学案16 空间向量与立体几何

空间向量与立体几何教案一、教学目标1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算规则。

2. 能够运用空间向量描述和解决立体几何问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。

2. 空间向量的加法、减法、数乘和点乘运算。

3. 空间向量与立体几何的相互应用。

三、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其表示方法。

2. 空间向量的加法、减法、数乘和点乘运算的规则。

3. 运用空间向量解决立体几何问题。

四、教学方法与手段1. 采用讲解、示例、练习相结合的方法进行教学。

2. 使用多媒体课件、模型等教学辅助工具，帮助学生直观理解空间向量与立体几何的概念和运算。

五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及其表示方法。

2. 第二课时：空间向量的加法、减法、数乘运算。

3. 第三课时：空间向量的点乘运算。

4. 第四课时：空间向量在立体几何中的应用（一）。

5. 第五课时：空间向量在立体几何中的应用（二）。

【导入新课】通过复习相关基础知识，引导学生回顾平面几何中的向量概念和运算规则，为新课的学习做好铺垫。

【知识讲解】1. 空间向量的概念及其表示方法。

讲解空间向量的定义，举例说明空间向量的表示方法，如用箭头表示、用坐标表示等。

2. 空间向量的加法、减法、数乘运算。

讲解空间向量的加法、减法、数乘运算的规则，并通过示例进行演示。

3. 空间向量的点乘运算。

讲解空间向量的点乘运算的定义和计算方法，并通过示例进行演示。

【课堂练习】针对本节课所学内容，设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。

【拓展与应用】1. 运用空间向量描述和解决立体几何问题。

通过示例，讲解如何运用空间向量描述和解决立体几何问题，如求解空间中的距离、角度等。

2. 空间向量在立体几何中的应用。

通过示例，讲解空间向量在立体几何中的应用，如几何体的体积、表面积等计算。

【小结】【作业布置】布置一些有关空间向量与立体几何的练习题，让学生课后巩固所学知识。

选修 第三章《空间向量与立体几何》一、本章知识结构二、典型问题设平面αβ，的法向量分别是u ，v ，直线1l ，2l 的方向向量分别是a ，b ,平行关系：①////l m a b a b λ⇔⇔=；②//0l a u a u α⇔⊥⇔⋅=；③////u v u v αβλ⇔⇔= 垂直关系：①0l m a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=;②//l a u a u αλ⊥⇔⇔=；③0u v u v αβ⊥⇔⊥⇔⋅= 知识点一:平面的法向量定义：;．已知(1,2,1),(3,1,2),(2,4,1)A B C ,则平面的一个法向量为; 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系、垂直关系 ．已知(2,1,3)a =，(4,2,)b x =-，且a b ⊥,则||a b -=。

