吉林省长春市,2018-2019学年,高二上学期期中联考,试题数学(理),Word版含答案

吉林省五校2018-2019学年上学期期中考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，使得”的否定是（）A. ，都有B. ，都有C. ，都有D. ，都有【答案】A【解析】由特称命题的否定为全称命题可知：“，使得”的否定是，都有，故选A.2. 已知双曲线的焦距为6，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵双曲线∴∵双曲线的焦距为6∴∵∴，故选A3. 命题“若，则”的逆否命题为（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】命题的逆否命题是既否结论，有否条件，还要将条件和结论互换位置，即若，则。

故答案选A.4. 已知空间上的两点，，以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴设正方体的棱长为，由题意可得，解得∴正方体的体积为，故选D5. 已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据抛物线标准方程得到，，焦点坐标为，代入可得焦点坐标为，将点代入抛物线方程得到a=2,故最终得到焦点坐标为.故答案选C.6. 设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据二次不等式的解法得到：，由条件知道小范围推大范围，大范围推不出小范围，反之推不出。

故选必要不充分条件。

故答案选B．7. 已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（）A. （）B. （）C. （）D. （）【答案】A【解析】∵点，∴又∵动点满足∴点的轨迹方程是射线：（），故选A8. 已知命题：对任意，；命题：存在实数，使函数（）有零点，则下列命题为真命题的是（）A. 且B. 或C. 且D. 且【答案】C【解析】对于命题，当时，，故命题为假命题；对于命题，当时，函数有零点1，故命题为真命题，故可得非且为真，故选C.9. 已知，，，若且，则点的坐标为（）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】设∵，∴∵且∴或∴或∴或∴点的坐标为或，故答案选B10. 如图，已知椭圆内有一点，、是其左、右焦点，为椭圆上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当且仅当共线时取得最小值故答案选11. 如图，是三棱锥的底面的重心，若（、、），则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接∵是三棱锥的底面的重心∴∴∵（、、）∴∴，故选A点睛：本题主要考查了三角形重心的应用，若为的重心，则以下结论应重点掌握：，，.12. 如图，以为直径的有一内接梯形，且，若一双曲线以为焦点，且过、两点，则时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设双曲线的标准方程为，圆的半径为，则。

九台师范高中、实验高中2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学试题考生注意： 1．将答案写在答题卡上。

交卷时，只交答题卡。

2.本试题考试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、命题p ：“0x R ∃∈， 20012x x +<”的否定⌝ p 为（ ）A. 0x R ∃∈,20012x x +≥B. x R ∀∈,212x x +≥C. 0x R ∃∈,20012x x +> D. x R ∀∈,212x x +<2、下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则ac bc > B. 若0ab >， a b >，则11a b <C. 若a b >， c d >，则a c b d ->-D.若a b >， c d >，则abc d >3、在ABC ∆中，3=a ，5=b ，31sin =A ，则B sin 等于（ ）A ．1B ．51C ．35D ．954、已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（ ） A. B. C. D.5、若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A. 2a ≥B. 2a >C. 02a <≤D. 02a <<6、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13104S =， 65a =，则数列{}n a 的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 57、公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =（ ）A. 5B. 6C. 4D. 78、已知等差数列，的前项和分别为，则（ ） A. B. C. D.9.设椭圆2222:+1(0)x y C a b a b =>>的短轴长为72，离心率为34. 则椭圆C 的方程为（ ）A ．221169x y +=B ．221167x y +=C ． 2216428x y +=D ． 2216436x y += 10、满足60,4A a b ===的△ABC 的个数是（ ）A. 0B. 2C. 1D. 311、已知不等式（a 2﹣1）x 2﹣（a ﹣1）x ﹣1＜0的解集为R ，求实数a 的取值范围（ ）A ．（） B ．（）∪[1，+∞） C ．（] D ．（）∪（1，+∞）12、已知21F F ，分别是椭圆C: 12222=+by a x 的左、右焦点，是以21F F 为直径的圆与该椭 圆C 的一个交点，且 12212F PF F PF ∠=∠, 则这个椭圆C 的离心率为（ ） A. 32- B. 13- C.213- D.232-二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、己知数列{a n }的前n 项和满足S n =2n+1-1,则a n =______.14、若,x y 满足0{20x y x y y -≥+≤≥，则目标函数2z x y =+的最大值是________．15、已知两个正实数x ，y 使x ＋y ＝4，则使不等式14x y+≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．2,3，其一条渐近线方程为y=，则该双曲线的标准方程为16、已知双曲线经过点()__．三、解答题：(本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

吉林省长春汽车经济技术开发区六中2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。

2.考试完毕交答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1．已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），（错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

）的线性回归方程为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值为（ ）A ． -3B ． -5C ． -2D ． -12．抛物线错误！未找到引用源。

的焦点坐标是( )A ． (0,1)B ． (1,0)C ． (0,2)D ． (0,错误！未找到引用源。

)3．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（ ）A ． 错误！未找到引用源。

B ． 错误！未找到引用源。

C ． 错误！未找到引用源。

D ． 错误！未找到引用源。

4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ）A ． 错误！未找到引用源。

B ． 错误！未找到引用源。

C ． 错误！未找到引用源。

D ． 错误！未找到引用源。

5．若a ∈R ，m R ∈且0m >。

则“a ≠m ”是“|a|≠m ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x+2y≤8的概率为（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

