编制数学模拟题的过程说明与常用方法介绍
现在距中考满打满算不到3个月了，如何做好中考复习工作，各人有各自的想法，但进行模拟考试，好像必不可少，那么模拟卷从那里来？当然我们可以拿别人已经编制好的试卷来直接使用，而不管效果如何，但作为教师，尤其是一名毕业班教师，必须具备命题基本功.
1、在扩充的容中寻求新的生长点：
2、对保留的容确定新的标高；
3、在原有命题模式上推出新的结构；
4、以数学思想方法为核心设计新的情境；
5、以能力考查为目标创造新的题型。
编制一份含金量高的试卷，从大的方面讲，需要我们把握课程标准、考试纲要上的要求，需要确定试卷的整体结构与各知识点的比重，要制作《考点知识双向细目表》等，这些说起来就比较长，做起来也比较麻烦，很耽误时间，我们往往不愿意去做.但我们注意到：多年来，我省中考数学试题，一直突出对四基的考查，注重考查学生的思维能力和发展潜能，题型结构稳定，因此，为了减少工作量，我们可以类比着近年我省中考试卷的模式和样板去把握总体结构来命题.
下面我主要结合近几年编制模拟试卷的一些体会，介绍编制数学题常见方法和过程，供参考.
一、命题过程说明
命题不外乎改编题和原创新题.
(一)一道题的改编过程
习惯上把数学教科书中的例题、习题和其它各类书刊上已有的题
目等称为题.改编题，实际上就是对原有题目进行加工、改造、深化.
1.题原貌
如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，作△ABC
的高CD ，作△CDB 的高DC 1，作△DC 1B 的高C 1D 1，……，就这样无限作下去，则图中阴影部分的
面积之和为______.
2.前期思考
此题背景是相似三角形中的基本图形——母子三角形.通过解答不难发现本题主要考查含30度角的直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定和性质等，但已知部分和求解过程都涉及无限，解答中还需应用整体思想.若直接使用此题，学生可能不知从何处下笔而
无法准确解答，从而就有得分率低，区分度不高，起不到考查目的的问题.因此我想：在原题题干不动的情况下，通过设计有梯度的几个问题，并将原问作为最后一问，使大部分同学能够解答前面的问题，并且通过解答前面的问题对求最后结论有一定的提示引导作用，使之成为入口宽、有梯度、有区分度的考题.
因此，初步打算将试题改编为一道解答题，第一问不涉及无限，只考查对图形的认识----入口问题；第二问涉及到无限，并且第一问的解答对其有提示作用----铺垫问题；第三问即为求图中阴影部分的面积之和.
3.编拟试题
有了上面的想法，联系原题解答过程中的第一步，第一问可以有多种问法，比如：①求△ACD 的面积与△ABC 的面积比；②求△CDC 1的面积与△ABC 的面积比、……，但这两种问法
都过于直白，而且对求阴影部分的面积之和没有直接的提示作用，如何解决这个问题，又是要我们考虑的问题，对，我们可以综合这两问，设置第一问为求△ACD 的面积与△CDC 1的面积比.考虑到数学语言的简洁性，可将第一问表述为：
⑴若记△ACD 的面积为S △ACD ，△CDC 1的面积为S △CD C1，求S △ACD ︰S △CD C1；
对于此问，只要学生对相似三角形中的基本图形有认识，会证△ACD ∽△CDC 1，并且能
够运用相似三角形面积比等于相似比的平方等性质，都可以完整解答.
注意到整个三角形被分成了无限个阴影三角形和无限个无影三角形，而第一问对无限没有涉及，学生要想求图中阴影部分的面积，仍有一定的难度，如何在第二问中来引导学生把握无限呢？对第二问可以是：①求无影三角形与阴影三角形的面积比；②求出阴影部分面积占整个三角形面积的比……，等.想一想不难发现，第二种问法与“求图中阴影部分的面积”小异，并不能体现梯度，所以将求无影三角形与阴影三角形的面积比作为第二问，并用简洁的数学语言表述如下：
⑵若记图中阴影部分的面积为S 黑，剩余部分的面积为S 白，求S 白︰S 黑.
要正确解答此问，只要运用类比方法得到无限组相邻的无影三角形与阴影三角形的面积比，再运用等比性质即可求出S 白︰S 黑.
有了上面的入口问题和铺垫问题，将“求图中阴影部分的面积.”作为第⑶问就顺理成章了.
4.最后定稿
基于以上修改想法，编拟出的试题可定稿如下：
如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，作△ABC 的高CD ，作△CDB 的
高DC 1，作△DC 1B 的高C 1D 1，…，就这样无限作下去.
(1)若记△ACD 的面积为S △ACD ，△CDC 1的面积为S △CD C1，求S △ACD ︰S △CD C1；
(2)若记图中阴影部分的面积为S 黑，剩余部分的面积为S 白，求S 白︰S 黑.
(3)求图中阴影部分的面积.
反思：上面只对问题进行了改编，本题还可对题干作适当变动，比如将AC=2，修改为
BC=.
(二)一道原创题的命制过程
从某种角度讲，原创数学试题的新颖性对考生是一种难度，但能真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况，而对命题者来说，更是命题成功与否的一个重要标志.
2011年在给《数学周报》命制模拟题时，根据模拟题考点需要，需要命制一道考查函数知识的题，当然我可以找来一道中考题进行改编.但我想到了一句话，改变了我，使我有了进行原创的想法.
1.素材说明
我想到在刚工作时，遇到的一件事，说的是：某次数学考试，由于没有控制好试卷难度，使得考试成绩普遍偏低，我和同组老师交流时，一位老师开玩笑地给我提出一个方案：采用将每人分数先开方再乘以10的方法来记学生的成绩，这样就可保证考36分的人就达到及格(那时，满分为100分).
大家可以发现，这个分数转换方法不仅可以提高学生的纪录成绩，还能保证0分转换后仍为0分,100分转换后仍为100分.其中蕴含着函数的单调性以及函数值域知识. 对，何不运用此素材编一道函数题呢？
2.初拟试题
素材有了，但要与初中函数联系编题，还有一定难度.因为直接设原分数为x ，转换后的分数为y ，列出的函数是x y 10=，它并不是初中学习过的函数.但注意到，将其两边平方，整理可得2100
1y x =，因此，如果将处理后的分数作为自变量，原分数作为应变量就可以将其编制成一到考查二次函数知识的应用题.
有了上面的想法，考虑与函数的最值联系，经思考润色，试题初拟如下：某次数学考试，因试卷难度大而导致成绩普遍很差，老师为了提高学生的分数，采用将每人分数先开方再乘以10的方法.如36分的人计算方法是10×36=60，即经过这样处理后就达到及格分，比原来高了24分.请问多少分的人经过处理后加分最多？
问题设置为“问多少分的人经过处理后加分最多”，主要是为求所列二次函数的最值时，可以相应考查配方或顶点坐标公式等知识.
3.分析提升
显然，这样的题是不能令人满意的，因为：
第一、以分数转换为背景，有过于强调分数的嫌疑，与义务教育目标不符，应该避免；
第二、省中考数学分值是150分，而所命的题中，是100分，与现实不符；
第三、学生解答此题，很容易将原分数作为自变量，而不知将处理后的分数作为自变量，也可能不会将增加的分数作为应变量，解答时可能无法下手.
如何解决上述问题？
对于第一条，因为本题立意是考查函数知识，所以不如直接将分数转换问题修改为数字转换问题，并将转换要求直接在题干中反映.如是，将题干修改为：现想将0～n的正数转换成比原数不小的新数，且0转换以后仍是0，n转换以后仍为n.
对于第二条和第三条，可以通过设置问题串来解决.初拟的试题只设一问，也浪费的素材，可以通过增加问题，来发挥素材的价值.
考虑原始素材和上面思考，第⑴问就直接用素材中的转换方法，让学生验证是否符合转换要求.这样可以帮助学生理解题干，同时为后面的问题作铺垫.
如是，将第一问设置为：
⑴若n=100，一位同学将原数先开方再乘以10的方法来确定新数，请你验证这种方法是否符合要求；
第⑵问不能再用问题(1)的问法(若n=150，一位同学将原数先开方再乘以10的方法来确定新数，请你验证这种方法是否符合要求)，为了使问题串逐步推进，层次分明，有梯度，不如将第二问让学生设计一种符合要求的转换方法.