．若向量a （，，x )，b (，，），c （，，），满足条件()1c a b -⋅=-,则x 。

知识点三：利用向量求空间角 （一)求异面直线所成的角直线1l ，2l 的方向向量分别是a ，b ，直线1l ,2l 所成的角为θ，则=cos θ． （二)求直线和平面所成的角直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ,a 与u 的角为ϕ，则有． (三)求二面角如图，若⊥PA α于，⊥PB β于,平面交l 于，则∠为二面角--l αβ的平面角，∠∠．若12⋅n n 分别为面α,β的法向量，12〈〉=n ,n则二面角的平面角∠=AEB ，即二面角θ等于它的两个面的法向量的．（）当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于．A BCN MODABCP（）当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于． 知识点四:利用向量求空间距离（一)空间两点间距离公式：设点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ,则=|AB |． （二)两异面直线距离的求法：如图，设1l ，2l 是两条异面直线,n 是1l 与2l 的公垂线段的方向向量，又，分别是1l ，2l 上任意两点，则1l 与2l 的距离是==d |AB |．（三）点面距离的求法：如图，⊥平面α，垂足为，则点到平面α的距离就是线段的长度． 若是平面α的任一条斜线段,设平面α的法向为n则在△中，BA n BA n |BO ||BA|cos ABO |BA||BA||n||n|⋅⋅=⋅∠=⋅=⋅．注意：线面距、面面距均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解．例．如图，在四棱锥-O ABCD 中，底面ABCD 为边长为的正方形， 4=OA ,⊥OA ABCD 底面， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．（)求异面直线与所成角的大小； ()证明：直线MN OCD 平面‖； （）求直线与平面所成角的余弦； （）求二面角B OC D --的余弦值； （)求点到平面的距离．举一反三：【变式】如图,三棱锥-P ABC 中，90∠=︒ABC ,1=PA ，3=AB 2=AC ，⊥PA 面ABC , 则二面角--A PC B 的余弦值为．【变式】如图,PCBM 是直角梯形，90∠=︒PCB ，120∠=︒ACB ,PM //BC ，1===PM AC PC ,2=BC ，⊥AB PC ,为中点．(）求证:平面PAC ⊥平面ABC ; （）直线AM 与PC 所成的角； （）求二面角--M AC B 的余弦值；（）求三棱锥P M AC的体积．DEABCDABCO E例． 如图,四面体ABCD 中，=BO OD ，=BE CE ，2====CA CB CD BD ，==AB AD（）求证：⊥平面；()求异面直线与所成角的余弦； （）求点到平面ACD 的距离．【变式】四棱锥-S ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形，45=ABC ∠，2=AB ，=BC ⊥SBC 底面ABCD ．=SA SB（）证明⊥SA BC ；（）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．DBCAS【变式】如图，已知四棱锥-P ABCD 的底面是直角梯形,90∠=∠=ABC BCD ，1=CD ，2====AB BC PB PC ，侧面⊥PBC 底面ABCD ．求二面角--P BD C 的正切值．【变式】如图，直二面角-—中,四边形是边长为的正方形，，且⊥．()求二面角--B AC E 的余弦值; (）求点D 到平面ACE 的距离．P DABC类型三：存在性问题例．如图,棱长为的正方体—1C 中，、、分别为棱、、的中点．(）证明：1⊥PB MB ；（）在线段上求一点Q ，使得DQ ∥平面1MNB ；举一反三：【变式】在正方体1111-ABCD A B C D 中,E 、F 分别是AB 和BC 的中点，试问在棱1DD 上能否找到一点M 使⊥BM 平面1B EF ，若能,试确定M 点的位置，若不能,说明理由．【变式】如图，在直四棱柱—1C 中，已知，⊥，∥．（）求证：1C ⊥;（）设是上一点，试确定的位置,使∥平面,并说明理由．【变式】如图，在棱长为的正方体1111-ABCD A B C D 中,P 是侧棱1CC 上的一点,=CP m ．试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B所成角的正切值为EF1D ABCD 1A 1B 1C MP1D ABCD 1A 1B 1C P 1D A BCD1A 1B 1C MN1D 1A 1C AB CD E1B面对着学习，你就要有毅力。

§3.1.1空间向量及其运算［学习目标］1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．☆预习案☆（约分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。

［预习自测］1：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量. 叫相反向量，a的相反向量记着. 叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝.3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［我的疑惑］请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。

☆探究案☆（约分钟）［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。

［质疑探究］［自主总结］1、；2、；3、。

［典型例题］例1 已知平行六面体''''ABCDA B C D （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC ⑴；'ABAD AA ⑵；1'2AB AD CC ⑶1(')2ABADAA ⑷．例2化简下列各式：⑴AB BC CA ; ⑵;AB MB BOOM ⑶;ABACBDCD ⑷OAODDC .☆训练案☆（约分钟）［基础训练］---把最简单的题做好就叫不简单！1. 下列说法中正确的是（）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有ABADAC .2. 长方体''''ABCDA B C D 中，化简'''''AA ABAD =3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）A. 00a b B. 00a b 或0a b C. 01a D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，若AC ABAD ,则四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量［能力训练］---挑战高手，我能行！1. 如图，平行六面体1111ABCDA B C D 中，点M 为AC 与的BD 的交点，ABa ，ADb ，1A A c ，则下列向量中与1B M 相等的是（）A.1122a b c B.1122ab c B.C.1122a b cD.1122abc［错题整改区］1）错题号及分析：2）正确解法：§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）［学习目标］1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．☆预习案☆（约分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。

