运筹学 线性规划习题解析

运筹学部分课后习题解答P47 1.1用图解法求解线性规划问题min z=2x 3x24为6x2 _ 6st ]4x1+2x2>4X i,X2 _0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABC,且可知线段BA上的点都为3最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为％=2 - 3P47 1.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题max z=10x1 5x213为4x2乞9a )s.t」5为+2x2兰8x1, x^ 0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO且可知B点为最优值点,即严+4卷=9斗|人3，即最优解为x」1,3(5X1 +2X2 =8 & =2 I 2丿这时的最优值为Z max = 10 1 5 -2 2原问题化成标准型为max z=10x1 5x23\ 4x2 x3 = 9 s.t <5^+2x2 +x4 =8X i,X2,X3,X4 —0z所以有—1,3 ,Z max=10 1 5I 2 丿 2 2P78 2.4已知线性规划问题：max z =2x 4x2x3x4/+3X2+x4兰82咅+x2<6彳x2+X3 +x4兰6X,+ x2+ X3<9XZX, X4 一0求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X^(2,2,410)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

解：(1)该线性规划问题的对偶问题为：min w =8y, 6y26y39y4\i+2y2 +y4 兰23yr H y<H yr H y^4彳y^y^iy i, y2,y3,y4—0(2)由原问题最优解为X* =(2,2,4,0)，根据互补松弛性得：y1 2y2 y4 = 23y1 y2 y a y^4I y a + yU把X* = (2,2,4,0)代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即 2 2 4 =8 < 9 - y4=0y1 2y2 =2从而有+y2 +y a =4L ya =1得Y1 ,Y2 ,Y a = 1,y4 = 05 5所以对偶问题的最优解为y* =(4,3,1,0)T，最优值为W min =165 5P79 2.7考虑如下线性规划问题:min z = 60x i 40x2 80x3” 3x i + 2x2 + X3 兰24x i + X2 + 3x^ > 42x i +2X2 +2x3 兰3x i,x?,x^ >0(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法求解原问题;解：(1)该线性规划问题的对偶问题为:max w = 2% 4y2 3y33% +4y2 +2y3 W60』2% +y2 +2y3 玄40y i 3y2 2y3 — 80[y i,y2,y^0(2)在原问题加入三个松弛变量X4,X5,X6把该线性规划问题化为标准型max z = -60旨-40X2-80X3—3x i — 2x? — X3 + X4 = -2~4x<i — x? — 3X3 + X5 ——4-2 X i — 2 X2 — 2 X3 + = _3X j "j =1川,6x* 5,?,O)T,Z max =60 540 - 80 06 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。

1、图解法适用于含有（）个变量的线性规划问题。

正确答案：两或22、线性规划问题的可行解是指满足（）的解。

正确答案：所有约束条件3、在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于（）。

正确答案：零或04、若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的（）达到。

正确答案：顶点或极点5、线性规划问题有可行解，则必有（）。

正确答案：基可行解6、如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其（）的集合中进行搜索即可得到最优解。

正确答案：基可行解7、满足（）条件的基本解称为基本可行解。

正确答案：非负8、求解线性规划问题可能的结果有四种，分别是（）。

正确答案：无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解和退化解9、求一个线性函数在一组（）约束条件下的最大化或最小化问题，称为线性规划问题。

正确答案：线性1、若x、y满足约束条件{x≤2 y≤2x+y≥2则z=x+2y的取值范围是（）。

A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5]正确答案：A2、为化为标准形式而引入的松弛变量在目标函数中的系数应为（）。

A.0B.1C.2D.3正确答案：A3、若线性规划问题没有可行解，可行解集是空集，则此问题（）。

A.没有无穷多最优解B.没有最优解C.有无界解D.没有无界解正确答案：B4、在单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中（）。

A.不影响解的可行性B.至少有一个基变量的值为负C.找不到出基变量D.找不到进基变量正确答案：B5、用单纯形法求解极大化线性规划问题中，若某非基变量检验数为零，而其他非基变量检验数全部<0，则说明本问题（）。

A.有惟一最优解B.有多重最优解C.无界D.无解正确答案：B6、单纯形法当中，入基变量的确定应选择检验数（）。

A.绝对值最大B.绝对值最小C.正值最大D.负值最小正确答案：C7、在单纯形表的终表中，若非基变量的检验数有0，那么最优解（）。

A.不存在B.唯一C.无穷多D.无穷大正确答案：A8、线性规划模型不包括下列（）要素。

第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。

一、单选题1、线性规划具有唯一最优解是指（）。

A.不加入人工变量就可进行单纯形法计算B.最优表中非基变量检验数全部非零C.可行解集合有界D.最优表中存在非基变量的检验数为零正确答案：B2、线性规划具有多重最优解是指（）。

