下载文档原格式
2.4.1圆的标准方程（基础知识+基本题型）知识点一 确定圆的几何要素确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.从集合的角度理解圆（1）圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.（2）确定一个圆的条件在平面直角坐标系中，圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆上的点M 的集合就是集合{|||}P M MA r ==.知识点二 圆的标准方程1．圆的标准方程的推导如图所示，设圆上任意一点(,)M x y ，圆心A 的坐标为(,)a b ，由||MA r =r =，等式两边平方得222()()x a y b r -+-=.①若点(,)M x y 在圆上，易知点M 的坐标满足方程①；反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程①，则点M 在圆上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆的标准方程.确定圆的标准方程的条件（1）圆的标准方程中有三个参数a ，b ，r ，其中实数对(,)a b 是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数r 表示圆的半径，能确定圆的大小.（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.2．几种常见的特殊位置的圆的方程1．圆的标准方程的推导圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=，圆心为(,)A a b，半径长为r.设所给点为00(,)M x y，则点M与圆的位置关系及判断方法如下：（系来判断.（2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小.考点一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上；(3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C - ∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++= 又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r = ∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.例2 已知圆过两点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上，求此圆的标准方程.解：方法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.依题意，有222222(3)(1)(1)(3)320a b r a b r a b ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪--=⎩，即22222262102610320a b a b r a b a b r a b ⎧+--=-⎪++-=-⎨⎪--=⎩，解得22410a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法2：直线AB 的斜率311132k -==---， 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为3112x -==，1322y +==. 因此直线m 的方程为22(1)y x -=-即20x y -=.又因为圆心在直线320x y --=上，所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得20320x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩.设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4)，又因为半径长||r CA ==所以所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法3：设圆心为C .因为圆心C 在直线320x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(,32)a a -.又因为||||CA CB =2a =.所以圆心为(2,4)，半径长||r CA ==.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．考点二：点与圆的位置关系例3．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系．【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内【解析】 ∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10，分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得(6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上；(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ|＜r ；点P 在圆上⇔|PQ|=r ；点P 在圆外⇔|PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＜r 2．例4 已知点(1,2)A 在圆C ：222()()2x a y a a -++=的内部，求实数a 的取值范围. 解：因为点A 在圆的内部，所以222(1)(2)2a a a -++<.