7．执行如右图所示的程序框图，输出的错误！未找到引用源。

吉林省实验中学2018-2019学年高二年级上学期期中考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 命题“若p 则q ”的逆否命题是（ ）A. 若q 则pB. 若则 C. 若则D. 若p 则2. 抛物线x +y 2=0的焦点坐标为（ ）A. B. C. D.3. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2-x +1＞0，则￢p （ ）A. ，B. ，C. ，D.，4. 到两坐标轴的距离相等的轨迹方程是（ ）A.B. C.D.5. 已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）A. B. C. D.6. “mn ＜0”是“方程mx 2-ny 2=1”表示椭圆的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. F 1，F 2为椭圆C ：+=1左右焦点，A 为椭圆上一点，AF 2垂直于x 轴，且三角形AF 1F 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.B. C. 2 D.8. 若椭圆（0＜m ＜3）的长轴比短轴长2，则m =（ ）A.B. C. 1 D. 29. 已知点F 是抛物线y 2=4x 焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF |+|NF |=6，则MN 中点到准线距离为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 410. 已知双曲线的两个顶点分别为A 、B ，点P 为双曲线上除A 、B外任意一点，且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=3，则双曲线的渐进线方程为，（ ）A.B. C. D.11. 已知圆C 1：x 2+y 2=b 2与椭圆C 2：=1，若在椭圆C 2上存在一点P ，使得由点P 所作的圆C 1的两条切线互相垂直，则椭圆C 2的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.12.已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点与的夹角为θ，且|tanθ|=3，则b=（）A.1 B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0是真命题，则实数m的取值范围为______14.已知抛物线x2=ay的准线方程是，则a=______．15.经过点P（1，-2）作椭圆3x2+4y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为______．16.已知直线与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使，则t的值______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆．命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若p假q真，求实数m的取值范围．18.抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积．19.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．20.已知椭圆C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为（1，1），求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．21.已知双曲线C的渐近线方程为y=±，右焦点坐标为（2，0），O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且，试求实数k的取值范围．22.已知如图，椭圆与直线l交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，．求证：λ+μ为定值；（Ⅱ）若OA⊥OB，求△OAB面积的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：逆否命题是：否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件，所以命题“若p则q”的逆否命题是：若￢q则￢p．故选：C．否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件，即可得到命题的逆否命题．本题考查命题的逆否命题，四种命题的关系，基本知识的考查．2.【答案】C【解析】解：抛物线x+y2=0，即为y2=-x，即有2p=1，即p=，可得焦点为（-，0），故选：C．抛物线方程化为y2=-x，由焦点坐标（-，0），可得所求坐标．本题考查抛物线的方程和性质，注意方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：命题“∀x∈R，x2-x+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．故选：A．命题“∀x∈R，x2-x+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．4.【答案】D【解析】解：设动点的坐标为（x，y）．因为动点到两坐标轴的距离相等，所以|x|=|y|即y2=x2，动点的轨迹方程是y2=x2，故选：D．设出动点坐标，利用条件列出方程即可．本题考查轨迹方程的求法，正确利用已知条件是解题的关键，考查计算能力．5.【答案】A【解析】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选：A．根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．6.【答案】B【解析】解：由方程mx2-ny2=1得+=1，所以要使方程mx2-ny2=1的曲线是椭圆，则，即m＞0，n＜0且m≠n．所以，“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．根据椭圆的标准方程形式确定m，n的关系，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求掌握椭圆的标准方程．7.【答案】A【解析】解：由△AF1F2是等腰直角三角形，AF2垂直于x轴，此时A（c，y），代入椭圆方程：+=1，解得y=±，又三角形AF1F2为等腰直角三角形，得AF2=F1F2，故得=2c，即2ac=a2-c2，即e2+2e-1=0，解得e=-1±，由0＜e＜1可得e=-1．故椭圆的离心率是-1．故选：A．求椭圆的离心率，即求参数a，c的关系，本题中给出了三角形AF1F2为等腰直角三角形这一条件，由相关图形知，角A或角F1或角F2为直角，不妨令角P或角F2为直角，则有OA=OF1，或AF2=F1F2，求出两线段的长度，运用a，b，c的关系和离心率公式，整理即可得到所求的离心率．本题考查椭圆的方程、性质和应用，解题时要注意分类讨论的思想方法和公式的合理运用．8.【答案】D【解析】解：椭圆，0＜m＜3的焦点坐标在x轴，长半轴的长是：6，短轴长为：2m，长轴比短轴长2，6-2m=2，解得m=2；m的值为：2；故选：D．利用椭圆方程，判断焦点坐标所在轴，列出方程求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．9.【答案】C【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点∴F（1，0），准线方程x=-1，设M（x1，y1），N（x2，y2）∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴线段AB的中点横坐标为2，∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+1=3．故选：C．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．10.【答案】C【解析】解：根据题意得，A（-a，0），B（a，0），设P（x，y）则k1=；k2=由k1k2=3，得，从而渐近线方程为．故选：C．运用斜率公式代入计算并消元推出双曲线方程，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】D【解析】解：设P（m，n），由题意知，∴b2m2=a2-a2n2=，∴=，∴===，∵-a≤m≤a，∴m=b时，e→=1，m=a时，e min==，∴=，∴e min==，又0＜e＜1，∴椭圆C2的离心率的取值范围是[，1）．故选：D．设P（m，n），由题意列出方程组求出=，从而=，由此能求出椭圆C2的离心率的取值范围．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．12.【答案】B【解析】解：根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由于A、B两点在椭圆上，则，两式作差得．因为直线AB的倾斜角为，则有，所以，即；设直线OM的倾斜角为α，则或，．又，由，解得b2=2，即．故选：B．根据题意，设出A、B、M的坐标，由于A、B两点在椭圆上，则，运用点差法分析可得，进而可得，变形可得；设直线OM的倾斜角为α，由正切的和角公式可得，综合可得，解可得b的值，即可得答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质以及三角函数的恒等变形，属于综合题．13.【答案】（-2，2）【解析】解：：∀x∈R，x2+mx+1＞0是真命题，由q是真命题，得△=m2-4＜0，即-2＜m＜2．