南师大生态学 实验六 种群增长动态的拟合(逻辑斯蒂增长方程)

基础生态学实验种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长实验报告【实验原理】资源有限与无限情况下种群数量的增长规律：种群在有限资源环境下的连续增长形式为逻辑斯谛增长逻辑斯谛增长的特点：逻辑斯谛增长模型是建立在以下两个假设基础上的：①有一个环境容纳量（通常以K表示），当N t=K时，种群为零增长，即dN／dt=0；②增长率随密度上升而降低的变化是按比例的。

最简单的是每增加一个个体，就产生1／K的抑制影响。

例如K=100，每增加一个体，产生0.01影响，或者说，每一个体利用了1／K的“空间”，N个体利用了N／K的“空间”，而可供种群继续增长的“剩余空间”只有（1-N／K）。

“S”型曲线有两个特点：①曲线渐近于K值，即平衡密度；②曲线上升是平滑的。

【实验目的】（1）认识种群数量的动态变化规律，了解环境因素对种群数量增长的影响（2）掌握种群数量的抽样统计方法（3）掌握估算逻辑斯谛方程参数r和K，并进行曲线拟合的方法【实验器材】计数器凹玻片实体显微镜移液枪鲁哥氏固定液草履虫【实验步骤】1、准备草履虫原液、草履虫培养液2、确定草履虫最初密度：用移液枪取50μl原液于凹玻片上,，在实体显微镜下看到有游动的草履虫时，滴一滴鲁哥氏固定液，观察计数（重复4次）。

3、取培养液50mL,置于锥形瓶中，经计算加入适量原液，使N0=250-300个.(20℃和30℃各两瓶)4、封口、做标记、放入培养箱中5、对草履虫种群数量观察记录（每天定时，2次/瓶）6、根据实验数据估计Logistic方程参数（a、r、K）,描绘Logistic增长曲线（理论和实际）。

【实验结果与分析】1、20℃第1组草履虫数量变化统计及数据处理如下表：表一20℃第1组（经计算K1=63000）根据表一数据，令纵坐标y=ln((K-N)/N)，横坐标x=t，得到拟合直线如下图：图一（1）20℃第1组拟合直线得到拟合曲线y=-0.6148x+4.1775(R²=0.6075)，则r=-b=0.6148，a=4.1775；使用公式N=K/(1+exp(a-rt)) 计算可得到Logistic方程理论值；以草履虫数量为纵坐标，时间t为横坐标，得到如下曲线图：图一（2）20℃第1组草履虫实际值与理论值曲线图2、20℃第2组草履虫数量变化统计及数据处理如下表：表二20℃第2组（经计算K2=93000）根据表二数据，令纵坐标y=ln((K-N)/N)，横坐标x=t，得到拟合直线如下图：图二（1）20℃第2组拟合直线得到拟合曲线y=-0.6072x+4.2542(R²=0.5588)，则r=-b=0.6072，a=4.2542；使用公式N=K/(1+exp(a-rt)) 计算可得到Logistic方程理论值；以草履虫数量为纵坐标，时间t为横坐标，得到如下曲线图：图二（2）20℃第2组草履虫实际值与理论值曲线图3、30℃第1组草履虫数量变化统计及数据处理如下表：表三30℃第1组（经计算K3=487000）根据表三数据，令纵坐标y=ln((K-N)/N)，横坐标x=t，得到拟合直线如下图：图三（1）30℃第1组拟合直线得到拟合曲线y=-0.9855x+6.1468(R²=0.7271)，则r=-b=0.9855，a=6.1468；使用公式N=K/(1+exp(a-rt)) 计算可得到Logistic方程理论值；以草履虫数量为纵坐标，时间t为横坐标，得到如下曲线图：图三（1）30℃第1组草履虫实际值与理论值曲线图4、30℃第2组草履虫数量变化统计及数据处理如下表：表四30℃第2组（经计算K4=414000）根据表三数据，令纵坐标y=ln((K-N)/N)，横坐标x=t，得到拟合直线如下图：图四（1）30℃第2组拟合直线得到拟合曲线y=-0.7969x+5.1075(R²=0.6238)，则r=-b=0. 7969，a=5.1075；使用公式N=K/(1+exp(a-rt)) 计算可得到Logistic方程理论值；以草履虫数量为纵坐标，时间t为横坐标，得到如下曲线图：图四（2）30℃第2组草履虫实际值与理论值曲线图5、实验结果分析（1）20℃第1组结合图一可以看出，20℃第1组的增长曲线基本符合Logistic增长曲线，但到了后期草履虫的数量开始下降，可能由于有限的空间与资源，种内竞争加剧导致种群数量下降。

