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运筹学--线性规划的单纯形解法

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运筹学单纯形法

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法
运筹学单纯形法，又称单纯性法，是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它在运筹学中发挥着重要作用。

它主要应用于决策及资源分配问题，可以帮助决策者更好地把握资源的优化配置，并寻求最优解。

单纯性法是以线性规划问题作为理论基础，它是将该问题转化为一系列形如Ax=b的线性方程组的运筹学方法。

在这个方程组通过调整方程中的系数和右面常数而变换为形如Cx≤d的不等式形式，而这种不等式系统称为单纯性约束条件。

单纯性法从不等式中寻找一系列基向量，并通过改变基向量来实现改变不等式的求解方程之间的关系，从而求出最优解的问题。

传统的单纯性法分为有界单纯性和无界单纯性两种情形。

无界单纯性以简单费用曲线方法、扩展的简单费用曲线方法和增广次数法三大类。

有界单纯性主要是对对角单纯性和非对角单纯性这两类单纯性系统分别使用不同的方法进行求解。

单纯性求解方法在线性规划问题求解中具有重要应用，它能通过求解线性规划问题中的一系列互不相关的子问题来求出最优解。

使用该方法，可以以最少的成本达到最优的收益，它包括费用最低优化、网络流优化、全格研究和数学优化模型等。

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法

只要取 x5=min{-，8/2，12}=4 就有上式成立。 x5=4时， x4=0，故决定用x5换x4 x1 =4- 1/4 x4 x5 =4-1/2 x4 +2 x3 x2 =2+1/8 x4–1/2 x3 代入得 z=14-3/2 x3 –1/8 x4 ，令x3 ，x4=0得z=14。新基可 行解为 X(3) =(4,2,0,0,4) T –为最优解，新顶点Q2 最优目标值z=14 。
§3.4 最优性检验和判别定理
线性规划解的四种可能： 1、有唯一解； 2、无穷多最优解； 3、无界解； 4、无可行解。 何时达最优解, 何种最优解？
将基本可行解X(0)和X(1)分别代入目标函数得
z z
(0)
= ∑ ci xi0
i =1 m
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)
= ∑ ci [ xi0 − θ aij ] + θ ci
§3.3 从初始基可行解转换为另一基可行解
0 0 记初始基可行解为X(0),有 X ( 0 ) = (x10 x 2 L x m 0 L 0
)
Pi xi0 = b 该解满足约束方程, 即 ∑
i =1
m
(1)
非基向量可以用基向量的线性组合表示
Pj = ∑ aij Pj
i =1 m
m
(2) (3)
Pj − ∑ aij Pj = 0
从实际例子中分析单纯形法原理的基本框架为 •第一步：将LP线性规划变标准型，确定一个初始可行解 （顶点）。 •第二步：对初始基可行解最优性判别，若最优，停止；否 则转下一步。 •第三步：从初始基可行解向相邻的基可行解（顶点）转 换，且使目标值有所改善—目标函数值增加，重复第二和 第三步直到找到最优解。

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法

单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4

3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1

运筹学5-单纯形法

运筹学5-单纯形法

保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2

运筹学 第二章线性规划 第三讲 单纯形法

运筹学 第二章线性规划 第三讲 单纯形法
1 -2 4 2
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2

