高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 文

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是 ．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析 当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3，3]解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是 ．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。

2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教师用书文北师大版1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．2．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q 綈p 綈q p或q p且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假【知识拓展】1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p、q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真；(2)p且q：p、q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p 且q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p 或q 是真命题．( √ ) (4)命题綈(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( × )1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p 且(綈q )B ．(綈p )且qC ．(綈p )且(綈q )D ．p 且q 答案 A解析 命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p 且(綈q )为真命题，故选A.2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p 且q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 綈p 为真知p 为假，可得p 且q 为假；反之，若p 且q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p 且q 为假”的充分不必要条件，故选A. 3．(教材改编)下列命题中， 为真命题的是( ) A ．任意x ∈R ，－x 2－1<0 B ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 C ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．存在x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A4．设命题p ：任意x ∈R ，x 2＋1>0，则綈p 为( ) A ．存在x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．存在x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．存在x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．任意x ∈R ，x 2＋1≤0 答案 B解析 全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“存在x 0∈R ，x 20＋1≤0”，故选B.5．(2015·某某)若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )且(綈q ) C ．(綈p )且q D ．p 且(綈q )(2)(2016·聊城模拟)若命题“p 或q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假 D ．p 假，q 假 答案 (1)D (2)B解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题， ∴p 且(綈q )是真命题．(2)∵綈p 为真命题，∴p 为假命题， 又p 或q 为真命题，∴q 为真命题．思维升华 “p 或q ”“p 且q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p 且q ”“p 或q ”“綈p ”等形式命题的真假．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p 且q ；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案 C解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知：①p且q为假命题；②p或q为真命题；③p且(綈q)为真命题；④(綈p)或q 为假命题，故选C.题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2016·某某模拟)命题p：存在x0∈N，x30<x20；命题q：任意a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图像过点(2,0)，则( )A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真(2)已知命题p：任意x∈R,2x<3x；命题q：存在x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(綈p)且qC．p且(綈q) D．(綈p)且(綈q)答案(1)A (2)B解析(1)∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在这个X围内没有自然数，命题p为假命题．∵f(x)的图像过点(2,0)，∴log a1＝0，对任意a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立．命题q为真命题．(2)容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图像，易知命题q为真命题．根据真值表易判断(綈p)且q为真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“存在x 0∈R ，使得x 20≥0”的否定为( ) A ．任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．任意x ∈R ，都有x 2≥0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≤0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0(2)(2015·某某)命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )＞n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )＞n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)＞n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)＞n 0 答案 (1)A (2)D解析 (1)将“存在”改为“任意”，对结论中的“≥”进行否定，可知A 正确． (2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.思维升华 (1)判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．(1)(2016·皖南八校联考)下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin2x2＋cos2x2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(2016·某某质检)已知命题p ：“存在x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．存在x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．存在x 0∈R ，0e x－x 0－1>0 C ．任意x ∈R ，e x －x －1>0 D ．任意x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 (1)C (2)C解析 (1)C 选项中，当x >0时，x 2＋1－x ＝(x －12)2＋34>0，即x 2＋1>x 恒成立，∴C 正确．(2)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“任意x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C.题型三 含参数命题中参数的取值X 围例4 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p 且q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________________．