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3.1.2 两角和与差的正弦[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质．[知识链接]1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式C α＋β或C α－β推导出公式S α－β吗？答 sin(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α－β) ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β－cos αsin β.[预习导引]1．两角和与差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.2．两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.3．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定.要点一 利用和(差)角公式化简例1 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)． 解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 规律方法 化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值． (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．(3)使三角函数式的次数尽可能低．(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．跟踪演练1 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°. 解 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 要点二 利用和(差)角公式求值例2 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值． 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪演练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值． 解 ∵π2<β<α<3π4， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. 要点三 公式的变形应用例3 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值． 解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.① ∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.② 由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 规律方法 本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是巧妙，体会其中的解题思路．跟踪演练3 已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解 (1)因为α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， 所以0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2 α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010. cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 例4 化简下列各式： (1)315sin x ＋35cos x ；(2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)315sin x ＋35cos x＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65⎝⎛⎭⎫cos π6sin x ＋sin π6cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫712π－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 规律方法 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x 、cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝b a确定．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质都要用到该公式．跟踪演练4 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]． (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ).1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32答案 A解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12. 2．在△ABC 中 ，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝22(cos B ＋1－cos 2B ) ＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255. 3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________．答案 [－2,2]解析 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x )∈[－2,2]．4．试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：(1)sin α－cos α；(2)3sin α＋cos α； (3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)3sin α＋4cos α. 解 (1)sin α－cos α＝2(22sin α－22cos α) ＝2(sin αcos π4－cos αsin π4) ＝2sin(α－π4)． (2)3sin α＋cos α＝2(32sin α＋12cos α) ＝2(sin αcos π6＋cos αsin π6) ＝2sin(α＋π6)． (3)方法一 原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝22. 方法二 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. (4)3sin α＋4cos α＝5(35sin α＋45cos α) ＝5sin(α＋φ)(或＝5cos(α－θ))．其中cos φ＝35，sin φ＝45(或sin θ＝35，cos θ＝45)．1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)错误!sin(α＋β)错误!sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．一、基础达标1．函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x ＋π3)的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2C ．2π，1D ．2π， 2答案 A解析 ∵f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π，f (x )max ＝1.2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( ) A ．0 B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425答案 C解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1答案 D解析 ∵cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2. 5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6．化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 答案 cos α解析 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α. 7．化简求值： (1)sin(π4－3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )； (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α；(3)sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°. 解 (1)原式＝cos[π2－(π4－3x )]cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos(π4＋3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos[(π4＋3x )＋(π3－3x )]＝cos(π4＋π3) ＝cos π4cos π3－sin π4sin π3＝22×12－22×32＝2－64. (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.