相切，21=+21=-，所以229m n +=或221m n +=，因为()()221x m y n -+-=不经过原点，所以221m n +≠，所以229m n +=，又因为222m n mn +≥，所以22922m n mn +≤=，当且仅当2m n ==±时取等号，所以mn 的最大值为92，故选：C.6.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAC ∠=︒，现将ACD 沿AC 折起，当BD =时，二面角D AC B--平面角的大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B 【解析】【分析】设AC BD E = ，由菱形的性质得出BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，求出BED 的边长可得答案.【详解】设AC BD E = ，菱形ABCD 满足2AB BC ==，60BAC ∠=︒，则ABC V 和ADC △都为等边三角形，所以2AC =，BE DE ==，又AC BD ⊥，则,BE AC DE AC ⊥⊥，所以BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，由于BD =，所以BE DE BD ==，所以BED 是等边三角形，所以60BED ∠=︒，即二面角D AC B --平面角的大小为60︒.故选：B.7.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上存在两点M 、N 关于直线10x y --=对称.若椭圆离心率为33，则MN 的中点坐标为（）A.()5,4 B.()4,3 C.()3,2 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，由已知条件可得出2223b a =，利用点差法以及点M 在直线10x y --=上，可得出关于0x 、0y 的值，解出这两个量的值，即可得出线段MN 的中点坐标.【详解】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意，椭圆的离心率为3c e a ===，可得2223b a =，因为M 、N 关于直线10x y --=对称，且直线10x y --=的斜率为1，则12121MN y y k x x -==--，将点M 、N 的坐标代入椭圆方程可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上述两个等式作差可得22221212220x x y y a b--+=，可得222121212222121212y y y y y y b x x x x x x a -+-=⋅=--+-，即()0022123y x ⋅-=-，即0023y x =，即0023x y =，①又因为点()00,E x y 在直线10x y --=上，则0010x y --=，②联立①②可得0032x y =⎧⎨=⎩，故线段MN 的中点为()3,2E .故选：C.8.已知四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O 的球面上，满足4PA =，6AB AD ==，120BCD ∠=︒，则球O 的表面积为（）A.100πB.64πC.36πD.32π【答案】B 【解析】【分析】首先根据侧棱与底面所成角相等推出顶点在底面的射影是底面外接圆的圆心，然后利用底面四边形的条件求出底面外接圆的半径，再结合四棱锥的棱的长度求出该几何体外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可.【详解】因为四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，所以顶点P 在底面ABCD 的射影O '是底面四边形ABCD 外接圆的圆心.因为6AB AD ==，所以△ABD 为等腰三角形.因为120BCD ∠=︒，所以60BAD ∠=︒，故△ABD 为等边三角形，则6BD =.设底面四边形ABCD 外接圆半径为r ，则根据正弦定理得2sin BD r BAD =∠，即62sin60r =，解得r =.设线段BD 的中点E ,则AE BD ⊥，那么由勾股定理可知AE ===，所以32AE r =，故O '是等边三角形ABD 的中心，则2PO '===.设球O 的半径为R ，根据题意可知球心O 在射线PO '上，当球心O 在线段PO '上时，如图1所示，则222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=-<，不符合题意舍去.当球心O 在射线PO '上且在平面ABD 的下方时，如图2所示，222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=>符合题意，故球O 的半径4R =，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为24π64πR =.故选：B.【点睛】求解几何体外接球问题的关键是通过找到球体球心的位置确定球体的半径.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知空间中四点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，()1,1,1D ，则（）A.3AB = B.AC BD⊥ C.BC 在AD上的投影数量为 D.,AB AD为锐角【答案】BCD 【解析】【分析】A ：表示出AB的坐标，利用模长公式计算；B ：表示出,AC BD 的坐标，然后根据数量积判断是否垂直；C ：计算出,BC AD AD ⋅ ，根据BC AD AD⋅可计算出投影数量；D ：根据AB AD ⋅的正负并结合是否共线作判断.【详解】A ：因为()2,1,0AB =，所以AB == ，故错误；B ：因为()()1,2,1,1,1,1AC BD =-=-- ，所以1210AC BD ⋅=-+= ，所以AC BD ⊥ ，故正确；C ：因为()()3,1,1,1,0,1BC AD =-= ，所以312BC AD ⋅=-+=-，AD == ，所以BC 在AD上的投影数量为BC AD AD ⋅==，故正确；D ：因为()()2,1,0,1,0,1AB AD == ，所以20AB AD ⋅=>，由坐标可知,AB AD不共线，所以,AB AD 为锐角，故正确；故选：BCD.10.已知直线:0-+=l kx y k ，圆22:430C x y x +-+=，()00,P x y 为圆C 上任意一点，则（）A.直线l 过定点()1,0B.若圆C 关于直线l 对称，则0k =C.00y x的最大值为3D.2200x y +的最大值为3【答案】BC 【解析】【分析】A ：将直线方程化为():10l k x y +-=，根据100x y +=⎧⎨=⎩可确定出定点坐标；B ：考虑直线经过圆心的情况；C ：根据0y x 的几何意义，考虑OP 与圆相切；D ：根据2200x y +的几何意义，先计算max OP ，然后可求结果.