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是( )A ．[14，＋∞)B ．(－∞，14]C ．[12，＋∞) D．(－∞，－12]答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)A 解析 (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12. ∵p 且q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值X 围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.引申探究本例(2)中，若将“存在x 2∈[1,2]”改为“任意x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是________________． 答案 [12，＋∞)解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值X 围；(2)含量词的命题中参数的取值X 围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．(1)已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“存在x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值X围是( )A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4] D．(－∞，－1)(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值X围是________________．答案(1)C (2)(－∞，0)解析(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.(2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值X围是(－∞，0)．1．常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值X围、量词等问题，几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下．解决这类问题应熟练把握各类内在联系．一、命题的真假判断典例1 (1)已知命题p：存在x0∈R，x20＋1<2x0；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么( )A．綈p为假命题B．q为真命题C．p或q为假命题D．p且q为真命题(2)下列命题中错误的个数为( )①若p或q为真命题，则p且q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：存在x0∈R，x20＋x0－1<0，则綈p：任意x∈R，x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．A．1 B．2 C．3 D．4解析(1)由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x 2＋1≥2x ，所以p 为假命题； 对于命题q ，当m ＝0时，－1<0恒成立， 所以命题q 为假命题． 综上可知，綈p 为真命题，p 且q 为假命题，p 或q 为假命题，故选C.(2)对于①，若p 或q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p 且q 不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x 2－4x －5>0可得x >5或x <－1，所以“x >5”是“x 2－4x －5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据特称命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2，故选B.答案 (1)C (2)B 二、求参数的取值X 围 典例2 (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值X 围是( )A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，－1](2)(2016·某某一模)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈[12，3]，存在x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值X 围是( ) A ．a ≤1 B．a ≥1 C ．a ≤0 D．a ≥0 解析 (1)由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝2－xx ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >2，由p 是q 的充分不必要条件，知k >2，故选B. (2)∵x ∈[12，3]，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0，故选C.答案 (1)B (2)C三、利用逻辑推理解决实际问题典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过A城市，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一1．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A．p或q B．p且q C．q D．綈p答案 B解析命题p假，q真，故命题p且q为假命题．2．下列命题中，真命题是( )A．任意x∈R，x2>0B．任意x∈R，－1<sin x<12x<0C．存在x0∈R,0D．存在x0∈R，tan x0＝2答案 D解析任意x∈R，x2≥0，故A错；任意x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；由y＝2x的图像可知任意x∈R,2x>0，故C错，D正确．3．(2016·某某质检)已知命题p：存在x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)>0答案 B解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：任意x ∈R ，log 2(3x＋1)>0，故选B.4．(2016·某某某某收官考试)已知p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0，q ：存在x 0∈(0，＋∞)，sinx 0>1，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或(綈q )B ．(綈p )或qC ．p 且qD ．(綈p )且(綈q ) 答案 A解析 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0恒成立，所以命题p 是真命题；任意x ∈R ，sin x ≤1，所以命题q 是假命题，所以p 或(綈q )是真命题，故选A. 5．(2016·某某高安中学等九校联考)下列判断错误的是( ) A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少之一为假命题B ．命题“任意x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2－1>0” C ．“若a ∥c 且b ∥c ，则a ∥b ”是真命题 D ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的否命题是假命题 答案 C解析 选项A ，B 中的命题显然正确；选项D 中命题的否命题为：若am 2≥bm 2，则a ≥b ，显然当m ＝0时，命题是假命题，所以选项D 中命题正确；对于选项C 中的命题，当c ＝0时，命题是假命题，即选项C 中的判断错误，故选C.6．(2016·某某检测)已知命题p ：任意x ∈R ，x 3<x 4；命题q ：存在x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝－2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )且qC ．p 且(綈q )D ．(綈p )且(綈q ) 答案 B解析 若x 3<x 4，则x <0或x >1，∴命题p 为假命题； 若sin x －cos x ＝2sin(x －π4)＝－2， 则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4＋2k π(k ∈Z )，∴命题q 为真命题，∴(綈p )且q 为真命题．7．已知命题“存在x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1) 答案 B解析 依题意可知“任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3，故选B.8.(2016·某某师大附中月考)函数f (x )＝ln x －x a(a >0)，若存在x 0∈R ，使得任意x 1∈[1,2]都有f (x 1)<f (x 0)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，＋∞) D．