如是，将第二问设置为：
⑵若n=150，请你写出一种转换的方法，使转换后的新数也符合题目所给的转换要求.(不必证明)，此种问法，有一定的开放性，答案不唯一.
初拟试题中的设问，没有给出变量，学生可能难以想到，为了降低难度，可将变量在题中给出.有此想法后将最后一问设置为：
⑶一个爱动脑筋的同学发现：不同的正数经过⑴的方法处理后增加的数不一样多.若设经过⑴中的方法处理后的数为x，增加的数为y，写出y与x之间的函数关系式，并求出多大的数经过这种方法转换后增加最多？
4.尘埃落定
基于以上想法，编拟出的试题定稿如下：
现想将0～n的正数转换成比原数不小的新数，且0转换以后仍是0，n转换以后仍为n.
⑴若n=100，一位同学将原数先开方再乘以10的方法来确定新数，请你验证这种方法是否符合要求；
⑵若n=150，请你写出一种转换的方法，使转换后的新数也符合题目所给的转换要求.(不必证明)
⑶一个爱动脑筋的同学发现：不同的正数经过⑴的方法处理后增加的数不一样多.若设经过⑴中的方法处理后的数为x，增加的数为y，写出y与x之间的函数关系式，并求出多大的数经过这种方法转换后增加最多？
以上是我对命制题目的回忆，由于有一定的时间间隔，加之我表达能力有限，不能完整反映命制过程.
二、命题方法介绍
下面分如何“改编题”，如何“新编原创”两个方面归纳常见的命题的方法.
(一)改编题推出新
如果每道试题都是原创题当然不错，但这对命题者的要在太高.而用题考查学生的水平，显然不能做到公平与公正，效度难以保证.因此对待题，尽量进行改编，加入新的元素使之有新意；注意针对性，使之符合新的评价理念.
题的来源主要是教材中的习题、思考题，以及往年的中考题.它们是命题的“零投资”资源库.这些题都是经过专家多次打磨、筛选后的精品，自身蕴藏着丰富的潜在功能，有待我们把握立意，探其源，究其变，创造性使用这些资源，由此构选出小异或面目全非的新题.
1.修改数据或变换背景
“修改数据”就是保持原题的原文或原意，仅把有关数据进行更换，“变换背景”就是用等价的说法对背景稍做改动，它们是一种“偷梁换柱”式的做法. 通过改动数据或变换背景，使之更符合现在的情况.
例1.电信局的维修工甲、乙两人要到40千米远的地方抢修线路．甲骑摩托车先行，乙开抢修车载着所需材料后出发．
⑴若抢修车迟出发20分钟，抢修车的速度是摩托车的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，
求摩托车的速度；
⑵若摩托车的速度是45千米/小时，抢修车的速度是60千米/小时，且乙不能比甲晚到，则乙最多能比甲迟出发多长时间？
本题改编自2009年市中考题22题.原题是：供电局的电力维修工甲、乙两人要到45千米远的A地进行电力抢修．甲骑摩托车先行，t(t≥0)小时后乙开抢修车载着所需材料出发.
⑴若3
t (小时),抢修车的速度是摩托车的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的8
速度；
⑵若摩托车的速度是45千米/小时，抢修车的速度是60千米/小时，
且乙不能比甲晚到则t的最大值是多少？
改编时注意到原题中变量t可有可无，因此将原题中的变量t删去；
其次修改抢修车迟出发的时间，使之更符合人们表达习惯，为了保持所
求摩托车的速度仍和原题所求摩托车的速度相同，同时修改抢修地与出发地间的距离.
例2.如图，⊙O的直径AB为8，弦CD⊥AB，垂足是E，∠B=22.5°，
CD的长为( ).
A.2
4 D.8
2 B.4 C.2
原题：2014中考题第7题
如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为( ).
A.2
4 D.8
2 B.4 C.2
2.选用高中适合初中学生解答的问题
现在，新课程对容采取循环安排，在高中的数学中，常常包含着一些初中的容.如果我们注意对高中数学或其他学科中的一些符合初中毕业生解答的习题进行变形、简化、特殊化、具体化，就可以编拟出用初中知识或方法来解决的数学问题，有的甚至可以直接选用.
例3.为了解学生身高情况，某
校以10%的比例对全校700名学生
按性别进行分层抽样调查，测得身
高情况的统计图如下：
⑴估计该校男生的人数；
⑵估计该校学生身高在170～185cm之间的概率.
这是一道综合考查统计与概率知识的问题，来源于2010高考理科第19题.原题的第(Ⅰ)
问即上述第⑴问，可以用初中所学统计中的样本估计总体的思想解答；原题的第(Ⅱ)问即上述第⑵问，可以用初中所学的概率知识解答.
原题的第(Ⅲ)问如下：(Ⅲ)从样本中身高在165～180cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180cm 之间的概率.解答需要排列组合知识，初中学生没有学过，所以选用时，将此问删去.
例4.(2014课标全国Ⅰ文改编)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( ).
A.三棱柱
B.三棱锥
C.四棱柱
D.四棱锥
例5.（2014高三大联考改编）右图是某驾照培训机构仿照2008年申奥标志设计的路考的行使路线，即从A 点出发沿曲线段B →曲线段C →曲线段D ，最后到达
E.某观察者站在M 点处观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，设
观察者从点A 开始随车子运动变化的视角θ=∠AMP ，则下列图象中能表
示θ与t 之间的函数关系的图象大致是( ).
3.改变题型
对题型进行切换，以吻合考查意图，此类问题一般是把解答题改为填空题、选择题或开放题等，进行切换时，往往需要考虑条件的必要性.
例4.如图，抛物线a x x y +-=2
522与x 轴正半轴交于A 、B 两点(A 在B
的左边)，与y 轴正半轴交于C ，则B 点坐标可能是( ).
A.(41，0)
B.(4，0)
C.(1，0)
D.(33，0)
本题的原题是一道解答题：如图，抛物线a x x y +-=2522与x 轴正半轴交于A 、B 两点(A 在B 的左边)，与y 轴正半轴交于C ，且∠OCA=∠OBC ，求B 点坐标.
解答原题可以得到B 点坐标是B(1，0).但解答过程涉及二次函数、相似三角形以及一元二次方程根与系数关系等知识.不但偏难，而且解答所涉及的知识点一元
二次方程根与系数关系是的初中的选学容，所以此题作为一道模拟题不合
适.那么如何修改呢？
进一步思考发现，此抛物线的对称轴是直线85 x ，如图.利用对称性知，原点O 关于对称轴的对称点的横坐标应为45，因此B 点的横坐标应介于85和45之间，于是，就有将其修改为选择题的想法，通过列出四个选项，使其中一个选项的坐标为(1，0)，另外三个选项的横坐标处于85～4
5之外，这样就避免了使用一元二次方程根与系数关系来解答的超标问题.同时删去题干中解答时不需要的条件∠OCA=∠OBC.为了使问题严密，将“则B 点坐标是”改为“则B 点坐标可能是”.
4.更换条件或结论或具体化
把数学题中的条件或结论变更、或将条件与结论交换(转换为原命题的逆命题)等方式，也可打造出新题.
例5.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 在AB 上，
作DE⊥AC 于E ，DF⊥BC 于F ，当D 从A 点向B 点移动的过程中，矩形DECF
的最大面积是( ).
A.247
B.57649
C.12
D.24 原题是：如图Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 在AB 上，作DE⊥AC 于E ，DF⊥BC 于F ，当D 从A 点向B 点移动的过程中，矩形DECF 的面积的变化情况是( ).
A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.先变大后变小
D.先变小后变大 原题的结论是问矩形DECF 的面积的变化情况的，解答时无需动笔，只要根据经验即可判断出应选C.思维的含量比较低，如是随手将结论修改为求矩形DECF 的最大面积.
本题还可修改为问“周长的变化情况是( )”.它们虽都是更换结论编题，但改为问周长的变化情况，答案就变成“B.逐渐变小”. 解答时如果不思考，易受面积变化情况的影响而选错.这样有利于打破学生思维定势，提高学生的思维层次.