(3)∵sin 27°＝sin(45°－18°)，cos 27°＝cos(45°－18°)，∴原式＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°cos 45°cos 18°＝tan 45°＝1. 二、能力提升8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( ) A ．－3365 B.3365 C ．－6365 D.6365答案 B解析 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45. 同理sin B ＝1213. ∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝45×1213－35×513＝3365. 9．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是________． 答案 137解析 ∵⎩⎨⎧ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎨⎧ sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． 解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时，cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋53×154＝－2＋5312. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－53×154＝－2－5312＝－2＋5312. (2)当α为第二象限角且β为第三象限角时，∵sin α＝23，cos β＝－14， ∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝53－212. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212，sin(α－β)＝－53＋212. 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4) ，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)． 解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)， 故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64. 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)一、基础达标1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 [答案] B[解析] 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－12.2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．0或－2425 [答案] C[解析] ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425.3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] D[解析] cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0. ∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋3 [答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2.5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的结果是________．[答案] cos α[解析] 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α. 7．求下列各式的值．(1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15°； (2)cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°；解 (1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15° ＝cos(90°＋15°)cos15°－sin(90°－15°)sin 15° ＝－sin 15°cos 15°－cos 15°sin 15° ＝－(sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°) ＝－sin(15°＋15°) ＝－sin 30°＝－12. (2)∵sin 15°＝sin(45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝6－24， cos 15°＝6＋24，∴cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝2262＝33. 二、能力提升8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365 B.3365 C ．－6365 D.6365 [答案] B[解析] 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45. 同理sin B ＝1213.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 9.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________.[答案] 2－3[解析] 原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝sin (45°－30°)cos (45°－30°)＝2－ 3.10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是________． [答案] 137[解析]⎩⎪⎨⎪⎧sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.所以sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角． (1)当α为第一象限角且β为第二象限角时， cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋53×154＝－2＋5312.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－53×154 ＝－2－5312＝－2＋5312.(2)当α为第二象限角且β为第三象限角时， ∵sin α＝23，cos β＝－14，∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝53－212 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212， sin(α－β)＝－53＋212. 三、探究与创新13．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β. ∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。
第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式学习目标理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法;体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用.合作学习一、复习回顾,承上启下复习:cos(α-β)=.猜想:cos(α+β)=;sin(α-β)=;sin(α+β)=.二、学生探索,揭示规律1.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;2.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;3.sin(α-β)=;;4.tan(α+β)=-5.tan(α-β)=.三、运用规律,解决问题【例1】已知sin α=-,α是第四象限角,求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.【例2】利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1)sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°;(2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°;(3)-.四、变式演练,深化提高1.化简cos x-sin x.2.在△ABC中,sin A=(0°<A<45°),cos B=(45°<B<90°),求sin C与cos C的值.3.在△ABC中,已知sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B≥1,则△ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形五、反思小结,观点提炼布置作业1.课本P131练习第1,2,3,4,5,6,7题.2.课本P137习题3.1A组第1,6,7,8,13题.参考答案三、运用规律,解决问题【例1】解:由sin α=-,α是第四象限角,得cos α=---.∴tan α==-.于是有sin(-α)=sin cos α-cos sin α=×(-)=,cos(+α)=cos cos α-sin sin α=×(-)=,tan(α-)=-----=-7.【例2】解:(1)sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=sin (72°-42°)=sin 30°=.(2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°=cos (20°+70°)=cos 90°=0.(3)--=tan (45°+15°)=tan 60°=.四、变式演练,深化提高1.解:cos x-sin x=2cos x-sin x)=2(sin 30°cos x-cos 30°sin x)=2sin (30°-x).2.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sin A=且0°<A<45°,∴cos A=.又∵cos B=且45°<B<90°,∴sin B=.∴sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=,cos C=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=sin A sin B-cos A cos B=.3.C五、反思小结,观点提炼本节我们学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用.。