【详解】22:430C x y x +-+=化为标准方程为()22:21C x y -+=，圆心为2,0，半径为1；A ：因为():0:10l kx y k l k x y -+=⇔+-=，令100x y +=⎧⎨=⎩，可得10x y ⎧⎨⎩=-=，所以l 过定点()1,0-，故错误；B ：若圆C 关于l 对称，则l 过圆心2,0，所以200k k -+=，解得0k =，故正确；C ：0y x 表示OP 连线的斜率，设:OP y kx =，即:0OP kx y-=，如下图，当:0OP kx y -=与()22:21C x y -+=相切时，此时k 取最值，1=，解得3k =±，所以k的最大值为3，即00yx的最大值为3，故正确；D ：2200x y +表示2OP ，因为max 213OP OC r =+=+=，所以()2max9OP=，故错误；故选：BC.11.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，AB =，1AC =，12AA =，点M 为线段1CC 的中点，N 为线段1A M 上的动点，则（）A.1BM A M⊥B.存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM C.若1//C N 平面ABM ，则1A N NM =D.直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断即可.【详解】如图，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则())()()()()110,0,0,,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1A BC A C M ，对于A，因为()()1,0,1,1BM A M ==-，所以()1011110BM A M ⋅=+⨯+⨯-=，则1BM A M ⊥，即1BM A M ⊥，故A 正确；对于B ，由A知，()()1,0,1,1BM A M ==-，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，则()10,,A N λλ=-，即()0,,2N λλ-，所以()10,1,C N λλ=--，又1C N ⊥平面1A BM ，则1111010C N BM C N A M λλλλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，无解，所以不存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM ，故B 错误；对于C ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，可得()10,1,C N λλ=--，又()(),0,1,1BM AM ==，设平面ABM 的一个法向量为 =1,1,1，则11111100m BM y z m A M y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11y =，得()0,1,1m =- ，因为1//C N 平面ABM ，所以1C N m ⊥，则110C m N λλ⋅=-+= ，解得12λ=，此时1A N NM =，故C 正确；对于D ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤，可得()0,,2N λλ-，所以(),2BN λλ=- ，易知平面11ACC A 的一个法向量为()1,0,0n =，设直线BN 与平面11ACC A 所成角为θ，则sin cos ,BN n BN n BN nθ⋅===⋅，所以当1λ=时，sin θ取得最大值2，即直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4，故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知ABC V 的三个顶点()2,1A -，()2,13B ，()5,12C ，则AB 边上的高为________.【答案】10【解析】【分析】求出直线AB 的方程，再利用点到直线的距离公式即可.【详解】131322AB k -==+，则直线AB 的方程为()132y x -=+，即370x y -+=，则点()5,12C 到直线AB 351271010⨯-+=，则AB 10.10.13.在三棱锥P ABC -中，已知1AB AC AP ===，2BC =P 到AC ，AB 的距离均为32，那么点P 到平面ABC 的距离为________.【答案】22【解析】【分析】如图，取BC 中点为D ，连接PD ，AD ，过P 作AD 垂线，垂足为G ，可证PG 与平面ABC 垂直及D 和G 重合，即可得答案.【详解】过P 作AC ，AB 垂线，垂足为E ，F ，由题，则32PE PF ==.又π2PA PA PE PF PEA PFA ==∠=∠=，，，则PAE PAF ≅△△，又1AP =，32PE PF ==，则1212AE AF FB EC ==⇒==.则1212AE AF FB EC ==⇒==，又由勾股定理，可得1PB PC ==.取BC 中点为D ，连接PD ，AD .由以上分析可知PD BC AD BC ⊥⊥，.因PD AD D PD AD ⋂=⊂，，平面PAD ，则⊥BC 平面PAD .过P 作AD 垂线，垂足为G ，则PG AD ⊥，又PG ⊂平面PAD ，则PG BC ⊥.因BC AD D BC AD ⋂=⊂，，平面ABC ，则PG ⊥平面ABC ，即PG 为P 到平面ABC 的距离.在PBC △中，因1PB PC ==，2BC =，则22PD =.又在ABC V 中，12AB AC BC ===，，则22AD =；又1AP =，则APD △为以D 为直角顶点的直角三角形，则PD AD⊥即D 和G 重合，则22PD PG ==.故答案为：2214.已知直线24y x =-+与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则p =________；AOB V 的面积为________.【答案】①.1②.17【解析】【分析】设点1,1、2,2，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出0OA OB ⋅= ，结合韦达定理可求得p 的值，然后利用三角形的面积公式可求得AOB V 的面积.【详解】设点1,1、2,2，联立2242y x y px =-+⎧⎨=⎩可得240y py p +-=，2160p p ∆=+>，由韦达定理可得12y y p +=-，124y y p =-，所以，221212*********y y OA OB x x y y y y p p⋅=+=+=-= ，解得1p =，所以，121y y +=-，124y y =-，则()2121212411617y y y y y y -=+-=+=，直线24y x =-+交x 轴于点()2,0E ，所以，12112171722OAB S OE y y =⋅-=⨯= 故答案为：117.