江苏省无锡市普通高中2019—2020学年高二下学期期终调研考试数学试卷

江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限、2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点3.若函数xx x f 1)(2+=,则()=-'1f （）3A.-1B.1C.-3D.4.已知*∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（）79100 A.nA -80100 B.nA -nnA --21100 C.nA -21100D.5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内极小值点个数为()1 A.2 B.3 C.4D.28515 A.C C 28915 B.C C 285390 C.C C -385390 D.C C -7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为()41A.31B.32C.43D.8.若函数bx x x x f -+=221ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)(2, A.+∞,2)2( B.-),2()2,( C.+∞⋃--∞)2,0( D.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 8183>-，则m 的取值可能是（）A.6B.7C.8D.910.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2B.z 的虚部是i2 C.iz 21-= D.5=z 11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为61 B.2个球不都是红球的概率为31C.至少有1个红球的概率为32D.2个球中恰有1个红球的概率为216.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）A.()()2112x f x x f x <B.()()2211x f x x f x +<+C.()()02121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()1222112x f x x f x x f x <+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为_______.14.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)aP n n n n ξ===+，其中a 是常数，则15()22P ξ<<的值为．15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种（数字作答）．16.已知函数2(2)2,1,(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．18.已知二项式(2()n x n N+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项；（3）计算式子061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．19.已知函数32()2(,)f x x ax bx a b R =+++∈的图象在点(1M ，f （1）)处的切线方程为1230x y +-=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[2-，4]的最值．21.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

无锡市普通高中2024年春学期高二期终调研考试试题数学2024.06命题单位：惠山区教师发展中心制卷单位：宜兴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}14A x x =<<，{}11B x x =-<，则A B = （）A.(0,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(1,2)2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.平面内有A ，B ，C ，D 共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（）A.4B.6C.12D.204.一个小球做简谐运动，其运动方程为ππ()cos 23s t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()s t （单位：m ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在1t =时的瞬时速度为（单位：m/s ）（）A.π4-B.π4C.12-D.125.已知随机变量()2~9,X N σ，且()7110.6P X <<=，()120.1P X >=，则()67P X <<=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.46.设随机变量X 的概率分布列如下，且()103P X ≤=，则X 的方差()D X =（）X1-01P16m nA.12B.512C.712D.11127.函数3()3f x x x =-+在区间()m -上存在最大值与最小值，则实数m 的取值范围为（）A.12m <≤B.1m <≤C.22m >D.1m >8.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()56P A B =，()1118P A B =，则（）A.1()2P B =B.1()12P AB =C.7()12P A B +=D.7()8P B A =二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若0a b >>，c d >，则ac bd <B.若22a m a n >，则m n >C.若0a b <<，则11a b a >-D.若110a b<<，则2ab b <10.已知129910C C C m mm -++=，2220122(21)(1)(1)(1)m m m x a a x a x a x -=+++++++ ，*m ∈N ，则下列结论成立的是（）A.5m =B.2022512m m a a a ++++=C.22120222222mm m a a a a ++++= D.12322324m a a a ma m++++=- 11.已知函数()()1e xf x x =+，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小值为21e -B.