高考创新题的解法(续)

撷英篇一、问题特点统观近几年数学高考试题，创新题频繁出现。

主要以新运算、新概念和新背景形式给出命题。

要求学生不仅有扎实的基础知识、基本方法，还要有较强的阅读能力、分析转化能力、逻辑推理能力、抽象概括能力和良好的数学综合素养。

由于试题新颖对每个考生公平、公正有利于选拔优秀人才。

二、常见问题1.新运算：所指通过数学中符号语言、图形语音、文字语言给出新的运算模型，要求考生根据模型结合所学知识点、方法和数学思想去探究，求解结论。

例1.2015浙江（理6）设A ，B 是有限集，定义d （A ，B ）=card （A ∪B ）-card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ），A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立试题解析：命题①显然正确，通过右图可知a （A ，C ）表示的区域不大于d （A ，B ）+d （B ，C ）的区域，所以命题②也正确，故选A例2.2013湖北（理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n +1）2=12n 2+12n 。

记第n 个k 边形数为N （n ，k ）（k ≥3），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N （n ，3）=12n 2+12n 正方形数N （n ，4）=n 2五边形数N （n ，5）=32n 2+12n 六边形数N （n ，6）=2n 2-n……可以推测N （n ，k ）的表达式，由此计算N （10，24）=。

试题解析：观察n 2和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故N （n ，24）=11n 2-10n ，∴N （10，24）=1000点评：从上述例题可以得出此类问题的研究。

高考创新题解答与评析（八）北京 明知白八、深刻背景型近几年高考题的显著特点之一是，某些高考题具有深刻的背景，或者具有高等数学的背景，或者是某些经典问题的再现、引申与推广．例1 （2007年广东7）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（ ）Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18 点评：本题背景是高等数学中的运筹学问题，可如下解之．解法一：设A B →的件数为1x （10x <时为B A →，以下同）B C →为2x 件，C D →为3x 件，D A →为4x 件（如图示）．于是142132435040504550545061x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，，，．由此得215x x =+，311x x =+，4110x x =-．故调动总件数为11234111()|||||||||||5||10|f x x x x x x x x =+++=+++-，它的最小值为16．（可化为分段函数后求最小值，或利用绝对值的几何意义做，留给读者思考．） 解法二：可如图示之，A 点原有50件，应调为40件， 而D 点缺11件，故从A 点向D 点调动10件（501040-=）， 同理从C 点向D 点调动1件（5010161++=），再从B 点向C 点调动5件（50545-=，501554-+=），于是最小调动 件次为101516++=．回顾与反思：解法一是严格的解法（通法），但比较麻烦， 作为选择题，不求严格，可凭直觉做（解法二），快速简捷． 例2 （2002年北京）数列{}n x 由下列条件确定：10x a =>，112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n ∈*N （I ）证明：对2n ≥，总有n x1051x3x2（II ）证明：对2n ≥，总有1n n x x +≥；（III ）若数列{}n x 的极限存在，且大于零，求lim n n x →∞的值．证明：（I ）由10x a =>，及112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可归纳证明0n x >，从而有112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n ∈*N ）， 所以，当2n ≥时，n x （II ）证法一：当2n ≥时，因为0n x >，112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以2111022nn n n n n na x a x x x x x x +⎛⎫--=+-= ⎪⎝⎭≤， 故当2x ≥时，1n n x x +≥成立． 证法二：当2n ≥时，因为0n x >，112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以22212212122n n n n n nn n n na x x x x a x x x x x x +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===≤， 故当2n ≥时，1n n x x +≥成立．（III ）解：记lim n n x →∞A =，则1lim n n x A +→∞=，且0A >．由112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得 11lim lim 2lim n n n n n n a x x x +→∞→∞→∞⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭， 即12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由0A >解得A =lim n n x →∞=回顾与反思：（1）做问题（I ）时，不要试图由递推关系式求出{}n x 的通项公式，而是用平均值不等式做，极为简捷．（2）上述问题（II ）的两种方法，就是用此比较法证不等式的两种“通法”——求差比较法与求商比较法．（3）本题的高等数学背景是：单调有界数列有极限．例3 （2003年北京）如图，椭圆的长轴12A A 与x 轴平行，短轴12B B 在y 轴上，中心为(0)M r ，(0)b r >>．（I ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（II ）直线1y k x =交椭圆于两点11()C x y ，，22()D x y ，2(0)y >，直线2y k x =交椭圆于两点33()G x y ，，44()H x y ，4(0)y >，求证：2341121234k x x k x x x x x x =++； （III ）对于（2）中的C D G H ，，，，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q ． 求证：||||OP OQ =．（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）解：（I ）椭圆方程为2222()1x y r a b -+=．焦点坐标为1()F r，2)F r，离心率e a=．（II ）证明：将直线CD 的方程1y k x =代入椭圆方程，得2222221()b x a k x r a b +-=．整理得22222222211()2()0b a k x k a rx a r a b +-+-=）． 根据韦达定理，得211222212k a r x x b a k +=+，2222122221a r ab x x b a k -=+，)r 1(A a -，x所以22121212x x r b x x k r-=+． ① 将直线GH 的方程2y k x =代入椭圆方程，同理可得22343422x x r b x x k r -=+． ② 由①，②得2223411212342k x x k x x r b x x r x x -==++． 所以结论成立．（III ）证明：设(0)P p ，，点(0)Q q ，，如图．由C P H ，，共线，得111424x p k x x p k x -=-． 解得12141124()k k x x p k x k x -=-．由D Q G ，，共线，同理可得12231223()k k x x q k x k x -=-．由2341121234k x x k x x x x x x =++，变形得 231412231124x x x x k x k x k x k x -=--， 即1223121412231124()()k k x x k k x x k x k x k x k x ---=--． 所以||||p q =，即||||OP OQ =．)r1(A a -，x回顾与反思：本题是古典趣题——著名的蝴蝶定理的推广．蝴蝶定理是：如图，过一定圆的弦MN 的中点O 作弦CD 和HG ，连接CH 和DG 交弦MN 于点P ，Q ，那么OP OQ =．由于图形中的OCH OGD -酷似蝴蝶，故称蝴蝶定理，它可以用多种方法证明，此处从略．练习题:1．（2005年，北京14）已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ ， 如果在一种算法中，计算0kx （2k =，3，4，…，n ）的值需要1k -次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：0011()()()k k k P x a P x xP x a ++==+，（0k =，1，2，…，1n -）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算．2．（2004年，全国卷II 理22）已知函数()ln(1)()ln f x x x g x x x =+-=，． （I ）求函数()f x 的最大值；（II ）设0a b <<，证明0()()2()()ln 22a bg a g b g b a +<+-<-．练习题参考答案：1．10001010()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ 中，乘法运算共有 1(1)1(1)2n n n n +-++=+ （次）． 又有n 次加法运算，总计为11(1)(3)22n n n n n ++=+（次） 由于10001()P x a x a =+，2200010200012()()P x a x a x a x a x a a =++=++，N D H MP Q O CG2300001023()()P x x a x a x a a =+++，…………各需2次，4次，6次运算，故归纳可得计算()n n P x 共需2n 次运算． 2．（Ⅰ）解：函数)(x f 的定义域为(1)-+∞，． .111)(-+='xx f 令 ()00f x x '==解得，． 当10()0x f x '-<<>时，， 当0()0x f x '><时，． 又(0)0f =， 故当且仅当x =0时，)(x f 取得最大值，最大值为0．（Ⅱ）()ln ()ln 1g x x x g x x '==+，． 设()()()2()2a xF x g a g x g +=+-， 则 ()()2[()]l n l n 22a x a x F x g xg x ++'''=-=-．当,0)(,0<'<<x F a x 时 因此()(0)F x a 在，内为减函数．当()0()()x a F x F x a '>>+∞时，，因此在，上为增函数． 从而，当()x a F x =时，有极小值()F a ．因为 ()0,()0F a b a F b =>>，所以， 即 0()()2()2a bg a g b g +<+-． 设 ()()()ln 2G x F x x a =--， 则 ()ln lnln 2ln ln()2a xG x x x a x +'=--=-+． 当0x >时，()0G x '<． 因此()(0)G x +∞在，上为减函数. 因为 ()0()0G a b a G b =><，，所以，即 ()()2()()l n 22a bg a g bg b a ++-<-．。