5.纵向增设梯度问题
对有一定难度的题，为了低起点、高落点，通过增设有梯度的问题，兼顾各水平学生.也可对条件、结论甚至图形充分挖掘编题.
例6.在平面直角坐标系中，有A(3，4)，B(4，3)两点.
⑴现添加一个点C(1，0)，求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
⑵任意添加一点C ，是否经过A 、B 、C 三点都可以确定一条抛物线？如果不能，请给出一个点C 的坐标，求经过这三点的函数解析式，并写出你添加的点的坐标.
⑶A、B两点可能在一条双曲线上吗?如果能，请求出双曲线的解析式，如果不能，说明理由？
本题的原题是：在平面直角坐标系中，有A(3，4)，B(4，3)两点.
⑴再添加一点C，求出经过A、B、C三点的函数关系式；
⑵反思第⑴小题，考虑有没有更简捷的解法？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由.
原问题的设置有一定的开放性，问题设置的起点是防止思维定势，即一般都会想到经过A、B、C三点的二次函数，实际上题目并没有明确所求一定是二次函数.我在改编时，主要考虑做到目标明确，因此将其直接编制为考查初中所学的三种函数的问题.
6.横向联系适当组合
采用适当组合将几个相关的概念、运算、结论或图形等有机地组合起来可以构造新的命题，或把一个命题分解成几个相关命题以产生新命题.
例7.已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′=16cm，BC=B′C′=10cm，∠A=∠A′=30°，如果△ABC和△A′B′C′不全等，则它们的面积之差是_____cm2.
我们知道，满足“边边角”相等的两个三角形可能全等，也可能不全等，当满足“边边角”的两个三角形不全等时，这两个三角形的面积就相差一个等腰三角形的面积. 于是就编制出此题.
例8.已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm.
⑴分别取AD、AB、BC、CD的中点E、F、G、H，连接
EF、FG、GH、HE，如图⑴，则四边形EFGH是菱形，求菱
形EFGH的面积；
⑵请你在图⑵和图⑶中分别画出一个菱形(不必证明).要求:面积比⑴中的菱形面积大，并计算所画菱形的面积.
本题由以下两题组合改编而成.
原题1：如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，求证：四边形
EFGH是菱形.
原题2：如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E、F分别是AD、BC上的点，四边形EBFD是菱形，求菱形的面积.
原题1中的菱形面积等于矩形的一半. 原题2中的菱形面积大于矩形的一半.因此联系这两题就编出例11这道有一定思维含量，考查特殊四边形知识的问题.
以上方法均立足于原有题，分类并非是逻辑分类，它们彼此融合.限于水平，归纳出上述六种改编数学题的方法.实际上改编题的方法应该很多，关键是注意变化，编出新意.
(二)利用素材进行原创
编拟原创题往往需要经过反复推敲才能完成，是一项创造性的劳动.需要编题者做一个有心人，处处留心，处处关注，要能抓住瞬间即逝的想法，并用数学的眼光，看待所见、所闻、所思，从中发现数学问题.并做到以一定的数学知识为背景，选择合适的题型，编制出数学题.
1.从背景方面考虑进行原创
我们可以从社会热点、日常生活提炼与数学有关的容，将其作为命题的素材. 需要注意的是以现实为背景编制原创题时，所取的背景一定要真实，所给数据一定要准确.
例1.前几年房价上涨过快、近期上涨放缓编制方程题
例2.会徽图案的设计考查对称.
各类会徽的设计往往可以看作一个精美的几何图形，其设计通常要用到旋
转、平移、轴对称、中心对称、相似等一些图形变换的方式.命题时可以用会徽
图案，考查对对称图形的认识.
2.从知识方面考虑进行原创
有时为了试卷的知识分布，需要考查某个知识点而编制相应的试题.
例3.市2014年第一季度实现生产总值1063.8亿元，用科学记数法表示应是______.
本题以我市2014年第一季度生产总值为背景，为考察科学记数法而设计的.
例4.如图所示，有一高脚杯，杯子的造形曲线为抛物线，其中N为顶点，AM=BM，今于杯装水，若水面宽度AB=10cm时，水面高度MN=10cm；当水面宽度CD=6cm时，求水面高度NP为多少cm？
这是为了考查二次函数知识，参照抛物线桥梁问题，编制的.
3.从题型方面考虑进行原创
数学题有各种各样的题型，除了一般所说得选择题、填空题、解答题外，还有一些其它
的分类方法，如信息迁移题、图表信息题、阅读理解题、开放探索题、方案设计题、动手操作题等等.有时为了需要必须编制相应的题型，尤其是考纲中列举的新题型.
例5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H分别是各边AB，BC，CD，DA的中点，由下列条件中的某一个就能推出四边形EFGH是菱形的是__________(把所有正确答案的序号都填写在横线上).
⑴AC⊥BD；⑵AC=BD；⑶AD=BC；⑷∠ADC=∠BCD.
省考纲中从2007年新增了一类多选填空题(第14题5分)，本题是为配合此类题题而编制的.
4.综合考虑进行原创
综合多方面因素考虑，进行原创题的编制.对于大的解答题的编制，需要命题者要有敏锐的触角和洞察全局的思维.
例6.(上面的案例2)
本题是受近30年前的一句笑话的提示，结合现实，命制的考查代数式知识、函数基本知识(函数种变量对应关系、函数的单调性、函数值域)、二次函数知识的问题.
从理论上讲，命题应该是有法可循的，这里所说的方法就是编题技巧.但要真正编出一道好题，常常是随着讨论、研究的深入而产生，需要经过反复琢磨、多次修改才能最后敲定.罗增儒教授在他的《数学解题学引论》中指出：“编拟数学题需要深厚的知识功底，良好的思维素质和熟练的编题技巧.有时候，创造一个问题比解决一个问题更困难”.这就告诉我们要不断学习，多思考，加强解题研究，掌握编题技巧，只有这样我们才能进行创新，命制出好题.