若方程()f x a =有2个不同的解，则21e a ≥C.不等式()21f x x ≥+对x ∀∈R 成立D.当0k >时，若不等式()ln(1)f x k x kx ≥++恒成立，则0ek <≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数sin ()xf x x=，则曲线()y f x =在点(2π,0)处的切线方程为______.13.某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答）14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X ，则随机变量X 的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n 分的概率为n a ，则当n a 取最大值时n 的值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{}24A x m x m =<<+，集合{()B x f x ==.（1）若1m =-，求()A B ⋃R ð；（2）若“x A ∀∈，都有x B ∈R ð成立”为真命题，求实数m 的取值范围.16.已知2(0)na x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49.（1）求实数n 和a 的值；（2）求()2413na x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中10x 的系数.17.水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月时间代码x 123456销售额y （单位：万元）2.0 4.0 5.2 6.1 6.87.4（1）根据题目信息，ˆˆˆy abx =+与ˆˆˆln y a b x =+哪一个更适合作为销售额y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y 关于时间x 的回归方程.（注：数据保留整数）；（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X 表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考公式与数据：61ln 6.6ii x=≈∑，61ln 41.1i i i x y =⋅≈∑，()621ln 9.4i i x =≈∑，61128.4i i i x y =⋅=∑，6121i i x ==∑，6131.5ii y==∑样本数据(),(1,2,,)i i x y i n = 的线性回归方程ˆˆˆy a bx=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.18.为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.12345678910训练前4759528.5675训练后8.59.57.59.58.569.58.599优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行A 和B 两个武术项目的训练考核，A 、B 项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，A 项若为优秀得2分，概率为p ，B 项若为优秀得3分，概率为13，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为()f p ，求p 为何值时，()f p 取得最大值.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82819.已知函数1()2(21)ln f x ax a x x=-+-，12a ≤.（1）证明：当0a =时，()1f x ≤-；（2）已知()()4ln g x f x a x =+，且()g x 在区间[]2,5上单调递增，求a 的最小值；（3）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围.无锡市普通高中2024年春学期高二期终调研考试试题数学2024.06命题单位：惠山区教师发展中心制卷单位：宜兴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}14A x x =<<，{}11B x x =-<，则A B = （）A.(0,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(1,2)【答案】D 【解析】【分析】绝对值不等式进行化简，利用集合的交集计算得出结果；【详解】集合{}14A x x =<<，由于11x -<等价于111x -<-<，即02x <<，故集合{}02B x x =<<.所以(1,2)A B ⋂=.故选：D .2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立.即可判断出结论．【详解】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立．∴“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.平面内有A ，B ，C ，D 共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（）A.4B.6C.12D.20【答案】B 【解析】【分析】简单的组合数问题，列举或运用组合数均可.【详解】线段为AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6条.故选：B.4.一个小球做简谐运动，其运动方程为ππ()cos 23s t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()s t （单位：m ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在1t =时的瞬时速度为（单位：m/s ）（）A .π4-B.π4C.12-D.12【答案】A 【解析】【分析】利用导数的物理意义，即可求解瞬时速度.【详解】()πππsin 223s t t ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，当1t =时，()π14s '=-，所以小球在1t =时的瞬时速度为πm /s 4-.故选：A5.已知随机变量()2~9,X N σ，且()7110.6P X <<=，()120.1P X >=，则()67P X <<=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】A 【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解.