逻辑斯蒂曲线的实验拟合方法和昆虫发育速度的实验测
定方法。

逻辑斯蒂曲线的实验拟合方法：
1.收集数据：需要收集一组实验数据，该数据应该涵盖一定的范围并
且应该具有足够的数量。

2.定义变量：需要确定实验中所使用的每个变量，确保它们清晰明确
且能够被准确测量。

3.绘制逻辑斯蒂曲线：根据收集到的数据，使用逻辑斯蒂模型手动绘
制逻辑斯蒂曲线，包括拐点和上限。

4.使用统计软件来拟合曲线：如果手动绘制的逻辑斯蒂曲线不够准确，则可以使用统计软件来进行拟合。

5.分析拟合结果：分析拟合结果，评估曲线适合实验数据的程度。

如
果曲线不够准确，则需要调整逻辑斯蒂模型中的参数。

昆虫发育速度的实验测定方法：
1.饲养昆虫：收集所研究的昆虫种类，并以适当的条件饲养，例如温度、湿度和食物供应。

2.观察昆虫的生长：通过观察昆虫的生长，记录昆虫的内部和外部条件，并记录昆虫从卵到成虫的时间。

3.记录数据：每天记录昆虫的生长情况，包括体重和长度等方面的数据。

4.统计分析：将所有数据输入到软件程序中，进行统计分析。

5.统计结果和图形化：绘制昆虫发育速度的统计结果，并根据结果制作图表和图形。

1. 计算K 值培养天数（t ） 01 2 3 4 5 6 7 种群数量（N ） 12 7 34 105 160 180 170根据上表以培养天数为横坐标，种群数量为纵坐标得到的“S ”型曲线中无水平部分，即种群的数量达到最大值之后数量立即下降，无数量稳定期，因此不适合用平均法计算种群容纳量（K 值）。

“三点法”计算K 值：培养天数（t ）2 4 6 种群数量（N ） 7（N 1） 105（N 2） 180（N 3）K=﹝2 N 1N 2N 3 - N 22 (N 1+N 3) ﹞/﹝N 1N 3 -N 22 ﹞ =﹝2×7×105×180-1052×（7+180）﹞/﹝7×180-1052﹞ =184所以，所设计的环境的种群容纳量为184.2.瞬时增长率r,和a 的确定如果设y=ln ﹝ (K-N)/N ﹞,b=-r, x=t ，那么逻辑斯谛（Logistic ）方程积分形式 为： y = a + b x = a – r tX （t ） 0 12 3 4 5 6 7 N 1 2734 105 160 180 170 y 5.20954.51093.23021.4843-0.2845-1.8971 -3.8067 -2.4967式中：x —自变量X 的平均值； X i —第i 个自变量的样本值； y —因变量y 的平均值； y i —第i 个因变量的样本值。