2015.3.29
初中数学试题与答案 【篇一：上海2014年初中数学中考试卷(含答案)】p class=txt>一、选择题（每小题4分，共24分） 1 (a) ； b ）． (c) ；； (b) (d) ． 2．据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（c ）． 3．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ c ）． (a) y＝x2－1；(b) y＝x2＋1；(c) y＝(x－1)2； (d) y＝(x＋1)2． 4．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是 （ a ）．（此题图可能有问题） (a) ∠2；(b) ∠3；(c) ∠4； (d) ∠5． 5．某事测得一周pm2.5的日均值（单位：）如下： 50， 40， 75， 50， 37， 50， 40 ，这组数据的中位数和众数分别是（a ）． (a)50和50；(b)50和40；(c)40和50； (d)40和40． 6．如图，已知ac、bd是菱形abcd的对角线，那么下列结论一定正确的是（ b ）． (a)△abd与△abc的周长相等； (b)△abd与△abc的面积相等； (c)菱形的周长等于两条对角线之和的两 (d)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍． 二、填空题（每小题4分，共48分） 7．计算：a(a＋1)＝a2?a． 8．函数y?1的定义域是x?1． x?1 x?1?2, ?2x?8倍；9．不等式组??的解集是3x4． 10．某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔352支．
1方法论，就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。 2方法是人们在认识和改造客观世界中所采用的方式、手段的总称 3数学方法论是研究数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现发明，与创新法则的一门学问。 4数学方法论的研究意义:一有利于培养数学能力与改革数学教育二，有利于充分发挥数学的功能三有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律 5合情推理:归纳法，类比法，演绎推理；非逻辑推理:数学美学法，直觉法；数学问题的来源:（外）哥尼斯堡七桥问题，（内）哥德巴赫猜想，一笔画问题 6波利亚怎样解题表:理解题目，拟定方案，执行方案，检查回顾 7数学典型方法:模型法，公理法（布尔巴基），构造法（直觉），化归法 8数学解题的四种模式:双轨迹模式，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式 数学问题在数学发展以及数学教育的意义 （一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用 数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。” 由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。 数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
编制数学模拟题的过程说明与常用方法介绍 现在距中考满打满算不到3个月了，如何做好中考复习工作，各人有各自的想法，但进行模拟考试，好像必不可少，那么模拟卷从那里来？当然我们可以拿别人已经编制好的试卷来直接使用，而不管效果如何，但作为教师，尤其是一名毕业班教师，必须具备命题基本功. 1、在扩充的内容中寻求新的生长点： 2、对保留的内容确定新的标高； 3、在原有命题模式上推出新的结构； 4、以数学思想方法为核心设计新的情境； 5、以能力考查为目标创造新的题型。 编制一份含金量高的试卷，从大的方面讲，需要我们把握课程标准、考试纲要上的要求，需要确定试卷的整体结构与各知识点的比重，要制作《考点知识双向细目表》等，这些说起来就比较长，做起来也比较麻烦，很耽误时间，我们往往不愿意去做.但我们注意到：多年来，我省中考数学试题，一直突出对四基的考查，注重考查学生的思维能力和发展潜能，题型结构稳定，因此，为了减少工作量，我们可以类比着近年我省中考试卷的模式和样板去把握总体结构来命题. 下面我主要结合近几年编制模拟试卷的一些体会，介绍编制数学题常见方法和过程，供参考. 一、命题过程说明 命题不外乎改编陈题和原创新题. (一)一道陈题的改编过程 习惯上把数学教科书中的例题、习题和其它各类书刊上已有的题 目等称为陈题.改编陈题，实际上就是对原有题目进行加工、改造、 深化. 1.陈题原貌 如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，作△ABC 的高CD ，作△CDB 的高DC 1，作△DC 1B 的高C 1D 1，……，就这样无限作下去，则图中阴影部分的面积之和为______. 2.前期思考 此题背景是相似三角形中的基本图形——母子三角形.通过解答不难发现本题主要考查含30度角的直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定和性质等，但已知部分和求解过程都涉及无限，解答中还需应用整体思想.若直接使用此题，学生可能不知从何处下笔而
浅谈初中数学测试题的编制 浅谈初中数学测试题的编制 金堂县广兴镇初级中学邓定荣 内容摘要：学生学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生的学习和改进教师的教学。教师职业素养中，命题是较为关键的一环，一份好的试卷不仅是检验教学效果好坏的一种方式，也是引导学生如何进行学习，及时发现教学中的问题并加以修正的导向作用，亦即“导游图”的作用.一个好的教师绝不是让学生泛泛、无选择地做题，而应当根据教学的内容、目标，结合学情编制出科学合理的训练题或试题，还要能根据学生的掌握情况有选择的讲解题目.而困扰命题者的常常是试题素材的不足甚至匮乏，因此提高命题者试题素材资源的认识水平和开发利用能力，对提高命题的质量，具有越来越重要的作用.下面本人就编制试题的原则、常见题型及编制方法谈谈自己的一些看法，以此抛砖引玉。 关键词：原则题型方法 一、编制数学试题应遵行的原则： 新课程改革的数学教育目标指出：“义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，课程设计要适应学生未来生活、工作和学习的需要，使学生掌握必须的数学基础知识与基本技能，发展学生抽象思维与推理能力，培养学生应用意识和创新意识，并使学生在情感、态度与价值观等方面都得到发展。”因此初中数学测试题卷应遵行以下原则： 1.基础性原则：试题题目首先要突出“双基”的考查，试题的难、中、易比例适度。新课 程理念要求关注学生发展，恰当考查学生的基础知识与基本技能.在新课程教学中，基础知识与 基本技能依然是“基础”重要的组成部分，而且是其它基础的载体，扎实的“双基”是提高数 学素养，发展创新能力与实践能力的基础，是学生发展的必要条件.命题要把考查学生的数学基 础知识与基木技能放在首位，针对学生在该学段的学习内容，命题要点多面广，难度适宜，看 眼于基木要求，考查大面积学生的基础情况，尽可能把所学过的重要概念、公式以及基础性的 知识融汇其中，要以大部分学生都能达到的目标为底线，使大多数学生在练习时都能获得成功 的喜悦、对数学产生浓厚的学习兴趣.不人为编造的繁难偏旧的习题，充分体现数学学科的教育 价值，有利于引导教师重视课本教学，摒弃“题海战术”.2,全面性原则：试题要面向全体学生，注重知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的全面考查，以激励学生为手段，以发展为 目的，引导学生关注社会，拓宽视野，重视课堂、书本以外的数学。 3.应用性原则：义务教育数学课程标注指出数学来源于社会生活实际，又应用于指导实践 活动.能用数学的眼光认识世界，并用数学知识和数学方法处理周围的问题，是每个人应具备的 基本素养.因此从学生的生活经验和社会生产实际出发设计数学题目，试题要体现应用性、生活 性和时代性。如银行存款利率，股市行情等富有一定的实用性和挑战性，时代气息与教育价值 较强的内容，这种做法有利于引导学生关注生活中的数学，关注身边的数学，培养他们从实际 问题中形成抽象数学模型的能力，促进学生形成学数学、用数学、做数学的意识.。。 4.生活性和趣味性原则：试题要考查学生灵活运用数学的相关知识解决实际问题的能力和数 学素养。试题应尊重学生的学习风格，给学生以充分展示个人能力水平的空间。试卷能给学生
For personal use only in study and research; not for commercial use 《数学方法论与解题研究》期末试题一、填空题（20分，每题2分） 1，数学研究主要的就是发现问题和问题。 2，陈氏定理是由我国著名数学家提出。 3，化归是实现化归的关键。 4，演绎法又称，它是一种逻辑证明的工具。 5，爱因斯坦于1905年提出了。 6，完全归纳法又分为和类分法两种类型。 7，在数学教育界第一个系统研究解题理论的人是。8，唐以荣教授得出是“解题过程的本质”。 9，解题“三步曲”是指观察、和转化。 10．应该反映原型，但又不等于原型。 二，判断题（10分，每题2分）（对打√，错打×） 1，（）通常把思维分为三类，即抽象思维、形象思维和灵感思维。2，（）分析法即所谓“执果索引”的方法。 3，（）悖论的出现说明集合论中包含着矛盾。 4，（）数学逻辑思维的基本形式为概念、判断和证明。 5，（）智力是人类特有的现象，是人类认识世界、改造世界的本质力量。