A.最优表中存在非基变量的检验数为零B.可行解集合无界C.基变量全部大于零D.目标函数系数与某约束系数对应成比例正确答案：A3使函数z=−x1+x2+2x3减少得最快的方向是（）。

A. (1,－1,－2)B. (－1,－1,－2)C. 1,1,2)D. (－1,1,2)正确答案：A4、线性规划的退化基可行解是指（）。

A.基可行解中存在为零的非基变量B.基可行解中存在为零的基变量C.非基变量的检验数为零D.所有基变量不等于零正确答案：B5、线性规划无可行解是指（）。

A.有两个相同的最小比值B.第一阶段最优目标函数值等于零C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量D. 进基列系数非正正确答案：C6、若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算（）。

A.一定有最优解B.全部约束是小于等于的形式C.可能无可行解D.一定有可行解正确答案：D7、设线性规划的约束条件为x1+x2+x3=22x1+2x2+x4=4x1，…，x4≥0则非可行解是（）。

A. (0，1，1，2)B. (2，0，0，0)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0)正确答案：C8、线性规划可行域的顶点一定是（）。

A.可行解B.非基本解C.非可行解D.最优解正确答案：A9、X是线性规划的基本可行解则有（）。

A.X不一定满足约束条件B.X不是基本解C.X中的基变量非零，非基变量为零D.X中的基变量非负，非基变量为零正确答案：D10、下例错误的结论是（）。

A.检验数就是目标函数的系数B.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数C.不同检验数的定义其检验标准也不同D.检验数是目标函数用非基变量表达的系数正确答案：A11、在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模型的方法称为（）。

线性规划习题及答案线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要用于解决资源分配问题，以达到最大化或最小化目标函数。

下面是一个线性规划的习题及答案：习题：某工厂生产两种产品A和B，每种产品都需要使用机器时间和劳动力。

产品A每件需要3小时的机器时间和2小时的劳动力，产品B每件需要2小时的机器时间和3小时的劳动力。

工厂每天有24小时的机器时间和18小时的劳动力。

设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。

1. 建立目标函数和约束条件。

2. 求解线性规划问题，找出最优生产计划。

答案：1. 目标函数：设目标是最大化利润，产品A的利润为40元/件，产品B的利润为30元/件。

因此，目标函数为：\[ \text{Maximize } P = 40x + 30y \]2. 约束条件：- 机器时间约束：\[ 3x + 2y \leq 24 \]- 劳动力时间约束：\[ 2x + 3y \leq 18 \]- 非负约束：\[ x \geq 0, y \geq 0 \]3. 图解法求解：- 首先在坐标系中画出约束条件所形成的可行域。

- 可行域的顶点坐标为：(0,0), (0,6), (4,2), (8,0)。

- 将这些点代入目标函数计算利润：- P(0,0) = 40*0 + 30*0 = 0- P(0,6) = 40*0 + 30*6 = 180- P(4,2) = 40*4 + 30*2 = 200- P(8,0) = 40*8 + 30*0 = 3204. 最优解：- 通过比较各点的利润，发现当生产8件产品A和0件产品B时，利润最大，为320元。

5. 结论：- 工厂应该生产8件产品A和0件产品B，以实现最大利润320元。

注意：本题答案仅为示例，实际解题时需要根据具体题目条件进行分析和计算。

一、思考题1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。

7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。

8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。

9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。

1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。

2． 线性规划的可行解集是凸集。

3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。

4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。

5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。

6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。

7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。

8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。

9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。

10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。

运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。

在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。

下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。

以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。

2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。

以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。

3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。

以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。

边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。

在该例中，最小费用为5，最大流量为3。

运筹学习题解答(c h a p2)(1)(1)(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题 1、P89,(a)321422min x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x 解：原模型可化为321422min x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532max y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365max x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365max x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835min y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213max x x Z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x 最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变 （2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变 解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。

运筹学习题答案第六章运筹学习题答案第六章第一节：线性规划线性规划是运筹学中的一种重要方法，它通过建立数学模型来解决实际问题。

在第六章中，我们学习了线性规划的基本概念和求解方法。

本节将针对第六章的习题提供详细的解答。

第1题：某公司生产两种产品，产品A和产品B。

每单位产品A的利润为5万元，每单位产品B的利润为4万元。

产品A每单位需要3个工时，产品B每单位需要2个工时。

公司每天有8个小时的工时可用。

求解公司每天应生产多少单位的产品A和产品B，才能使利润最大化？解答：设产品A的产量为x，产品B的产量为y。

根据题意可得以下线性规划模型：目标函数：Max Z = 5x + 4y约束条件：3x + 2y ≤ 8非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0根据图形法，我们可以绘制出约束条件的图形，并找到最优解。