空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，理解向量是有大小和方向的量。

学习如何用坐标表示空间中的向量，包括二维和三维空间中的向量。

1.2 向量的加法和数乘学习向量的加法运算，掌握三角形法则和平行四边形法则。

学习向量的数乘运算，理解数乘对向量大小和方向的影响。

1.3 向量的长度和方向学习向量的长度（模）的定义和计算方法。

学习向量的方向，理解余弦定理在向量夹角计算中的应用。

1.4 向量垂直与向量积学习向量垂直的概念，掌握向量垂直的判定方法。

学习向量积的定义和计算方法，理解向量积的几何意义。

第二章：立体几何基础2.1 平面和直线学习平面的定义和表示方法，掌握平面的基本性质。

学习直线的定义和表示方法，掌握直线的性质和判定方法。

2.2 点、线、面的位置关系学习点、线、面之间的位置关系，包括点在线上、点在面上、线在面上的判定。

学习线与线、线与面、面与面之间的位置关系。

2.3 空间角的计算学习空间角的定义和计算方法，包括二面角和平面角的计算。

学习空间角的性质和应用，理解空间角在立体几何中的重要性。

2.4 立体几何中的定理和公式学习立体几何中的重要定理和公式，如欧拉公式、施瓦茨公式等。

学会运用定理和公式解决立体几何问题。

后续章节待补充。

空间向量与立体几何第六章：空间向量的应用6.1 向量在几何中的应用学习利用向量解决几何问题，如计算线段长度、向量夹角、向量垂直等。

掌握向量在三角形和平面几何中的应用。

6.2 向量在物理中的应用引入物理中的向量概念，如速度、加速度、力等。

学习利用向量解决物理问题，如计算物体的运动轨迹、速度变化等。

6.3 向量在坐标变换中的应用学习坐标变换的基本概念，如平移、旋转等。

掌握利用向量进行坐标变换的方法和应用。

第七章：立体几何中的特殊形状7.1 柱体和锥体学习柱体和锥体的定义和性质，包括圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等。

掌握计算柱体和锥体的体积、表面积等方法。

7.2 球体学习球体的定义和性质，掌握球体的方程和参数。

学习必备欢迎下载第七章空间向量与立体几何导学案一、引1、判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；→→(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量 BA 与向量 AB 的长度相等．→ → →→(5)若 A 、 B、 C、D 是空间任意四点，则有AB ＋ BC＋ CD ＋DA ＝ 0；→→→→(6)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A 、 B、 C，若 OP＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC(其中 x、 y、 z∈ R)，则 P、A、B、C 四点共面。