三，选择题（15分，每题3分） 1，求高次方程的近似解法较早出现在（） A，《数书九章》B，《几何原本》C，《九章算术》D，《怎样解题》 2已知f(x+1)=x2,f(x)=( ) A x+1 B x2-2x+1 C x2-x C x2+2x+1 3非演绎法的类型有( ) A 三段法 B 假言推理 C 综合法 C 否定肯定式 4“万物皆数”的说法出自( ) A 欧拉 B 高斯 C 王阳明 D 毕达哥拉斯 5数学解题的目的和价值有知识基础性,方法技能性和( ) A 观念性 B 意识性 C 综合性 D 观念意识性 四.名词解释(10分,每题5分) 1.归纳法 2.公理化方法的含义 五.解题研究:(30分, 每题15分) ^ 值,并证明其结果. 1,研究cos 2n
chap1 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现，发明与创新等法则的一门学问。 chap2 1.数学问题的来源 （1）外部世界的需求 哥尼斯堡七桥问题 四色问题 （2）数学内部产生的问题 几何三大难题 高次代数方程可解性问题 哥德巴赫猜想
第五公设问题 2.波利亚的数学解题表， 怎样解题表： 理解题目，拟定方案，执行方案，检验回顾。 3.解题模式 双轨迹模式 笛卡儿模式，将所有的问题都转化为代数解方程递归模式 叠加模式
chap3合情推理 1.类比推理是根据两个对象有部分属性相同或相似，从而推出它们的其它属性也相同或相似的推理，它是由特殊到特殊的思维过程 举一例 作用: （1）数与式的类比 （2）类比在求解问题中也有着广泛的应用 （3）类比可用于猜测进行检验 2.归纳法 归纳是指通过对特殊的观察和综合去发现一般规律。它是由特殊到一般的推理形式 归纳法的类型及特点 完全归纳法，是研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论。 特点：1.对科学作用不大 2.有助于问题的证明或解答 不完全归纳法，是通过对某类事物中部分对象的研究，概括关于该类事物的一般结论。 作用，1有助于数学发现 2归纳推理具有或然性
3.数学归纳法 数学归纳法不属于合情推理，为演绎推理。 合情推理:前提是真，结论不一定为真 数学归纳法，前提是真，结论一定为真 常见的形式 第一数学归纳法 第二数学归纳法 反向归纳法 二重归纳法 4.数学合情推理在数学教育中的意义 （即归纳，类比，观察，实验） chap4 数学中的典型方法，包括数学公理化方法，数学模型方法，数学结构方法，数学构造方法 1.所谓公理化方法就是尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公里，公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法 公理化方法的现实原型，欧几里得的《几何原本》 数学公理化方法的特点与基本问题 特点:公理系统是一个有序的整体 公理系统是纯粹的演绎系统 公理系统是形式化的 $希尔伯特公理体系（数学公理化方法的产生与发展）
初中数学命题的方法和技巧 概论 新课程改革，更新了教师们的教育理念，提升了实践能力，课堂教学发生了较为理性的变化，数学教学的评价也发生了一些可喜的变化。近几年来，宁波市教研室及各县市区教研室也组织了数学命题比赛，一定程度上促进了教师命题能力的提高。但数学问题的编制仍是极大部分教师的软肋，大家应该能切身的体会到，但凡各级各类优质课比赛和展示的优秀课例中，无不展示出这些教师具有优秀理念和超凡创意的数学问题设计。我们的极大部分教师仍以现成的资料以题海战术的形式训练学生，给学生带来过重的负担，从而导致缺乏编制问题最基本的能力，包括选题（根据什么目的？选择什么形式？等等）、改题（课本中的例习题改编，一改即错）、编题（想考查某一方面的知识和能力，但就是编不出好题来。 要实现“减负提质“，一线教师必须在提升自己教学基本功上下功夫，特别是命题能力。 初中数学命题一般有以下几种类型：（1）课堂小测验（练习）；（2）单元测验；（3）期中期末试卷；（4）中考（模拟）试卷；（5）竞赛试卷。 今天我就试卷命题谈四个方面的问题。 一、考试命题的几个主要的原则 考试命题是一件科学性和技术性很强的工作，为了提高试卷试卷质量，必须遵循下列主要原则： 1．科学性原则 （1）试卷内容科学、无差错，无知识性、科学性错误 例1：已知012 =++x x ，求221x x +的值。 例2：已知b a ,是实数，且1=ab ，设11+++=b b a a M ，1 111+++=b a N ，则M ，N 的大小关系为（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．不确定 例3：已知01442,0634=-+=--z y x z y x ，求2 222 2275632z y x z y x ++++的值。 例4：06年绍兴23．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等? (1)阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)． 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：△ABC、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB=A 1B 1，BC=B 1C l ，∠C=∠C l ． 求证：△ABC≌△A 1B 1C 1． (请你将下列证明过程补充完整．) 证明：分别过点B ，B 1作BD ⊥CA 于D ， B 1 D 1⊥C 1 A 1于D 1. 则∠BDC=∠B 1D 1C 1=900 ， ∵BC=B 1C 1，∠C=∠C 1， ∴△BCD≌△B 1C 1D 1，
考试是评价数学教学效果的重要形式之一，学生解答试题的过程就是进行应用所学知识解决简单的实际问题的过程。考试命题是一项艰苦而又细致的创造性工作，命题过程是教师进一步钻研课程标准、教材，深入分析学生学习情况的过程。命题质量的好坏直接影响和制约着考试效果。 改革小学数学考试命题，就是要通过有针对性、实效性的命题，增强学生参与考试的主动性、自信心，从而准确反映学生对数学知识的掌握状况，提高考试有效性。提高小学数学考试命题的有效性，必须双管齐下，除了需要转变教师的命题理念之外，还需要提高教师的数学试卷的设计技能。具体而言要做到：1、要制定详细的命题计划。 命题计划是做好考试命题的首要环节，对于命题的科学性，提高数学考试的信度和效度有很大影响。 命题计划一般包括： ⑴明确试卷编制的原则要求。 具体说明考试的目标和内容范围、考试的方法和试题的类型、编制试题和组配试卷要求等； ⑵编制双向细目表。 双向细目表表明试卷中试题分布的规定，具体规定考试内容中各部分的试题数量和评分标准。双向细目表的编制程序有三点： ①列出教学目标清单。教学目标描述的是希望学生能展现出来的表现种类， 一般采用学生表现或教学结果进行表述。 ②列出教学内容要点。 教学内容指明了学生在考试中展现出来的每一种表现所属的内容领域，内容要点包含的细节数的多少是由教师主观确定的，但必须足够详细，做到对每一部分内容都充分取样，能对考试结果作出合理解释。 ③填写细目表。准备一个含有教学目标和教学内容两个维度的表格，具体说明考试题目和评价任务样本的特点。 2、要选择合适的试题类型。
⑴要注意题型的适度新颖性。 教师命题要根据小学生的思维发展规律，采用灵活的试卷编排形式：低年级数学试卷的版面要活泼生动有童趣，信息的呈现方式要灵活多样，小动物、童话人物的卡通形象均可以采用；中年级数学试卷的版面要图文并茂，情趣并重；高年级数学试卷则要以文字叙述、图表呈现为主，适当穿插图案。同时，要避免题型过于新颖，涣散学生的注意力，使无关刺激干扰学生的认知过程，影响考试成绩的正常发挥。 ⑵要注意题型和任务的适应性。 教师在选择题型时，要了解小学数学常见题型的适用范围，一般情况下：填空题对于检测简单的学习结果（如具体的数学知识、数学概念、数学规律）、数字或符号表示的数学技能效果较好；判断题常用来考查学生对数学概念、性质等理解与辨析能力、对数学观点和事实的区别能力、数学因果关系的认识能力、简单的逻辑思维能力；选择题适用于考察学生对概念细致差别的辨别能力、判断力、推理能力以及运用原理解决问题的能力，有时也可以用来考查学生多数学原理和规律的鉴别能力、对数学因果关系的解释能力；匹配题最能测量学生辨别两者关系的能力，常用来考查学生辨认数与形、数与式或算式与问题简单联系的数学信息的能力。计算题主要考察学生根据运算法则、运算定律、公式、性质、公理、定理、运用各种数学思想和数学方法合理灵活进行数与式的运算的能力；应用题主要用来评价学生的数学知识的运用水平，逻辑思维能力，分析和解决简单的实际问题能力，一般采用主观型的，既可以要求学生列出算式或方程再求解、作答，也可以采用填空、选择、判断、匹配等客观型变式题；几何图形题主要测量学生是否逐步形成简单的几何形体的形状、大小、相互位置的表象；能不能识别所学的几何形体，能根据几何形体的名称再现它表象；会正确运用几何形体的有关公式计算几何图形的周长、面积、体积（容积）。 教师命题还要注意充分发挥主、客观题的优势，尽量克服它们的弊端。在选择题型时，可以使主观题客观化，即限制作答的内容与形式，降低学生作答的自由度；对于客观题的弊端，教师在考试评讲时，可以追问学生的思维过程，以弥补客观题不能显示解过程的缺陷。同时考虑小学生，尤其是低年级学生识字少、辨析能力差，易猜测答案的特点，不宜大量使用选择题。