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点(3，()3,2，且圆关于x 轴对称.（1）求圆C 的标准方程；（2）已知直线l 经过点()0,1，与圆C 交于A ，B 两点，若2AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）()2234x y -+=（2）770x y -+=或10x y +-=【解析】【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C 的标准方程；（2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程.【小问1详解】由圆关于x 轴对称可知圆心在x 轴上，设圆心(),0C a ，半径为r ；即可得()(()()2222203302a a -+-=-+-，解得3a =，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()2234x y -+=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，显然不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =+；易知圆心到直线1y kx =+的距离d =又AB ==可解得17k =或1k =-，即直线l 的方程为770x y -+=或10x y +-=.16.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =.（1）求抛物线的方程及m ；（2）斜率为2的直线l 与抛物线的交点为A 、B （A 在第一象限内），与x 轴的交点为M （M 、F 不重合），若2AM MB =，求ABF △的周长.【答案】（1）抛物线方程为28y x =，4m =±（2）14+【解析】【分析】（1）由抛物线的定义结合4=PF 可求得p 的值，可得出抛物线的方程，再将点P 的坐标代入抛物线方程，即可求得m 的值；（2）设点(),0M n ，则2n ≠，可得直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由平面向量的坐标运算可得出122y y =-，将直线l 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出n 、1y 、2y 的值，进而可求得ABF △的周长.【小问1详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由抛物线的定义可得242p PF =+=，可得4p =，所以，抛物线的方程为28y x =，将点P 的坐标代入抛物线方程可得28216m =´=，解得4m =±.【小问2详解】设点(),0M n ，则2n ≠，因为直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由2AM MB =，可得()()1122,2,n x y x n y --=-，则122y y -=，可得122y y =-，联立2128x y n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2480y y n --=，16320n ∆=+>，可得12n >-，由韦达定理可得124y y +=，128y y n =-，所以，1211111422y y y y y +=-==，可得18y =，24y =-，所以，12832n y y -==-，可得4n =，所以，12122AB y y =-=⨯=，()12121484284142AF BF x x y y +=++=+++=++=，所以，ABF △的周长为14AF BF AB ++=+.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，4PA =，60PAD ∠=︒，120PDC ∠=︒.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求平面DPA 与平面BPA 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）1313【解析】【分析】（1）通过线面垂直的判定定理证明AD ⊥平面PCD 即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】在PAD △中，由余弦定理得222142cos cos 602242PD PAD +-∠===⨯⨯ ，解得23PD =所以222PD AD PA +=，故AD PD ⊥，又,,,AD CD CD PD D CD PD ⊥=⊂ 平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥；【小问2详解】以D 为坐标原点，,DA DC 分别为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,3,3)D A B P -，所以(2,0,0),(0,3,3),(0,2,0),(2,3,3)DA DP AB AP ====--，设平面DPA 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，则11120330m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11z =，则110,3x y ==3,1)m = ，设平面BPA 的一个法向量为222(,,)n x y z = ，则222220230n AB y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令23x =，则220,2y z ==，所以(3,0,2)n = ，故cos ,13m n m n m n ⋅=== ，所以平面DPA 与平面BPA所成角的余弦值为13.18.已知双曲线G22−22=1>0,>0过点2,30y -=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点P 为双曲线右支上一点，()(),00A t t >，求PA 的最小值；（3）过点()2,0F 的直线与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，求证：11||||MF NF +为定值.【答案】（1）2213y x -=（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案；（2）设()000,,1P x y x ≥，表示出PA ，结合二次函数性质，讨论即可得答案；（3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出11||||MF NF +的表达式，化简即可证明结论.