平面汇交力系n 绪
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第二章--平面汇交力系
2a P
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
第二章 平面汇交力系
即
F F
x y
0 0
平衡方程
平衡的解析条件： 力系中所有各力在直角坐标轴上的投影代 数和分别等于零。
9
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 X 0 300 C
X cos(F , i)
R
FR ( X ) 2 ( Y ) 2
FR
Y cos(F , j )
R
FR
15
4、平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零。 即 F F 0
R
（2）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 （3）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零，即：
y
.
x
Q
4).列出对应的平衡方程 Y 0
5).解方程
TB sin 600 TC sin 300 0
TB cos60 TC cos30 Q 0
0 0
10
简易压榨机
11
求当等长连杆AB、AC与铅垂线成图示角时，托板给被 压物体的力。
12
列方程求解：
销钉A
X 0, Y 0, S AB sin S AC sin P 0 S AB cos S AC cos 0
S AB S AC
S AB S AC P 2 sin
托板
X Y
0, 0,
N S B sin 0 S B cos R 0 R S B cos P 2tg
平面汇交力系简析.
即：
Rx X1X2 X4 X
Ry Y1Y2 Y3Y4 Y
Rx X R y Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小： 方向：
R Rx2 Ry2 X2 Y2
tg Ry
Rx
∴
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
由 X , Y 正负号确定所在象限
作用点： 为该力系的汇交点
三、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
Rx X 0 Ry Y 0
R 0 Rx2 Ry2 0 为平衡的充要条件，也叫平衡方程
例：已知： F1=200N, F2=300N, F3=100N, F4=250N, 求
FA sin FC sin 45 F 0
FA 22.4 kN FC 28.3 kN
例题 已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力
A
解：
D
B
取节点 B 为研究对象，画受力图
600
AB 、BC 都是二力杆
300
C P
FBA
y
B
F2
60 0
30
x
0
FBC
F1
由平衡方程：
A
D
B
Fx 0
600
- FRA F1 cos 60 F2 cos30 0
300
Fy 0
C
P
FBA
y
B
F2
60 0
30
x
0
FBC
第二章 平面汇交力系
§2-2 平面汇交力系合成的几何法
根据矢量平移不变性原理，平面汇交力系的合力可连 续运用力平行四边形法则或力三角形法则求得。 一、合成方法 依次平移力Fi使其首尾相连，合力R大小和方向就是使 力多边形封闭的边。
F2 F1 用平行四 边形法则 依次合成 F 3 F2 合力与 合成秩 序无关 O F1 R F4
C
B F
D A 45º B F
它处于三个力作用平衡状态。
2.画AB杆受力图。 3.画自行封闭的力三角形。 4.解三角形得：
F C
F C 2 2F 28.3kN
2 2 F A 2 1 F 22.4kN
45º
A
C
FA
B
§2-4 平面汇交力系合成的解析法
一、力在坐标轴上的投影
设α为力F与x轴正向间的夹角且逆时针为正值，顺时 针为负值。 y
【例2-4】长l=3R的等截面均匀直杆AB重W＝100N， 放在半径为R的光滑半球槽内，求平衡时杆与水平面 的倾斜角θ以及A、D点的约束反力。 【解】1)选杆为研究对象，它受三个汇交力而平衡， 在三角形AGO中： O
C θ A FD 90º -θ O 2θ θ θ G D θ
B
2)列平衡方程：
F ix F A cos 2 F D cos(90 ) 0 F iy F A sin 2 F D sin(90 ) W 0 W cos 2 75N F D cos 3)求解： F A W tan 43N
合力在任意坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴 上的投影的代数和。
设
R x F ix R y F iy 三、合成的解析法
R Fi
第2章 平面汇交力系
第二章平面汇交力系一、平面共点力系与平面汇交力系平面共点力系：作用于刚体平面上同一点的若干力，称为平面共点力系。
2F 平面汇交力系概述平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点平面汇交力系的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面汇交力系。
说明：根据力的可传性，作用于刚体的平面汇交力系一定可以转化成平面共点力系，所以二者的研究方法相同。
以下不再区分，统称为平面汇交力系。