所以250a +<，52a <-.所以a 的取值范围是5|2a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. 总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可.例5 已知两点1(3,8)P 和2(5,4)P ，求以线段12P P 为直径的圆的标准方程，并判断点(5,3)M ，(3,4)N ，(3,5)P 是在圆上、在圆内、还是在圆外.解：设圆心(,)C a b ，半径长为r .因为点C 为线段12P P 的中点，所以3542a +==，8462b +==，即圆心坐标为(4,6)C .又由两点间的距离公式，得1||r CP =所求圆的标准方程为22(4)(6)5x y -+-=.分别计算点M ，N ，P 到圆心C 的距离：||CM =>||CN =，||CP =所以点点M 在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.。
圆的基本知识点总结和公式圆是平面几何中最基本的几何图形之一。
它是由一个平面上距离固定点相等的点构成的集合。
本文将概述圆的基本定义、性质和公式，以及它在现实生活中的应用。
一、基本定义圆被定义为距离中心点固定距离的所有点的集合。
距离被称为半径（r），中心点被称为圆心（O）。
用符号表示圆。
二、圆的性质1.直径直径（d）是连接圆上两个相对点的线段，通过圆心。
它是半径的两倍，即d=2r。
2.周长周长（C）是圆上所有点到圆心的距离之和。
圆的周长公式是C=2πr，其中π（pi）表示一个圆的周长和直径之比，大约为3.14。
3.面积圆的面积（A）是圆内部的所有点的面积的总和，公式是A=πr²。
4.弧弧是圆上两个点之间的一段曲线。
圆的周长可以看作是一个完整的弧的长度。
5.扇形扇形是由圆心和两个相邻半径之间的弧形区域组成的图形。
圆的面积可以分解为若干个扇形的面积之和。
6.切线切线是从圆外一点画出的一条直线，它与圆相切于圆上一个点处。
切线与半径的长度相等。
7.圆弦圆弦是连接圆上两个点的线段。
如果一条弦穿过圆心，则被称为直径。
三、现实应用在现实生活中，圆形图案经常出现。
圆形的形状使得它非常适合用于实现运动和旋转。
以下是一些示例。
1. 轮胎轮胎是由圆形轮辋和圆形轮胎组成的。
轮胎的圆形轮廓使它可以在任何方向上旋转。
2. 模拟器游戏、飞行和汽车模拟器通常都有一个圆形的控制器。
圆形的形状使其易于操纵，可以随意改变方向。
3. 平盘秤平盘秤是一种由两个圆形盘组成的手持秤，遵循平衡原则。
当需要测量重量时，将物品放在一个盘子上，然后向另一个盘子上添加重量，直到两个盘子保持平衡。
4. 平面旋转圆形的形状也使得它非常适合在一个平面上做旋转运动。
这个概念被广泛应用于机械和电子工程，如发动机和电机。
四、结论在我们的日常生活中，圆形图案似乎无处不在。
可以想象一下，如果没有圆形，我们的许多设备和工具将无法如此有效地运作。
与其他几何形状相比，圆形的形状会导致许多有趣的性质和应用。
苏科版九年级上册圆知识点精讲圆是几何学中最基础的概念之一，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也随处可见。
今天我们就来精讲苏科版九年级上册关于圆的知识点，深入了解圆的性质和相关定理。
1. 圆的定义圆是由在同一平面内离该平面一定距离的所有点组成的集合。
其中，距离被定义为圆心到圆上任意点的距离，称为半径。
2. 圆的性质(1) 圆心：圆心是圆上任意两点间的线段的中点，用字母O表示。
(2) 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示。
(3) 直径：直径是通过圆心且在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。
(4) 弦：弦是圆上两点之间的线段。
(5) 弧：弧是圆上的一段弯曲部分。
(6) 弧长：弧长是弧的长度，在计算时用字母L表示。
(7) 圆周：围绕圆形的线段，它的长度用字母C表示。
3. 圆的相关定理(1) 圆的半径相等性质：在同一圆中，任意两条半径相等。
(2) 弧对应角相等定理：在同一圆中，对应于同一弧的两个交角相等。
(3) 弧的度数：一个弧所对应的圆心角的度数等于这个扇形所占的整个圆所对应的度数。
(4) 弧长公式：弧长L等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长C。
(5) 弦切定理：如果一条切线与一条弦相交，那么它的切点到圆心的线段是弦的中垂线。
(6) 切线与半径的垂直性：当半径和切线相交时，相交点处的半径垂直于切线。
通过对这些圆的性质和相关定理的理解，我们可以在解决几何问题时灵活运用，进一步推导和分析。
同时，这也为我们理解更高级的几何知识打下了基础。
4. 应用示例(1) 例题一：已知圆的半径是3cm，求圆的面积。
解答：圆的面积公式为A = πr²，其中r是半径。
代入已知条件，即可求得圆的面积为A = 3.14×(3)² = 28.26cm²。
(2) 例题二：已知圆的周长是10π，求圆的半径。
解答：圆的周长公式为C = 2πr，其中r是半径。
圆形认识圆的基本知识圆是几何中常见的一种形状，它具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用等方面。
一、圆的定义圆是平面上所有到一个点的距离都相等的点的集合。
这个点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
用数学符号表示，圆心为O，半径为r，圆可以记作C(O, r)。
二、圆的性质1. 圆的直径：圆中任意两点之间经过圆心的线段称为直径，它的长度等于圆的半径的两倍。
2. 圆的弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
3. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角，它的度数等于所对弧的度数。