第九讲 数学高考的创新试题解题指导（理科）第一节 需要抽象概括的创新试题变式与引申 1. ②④提示：本题将大学拓扑学的基本概念引入 下面画图，进行判断： 对于①，如图9-1-1.图9-1-1. 图9-1-2显然存在面集⊆面集，该集合符合题目要求. 对于③, 如图9-1-3图9-1-3在边界上的),(00y x ，怎么取也难以得到符合题目要求的圆，所以该集合不符合. 对于④，如图9-1-4.所以综合上面的分析有答案为②④ 2.（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-，又12n n S b b b =+++ ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S---=--，即112()1n n n nS S S S ---=-，所以11112nn S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22nn n S +=+-=，即21n S n =+．所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为12131212782⨯+++== ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，故81a 在表中第31行第三列，因此28113491a b q =⋅=-．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)kkkk b q S k q k k k k --==-=--+-+ ≥3. 解：（Ⅰ） 0A ：532，，，10()T A ：3421，，，，1210(())A T T A =：4321，，，；11()T A ：43210，，，，， 2211(())A T T A =：4321，，，． （Ⅱ）设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，，则1()T A 为n ，11a -，21a -， ，1n a -， 则112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++- 222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++- ．又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++ ，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++ 2122()n n a a a n +-++++2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，．当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤．当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++==== 时，若记数列12m a a a ，，，为C ， 则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤．从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +== ，，，可知11()(())k k S A S T A +≤． 又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤．即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤．因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++=== ． 即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．习题9-11．A“倍约束函数”;,所以1)(2+=x x f 不是“倍约束函数” x x cos sin +不是“倍约束函数” 是“倍约束函数”. 又曲线上的任意两点连线的斜率小于2,故存在M 符合题目要求.所以①④⑤均符合题目要求,选择C. 3. 1005提示：依题得4321424124n k n k k n k a k n k kn k=-⎧⎪-=-⎪=⎨-=-⎪⎪=⎩，则20092010201150310055031005.a a a ++=+-=4. (Ⅰ)21； (Ⅱ) ③④提示：(Ⅰ) ()0f x =则12x =； (Ⅱ) 当14m =时，2A C M π∠=,此时1n =-，故1()14f =-，所以①错；()f x 的定义域为()0,1不关于原点对称，所以②错； 显然随着m 的增大, n 也增大;所以()f x 在定义域上单调递增，所以③对.又由于整个过程是对称的,所以④对，所以经过分析可以得到答案为③④点评：本题落脚非常新颖,但是其实设题很容易,只要把握住审题加分析(当然分析并没有定势的思维,而是要具体问题具体分析.第二节 需要构建模式的创新试题变式与引申 1.ππ2-提示：本题需要分析和处理问题的能力. 设(,)P x y ,∠QOx =θ 根据函数关系有20cos cos sin =+-θθθx x y 即x y θθcos 1sin 20-+=设该条直线为l ，可以知道该直线表示的是截距为20斜率为0cos 1sin --θθ的直线,其中20πθ<<又由cos 1sin --θθ的几何意义可以知道：它表示的是(0,1)和(θcos ,θsin )直线的斜率，知－1<cos 1sin --θθ<0再结合图取交集后便可以得到答案应该是如图习题9-2-1所示的弓形，弓形面积：200100-π 所以概率为ππππ2100200100-=-=P图9-2-12. B提示：观察系列化合物分子式的下标易知：C 和H 的下标分别是公差为4和2的等差数列．由等差数列的通项公式1(1),n a a n d =+-使可得他的通式为4222.n n C H ++由于这个系列化合物中含碳元素、氢元素的个数递增，且原子量分别是12和1 ，故分子中碳元素的质量分数满足： 12(42)24lim96%12(42)(24)25n n n n →∞+==+++．3.解：设地面矩形在门正下方的一边长为xm ，则另一边的长为m x20，设总造价为y 元，则)0)(16(15005000)20020232003(300325020>++=⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=x xx xx x y ，因为 816216=⋅≥+xx xx ，当且仅当xx 16= （)0>x 即4=x 时 取“=”，所以，当4=x 时y 有最小的值,17000此时520=x.答：当储藏室地面矩形在门正下方的一边长为m 4，另一边长为m 5时，能使总造价最低造价为17000元.习题9-21．()4200920081⨯+提示：观察规律：两个圆相交最多有3个区域；三个圆相交最多有7个区域四个圆相交最多有13个区域；五个圆相交最多有21个区域，如图9-2-2 …图9-2-2 n 个圆相交最多有21(2)n n n -+≥个区域所以A 的n 阶拆分有()421n n -+组将n =2009代入有A 的2009阶拆分有()4200920081⨯+组. 2．解：(Ⅰ) 由12-=x y (x ≥1)，得 y ≥0且1+=y x ，∴ 1)(1+=-x x f(x ≥0)，即1)(+=x x g ，M ＝{x ｜x ≥0}．