二、工程中的平面汇交力系问题举例工程中的平面汇交力系问题举例：：OAAF四、本章的研究内容分别用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系的合成—力的多边形法则§2-1几何法几何法（（矢量法矢量法））1）三个共点力的合成设为作用在A 点的力系},,{321F F F A1F 2F 3F RF R12F 1F 2F 3F 312R R 2112R F F F F F F +=+=321R F F F F ++=1RF 2F 3F 2）多个共点力的合成},,{21n F F F ⋯设为作用在A 点的汇交力系则该力系的合力为},,{}{21R n F F F F ⋯=∑=+++=in F F F F F ⋯21R123力多边形合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为该力系的合力。
说明说明：：力系的合成与力序无关∑=+++=in F F F F F ⋯21R 矢量方程为：二、平面汇交力系的平衡平衡条件1）从方程上说：2）几何平衡条件：力的多边形自行封闭R =F 123123例2-1压路碾子，自重P=20kN ，半径R =0.6m ，障碍物高h =0.08m 。
碾子中心O 处作用一水平拉力F 。
试求：（1）当水平拉力F =5 kN 时，碾子对地面及障碍物的压力；（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；（3）力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F 为多大。
解：（1）取碾子为研究对（2）根据力系平衡的几何条件根据力系平衡的几何条件，，作封闭的力多边形作封闭的力多边形。
平面汇交力系
求： A，B处的约束反力。
例A四上边3：作形铰用A接B一QC四力D连处杆于，机平在构衡铰A状链B态BC上D。的作求CQ用力D一边力固R和R定，。的恰在关好铰系使链。
§2-2 力偶系
一、力偶系的合成
M M1 M2 Mn Mi
Mx Mix
M y Miy
已知：F1 2KN , F2 3KN , F3 1KN , F4 2.5KN
求：力系的合力
y
x
(补充）平面汇交力系的平衡
由于平面汇交力系可以用其合力来代替。显然，平
面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力
等于零。
n
即： FR Fi 0
一、平衡的几何条件： i1
结论：汇交力系合成为一个合力，作用
在汇交点，合力的大小和方向由力多边形的
封闭边表示，等于各分力矢量和：
FR
Fi
因为：
Fi Fxii Fyi j
FR FRxi FRy j
由上式可求出合力的两个分量：
FRx Fxi, FRy Fyi
近而求得合力的大小和指向，这种求合
如果一个力与一个力系等效，称该力 是这个力系的合力！
方法：几何法、解析法
一、几何法：（力多边形法）
F1
F2 F2
F3F3
FR
F1O•
F4
F4
F3 F2
F1
F4
FR
FR F1 F2 F3 F4
FR F
作力多边形，找封闭边。
力的方法称为解析法。 二、解析法：
例A四上边3：作形铰用A接B一QC四力D连处杆于，机平在构衡铰A状链B态BC上D。的作求CQ用力D一边力固R和R定，。的恰在关好铰系使链。
§2-2 力偶系
一、力偶系的合成
M M1 M2 Mn Mi
Mx Mix
M y Miy
已知：F1 2KN , F2 3KN , F3 1KN , F4 2.5KN
求：力系的合力
y
x
(补充）平面汇交力系的平衡
由于平面汇交力系可以用其合力来代替。显然，平
面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力
等于零。
n
即： FR Fi 0
一、平衡的几何条件： i1
结论：汇交力系合成为一个合力，作用
在汇交点，合力的大小和方向由力多边形的
封闭边表示，等于各分力矢量和：
FR
Fi
因为：
Fi Fxii Fyi j
FR FRxi FRy j
由上式可求出合力的两个分量：
FRx Fxi, FRy Fyi
近而求得合力的大小和指向，这种求合
如果一个力与一个力系等效，称该力 是这个力系的合力！
方法：几何法、解析法
一、几何法：（力多边形法）
F1
F2 F2
F3F3
FR
F1O•
F4
F4
F3 F2
F1
F4
FR
FR F1 F2 F3 F4
FR F
作力多边形，找封闭边。
力的方法称为解析法。 二、解析法：
讲稿4平面汇交力系
=－FRcos α + Fr cos 2α + Fr sin2α
= F (r－Rcosα)
§2-4 力偶系
一、力偶的概念
定义: 等值、反向、不共线的两个平行力的组合
作用面: 效果 ：
两力所确定的平面
F
力偶臂： d 转动
矢量 力偶矩矢 m 平面力偶 标量 m=Fd m
F′
d
大小
方向
+
－
m
二、性质 1.力偶对任何点的矩都等于其力偶矩。
a a B C
FTB
D a
FTC
B
′ FTB
P
A
P
′ FTB ┐
FTC
45°
FA
A
FA
∴ FA = FTB = FTB = P ′
′ FTC = 2 FTB= 2 P
例3. 机构如图，不计杆重。求铰链A、E处的约束力。
F
B 6 4 C 8 D 6
解：
FD
F
B C
D E
FA
E
A 4
FE
A
′ FD
3 3
B
m
FA
A
C
FC
3a
m
A
FA = FB = FC
∑M = 0
2 2 m－ FA a－ FA 3 a = 0 2 2
2 m FA = m = 0.3536 4a a
例6.（习题2-15）
直角弯杆ABCD与直杆CD及CE铰接如图，m=40kN· m， 不计杆重及摩擦。求：A、B处约束力及CE杆受力。 解： 1.CE杆： C
三、合力矩定理 力系(F1、F2、…、Fn )汇交于A点，且有合力 FR
工程力学—第二章平面汇交力系
A C B
60º 30º 30º
a
a
30º
60º