即所求m的取值范围是（-2，2）．故答案为：（-2，2）．命题q：“∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立，利用判别式，即可求出实数m的取值范围．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，转化判别式是解答本题的关键．14.【答案】1【解析】解：根据题意，抛物线的方程为：x2=ay，则其准线方程为y=-，又由抛物线x2=ay的准线方程是，则有-=-，解可得a=1；故答案为：1根据题意，由抛物线的标准方程求出其准线方程，结合题意可得-=-，解可得a的值，即可得答案．本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，15.【答案】2y-3x+7=0【解析】解：方法一：设A（x1，y1）、B（x2，y2），P（1，-2）为AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=-4，∵又A、B两点在椭圆上，则3x12+4y12=24，3x22+4y22=24，两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，则=-×=-×（-）=，∴k AB==，故所求直线的方程为y+2=（x-1），即2y-3x+7=0，故答案为：2y-3x+7=0．方法二：设椭圆的方程：（a＞b＞0），由AB是不平行于对称轴的弦，P是AB的中点，则k AB•k OP=-，由椭圆的标准方程：，∴k AB×（-）=-，则k AB=，故所求直线的方程为y+2=（x-1），即2y-3x+7=0，故答案为：2y-3x+7=0．方法一：利用“点差法”及中点坐标公式，即可求得直线AB的斜率，根据点斜式方程，即可求得直线AB的方程；方法二：由k AB•k OP=-，即可求得直线的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线AB的方程．本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查“点差法”的应用，考查椭圆中点弦，考查转化思想，属于中档题．16.【答案】4【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），由，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由直线与双曲线方程联立，可得x2-16x+84=0，∴x 1+x2=16，∴y+y2=×16-4=12，1∴，解得x0=4，y0=3，∴t=4，故答案为：4．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点C在双曲线上得一方程，联立方程组从而求得t值．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的运用，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．17.【答案】解：将方程改写成，只有当1-m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率e∈（1，2），所以m＞0，且，解得0＜m＜15，所以命题q等价于0＜m＜15．因为p∨q为真，p∧q为假，所以p，q一真一假，若p真，q为假，则m∈∅，若p假，q为真，则．【解析】求出两个命题是真命题时的m的范围，结合复数命题的真假，列出不等式求解即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由双曲线得，a2=3，b2=1，所以c2=a2+b2=3+1=4，所以c=2．则．所以抛物线的方程为y2=8x；（Ⅱ）由题意知，，所以双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为x=-2．代入双曲线的准线方程得．设抛物线的准线与双曲线的准线的交点为A，B．则|AB|=．所以抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为：S=．【解析】（Ⅰ）由双曲线方程求出其半焦距，根据抛物线的焦点与双曲线右焦点重合求出P，从而求出抛物线方程；（Ⅱ）分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立求出两交点间的距离，然后直接代入三角形的面积公式求解．本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，两圆锥曲线的关系问题是高考常见题型，解答的关键是合理运用所涉及的量，此类问题往往具有较复杂的运算量，考查学生的计算能力，此题是中档题．19.【答案】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-，由抛物线的定义可知3+=5，解得p=4，∴C的方程为y2=8x；（2）由（1）得抛物线C的方程为y2=8x，焦点F（2，0），设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，则两式相减．整理得=，∵线段AB中点的纵坐标为-1，则y1+y2=-2∴直线l的斜率k AB===-4，直线l的方程为y-0=-4（x-2）即4x+y-8=0．【解析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；（2）利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程．本题考查抛物线的定义与方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）抛物线C2：y2=8x的焦点（2，0），则c=2，b2=a2-c2=4，∴椭圆的标准方程：，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减得：=-•，由MN的中点为（1，1），则x1+x2=2，y1+y2=2，∴直线MN的斜率k==-，∴直线MN的斜率为-；（2）由椭圆的右焦点F2（2，0），当直线AB的斜率不存在或为0时，+=+=，当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k（x-2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y化简整理得：（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0，△=（-8k2）2-4（1+2k2）（8k2-8）=32（k2+1）＞0，∴x1+x2=，x1x2=，则m==，同理可得：，∴=（+）=，综上可知：是定值．【解析】（1）根据抛物线的性质，求得c，即可求得b的值，利用“点差法”即可求得直线MN 的斜率；（2）分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，同理即可求得n的值，即可求得是定值．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），由题意可得c=2，=，且c2=a2+b2，解得a=，b=1，则双曲线的方程为-y2=1；（Ⅱ）∵直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点，∴方程组恒有两组不同的实数解，∴方程（1-3k2）x2-6kx-9=0有两个不同实根，∴，∴k2＜1且k2≠，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-，∵，∴x 1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2＞0，∴（1+k2）•（-）+k•+2=＞0，可得k2＞，∵k2＜1，∴k的范围是（-1，-）∪（，1）．【解析】（Ⅰ）设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），运用渐近线方程和焦点坐标，以及a，b，c的关系，计算可得a，b，进而得到所求双曲线的方程；（Ⅱ）先将直线与双曲线方程联立，转化为方程（1-3k2）x2-6kx-9=0有两个不同实根，再利用向量知识，结合，运用向量的数量积的坐标表示，即可求实数k的取值范围．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．22.【答案】（Ⅰ）证明：由题设知直线l斜率存在，设直线l方程为y=k（x+1），则P（0，k）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l代入椭圆得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，所以，由，知，，．（Ⅱ）当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，易知=．当直线OA，OB斜率存在且不为0时，设，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线y=kx代入椭圆C得到x2+2k2x2-2=0，所以，同理，，令t=1+k2＞1，则，因为，所以，故，综上．【解析】（Ⅰ）设出直线方程，设出AB的坐标，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理结合，．即可证明：λ+μ为定值；（Ⅱ）当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，易知=．当直线OA，OB 斜率存在且不为0时，设，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线y=kx代入椭圆C得到x2+2k2x2-2=0，求出AB坐标，表示出三角形的面积，利用基本不等式求解三角形的面积的范围．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。