(Ⅱ) 对任意x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2，则||2111|||11||)()(|2121212121x x x x x x x x x g x g -<+++-=+-+=-， ∴ g (x )是M 上的利普希兹Ⅰ类函数，其中21=a ． (Ⅲ) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是曲线C 2上不同两点，则x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2．由(Ⅱ)知121|||)()(|||||21212121<≤--=--=x x x g x g x x y y k AB ，∴直线AB 的斜率k AB ≠1，∴直线AB 与直线y ＝x 必相交．3．解：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．(Ⅰ)分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823)x a x =-+-， 令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤． 在263x a =+两侧L '的值由正变负．故（1）当28693a +<≤，即932a <≤时，2m ax (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时，23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键. 4. 解：（1）因为29y x=，所以229y x'=-，所以过点P 的切线方程为222()99y x t tt-=--，即22499y x t t=-+，令0x =，得49y t =，令0y =，得2x t =.所以切线与x 轴交点(2,0)E t ，切线与y 轴交点4(0,)9F t.①当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤即4192t ≤≤时，切线左下方的区域为一直角三角形，所以144()2299f t t t =⨯⨯=. ②当21,41,912,33t t t ⎧⎪>⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤ 即1223t <≤时，切线左下方的区域为一直角梯形，22144241()()12999t t f t t t t --=+⋅=，③当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤即1439t <≤时,切线左下方的区域为一直角梯形,221499()(2)12224t t f t t t t -=+⋅=-.综上229142,,439441(),,9924112,.923t t t f t t t t t⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪<⎪⎩≤≤≤≤ (2)当1439t <≤时, 29()24f t t t =-29444()4999t =--+<，当1223t <≤时, 241()9t f t t-=21144(2)999t =--+<，所以m ax 49S =． 5．解：(Ⅰ)依题意得：01P =，112P =，2121212⨯+=P ．(Ⅱ)依题意，棋子跳到第n 站(299n ≤≤)有两种可能：第一种，棋子先到第2n -站，又掷出反面，其概率为221-n P ；第二种，棋子先到第1n -站，又掷出正面，其概率为121-n P ，∴212121--+=n n n P P P∴21121121212121------+-=-+=-n n n n n n n P P P P P P P即)992)(2121(211≤≤--=----n P P P P n n n n(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知数列{1--n n P P }(1≤n≤99)是首项为2101-=-P P ， 公比为21的等比数列， 于是有)()()()(9899231201099P P P P P P P P P P -++-+-+-+= 23991001111211()()()()[1()]223232=+-+-+-++-=- 因此，玩该游戏获胜的概率为])21(1[32100-．点评：本题以实际问题为背景，建立一个伯努利概率模型，通过研究第n 站和第1n -站以及2n -站的关系建立数列的递推公式，利用累加法求解概率n P .第三节 研究性问题的创新试题变式与引申1.解：类似的性质为：若M 、N 是双曲线12222=-by ax 上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、P N 的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值.证明：设点M 、N 的坐标为（n m ,）、（y x ,），则N （n m --,）.因为点M （n m ,）在已知双曲线上，所以22222b m ab n -=，同理22222b x ab y-=.则222222222222ab mx m x ab mx n y mx n y mx n y k k PN PM =--⋅=--=++⋅--=⋅（定值）.2.解：(Ⅰ)或 (Ⅱ) 18903. 解：(Ⅰ)8=+，故8)2()2(2222=+-+++yx y x ，所以动点M 的轨迹是到定点)0,2()0,2(21F F -的距离之和为8的椭圆.则曲线C 的方程是1121622=+yx.(Ⅱ)直线l 过点)2,0(N ，若直线l 的斜率不存在，又直线l 过点)2,0(N ，则l 的方程为0=x ，与椭圆的两个交点B A ,为椭圆的顶点.由OB OA OP +=，知P 与O 重合，与OAPB 为四边形矛盾. 故直线l 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ，),(),,(2211y x B y x A由⎪⎩⎪⎨⎧=++=11216222y x kx y 得03216)34(22=-++x x k ，0)34(12825622>++=∆k k 恒成立由根与系数的关系得3416221+-=+k x x ，3432221+-=kx x .因OB OA OP +=，故四边形OAPB 为平行四边形若存在直线l 使四边形OAPB 为矩形，则OB OA ⊥，02121=+y y x x ，整理化简得05122=+k ，此方程无解，与斜率存在矛盾.故不存在直线直线l ，使得四边形OAPB 为矩形.4.解：（I ）证明：设'x 为()f x 的峰点,则由单峰函数定义可知，)(x f 在[0,']x 上单调递增,在[',1]x 上单调递减．当12()()f x f x ≥时,假设2'(0,)x x ∉,则12',x x x <≤从而21(')()(),f x f x f x ≥> 这与12()()f x f x ≥矛盾,所以2'(0,)x x ∈,即2(0,)x 是含峰区间．当12()()f x f x ≤时,假设1'(,1)x x ∉,则12'x x x ≤<,从而12(')()(),f x f x f x ≥>这与12()()f x f x ≤矛盾,所以1'(,1)x x ∈,即1(,1)x 是含峰区间．