经计算，X=3.5，Y=0.7437375. 代入数据得，r=56.34/42=1.341443且，a=Y- b X =0.7437375+1.341443×3.5=5.438788 所以，种群的瞬时增长率r=1.341443, a= 5.438788.3.逻辑斯谛（Logistic）方程的拟合将以上所得数据，带入逻辑斯谛增长模型的积分式：N=K/(1+e a-rt)得，N=184/(1+e5.438788-1.341443t)，将t值逐个代入，计算相应的N值，得到如下表格：T 0 1 2 3 4 5 6 7N 1 3 11 36 87 144 171 181 方程所对应的曲线，也在坐标纸中画出，曲线可知，计算值所对应的曲线与真实值所对应的曲线拟合的很好。

简述种群增长的逻辑斯谛模型及其主要参数的生物学意义在一定条件下，生物种群增长并不是按几何级数无限增长的。

即开始增长速度快，随后速度慢直至停止增长（只是就某一值产生波动），这种增长曲线大致呈“S”型，这就是统称的逻辑斯谛（Logistic）增长模型。

意义当一个物种迁入到一个新生态系统中后,其数量会发生变化.假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量,则数量会增长.增长方式有以下两种：（1） J型增长若该物种在此生态系统中无天敌,且食物空间等资源充足(理想环境),则增长函数为N(t)=n(p^t).其中,N(t)为第t年的种群数量,t为时间,p为每年的增长率(大于1).图象形似J形。

（2） S型增长若该物种在此生态系统中有天敌,食物空间等资源也不充足(非理想环境),则增长函数满足逻辑斯谛方程。

图象形似S形.逻辑斯谛增长模型的生物学意义和局限性逻辑斯谛增长模型考虑了环境阻力，但在种群数量较小时未考虑随机事件的影响。

比较种群指数增长模型和逻辑斯谛增长模型指数型就是通常所说的J型增长，是指在理想条件下，一个物种种群数目所呈现的趋势模型，但其要求食物充足，空间丰富，无中间斗争的情况，通常是在自然界中不存在的，当然，科学家为了模拟生物的J型增长，会在实验室中模拟理想环境，不过仅限于较为简单的种群（如细菌等）逻辑斯谛型是指通常所说的S型曲线，其增长通常分为五个时期1.开始期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢。

2.加速期，随个体数增加，密度增长加快。

3.转折期，当个体数达到饱和密度一半（K/2),密度增长最快。

4.减速期，个体数超过密度一半（K/2)后，增长变慢。

5.饱和期，种群个体数达到K值而饱和自然界中大部分种群符合这个规律，刚开始，由于种群密度小，增长会较为缓慢，而后由于种群数量增多而环境适宜，会呈现J型的趋势，但随着熟练进一步增多，聚会出现种类斗争种间竞争的现象，死亡率会加大，出生率会逐渐与死亡率趋于相等，种群增长率会趋于0，此时达到环境最大限度，即K值，会以此形式达到动态平衡而持续下去。

逻辑斯蒂增长曲线-实验报告实验⽬的：1、使学⽣们认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。

2、加深对逻辑斯蒂增长模型的理解与认识，深刻领会该模型中⽣物学特性参数r与环境因⼦参数----⽣态学特性参数K的重要作⽤。

3、学会如何通过实验估计出r、K两个参数和进⾏曲线拟合的⽅法。

实验原理：种群在资源有限环境中的数量增长不是⽆限的，当种群在⼀个资源有限的空间中增长时，随着种群密度的上升，对有限空间资源和其他⽣活必需条件的种内竞争也将加强，必然影响到种群的出⽣率和存活率，从⽽降低了种群的实际增长率，直⾄种群停⽌增长，甚⾄使种群数量下降。

逻辑斯蒂增长是种群在资源有限环境下连续增长的⼀种最简单的形式，⼜称阻滞增长。

种群在有限环境中的增长曲线是S型的，它具有两个特点:1、S型增长曲线有⼀个上渐近线，即S型增长曲线逐渐接近于某⼀特定的最⼤值，但不会超过这个最⼤值的⽔平，此值即为种群⽣存的最⼤环境容纳量，通常⽤K表⽰。