2018-2019学年吉林省实验中学高二年级上学期期中考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） （1）命题“若p ，则q ”的逆否命题是A ．若q ，则pB ．若¬p ，则¬qC ．若¬q ，则¬pD ．若p ，则¬q （2）抛物线x+y 2=0的焦点坐标为 A.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>，则¬p 为 A.2000,10x R x x ∃∈-+≤ B.2000,10x R x x ∃∉-+≤ C.2,10x R x x ∀∈-+≤D.2,10x R x x ∀∉-+>（4）到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是 A.y=x B.y=|x|C.x 2+y 2=0D.x 2=y2（5）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0）、（4，0），则双曲线的方程为A.221412x y -=B.221124x y -=C.221106x y -=D.221610x y -= （6）“mn<0”是“方程mx 2-ny 2=1表示椭圆”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（7）F 1，F 2为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左右焦点，A 为椭圆上一点，AF 2垂直于x 轴，且三角形AF 1F 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为1C.2D.2（8）若椭圆()2221039x y m m+=<<的长轴比短轴长2，则m=A.32 B.85C.1D.2（9）已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN 的中点到准线的距离为 A.32B.2C.3D.4（10）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为A 、B ，点P 为双曲线上除A 、B 外任意一点，且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=3，则双曲线的渐近线方程为A.y=±xB.y =C.y =D.2y x =±（11）已知圆2221:C x y b +=与椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>，若在椭圆C 2上存在一点P ，使得由点P 所作的圆C 1的两条切线互相垂直，则椭圆C 2的离心率取值范围是A.⎣⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.⎫⎪⎪⎣⎭ D.⎫⎪⎪⎣⎭（12）已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<，作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为θ，且tan 3θ=，则b=D.1 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）（13）已知命题2:,10q x R x mx ∀∈++>是真命题，则实数m 的取值范围为__________ （14）已知抛物线x 2=ay 的准线方程是14y =-，则a=__________（15）经过点P （1，-2）作椭圆3x 2+4y 2=24的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为__________.（16）已知直线2y =-与双曲线221123x y -=的右支交于A ，B 两点，且在双曲线的右支上存在点C ，使OA OB tOC +=，则t 的值__________.三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） （17）（本小题10分）已知命题p ：方程22121x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆.命题q ：双曲线2215x y m-=的离心率()1,2e ∈，若p 假q 真，求实数m 的取值范围.（18）（本小题12分）抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积. （19）（本小题12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，C 上一点（3，m ）到焦点的距离为5. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线l ，交C 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为-1，求直线l 方程. （20）（本小题12分）已知椭圆()2212:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2也为抛物线22:8C y x =的焦点.（Ⅰ）若M ，N 为椭圆C 1上两点，且线段MN 的中点为（1，1），求直线MN 的斜率；（Ⅱ）若过椭圆C 1的右焦点F 2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值. （21）（本小题12分）已知双曲线C 的渐近线方程为y =，右焦点坐标为（2，0），O 为坐标原点. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx =+C 恒有两个不同的交点A 和B ，且0OA OB ⋅>，试求实数k 的取值范围. （22）（本小题12分）已知如图，椭圆22:12x C y +=与直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（Ⅰ）若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=.求证：λμ+为定值； （Ⅱ）若OA ⊥OB ，求△OAB 面积的取值范围.参考答案一、选择题：1 C2 C3 A4 D5 A6 B7 A8 D9 C 10 C 11 D 12 A 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.） （13）（-2，2） （l4）1（15）3x-8y-19=0 （16）4三、解答题；（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17【答案】1153m ≤<.试题解析：将方程22121x y m m -=-改写成22121x y m m +=-，只有当1-m>2m>0，即103m <<时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以命题p 等价于103m <<；因为双曲线2215y x m-=的离心率()1,2e ∈，所以m>0，且5145m+<<，解得0＜m ＜15，所以命题q 等价于0＜m ＜15.因为p q ∨为真，p q ∧为假，所以p ，q 一真一假， 若p 真，q 为假，则m ∈∅， 若p 假，q 为真，则1153m ≤<.18【答案】（Ⅰ）y 2=8x 试题分析：（Ⅰ）因为双曲线方程为2213x y -=，所以a 2=3，b 2=1，∴c 2=a 2+b 2=4，c=2，22p ∴=，p=4，∴抛物线的方程为y 2=8x.（Ⅱ）因为1a b ==，双曲线的准线方程为y x =，又抛物线的准线方程为x=-2，令x=-2，y =，设抛物线的准线与双曲线的准线的交点为A ，B，则AB =122S ==19.（1）y 2=8x （2）4x+y-8=0【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义，求出p ，即可求C 的方程；（2）利用点差法求出直线l 的斜率，即可求直线l 的方程试题解析：（1）法一：抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知2235m p ⎧=⨯=解得p=4或p=-16，∵p ＞0，∴p=4，∴C 的方程为y 2=8x. 法二：抛物线()2:20C y px p =>的准线方程为2px =-，由抛物线的定义可知352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭解得p=4，∴C 的方程为y 2=8x.（2）法一：由（1）得抛物线C 的方程为y 2=8x.焦点F （2，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减。