（II ）证明：由（I ）的结论可知： 当12()()f x f x ≥时,含峰区间的长度为12;l x =当12()()f x f x ≤时,含峰区间的长度为211.l x =-对于上述两种情况,由题意得210.510.5x rx r≤+⎧⎨-≤+⎩ ① 由①得21112x x r +-≤+,即212.x x r -≤又因为212x x r -≥,所以212x x r -= ② 将②代入①得 120.5,0.5x r x r ≤-≥+ ③由①和③解得120.5,0.5.x r x r =-=+所以这时含峰区间的长度120.5l l r ==+,即存在12,x x 使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5.r +习题9-31．02>≥b a提示：此题所空缺条件一般是c b a ，，应满足什么条件.首先确定焦点所在的坐标轴.假设焦点在y 轴上, 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222212142c PF PF b PF PF 则)(22221c b PF PF -=从而22221b c b S PF F <-=∆的面积 与题设矛盾,知椭圆的焦点在x 轴上. 于是2)(,,02212221PF PF PF PF b a +≥+>>由另一方面有22222,24c a a c ≤≥即,亦即b a b a 2,222≥≥ 综上应有02>≥b a .2. 81248,T TT T提示：对于等比数列，通过类比，有等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，81248,T T T T ，1612TT 成等比数列. 3．解：（Ⅰ）依题意0,1,230,20a a a a a a >≠+->+->，01a ∴<< (Ⅱ)2212()()log (43)a f x f x x ax a -=-+令12()()1f x f x -=≤得221log (43) 1.a x ax a -≤-+≤①01,a << 又[2,3]a a ++在2x a =的右侧，∴22()log (43),a g x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为减函数，从而max ()(2)log (44),a g x g a a =+=-min ()(3)log (96)a g x g a a =+=-，于是①成立的充要条件是log (44)1log (96)101a a a a a -≤⎧⎪-≥-⎨⎪<<⎩，解此不等式组得9012a -<≤.故当012a <≤1()f x 与2()f x 在[2,3]a a ++上是接近的，当12a >时，1()f x 与2()f x 在区间[2,3]a a ++上是非接近的.4．解：解法一：如图9-3-1（Ⅰ）过M 向AD 作垂线交AD 于G ，从G 向AQ 作垂线交AQ 于H ，连接MH ．如果二面角M —AQ —D 为600，则060MHG ∠=. 设G H a =，则M G =由三角形的相似性得：244M G D M D G AG PAPDADλλ==⇒==⇒6λ=(Ⅱ)假设存在这样的x 满足条件，连接GN 、MN ，由几何关系得：()24,,0111x M G AG AN x xxx===≥+++因此()2222221216162cos 451x x y M NAG AN M G AG AN x -+==++-=+所以函数关系为()()2212161601x x y x x -+=≥+变形得()21011143,01111y x x x ⎛⎫⎛⎫=-+<≤ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭+⎝⎭因此函数的值域为321611y ≤≤，当6x =时，3211y =.解法二：如图习题9-3-2，以点A 为原点，建立如图所示的坐标系.QPA图9-3-1(o)zx（Ⅰ）依题意有42,0,11M λλλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，设平面AQM 的法向量为()1,,n x y z = ，平面ABCD 的法向量为()20,0,1n =.因为11042022020n A Q x z y x x y z x n A M λλ⎧=+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-=⎩⎩⎪⎩因此令1x =可得：()11,1,2n λ=--所以21212121cos 60266n n n n λλ=⇒=⇒=⇒=(Ⅱ)假设存在这样的x ，则由条件可得：4222,0,,,,01111x x x M N xx x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因此()22222224221216161111x x x x x y M Nx x x x --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+以下同解法1.5．解：（Ⅰ）设椭圆上的动点()cos ,sin P b a θθ，则切点弦AB 所在的直线方程为： 2c o s s i n b x a y bθθ+=令0,0cos b y M θ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭；令200,sin b x N a θ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭因此22222222222cos sin babaa bO N O Mb b a θθ+=+=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与点P 的运动无关.(Ⅱ)假设存在点()cos ,sin P b a θθ使得0PA PB =，即PA PB ⊥，又因为,OA PA OB PB ⊥⊥且OA OB b ==，所以四边形OAPB是正方形，)22222cos sin OP b a θθ=⇔+=得到2222sin ba bθ=-.当2221ba b >-时，即a <时，不存在这样的点P 满足条件；当2221ba b=-时，即a =，存在这样两点()()0,,0,P a P a -；当2221ba b<-时，即a >，存在这样的四点P ⎛⎫±± ⎝. 6．解：（Ⅰ）因为 )1(]1)([)]()1([nk f n k f n k f nk f n n n n n +⋅-=-+,所以 1)1()(1=+-+n k f n nkf n n n ，即 ,1111,1)1(11na a na a n k k k k +=--∴=-+++ 因为n 为定值, 所以数列}1{-k a 是以10-a 为首项,n11+为公比的等比数列,可得),,2,1,0()11(1n k na kk =++=．(Ⅱ)因为nnn n kn a f nkf a )11(111)1(,)(1++==∴=,要证31)1(41≤<f ,只需证3)11(2<+≤n n, 事实上因为2111111)11(221≥++=++++=+ nnnnnnnC nC nC n, 而122221(1)1111(1)(1)1112!111112!3!!1111113()3,2222nnnnnnnnn nC C C nnnn n n n n n nn +=++++--=++++≤++++<+++++=-<所以，原命题成立．。