运筹学---单纯形法

运筹学---单纯形法单纯形法是一种解线性规划问题的有效算法。

在这个问题中，我们寻找一组决策变量，以便最大化或最小化一个线性目标函数，同时满足一系列线性限制条件。

单纯形法通过暴力搜索可行解并逐步优化目标函数来求解该问题。

单纯形法的主要思想是从一个初始可行解开始，并通过迭代来逐步移动到更优的解。

在每一步迭代中，算法将当前解移动到一个相邻的顶点，直到找到一个优于当前解的顶点。

具体操作包括选择一个非基变量，并将其作为入基变量，同时选择一个基变量并将其作为出基变量。

新的基变量将替换原来的非基变量，并且目标函数的值将被更新。

关键是如何选择入基变量和出基变量。

为此，单纯形法使用一个称为单纯形表的矩阵来跟踪线性规划问题的状态。

单纯形表包含目标函数系数，限制条件系数，决策变量的当前值以及对角线上的单位矩阵。

通过适当地操作这个表，可以确定要移动到哪个相邻顶点，并相应地更新解和目标函数的值。

一般来说，单纯形法需要在指数时间内解决线性规划问题，因为需要遍历所有可能的可行解。

但是，在实际应用中，单纯形法往往比其他算法更快和更有效。

此外，在使用单纯形法时，需要注意陷入无限循环或者找不到一个可行解的可能性。

单纯形法的主要优点是：它是一种简单而直观的求解线性规划问题的方法；它易于实现，并且在许多情况下可以很快地求解问题。

它还可以用于解决大规模问题，包括具有成千上万个变量和限制条件的问题。

在实际应用中，单纯形法经常与其他算法结合使用，例如内点法或分支定界法。

这些方法可以提供更好的性能和结果。

但是，在许多情况下，单纯形法仍然是解决线性规划问题的首选算法。

在总体上，单纯形法是一种强大而灵活的工具，可以帮助研究人员和决策者在面对复杂的决策问题时做出明智的选择，并实现最大的效益。

运筹学线性规划与单纯形法


整理课件
16
Max Z= x1-2x2+3x3' -3x3" + 0x4 +0x5 s.t. x1+x2+ x3' - x3" +x4 =7
x1-x2+ x3' - x3" -x5=2
-3x1+x2+2x3' -2x3" =5 x1, x2,x3',x3", x4,x5 0
第一节小结：建立模型；三个组成要素；四种形式； 化为标准形（4个条件5点）
.
9x1+4x2 ≤ 360
90 80 60 40 20
4x1+5x2 ≤200
B C
HI G
Z=70x1+120x2 3x1+10x2 ≤300
0
20 D40 E 60
80 1F00 x1
整理课件
30
二、解的几种可能情况
1．唯一最优解。目标函数直线与凸多边形只有 一个切点； 2．无穷多最优解，目标函数图形与某个约束条 件平行。 3．无界解（无最优解）----可行域无界。一般是 漏了一些约束条件。 4．无可行解----可行域为空。
Ⅰ
Ⅱ 计划期可用能力
2
2
12
1
2
8
4
0
16
0
4
12
2
3
问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？
整理课件
3
解：用数学的语言进行描述:
1.决策变量：设产品I、II的产量分别为 x1、x2 2.目标函数：问题要求获取利润最大，该公司获取
利润为2 x1 + 3 x2，令z = 2 x1 + 3 x2，则max z = 2 x1 + 3 x2， max z 是该公司获取利润的目标 值，它是变量x1、 x2的函数，称为目标函数。

运筹学单纯形法


第二步：寻求初始可行基，确定基变量
1 2 1 0 0
1 0 0
A


4 0
0 4
0 0
1 0
10
B P3,
P4 ,
P5



0
0
1 0
0 1
对应的基变量是 x3，x4，x5； 第三步：写出初始基本可行解和相应的
目标函数值
两个关键的基本表达式：
写出用非基变量表示基变量的表达式：
由 x4 3 x1 x2 x3 → x1 3 x2 x3 x4
x5 9 x1 4x2 7x3

x5

6

3x2

6x3

x4
得新的基本可行解 X(1)=(3，0，0，0，6)T
⑤ 写出用非基变量表示目标函数的表达式:
Z 2x1 3x2 3x3 2(3 x2 x3 x4 ) 3x2 3x3 6 x2 x3 x4
可得相应的目标函数值为Z(1)=6
检验数仍有正的, 返回①进行讨论。
三、单纯形法的一般描述：
1、初始可行解的确定
(1)初始可行基的确定 观察法——观察系数矩阵中是否含有现成 的单位阵？
于是，若LP只有唯一最优解，这个最 优解所对应的点一定是可行域的一个顶点； 若LP有多个最优解，那么肯定在可行域的 顶点中可以找到至少一个最优解。
转移条件？
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优——
要求：

运筹学单纯形法例题求解过程

运筹学单纯形法例题求解过程摘要：一、运筹学单纯形法概述二、单纯形法求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解2.编制初始单纯形表3.判断基本可行解是否为最优解4.迭代求解最优解三、例题求解过程1.题目描述2.化为标准型3.建立初始单纯形表4.迭代计算四、总结正文：一、运筹学单纯形法概述运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它的主要思想是通过不断迭代，逐步优化基变量的值，从而求得问题的最优解。