长春外国语学校2018-2019学年第一学期期中考试高二年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.椭圆2214x y +=的离心率等于 A.52 B. 32 C. 2 D. 122.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样3.下列命题是真命题的是A ．若x y ==B. 若21x =，则1x =4.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A.45 B.35 C.25 D.155.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6.给出下列四个命题：（1）∧p q （2）⌝p （3）∨p q （4）()⌝∨p q若这四个命题中只有一个是真命题，则这个真命题的序号是（ ） A.（1） B ．（2） C ．（3） D ．（4）7.执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是( )A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7? (第8题图)8.如上图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A.14B ．π8C ．12D ．π 49.若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．2log 23 B ．log 27 C ．3 D ．210.某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是A ．高一的中位数大，高二的平均数大B ．高一的平均数大，高二的中位数大C ．高一的平均数、中位数都大D ．高二的平均数、中位数都大11.已知椭圆E:x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A. x 245＋y 236＝1B. x 236＋y 227＝1错误！未找到引用源。

2018-2019学年吉林省长春第一高级中学、舒兰第一高级中学等五校高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−1≤2x+1≤3}，B={x|x−2x≤0}，则A∩B=()A. {x|−1≤x<0}B. {x|0<x≤1}C. {x|0≤x≤2}D. {x|0≤x≤1}2.已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为()A. ∃x∈R，sinx≥1B. ∀x∈R，sinx≥1C. ∃x∈R，sinx>1D. ∀x∈R，sinx>13.在等差数列{a n}中，已知a1=2，a3=8，则a4+a5+a6等于()A. 40B. 42C. 43D. 454.椭圆x2+4y2=1的离心率为()A. √32B. 34C. √22D. 235.设四个正数a，b，c，d成等差数列，则下列各式恒成立的是()A. a+d2≤√bc B. a+d2≥√bc C. a+d2>√bc D. a+d2<√bc6.等比数列{a n}前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则a5的值为()A. 7B. 8C. 16D. 327.公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项，a1=−3，则S10=()A. 18B. 24C. 60D. 908.已知变量x，y满足约束条件{y≤xx+y≤1y≥−1，则z=5x+2y的最大值为()A. −3B. 52C. 8D. 49.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2√7，离心率为34，则椭圆C的方程为()A. x216+y27=1 B. x216+y29=1 C. x264+y228=1 D. x264+y228=110.数列{a n}的通项公式为a n=(−1)n−1(2n+1)，则它的前200项之和S200等于()A. 200B. −200C. 400D. −40011.设S n=1+3+5+⋯+(2n−1)n∈N∗，则函数f(n)=(n+1)S nn(n+16)S n+1的最大值为()A. 120B. 125C. 140D. 15012.已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是()A. √3−1B. 2−√3C. √3−12D. 2−√32二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若椭圆x225+y29=1上一点P到焦点F1的距离为2，则点P到另一个焦点F2的距离______．14.设x，y都是正数，且1x +2y=13，则x+y的最小值______．15.设椭圆x225+y2b2=1(0<b<5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为______．16.若数列{a n}通项公式为a n=2n+n，则数列{a n}的前n项和S n=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}，a2=9，2a1+a3=23．(1)求{a n}的通项公式；(2)令b n=2a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.设p：实数x满足(x−3a)(x−a)<0，q：实数x满足|x−3|<1．(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若其中a>0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,√3)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为1的直线l过椭圆C的左焦点且与椭圆C相交于A，B两点，求AB的中点M的坐标．20.设等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+a2=49，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log13a1+log13a2+log13a3+⋯+log13a n，求数列{1b n}前n项和T n．21.某家庭从4S店买了一台家庭代步车，花费8.8万元．使用期间每年都需各种保险费及油费共计2万元．最初4年，车辆不需维修．从第5年开始，每年都需维修养护，开始一年需2千元，以后每年维修养护费用都比上一年多2千元．若年平均费用最低时，车辆报废最合理，那么该车辆使用几年报废最合理？(年平均费用=总费用年数)22.已知椭圆C；x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴长为4，且椭圆C的离心率√22．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标轴原点，以PQ为直径的圆过坐标轴原点，求直线l的方程．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|−1≤2x+1≤3}={x|−1≤x≤1}，B={x|x−2x≤0}={x|0<x≤2}故A∩B={x|0<x≤1}，故选：B．根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据已知条件求出集合A，B是解答本题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了全称量词命题的否定，属于基础题．根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得解．【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得，命题¬p是：∃x∈R，使得sinx>1，故选：C．3.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3=a1+2d，得8=2+2d，解得d=3，所以a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=3×14=42．故选：B．设等差数列{a n}的公差为d，利用a3=a1+2d可求出d值，最后根利用 4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)进行求解即可．本题主要考查等差数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题．把椭圆的方程化为标准方程后，找出a 与b 的值，然后根据a 2=b 2+c 2求出c 的值，利用离心率公式e =ca ，把a 与c 的值代入即可求出值． 【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x 2+y 214=1，得到a =1，b =12，则c =√1− (12)2=√32，所以椭圆的离心率e =c a=√32． 故选：A ．5.【答案】C【解析】解：根据题意可得b −a =d −c ， ∴a +d =b +c ，则a+d 2=b+c 2，∵b >0，c >0，且b ≠c ， ∴根据基本不等式可得b+c 2>√bc ，∴a+d 2>√bc ．故选：C ．根据题意可得b −a =d −c ，所以a +d =b +c ，即a+d 2=b+c 2，从而结合基本不等式分析求解即可．本题考查等差数列的性质，涉及基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，由4a1，2a2，a3成等差数列，得4a2=4a1+a3，又a1=1，∴4q=4+q2，解得q=2，∴a5=a1q4=16．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由等差数列的性质列式求得q，再由等比数列的通项公式求解a5的值．本题主要考查等差数列的性质，等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由已知可得，a1=−3，a42=a3⋅a7，∴(−3+3d)2=(−3+2d)(−3+6d)，整理得d2−2d=0，解得d=2或d=0(舍)，=60．∴由等差数列的前n项和公式可得，S10=10×(−3)+10×9×22故选：C．由已知可得，a42=a3⋅a7，即(−3+3d)2=(−3+2d)(−3+6d)，从而可求d，再由等差数列的前n项和公式即可求解．