当种群⼤⼩到达K值时，将不再增长。

2、S型曲线是逐渐变化的，平滑的，⽽不是骤然变化的。

逻辑斯蒂增长的数学模型：dN dt =rN(K?NK)或dN dt =rN(1?NK)式中:dNdt—种群在单位时间的增长率；N—种群⼤⼩；t—时间；r—种群的瞬时增长率；K—环境容纳量；)—“剩余空间”，即种群还可以继续利⽤的增长空间。

逻辑斯蒂增长模型的积分式：N=K1+e a?rt式中：a—常数；e—常数，⾃然对数的底。

实验器材：恒温光照培养箱、实体显微镜、凹拨⽚、1000毫升烧杯、100毫升量筒、移液枪（50微升），1千⽡电炉、普通天平、⼲稻草、鲁哥⽒固定液、50毫升锥形瓶、纱布、橡⽪筋、⽩胶布条、封⼝膜、标记笔、计数器、⾃制的观测数据记录表格⽅法与步骤：1、准备草履⾍原液从湖泊或⽔渠中采集草履⾍。

2、制备草履⾍培养液（1）制取⼲稻草5g,剪成3~4厘⽶长的⼩段。

（2）在1000毫升烧杯中加⽔800毫升，⽤纱布包裹好⼲稻草，放⼊⽔中煮沸10分钟，直⾄煎出液呈现淡黄⾊。

华南师范大学实验报告学生姓名 学 号 专 业 年级、班级 课程名称生态学实验 实验项目 种群的逻辑斯蒂增长模型 实验类型 验证 □设计□综合 实验时间 年 月 日 实验指导老师 实验评分种群的逻辑斯蒂增长模型1 实验目的1.1 了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用；1.2 学习种群密度的检测，种群增长模型的建立，参数的估计以及种群增长曲线的拟合等实验技术； 1.3 加深对逻辑斯蒂增长模型的特征及其模型中两个参数r 、k 的理解。

2 材料与方法2.1 材料与试剂草履虫、干稻草、鲁哥氏固定液2.2 实验仪器六孔培养皿、量筒、解剖镜、锥形瓶、烧杯、锥形瓶2.3 实验方法2.3.1 配制人工海水 按表1配制30‰人工海水的人工海水，再将30‰人工海水加矿泉水稀释为20‰的人工海水。

表1 30‰人工海水配方（1升水） 药品 含量 NaCL 28.000g KCL 0.800g MgCl 2·6H 2O 25.000g CaCl 2·H 2O1.200g2.3.2 接种红色伪角毛虫 在六孔平板中的两个孔滴加5ml20‰人工海水，两个孔滴加5ml30‰人工海水→做好标记→每孔分别放两粒米粒→分别在解剖镜中吸取50只红色伪角毛虫→常温下培养→实验开始的7天内，每天定时对培养液中的草履虫密度进行检测。

（每次计数至少重复3次）2.3.3 Logistic 增长模型的拟合 种群在有限环境中的连续增长表现为Logistic 增长，其增长曲线呈S 型。

Logistic 增长数学模型为：）（K N K N N -r dt d =或）（KNN N -1r dt d = 式中：dtd N为种群的增长；N 为种群大小；t 为时间；r 为种群的瞬时增长率；K 为环境容纳量； ）（KN-1为“剩余空间”。

因此，Logistic 模型的积分公式为：rt-a e 1+=KN式中：a 与初始数量0N 有关的常数；e 为自然对数的底。

实验一 昆虫种群逻辑斯蒂增长模型（验证性实验）一、 实验目的逻辑斯蒂曲线是一条S 型曲线，它是生物种群在有限资源环境中（空间和食物）增长到一定程度时，环境阻力逐渐增大，致使种群的最大数量限制在一个固定水平之下，种群将不再继续增长而稳定在环境负荷量K 值左右。