第三章三角恒等变换3.1.1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．cosπ12的值为A 62+B62-C 62+D3【答案】C【解析】cosπ12=cos（π3–π4）=cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ4=624．故选C．2．已知cos（π6+θ）=12，则sin（43π–θ）的值为A．12B．–12C．32D．–32【答案】B【解析】∵（43π–θ）+（π6+θ）=3π2，cos（π6+θ）=12，∴sin（43π–θ）=sin[3π2–（π6+θ）]=–cos（π6+θ）=–12，故选B．3．若α为锐角，sin（π6α-）=13，则cosα的值等于A 261-B261--C 261+D261-+【答案】A【解析】∵α为锐角，sin （π6α-）=13，∴cos （π6α-）=3，∴cos α=cos[（π6α-）+π6]=cos （π6α-）cos π6–sin （π6α-）sin π6，故选A ．4．若tan α=–12，tan （α–β）=–25，则tan β的值为 A ．18 B ．–18 C ．–112D ．112【答案】C 【解析】∵tan α=–12，tan （α–β）=–25，∴tan β=tan[α–（α–β）]=()()tan tan 1tan tan ααβααβ--+-=–112．故选C ． 5．若sin αsin β=1，则cos （α–β）的值为 A ．0 B ．1 C ．±1 D ．–1【答案】B【解析】由sin αsin β=1，得cos αcos β=0，∴cos （α–β）=cos αcos β+sin αsin β=1．故选B ． 6．计算2sin14°•cos31°+sin17°等于A ．2 B ．–2C ．2D ．–2【答案】A【解析】2sin14°•cos31°+sin17°=2sin14°•cos31°+sin （31°–14°） =2sin14°cos31°+sin31°cos14°–cos31°sin14°=sin31°cos14°+cos31°sin14°=sin （31°+14°）=sin45°A ． 7．若sin （π4θ+）=a ，则cos （π4θ-）= A ．–a B ．a C ．1–aD ．1+a【答案】B 【解析】cos （π4θ-）=cos[（θ+π4）–π2]=cos[π2–（θ+π4）]=sin （π4θ+）=a ，故选B ． 8．cos54°–sin54°的化简结果是 AB ．cos9° C ．sin9° D ．︒【答案】D【解析】cos54°–sin54°2cos54°–2sin54°）cos （45°+54°）cos99°=︒．故选D ． 二、填空题 9．计算2sin40cos10sin10︒-︒=︒____________．【解析】2sin40cos10sin10︒-︒︒=()2sin 3010cos10sin10︒+︒-︒︒=12cos10cos102sin10⎛⎫︒+︒-︒ ⎪⎝⎭︒10．tan18tan42tan120tan18tan42︒+︒+︒︒︒=____________．【答案】【解析】由tan60°=tan （18°+42°）=tan18tan421tan18tan42︒+︒-︒︒得到tan18°+tan42°–tan18°tan42°，则tan18tan42tan120tan18tan42︒+︒+︒︒︒=tan18tan42tan18tan42︒+︒-︒︒=tan42tan18tan42︒︒-︒︒=11．sin47°cos13°+sin167°sin43°=____________．【解析】sin47°cos13°+sin167°sin43°=sin47°cos13°+sin13°cos47°=sin （47°+13°）=sin60° 12．sin165°=____________．【解析】sin165°=sin （180°–15°）=sin15°=sin （45°–30°）=sin45°cos30°–cos45°sin30°=22⨯–122⨯13．sin347°cos148°+sin32°cos13°=____________．【解析】sin347°cos148°+sin32°cos13°=sin （360°–13°）cos （180°–32°）+sin32°cos13°=sin13°cos32°+sin32°cos13°=sin （13°+32°）=sin45°． 三、解答题14．计算：sin420°•cos750°+sin （–330°）•cos （–660°）．【解析】化简可得sin420°•cos750°+sin （–330°）•cos （–660°） =sin60°cos30°+sin30°cos60° =sin （30°+60°） =sin90°=1． 15．化简求值：sin （π34x -）•cos （π3–3x ）–cos （π36x +）•sin （π34x -）． 【解析】原式=sin （π4–3x ）cos （π3–3x ）–sin （π3–3x ）cos （π4–3x ）=sin （ππ43-）=4．16．已知α，β均为锐角，且sin αsin （α–β）=，求角β．【解析】∵α为锐角，且sin α=，∴cos α=；∵α，β均为锐角，()sin 0αβ-=，∴π02αβ--＜＜，∴()cos αβ-=，∴()()()sin sin sin cos cos sin 2βααβααβααβ⎡⎤=--=---=⎣⎦， ∴π4β=． 17．已知sin （α–β）cos α–cos （α–β）sin α=35，β是第三象限角，求cos （β+5π4）． 【解析】由sin （α–β）cos α–cos （α–β）sin α=35，得sin （α–β–α）=35，即sin （–β）=35，即sin β=–35，由于β是第三象限角，则cos β=–45．则cos （β+5π4）=cos βcos 5π4–sin βsin 5π4=–45）–（–35）×（． 18．已知sin （2α+β）=5sin β，求证：2tan （α+β）=3tan α．【解析】∵2α+β=α+（α+β），β=（α+β）–α，∴sin （2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α， 而5sin β=5sin[（α+β）–α]=5sin （α+β）cos α–5cos （α+β）sin α．由已知得sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α=5sin （α+β）cos α–5cos （α+β）sin α． ∴2sin （α+β）cos α=3cos （α+β）sin α，等式两边都除以cos （α+β）cos α，得2tan （α+β）=3tan α． 19．已知cos β=–13，sin （α+β）=79，且α∈（0，π2），β∈（π2，π），求cos α的值．【解析】∵α∈（0，π2），β∈（π2，π）， ∴π3π22αβ+＜＜， 又∵cos β=–13，sin （α+β）=79，∴sin β，cos （α+β）==， ∴cos α=cos[（α+β）–β]=cos （α+β）cos β+sin （α+β）sin β=1793933⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．已知sin α=35，sin （α–β）=–45，（0≤α≤π2，0≤β≤π2），求sin β的值． 【解析】∵ππ0022αβ≤≤≤≤，，∴ππ22αβ-≤-≤又()43sin sin 55αβα-=-=，，∴()34cos cos 55αβα-==，，∴sin β=sin[α–（α–β）]=sin αcos （α–β）–cos αsin （α–β）=334415555⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭． 21．设sin α+sin β=12，cos α+cos β=13，求cos （α–β）的值． 【解析】∵sin α+sin β=12，cos α+cos β=13，两边分别平方得sin 2α+sin 2β+2sin αsin β=14， cos 2α+cos 2β+2cos αcos β=19，两式相加得2+2sin αsin β+2cos αcos β=1336∴sin αsin β+cos αcos β=cos （α–β）=5972-．22．已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求cos（α+β）的值．【解析】由已知sinα+sinβ=1①，cosα+cosβ=0②，①2+②2得：2+2cos（α–β）=1；∴cos()1 2αβ-=-．②2–①2得：cos2α+cos2β+2cos（α+β）=–1，即2cos（α+β）[cos（α–β）+1]=–1．∴cos（α+β）=–1．。