【小问1详解】由题意知双曲线G 22−22=1>0,>0过点2,30y -=，则22491a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故双曲线C 的标准方程为2213y x -=；【小问2详解】点P 为双曲线右支上一点，设()000,,1P x y x ≥，()(),00A t t >，则PA ====当14t ≤，即04t <≤时，PA1t =-，当14t >，即4t >时，PA；【小问3详解】当过点()2,0F 的直线斜率不存在时，方程为2x =，此时不妨取(2,3),(2,3)M N -,则11112||||333MF NF +=+=；当当过点()2,0F 的直线斜率存在时，设直线方程为()()1122(2),,,,y k x M x y N x y =-，不妨令122,12x x ><<，联立22(2)13y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222234430k x k x k -+--=，由于直线过双曲线的右焦点，必有0∆>，直线与双曲线C 的右支交于M ，N两点，需满足k >k <则22121222443,33k k x x x x k k---+==--，则11MF NF +=()()121212112222x x x x x x ⎛⎫-=+=⎪----⎭()12121224x x x x x x -=+--1212=222433k k=-----⎪--⎝⎭293k=-26129933k --===--，综合以上可知11||||MF NF +为定值.【点睛】难点点睛：本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，综合性强，计算量大，难点在于证明定值问题，解答时要注意计算的准确性，基本都是字母参数的运算，需要十分细心.19.已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为1F ，2F 1-，直线:l y x m =+与椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方），当AB 过1F 时，2ABF △的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12A F F '）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12B F F '）垂直.①当B 为椭圆的下顶点时，求折叠后直线1A F '与平面2A B F ''所成角的正弦值；②求三棱锥12A B F F ''-体积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）①15025；②1445【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，解得,,a b c 的值，直接写出椭圆方程；（2）①求出平面中,A B 坐标，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，利用空间向量求得线面角的正弦值；②在平面内求出,A B 坐标的关系，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，从而列出三棱锥的体积的表达式，利用二次函数求得最大值.【小问1详解】由题意可得221442ABF a c C a ⎧-=⎪⎨==⎪⎩ 21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b =，∴椭圆的标准方程为：2212x y +=，【小问2详解】翻折后，如图：①当B 为椭圆的下顶点时，由题意知()0,1B -，直线:1l y x =-，联立方程组可得22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴41,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭令原来y 轴负半轴为z 轴，则41,,033A ⎛'⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1B '，()11,0,0F -，()21,0,0F ，∴171,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，41,,133A B ''⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，211,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，设 =s s 为平面2A B F ''的一个法向量，则24103311033A B n a b c A F n a b ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩'-''-= ，令1a =，所以111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即()1,1,1n =- ，设直线1A F '与平面2A B F ''的夹角为θ，则()1122212271015033sin cos ,257111133A F n A F n A F n θ-++⋅===⎛⎫⎛⎫-+-⨯+-+ '''⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，②联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2234220x mx m ++-=，()()222Δ443222480m m m =-⨯⨯-=->，∴33m -<<，设1,1，2,2，则1243m x x +=-，212223m x x -=，()()222212121212224542333m m m m y y x m x m x x x x m m ---=++=+++=-+=，()11,,0A x y '，()22,0,B x y -，∴()121212112111542233239A B F F B F F y y m m V y S y y ''-'-++==⨯⨯⨯-=-= ，令函数()(2542,f m m m m =-++<，由二次函数的对称轴：25m =，∴()21455f m f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以当25m =时，12A B F F ''-的体积最大，此时121445A B F F V ''-=.【点睛】方法点睛：本题由平面解析几何转变成立体几何，需要自己建立新的坐标系，并能通过平面直角坐标系的点坐标得到对应在空间直角坐标系的坐标，然后利用立体几何的知识来解得答案.。