解： (1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 (4) 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
(a)
(b)
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系是指作用于物体上的各力的作用线位于
同一平面内且汇交于一点的力系。 汇交力系也称为共点力系 据力的可传性原理，将作用于 刚体上的各汇交力沿其作用线移至 汇交点，即可形成平面共点力系， 并不影响其对刚体的作用效果。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系
A F4
FR1 F R2
F1 F3
F1
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则）
任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件F1 OFra bibliotekF2 F3
F1 O
F2 F3
Fn
FR
Fn
FR
求合力,只需依次平移各力,使其首尾相接,最后画出封闭边即可.
解得
FBA
B
F B FBC
F
FBC FBA
F 2 sin
FBC
M
C
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
解得
FCB
C
F FM FCB cos cot 2
FNC FM
FCB
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
60º 30º 30º
a
a
30º
60º
解： (1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 (4) 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
(a)
(b)
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系是指作用于物体上的各力的作用线位于
同一平面内且汇交于一点的力系。 汇交力系也称为共点力系 据力的可传性原理，将作用于 刚体上的各汇交力沿其作用线移至 汇交点，即可形成平面共点力系， 并不影响其对刚体的作用效果。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系
A F4
FR1 F R2
F1 F3
F1
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则）
任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件F1 OFra bibliotekF2 F3
F1 O
F2 F3
Fn
FR
Fn
FR
求合力,只需依次平移各力,使其首尾相接,最后画出封闭边即可.
解得
FBA
B
F B FBC
F
FBC FBA
F 2 sin
FBC
M
C
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
解得
FCB
C
F FM FCB cos cot 2
FNC FM
FCB
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面汇交力系
第二章平面汇交力系第一节平面汇交力系合成平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。
下面分别介绍。
一、几何法首先回顾用几何法合成两个汇交力。
如图2—1a，设在物体上作用有汇交于O点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点O。
也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。
图2—1对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。
设作用于物体上O点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2—2a所示。
应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F3合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图2—2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为R=F1+F2+F3+F4 （2—1）实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2—2c所示。
然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图2—2d所示。
把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。
按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。
这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。
从图2—2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。
图2—2将这一作法推广到由n 个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。
3-平面力系-汇交力系
力在轴上的投影等于力的大小乘以力与轴正向之间夹角的余弦.