单纯形法可以有效地解决具有如下特点的问题：目标函数线性，约束条件线性，变量非负。

二、单纯形法求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解在求解线性规划问题时，首先需要确定基变量，即在约束条件方程组中，选择一部分变量作为基变量，用于表示其他变量。

通过寻找或构造单位矩阵的方法，可以确定基变量，从而求出初始基本可行解。

2.编制初始单纯形表基于初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。

单纯形表包含了基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件系数和检验数等信息，用于描述问题的基本情况。

3.判断基本可行解是否为最优解通过检验数cj-zj 来判断基本可行解是否为最优解。

如果所有非基变量的检验数cj-zj<0，说明已经达到最优解，计算停止。

如果存在cj-zj>0，但所有cj-zj>0 所在列对应的所有aij<0，说明无最优解，计算停止。

如果至少存在一个cj-zj>0，并且所对应的所有j 列中至少有一个aij>0，说明没有达到最优解，需要继续迭代求解。

4.迭代求解最优解在迭代过程中，首先需要确定换入变量，即选择最大检验数对应的非基变量。

然后，利用特定公式计算出换出变量，即在基变量中选择一个与换入变量对应的变量进行替换。

接着，生成新的单纯形表，将换入变量和换出变量进行置换后，调整新基变量对应的矩阵为单位矩阵。

最后，重新计算检验数和目标函数值，返回第二步，直至找到最优解。

三、例题求解过程假设有一个线性规划问题，目标函数为MINfx1x2Mx4Mx6，约束条件为：3x1 + 4x2 ≤ 122x1 + 3x2 ≤ 10x1, x2 ≥ 0首先，将约束条件化为标准型：3x1 + 4x2 + s1 = 122x1 + 3x2 + s2 = 10x1, x2 ≥ 0然后，建立初始单纯形表：| 基变量| 非基变量| 目标函数系数| 约束条件系数| 检验数| ---------------------------------------------------------------------行1 | x1 | s1 | -3 | -4 | -12 |行2 | x2 | s2 | -4 | -3 | -10 |行3 | x1 | x2 | 0 | 0 | 0 | 行4 | s1 | x2 | 0 | 3 | 0 | 行5 | s2 | x1 | 0 | 2 | 0 | 根据初始单纯形表，可以得到初始基本可行解为：x1 = 0, x2 = 0接下来，判断基本可行解是否为最优解：c1 = -12, c2 = -10, c3 = 0, c4 = 0, c5 = 0由于c3、c4 和c5 都小于等于0，所以基本可行解不是最优解，需要继续迭代求解。

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0 8 5 1 2 0 4 4 1 2 0 5 2 11
38
改进单纯形法示例1
320 8 -1 b=B b , p1 = B p 1 100 2 320 100 320 min{ , } 8 2 8 新的基变量组合XB ( x1 , x5 )T
-1
39
改进单纯形法示例1
40
你们好
矩阵形式算法示例1
42

例2-10
max Z = 3x1 - 2 x2 - x3 s.t. x1 - 2 x2 + x3 + x4 -4 x1 + x2 + 2 x3 - 2 x1 + x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ³ 0 max Z = 3x1 - 2 x2 - x3 - Mx6 - Mx7 s.t. Þ x1 - 2 x2 + x3 + x4 -4 x1 + x2 + 2 x3 - 2 x1 + x3 - x5 + x6 =11 =3 + x7 = 1
第2章
线性规划的单纯形解法
1
单纯形法的扩展

1-目标函数为求最小值的问题
2
单纯形法的扩展

1-目标函数为求最小值的问题
3
单纯形法扩展的示例1

例2-8
Z = 3x1 + 5x2 x1 £4 x2 £ 6 3x1 + 2 x2 £ 18 x1 , x2 ³ 0
min W 3x1 5 x2 s.t. x1 4 x2 6 3x1 2 x2 18 x1 , x2 0
10
=11 - x5 =3 =1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ³ 0
大M法示例1
11
单纯形法的扩展

2.2- 人工变量法之两阶段法
12
两阶段法示例1

例2.12
max Z = 3x1 - 2 x2 - x3 s.t. x1 - 2 x2 + x3 + x4 -4 x1 + x2 + 2 x3 - 2 x1 + x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ³ 0 min W = x6 + x7 s.t. Þ x1 - 2 x2 + x3 + x4 -4 x1 + x2 + 2 x3 - 2 x1 + x3 - x5 + x6 =11 =3 + x7 = 1
21
改进单纯形法