通过计算，我们得到最优解为x = 2，y = 1。

即公司每天应生产2个单位的产品A和1个单位的产品B，才能使利润最大化。

第2题：某公司有两个生产车间，分别生产产品A和产品B。

车间1每天可生产产品A 4个单位或产品B 2个单位；车间2每天可生产产品A 3个单位或产品B 6个单位。

产品A的利润为3万元，产品B的利润为2万元。

公司每天有8个小时的工时可用。

求解公司每天应生产多少单位的产品A和产品B，才能使利润最大化？解答：设车间1生产的产品A的单位数为x1，车间2生产的产品A的单位数为x2。

设车间1生产的产品B的单位数为y1，车间2生产的产品B的单位数为y2。

根据题意可得以下线性规划模型：目标函数：Max Z = 3x1 + 2x2 + 2y1 + 3y2约束条件：4x1 + 3x2 ≤ 82x1 + 6x2 ≤ 8非负约束：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0，y1 ≥ 0，y2 ≥ 0通过计算，我们得到最优解为x1 = 2，x2 = 0，y1 = 0，y2 = 1。

即公司每天应生产2个单位的产品A和1个单位的产品B，才能使利润最大化。

第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划：Min z=2R1+R2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-1058244212121xxxxxx解：由图可得：最优解R=1.6,R=6.43用图解法求解线性规划：MaR z=5R1+6R2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-,23222212121xxxxxx解：由图可得：最优解MaR z=5R1+6R2, MaR z= +4用图解法求解线性规划：MaRz = 2R1 +R2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤,5242261552121211xxxxxxx由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121xxx，所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321xxmaR Z = 8.1212125.max23284164120,1,2maxZ.jZ x xx xxxx j=+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=R1-2R2+3R3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量R 4≥0，引入剩余变量R 5≥0，并令R 3=R 3’-R 3’’,其中R 3’≥0,R 3’’≥0MaR z ’=-R 1+2R 2-3R 3’+3R 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =R 1+2R 2+3R 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z’ = -z ，引进松弛变量R 4≥0,引进剩余变量R 5≥0,得到一下等价的标准形式。

运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

（1）max 12z x x =+ 51x +102x ≤501x +2x ≥1 2x ≤4 1x ，2x ≥0（2）min z=1x +1.52x1x +32x ≥3 1x +2x ≥2 1x ，2x ≥0（3）max z=21x +22x1x -2x ≥-1-0.51x +2x ≤21x ，2x ≥0（4）max z=1x +2x1x -2x ≥031x -2x ≤-31x ，2x ≥0解： （1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解 （4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-21x +2x +33x -4x ≤14-21x +32x -3x +24x ≥21x ，2x ，3x ≥0，4x 无约束（2）max kkz s p =11nmk ik ik i k z a x ===∑∑11(1,...,)mikk xi n =-=-=∑ik x ≥0 (i=1…n; k=1,…,m)（1）解：设z=-z ',4x =5x -6x , 5x ,6x ≥0 标准型：Max z '=31x -42x +23x -5(5x -6x )+07x +08x -M 9x -M 10x s. t .-41x +2x -23x +5x -6x +10x =21x +2x +33x -5x +6x +7x =14-21x +32x -3x +25x -26x -8x +9x =21x ,2x ,3x ,5x ,6x ,7x ,8x ,9x ,10x ≥0(2)解：加入人工变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得： Max s=(1/k p )1ni =∑1mk =∑ik αik x -M 1x -M 2x -…..-M n xs.t.11mi ik k x x =+=∑ (i=1,2,3…,n)ik x ≥0, i x ≥0, (i=1,2,3…n; k=1,2….,m)M 是任意正整数1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。

《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。

答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。

答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。

答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。

（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。

（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。

答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。

工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。

第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。

依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。

同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。

此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。

这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。

两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。

从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。

环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。

两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。

现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。

解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。

则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1 x 2x1、x2≥0用图解法求解。

运筹学例题解析(共6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。

甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。

又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。

已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。

请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大要求：1、建立该问题的线性规划模型。

2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。

如果不存在最优解，也请说明理由。

解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1、x2单位 。

(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。

甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。

（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。

但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。

试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。

已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。

要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。

解：（1）建立图论——最短路问题模型。

①设点Vi 表示第i年年初，虚设一个点V6，表示第五年年底；②弧(Vi , Vj)表示第i年初购进一台设备一直使用到第j年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(Vi , Vj)上的权数表示第i年初购进一台设备，一直使用到第j年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。