(0,1)∪(2，＋∞)答案 D解析 由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1a(a >0)，当x ∈(0，a )时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；故f (x )max ＝f (a )，存在x 0∈R ，使得任意x 1∈[1,2]都有f (x 1)<f (x 0)，即f (a )>f (x 1)对任意x 1∈[1,2]恒成立，故a ∉[1,2]，所以实数a 的取值X 围是(0,1)∪(2，＋∞)，选D.9．以下四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x 10∈Q ，x 20＝2；③存在x 0∈R ，x 20＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4答案 A解析 ∵x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对任意x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．10．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为______________．答案 存在x 0∈A,2x 0∉B解析 命题p ：任意x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题， ∴綈p ：存在x 0∈A,2x 0∉B .11．(2016·某某区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“任意x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．答案 (12，1)∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“任意x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“存在x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1， ∴实数a 的取值X 围是(12，1)∪(1，＋∞)． 12．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )且p ”为真，则x 的取值X 围是________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值X 围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}．13．(2016·某某五校联考)已知命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p 且q 为假命题，则实数m 的取值X 围为______________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p 且q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.14．已知命题p ：“任意x ∈R ，存在m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值X 围是________.答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1. 15.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若存在x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值X 围为________________；(2)若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2, ＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值X 围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若存在x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值X 围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3]．。

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为_____________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．自查自纠1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假10假⑪假⑫真⑧真⑨真○(2015·全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为( )A ．∀n ∈N ，n 2＞2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解：∵特称命题的否定是全称命题，∴綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n.故选C .(2015·浙江)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0解：全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0”．故选D .(2014·重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解：显然p 真，由x ＞2⇒x ＞1，而x ＞1x ＞2，因此“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，q 假，綈q 真，p ∧(綈q )是真命题．故选D .(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解：根据题意，m ≥(tan x )max ，而y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，有(tan x )max ＝tan π4＝1，∴m ≥1，m 的最小值为1.故填1.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解：若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由p 真得a ≥e ；由q 真知Δ＝16－4a ≥0，得a ≤4.因此，e ≤a ≤4.故填[e ，4]．类型一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假． (1)矩形的对角线相等且垂直； (2)3≥3；(3)10是2或5的倍数； (4)10是2和5的倍数； (5)2是4和6的约数； (6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p ∧q ”形式的命题．其中p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线垂直．该命题为假命题． (2)是“p ∨q ”形式的命题．其中p ：3＞3，q ：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p ∨q ”形式的命题．其中p ：10是2的倍数，q ：10是5的倍数．该命题是真命题．(4)是“p ∧q ”形式的命题．其中p ：10是2的倍数，q ：10是5的倍数．该命题是真命题． (5)是“p ∧q ”形式的命题．其中p ：2是4的约数，q ：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p ∨q ”命题，也不是“p ∧q ”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．【点拨】正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分． 解：(1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p ∧q ：2是4的约数且2是6的约数，真命题；綈p ：2不是4的约数，假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p ：矩形的对角线不相等，假命题．类型二 含有逻辑联结词命题的综合问题(2015·金华联考)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解：p 为真命题，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，－m ＜0， 解得m >2.q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假． 当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， 得m ≥3；当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， 得1<m ≤2.综上，实数m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 故填(1，2]∪[3，＋∞)．【点拨】由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假判断出p 和q 一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m 的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c 的取值范围是________．