1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 省优精品教案

第3课时 等腰三角形的判定与反证法1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点)2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．一、情境导入某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A 点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B 点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到处时，测得∠AB 为30度，这时，地质专家测得B 的长度是50米，就可知河流宽度是50米．同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道B 的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定． 二、合作探究探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边)【类型一】 确定等腰三角形的个数如图，在△AB 中，AB ＝A ，∠A ＝36°，BD 、E 分别是∠AB 、∠BD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个．3个 D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝A ，∴△AB 是等腰三角形；(2)∵BD 、E 分别是∠AB 、∠BD 的角平分线，∴∠EB ＝错误!∠AB ，∠EB ＝错误!∠BD ∵△AB是等腰三角形，∴∠EB ＝∠EB ，∴△BE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝A ，∴∠AB ＝∠AB ＝错误!(180°－36°)＝72°又∵BD 是∠AB 的角平分线，∴∠ABD ＝错误!∠AB ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△DE 和△BD 也是等腰三角形．故选A方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】 判定一个三角形是等腰三角形如图，在△AB 中，∠AB ＝90°，D 是AB 边上的高，AE 是∠BA 的角平分线，AE 与D 交于点F ，求证：△EF 是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE ＝∠AD ，然后根据三角形外角的性质求得∠EF ＝∠FE ，根据等角对等边求得E ＝F ，从而求得△EF 是等腰三角形．解：∵在△AB 中，∠AB ＝90°，∴∠B ＋∠BA ＝90°∵D 是AB 边上的高，∴∠AD ＋∠BA ＝90°，∴∠B ＝∠AD ∵AE 是∠BA 的角平分线，∴∠BAE＝∠EA ，∴∠B ＋∠BAE ＝∠AE ，∠AD ＋∠EA ＝∠FE ，即∠EF ＝∠FE ，∴E ＝F ，∴△EF 是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用如图，在△AB 中，AB ＝A ，点D 、E 、F 分别在AB 、B 、A 边上，且BE ＝F ，BD ＝E(1)求证：△DEF 是等腰三角形； (2)当∠A ＝50°时，求∠DEF 的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B ＝∠，利用“边角边”证明△BDE 和△EF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE ＝EF ，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE ＝∠EF ，然后求出∠BED＋∠EF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF(1)证明：∵AB＝A，∴∠B＝∠在△BDE和△EF中，∵错误!∴△BDE≌△EF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；(2)解：∵△BDE≌△EF，∴∠BDE ＝∠EF，∴∠BED＋∠EF＝∠BED＋∠BDE∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠EF，∴∠B＝∠DEF∵∠A＝50°，AB＝A，∴∠B＝错误!×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．探究点二：反证法【类型一】假设用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°故选方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．【类型二】用反证法证明一个命题求证：△AB中不能有两个钝角．解析：用反证法证明，假设△AB 中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．证明：假设△AB中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠＞90°，所以∠A＋∠B＋∠＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△AB中不能有两个钝角．方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三、板书设计1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．2．反证法(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法。

1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法（导学案）
一、知识目标
1.知道等腰三角形的定义、性质以及等腰三角形的判定方法；
2.会运用反证法证明一些三角形不是等腰三角形。

二、学习重点
1.等腰三角形的定义和性质；
2.等腰三角形的判定方法；
3.反证法的运用。

三、学习内容
3.1 等腰三角形的定义和性质
等腰三角形是指两条边长相等的三角形。

在等腰三角形ABC中，若AB = AC，则我们称之为等腰三角形。

等腰三角形的性质有：
1.两底角（即底边两侧的角）相等。

2.两腰（即两相等的边）上的角相等。

3.底角的平分线也是高（即垂直于底边的线）的垂线。

3.2 等腰三角形的判定方法
判定一个三角形是不是等腰三角形，可以使用以下方法：
1.若有两边相等，则这个三角形是等腰三角形。

2.若一个三角形的底角和另外一个角相等，则这个三角形是等腰三角形。

3.3 反证法的运用
证明一个三角形不是等腰三角形时，可以运用反证法。

比如，要证明一个三角形ABC不是等腰三角形，可以假设它是等腰三角形，即AB = AC。

然后，我们通过推理可以发现这种假设是错误的。

因此，我们得出结论：三角形ABC不是等腰三角形。

3.4 练习题
1.已知三角形ABC中，AB = BC，且∠BAC = 120度。

判断它是否为等腰三角形，并说明理由。

2.已知三角形DEF中，DE = EF，且∠D = ∠F。

证明：三角形DEF是等腰三角形。

四、课后作业
1.完成练习题。

2.思考：如何判断一个三角形是直角三角形？。

北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形的判定与反证法》（第3课时）教案一. 教材分析《等腰三角形的判定与反证法》是北师大版数学八年级下册第1.1节的内容，本节课的主要目的是让学生掌握等腰三角形的判定方法，并运用反证法证明等腰三角形的性质。

在此之前，学生已经学习了三角形的性质和分类，为本节课的学习打下了基础。

教材通过实例引入等腰三角形的概念，然后引导学生探究等腰三角形的性质，最后运用反证法证明等腰三角形的性质。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于三角形的性质和分类有一定的了解。

但是，对于反证法的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习来提高。

在导入环节，我会通过复习三角形的性质和分类，激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：等腰三角形的判定方法，反证法的运用。

2.难点：反证法的运用，等腰三角形性质的证明。

五. 教学方法1.引导发现法：通过问题引导，让学生发现等腰三角形的性质，培养学生的探究能力。

2.反证法：运用反证法证明等腰三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。

3.小组讨论法：让学生在小组内进行讨论，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示等腰三角形的判定和性质。