编写数学练习题应该遵循的原则 通常我们用练习题的信度、效度、难度和区分度等指标来衡量数学练习题的质量。因此, 要编制一份高质量的数学练习题, 我们必须先了解这些指标的含义，并掌握它们之间的关系。 （一）信度 信度指的是练习结果的稳定性或可靠的程度，是指考试结果能否真实、客观地反映了学生的实际水平。试卷的信度高说明考生分数不易受偶然因素的影响, 学生分数可以比较真实地反映考生的实际水平。 提高考试信度的方法有： 1. 适当增加题目的数量 试卷中题目数量越多, 题目的代表性就越大，这种方法既可提高信度，也可以提高效度。 2. 试题的难度要适中 试卷中试题的难度适中，可以使考试的信度达到最大，也可以考试的区分度达到最大。而过难或过易的试题都会降低试卷的信度。 3. 考试的内容应尽量同质 如果考试的内容过于旁杂，必然要求考生具有不同的知识、技能、能力，致使考试的信度降低。 4. 考试的时间要充分 如果安排的考试时间较短，学生不能较从容的解答所有试题，也就不能真实反映学生的实际水平，影响考试的信度。 5. 评分要客观，减少评分误差 信度系数是根据实得分数计算出来的，如果评分不准确，误差较大，信度也就不准了。 （二）效度 效度是指考试结果的准确性和有效性程度，也就是考试是否达到了预期的目标。 提高试卷的效度的方法有： 1. 考试的目标要明确, 明确是要考查学生对基础知识的掌握, 还是要考查学生应用数学知识进行推理判断的能力, 或是两者兼而有之。 2. 试题的设计要有效地体现考试目标, 填空题、选择题一般用来考查学生对基础知识
的掌握, 解答题则用来考查学生的数学运用能力。 3. 试卷的要求与《数学课程标准》的要求要一致, 试卷内容要涉及数学教科书中的重点部分, 排除与考试无关的内容, 试卷中不要出现偏题、怪题, 试卷内容要兼顾知识与能力两个方面。 （三）难度 难度是指试题或试卷的难易程度, 是试题或试卷考查学生知识和能力水平适合程度的指标。我们一般用得分率表示试题或试卷的难度。 1. 试题的难度 难度值0.1 0.2-0.4 0.5-0.7 0.8-0.9 0.9-1 划分范围难偏难适中偏易易 一般试题的难度值小于0.2 时，应弃用。 2. 试卷的难度 试卷难度应该根据考试的类型、考试的目标来确定。单元测验、期中考试、期末考试等检查性的考试, 难度不宜过大, 一般控制在0.8-0.9 为宜；初中毕业学业考试全卷难度一般为0.8 左右；对于选拔性考试, 全卷平均难度在0.7 左右能够产生较好的选拔效果；而数学竞赛试卷, 难度应控制在0.3-0.5 为宜. 因为试卷的难度值要在考试结束后才能统计得到, 所以命题时必须对试卷做出比较准确的估计。一方面教师要钻研课程标准, 精通教材；另一方面要了解学生的学习情况, 只有这样才能编制出难度适中的试卷。 （四）区分度 区分度是指考试对学生实际水平的区分程度或鉴别能力。区分度是反映学生掌握知识水平差异能力的指标，区分度高的试卷能对不同知识水平和能力的学生加以区分，使实际水平高的学生得高分, 实际水平低的学生得低分。如果水平高和水平低的学生得分相差不大或没有规律可循，那么这样的试卷的区分度就低。 试卷的区分度和难度有着密切的关系，提高区分度主要是通过控制试题难度来实现的。如果试题太难, 优生和差生都答不出来，就没有区分度可言；如果试卷太容易，优生和差生都能答出来，同样没有区分度。只有合适的难度才会有很好的区分度。实践证明，难度值为0.5 的试题可使区分度达到最高。但在实际编制试卷时，不可能要求所有题目的难度值均为0.5 ，一般说来，较难的试题对高水平的考生区分度高，较易的试题对低水平的考生区分度高，中等难度的试题对中等水平的考生区分度高。所以，我们在编制试卷时应关注整
初中数学教师招聘试卷多套及答案 初中数学教师招聘试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1、“数学是一种文化体系.”这是数学家（C）于1981年提出的. A、华罗庚 B、柯朗C怀尔德D、J.G.Glimm 2、“指导学生如何学？”这句话表明数学教学设计应以（A）为中心. A、学生 B、教材 C、教师 D、师生 3、现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（B ） A、人本化 B.生活化 C、科学化 D,社会化 a当a>0时； 4、a=|a| = ( a当a=0时；这体现数学(A)思想方法
a当a<时； A、分类 B、对比 C、概括 D、化归 5、直角三角形斜边上的中线等于斛边长的一半。其判断形式是 (C) A、全称肯定判断(SAP) B、全称否定判断(SEP) C、特称肯定判断(SIP) D、特称否定判断(SOP) 6、数学测验卷的编制步骤一般为(D) A、制定命题原则，明确测验目的，编拟双向细目表，精选试题。 B、明确测验目的，制定命题原则，精选试题，编拟双向细目表。C 明确测验目的，编拟双向细目表，精选试题，制定命题原则. C、确测验目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题. 二、填空题(每格2分，共44分) 7、在20世纪，数学学习理论经历了从行为主义向认知主义的发展历程。 8、2001年7月，教育部颁发了依据《基础教育课程改革(试行)》而研制的《义务教育数学课程标准(实验稿)>>,这是我国数学教育史上的划时代大事。
初中数学从做题到编题 的实践运用 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
初中数学从“做题”到“编题”的实践运用摘要：“编题”是根据自己对所学知识的理解，在给出某个数学对象的基础上，进行再加工、再创造后，编拟出新的数学问题。编题的过程是从一个简单的问题出发，逐步演绎深化、探究创新的过程。学生“编题”是一种有效的学习方式。在初中数学学习中，从“做题”到“编题”，让学生领略数学的魅力，体会数学的快乐，实现知识的有效建构。将“编题”进行到底，积极地向初中数学解题的“最高境界”迈进。 关键词：编题方向；编题窍门；编题线索；编题素材 一、初中数学学习中自主编题能力的现状 对于数学学科来说，解题是学习数学的一个关键，解题能力决定着学生学习数学的理解能力、应用能力，是提高学生数学成绩的关键点，因此，提高学生的解题能力历来是数学教师的着重点。 1.学生层面――自己编题不可思议 通常，数学科目的教学方式是教师讲题，学生做题。学生解题是天经地义的事，因此，针对我提出的解题第五个境界“自己编题”，学生首先是惊讶，再就是觉得自己编题是不可能的任务，大多数学生会这样认为，数学习题自己编题，这怎么可能！ 2.教师层面――让学生不仅会做题，更成为编题的“高手” 长期以来，“编题”似乎就是老师的专利，但是，现在学生的思维是敏捷的，并且具有多向性。在思想方法上，有时也往往会
独具一格，另辟蹊径。因此，我尝试把编题专利权下放给学生，在指导的前提下让学生自主改编题目，自编题目，使学生从“会做题”挺进到“自编题”的境界，以此激活学生的探究意识，培养学生的创新能力。 我相信，通过自主编题，学生的数学学习能力会有明显的提升，也渐渐会突破自己的思维囿限，走出自己的困惑。我们期待，让学生不仅会做题，更成为编题的“高手”，成为真正的思想者、探索者和研究者。 二、实践：从“做题”到“编题”的实施 1.确立自主编题方向，落实编题方案 在确立从“做题”到“编题”的方向后，为了能充分尊重学生的自主性，使教学活动成为一种学生学习生活的需要，课堂上，在轻松、愉悦的氛围中，我鼓励学生自由结组，自主推荐组长，由组长简单汇报自己小组研究的打算，然后各小组进行了分工，初步讨论、设计实施方案，所有步骤全部由学生自主完成。 找到了问题，也找到了问题的切入点后，由学生自己编写编题方案，我在各组间来回巡视，对学生的难点及时给予点拨和指导，然后，由各组相互点评、完善，完成了一份实施方案。具体做法为： （1）落实“编题责任人”：各组学生自己报名，由数学课代表登记后进行统计，并报数学老师审核。
数学方法论 课程考 试查 试题册B 答案 试题使用对象 ： 数学与统计学院 2011 级 数学与应用数学 专业(本科) 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷 说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。 2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。 一、 填空题（本题共30 分，共10小题，每题各3 分） 1．在化归过程中应遵循的原则是 。简单化原则、熟悉化原则、和 谐化原则 2．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时， 的一种思想方法。 由数思形、见形思数、数形结合考虑问题 3． 即所谓“由因导果”的方法。 完全归纳法又分为 和类分法两种类型。穷举归纳法 4．《几何原本》所开创的 方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。．公理化 5．类比法是指 的一种推理方法。由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性 6．面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者 ，并且进一步修正或否定此猜想。．寻找反例说明此猜想为假 7．化归方法包含的三个要素是： 。化归对象、化归目标、化归途径 8．已知n m ,是互不相等的实数，且使等式022 =+-m m ， 022 =+-n n 成立，则n m 1 1+= 。1/2 9．已知在ABC ?中，满足 ++B A 22s i n s i n B A A C C B C s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n 2 ++= 则ABC ?为 三角形。等边 10．设 05422 2 =++-+y x y x （x ，y 为实数），则x y 的值为 。2