解：∵函数y ＝c x在R 上单调递减， ∴0<c <1，即p ：0<c <1.∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12，即q ：0<c ≤12.∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 与q 一真一假．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|c >12，且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|0<c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|12<c <1. 故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|12<c<1.类型三 全称命题与特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)p 1：∀x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数；(2)p 2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)p 3：∃x ∈{x |x ∈Z }，log 2x ＞0；(4)p 4：∀x ∈R ，x 2－x ＋14＞0.解：(1)綈p 1：∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2不是无理数，是真命题． (2)綈p 2：所有的整数，都不能被2整除或不能被5整除，是假命题． (3)綈p 3：∀x ∈{x |x ∈Z }，log 2x ≤0，是假命题．(4)綈p 4：∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0，是真命题．【点拨】命题的否定，是对该命题的结论进行否定，根据判断对象是部分和全体，分为特称命题和全称命题．否定的原则是：否定全称是特称，否定特称是全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＝12x 0B ．∀x ∈R ，sin x ＜12xC ．∃x 0∈R ，sin x 0≥12x 0D ．∀x ∈R ，sin x ≥12x解：原命题为特称命题，其否定为全称命题，即綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥12x .故选D .1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断(1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．1．“a和b都不是偶数”的否定形式是( )A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数解：“a和b都不是偶数”的否定形式是“a和b至少有一个是偶数”．故选A.2．(2014·天津)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)·e x＞1，则綈p为( )e x≤1A．∃x0≤0，使得(x0＋1)0e x≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)0C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B.3．下列命题中的假命题．．．是( )A．∀x∈R，2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解：对于B 选项，x ＝1时，(x －1)2＝0 ，故选B .4．(2015·嘉兴模拟)已知命题p ：存在x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．q 是真命题C ．“p 或q ”为假命题D ．“p 且q ”为真命题解：易知命题p 为假命题，对于命题q ，当m ＝0时，mx 2－mx －1＜0成立；当m ≠0时，要使mx 2－mx －1＜0恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0， 解得－4＜m ＜0，∴－4＜m ≤0，命题q 为假命题．故选C . 5．已知命题p ：若a >1，则a x>log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下列选项中真命题是( )A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∨(綈q )C ．p ∨(綈q )D ．p ∧q解：当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x<log a x ，p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，q 是真命题． ∴綈p 是真命题，綈q 是假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．故选B . 6．下列命题中为真命题的是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝1.5 B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x＞1＋x解：A ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜1.5，故A 错；B ：x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π时，sin x ＞cos x ， x ＝π4时，sin x ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，故B 错；C ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34＞0，∴x 2＋x ＞－1，故C 错．故选D .7．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解：由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1.故填{a|a≤－2或a ＝1}．8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：由命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题得其否定“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是真命题，所以(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3.故填(－1，3)．9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假． (1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0，又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.∵x ∈R 时，x 2≥0，∴x 2＋1≥1＞0，故为真命题．10．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0， ∵a >0，∴a <x <3a .当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是{x |1<x <3}．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2， 得2<x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是{x |2<x ≤3}．若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3， 得2<x <3，∴实数x 的取值范围是(2，3)． (2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件．设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ≤3}， 则B A ，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＞3， 得1＜a ≤2.∴实数a 的取值范围是(1，2]．11．(2015·温州市高三检测)设命题p ：函数f (x )＝lg(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ；命题q ：对任意m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立．如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解：∵函数f (x )＝lg(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ， ∴x 2－4x ＋a 2＞0，Δ＝(－4)2－4a 2＜0， 解得a ＜－2或a ＞2.∵对任意m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立，∴a 2－5a －3≥(m 2＋8)max ＝3， 解得a ≤－1或a ≥6.∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－2或a ＞2，－1＜a ＜6， 得2＜a ＜6；若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，a ≤－1或a ≥6， 得－2≤a ≤－1.综上知，实数a 的取值范围是[－2，－1]∪(2，6)．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)∵对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1， 得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1， 得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若p 则q ”的逆命题是( ) A ．若q 则pB ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q解：根据原命题与逆命题的关系可得：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”，故选A . 2．已知全集U ，集合A ⊆B ⊆U ，则有( ) A ．A ∩B ＝B B ．A ∪B ＝AC ．(∁U A )∩(∁U B )＝∁U BD ．(∁U A )∪(∁U B )＝∁U B解：由A ⊆B ⊆U 知A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝∁U B ，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )＝∁U A .故选C .3．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的新命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解：∵空集是任何集合的子集，{1}⊆{1，2}，∴p 真q 假．∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”“綈p ”为假．故选B .4．(2015·南昌联考)已知函数y ＝x 2－x －2的定义域为A ，集合B ＝{x ||x －3|＜a ，a ＞0}，若A ∩B 中的最小元素为2，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，4]B ．(0，4)C ．(1，4]D ．(1，4)解：A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，B ＝{x ||x －3|＜a ，a ＞0}＝{x |3－a ＜x ＜3＋a ，a ＞0}，∵A ∩B 中的最小元素为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－1，3－a ＜2， 解得1＜a ≤4.故选C .5．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：a －b >1，即a >b ＋1.∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立．反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．∴“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．故选A .6．设集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{4，5，6，7，8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( ) A ．57B ．56C ．49D ．8解：集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.故选B .7．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，得圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即|a |2＝1，a ＝± 2.因此，p 是q 的充分不必要条件．故选A .8．在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p 是“甲试驾成功”，q 是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∨qD ．p ∨q解：∵綈p 是“甲没有试驾成功”，綈q 是“乙没有试驾成功”，∴(綈p )∨(綈q )表示“至少有一位学员没有试驾成功”．故选A .9．(2014·江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0” D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β解：对于选项A ，∵a 的符号不确定，∴由b 2－4ac ≤0推不出ax 2＋bx ＋c ≥0，A 错；对于选项B ，当b 2＝0时，由a ＞c 推不出ab 2＞cb 2，B 错；对于选项C ，命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2＜0”，C 错，易知D 正确．故选D .10．(2015·嘉兴模拟)对任意的实数x ，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则“|x －y |<1”是“[x ]＝[y ]”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当x ＝0.9，y ＝1时，满足|x －y |<1，但[x ]＝0，[y ]＝1，[x ]≠[y ]，∴|x －y |<1推不出[x ]＝[y ]．反之，若[x ]＝[y ]＝n ，则n ≤x <n ＋1，n ≤y <n ＋1，有－1<x －y <1，|x －y |<1，∴[x ]＝[y ]⇒|x －y |<1，综上知，“|x －y |<1”是“[x ]＝[y ]”的必要不充分条件．故选B .11．(2015·荆州模拟)给出下列四个命题：①∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝3；②∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；③∀x ∈R ，e x≥x ＋1；④∀(x ，y )∈{(x ，y )|4x ＋3y －10＝0}，有x 2＋y 2≥4，其中所有真命题是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 解：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，①错；作出函数y ＝2x，y ＝3x的图象，观察可知， 当x 0∈(－∞，0)时，2x 0＞3x 0，②错； 设f (x )＝e x－(x ＋1)，f ′(x )＝e x－1，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝0，∴e x ≥x ＋1，③正确；∵x 2＋y 2表示原点(0，0)到直线4x ＋3y －10＝0上的任一点的距离的平方，∴(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|4×0＋3×0－10|42＋322＝4.∴x 2＋y 2≥4，④正确． 综上知，故选D .12．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50解：对于集合E ，当满足0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4时，s 的值最大，此时分类讨论： 当s ＝4时，p ，q ，r 均可取0，1，2，3四个数中的任意一个，此时共有43个不同的值；当s ＝3时，p ，q ，r 均可取0，1，2三个数中的任意一个，此时共有33个不同的值；当s ＝2时，p ，q ，r 均可取0，1两个数中的任意一个，此时共有23个不同的值；当s ＝1时，p ，q ，r 只可取0，此时共有1个不同的值；于是，card(E )＝1＋23＋33＋43＝100.对于集合F ，由于0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4相互独立，于是仅看0≤t ＜u ≤4，当u ＝4时，t 可取0，1，2，3四个数；当u ＝3时，t 可取0，1，2三个数；当u ＝2时，t 可取0，1两个数；当u ＝1时，t 只取0一个数；这样(t ，u ，v ，w )中(t ，u )的不同情形有1＋2＋3＋4＝10种；同理(t ，u ，v ，w )中(v ，w )的不同情形也有10种，故集合F 中的不同元素个数也是100.故card(E )＋card(F )＝200.故选A .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是____________．解：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定．故填∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0＜0.14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为____________．解：设所求人数为x ，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x )＝x －5，∴15＋x －5＝30－8，得x ＝12(另外，画Venn 图易求解)．故填12.15．