Fn ab F cos
13
1.力在轴上的投影
补充例题3. F1=F2=F3=F4=100N。求各力在 x 轴上的投影。
300 F1 F2
450
F3 F4
x
F1x = F1sin30o=100×0.5=50N
F2x F2 cos 45 100
FRx
Fx
合力的作用线通过汇交点
19
四、平面汇交力系合成的解析法
补充例题4. 已知 F1 = 100N, F2 =F3 = 70 N, F4 = 90 N,
方向如图所示, 求该力系的合力。
45°
解： 应用解析法（合力投影定理）得：
FRx Fx F1 sin 45 F2 cos30 F3 cos 45 F4 sin 30 F4 30°
5
§2-1 平面汇交力系 一、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
平面汇交力系可以合成为一个合力，合力大小和方向 由力多边形的封闭边确定，其作用线通过汇交点。合力等 于原力系中所有力的矢量和，即
n
FR F1 F2 Fn Fi i 1
可简写为
FR Fi
n 个力汇交情况
FA
A
注意：列平衡方程时，FA 的指向是以受力图中假定的方向， 若将FA带入解析式计算时仍保留其负号（带入负值）。
正弦定理有
F2
s in
FR1 sin120
得: 25.69
22
§2-1 平面汇交力系
平面汇交力系平衡方程的应用
例题2-1. 已知:F1=130N， F2=100N， F3=80N 。试确定这三个力的合力FR 。
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平面固定端约束
=
=
≠
=
★
作业：3－2，4，6（b)
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：
FR 0 M o 0
平面任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 M o 0
投影方程
力矩方程
例题 平面刚架ABCD受力如图所示, q1=5kN/m,
Fn Fn
M n M 0 ( Fn )
主矢
FR Fi F i
M O M i M O ( Fi )
移动效应 转动效应
主矩
思考：
主矢与简化中心有关吗？
主矩与简化中心有关吗？
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关
如何求出主矢?
F P sin 0
Fy 0
FNA FNB P cos 0
M A (F) 0
Fd FNB (a b) P cos a P sin e 0
解得:
F P sin 240 sin 55 196 .6
FNB ( Fd P cos a P sin e) /(a b) (196.6 1.4 240cos55 1 240sin 55 1) / 2.4 90.2 kN
C
用“三矩式”
FAy
A D
FBC
B E 1m
FAx
3m
P
Q
2m
例题： 如图所示简易吊车，A、C处为固定铰支 座，B处为铰链。已知AB梁重P=4kN，重物 重Q=10kN。求拉杆BC和支座A的约束反力。 解：以AB及重物作为研究对象； 受力分析，画出受力如图； 列平衡方程
A A
C C
F Ay
D D
F BC
说明：1、任意列出第四个方程，
为恒等式，可用来校核结果的正确性。
2、平面平行力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 M 0 A
Fx 0
平面平行力系的方程为两个
F 0 M 0
y A
M A 0 M B 0
A, B 两点连线不得与各力平行
B B E E 1m 1m
F Ax
3m 3m C
P P
Q Q
2m 2m
FAx F30 cos 30 0Q F BC cos AD ) 0， M A ( FX 0 ，FBC ABAxsinFBC P 300 AE 0 A0， Y) 0 ， ， Q EB sinAy ABPP AD 0 BC FBC F 30 M B ( FM ( F ) P 0DBFAy AB sin 30 0 Q Q AE 0 P AB sin Q FAy AB B 0， ( F ) A ( F 0 AC P AD EB P 0 0 M C M (F ) FAx ，FBCDB Q 30 AE AD Q AE 0
FNA FNB P cosa 90.2 240cos55 47.6
虽然可以这样解，但尽量是列一个方程解一个未知数， 避免联立求解。
例题：
如图所示简易吊车，A、C处为固 定铰支座，B处为铰链。已知AB梁重 P=4kN，重物重Q=10kN。求拉杆BC 和 支 座 A 的 约 束 力 。
P YC N B 2
mA XA YA
2、取整体为研究对象
X 0
NB
XA= 0
Y 0
mA 0
YA N B P 0 3P YA P N B 2
N B 4a Pa Pa mA 0
mA N B 4a 2Pa
' ' FRx Fix Fix Fx
' ' FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 方向 作用点
Fiy Fix cos( F 'R , i ) cos( F 'R , j ) FR FR
作用于简化中心上
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
C M 5m
D
y
FAx
Fy = 0
负号表示实际 方向与假设方 向相反。
q
2
FAy
0
x
FAy q1 8 0
MA = 0
FAy= 40kN
1 1 1 M A q2 12 ( 12) q1 8 ( 8) M 0 2 3 2
MA = 420kN.m
一矩式
F1
cosβ=12/13 sinβ=5/13
x
1、简化结果
y
力系的主矢
F2 450 (-3,2)
F/R
5 β 12
F1 cosβ=12/13 sinβ=5/13
(2,1)
θ
O M
x
(0,-4)
F3
F/Rx = FiX=F1cosβ -F2cos45o + F3 = 70N
F/Ry= Fiy= F1sinβ + F2sin45o = 150N
投影方程
力矩方程
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选 的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意 一点的矩的代数和也等于零.