【详解】由正态密度曲线的对称性可知，()790.3P X <<=，()()1260.1P X P X >=<=，所以()670.50.30.10.1P X <<=--=.故选：A6.设随机变量X 的概率分布列如下，且()103P X ≤=，则X 的方差()D X =（）X1-01P16m nA.12B.512C.712D.1112【答案】C 【解析】【分析】先根据已知条件求出,m n ，然后求出()E X ，再根据方差公式可求得结果.【详解】由题意得1161163m n m ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1623m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1121()1016632E X =-⨯+⨯+⨯=，所以2221111217()(1)(0)(1)62623212D X =⨯--+⨯-+-=.故选：C7.函数3()3fx x x =-+在区间()m -上存在最大值与最小值，则实数m 的取值范围为（）A.612m <≤B.1m <≤C.2m >D.1m >【答案】B 【解析】【分析】首先求函数导数，并由最值确定函数在区间()m -的单调性，再利用数形结合确定实数m 的取值范围.【详解】()()()2333110f x x x x =-+=-+-='，得=1x-或1x =，因为区间()m-的端点是开区间，所以函数()f x 在区间()m -上存在最大值和最小值，只能是极值点处取得最大值和最小值，()(),,x f x f x '的变化情况如下表，当332x x -+=，得1x =或2-，当332x x -+=-，得=1x -，或2x =，则02112m m ⎧>⎪-≤-<-⎨⎪<≤⎩，得1m <≤.故选：B8.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()56P A B =，()1118P A B =，则（）A.1()2P B = B.1()12P AB =C.7()12P A B +=D.7()8P B A =【答案】D 【解析】【分析】利用全概率公式结合条件可得()P B ，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得.【详解】因为()13P A =，()56P A B =，()1118P A B =，所以()()511166P A B P A B =-=-=，()()117111818P A B P A B =-=-=，又()()()()()P A P B P A B P B P A B =+，即()()11713618P B P B =+-⎡⎤⎣⎦，解得()14P B =，故A 错误；因为()()()P AB P A B P B =，所以()()111()6424P AB P A B P B ==⨯=，故B 错误；()()()11113()342424P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故C 错误；因为()()()718P AB P A B P B ==，所以()()()73718424P AB P A B P B ==⨯=，所以()()7724()183P BA P B A P A ===，故D 正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若0a b >>，c d >，则ac bd <B.若22a m a n >，则m n >C.若0a b <<，则11a b a >-D.若110a b<<，则2ab b <【答案】BD 【解析】【分析】根据特殊值法，以及作差法，不等式的性质，判断选项.【详解】A.若0,0c d ><，此时ac bd >，故A 错误；B.若22a m a n >，则20a >，则m n >，故B 正确；C.()()()11a a b ba b a a a b a a b ---==---，0,0,0a b a b <<-<，所以()0b a a b <-，即11a b a <-，故C 错误；D.若110a b<<，则0b a <<，则2ab b <，故D 正确；故选：BD 10.已知129910C C C m m m -++=，2220122(21)(1)(1)(1)m m m x a a x a x a x -=+++++++ ，*m ∈N ，则下列结论成立的是（）A .5m = B.2022512m m a a a ++++=C.22120222222mm ma a a a ++++=D.12322324m a a a ma m++++=- 【答案】BCD【解析】【分析】考查二项式定理展开式，只需结合选项特征，合理采用赋值法即可.【详解】对于A ，由已知有21109910C C +C C m m m m +-==，所以210m m ++=，即4m =，A 错误；对于B ，令0x =，得01221m a a a a =++++ ，令2x =-，得201225mm a a a a =-+-+ .两式相加并除以2，可得2022152mm a a a ++++= ，B 正确；对于C ，令12x =-即得22120222222mm ma a a a =++++ ，C 正确；对于D ，在原式两边同时求导得21211224(21)2(1)2(1)m m m m x a a x ma x ---=+++++ ，再令0x =，可知12324232m m a a a ma -=++++ ，D 正确.故选：BCD.11.已知函数()()1e xf x x =+，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小值为21e -B.若方程()f x a =有2个不同的解，则21e a ≥C.不等式()21f x x ≥+对x ∀∈R 成立D.当0k >时，若不等式()ln(1)f x k x kx ≥++恒成立，则0e k <≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，只需求导研究函数性质即可；对B ，数形结合作出函数图象即可；对C ，构造函数证其最小值非负即可；对D ，整体换元，参变分离解决恒成立问题.