单纯形表法 示意
22
改进单纯形法

单纯形表法 示意
23
改进单纯形法

单纯形表法 示意
24
改进单纯形法

2- 单纯形法迭代计算的矩阵形式算法描述
定义CN = CN - CB B-1 N为非基变量XN的检验向量 Z CB B-1b + CN XN
25
改进单纯形法

2-单纯形法迭代计算的矩阵形式算法描述
20
改进单纯形法

1- 标准单纯形法的矩阵形式算法描述

一般性基变量组合对应的检验数
XB AX = (B, N) = b BX B + NX N = b XN XB + B -1 NX N = B -1b XB = B -1b - B -1 NX N XB Z = CX = (CB ,CN ) = CB X B + C N X N XN = CB (B -1b - B -1 NX N ) + CN X N = CB B-1b + (CN - CB B -1 N)X N

17
化示例1
19
改进单纯形法

1- 标准单纯形法的矩阵形式算法描述

最优基变量组合对应的解和目标函数
XB AX = (B, N) = b BXB + NX N = b XN XB + B-1 NXN = B -1b 令非基变量XN = 0 XB = B -1b B-1b -1 Z = CX = (CB ,CN ) = C B b B 0
max Z 3x1 2 x2 x3 x1 2 x2 x3 x4 s.t. 4 x1 x2 2 x3 2 x1 x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
7
max Z 3x1 2 x2 x3 x1 2 x2 x3 11 s.t. 4 x1 x2 2 x3 3 2 x1 x3 1 x1 , x2 , x3 0
初始基变量组合XB ( x4 , x5 )
T
s.t.
8 x1 4 x2 5 x3 x4 2 x1 2 x2 x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
320 x5 100
1 0 -1 B (p 3 ,p 4 ) B 0 1 1 -1 c1 c1 CB B p1 5 (0, 0) 0 1 -1 c2 c2 CB B p 2 4 (0, 0) 0 1 -1 c3 c3 CB B p 3 2 (0, 0) 0
max s.t .
4
单纯形法扩展的示例1
min W 3x1 5 x2 x1 x3 s.t. x2 3x1 2 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 x4 4 6 x5 18
5
单纯形法扩展的示例1
6
单纯形法的扩展

2-人工变量法

对于约束条件包含等式约束或“≥”约束的线性规 划问题，标准形式不存在现成的初始可行基，无法 直接应用单纯形表法。
13
=11 - x5 =3 =1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ³ 0
两阶段法示例1
14
两阶段法示例1
15
两阶段法示例1
16
单纯形法的扩展

3- 退化与循环

应用最小比值准则时可能会出现两个以上相等的最 小比值，这时应选择最小比值所对应的任意一个基 变量作为出基变量，而其他未被选择的基变量在下 一个基本可行解中仍然为基变量。 下一轮基本可行解中会出现有基变量的取值为零的 情况。这种现象称之为退化，而这时得到的基本解 称为退化解。
26
改进单纯形法

2-单纯形法迭代计算的矩阵形式算法描述
27
矩阵形式算法示例1
28
矩阵形式算法示例1
29
矩阵形式算法示例1
30
矩阵形式算法示例1
31
矩阵形式算法示例1
32
矩阵形式算法示例1
33
矩阵形式算法示例1
34
矩阵形式算法示例1
35
改进单纯形法

2- 改进单纯形法计算步骤
36
=11 x5 =3 1
单纯形法的扩展

2.1 -人工变量法之大M法
8
单纯形法的扩展

2.1-人工变量法之大M法
判定定理


1-当人工问题的最优解中不包含非零的人工变量时 ，人工问题的最优解就是原始问题的最优解。 2-当人工问题的最优解中包含有非零的人工变量时 ，原始问题无可行解。

9
大M法示例1
改进单纯形法示例1

例2-14
max Z 5 x1 4 x2 2 x3 s.t. 8 x1 4 x2 5 x3 x4 2 x1 2 x2 x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 320 x5 100
37
改进单纯形法示例1
max Z 5 x1 4 x2 2 x3