数学方法论 1研究数学方法论的意义和目的 什么叫方法论？方法论（methodology）就是把某种共同的发展规律和研究方法作为对象的一门学问。如所知，各门科学都有方法论，数学当然也有它自已的方法论。 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。 数这是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起业还具有较高的抽象性特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。因此，数学研究工作者、数学业教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。 由于数学领域的许多概念与理论题材都是通过人脑的抽象思维形式表现出来的，这里不仅包含有思维对象（数学本体）的辩证法，而且还有着思维运动过程（认识与反映过程）的辩证法，所以数学方法论还给哲学家、自然辩证法研究工作者以及心理学家们提供了值得分析研究的素材。凡是看过恩格斯《自然
辩证法》的读者都知道，即使在初等数学里也充满着辨证法。 我们又知道，数学方法论中的许多方法和原理是从数学发展史中总结归纳出来的，所以数学工作者还必须学习一点数学史。 从近代数发展史中，我们看到有许多杰出的数学家曾转绕着数学基础问题展开了一系列争论，以致形成了各个著名的流派，如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派与柏拉图主义派等。直到现今，这些流派的观点主张对数学体系的内在发展，还产生着不同程度的影响。 各个数学流派对数学基础问题的研究，各有其方法论主张。事实上，他们各有所偏，各有所见。只有运用科学的反映论，才能从他们的观点主张中分析总结出较为正确的数学方法论观点。因此，对于今日的数学工作者来说，无论为了掌握、运用或者去发展数学方法论，都必须自觉地采取科学的反映观点（即辩证法的反映观点）去考察问题和分析问题。 2宏观方法论与微观的方法论 数学科学的发展规律可以从数学发展史的丰富材料中归纳分析出来。由于数学史是人类社会科学技术发展史的一个组成部分，数学发展的巨大动力源泉
初中数学题的编制方法(来自黄伟建老师的博客） (2011-05-06 06:56:14) 转载▼ 分类：经验交流 标签： 子长 正方形 三角形 正方体 平行四边形 教育 过去，我不会自己编题，备课、出卷都是东抄一题西抄一题的，时间花得多，教学目标难达到，试卷质量差，效果不好。后来，我大着胆子自己尝试着编出几道题，很高兴、很管用。至今，编题数量已难以统计，所编的题在多种重大考试中使用，命题质量受到同行好评。我越来越尝到了自己编题的甜头，备课轻松了，甚至不用备课。上课时的例题、练习题随手写来，随要随出。命题时基本上可以实现无纸化、无参考。自己觉得解放了、减负了，应付各类评比考试轻松了，提高了自己的业务水平。 那么，怎样才能编出好题呢？我想首先要做一个有心人，处处留心，处处关注。具体的说要做到以下几点： 1.加强对题目的记忆 2.关注各种题目之间的联系 3.解题留有余地（还有什么结论，条件如何改造，图形如何简化，与以前的题有什么 联系等） 4.多思考，提高敏锐性 5.多观察，生活中有数学 6.关注学生的错误，它是编题的素材 7.错题可以收集，它是编题的素材 8.难题可以改编，它是编题的素材 9.有新的发现及时记录 10.个人奇特的见解是萌发编题的火花 11.以欣赏的目光看好题 下面介绍几种初中数学命题常用的编制方法。 1、学生的日常错误作为编题的素材 学生在作业、课堂练习、考试中经常会出现各种各样的错误，我们教师要关注、要收集。说不定就能因此编出好题来。 例1 如图所画的数轴正确的有（） A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
这是收集了学生画数轴时的错误所编的一道题，答案：A。 例2 有以下三个命题，判断这三个命题的正确性（在括号内打√或×） ①平行四边形是中心对称图形（） ②四边形中只有平行四边形才是中心对称图形（） ③平行四边形不是轴对称图形（） 在教一般平行四边形和特殊平行四边形关系时，学生表面上好像懂了，其实做了这一题后会发现，不懂的学生实在太多了，尤其是第②个，学生认为是错的，理由是还有矩形、菱形。答案：①√②√③× 例3 如图，是根据媒体提供的消息绘制的“宁波各大报刊发行量统计图”，那么发行量的众数是（） A、宁波晚报 B、宁波日报和东南商报 C、33万 D、22万 看似简单的问题，很多学生（包括一些老师）都选择了C，他们认为“33万”是最多的数据，这是对“众数”的曲解，也有选A或B的，怎么可以选报纸的名称呢？ 有一次作业中做到这样一题： 长为30cm宽为10cm的正方形白纸按如下图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为3cm, (1)求5张白纸黏合后的长度，20张呢？(2)若x张白纸黏合后的长度为y（cm），写出y与x 的函数解析式。 当时学生错误百出，课堂讲解后为了巩固我随手又编了一题： 例4 半径为1的圆形纸片按如下图所示的方法黏合起来，(1)求5张纸黏合后的长度，20张呢？(2)若x张纸黏合后的长度为y（cm），写出y与x的函数解析式。 结果很多人还是错，急中生智又编了下题： 例5 如上图，圆环的外径为8，内径为6，(1)6个这样的圆环套起来后拉紧的长度是多少？ (2)若x个这样的圆环套起来后拉紧的长度为y（cm），写出y与x的函数解析式。 2、为了测试学生的某种能力而编题 为了测试学生的逆向思维能力，我编了下题： 例6 有30个贰分硬币和8个伍分硬币，那么在1分至100分的100种整数币值中不能支付的有（） A.2种 B.4种 C.6种 D.8种 为了测试学生的运动能力，我编了下题： 例7 如图四边形ABCD中，AB=4，BC=7，CD=2，AD=x，求x的取值范围。
方法论试题库（章节） 第一章绪论 名词解释：1。方法论：是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。 简答：1。数学方法论的研究对象：关于数学功能的研究；关于数学内容辩证性质的研究；关于数学中常用方法的研究；关于数学思想方法的研究；关于数学思维的研究；关于数学推理的研究；关于数学语言的研究；关于数学人才成长规律的研究 2。数学方法论中数学内容辩证性质的研究 答。一。关于数学中矛盾的研究，即数学中有哪些重要的矛盾，它们的形势与发展规律是怎样的。二是关于数学中辩证法内容的分析，包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等 3。试举四种数学中的一般科学认识方法 答：观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等 4。试举四种数学中的特有的科学认识方法 答：抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等 论述：1。宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。 答：宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识，侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法，即着眼于数学的思想、观念，数学研究的方法，数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。 2。数学方法论的数学功能。 一。科学功能，即数学作为一种科学语言和科学方法，它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。二。思维功能，即数学作为一种思维工具，是思维的体操，是进行思维活动的载体。三。社会功能，即数学作为认识世界、改造世界的工具，它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。四，心理功能，即数学是人类一种宝贵的文化财富，他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面，具有特殊的意义与作用 3。论述数学思想方法形成和发展的规律：一。从整体上研究数学思想方法的系统进化，如从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明等几次重大数学思想方法突破的孕育、产生及其规律的分析。二。研究数学思想方法的个体发育，即对每一种数学思想方法的结构、功能、演变发展规律及其在数学发展中的地位、作用的分析探究等。 第二章化归 填空：1。化归的方向或原则也可简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题。 名词解释：1。数学中的化归方法：将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法。 简答：1。化归的三个方向：由未知化为已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁。 2。化归的三个原则：熟悉性原则，简单性原则，直观性原则。 3。请举出至少三个多维化归方法的例子。 答：变换法，反证法，MM方法