4. 弧长：圆上的一段弧所对的圆心角的度数等于这段弧的长度与圆的半径的比值。
5. 弧度制：弧度制是一种角度的单位，用弧长与半径的比值来表示角度。
6. 弦切角性质：圆上的弦所对的弧所对的切角相等。
7. 切线性质：切线与半径所在直线垂直。
三、圆的公式1. 圆的面积公式：圆的面积等于π（圆周率）乘以半径的平方，即S = πr²。
2. 圆的周长公式：圆的周长等于2π乘以半径，即C = 2πr。
四、圆的应用1. 圆是很多几何图形的基础，许多几何问题都可以通过圆来解决。
2. 圆的性质在日常生活中得到广泛应用，例如建筑、交通、制造等领域。
3. 圆的公式在计算和科学研究中具有重要作用，例如在计算机图形学、物理学等领域中都需要用到圆的相关公式。
总结：本文介绍了圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用等方面。
圆作为几何中常见的一种形状，具有独特的性质和特点，应用广泛，对于我们的生活和学习都有一定的影响。
通过学习和认识圆，我们能够更好地理解几何学的知识，提高数学素养，并应用到实际问题中。
圆的基本性质【基础知识】知识点1：圆的对称性 （1）圆的旋转不变性圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转__________后，仍与原来的圆重合；由于圆绕圆心旋转180°后与自身重合，圆是中心对称图形，对称中心是________； （2）圆的轴对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是________________________________________________； 知识点2：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 逆定理及其运用知识点3：圆心角、弧、弦之间的关系（1）在______________中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；（2）在______________中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；【经典例题】【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴；（2）平分弦的直径垂直于弦； 【例2】若O 的半径为5，弦AB 长为8，求拱高；【例3】如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知6AE cm =，2EB cm =，30CEA ∠=︒，求CD 的长；【例4】如图，在O 中，弦8AB cm =，OC AB ⊥于C ，3OC cm =，求O 的半径长。
【例5】如图1，AB是O的直径，CD是弦，AE CD⊥，垂足为E，BF CD⊥，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由；如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC CD⊥，FD CD⊥，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？【巩固练习】1、判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧（）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧（）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）2、已知：如图，O中,弦AB∥CD,AB CD<，直径MN AB⊥，垂足为E，交弦CD于点F；图中相等的线段有；图中相等的劣弧有；3、已知：如图，O中，AB为弦，C为AB的中点，OC交AB于D，6AB cm=，1CD cm=，求O的半径OA。
学员姓名：_______ 年级：__________ 所授科目：___数学__________一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O⊙”，读作“圆O”．3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．板块二：圆的对称性与垂径定理一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判断：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。
第8讲圆及其基本性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习圆及其基本性质，重点掌握圆的有关概念，能够对相关概念进行辨析，其次理解与圆有关的性质、定理及其推论，着重学习圆心角与弧、弦的关系以及圆周角定理，能够利用相关定理及推论进行解题，本章是中考重点内容之一，也是历年常考难点知识点之一，希望同学们认真学习，为后面的学习奠定良好的基础。
知识梳理讲解用时：25分钟圆的相关概念（1）圆的定义①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O点为圆心的圆，记作“①O”，读作“圆O”；①圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）半径：联结圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径；（3）直径：经过圆心，并与圆两端相交的线段叫做圆的直径；（4）圆心角：以圆心为顶点并且两边都和圆相交的角叫做圆心角；（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；（6）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；（7）半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（8）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；课堂精讲精练【例题1】下列说法错误的是（）。