2、在正方体ABCD － A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC，A1B1 的中点，设→→请用 a、 b、 c 表示向量B1E，CF.→→→→3、已知空间四边形ABCD中， AB ＝a， BC＝b，AD ＝c，则 CD ＝ ()A ．a＋b－c B．c－a－b C．c＋a－b D．c＋a＋b4、在正方体 A1B1C1D1 － ABCD 中， E 是 C1D1 的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为 ()→→→DA ＝a， DC＝b，DD1 ＝c，101110A ．－10B．－20 C.20 D. 105、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是() A ．90° B．30°C．45° D．60°6、已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)， n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A ． 45°B． 135 °C． 45°或 135 °D． 90°二、探●课程标准1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘向量运算的性质，会运用上述知识熟练地进行空间向量的运算．2．理解共线向量、直线的方向向量、共面向量，会用所学知识解决立体几何中有关的简单问题．3．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质及运算律，会用它解决立体几何中的简单问题．4．理解空间向量的正交分解及其坐标的表示，掌握空间向量的坐标运算及数量积的坐标表示，会判断两个向量平行或垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式，并会用这些公式解决有关问题．5．理解平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．6．能用向量方法证明有关线、面位置关系，能够用向量方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题．7．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题中，体会向量方法在研究几何图形的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力．●学法探究：作类比1．空间向量概念、坐标表示及运算与平面向量类似，向量加法的平行四边形法则、三角形法则仍然成立．共线向量定理、数量积及其运算都是平面向量在空间的推广，空间向量基本定理，是由二维到三维的推广．2．可类比用平面向量解决平面几何问题探究如何用空间向量解决立体几何问题．(1)a⊥ b，a∥ b，是用向量研究立体几何中线线、线面、面面平行与垂直的基本工具，直线的方向向量、平面的法向量是关键．(2)cos〈a，b〉＝a·b是计算空间各种角的基础，但应注意线线角、线面角、二面角的范围．|a||b|●请填空1、空间向量的概念及表示(1) 与平面向量一样，我们把空间中具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模．(2) 与平面向量一样，空间向量也用表示．起点是A，终点是B的向量a也可以记作.其模记作.(3)的向量叫做零向量，记为0；模为的向量叫做单位向量．(4)的向量称为相等向量．与向量a的向量称为 a 的相反向量，记为2、空间向量的线性运算空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样．(1)加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法则，加法的交换律、结合律都成立．(2) 实数λ与向量a的乘积λa是一个向量，λ0时，λa 与 a 方向相同，λ0 时，λa与a方向相反，λ0 时，λa＝，其方向是任意的，| λa|＝.设λ、μ是实数，则有①分配律：λ(a＋ b)＝②结合律：λ( aμ)＝.3、空间向量的数量积及运算律(1) 数量积及相关概念①两向量的夹角→→已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 叫做向量a与b的夹角，记作，π，记作 a⊥b.其范围是 0≤〈 a， b〉≤π，若〈 a， b〉＝，则称 a 与 b2②两向量的数量积已知空间两个非零向量a， b 则叫做向量 a， b 的数量积，(2)空间向量数量积的运算律①结合律： ( λa) ·b＝；②交换律： a·b＝；③分配律： a·(b＋ c)＝4．基本定理(1)共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b ≠ 0)，a∥ b 的充要条件是存在实数λ，使.(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b，p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在实数x，y 使 p＝xa＋ yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x， y， z，使.5 、坐标运算：若a(a1 , a2 , a3 ) ， b (b1 , b2 ,b3) ，则（1）a b _________________，a b _________________ ， a __________________ ， a b ___________________ 。

空间向量与立体几何：教学设计1. 课程概述本课程旨在帮助学生深入理解空间向量与立体几何的基本概念，方法和技能。

通过本课程的学习，学生将能够熟练运用空间向量解决立体几何问题，提高空间想象能力和解题能力。

2. 教学目标2.1 知识与技能1. 掌握空间向量的基本概念，如向量的定义，模长，方向等。

2. 学会空间向量的线性运算，如加法，减法，数乘和标量积。

3. 熟悉空间向量在立体几何中的应用，如计算距离，角和体积等。

2.2 过程与方法1. 培养学生的空间想象力，能够将实际问题转化为向量问题。

2. 培养学生运用向量方法解决立体几何问题的能力。

3. 培养学生通过向量分析，发现和解决几何问题的思维习惯。

2.3 情感态度与价值观1. 培养学生对数学的兴趣和热情，感受数学的美。

2. 培养学生克服困难，解决问题的勇气和信心。

3. 教学内容3.1 空间向量基本概念1. 向量的定义2. 向量的模长3. 向量的方向3.2 空间向量的线性运算1. 向量加法2. 向量减法3. 数乘向量4. 标量积3.3 空间向量在立体几何中的应用1. 计算距离2. 计算角3. 计算体积4. 教学方法采用讲授，讨论，练习和实验等多种教学方法，以帮助学生更好地理解和掌握空间向量与立体几何的知识。