本题主要考查了等比中项的定义，等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(2,−1)，由z=5x+2y，得y=−52x+z2，由图可知，当直线y=−52x+z2过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．9.【答案】A【解析】解：∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短轴长为2√7，离心率为34，∴{b=√7ca=34c2=a2+b2，解得a=3，c=4，b=√7，∴椭圆C的方程为：x216+y27=1．故选：A．由已知条件推导出关系式，由此能求出a，b，得到椭圆C的方程．本题考查椭圆方程的求法，椭圆简单性质的应用，是基础题．10.【答案】B【解析】解：由a n=(−1)n−1⋅(2n+1)，可得a1=3，a2=−5，a3=7，a4=−9，…a199=399，a200=−401，所以S200=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(a199+a200)=(−2)+(−2)+...+(−2)=−200．运用并项求和方法，每隔两项求和，可得所求和．本题考查数列的求和方法：并项求和，考查转化思想和运算能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：∵S n=1+3+5+⋯+(2n−1)=(1+2n−1)n2=n2，∴f(n)=(n+1)S nn(n+16)S n+1=(n+1)⋅n2n(n+16)⋅(n+1)2=nn2+17n+16=1n+16n+17≤12√n×16n+17=125．上式当且仅当n=4时取等号．故选：B．由等差数列的前n项和求得S n，代入f(n)=(n+1)S nn(n+16)S n+1后利用基本不等式求最值．本题考查等差数列的前n项和，考查了利用基本不等式求最值，是基本知识的考查．12.【答案】A【解析】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，∴△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，∴PF1=c，PF2=√3c，由椭圆的定义知，PF1+PF2=c+√3c=2a，即ca =21+√3=√3−1∴离心率为√3−1．故选：A．先根据题意和圆的性质可判断出△F1PF2为直角三角形，根据∠PF1F2=2∠PF2F1，推断出∠PF1F2=60°，进而可求得PF1和PF2，进而利用椭圆的定义求得a和c的关系，即可求椭圆的离心率．本题主要考查椭圆的简单性质．椭圆的离心率是椭圆基本知识中重要的内容，求离心率的关键是通过挖掘题设信息求得a和c的关系，结合椭圆的定义是解决本题的关键．【解析】解：椭圆x 225+y 29=1，可得a =5．由椭圆的定义可得：2+|PF 2|=2×a =10， 解得|PF 2|=8， 故答案为：8．利用椭圆的定义即可得出．本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】9+6√2【解析】解：x +y =3(x +y)(1x+2y)=3(1+2x y+y x+2)≥3⋅(3+2√2x y⋅yx)=9+6√2，当且仅当2xy =yx ，即y =√2x 时，等号成立， 所以x +y 的最小值为9+6√2． 故答案为：9+6√2． 利用“乘1法”，即可得解．本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】4【解析】 【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查等差数列性质的应用，是基础的计算题． 设椭圆焦距为2c ，由已知可得5+c =2b ，结合隐含条件求得b 可求． 【解析】解：设焦距为2c ，则有{25−b 2=c 25+c =2b，解得b 2=16，可得b =4． 故答案为：4．16.【答案】2n+1+n(n+1)2−2【解析】解：S n =21+22+⋯+2n +(1+2+⋯+n)=2(1−2n )1−2+n(n+1)2=2n+1+n(n+1)2−2，故答案为：2n+1+n(n+1)2−2．S n =21+22+⋯+2n +(1+2+⋯+n)，分组求和即可．本题考查利用分组求和的方法求数列的和，以及等比数列的前n 项和公式，解题的关键是寻求数列通项公式的规律、熟练掌握求和公式．17.【答案】解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由等差数列{a n }，a 2=9，2a 1+a 3=23，得{a 1+d =93a 1+2d =23，解得a 1=5，d =4．故a n =4n +1．(2)由(1)得：b n =2a n =32×16n−1，所以S n =32×(1−16n )1−16=3215×(16n −1)．【解析】(1)直接利用等差数列的性质列出方程组，进一步求出数列的通项公式；(2)利用求和公式的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)当a =1时，p ：1<x <3，即p 为真时x 的范围为1<x <3 由|x −3|<1，解得2<x <4，即q 为真时，x 的取值范围为得2<x <4∵p ∧q 为真∴p ，q 同时为真，即x 满足，即2<x <3．(2)∵￢p 是￢q 的充分不必要条件知，∴q 是p 的充分不必要条件，由p 知，即A ={x|a <x <3a,a >0}，由q 知，B ={x|2<x <4}，∴B ⊊A ，∴0<a ≤2且4<3a ，解得43≤a ≤2即实数a 的取值范围是[43,2]．【解析】(1)当a =1，p 且q 为真时，则p ，q 同时为真，建立条件即可求实数x 的取值范围；(2)利用¬p 是¬q 的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a 的取值范围．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用复合命题之间的关系是解决本题的关键．19.【答案】解：(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)可知其焦点在x 轴上，因为椭圆过点(0,√3)，所以b =√3，因为其离心率e =c a =√1−b2a 2=12，解得a 2=4， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由题意可知：直线方程为y =x +1，联立直线方程与椭圆方程，整理得7x 2+8x −8=0，显然Δ>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，由韦达定理可得x 1+x 2=−87，y 1+y 2=x 1+1+x 2+1=−87+2=67，所以AB 中点M 的坐标是(−47,37)．【解析】(1)首先根据题中所给的椭圆方程，可以判断得出其为焦点在x 轴上的椭圆，根据其过的点的坐标，从而判断出b 的值，结合离心率，列出相应的等量关系式，借助于椭圆中a ，b ，c 的关系，求得结果；(2)首先根据题中的条件，写出直线的方程，之后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求得结果．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1+a 2=49，a 32=9a 2a 6． 所以{a 1+a 2=49a 32=9a 2a 6，整理得：{a 1+a 1q =49a 12⋅q 4=9a 12q 6， 解得：{a 1=13q =13， 所以：a n =(13)n ．(2)b n =log 13a 1+log 13a 2+log 13a 3+⋯+log 13a n ，=1+2+...+n =n(n+1)2， 所以1b n =2n(n+1)=2(1n −1n+1)， 故T n =2×(1−12+12−13+...+1n −1n+1)=2(1−1n+1)=2n n+1．【解析】(1)直接利用等比数列的性质求出数列的通项公式；(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．21.【答案】解：当0<x ≤4时，y =8.8+2x x =8.8x +2， 当x =4时，y min =4.2 (万元)，当x ≥5时，由题意可知，从第五年开始每年维修费用依次成等差数列，首项为0.2，公差为0.2，y =8.8+2x+0.2(x−4)+12(x−4)(x−5)⋅0.2x =110x 2+1310x+10x =x 10+10x +1310≥2√x 10⋅10x +1310=3.3(万元)，当且仅当x 10=10x ，即x =10时，y min =3.3 (万元)，由(1)(2)可得，当x =10时，年平均费用y 最小为3.3(万元)，故使用10年该车报废最合理．【解析】当0<x ≤4时，y =8.8+2x x =8.8x +2，当x =4时，y min =4.2 (万元)，当x ≥5时，结合等差数列前n 项和公式和基本不等式公式，可得当x =10时，年平均费用y 最小为3.3(万元)，再通过比较二者的大小，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为长轴长为4，所以a =2，又因为椭圆C 的离心率为√22，所以c =√2， ∴b 2=a 2−c 2，b 2=2，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 22=1．(2)设P(x 1y 1)，Q(x 2,y 2)，l 的方程为y =x +m ，由x 2+2y 2=4且y =x +m 得3x 2+4mx +2m 2−4=0，令Δ=(4m)2−4⋅3⋅(2m 2−4)>0(1)，∴x 1+x 2=−4m 3,x 1x 2=2m 2−43，∴y 1y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=2m 2−43+m(−4m 3)+m 2， 由题意知OP ⊥OQ 0所以x 1x 2+y 1y 2=0，2m 2−43+2m 2−43+m(−4m 3)+m 2=0，解得m =2√63或m =−2√63，验证知满足(1)，所以直线的方程为：y =x +2√63或y =x −2√63．【解析】(1)由题意求得a ，b 的值即可确定椭圆方程；(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理整理计算即可求得直线方程．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．。