A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧【答案】B【解析】本题考查了与圆有关的概念，A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断。
专题一：平面几何中的圆【知识内容】一、几个重要定义外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心；外接圆圆心。
内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心；内切圆圆心。
垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心。
重心：三角形三条中线恰好交于一点，此点称为重心。
旁心：三角形一条内角平分线，与另外两角同侧的外角平分线交于一点，即傍心。
注意：①三角形的外心到三个顶点的距离相等，与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理，如图1，∠BOC=2∠BAC ；②设I 为∆ABC 的内心，如图1，射线AI 交∆ABC 外接圆于A ’，则A ’I=A ’B=A ’C ； ③重心把每条中线都分成定比2:1，且S △GBC =S △GAB =S △GAC ；G 为∆ABC 的重心⇔ 0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r ；设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3)，则G(123123,33x x x y y y ++++)；④垂心有丰富的四点共圆资源，如图2，D,H,E,C ；A,E,H,F ；B,D,H,F 以及B,D,E,A ；B,F,E,C ；A,F,D,C 都四点共圆，且前三组圆共点于H ；高线AD 平分∠FDE ；⑤三角形的旁心常常与内心及三角形的半周长联系在一起，注意切线的性质；⑥Euler 定理：设∆ABC 的外心、重心、垂心分别为O,G , H ，则O,G , H 三点共线，且1OG GH =，我们称O,G , H 的连线为欧拉线。
图1图2二、圆内重要定理： 1．四点共圆定义：若四边形ABCD 的四点同时共于一圆上，则称A ，B ，C ，D 四点共圆； 基本性质：若凸四边形ABCD 是圆内接四边形，则其内对角互补； 判定方法：1°定义法：若存在一点O 使OA=OB=OC=OD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆； 2°定理1：若凸四边形ABCD 的对角互补，则此凸四边形ABCD 有一外接圆；3°视角定理：若四边形ABCD 中，∠ADB=∠ACB ，则A, B, C, D 四点共圆。
2．圆幂定理：相交弦定理：P 是圆内任一点，过P 作圆的两弦AB ，CD ，则PA·PB=PC·PD ；（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过P 任作圆的两割（切）线PAB ，PCD ，则PA·PB=PC·PD ；如右图，PC·PD=PE 2=PO 2-OE 2； 圆幂定理：P 是圆O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P 任作一直线交圆O 于A ，B 两点（A ，B 两点可以重合，也可以之一和P 重合），圆O 半径为r ，则我们有：PA·PB=|PO 2-r 2|．练习1：垂心，ΔABC 中，三条高线交于一点。
证明：如图，在∆ABC 中，BE, CF 为AC, AB 边上的高9018018018090BE BEC BFC B F BHD AHF BHF AEF EHC B A C H D E C HDC ⊥∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠∠=︒设与CF交于H，连AH延长交BC于D,即证AD BC 因为，因此，，E，C四点共圆同理A，F，H，E四点共圆所以因此，，，四点共圆由此3．根轴：幂：从一点A 作一圆周上的任一割线，从A 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这圆周的幂。
根轴：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴．平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线．性质1：若两圆相交，其根轴就是公共弦所在直线；性质2：若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的内公切线（即性质1的极限情况）； 性质3：蒙日定理（根心定理）：平面上任意圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心．若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行．证明：若三圆心共线，则两两圆的根轴均垂直于连心线，此时两两的根轴互相平行；若三圆心不共线，则必成一三角形，因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。
如图，设CD 与EF 交于点O ，连AO 交圆O 2圆O 3于B’,B’’，则OA·OB ’=OE·OF=OC·OD=OA·OB ’’，其中前两式是点O 对圆O 2的幂，后二式是点O 对圆O 3的幂，中间是圆O 对圆O 1的幂进行转化，由此B’与B’’重合，事实上它们就是点B （圆O 2与圆O 3的非A 的交点），由此两两的根轴共点。