[例] 已知：P=20kN, m=16kN· q=20kN/m, a=0.8m m, 求：A、B的支反力。
分布载荷处理方法
平面一般力系简化 简化中心：A点
q2=10kN/m, M =20kN.m 。 求固定端A的约束力。
q1
B
8m MA q2 FAy A FAx C M 5m
D
解: 取平面刚架ABCD为研究对象,画受力图
12m
列平衡方程求解:
q1 FR1 B 8m FR2 MA A
Fx = 0
1 FAx q 2 12 0 2
FAx = -60kN
Fx 0 Fy 0 M 0 A
平面任意力系平衡方程的其他形式 Fx 0 二矩式 M 0 A, B 两点连线，不得与投影轴垂直 A M 0 B 三矩式
M A 0 M B 0 M 0 C
A, B, C 三点，不得共线
第三章
平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系。
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移 到任一点B，但必须同时附加一个力偶， 这个附加力偶的矩等于原来的力F对新 作用点B的矩.
M M B ( F ) Fd
x
x q dx l
R
x
d
l
简化中心：A点 1 l x 主矢 R 0 qdx ql l 2 x 1 l L m A 0 x qdx ql 2 主矩 l 3 1 R ql 简化最终结果 R= 2 1 2 ql L 3 2 d l R 1 ql 3 2
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q， 求：固定端A的约束力。
一个力
一个力和一个力偶
可以把作用在刚体上点A的力F平 行移到任一点B，但必须同时附加 一个力偶，这个附加力偶的矩等 于原来的力F对新作用点B的矩.
2、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
O点为简化中心
F1 F1 F2 F2
M 1 M o ( F1 ) M 2 M 0 ( F2 )
大小：FR FRx FRy 702 1502 165.53N
FR 70 方向： arccos arccos 64.950 FR 165.53
求力系的主矩
y F2 450 F2X F2y (-3,2) M O O M (0,-4) F3
F1y
F/R
A
B
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q， 求：梁A端的约束力。
解：研究AB梁，画受力图。 B
A
F F
M
x
0, FAx 0
y
0,
l
FAy
FAy qdx 0, FAy ql
0
A l
MA
A FAx
0,
B
1 2 M A xqdx 0, M A ql 2 0
例 高炉上料小车如图所示。已知：
P 240 kN d 140 cm a 100 cm e 100 cm b 140 cm 55
求料车匀速上升时钢索 的拉力F及轨道对车轮 A和B的约束力（摩擦不 计）。
用“二矩式”
F NB
F NA
解：取小车为研究对象。
Fx 0
平面任意力系平衡的充要条件是：
FR 0 M o 0
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0
Mo 0
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 FR
平面任意力系的平衡方程
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M o 0
2、求合力的作用线位置：
y F2 450 F2X F2y (-3,2) M O
F1y
F/R
β 12
F 5R
(2,1)
F1
cosβ=12/13
θ
O d M (0,-4)
θ
F1X
x
sinβ=5/13
F3
M0 580 d 3.50m FR 165.53