更上一层楼基础•巩固1.tan10°·tan20°+3(tan10°+tan20°)的值等于( ) A.31B.1C.3D.6 思路分析:∵3330tan 20tan 10tan 120tan 10tan =︒=︒∙︒-︒+︒，∴tan10°+tan20°=33(1-tan10°·tan20°). ∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1.答案:B2.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m ，且β为第三象限角，则cosβ的值为( )A.21m -B.21m --C.12-mD.12--m 思路分析:由条件，得sin ［(α-β)-α］=sin(-β)=-sinβ=m ，∴sinβ=-m.又∵β为第三象限角，∴cosβ=221sin 1m --=--β.答案:B3.若tanθ=31，则cos 2θ-21sin2θ的值等于( ) A.65- B.54- C.53 D.54思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sinθcosθ，tanθ=31，∴原式=53)31(1311tan 1tan 1sin cos cos sin cos 22222=+-=+-=+-θθθθθθθ. 答案:C4.若tan(α+β)=52，tan(β-4π)=41，那么tan(α+4π)等于( ) A.1613 B.223 C.2213 D.163思路分析:tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］ 223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=∙+-=-∙++--+πββαπββα. 答案:B5.函数y=2sin(3π-x)-cos(6π+x),(x ∈R )的最小值是__________. 思路分析:y=2sin 3πcosx-2cos 3πsinx-cos 6πcosx+sin 6πsinx=3cosx-sinx 23-cosx+21sinx=23cosx 21-sinx=cos(x-6π).所以函数的最小值为-1.答案:-16.设tanα=71，ta nβ=31，α、β均为锐角，则tan(α+2β)=_________.思路分析:∵tanβ=31，∴tan2β=tan(β+β)=43)3(1312tan 1tan 222=-⨯=-ββ. 又∵tanα=71，∴tan(α+2β)=14371143712tan tan 12tan tan =⨯-+=∙-+βαβα.答案:1 综合•应用7.已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， (1)求证：tanA=2tanB ；(2)设AB=3，求AB 边上的高. (1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， ∴2tan tan 51sin cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+B A B A B A B A B A B A B A . ∴tanA=2tanB.(2)解：∵2π＜A+B ＜π,sin(A+B)=53,∴tan(A+B)=43-，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将tanA=2tanB 代入上式并整理得 2tan 2B-4tanB-1=0. 解之,得tanB=262±,舍去负值得tanB=262+. ∴tanA=2tanB=62+.设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD . 由AB=3，得CD=62+.所以AB 边上的高等于62+.8.重量为G 的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它(如图3-1-8)，小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ等于多大时，用力最小？图3-1-8思路分析:作出小车的受力分析如右图，由平衡条件得关于各力的方程，消元求解即可.解:由小车的受力分析可得⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-.,0sin ,0cos N f G f N f F μϕϕ 解得)cos(1)sin sin cos (cos 1sin cos 22ϕαμμϕαϕαμμϕμϕμ-+=++=+=GG G F . 要使F 最小，分母应最大，即cos(α-φ)=1，α=φ. 又tanα=μ，所以当φ=arctanμ时，F 最小，最小值为F min =21μμ+G=Gsinα=Gsinφ.9.tanα、tanβ是方程x 2-3x-3=0的两个根，试求sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β)的值.思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的正切公式的应用.在解题过程中，要利用两角和的正切公式统一角，再用同角三角函数间的基本关系统一函数.在解决三角函数问题里，常需要遵循这样的原则：化简、计算、证明.解:由已知tanα、tanβ是方程x 2-3x-3=0的两个根，根据韦达定理，有 tanα+tanβ=3，tanα·tanβ=-3. 所以tan(α+β)=43)3(13tan tan 1tan tan =--=-+βαβα.所以sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β))(cos )(sin )(cos 3)cos()sin(3)sin(2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+=1)(tan 3)tan(3)(tan 22++-+-+=βαβαβα〔分子、分母同时除以cos 2(α+β)可得此式〕31)43(3433)43(22-=+-∙-=. 10.如图3-1-9，扇形薄铁板的半径是1 m ，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS 的面积最大？图3-1-9思路分析:可以设∠POS=α，然后将矩形的两边用α的三角函数式来表示，经过适当变形转化成一个三角函数，进而求出最大面积.解:令∠POS=α，在Rt △POS 中，PS=OP·sinα=sinα，OS=OP·cosα=cosα； 在Rt △ROQ 中，OR=QR·cot60°=33QR=33PS=33sinα. RS=OS-OR=cosα-33sinα. S 矩形=PS·RS=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin 2α632cos 632sin 212)2cos 1(332sin 21-+=-∙-=αααα 63)302sin(3363)2cos 212sin 23(33-︒+=-+=ααα. 当α=30°时，上式有最大值，最大值为63. 回顾•展望11.(2006苏州统考) 是否存在锐角α、β，使得①α+2β=32π，②tan 2αtanβ=2-3同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，请说明理由.思路分析:对于探索存在性问题，通常先假设存在，然后求解，如果能求出结果，则说明存在，否则就说明不存在.解:假设存在锐角α、β使得①α+2β=32π，②tan 2αtanβ=32-同时成立.由①得2α+β=3π，所以tan(2α+β)=3tan 2tan1tan 2tan=-+βαβα. 又tan2αtanβ=32-，所以tan 2α+tanβ=33-. 于是tan 2α、tanβ可以看成是方程x 2-(3-3)x+2-3=0的两个根.解得x 1=1，x 2=32-.若tan2α=1，则α=2π，这与α为锐角矛盾.所以tan 2α=32-，tanβ=1.所以α=30°，β=45°.所以存在满足条件的α、β且α=30°，β=45°. 12.(2006安徽高考) 已知0＜α＜2π,sinα=54, (1)求αααα2++2cos cos 2sin sin 2的值； (2)求tan(α-45π)的值. 思路分析:化复角为单角，利用公式展开. 解:(1)由0<α<2π,sinα=54，得cosα=53，所以201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++αααααααα. (2)∵tanα=34cos sin =αα，∴tan(α-45π)=71tan 11tan =+-a α.。
1．计算cos 18°cos 42°－cos 72°cos 48°等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12. 2．已知sin(45°＋α)＝55，则sin αcos α等于( ) A ．－35B ．－45C ．－310D ．－410解析：选C.sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55， ∴sin α＋cos α＝105. 两边平方，得1＋2sin αcos α＝25. ∴sin αcos α＝－310. 3．当α＝3π4时，sin(α＋β)＋cos(α＋β)＋sin(α－β)＋cos(α－β)等于( ) A ．1B ．－22C ．0 D.22 解析：选C.原式＝2sin αcos β＋2cos αcos β＝2cos β(sin 3π4＋cos 3π4)＝0. 4．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形解析：选B.∵sin A sin B <cos A cos B ，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B >0，∴0<A ＋B <π2，∴C >π2，即△ABC 中有一个角是钝角． 5．对于任何α、β∈(0，π2)，sin(α＋β)与sin α＋sin β的大小关系是( ) A ．sin(α＋β)<sin α＋sin βB ．sin(α＋β)>sin α＋sin βC ．sin(α＋β)＝sin α＋sin βD ．要以α、β的具体值而定解析：选A.∵α、β∈(0，π2)， ∴cos α<1，cos β<1.∴cos αsin β＋cos βsin α<sin α＋sin β，即sin(α＋β)<sin α＋sin β.故A 正确．6．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________. 