2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±23．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．35．已知A （﹣2，0），B （4，a ）两点到直线l ：3x ﹣4y +1＝0的距离相等，则a ＝（ ） A ．2B ．92C ．2或﹣8D ．2或926．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．√22C ．13D ．167．若圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 1：x 2+y 2+2x −4y =0的交点为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为x +y ＝0 B ．线段AB 的垂直平分线的方程为x +y +1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 8．已知曲线x −1=√4−y 2，则√x 2+(y −4)2的最大值，最小值分别为（ ） A ．√17+2，√17−2B ．√17+2，√5C ．√37，√17−2D ．√37，√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝011．已知圆C ：x 2+y 3﹣4x ﹣4y +7＝0，一条光线从点P （4，1）射出经x 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A ．若反射光线平分圆C 的周长，则反射光线所在直线的方程为3x +2y ﹣10＝0 B ．圆C 关于直线y ＝x +1对称的圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣6y +9＝0C ．若反射光线与圆C 相切于点A ，与x 轴相交于点B ，则|PB|+|BA|=2√3D ．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则△CMN 的面积的最大值为1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ ．14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 ．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ． 16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点（1，﹣3），圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段CD中点，现将△ADE沿AE折起，使得点D到点P位置，且AP⊥BE．（1）求证：平面AEP⊥平面ABCE；（2）已知点M是线段CP上的动点（不与点P，C重合），若使平面MAE与平面APE的夹角为π4，试确定点M的位置．22．（12分）如图，已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，动点P（m，﹣1）（m∈R），过点P引圆的两条切线，切点分别为A，B．（1）求证：直线AB过定点；（2）若两条切线P A，PB与x轴分别交于E，F两点，求△PEF的面积的最小值．2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）解：根据题意，圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，即（x +2）2+（y ﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1）， 故选：C ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意， 当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意，故m ＝﹣2． 故选：A ．3．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵BM →=BB 1→+B 1M →=c →+12BD → =c →+12(BA →+BC →) =c →+12(−a →+b →) =−12a →+12b →+c →故选：A ．4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．3解：∵向量a →，b →，c →共面，∴存在实数m ，n 使得c →=m a →+n b →．∴{7=2m−n6=m+2nλ=3m−2n⇒{m=4n=1λ=10，∴λ＝10．故选：A．5．已知A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，则a＝（）A．2B．92C．2或﹣8D．2或92解：∵A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，∴22=22，解得a＝2或92．故选：D．6．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．12B．√22C．13D．16解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得AD1=√2，AC=CD1=√5，则S△ACD1=12×√2×√5−12=32，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由V D1−ABC =V B−ACD1，得13×12×1×2×1=13×32×2ℎ，解得h=13．故选：C．7．若圆O1：x2+y2−2x=0和圆O1：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则下列结论正确的是（）A．公共弦AB所在直线的方程为x+y＝0 B．线段AB的垂直平分线的方程为x+y+1＝0C．公共弦AB的长为√2 2D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1解：对于A，依题意知，两圆相交于AB，故两圆方程作差可得4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，即为两圆公共弦AB所在直线方程，故A错误；对于B，圆O1：x2+y2−2x=0，则其圆心为（1，0），k AB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣1，故线段AB的垂直平分线方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B错误；对于C，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，所以|AB|=2√1−(22)2=√2，故C错误；对于D，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1，故D正确．故选：D．8．已知曲线x−1=√4−y2，则√x2+(y−4)2的最大值，最小值分别为（）A．√17+2，√17−2B．√17+2，√5C．√37，√17−2D．√37，√5解：由x−1=√4−y2，可知x≥1，﹣2≤y≤2，且有（x﹣1）2+y2＝4，表示的图形为以A（1，0）为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为√x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P（0，4）的距离，又因为|P A|=√12+42=√17，所以√x2+(y−4)2的最大值为|P A|+2=√17+2，当动点与图中B （1，2）点重合时，√x 2+(y −4)2取最小值， 此时|PB |=√(1−0)2+(4−2)2=√5． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 解：对于A ，因为a →⋅b →=(−1)×(−2)+1×(−1)+(−2)×12=0， 可知a →⊥b →，所以l 与m 垂直，故A 正确；对于B ，因为a →⋅n →=1×0+1×(−1)+(−1)×(−1)=0， 可知a →⊥n →，所以l ⊂α或l ∥α，故B 错误；对于C ，因为n 1→⋅n 2→=1×0+0×1+3×2=6≠0， 所以平面α，β不相互垂直，故C 错误；对于D ，若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则MP →，MA →，MB →为共面向量，所以P ，M ，A ，B 共面，故D 正确． 故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝0 解：选项A ：当直线倾斜角为π2时，该直线斜率不存在．判断错误；选项B：直线y＝x+1与直线y＝x+2的距离为√1+1=√22．