第一部分数学史 第一章数学的起源和远古数学文献 1.计数意识的起源。 数学的起源和人类文明的起源几乎是同步的。恩格斯在《反杜林论》中指出：“和其他各门科学一样，数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积，计算时间和制造器械。”“数”的概念萌发于早期人类对事物的计数，结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法。随着文字的出现，人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字，这些规则就是进位制和符号布列方式，它们是记数法的要素。在世界各地文明中，形成了各自独特的数字符号体系和记数方法,例如：简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系（位值制）等。我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统，与其它记数方法相比，它在计算上有明显的优势，被誉为人类社会进步的基础。 2.埃及的两种主要的数学纸草书、埃及数制，埃及几何的突出成就。 著名的古埃及纸草书有两份，这两份纸草书都直接书写着数学内容，一份叫“莫斯科纸草书”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草书”，现藏于莫斯科美术博物馆。另一份叫“莱因特纸草书”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被苏格兰人莱因特购得，后为英国博物馆收藏。这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。 埃及数制：据史料记载，早在公元前4000年左右，埃及就有了象形文字，在这种文字中他们以10为基数进行记数。这些文字是用单独的图画来表示一个数的，1是垂直的木棍，10是放牛用的弯曲工具，102是一端卷起的测量绳，103是一朵莲花，104是竖着的手指，105是小鸟，106是举起双手受惊的人，107是太阳。古埃及人单独或重复使用这些符号并将其依次排起来就可表示所有的数。这种记数法虽然以10为基数，用的是十进制，但并非位值制。由于缺乏位值制概念，这种记数法也存在着许多困难，例如：25346就需要用上20个记数符号，这对于算术和代数的 发展是极为不利的。 埃及几何的突出成就：埃及几 何的突出成就是金字塔数学。古埃 及人留下来的数学文献极少，但现 存的活文献——金字塔，却给现代 人留下了许多数学之谜。多少年 来，许多学者对埃及金字塔都进行 了实地考察，对于建于公元前3000 年至公元前2000年的古建筑提出 了不少难解之谜，尤其围绕着最大 的金字塔——胡夫金字塔（建于约 前26世纪）提出了下面这些不可 思议的问题：（1）塔底每边长 232m，误差小于20cm，塔高 146.5m，东南西北角误差仅为 1.27cm，直角误差仅为12”，方位 误差在2’~5’之间，这样的精确 度就是现代建筑也望尘莫及。（2） 用来砌塔的石块达230万块之多， 重量从2.5吨到50吨不等，石块间 的接缝之小连铅笔刀也难以插入。 （3）塔高的10亿倍恰巧等于地球 到太阳的距离，而塔底与塔高的2 倍之比近似等于3.1416，这是公元 3世纪时人们才得到的圆周率的最 高精度。（4）穿过塔的子午线恰 好把地球上的陆地与海洋分为两 半，而塔的重心正好落在引力中心 线上。它充分体现了古埃及人精确 的几何测量技术和高超的建筑技 术。 3.巴比伦数制和解二次方程 的方法。普林顿322号泥板书的数 学意义。 巴比伦数制：巴比伦人采用 60进位制记数法，采用了位置值 制，其记数法主要用加法原则并辅 之以乘法原则，高位数写在低位数 之左。但是由于巴比伦的位值制没 有零的记号，所以巴比伦的位值制 记数法并不完善，它所表示的数需 根据上、下文才能确定。巴比伦人 经常使用分数，且其分母总是常数 60，巴比伦人把分数当作“整体” 看待而并不看做一的几分之几。由 此可见，巴比伦记数并不属于严格 的位值制记数法。 解二次方程的方法：巴比伦数 他 们用特殊的方法能够解出一些一 次、二次甚至三次、四次方程。例 如：问题——求一个数，使它与其 倒数之和等于给定的数。用现代记 号表示即相当于： 。 这实际上是相当于解x2－bx ＋1＝0这样的一元二次方程。对于 这个二次方程，巴比伦人给出的答 案是： 普林顿322号泥板书的数学 意义：关于巴比伦数学，很令人感 兴趣的是“普林顿322号”泥板书 即1923年由收藏家普林顿收藏、 现存于哥伦比亚大学珍本图书馆 的第322号收藏品。该品有4列数 字，共15行，其数字皆为楔形文 字，跟普通的账单一样。认真研究 就会发现：两列中的对应数字（除 4个例外）构成一边长为整数的直 角三角形的斜边和一个直角边。现 在人们把（3，4，5）这样一组能 作为直角三角形的边的正整数称 为毕氏三数。从中可以看到巴比伦 的数学成果是十分丰富的。 第二章希腊数学的兴起和 发展 1.泰勒斯发现的数学定理和初 创的证明，毕达哥拉斯学派、柏拉 图学派的主要数学成就。 泰勒斯（约公元前624~前547 年）是希腊数学史上第一个著名数 学家，在历史上享有“希腊科学之 父”美称，被誉为“希腊七贤之一”， 比我国孔子还早100年。他创立了 爱奥尼亚学派。他发现的数学定 理：（1 分；（2）等腰三角形的两底角相 等；（3）两直线相交时，对顶角 相等；（4）若已知三角形的一边 和两邻角，则此三角形完全确定； （5）半圆周角是直角。他初创的 证明：他关于“等腰三角形底角相 等”的证明是这样进行的：如图所 示，α=β，γ=δ（同一弓形的角）， α—γ=β—δ（等量减等量差相 等），则∠OAB=∠OBA。尽管当 时人们对于角的概念还不完善，但 这一证明并不失为早起数学证明 的典范。世界演绎几何正是从这里 开始的。 毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯 学派亦称“南意大利学派”，是一个 集政治、学术、宗教三位于一体的 组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所 创立。产生于公元前6世纪末，公 元前5世纪被迫解散，其成员大多 是数学家、天文学家、音乐家。它 是西方美学史上最早探讨美的本 质的学派。毕达哥拉斯学派以“万 物皆数”， 事物的性质是由某种数量关系 决定的，万物按照一定的数量比 例而构成和谐的秩序；据说毕达 哥拉斯学派最早发现了所谓“黄 金分割”规律，而获得关于比例 的形式美的规律。毕达哥拉斯学 派的美学观点是客观唯心主义 的，对柏拉图、新柏拉图主义及 文艺复兴时期的 名的“勾股定理”，据说，毕达哥 拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了 一百头牛，也正是由于勾股定理 的发现，导致无理数的发现，由 此产生了第一次数学危机。 柏拉图学派的主要数学成就。 柏拉图学派的代表人物是 柏拉图（约前427年－前347年）， 他年轻时曾跟随希腊哲学家苏 格拉底学习哲学，受到逻辑思想 影响，尔后成为雅典举世瞩目的 大哲学家．柏拉图从毕达哥拉斯 学派吸收了许多数学观点，并运 用到自己的学说中，古希腊伟大 的哲学家，也是全部西方哲学乃至 整个西方文化最伟大的哲学家和 思想家之一，他和老师苏格拉底， 学生亚里士多德并称为古希腊三 大哲学家。他认为“数学是一切知 识中的最高形式”。公元前387年， 他在雅典城郊创办学园，世人称之 为柏拉图学园。该学园活动时间长 达900年，一直到公元529年学园 被封闭为止。柏拉图在数学的理想 思维上有重要贡献，他认为数学真 理只有通过概念思维才能被发现。 他坚持准确定义、清楚假设和逻辑 证明，并首先提出了系统的演绎推 理法则。柏拉图学派还发现了圆锥 曲线。 2.芝诺悖论，毕达哥拉斯—— 柏拉图的宇宙设计说，亚里士多德 的数学哲学。 芝诺悖论是古希腊数学家 芝诺提系 不可分性的哲学悖论。这些悖论 《物 理学》一书中而为后人所知。芝 诺提出这些悖论是为了支持他 老师巴门尼德关于“存在”不动、 是一的学说。这些悖论中最著名 的两个是：“阿基里斯跑不过乌 龟”和“飞矢不动”。这些方法现 解释，但还是无法用微积分解 决，因为微积分原理存在的前提 是存在广延（如，有广延的线段 经过无限分割，还是由有广延的 线段组成，而不是由无广延的点 组成。），而芝诺悖论中既承认广 延，又强调无广延的点。这些悖 论之所以难以解决，是因为它集 中强调后来笛卡尔和伽桑迪为 代表的的机械论的分歧点。这些 1/0=无 穷。