解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)， ∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3， 即12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α， 两边同除以cos α，得12－32tan α＝12tan α－32， 即1＋32tan α＝1＋32， ∴tan α＝1.答案：17．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)＝________. 解析：∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45， 则2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4) ＝2(45×22－35×22)＝15. 答案：158．已知sin α－cos β＝12，cos α－sin β＝13，则sin(α＋β)＝______. 解析：sin α－cos β＝12两边平方与cos α－sin β＝13两边平方相加得2 －2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1336， 即2－2sin(α＋β)＝1336，∴sin(α＋β)＝5972. 答案：59729．求值：(1)cos 165°；(2)sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)sin(x －18°)．解：(1)cos 165°＝cos(45°＋120°)＝cos 45°cos 120°－sin 45°sin 120° ＝22×(－12)－22×32＝－6＋24. (2)原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x )＝sin(x ＋27°＋18°－x )＝sin 45°＝22. 10．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值． 解：∵α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝ 1－cos 2β＝ 1－910＝1010. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π. 又cos(α＋β)>0，∴0<α＋β<π2. ∴α＋β＝π4.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________.(2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________.2．两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.tan α·tan β＝______________________________________________________________.(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10° D.3tan 20°6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7.1＋tan 75°1－tan 75°＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求tan(α＋β)的值．能力提升 13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．1．公式T (α±β)的适用范围 由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． 2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等． 要特别注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1 作业设计1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13， ∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52， ∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°) ＝3tan 30°＝1.]6．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B＝3，解得tan A ·tan B ＝13.] 7．－ 38.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 9．－32解析sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 10．1 解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )．∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝3， 又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3. 又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33， 而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＝2π3，B ＝C ＝π6.∴△ABC 为等腰三角形． 12．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2 α＝7210， sin β＝1－cos 2 β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. 13．解 tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)． ∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π. ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1， ∴2α－β＝－3π4.14．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2，所以tan A ＝2tan B . (2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2 B －4tan B －1＝0.解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6. 由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于2＋ 6.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)教案一、教學分析1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎上，進一步研究具有“兩角和差”關係的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導中，教科書都把對照、比較有關的三角函數式，認清其區別，尋找其聯繫和聯繫的途徑作為思維的起點，如比較cos(α-β)與cos(α+β),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內在聯繫，即α+β=α-(-β)的關係，從而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比較sin(α-β)與cos(α-β)，它們包含的角相同但函數名稱不同，這就要求進行函數名的互化，利用誘導公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導，揭示了兩角和、差的三角函數與這兩角的三角函數的運算規律，還使學生加深了數學公式的推導、證明方法的理解.因此本節內容也是培養學生運算能力和邏輯思維能力的重要內容，對培養學生的探索精神和創新能力，發現問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.3.本節的幾個公式是相互聯繫的，其推導過程也充分說明了它們之間的內在聯繫，讓學生深刻領會它們的這種聯繫，從而加深對公式的理解和記憶.本節幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養他們良好的思維習慣，教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導，例如在面對問題時，要注意先認真分析條件，明確要求，再思考應該聯繫什麼公式，使用公式時要具備什麼條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最後結果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養學生三角恒等變換能力所不能忽視的. 二、三維目標1．知識與技能：在學習兩角差的余弦公式的基礎上，通過讓學生探索、發現並推導兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,瞭解它們之間的內在聯繫，並通過強化題目的訓練，加深對公式的理解，培養學生的運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力.2．過程與方法：通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學生深刻體會聯繫變化的觀點，自覺地利用聯繫變化的觀點來分析問題，提高學生分析問題解決問題的能力.3．情感態度與價值觀：通過本節學習，使學生掌握尋找數學規律的方法，提高學生的觀察分析能力，培養學生的應用意識，提高學生的數學素質.三、重點難點教學重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導.教學難點：靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明.