判断错误；选项C：直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴的交点分别为（2，0）和（0，﹣2），则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2=2．判断正确；选项D：经过（1，1）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为x+y﹣2＝0和x﹣y＝0．判断错误．故选：ABD．11．已知圆C：x2+y3﹣4x﹣4y+7＝0，一条光线从点P（4，1）射出经x轴反射，则下列结论正确的是（）A．若反射光线平分圆C的周长，则反射光线所在直线的方程为3x+2y﹣10＝0B．圆C关于直线y＝x+1对称的圆的方程为x2+y2+2x﹣6y+9＝0C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|=2√3D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CMN的面积的最大值为1 2解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，故圆心为C（2，2），半径为1，点P（4，1）关于x轴的对称点为Q（4，﹣1），对于A：由题意知，反射光线过圆心C，则k QC=2−(−1)2−4=−32，反射光线所在直线的方程为y﹣2=−32（x﹣2），即3x+2y﹣10＝0，A正确；对于B：将x＝2代入y＝x+1得y＝3，将y＝2代入y＝x+1得x＝1，圆C关于直线y＝x+1对称的圆心为：（1，3），对称圆的半径r＝1，所以对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，B错误；对于C：如图，P关于x轴的对称点Q，B，切点A三点共线，|PB|+|BA|＝|QB|+|BA|＝|QA|，而|QC|2＝（4﹣2）2+（﹣1﹣2）2＝13，|CA|＝1，所以|QA|=√|QC|2−|CA|2=2√3，C正确；对于D：如图S△CMN=12|CM||CN|sin∠MCN=12×12•sin∠MCN≤12，（当∠MCN＝90°时取等号），D正确．故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33解：对于A ，因为BM =√52，所以M 在以B 为球心，√52为半径的球上． 又M 为侧面AA 1D 1D 上的点，所以M 在球被平面AA 1D 1D 截得的交线上． 因为AB ⊥平面AA 1D 1D ，AM ⊂平面AA 1D 1D ，可得AB ⊥AM ，由AB ＝1，BM =√52，所以AM =√BM 2−AB 2=12，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上，如图，则M 的轨迹长度为14⋅2π⋅12=π4，故A 正确；对于B ，如上图，取A 1D 中点M 1，由正方形AA 1D 1D 的边长为1，可得AM 1=12√1+1=√22，由M 在以A 为圆心，12为半径的14圆弧上运动，可得M 到直线A 1D 的距离的最小值为√22−12，故B 错误；对于C ，如图，连结AC ，AD 1．因为CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ．又BD ⊥AC ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1，AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1．又AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1．因为D 1C 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以D 1C 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C 1，D 1C 1⊂平面AD 1C 1，AD 1∩D 1C 1＝D 1， 所以A 1D ⊥平面AD 1C 1．又AC 1⊂平面AD 1C 1，则A 1D ⊥AC 1．又BD ⊂平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，A 1D ∩BD ＝D ， 所以AC 1⊥平面A 1BD ．又B 1N ⊥AC 1，B 1∉平面A 1BD ，所以直线B 1N ∥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴的正方向，如上图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， DA 1→=(1，0，1)，DB →=(1，1，0)，DB 1→=(1，1，1)．因为M ∈A 1D ，设DM →=λDA 1→=(λ，0，λ)，（0≤λ≤1），B 1M →=DM →−DB 1→=(λ−1，−1，λ−1)． 设m →=（a ，b ，c ）是平面A 1BD 的一个法向量， 则{m →⋅DA 1→=a +c =0m →⋅DB →=a +b =0， 取a ＝1，则b ＝c ＝﹣1，m →=（1，﹣1，﹣1）是平面A 1BD 的一个法向量． 则cos ＜B 1M →，m →＞=m →⋅B 1M→|m →|⋅|B 1M →|=1√3×√(λ−1)2+1+(λ−1)2=1√3×√2λ−4λ+3，又2λ2﹣4λ+3＝2（λ﹣1）2+1≥1，当λ＝1时，有最小值1， 所以，√3√2λ2−4λ+3≤√3=√33，即cos ＜B 1M →，m →＞≤√33，所以，B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最大值为√33，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ 103． 解：因为a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →， 则2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x ＝0，则x =103， 故答案为：103． 14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 2x +3y ﹣12＝0 ．解：设两直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点为P ， 联立方程组{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，可得两直线的交点为P （3，2）．由直线3x ﹣2y +4＝0的斜率为32，可得所求直线的斜率为k =−23，所以所求直线的方程为y −2=−23(x −3)，即2x +3y ﹣12＝0．故答案为：2x +3y ﹣12＝0．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1 ．解：设M （x ，y ），B （x 1，y 1），由定点A （4，6），且M 是线段AB 的中点， 由中点坐标公式可得{x =4+x 12y =6+y 12，即{x 1=2x −4y 1=2y −6， 又点B 在圆上，故x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣6）2＝4，整理得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，所以线段AB 中点M 的轨迹方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1． 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1．16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 √2 ．解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于|AB |＝2，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2， 整理得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4， 由于|P A |=√2|PB |，所以|P A |2＝2|PB |2，整理得(x +x 1−2x 2)2+(y +y 1−2y 2)2=2(x 1−x 2)2+2(y 1−y 2)2=8， 故点P 是以（2x 2﹣x 1，2y 2﹣y 1）为圆心，2√2为半径的圆， 易得圆心在x ﹣y ﹣6＝0上， 由于点（0，0）到直线的距离d =√2=3√2， 所以|OP|min =3√2−2√2=√2． 故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．解：（1）AB →=(1，−1，0)，AC →=(2，0，−1)， 设m →=(x ，y ，z)，∵m →⊥AB →，m →⊥AC →， ∴m →⋅AB →=0，m →⋅AC →=0． ∴{x −y =02x −z =0，整理得{y =x z =2x ，∵|m →|=√x 2+y 2+z 2=√6x 2=2√6，∴x ＝±2， ∴m →=(2，2，4)或m →=(−2，−2，−4)；（2）取u →=AB →|AB →|=(√22，−√22，0)，a →=AC →=(2，0，−1)，则a →⋅u →=√2，a →2=5． ∴C 到直线AB 的距离为√a →2−(a →⋅u →)2=√5−2=√3．