设U ＝{0，1，2，3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1，2}，则实数m ＝____________．解：∵U ＝{0，1，2，3}，∁U A ＝{1，2}，∴A ＝{0，3}，即方程x 2＋mx ＝0的两根为0和3，得m ＝－3.故填－3.16．已知p ：(x －m ＋1)(x －m －1)＜0；q ：12＜x ＜23，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是_______________．解：∵p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ＜23{x |m －1＜x ＜m ＋1}，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＜12，m ＋1＞23，解得－13＜m ＜32.当m ＝－13时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜x ＜23⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－43＜x ＜23，符合题意；当m ＝32时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜x ＜23⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜x ＜52，符合题意．综上，－13≤m ≤32.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，32.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀m ∈R ，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.解：(1)綈p ：∃m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根．若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则Δ＝1＋4m ＜0，解得m ＜－14， ∴当m ＝－1时，綈p 为真．(2)綈q ：∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＞0.∵x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0， ∴綈q 为真．18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1，3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3， 得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，解得m ＞5或m ＜－3.∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．19．(12分)已知x ，y ∈R ，求证：||x ＋y ＝||x ＋||y 成立的充要条件是xy ≥0.证明：先证充分性．若xy ≥0，则x ，y 至少有一个为0或同号．∴||x ＋y ＝||x ＋||y 一定成立．再证必要性．若||x ＋y ＝||x ＋||y ，则(x ＋y )2＝(||x ＋||y )2， x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋2||xy ＋y 2，xy ＝||xy ，∴xy ≥0.综上可知，命题成立．20．(12分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，有1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34. ∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 21．(12分)已知p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上是单调减函数；q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则0<2a －6<1，得3<a <72. 若q 真，设g (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3a ）2－4（2a 2＋1）≥0，x 1＋x 2＝3a ＞6，x 1x 2＝2a 2＋1＞9，g （3）＝32－9a ＋2a 2＋1＞0， 得a ＞52. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＜a ＜72，a ≤52， 得a ∈∅； 若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3或a ≥72，a ＞52， 得52＜a ≤3或a ≥72. 综上知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤52，3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 22．(12分)已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问同时满足B A ，A ∪C ＝A 的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b ；若不存在，请说明理由．解：易知A ＝{1，2}， B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，∵B A ，∴a －1＝1，得a ＝2.又∵A ∪C ＝A ，∴C ⊆A ，则C 中元素有以下三种情况：①若C ＝∅，则方程x 2－bx ＋2＝0无实根，∴Δ＝b 2－8<0，得－22<b <22；②若C ＝{1}或{2}，则方程x 2－bx ＋2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b 2－8＝0，得b ＝±22，此时C ＝{2}或{－2}，不符合题意，舍去；③若C ＝{1，2}，则b ＝3.综上所述，a＝2，b＝3或－22<b<2 2.第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象． (4)体会指数函数是一类重要的函数模型．3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象． (3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况． 5．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．。

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.简单的逻辑联结词1.含简单的逻辑联结词的命题真假的判断2.由含逻辑联结词的命题的真假求参数范围A 填空题★☆☆2.全称量词与存在量词1.全称命题和存在性命题真假的判断2.全称命题和存在性命题的否定A 填空题★☆☆分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(2014湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词1.(2015课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.答案∀n∈N,n2≤2n2.(2015山东,12,5分)若“∀x∈,t an x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案 13.(2013重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.答案存在x0∈R,使得<04.(2013四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p为.答案∃x∈A,2x∉B三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.①p且q;②p或q;③ p;④ p且 q.答案②2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是.答案p假q假3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或 q是真命题;②p且 q是真命题;③ p且 q是假命题;④ p或q是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词4.(2018江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是. 答案(2,+∞)5.(2017江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.答案∃x0∈R,+2x0+5≤06.(2017江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则 p: .答案∀x∈R,x2+ax+1≥0B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2017江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1]2.(2017江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.