2018-2019学年吉林省吉林市普通高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若,则下列不等式不成立的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据均值不等式可知，不正确.【详解】因为，所以，这与选项C显然矛盾，故C选项错误.【点睛】本题考查不等式的基本性质及均值不等式，属于容易题.2.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B，利用交集定义求解即可.【详解】集合，，．故选：D．【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题.3.已知等差数列中，，，则公差d的值为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D．点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系，利用整体代换思想解答.4.设x，y满足约束条件，则的最大值为A. 8B. 7C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y，平移直线y，由图象可知当直线y经过点B时，直线y的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z＝3+2×2＝7，故选B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5.等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2—11x+9=0的两个根，则a6=（）A. 3B.C. ±D. 以上皆非【答案】C【解析】∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3a9=3，又数列{a n}是等比数列，则a62=a3a9=3，即a6=±．故选C6.在中，角的对边分别为，若，则( )A. 60°B. 120°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】根据已知，由余弦定理可得，故选B7.已知，则的最小值为（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】分析：根据对数运算得到lg(ab)＝0，即ab＝1，再由基本不等式得到最值.详解：由lg a＋lg b＝0，可知a>0，b>0，则lg(ab)＝0，即ab＝1.所以a＋b≥2 ＝2，当且仅当a＝b＝1 时取等号，所以lg(a＋b)≥lg 2.故lg(a＋b)的最小值为lg 2.点睛：本题考查了对数的基本运算，基本不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8.已知数列中第15项，数列满足，且，则（）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】由条件可得，，由递推关系式可得，所以，可得。

