人教b版高中数学选修：第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.3导数的四则运算法则预习导学案 含答案

3.2.3 导数的四则运算法则1．掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则．(重点) 2．会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．(难点)[基础·初探]教材整理 导数的四则运算法则阅读教材P 89～P 90例1上面内容，完成下列问题． 导数的运算法则设两个函数f (x )，g (x )可导，则和的 导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )差的 导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )积的 导数 [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )商的 导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f (x )＝a 2＋2ax ＋x 2，则f ′(a )＝2a ＋2x .( ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)．( )(3)运用法则求导时，不用考虑f ′(x )，g ′(x )是否存在．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型]利用求导法则求导数求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x； (5)y ＝x 5＋x 7＋x 9x；(6)y ＝x －sin x 2cos x2. 【导学号：25650114】【精彩点拨】 解答本题可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求解．【自主解答】 (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x. (2)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝x ＋3′x 2＋3－x ＋3x 2＋3′x 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x .(5)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝(x 2＋x 3＋x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.(6)y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .1．当函数解析式比较复杂时，求其导数一般先对函数解析式进行适当的化简变形，如(2)(5)(6)．2．正确理解和掌握导数四则运算法则和公式的结构特征是准确进行求导运算的前提．[再练一题]1．求下列函数的导函数． (1)f (x )＝(x 2＋7x －5)sin x ；(2)f (x )＝x 3＋cot xln x；(3)f (x )＝2sin x ＋x －2x3x2；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x.【解】 (1)f ′(x )＝(x 2＋7x －5)′sin x ＋(x 2＋7x －5)·(sin x )′＝(2x ＋7)sin x ＋(x 2＋7x －5)cos x .(2)f ′(x )＝x 3＋cot x ′ln x －x 3＋cot xln x ′ln 2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1sin 2x x ln x －x 3－cot x x ln 2x.(4)y ＝1＋x21－x ＋1－x 21－x＝21＋x 1－x ＝41－x－2，y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－41－x ′1－x 2＝41－x2.求曲线的切线方程求曲线y ＝f (x )＝x ＋x 在点(1,2)处的切线在x 轴上的截距. 【导学号：25650115】【精彩点拨】 解答本题可先运用求导法则求出y ′，进而求出y ′|x ＝1，再用点斜式写出切线方程，令y ＝0，求出x 的值，即为切线在x 轴上的截距．【自主解答】 ∵y ＝f (x )＝x ＋x ＝x ＋x 12，∴f ′(x )＝1＋12x －12＝1＋12x ，∴f ′(1)＝32，∴函数y ＝x ＋x 在点(1,2)处的切线方程为y －2＝32(x －1)，即3x －2y ＋1＝0.令y ＝0，解得x ＝－13，∴切线在x 轴上的截距为－13.根据导数的几何意义，可直接得到曲线上某一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．[再练一题]2．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．【解】 f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝ax ，解得a ＝e 2，x ＝e 2，∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)． 切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.[探究共研型]导数的综合应用探究 【提示】 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．已知函数f (x )＝x 2a－1(a ≥0)的图象在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．【精彩点拨】 求f ′(x )→求f (x )在x ＝1处的切线方程→求切线在两轴上的截距→建立面积S 关于a 的函数关系式→求面积的最值 【自主解答】 ∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a.又∵f (1)＝1a－1，∴f (x )在x ＝1处的切线l 的方程是：y －1a ＋1＝2a(x －1)．∴l 与坐标轴围成的三角形的面积为：S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2≥14×(2＋2)＝1. 当且仅当a ＝1a，即a ＝1时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.1．本题属于导数综合题，使用了建模的思想，建立面积函数，并应用基本不等式求函数的最值．2．利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的最值问题．这种题目往往使用函数与方程的思想，而解题的切入点是确定切点，求切线方程．[再练一题]3．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 【导学号：25650116】 【解】 根据题意，设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x)′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.1．下列四组函数中导数相等的是( ) A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝－cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与f (x )＝－2x 2＋3【解析】 由求导公式及运算法易知，D 中f ′(x )＝(1－2x 2)′＝－4x ，与f ′(x )＝(－2x 2＋3)′＝－4x 相等．故选D.【答案】 D2．曲线y ＝f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1【解析】 ∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋1，故切线斜率为k ＝y ′|x ＝1＝1.又∵切点坐标为(1,0)，∴切线方程为y ＝x －1.【答案】 C3．已知y ＝sin x －cos x ，则y ′＝________.【解析】 y ′＝(sin x －cos x )′＝(sin x )′－(cos x )′ ＝cos x ＋sin x . 【答案】 cos x ＋sin x4．在曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________． 【解析】 由y ′＝k ＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2) ＝3(x ＋1)2＋3≥3，故k min ＝3， 设切点(x 0，y 0)， 此时x 0＝－1，y 0＝－14， ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)， 即3x －y －11＝0. 【答案】 3x －y －11＝0 5．求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)；(2)f (x )＝ln x ＋2xx2. 【导学号：25650117】 【解】 (1)f ′(x )＝(2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5)′ ＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8.(2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋2x x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2xx 2′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x·2x x4＝1－2ln x x ＋x 2ln 2－2x 2xx 4＝1－2ln x ＋x ln 2－22xx 3.。