5. 教学评价通过课堂表现，作业，小测和期末考试等方式，评价学生在知识，技能和情感态度方面的进步。

6. 教学计划第一周：空间向量基本概念1. 向量的定义2. 向量的模长3. 向量的方向第二周：空间向量的线性运算1. 向量加法2. 向量减法3. 数乘向量4. 标量积第三周：空间向量在立体几何中的应用1. 计算距离2. 计算角3. 计算体积第四周：综合练习与复习1. 课堂练习2. 小组讨论3. 期末考试复习7. 教学资源1. 教材：空间向量与立体几何2. 课件：PowerPoint3. 练习题：纸质和在线4. 视频：教学视频和动画8. 教学建议1. 鼓励学生在课堂上积极提问，培养问题意识。

空间向量与立体几何教案教案标题：空间向量与立体几何教学目标：1. 了解空间向量的概念和性质。

2. 掌握空间向量的加法、减法、数量积和向量积的计算方法。

3. 理解立体几何中的基本概念，如平面、直线、点等。

4. 掌握立体几何中的常见问题解法，如平面与平面的关系、直线与直线的关系等。

5. 培养学生的空间思维能力和问题解决能力。

教学内容：1. 空间向量的定义和性质：a. 向量的表示方法；b. 向量的加法和减法；c. 向量的数量积和向量积。

2. 立体几何的基本概念：a. 点、线、面的定义；b. 平面与平面的关系；c. 直线与直线的关系。

教学步骤：1. 导入：通过展示一幅立体几何的图片，引发学生对空间向量和立体几何的兴趣，并提出相关问题。

2. 知识讲解：a. 介绍空间向量的概念和性质，包括向量的表示方法和运算法则。

b. 介绍立体几何的基本概念，如点、线、面的定义，并讲解平面与平面的关系和直线与直线的关系。

3. 示例分析：通过具体的例子，演示空间向量的加法、减法、数量积和向量积的计算方法，以及立体几何中常见问题的解法。

4. 练习与讨论：a. 学生进行空间向量和立体几何的练习题，巩固所学知识。

b. 学生分组讨论并解决一些立体几何问题，培养学生的合作能力和问题解决能力。

5. 拓展应用：a. 引导学生应用所学知识解决实际问题，如建筑设计、机械工程等领域的应用案例。

b. 鼓励学生进行创新思考，提出自己的问题并尝试解决。

6. 总结与归纳：梳理所学知识，总结空间向量与立体几何的重点和难点。

7. 作业布置：布置相关的练习题和思考题，巩固学生对空间向量与立体几何的理解和应用能力。

教学资源：1. 教科书或课件：提供空间向量和立体几何的相关知识点和例题。

2. 图片或实物：用于引发学生对空间向量和立体几何的兴趣。

3. 练习题：提供用于巩固和拓展学生知识的练习题。

教学评估：1. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，检查他们对空间向量和立体几何的掌握程度。