四、課時安排2課時五、教學設想第1課時（一）導入新課思路 1.(舊知導入)教師先讓學生回顧上節課所推導的兩角差的余弦公式，並把公式默寫在黑板上或打出幻燈片,注意有意識地讓學生寫整齊.然後教師引導學生觀察cos(α-β)與cos(α+β)、sin(α-β)的內在聯繫，進行由舊知推出新知的轉化過程，從而推導出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本節課我們共同研究公式的推導及其應用.思路2.(問題導入)教師出示問題，先讓學生計算以下幾個題目，既可以復習回顧上節所學公式，又為本節新課作準備.若sin α=55，α∈(0,2π)，cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.學生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法轉化為公式C （α-β）的形式來求，此時思路受阻,從而引出新課題，並由此展開聯想探究其他公式.（二）推進新課、新知探究、提出問題①還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學到黑板上默寫出來.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，請學生思考角α-β中β換成角-β是否可以？此時觀察角α+β與α-(-β)之間的聯繫，如何利用公式C (α-β)來推導cos(α+β)=?③分析觀察C (α+β)的結構有何特徵？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基礎上能否推導sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的結構特徵如何？⑥對比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推導出tan(α-β)=?tan （α+β）=？⑦分析觀察公式T (α-β)、T (α+β)的結構特徵如何？⑧思考如何靈活運用公式解題？活動：對問題①，學生默寫完後，教師打出課件，然後引導學生觀察兩角差的余弦公式，點撥學生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會有些什麼樣的奇妙想法呢？鼓勵學生大膽猜想，引導學生比較cos(α-β)與cos(α+β)中角的內在聯繫，學生有的會發現α-β中的角β可以變為角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的會根據加減運算關係直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.這時教師適時引導學生轉移到公式C (α-β)上來,這樣就很自然地得到cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.所以有如下公式：我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作C (α+β).對問題②，教師引導學生細心觀察公式C (α+β)的結構特徵,可知“兩角和的余弦，等於這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時讓學生對比公式C (α-β)進行記憶，並填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.對問題③，上面學生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導學生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什麼公式來實現正、余弦的互化呢？學生可能有的想到利用誘導公式⑸⑹來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關係式sin 2α+cos 2α=1來互化，此法讓學生課下進行),因此有sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之，則sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S (α+β)、S (α-β).對問題④⑤，教師恰時恰點地引導學生觀察公式的結構特徵並結合推導過程進行記憶，同時進一步體會本節公式的探究過程及公式變化特點，體驗三角公式的這種簡潔美、對稱美.為強化記憶，教師可讓學生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 對問題⑥，教師引導學生思考，在我們推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)後,自然想到兩角和與差的正切公式，怎麼樣來推導出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？學生很容易想到利用同角三角函數關係式，化弦為切得到.在學生探究推導時很可能想不到討論，這時教師不要直接提醒，讓學生自己悟出來.當cos(α+β)≠0時，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0時,分子、分母同除以cos αcos β得tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，據角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，則有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+ (α-β)(α+β)對問題⑥,讓學生自己聯想思考，兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的嗎？學生回顧自己的公式探究過程可知，α、β、α±β都不能等於2π+k π(k ∈Z )，並引導學生分析公式結構特徵，加深公式記憶.對問題⑦⑧，教師與學生一起歸類總結，我們把前面六個公式分類比較可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.並由學生歸納總結以上六個公式的推導過程，從而得出以下邏輯聯繫圖.可讓學生自己畫出這六個框圖.通過邏輯聯繫圖，深刻理解它們之間的內在聯繫，藉以理解並靈活運用這些公式.同時教師應提醒學生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，在化簡求值中就經常應用到，使解題過程大大簡化，也體現了數學的簡潔美.對於兩角和與差的正切公式，當tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在時，不能使用T （α±β）處理某些有關問題，但可改用誘導公式或其他方法，例如：化簡tan(2π-β)，因為tan 2π的值不存在，所以改用誘導公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--來處理等.（三）應用示例思路1例1 已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值. 活動：教師引導學生分析題目中角的關係，在面對問題時要注意認真分析條件，明確要求.再思考應該聯繫什麼公式，使用公式時要有什麼準備，準備工作怎麼進行等.例如本題中，要先求出cos α,tan α的值，才能利用公式得解，本題是直接應用公式解題，目的是為了讓學生初步熟悉公式的應用，教師可以完全讓學生自己獨立完成.解：由sin α=53-,α是第四象限角，得cos α=54)53(1sin 122=--=-a . ∴tan α=a a cos sin =43-. 於是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ tan(α-4π)=4tan tan 14tan tan ππa a +-=a a tan 11tan +-=7)43(1143-=-+--. 點評：本例是運用和差角公式的基礎題，安排這個例題的目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養他們良好的思維習慣.變式訓練1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯,tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.設α∈(0,2π),若sin α=53,則2sin(α+4π)等於( ) A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例 2 已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=43-,β∈(π,23π).求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活動：教師可先讓學生自己探究解決，對探究困難的學生教師給以適當的點撥，指導學生認真分析題目中已知條件和所求值的內在聯繫.根據公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)應先求出cosα、sin β、tan α、tan β的值，然後利用公式求值，但要注意解題中三角函數值的符號.解：由sin α=32,α∈(2π,π),得 cos α=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tan α=552-. 又由cos β=31-,β∈(π,23π). sin β=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tan β=37.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-. 點評：本題仍是直接利用公式計算求值的基礎題，其目的還是讓學生熟練掌握公式的應用，訓練學生的運算能力.引導學生看章頭圖，利用本節所學公式解答課本章頭題，加強學生的應用意識.解：設電視發射塔高CD=x 米，∠CAB=α，則sin α=6730， 在Rt △ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tan α. 