高考创新题的解法（续）以此类推f (n )=f (n -1)+(1)2n n +,于是累加得f (n )=1[26(1)]2n n ++++ =2221[(12)(12)]2n n ++++++ =(1)(2)6n n n ++。

所以答案应填10；(1)(2)6n n n ++.点评 将数列的通项公式、数列的求和融合到2006年4月24至5月1日举行的世乒赛这一实际情景当中，重点考察累加法求通项公式和常规数列的求和，此外观察分析数据的能力也是本题考查的一个重要方面。

当然要顺利解出此题，个人的空间想象能力也是一个非常重要的方面，要求考生在头脑中能清晰建立起“堆成正三棱锥”这一空间模型，并要注意相邻两堆个数变化的根本原因.2. 若01>a 、11≠a ，nnn a a a +=+121),,(，⋯=21n(1)求证：n n a a ≠+1；(2)令211=a ，写出2a 、3a 、4a 、5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ； (3)证明：存在不等于零的常数p ，使}{nn a pa +是等比数列，并求出公比q 的值.讲解 (1)采用反证法. 若n n a a =+1，即n nna a a =+12, 解得 .10，=n a 从而1011,===⋯⋯==-a a a n n 2a 与题设01>a ,11≠a 相矛盾，故n n a a ≠+1成立.(2) 211=a 、322=a 、543=a 、984=a 、17165=a , 12211+=--n n n a . （3）因为n n n n a p a p a p a 2211++=+++)( 又q a pa a p a nn n n ⋅+=+++11,所以02122=-+-+)()(q p a q p n ,因为上式是关于变量n a 的恒等式，故可解得21=q 、1-=p . 3.观察sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=43,sin 215°+cos 245°+sin15°cos45°=43，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 . 答案：sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=43四、类比型类比在数学解题中有着十分重要的作用。

高考数学创新题型思维方法(一)解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型,09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。