空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

3、探究题型，掌握解法。

二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。

探究题型，掌握解法。

三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。

在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。

四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。

设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。

所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。

因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。

在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。

空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。

本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。

（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。

空间向量与立体几何第一章：空间向量1.1 向量的概念向量的定义向量的表示方法向量的几何表示1.2 向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘1.3 向量的性质向量的模向量的方向向量的单位向量1.4 向量共线定理共线向量的定义向量共线的性质向量共线的判定第二章：立体几何基础2.1 立体几何的定义三维空间的概念立体几何的研究对象2.2 点、线、面的关系点的定义线的定义面的定义2.3 立体图形的性质立体图形的边和角立体图形的角度和体积立体图形的对角和表面积2.4 立体图形的分类棱柱棱锥球体圆柱圆锥第三章：向量在立体几何中的应用3.1 向量在立体几何中的作用向量在立体几何中的重要性向量在立体几何中的应用实例3.2 向量与立体图形的交点向量与平面交点向量与直线交点向量与立体图形的交点3.3 向量与立体图形的距离和角度向量与立体图形的距离向量与立体图形的夹角向量与立体图形的对角线3.4 向量与立体图形的对偶性对偶性的定义向量与立体图形的对偶性关系对偶性在立体几何中的应用第四章：空间解析几何4.1 解析几何的概念解析几何的定义解析几何的研究对象4.2 空间直角坐标系直角坐标系的定义空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的性质4.3 空间点的坐标点的坐标表示方法空间点的坐标与向量的关系空间点的坐标与立体图形的关系4.4 空间向量的解析表示向量的解析表示方法空间向量的坐标运算空间向量的几何意义第五章：空间向量与立体几何的综合应用5.1 空间向量与立体几何的关联空间向量与立体几何的关系空间向量在立体几何中的应用实例5.2 空间向量与立体图形的碰撞检测碰撞检测的概念空间向量与立体图形的碰撞检测方法空间向量与立体图形的碰撞检测应用5.3 空间向量与立体图形的动态模拟动态模拟的概念空间向量与立体图形的动态模拟方法空间向量与立体图形的动态模拟应用5.4 空间向量与立体几何的计算机图形学计算机图形学的概念空间向量与立体图形的计算机图形学方法空间向量与立体图形的计算机图形学应用第五章：空间向量的运算5.1 向量的加法和减法向量加法和减法的定义和性质几何表示和坐标表示实例分析和练习5.2 向量的数乘向量数乘的定义和性质几何表示和坐标表示实例分析和练习5.3 向量的点积向量点积的定义和性质几何表示和坐标表示实例分析和练习5.4 向量的叉积向量叉积的定义和性质几何表示和坐标表示实例分析和练习第六章：立体图形的性质与分类6.1 棱柱棱柱的定义和性质不同类型的棱柱棱柱的表面积和体积6.2 棱锥棱锥的定义和性质不同类型的棱锥棱锥的表面积和体积6.3 球体球体的定义和性质球体的表面积和体积球体的对称性6.4 圆柱和圆锥圆柱的定义和性质圆锥的定义和性质圆柱和圆锥的表面积和体积第七章：向量在立体几何中的应用7.1 向量在立体几何中的作用向量在立体几何中的重要性向量在立体几何中的应用实例7.2 向量与立体图形的交点向量与平面交点向量与直线交点向量与立体图形的交点7.3 向量与立体图形的距离和角度向量与立体图形的距离向量与立体图形的夹角向量与立体图形的对角线7.4 向量与立体图形的对偶性对偶性的定义向量与立体图形的对偶性关系第八章：空间解析几何8.1 解析几何的概念解析几何的基本概念坐标系和坐标变换8.2 空间直角坐标系空间直角坐标系的定义和性质坐标变换和坐标系间的转换8.3 空间点的坐标表示点的坐标表示方法点的坐标运算8.4 空间直线和平面方程直线方程平面方程实例分析和练习第九章：空间向量与立体几何的综合应用9.1 空间向量在工程中的应用空间向量在机械工程中的应用空间向量在土木工程中的应用9.2 立体几何在设计中的应用立体几何在建筑设计中的应用立体几何在产品设计中的应用9.3 空间向量与立体几何在科学计算中的应用空间向量在物理模拟中的应用立体几何在天文观测中的应用9.4 空间向量与立体几何在计算机图形学中的应用计算机图形学的基本概念空间向量和立体图形在计算机图形学中的应用第十章：空间向量与立体几何的案例研究10.1 空间向量与立体几何在医学成像中的应用医学成像技术的基本原理空间向量在医学成像数据分析中的应用10.2 空间向量与立体几何在导航中的应用导航的基本概念空间向量在导航中的应用10.3 空间向量与立体几何在虚拟现实技术中的应用虚拟现实技术的基本概念空间向量和立体图形在虚拟现实中的应用10.4 空间向量与立体几何在其他领域的应用案例教育游戏设计航空航天工程重点和难点解析1. 第五章中向量的运算：这是空间向量与立体几何的基础部分，学生需要理解并掌握向量的加减法、数乘、点积和叉积等基本运算。