□（注意：三线共点的一个典型例子）4．圆幂定理的逆（圆内接四边形判定方法）相交弦定理逆定理：如果四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且满足PA·PC=PB·PD，则四边形ABCD为圆内接四边形；切割线定理逆定理：如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P，且满足PA·PC=PB·PD，则四边形ABCD为圆内接四边形。
5．Miquel定理先看一个事实：如图，ΔABC中，AD，BE，CF分别是三边上的高，则分别以AEF，BDF，CDE作圆，这三个圆共于一点，通过观察，发现这个点就是垂心，即AD, BE, CF 的交点．Miquel定理：ΔABC中，X，Y，Z分别是直线AB，BC，AC上的点，则⊙AXZ, ⊙BXY, ⊙CYZ三圆共于一点O．这样的点O称为X，Y，Z对于ΔABC的Miquel点．证明：如右图，设⊙AXZ与⊙BXY交于点O，连OX,OY, OZ，只需证O, Z, Y, C四点共圆。
因为A, X, O, Z与B, X, Y, O为两组四点圆，则∠AZO=∠BXO=180°-∠BYO=∠OYC，即∠AZO=∠OYC，所以O, Z, Y, C四点共圆。
□上述证明方法，即证圆共点的一般方法。
6．费马点，即ΔABC内一点，使其到三顶点距离之和最小的点．当ΔABC任一内角都<120°时，费马点存在于三角形内部，与三个顶点的张角均为120°；当ΔABC有一内角>=120°时费马点与此角顶点重合．引理：等边三角形外接圆上的任一点，到最远顶点处的距离等于到另外两个顶点的距离之和．如图，等边∆ABC，求证：PB=PB+PC．略证：∆ABC内一点P，PA+PB+PC=PA+PD≥AD，当且仅当点P处于线段AD与劣弧BC的交点时，等号成立，此时∠BFC=120°，同理可证∠AFB=∠AFC=120°．此时点P正好位于费马点．注意：严格证明需利用Ptolemy不等式．PCBA FPDACB4312ED CBA7．Simson 定理Simson 定理：P 是ΔABC 外接圆上一点，过点P 作PD 垂直BC ，PE 垂直于AB ，PF 垂直于AC ，则D ，E ，F 是共线的三点。
直线DEF 称为点P 关于ΔABC 的Simson 线。
证明：如图，连PB, PC, ED, EF ．要证明D, E, F 三点共线，只需证明∠BED=∠CEF ．∵B, D, P, E 及C, F, E, P 四点共圆， ∴∠BPD=∠BED ，∠FPC=∠FEC又∵A, B, P, C 四点共圆，∠DBP=∠FPC ∴∠FPC=∠DPB ，故∠BED=∠CEF ． 由对顶角性质知D, E, F 三点共线．Simson 定理逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上，即该点与三角形三顶点共圆．完全四边形的Miquel 定理：四条直线(FAC, BDC, AEB, DEF)两两交于A, B, C, D, E, F 六点，则⊙ABC, ⊙BDE, ⊙CDF, ⊙AEF 四圆共点，其中所共的点叫做完全四边形的Miquel 点．（如右图）注：Simson 定理与四边形的Miquel 定理等价。
Carnot 定理：通过ΔABC 外接圆上的一点P ，引与三边BC, CA, AB 分别成同向等角（即∠PDB=∠PEC=∠PFB ）的直线PD ，PE ，PF 与三边或其所在直线的交点分别为D, E, F ，则D, E, F 三点共线．证明：180180180PDB PEC PFBP B D F P E A F P D C E DFE DFP DFE PBD DAE PBD PBC DEF ∠=∠=∠∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒因为因此，，，；，，，；，，，共三组四点共圆因此因此是共线的三点8．Ptolemy 定理Ptolemy 定理：若四边形ABCD 是圆内接四边形， 则AB·CD+AD·BC=AC·BD ．证明：在BD 上取一点E ，使∠1＝∠2，在∆ABE 和∆ACD 中，∵∠3＝∠4，∠1＝∠2， ∴∆ABE ∽∆ACD ，∴AB·CD= AC·BE ……① 在∆ADE 和∆ACB 中，∵∠DAE ＝∠CAB ，∠ADB ＝∠ACB ， ∴∆ADE ∽∆ACB ，∴AD·BC= AC·DE ……② 由①＋②得，AB·CD+AD·BC= AC·(BE+DE)= AC·BD ．FE DPCBAPtolemy 定理推广：凸四边形ABCD 中，AD·BC+AB·CD ≥AC·BD ，当且仅当A, B, C, D 四点共圆时，等号成立．例子：利用Ptolemy 定理，求锐角三角形费马点到三顶点距离之和的值。
如图，设AB=c, AC=b, BC=a 由∠AFC=120°,∠AB ’C=60°，有A, F, B’,C 四点共圆。
2222222''''''''2(60)2[cos60cos sin 60sin ][cos 3sin ]2,sin AFCB Ptolemy FA B C FC AB AC FB ACB FA FC FB AA CC BCB BB a b abcos C a b ab C C a b ab C C S AB ABC C •+•=•+====+-+=+--=+--=e 对‘运用定理有因为Δ是等边Δ，因此所以FA+FB+FC=BB'同理FA+FB+FC 今考察Δ‘，由余弦定理Δ而Δ中22222222222222222222,cos 223[]2()232322232()()(),2ABC ABC ABC Ca b c C abab a b c S ABC BB a b ab aba b c a b c a b S S a b c FA FB FC S a b cp p a p b p c p +-=+-=+--+-++=+-+=+++++=+++---=ΔΔΔΔABC 代入上式有Δ’因此其中Ｓ＝Chapple 定理：设R 是ΔAB C 的外接圆半径，r 是内切圆半径，d 是这两圆的圆心距，则d 2=R 2-2Rr ．事实上，Chapple 定理对旁心也有相应的公式，不过是等号右边的符号-变+。