即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。

因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。

在解此类创新题型时,往往需要融入生活中的很多思想,加上题目中所给信息相融合。

在数学层面上,需要考生善于从各个角度与考虑问题,将思路打开,同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。

(二)新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题,考生需要懂得坐标系中坐标差的原理,对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。

近两年高考大题中均涉及到了新距离问题,可是高考所考察的内容不再新距离本身,而在于建立新的数学模型情况下,考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。

比如2019年压轴题,对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题,由于每个位取值情况均相同,故只需考虑一个位就行了。

在大题具体解题中笔者会详细叙述。

(三)新名词对于题目中出现了新名词新性质,考生完全可以从新性质本身出发,从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。

此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型,然后描述的简洁透彻,让考生通过此类描述去挖掘性质。

新课标数学追求对数学思维的自然描述,即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。

比如2009年北京卷文科填空压轴题,就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元,这样肯快就可以得到答案。

(四)知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题,此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。

比如2019年高考北京卷填空压轴题,需要考生掌握轨迹与方程思想,方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。

高考数学创新题解题策略：高考数学创新题解题策略毕业论文创新推动着人类社会的不断进步，创新题在高考数学中能很好地把优秀考生和普通考生区分开来.数学创新试题相比于传统试题来说, 具有以下鲜明的特点: 背景新颖, 内涵深刻, 设问方式灵活，要求考生进行细致观察、认真分析、合理类比、准确归纳后才能实现, 它是以问题为核心, 以探究为途径、以发现为目的, 考查考生创新意识和创新能力的有效题型. 本文对高考数学创新试题的六种题型进行解析及揭秘其解题策略.1. 新型定义型试题新型定义型试题背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，能有效地区分考生的思维品质和学习潜力.例1. 已知集合M?哿R，若实数x0满足：?坌t>0，?埚x∈M，0<x-x0A.②③ B. ①④ C. ①③ D. ①③④分析：本题新定义“聚点”，结合集合、简易逻辑及不等式知识进行综合考查，考生只需依据新的定义概念，结合绝对值不等式知识，对定义进行验证，即可解决问题.解析：对于集合①0，■，■，…，若取t=■，则不存在x∈■|n∈N，满足0<x-0<■，即不存在x∈m，使得0<x-0<t，从而0不是集合■|n∈n的聚点；集合②除去0这个实数，很明显，对任意的t，都存在x=■（实际上任意比t小的数都可以），使得0<x-x0=■■，也就是说t>■，那么取x=■，有0<x-0 例2. 对于非空集合A、B，定义运算：A?茌B={x|x∈A∪B，x?埸A∩B}，已知两个开区间M=（a，b）、P=（c，d），其中a、b、c、d满足a+b<c+d，ab=cdA （a，b）∪（c，d） B （a，c）∪（b，d）代写论文C （a，d）∪（b，c）D （c，a）∪（d，b）分析：本题以集合、不等式为背景，定义一个运算，关键对A?茌B中的元素x∈A∪B，x?埸A∩B有透彻理解，转化为学过的集合知识，进行知识迁移，已知条件中对于非空集合A、B，定义运算：A?茌B={x|x∈A∪B，x?埸A∩B}，可知M?茌P={x|x∈M∪P，x?埸M∩P}，而两个开区间M=（a，b）、P=（c，d）也可以看作两个集合M={x|a<x<b}，n={x|c<x解析：设ab=cd=t（t<0），则a<0<b，c<0<d.构造函数f（x）＝x2-（a+b）x+t，g（x）=x2-（c+d）x+t，则a、b为方程f（x）＝x2-（a+b）x+t=0的两个根，c、d为方程g（x）=x2-（c+d）x+t=0的两个根.因为f（c）=c2-（a+b）c+cd=c[（c+d）-（a+b）]<0，因为a、b为方程f（x）＝x2-（a+b）x+t=0的两个根，f（a）=f（b）=0，而f（c）<0，故由二次函数图像可知，c在（a，b）之间，所以a<c<b，而c<0<d，故a<c<d；同样可以证得：c<b<d，所以a<c<b解题策略：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近知识点，明确它们的共同点和不同点；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息中的提取和化归转化是解题的关键，也是解题的难点.如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法.。