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．解：（1）∵A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1），∴直线AB 的斜率k AB ＝2，可得直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0， 点C 到直线AB 的距离d =65=65√5， ∵|AB|=√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴S △ABC =12|AB|⋅d =12×65√5×2√5=6；（2）由题知，直线AC 的斜率k AC ＝﹣1，可得直线AC 的方程为x +y ﹣2＝0， 设M （x 0，y 0），则N （2﹣x 0，﹣y 0），∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴{2x 0−y 0−1=02−x 0−y 0−2=0，解得{x 0=13y 0=−13， 因此，直线l 的斜率k l =0+131−13=12，l 的方程为y −0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．解：（1）由题意有：EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DD 1→−(AB →+13BB 1→)=AD →+23AA 1→−AB →−13AA 1→=−AB →+AD →+13AA 1→，故x +y +z =−1+1+13=13； （2）令AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则由题意有：|a →|=|b →|=2，|c →|=3，＜a →，b →＞=90°，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=120°，由（1）知：EF →=−a →+b →+13c →，则|EF →|=√(−a →+b →+13c →)2=√4+4+1+2−2=3，所以cos ＜EF →，AB →＞=−a →2+a →⋅b →+13a →⋅c →3×2=−4−16=−56，故直线EF 与AB 所成角的余弦值为56．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点（1，﹣3），圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， ∵圆心C 在直线x +y ﹣1＝0上， ∴a +b ﹣1＝0①， ∵圆C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |②，又∵圆C 被x 轴截得的弦长为2√3， ∴b 2+3＝r 2③，联立①②③解得，a ＝2，b ＝﹣1，r ＝2， ∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝4． （2）∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1， ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝r ﹣1＝1． 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1， 圆心C （2，﹣1）到直线l 的距离为1，符合题意； 当直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为y +3＝k （x ﹣1）， 即kx ﹣y ﹣k ﹣3＝0， ∴圆心C 到直线l 的距离d =|2k+1−k−3|√k +1=|k−2|√k +1=1，解之得，k =34，∴直线l 的方程为3x ﹣4y ﹣15＝0．综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y ﹣15＝0．21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段CD 中点，现将△ADE 沿AE 折起，使得点D 到点P 位置，且AP ⊥BE ．（1）求证：平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）已知点M 是线段CP 上的动点（不与点P ，C 重合），若使平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，试确定点M 的位置．（1）证明：∵E 为CD 中点，AB ＝4，∴DE ＝CE ＝2， 又∵AD ＝2，四边形ABCD 为矩形， ∴AE 2=BE 2=2√2， ∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴AE ⊥BE ，又∵AP ⊥BE ，AE ∩AP ＝A ，AP ，AE ⊂平面APE ， ∴BE ⊥平面APE ，又∵BE ⊂平面ABCE ， ∴平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）解：过点E 作EQ ⊥平面ABCE ，以E 为坐标原点，以EA ，EB ，EQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2√2，0，0)，P(√2，0，√2)，C(−√2，√2，0)，E （0，0，0），B(0，2√2，0)， ∴CP →=(2√2，−√2，√2)，EC →=(−√2，√2，0)，EA →=(2√2，0，0)， 设CM →=λCP →，λ∈（0，1），则EM →=EC →+CM →=(2√2λ−√2，√2−√2λ，√2λ)， 设n →=(x ，y ，z)是平面AME 的一个法向量，则有{n →⋅EM →=0n →⋅EA →=0，即{2√2x =0(2√2λ−√2)x +(√2−√2λ)y +√2λz =0， 取y ＝λ，可得平面AME 的一个法向量为n →=(0，λ，λ−1)， 又EB →=(0，2√2，0)为平面APE 的一个法向量， ∴cos〈n →，EB →〉=√2λ2√2√λ+(λ−1)=√λ+(λ−1)，∵平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，∴√λ2+(λ−1)2=√22，解得λ=12，∴当点M 为线段PC 的中点时，平面MAE 与平面APE 的夹角为π4．22．（12分）如图，已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，动点P （m ，﹣1）（m ∈R ），过点P 引圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）若两条切线P A ，PB 与x 轴分别交于E ，F 两点，求△PEF 的面积的最小值．解：（1）证明：由题意知，圆心C （0，2），半径r ＝1， ∵P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，∴A ，B 在以PC 为直径的圆上， ∵|PC|=√m 2+9，PC 的中点M(m 2，12)，∴以PC 为直径的圆M 的方程为(x −m 2)2+(y −12)2=m 2+94，即x 2+y 2﹣mx ﹣y ﹣2＝0．∵AB 为圆C 与圆M 的公共弦， ∴直线AB 的方程为mx ﹣3y +5＝0． ∴直线AB 过定点(0，53)．（2）①当P A ，PB 斜率均存在，即m ≠±1时， 设P A ，PB 的方程为y +1＝k （x ﹣m ）， 即kx ﹣y ﹣km ﹣1＝0，∵P A ，PB 与圆C 相切，∴圆心C到直线的距离d=√k+1=1，∴（m2﹣1）k2+6mk+8＝0．设P A，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1+k2=−6mm2−1，k1k2=8m2−1，∴|k1−k2|=√(−6mm2−1)2−48m2−1=√4m2+32(m2−1)2，x E=m+1k1，x F=m+1k2，∴|EF|=|x E−x F|=|m+1k1−m−1k2|=|1k1−1k2|=|k1−k2||k1k2|=|2√m2+8m2−1||8m2−1|=√m2+84．∵当m∈R且m≠±1，∴当m＝0时，|EF|min=√22，此时，S△PEF=12×√22×1=√24．②当P A，PB有一条斜率不存在，即m＝±1时，不妨设P A的斜率不存在，则直线P A的方程为x＝﹣1，P（﹣1，﹣1），E（﹣1，0），设直线PB的方程为y+1＝k（x+1），由圆心（0，2）到PB的距离d=√k+1=1，解得k=43，∴直线PB的方程为4x﹣3y+1＝0，∴F(−14，0)，此时|EF|=34，S△PEF=12×34×1=38．由38＞√24，可得△PEF面积的最小值为√24．。