2.教学素材：准备一些等腰三角形的模型，供学生观察和操作。

3.练习题：准备一些练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的性质和分类，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用PPT展示等腰三角形的判定和性质，让学生直观地感受等腰三角形的特征。

第一章三角形的证明1 等腰三角形课时3 等腰三角形的判定与反证法1.探索等腰三角形判定定理,掌握反证法2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.3.培养学生的逆向思维能力.理解等腰三角形的判定定理.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.问题 1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进行交流.1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC 你能理解他的推理过程吗?再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢?【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解.例1.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角对等边)．例2.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.解：∵BD 平分∠CBA ，CD 平分∠ACB ，∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD.∵MN ∥BC,∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD.∴∠MDB=∠MBD,∠NDC=∠NCD.∴MB=MD,NC=ND.∴C △AMN =AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC=(AM+MB)+(AN+NC) =AB+AC=30.例3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD = CE.求证：△ABC 是等腰三角形.解：∵S △ABC =21(AB·CE)=21(AC·BD)且BD = CE ， ∴AB=AC.∴△ABC 是等腰三角形.例4.如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形.证明：∵AB = AC ，∴∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠B=∠E ，∠D=∠C.∴∠D=∠E.∴△ADE 是等腰三角形.例5.垂直于同一条直线的两条直线平行.证明：假设a 、b 不平行，那么a 、b 相交∵a ⊥c ，b ⊥c∴∠1=900，∠2=900∴∠1+∠2=180°而a、b相交，则∠1+∠2≠180°与∠1+∠2=180°相矛盾.∴假设不成立.即：垂直于同一条直线的两条直线平行【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流,培养学生应用知识解决问题的能力.本节课应掌握：等腰三角形性质的判定的区别和联系.教材“习题1.3”中第1、2、3 题.。

北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》这一节课，主要让学生了解等腰三角形的判定方法，并运用反证法进行证明。

教材通过丰富的图片和实例，引导学生探索等腰三角形的性质，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的性质，对三角形有了一定的认识。

但是，对于等腰三角形的判定和反证法的应用，还需要进一步引导和培养。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过合适的教学方法，帮助学生理解和掌握等腰三角形的判定方法，以及如何运用反证法进行证明。

三. 教学目标1.了解等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。

2.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.等腰三角形的判定方法。

2.反证法的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过图片和实例，引导学生观察和探索等腰三角形的性质。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和解决问题。

3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队合作精神。

4.实践操作法：让学生动手操作，加深对知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的图片和实例，用于引导学生观察和探索。

2.准备投影仪，用于展示教学内容。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片和实例，引导学生观察等腰三角形的性质，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍等腰三角形的判定方法，通过PPT展示相关的定理和证明过程。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用反证法证明等腰三角形的性质。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何运用反证法证明其他几何性质？教师给予提示和指导。

1.1 等腰三角形第3课时 等腰三角形的判定与反证法一、学习准备：1、等腰三角形的两底角 。

2、等腰三角形 、 及 互相重合。

3、等腰三角形两底角的平分线 。

4、等边三角形的三个内角都 ，并且每个内角 。

二、学习目标：1、掌握等腰三角形的判别方法。

2、结合实例体会反证法的含义。

三、学习提示：1、自主学习：看书P8完成填空：等腰三角形的 相等。

反过来，有两个角相等的三角形是 。

定理： 是等腰三角形。

简称： 。

2、合作探究：例2 已知：如图，AB=DC ，BD=CA 。

求证：△AED 是等腰三角形。

讨论：①证明一个三角形是等腰三角形，可以利用的方法是什么？ ②怎样证明AE=DE ？ ③怎样证明∠ADB=∠DAC? 3、自主学习P8的想一想。

小明在证明时，先假设 ，然后推导出 、基本事实、 相矛盾ABC DE的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法。

4、自主学习P9例3，并完成证明。

练习：P9 随堂练习四、学习小结：这节课你有哪些收获和体会？五、夯实基础：1．在△ABC中，AB=AC,∠B＝36°，D、E在BC边上，且AD和AE把∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）62．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A等于（）（A）30°（B）36°（C）45 °（D）54°3．等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（）（A）35°（B）20°（C）35 °或20°（D）无法确定4．等腰三角形的顶角等于一个底角的3倍，则顶角的度数为，底角的度数为5．等腰三角形三个内角与顶角的外角之和等于260°，则它的底角度数为6．等腰△ABC中，AB=AC，BC=6cm，则△ABC的周长的取值范围是7．已知如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC的中点，求证：△DEM是等腰三角形六、能力提升：1．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC 且BC＝10，求△DCE的周长。

北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》教案一. 教材分析《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》这一课时，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形性质等知识的基础上进行学习的。

本课时主要让学生学习等腰三角形的判定方法，以及运用反证法证明等腰三角形的性质。

通过这一课时的学习，使学生进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的认识。

但是，对于等腰三角形的判定和反证法的运用，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生，激发他们的思考，帮助他们理解和掌握等腰三角形的判定方法和反证法的运用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的观察能力、思考能力和创新能力。

四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的判定方法，反证法的运用。

2.教学难点：反证法的运用，等腰三角形性质的证明。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生观察、思考、交流，激发学生的学习兴趣。

2.探究式教学法：引导学生主动探究等腰三角形的性质，培养学生的探究能力。

3.小组合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识，提高他们的交流能力。

六. 教学准备1.准备等腰三角形的模型或图片，用于引导学生观察和操作。

2.准备反证法的相关案例，用于讲解和练习。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示等腰三角形的图片，引导学生观察等腰三角形的特征，激发学生的学习兴趣。

提问：你们知道等腰三角形有什么特点吗？2.呈现（10分钟）呈现等腰三角形的判定方法，引导学生思考和交流，总结出等腰三角形的判定方法。