高考创新题解答与评析（六）北京 明知白六、时代信息型多年来，高考命题强调考查学生的实践能力，以解决实际问题为主要题型．近几年，这类试题又有所发展，进一步扩展为：联系实际、反映生活、展开科技，总之，突出时代特征，这类试题成为高考创新题的又一亮点．例1 （2006年陕西12）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文2a b +，2b c+，23c d +，4d ．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）Ａ．7，6，1，4 Ｂ．6，4，1，7Ｃ．4，6，1，7D ．1，6，4，7分析：首先懂得题意，可列方程组 214292323428.a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩，，， 解得6417a b c d ====，，，．故选C ．点评：懂得题意是关键，如有困难，可对照“例如”，这有助于帮助我们对信息的提供与转移．例2 （2007年安徽理20）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数． （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率()P E ξξ≥．解：（Ⅰ）由题知可取值为6，5，4，3，2，1，0，分布列如下：（Ⅱ）113153165432102281428728144E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）1315()(2)1(01)141428P E P P ξξξξξ==-===--=≥≥，．点评：概率统计题大多与实际问题有关，其中不少是与现代信息有关的问题，这类问题已成为近几年高考的必考内容之一．例3 （2003年北京理19）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且2AB AC a BC b ===，．今计划合建一个中心医院，为同时方便三城镇，准备建在B C 的垂直平分线上的P 点处．（建立坐标系如图）．（I ）若希望点P 到三城镇距离的平方和为最小， 点P 应位于何处？（II ）若希望点P 到三城镇的最远距离为最小， 点P 应位于何处？解：（I ）由题设可知，0a b >>，记h =，设P 的坐标为(0)y ，，则P 至三城镇距离的平方和为222()2()()f y b y h y =++-22223233h y h b ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以，当3h y =时，函数()f y 取得最小值．答：点P的坐标是0⎛ ⎝．（II ）解法一：点P 至三城镇的最远距离为||()||||h y g y h y h y -=-<-⎪⎩，， ．h y -||解得222h b y h-≥，记22*2h b y h-=，于是**()||y y g y h y y y =-<⎪⎩ 当≥，， 当．当22*02h b y h-=≥，即h b ≥时，*[)y +∞，上是增函数，而||h y -在*(]y -∞，上是减函数．由此可知，当*y y =时，函数()g y 取得最小值．当22*02h b y h-=<，即h b <时，函数*[)y +∞，上，当0y =时，取得最x小值b ，而||h y -在*(]y -∞，上为减函数，且||h y b -<．可见，当0y =时，函数()g y 取得最小值．答：当h b ≤时，点P的坐标为220⎛⎫⎝； 当h b <时，点P 的坐标为（0，0），其中h =解法二：点P 至三城镇的最远距离为||()||||h y g y h y h y -=-<-⎪⎩，， ．h y -||解得222h b y h-≥，记22*2h b y h-=，于是**()||y y g y h y y y =-<⎪⎩ 当≥，， 当．当*0y ≥，即h b ≥时，()z g y =的图象如图（a ），因此，当*y y =时，函数()g y 取得最小值．当*0y <，即h b <时，()z g y =的图象如图（b ），因此，当0y =时，函数()g y 取得最小值． 答略．解法三：因为在A B C △中，AB AC a ==，所以A B C △的外心M 在射线A O 上，其坐标为220⎛⎫⎝，且A M B M C M ==．当P 在射线M A 上，记P 为1P ；x（a ）当P 在射线M A 的反向延长线上，记P 为2P ；若h b =（如图）， 则点M 在线段A O 上．这时P 到A B C ，，三点的最远距离为1P C 或2P A ，且1P C M C ≥，2P A M A ≥，所以点P 与外心M 重合时，点P 到三城镇的最远距离最小．若h b =<（如图），则点M 在线段A O 外． 这时P 到A B C ，，三点的最远距离为1P C 或2P A ， 且1P C O C ≥，2P A O C ≥，所以点P 与B C 边中点O 重合时，P 到三城镇的最远距离最小为b ． 答：当b 时，点P 的位置在A B C △的外心220⎛⎫⎝；当b <时，点P 的位置在原点O ．点评：（I ）的解答较为简单，()f y 为h 的二次函数，用配方法可求最小值； （II ）的解答较为困难，首先列出点P 至三点的最远距离()g y 的分段解析式．为书写简洁，先引出记号*y ，然后讨论分段函数()g y 的最小值，有两种方法．解法一为代数方法（利用函数()g y 的单调性），解法二利用函数的图象特征，体现数形结合思想．解法三另辟途径，利用平面几何知识（三角形外心），直观明了，不失为一个好的方法． 练习题： 1．（2007年北京13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 ．2．（2003年北京）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ．规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令10i j a ij i j =⎧⎨⎩，第号同学同意第号同学当选；，第号同学不同意第号同学当选．BxBx其中12i k = ，，，，12j k = ，，，，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）A ．1112121222k k a a a a a a +++++++B ．1121112222k k a a a a a a +++++++C ．1112212212k k a a a a a a +++D ．1121122212k k a a a a a a +++3．（2005年，湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，*n ∈N ，且10x >．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．（Ⅰ）求x n +1与x n 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设2a =，1c =，为保证对任意()102x ∈，，都有0n x >，*n ∈N ，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论．练习题参考答案：1．设θ所对直角边为x ，则22(1)25x x ++=，解得3x =．故221697cos 2cos sin 252525θθθ=-=-=．2．分析：为便于理解题意并做出判断，不妨令3k =，则 A ．111213212223a a a a a a +++++ B ．112131122232a a a a a a +++++ C ．111221223132a a a a a a ++ D ．112112221323a a a a a a ++ 显然，应选C ．3．解（I ）从第n 年初到第n +1年初，鱼群的繁殖量为n ax ，被捕捞量为bx n ，死亡量为2n cx ，因此21n n n n n x x ax bx cx +-=--，*n ∈N ． ①即()11n n n x x a b cx +=-+-，*n ∈N ． ②（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则n x 恒等于x 1，*n ∈N ，从而由①式得()n n x a b cx --恒等于0，*n ∈N ，所以10a b cx --=．即1a b x c-=．因为10x >，所以a b >． 猜测：当且仅当a b >，且cb a x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变．（Ⅲ）若b 的值使得0n x >，*n ∈N由②及条件得()13n n n x x b x +=--，*n ∈N ，∴03n x b <<-，*n ∈N ，特别地，有103x b <<-，即103b x <<-． 而()102x ∈，，所以(]01b ∈， 由此猜测b 的最大允许值是1．以下证明当()102x ∈，，1b =时，都有()02n x ∈，，*n ∈N ①当1n =时，结论显然成立．②假设当n k =时结论成立，即()02k x ∈，， 则当1n k =+时，()120k k k x x x +=->． 又因为()()2121112k k k k x x x x +=-=--+<≤， 所以()102k x +∈，． 故当1n k =+时结论也成立．由①、②可知，对于任意的*n ∈N ，都有()02n x ∈，． 综上所述，为保证对任意()102x ∈，，都有0n x >，*n ∈N ，则捕捞强度b 的最大允许值是1．。