新泰中学2023级高二年级期中模拟考试历史试题第Ⅰ卷选择题一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分。

每题所列的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

)1．商朝拥有庞大的巫职机构，史职人员附属其下，天文历法、典籍史料充斥着迷信色彩。

西周祭祀、占卜、教育都由掌礼机构管理，巫的地位低，史官等政务官职机构扩大。

这一变化说明西周（）A．宗教信仰思想淡化B．治国理政观念调整C．礼乐制度影响扩大D．国家管理机构成熟2．下图为1913年马星驰发表的题为《政党之两面观》的漫画，自左往右看，此五个字为“政党之作用”，而从右往左看，则变成了“御用系之党”。

该漫画（）A．体现了民众缺乏对民主的了解B．反映了政党政治不符合国情C．讽刺了袁氏复辟帝制倒行逆施D．揭示了当时政治转型的艰难3．1898年9月26日，清廷下旨恢复被光绪帝裁撤的机构，禁止官民直接上奏朝廷，恢复被改为学堂的庙宇。

美国驻华公使康格在10月14日写给国务卿的信中指出：这些都是“皇太后决心将时钟往后扳的最有力的确证，过不了多久，进步的钟摆就会摆回到皇帝最近开始起步的地方，这是肯定的”。

这说明，康格（）A．反思近代中国的社会变迁B．承认维新变法的进步趋向C．其意图在于干预清廷内政D．强调戊戌变法失败的缘由4．东汉后期的官僚集团大多来自于世家大族培养、举荐的子弟与门生，时人称“举秀才，不知书；察孝廉，父别居。

寒素清白浊如泥，高第良将怯如鸡”。

据此可知，当时（）A．君主权力受到制约B．社会文化水平落后C．社会阶层流动加强D．察举制度弊端严重5．《奏定学堂章程》颁行后，朝廷无力应付社会对教科书需求数量、种类的激增。

因此政府鼓励私家编纂，许以经济利益以应学堂之需。

在一段时间内，呈现官修与私纂并存、以私纂为主的教科书流通的局面。

这表明（ ）A ．新式教育蓬勃发展B ．近代教育转型艰难C ．学堂选官获得认可D ．教育体制走向完备6．下表所示为魏晋时期的相关法律制度。

山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。

新泰一中实验部高三上学期质检二考试数学试题2023.12一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|320},{|ln 0}A x x x B x x =-+==>，则A B =A.∅B.{1}C.{2}D.{1,2}2.若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且13z i =-(i 为虚数单位)，则12z z =A.3455i -- B.3455i -+ C.4355i -- D.4355i -+3.1sin 20tan 40+A.3B.1C.12 D.24.北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）.此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一.某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（）A.21π,37πB.21π,111πC.D.5.已知圆222:(4)M x y r +-=与圆22:(1)1N x y +-=外切，则直线20x y -+=被圆M 截得的弦长为B.2C.D.6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2021＞0，S 2022＜0，则使得前n 项和S n 取得最大值时n 的值为()A ．2022B ．2021C ．1012D ．10117.已知0.40.24log 0.02,log 40,5a b c ===，则A.c b a <<B.b a c<< C.c a b << D.a c b <<8.已知ω是正整数，函数()()sin f x x ωω=+在()0,πω内恰好有4个零点，其导函数为()f x '，则()()f x f x '+的最大值为（）A.2B. C.3D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若,,a b c ∈R ，则下列说法不成立的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b > B.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <C.若01a <<，则3a a < D.若0a b >>，则11b b a a+<+10.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，给出下列关于()g x 的结论，其中正确的是A.函数的最小正周期为πB.函数的图像关于直线12x π=-对称C.函数的图像关于点(,0)12π对称D.函数在[,]212ππ--上最大值为3211.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是111,,AB BB B C 的中点，则以下说法正确的是A.1DC ||平面EFGB.直线EG 与平面ABCD 所成角的正弦值为63C.异面直线EG 和BC 所成角的余弦值为63D.若动直线A 1M 与直线AC 的夹角为30°，且与平面EFG 交于点M ，则点M 的轨迹构成的图形的面积为4π12.设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1]x ∈-时，2()22f x x =-+，则下列结论正确的是A.1116()39f =-B.(7)f x -为偶函数C.()f x 在(10,12)上为增函数D.函数()()ln ||g x f x x =+有11个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223,S =7a =，5m n a a +=-，则116m n+的最小值为。