於是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sin α=6730,α∈(0,2π),∴cos α≈6760,tan α≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答：這座電視發射塔的高度約為150米.例3 在△ABC 中，sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°)，求sinC 與cosC 的值. 活動：本題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這裏用到的僅是與三角函數誘導公式與和差公式有關的問題，難度不大，但應是學生必須熟練掌握的.同時也能加強學生的應用意識，提高學生分析問題和解決問題的能力.教師可讓學生自己閱讀、探究、討論解決，對有困難的學生教師引導學生分析題意和找清三角形各角之間的內在聯繫，從而找出解決問題的路子.教師要提醒學生注意角的範圍這一暗含條件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin ［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 點評：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養了學生的應用意識，也使學生更加認識了公式的作用,解決三角形問題時,要注意三角形內角和等於180°這一暗含條件.變式訓練在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB ≥1,則△ABC 是( )A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活動：本題是一個典型的變角問題，也是一道經典例題，對訓練學生的運算能力以及邏輯思維能力很有價值.儘管學生思考時有點難度，但教師仍可放手讓學生探究討論，教師不可直接給出解答.對於探究不出的學生，教師可恰當點撥引導，指導學生解決問題的關鍵是尋找所求角與已知角的內在聯繫，引導學生理清所求的角與已知角的關係，觀察選擇應該選用哪個公式進行求解，同時也要特別提醒學生注意：在求有關角的三角函數值時，要特別注意確定准角的範圍，準確判斷好三角函數符號，這是解決這類問題的關鍵.學生完全理清思路後，教師應指導學生的規範書寫，並熟練掌握它.對於程度比較好的學生可讓其擴展本題，或變化條件，或變換所求的結論等.如教師可變換α,β角的範圍，進行一題多變訓練，提高學生靈活應用公式的能力，因此教師要充分利用好這個例題的訓練價值.解：∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本題是典型的變角問題,即把所求角利用已知角來表示,實際上就是化歸思想.這需要巧妙地引導,充分讓學生自己動手進行角的變換,培養學生靈活運用公式的能力.變式訓練已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =54×(135-)+(53-)×1312=6556-.例2 化簡.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(aa a a θθθβθβββ-+-+- 活動：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函數的形式，教師可以先讓學生自己獨立地探究，然後進行講評.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+- =asin sin sin 0βθ =0.點評：本題是一個很好的運用公式進行化簡的例子，通過學生獨立解答，培養學生熟練運用公式的運算能力.變式訓練 化簡)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解：原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+-（四）作業已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556.（五）課堂小結1.先由學生回顧本節課都學到了哪些數學知識和數學方法，有哪些收穫與提高，在公式推導中你悟出了什麼樣的數學思想？對於這六個公式應如何對比記憶？其中正切公式的應用有什麼條件限制？怎樣用公式進行簡單三角函數式的化簡、求值與恒等式證明.2.教師畫龍點睛：我們本節課要理解並掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導，明白從已知推得未知，理解數學中重要的數學思想——轉化思想,並要正確熟練地運用公式解題.在解題時要注意分析三角函數名稱、角的關係，一個題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問題的途徑，以達到優化解題過程，規範解題步驟，領悟變換思路，強化數學思想方法之目的.。
3．1.2两角和与差的正弦(1)如何利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式？(2)两角和与差的正弦公式是什么？[新知初探]两角和与差的正弦公式[点睛] 两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．() (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．() 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°的值等于( ) A.12 B ．－12C ．0D ．1 答案：D3．已知sin α＝－35，α是第四象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 答案：7210[典例] 求值：(1)sin(－15°)； (2)(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.[解] (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°) ＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45° ＝12×22－32×22 ＝2－64. (2)法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50° ＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3cos 10°sin 50° ＝sin 10°－3cos 10°cos 10°·cos 10°sin 50°＝2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°sin 50°＝2sin (10°－60°)sin 50°＝－2.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．[活学活用]求值：(1)sin 105°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.解：(1)sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60° sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. (2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.[典例] (1)已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)求值：3sinπ12＋cos π12； (3)已知π4＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．[解] (1)[直接法]因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝35，cos β＝－513，所以cos α＝45，sin β＝1213，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－513＋45×1213＝3365， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－513－45×1213＝－6365. (2)[常值代换法] 原式＝2⎝⎛⎭⎫32sin π12＋12cos π12＝2⎝⎛⎭⎫sin π12cos π6＋cos π12sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝2sin π4＝ 2. (3)[角的代换法]∵π4＜β＜α＜3π4，∴π2＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π2. 又∵cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－5665.给值求值的方法(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝tan 45°，1＝sin 90°等.1，3，33，12，22等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β， α＋β＝(2α＋β)－α， 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等． [活学活用]在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝( )A ．－55 B.55C ．－255D.255解析：选D ∵A ＝π4，∴cos A ＝sin A ＝22，又cos B ＝1010，0＜B ＜π，∴sin B ＝31010， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×1010＋22×31010＝255. 