2018-2019学年吉林省实验中学高二年级上学期期中考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） （1）命题“若p ，则q ”的逆否命题是A ．若q ，则pB ．若¬p ，则¬qC ．若¬q ，则¬pD ．若p ，则¬q （2）抛物线x+y 2=0的焦点坐标为A.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>，则¬p 为 A.2000,10x R x x ∃∈-+≤ B.2000,10x R x x ∃∉-+≤ C.2,10x R x x ∀∈-+≤D.2,10x R x x ∀∉-+>（4）到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是 A.y=x B.y=|x|C.x 2+y 2=0D.x 2=y2（5）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0）、（4，0），则双曲线的方程为A.221412x y -=B.221124x y -=C.221106x y -=D.221610x y -= （6）“mn<0”是“方程mx 2-ny 2=1表示椭圆”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（7）F 1，F 2为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左右焦点，A 为椭圆上一点，AF 2垂直于x 轴，且三角形AF 1F 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为1C.2D.2-（8）若椭圆()2221039x y m m+=<<的长轴比短轴长2，则m=A.32 B.85C.1D.2（9）已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN 的中点到准线的距离为 A.32B.2C.3D.4（10）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为A 、B ，点P 为双曲线上除A 、B 外任意一点，且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=3，则双曲线的渐近线方程为A.y=±xB.y =C.y =D.2y x =±（11）已知圆2221:C x y b +=与椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>，若在椭圆C 2上存在一点P ，使得由点P 所作的圆C 1的两条切线互相垂直，则椭圆C 2的离心率取值范围是A.⎣⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.⎫⎪⎪⎣⎭D.⎫⎪⎪⎣⎭（12）已知椭圆()222:1024x y C b b +=<<，作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为θ，且tan 3θ=，则b=D.1 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）（13）已知命题2:,10q x R x mx ∀∈++>是真命题，则实数m 的取值范围为__________ （14）已知抛物线x 2=ay 的准线方程是14y =-，则a=__________（15）经过点P （1，-2）作椭圆3x 2+4y 2=24的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为__________.（16）已知直线2y =-与双曲线221123x y -=的右支交于A ，B 两点，且在双曲线的右支上存在点C ，使OA OB tOC +=，则t 的值__________.三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）（17）（本小题10分）已知命题p ：方程22121x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆.命题q ：双曲线2215x y m-=的离心率()1,2e ∈，若p 假q 真，求实数m 的取值范围.（18）（本小题12分）抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积. （19）（本小题12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，C 上一点（3，m ）到焦点的距离为5. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线l ，交C 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为-1，求直线l 方程. （20）（本小题12分）已知椭圆()2212:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2也为抛物线22:8C y x =的焦点.（Ⅰ）若M ，N 为椭圆C 1上两点，且线段MN 的中点为（1，1），求直线MN 的斜率；（Ⅱ）若过椭圆C 1的右焦点F 2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值. （21）（本小题12分）已知双曲线C 的渐近线方程为y =，右焦点坐标为（2，0），O 为坐标原点. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx =C 恒有两个不同的交点A 和B ，且0OA OB ⋅>，试求实数k 的取值范围. （22）（本小题12分）已知如图，椭圆22:12x C y +=与直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（Ⅰ）若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=.求证：λμ+为定值； （Ⅱ）若OA ⊥OB ，求△OAB 面积的取值范围.参考答案一、选择题：1 C2 C3 A4 D5 A6 B7 A8 D9 C 10 C 11 D 12 A 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.） （13）（-2，2） （l4）1（15）3x-8y-19=0 （16）4三、解答题；（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17【答案】1153m ≤<.试题解析：将方程22121x y m m -=-改写成22121x y m m +=-，只有当1-m>2m>0，即103m <<时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以命题p 等价于103m <<；因为双曲线2215y x m -=的离心率()1,2e ∈，所以m>0，且5145m+<<，解得0＜m ＜15，所以命题q 等价于0＜m ＜15.因为p q ∨为真，p q ∧为假，所以p ，q 一真一假， 若p 真，q 为假，则m ∈∅， 若p 假，q 为真，则1153m ≤<.18【答案】（Ⅰ）y 2=8x试题分析：（Ⅰ）因为双曲线方程为2213x y -=，所以a 2=3，b 2=1，∴c 2=a 2+b 2=4，c=2，22p ∴=，p=4，∴抛物线的方程为y 2=8x.（Ⅱ）因为1a b =，双曲线的准线方程为y =，又抛物线的准线方程为x=-2，令x=-2，y =，设抛物线的准线与双曲线的准线的交点为A ，B，则AB =122S ==19.（1）y 2=8x （2）4x+y-8=0【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义，求出p ，即可求C 的方程；（2）利用点差法求出直线l 的斜率，即可求直线l 的方程试题解析：（1）法一：抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知2235m p ⎧=⨯解得p=4或p=-16，∵p ＞0，∴p=4，∴C 的方程为y 2=8x. 法二：抛物线()2:20C y px p =>的准线方程为2p x =-，由抛物线的定义可知352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭解得p=4，∴C 的方程为y 2=8x.（2）法一：由（1）得抛物线C 的方程为y 2=8x.焦点F （2，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减。