3.2.3导数的四则运算法则1．掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则．(重点)2．会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．(难点)[基础·初探]教材整理导数的四则运算法则阅读教材P89～P90例1上面内容，完成下列问题．导数的运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.()(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．( ) (3)运用法则求导时，不用考虑f ′(x )，g ′(x )是否存在．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型](1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x ； (5)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (6)y ＝x －sin x 2cos x 2. 【导学号：25650114】【精彩点拨】 解答本题可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求解．【自主解答】 (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′。

3.2.3 导数的四则运算法课堂探究探究一 应用求导法则求导数要求初等函数的导数需要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式进行求导．在求导数时有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可利用代数或三角恒等变形将函数化简，然后进行求导，以避免或减少使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．例如求函数y ＝x －12x 的导数，先化简为y ＝12－12·1x，再求导，使问题变得更简单． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2； (2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝xe x ； (4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. 思路分析：(1)是函数和差求导；(2)是函数积求导；(3)是函数商求导；(4)先进行分母有理化化简函数式，再求导． 解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′ ＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′ ＝3x 2－3x －6.(2)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos x x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x －x (e x )′(e x )2 ＝e x －x e xe 2x ＝1－x ex . (4)y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2(1＋x )1－x ＝41－x－2， y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2 ＝4(1－x )2. 探究二 利用导数求切线方程求曲线上某一点的切线方程时，需要求曲线的导数，对于解析式复杂的函数，利用导数法则求解比利用定义求解要方便，选用哪个导数法则要根据解析式的特点决定．【典型例题2】 已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．思路分析：根据导数的几何意义，结合题目条件，可由f ′(x )＝－1有唯一解确定a 的值，然后求出切点坐标，写出切线方程．解：因为f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ， 所以f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．所以Δ＝16－4(a ＋1)＝0，所以a ＝3.所以f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1可化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2，所以f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23， 所以切线l 的方程为y －23＝(－1)×(x －2)，即3x ＋3y －8＝0. 所以a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.探究三导数的综合应用对于一个具体的初等函数，可以利用求导公式和导数的四则运算法则求导数，反过来，已知某些条件及其导函数，也可以确定参数，求出函数解析式．【典型例题3】 已知函数f (x )是关于x 的二次函数，f ′(x )是f (x )的导函数，对一切x ∈R ，都有x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1成立，求函数f (x )的解析式．思路分析：利用待定系数法，设出f (x )的解析式，根据条件列出方程组求出参数值． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，所以201a bb cc⎧⎪⎨⎪⎩－＝，－＝，＝，解得221abc⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.。