辅助角公式的应用[典例] 求y ＝3sin x －cos x 的最小正周期、最值及单调递增区间． [解] y ＝2⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π6－cos x sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. ∴此函数的最小正周期为2π，y max ＝2，y min ＝－2. 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z.∴y ＝3sin x －cos x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z)．辅助角公式及其运用(1)公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．(2)化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．[活学活用]求函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值和最小值． 解：f (x )＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3＝32sin x －32cos x＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f (x )的最大值为3，此时x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)；f (x )的最小值为－3，此时x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．层级一 学业水平达标1．sin 20°cos 10°－cos 160° sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.2.sin (α＋30°)－sin (α－30°)cos α的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 原式＝sin α cos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210解析：选A 因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝⎝⎛⎭⎫－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α的值为( ) A ．－14B.12 C ．2D ．－1解析：选B cos α＋3sin α＝2⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2×14＝12. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为( ) A. 2 B ．－2 C ．－ 2D. 3解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝2sin 2x ，所以所求函数的最小值为－ 2.6．计算sin π12－3cos π12的值为________．解析：sinπ12－3cos π12＝2⎝⎛⎭⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝⎛⎭⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2. 答案：－ 27．已知π4<β<π2，sin β＝223，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝________. 解析：∵π4<β<π2，sin β＝223，∴cos β＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝sin β·cos π3＋cos β·sin π3＝223×12＋13×32＝23＋36＝22＋36. 答案：22＋368．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 解析：因为f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， 所以f (x )的最大值为1. 答案：19．已知cos α＝45(α为第一象限角)，求cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎫π3－α的值． 解：∵cos α＝45，且α为第一象限角，∴sin α＝1－cos 2 α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos π6cos α－sin π6sin α ＝32×45－12×35＝43－310. 同理可求sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝43－310. 10．化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3·cos x －3sin2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.层级二 应试能力达标1．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝( ) A ．±1 B ．1 C ．－1D ．0解析：选D 原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝－32cos(θ＋15°)＋12sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D. 2．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－(B ＋C )． 由已知可得 sin(B ＋C )＝2sin C cos B ⇒sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B ⇒sin B cos C －cos B sin C ＝0⇒sin(B －C )＝0. ∵0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π. ∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．3．函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x 图象的一条对称轴为( ) A ．直线x ＝π2B ．直线x ＝πC ．直线x ＝π6D ．直线x ＝π3解析：选D f (x )＝sin x ＋sin2π3·cos x －cos 2π3·sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其图象的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3.4．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( ) A.π6 B.5π6 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A 由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.所以sin(A ＋B )＝12. 所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6. 又1－3cos A ＝4sin B >0，所以cos A <13. 又13<12，所以A >π3，所以C <2π3， 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6. 5．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝________. 解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35， 即sin β＝－35，又β是第三象限角，∴cos β＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－22＝7210. 答案：72106．已知cos θ＝13⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值为________；sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． 解析：因为cos θ＝13⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2， 所以sin θ＝1－cos 2θ＝223， 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝sin θcos π4＋cos θsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫223＋13＝4＋26； sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝223×32－13×12＝26－16. 答案：4＋26 26－167．已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 解：∵α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22. 又∵α，β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.故α－β＝－π4.8．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4＜α＜3π4， ∴π2＜π4＋α＜π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45. ∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤45×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝6365.。