关于高考数学创新题型思维方法关于高考数学创新题型思想方法(一)解析几何中的运动效果解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动效果。

即新课标高考数学思想从传统剖析静态模型转变为剖析静态模型。

因此考生需求掌握在运动进程中关于变量与不变量的掌握、擅长树立运动进程中直接变量与直接变量的关系、以及特殊值情境剖析、存在效果与恣意效果解题方法的总结。

在解此类创新题型时，往往需求融入生活中的很多思想，加上标题中所给信息相融合。

在数学层面上，需求考生擅长从各个角度与思索效果，将思绪翻开，同时擅长用数学思想去将标题情境笼统成数学模型。

(二)新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的效果，考生需求懂得坐标系中坐标差的原理，关于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。

近两年高考大题中均触及到了新距离效果，可是高考所调查的内容不再新距离自身，而在于树立新的数学模型状况下，考生能否探索出树立数学模型与数学思想的关系。

比如2021年压轴题，关于一个数列各个位做差取相对值求和的效果，由于每个位取值状况均相反，故只需思索一个位就行了。

在大题详细解题中小编会详细表达。

(三)新名词关于标题中出现了新名词新性质，考生完全可以重新性质自身动身，从数学思想角度了解新性质所代表的数学含义。

此类创新题型就像描画一幅画一样去描画一个数学模型，然后描画的繁复透彻，让考生经过此类描画去开掘性质。

新课标数学追求对数学思想的自然描画，即不会给先生思想断层、非生活惯例思绪(北京海淀区2021届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于十分规思绪)。

比如2020年北京卷文科填空压轴题，就是让先生直观笼统的去了解什么叫做孤立元，这样肯快就可以失掉答案。

(四)知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点停止出题，此类题普通只需熟习知识点网络结构与知识点思想方式就没有效果。

2024届高考语文全国卷六大创新题型聚焦分析教育部教育考试院2024年高考语文全国卷落实《深化新时代教育评价改革总体方案》中“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和‘机械刷题’现象”和《中国高考评价体系》中考查应体现基础性、应用性、综合性、创新性的要求，试题在考查高阶思维品质、鼓励学生个性回答、加强教考衔接等方面均有新的尝试。

下面是今年语文试题中六大创新题型介绍及其解析。

试题一：全国甲卷实用类文本阅读（二）实用类文本阅读（本题共3小题，12分）阅读下面的文字，完成4～6题。

“偷梁换柱”多指以假代真，用欺骗的手段改变事物的性质，然而在古建筑工程领域，“偷梁换柱”却属于一种科学实用的修缮加固方法。

梁是截面形状一般为长方形的木料，且木料的长度尺寸远大于截面尺寸。

梁为水平放置，两端的底部有支撑构件。

梁主要用于承担建筑上部构件及屋顶的全部重量，并把这些重量向下传给支撑构件。

柱为梁的支撑构件。

柱子截面形状一般为圆形，长度尺寸远大于截面直径。

柱子为竖向放置，主要用于承担上部梁传来的重量，并向下传递给下部的梁或直接传至地面。

梁与柱采用榫卯形式连接，形成稳固的大木结构体系。

位于屋架内的若干梁在竖向被层层往上“抬”，上下梁之间由短柱支撑，底部的梁由立于地面的立柱支撑。

梁、柱均为中国木结构古建筑的核心受力、传力构件，缺一不可。

对于古建筑而言，立于地面的立柱，或因长期承受上部结构传来的重量而产生开裂残损，或因柱底部位长期受到地面潮气影响而出现糟朽残损，这导致木柱强度下降，无法正常支撑梁。

此时可采用“偷梁换柱”的加固方法。

“偷梁换柱”实际就是“托梁换柱”。

其基本做法为：首先将“假柱”（即临时的竖向支撑构件）安装在梁底部、原柱（原有立柱）旁边；再抽去原柱，使梁传来的重量暂时由“假柱”承担；然后安装新柱，新柱的材料、尺寸及安装位置与原有立柱相同；最后将“假柱”移去。

完善的“偷梁换柱”加固方法具有科学性，其原理主要包括三个方面：其一，从梁的角度而言，它是水平受力构件，并把外力向下传给立柱。