答案(2)(4)3.(2016江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)二、解答题(共15分)4.(2017江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,因为a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p或q”“ p”形式的命题中的真命题是.答案p或q,p且q2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题, p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题, p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题, p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题, p为假命题.方法2 全称(存在性)命题真假的判定3.下列命题中的真命题的个数是.①∃x∈R,使得sin x+cos x=;②∃x∈(-∞,0),2x<3x;③∀x∈(0,π),sin x>cos x.答案04.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ q”是假命题;③命题“ p∨q”是真命题;④命题“ p∧ q”是假命题.答案④方法3 全称(存在性)命题的否定5.(2018江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,s in x>0”的否定是.答案∃x∈,sin x≤06.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤37.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此, p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此, p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题8.(2018江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)∪(2,+∞)9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m 的取值范围.解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,∴m≥2,即p:m≥2;若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为p或q为真,p且q为假,所以p、q一真一假,当p真q假时,解得m≥3.当p假q真时,解得1<m<2.综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。

1-3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规X练(授课提示：对应学生用书第215页)A组基础对点练1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( A )A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－12．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( C )A．∀x∈R，|x|＋x2＜0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥03．(2018·某某一模)若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则( D )A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q都是假命题C．命题p是真命题，命题q是假命题D．命题p是假命题，命题q是真命题4．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则¬p为( B )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤15．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为( B )A．∃x0∈R，x20＋1＞0B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0D．∀x∈R，x2＋1≤06．(2018·某某一模)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，2x＞1；命题q：∃x0∈R，sin x0＝cos x0，则下列命题中的真命题为( A )A ．p ∧qB ．¬pC ．¬p ∧qD ．¬p ∨¬q解析：∀x ∈(0，＋∞)，2x＞1成立，即命题p 是真命题，当x 0＝π4时，满足sin x 0＝cos x 0，即命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＝cos x 0，为真命题． 则p ∧q 是真命题，其余为假命题．7．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( D ) A ．¬p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．¬p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．¬p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．¬p ：∃x ∈A,2x ∉B8．(2018·綦江区模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＜0；命题q ：函数f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 有一个零点，则下列命题为真命题的是( B ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．¬qD ．p ∧(¬q )解析：∵命题p ：∃x ∈R ，x 2＜0是假命题，命题q ：函数f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有一个零点是真命题，∴p ∨q 是真命题．9．已知命题p ：∀x ∈R,2x＜3x；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( B ) A ．p ∧q B ．¬p ∧q C ．p ∧¬qD ．¬p ∧¬q10．已知命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1＞0，则¬p 是( B ) A ．∀x ∈R ，e x－x －1＜0 B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0 C ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1＜0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≤011．(2018·某某二模)下列有关命题的说法错误的是( C ) A ．若“p ∨q ”为假命题，则p 与q 均为假命题 B ．“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件C ．“sin x ＝12”的一个必要不充分条件是“x ＝π6”D ．若命题p ：∃x 0∈R ，e x 0 ≥1，则命题¬p ：∀x ∈R ，e x＜1 解析：A.若“p ∨q ”为假命题，则p 与q 均为假命题，故A 正确， B ．“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件，故B 正确，C ．当x ＝π6时，满足sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6不一定成立，即“sin x ＝12”的一个必要不充分条件是“x ＝π6”错误，D ．若命题p ：∃x 0∈R ，e x 0≥1，则命题¬p ：∀x ∈R ，e x＜1，正确．12．已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0.则下面结论正确的是( A ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∧q 是假命题 C ．¬p 是真命题 D ．p 是假命题13．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④(¬p )∨q 中，真命题是( C )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④14．(2018·某某模拟)给出两个命题：p ：“事件A 与事件B 对立”的充要条件是“事件A 与事件B 互斥”；q ：偶函数的图象一定关于y 轴对称，则下列命题是假命题的是( B ) A ．p 或q B ．p 且q C ．¬p 或qD ．¬p 且q解析：事件A 与事件B 对立则事件A 与事件B 互斥成立，反之不一定成立，即命题p 是假命题．偶函数的图象一定关于y 轴对称，则命题q 是真命题，则p 且q 是假命题，其余为真命题． 15．