实验已证明S 形曲线是生物界中普遍存在的一种规律，具有广泛的应用价值。

通过实验熟悉种群S 形增长的特点及曲线拟合的方法。

二、 实验原理由逻辑斯蒂增方程 N=erta K -+1取自然对数得a-rt=ln(NNK -) ---Y 则 Y=a-rt首先求得环境负荷量K 值后，再将各N 值换算为ln[(k-n)/n]。

K 值求法有多种，如将接近饱和点附近的n 点N 值平均，而得一个值，或用三等距计算法。

应用三点测定K 值常受所选点位置的影响，因此本实验采用直线回归计算K 值。

该方法是对N n 与N n /N a+1进行回归，得直线回归式：N n /N a+1=A+BN n利用最小二乘法求得A 、B 。

令N n /N a+1=1，代入直线回归式，即表N n =N a+1时，种群个体数不在增加，那么N n 值就视为环境负荷K 值，显然K=BA-1。

A 、B 值求得后，确定K 值，可根据Y=a-rt 回归式，确定参数a 和r 。

三、 实验方法为100克经轻压而裂开的麦粒（约2000粒）中数入5对小谷蠹成虫开始实验，每周把麦粒筛出，弃去粉末状粪物质，并补充以新鲜的经碾压的麦粒，使其重新维持100克，并每两周计算一次成虫数，实验可设3~5个重复。

四、实验结果小谷蠹种群增长结果见表1。

1. K值的确定：设N n/N a+1=Y，N=XK值确定按表2进行。

2. 参数a , r 的确定：K值确定后，表1中ln(N NK-) 可统计出。

设Y= ln(N NK-)，X=t参数a , r的确定按表3进行。

表1 小谷蠹种群增长结果时间t 种群个数N Nn /Nn+1Y=ln((K-N)/N)0 10 0.546448087 4.1632351951 18.3 0.631034483 3.5459227072 29 0.61440678 3.0685202213 47.2 0.663853727 2.5518116434 71.1 0.372056515 2.1018527665 191.1 1.094501718 0.8820998976 174.6 0.678585309 1.0075134717 257.3 0.733675506 0.4298863768 350.7 0.795238095 -0.1492014679 441 0.859146698 -0.73344294810 513.3 0.917098446 -1.30285736811 559.7 0.940988568 -1.79381889312 594.8 0.94502701 -2.32793012713 629.4 0.9834375 -3.29239764914 640 0.982951928 -3.91269345615 651.1 0.993287567 -5.95309417116 655.5 0.99378411217 659.6 0.99667573318 661.8 0.9977385819 663.3表2 N n/N a+1~N n线性回归统计表统计项统计值统计项统计值∑x 7155.5 SSx(SSv) 1227374.369 ∑X23922173.33 SSy(SST) 0.697440815 X376.6052632 SP 762.5136429 y 15.73993636 r 0.824148389 ∑y213.73668274 A 0.594449439 y0.828417703 B 0.000621256∑XY 6690.256518 K=B A-1652.7914211 表中各值的计算公式：SS X=∑X2 -( 1/n)（∑X）2SS Y=∑Y2 –( 1/n)（∑Y）2SP=∑XY–( 1/n)（∑X）（∑Y）r=SP/( SS X * SS Y)1/2B=SP/ SS XA=y-B X表3 ln(N NK-)~t 线性回归统计表统计项统计值统计项统计值∑x 120 SSx(SSv) 340∑X21240 SSy(SST) 124.5577615X7.5 SP -203.2955841y -1.7145938 r( 相关系数) -0.987877489 ∑y2124.7124895 a(A) 4.377299301y-0.107162113 B -0.597928188 ∑XY -216.1550376 r( 参数)=-B 0.597928188 表中各值的计算公式：SS X=∑X2 -( 1/n)（∑X）2SS Y=∑Y2 –( 1/n)（∑Y）2SP=∑XY–( 1/n)（∑X）（∑Y）r（相关系数）=SP/( SS X * SS Y)1/2B=SP/ SS Xa=y-B X五、作业1. 完成表1、2、3的计算。

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