(2018·某某二模)命题p ：若向量a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos α·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( D )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q解析：命题p ：若向量a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此为假命题．命题q ：若cos α·cos β＝1，则cos α＝cos β＝±1，因此sin α＝sin β＝0，则sin(α＋β)＝0.因此为真命题．B 组 能力提升练1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( A ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )2．(2018·某某三模)已知命题p ：在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；命题q ：∀x ∈(0，π)，sin x ＋1sin x >2.则下列命题为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．p ∨(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨q解析：命题p ：在△ABC 中，因为A ＋B ＜π，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ，故为真命题； 命题q ：∀x ∈(0，π)，当x ＝π2时，等号成立，故sin x ＋1sin x >2为假命题．3．(2016·中原名校四月联考)已知条件p ：a ＜0，条件q ：a 2＞a ，则¬p 是¬q 的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列说法中正确的是( D )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＞0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x －1＜0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”5．(2018·某某二模)下列说法错误的是( D )A ．“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”的逆否命题是“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2” B ．“x ＞3”是“x 2－5x ＋6＞0”的充分不必要条件C ．“∀x ∈R ，x 2－5x ＋6≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－5x 0＋6＝0” D ．命题：“在锐角△ABC 中，sin A ＜cos B ”为真命题解析：对于A ，根据逆否命题的定义知，逆否命题是“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”，∴A 正确；对于B ，“x 2－5x ＋6＞0”的充要条件是“x ＜2或x ＞3”，∴“x ＞3”是“x 2－5x ＋6＞0”的充分不必要条件，∴B 正确；对于C ，根据特称命题的否定定义知，命题的否定是“∃x 0∈R ，x 20－5x 0＋6＝0”，∴C 正确； 对于D ，“锐角△ABC 中，sin A ＜cos B ”是假命题， 如A ＝B ＝π3时，sin π3＞cos π3，∴D 错误．6．(2017·某某四县模拟)下列命题中，真命题是( D ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件7．已知命题p ：∀x ∈R,2x＋12x ≥2；命题q ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＝13，则下列命题中为真命题的是( B ) A ．(¬p )∧q B ．p ∧(¬q ) C ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∧q8．(2018·某某二模)已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，有下列四个命题：p 1：∀k ∈R ，l 与C 相交； p 2：∃k ∈R ，l 与C 相切； p 3：∀r ＞0，l 与C 相交； p 4：∃r ＞0，l 与C 相切．其中的真命题为( A ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，可得直线l 经过定点(1,0)，为圆C 的圆心．9．(2017·某某质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值X 围是( A ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2D ．a ≥2解析：由题意知f (x 1)min ＝5≥g (x 2)min ＝a ＋4，得a ≤1.10．(2017·某某某某模拟)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x ＞2x，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是( C )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 411．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值X 围为( B ) A ．m ≥2B ．m ≤－2或m ＞－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－1＜m ≤212．(2017·某某某某模拟)以下说法错误的是( D )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“x ＝2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20－x 0＋1＜0，则¬p ：对任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1≥0 D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题13．(2017·某某联考)命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，使得函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( D ) A ．¬p B ．p ∧q C ．(¬p )∨q D ．p ∧(¬q )解析：设h (x )＝x ＋ax ＋1，则当a ＝－12时，函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上为增函数．且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增，则命题p 为真命题．∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋log 212＝－12<0.g (1)＝1>0，故g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点．则q是假命题，则p∧(¬q)为真命题．其余为假命题．所以D选项是正确的．14．(2018·澧县校级一模)已知命题p：“存在x∈R，使4x＋2x＋1＋m＝0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值X围是 (－∞，0) ．解析：∵命题p：“存在x∈R，使4x＋2x＋1＋m＝0”，∴p为真时，m＝－(2x)2－2×2x，存在x∈R成立．∴m的取值X围是m＜0.又∵非p”是假命题，∴p是真命题．∴m∈(－∞，0)．。

第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。

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3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1。

命题p∧q,p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名词常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题和存在性命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x）成立∃x∈M，p（x)4.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p（x）∃x∈M,綈p(x)∃x∈M，p(x）∀x∈M，綈p（x)【知识拓展】1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律（1）p∨q:p、q中有一个为真,则p∨q为真，即有真为真；(2)p∧q:p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假;(3）綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论".【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题.( ×)(2）命题p和綈p不可能都是真命题.（√)(3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题。