【详解】对A ，()(2)x f x x e '=+，所以<2x -，()0f x '<，2x >-，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-单调递减，()f x 在(2+)-∞，上单调递增，所以()f x 最小值为21(2)f e-=-，A 正确；对B ，根据A 中的单调性分析，结合翻折变换，又-lim ()0x f x →∞=，可绘制|()|f x 图象如下，由图可知若|()|f x a =有两个不同的解，则21e =a ，B 错误；对C ，令()()21h x f x x =--，所以()(2)e 2x h x x '=+-，令()()x h x ϕ'=，()(3)e x x x ϕ'=+，易知3x <-，()0x ϕ'<，3x >-，()0x ϕ'>，所以()ϕx 在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，又3x <-时，()()0x h x ϕ'=<，(0)(0)0h ϕ'==，所以0x <，()0h x '<，0x >，()0h x '>，所以()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h ≥=，C 正确；对D ，即ln[(1)e ]1(1)e x x x k x +⋅≤+恒成立，令(1)e 0xt x =+>，ln ()t g t t=，即()1k g t ⋅≤恒成立，21ln ()tg t t-'=，所以0e t <<，()0g t '>，t e >，()0g t '<，所以()g t 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减，所以1()(,)eg t ∈-∞，所以e k ≤，又0k >，所以0e k <≤，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：(1)方程的根的个数问题，可转化为对应图象交点个数问题；(2)恒成立问题，可转化为最值问题，注意参变分离技巧的使用三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数sin ()xf x x=，则曲线()y f x =在点(2π,0)处的切线方程为______.【答案】112πy x =-【解析】【分析】对函数求导2cos sin ()x x x f x x-'=，代入得1(2π),(2π)02πf f '==，根据点斜式写出切线方程；【详解】函数2cos sin ()x x xf x x -'=，22πcos2πsin2π1(2π),(2π)0(2π)2πf f -'===，则曲线()y f x =在点(2π,0)处的切线方程1(2π)2πy x =-，即112πy x =-.故答案为：112πy x =-.13.某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】排列组合中的分配问题，可以按照人数分配分类讨论解决.【详解】情形一，分组人数为1，1，3.此时，甲乙在3人组，再添一人共13C 种方法，所以此时方法数为1333C A 18=.情形二，分组人数为1，2，2.此时，甲乙两人为单独一组，丙丁各在一组，戊与丙一组，或戊与丁一组，所以此时方法数为332A 12=.所以，共30种方法.故答案为：30.14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X ，则随机变量X 的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n 分的概率为n a ，则当n a 取最大值时n 的值为______.【答案】①.103##133②.82或84【解析】【分析】（1）根据的取值求出相应的概率即可；（2）记得1分的次数为x ，得3分的次数为50x -，则总分为1502=-n x ，进而由利用独立重复实验的概率可得505021C 33xxx n a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n a 取最大值时，要满足11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，从而利用组合数的性质即可求解.【详解】得1分的概率为4263=，得3分的概率为2163=，X 的可能取值为2,4,6，()2242339P X ==⨯=，()21442339P X ==⨯⨯=，()1116339P X ==⨯=，则随机变量X 的期望是()441102469993E X =⨯+⨯+⨯=；记得1分的次数为x ，则得3分的次数为50x -，因此抛掷50次骰子，所得总分为()3501502n x x x =+⨯-=-，次数得n 分的概率为505021C 33x xx n a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若n a 取最大，则050,x x ≤≤∈N ，50150115050501501150502121C C 33332121C C 3333x x x x x x x x x x x x -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，可得3334≤≤x ，因为050,x x ≤≤∈N ，所以33x =，或34x =，当33x =时，15023384=-⨯=n ，当34x =时，15023482=-⨯=n ，故答案为：①103；②84或82.【点睛】关键点睛：解题的关键点是需要熟练应用独立重复事件的性质、在二项式中求系数最大（小）的项的方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{}24A x m x m =<<+，集合{()B x f x ==.（1）若1m =-，求()A B ⋃R ð；（2）若“x A ∀∈，都有x B ∈R ð成立”为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(){}22A B x x x ⋃=≤-≥R 或ð（2）(][),22,-∞-+∞U 【解析】【分析】（1）先根据1m =-求出集合A ，然后求出集合B ,最后求出()A B ⋃R ð；（2）先把题目条件转化成A B ⋂=∅，然后根据A =∅和A ≠∅分类讨论.【小问1详解】当1m =-时，{}23A x x =-<<.又{}24B x x =≤≤，{}23A x x x ∴=≤-≥R 或ð，(){}22A B x x x ∴⋃=≤-≥R 或ð.【小问2详解】由“x A ∀∈，x B ∈R ð”为真命题，即A B ⋂=∅.当A =∅时，24m m ≥+，即4m ≥，符合题意；当A ≠∅时，2442m m m <+⎧⎨+≤⎩或2424m m m <+⎧⎨≥⎩，即2m ≤-或24m ≤<.综上所述，实数m 的取值范围是(][),22,∞∞--⋃+.16.已知2(0)na x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49.（1）求实数n 和a 的值；（2）求()2413na x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中10x 的系数.【答案】（1）2a =，6n =（2）24【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和的性质求出n ，再由展开式的前3项系数之和求出a ；（2）利用622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式可得答案【小问1详解】所有项的二项式系数之和为64，264n \=，6n ∴=.又前3项系数之和为49，()()()012012666C C C 49a a a ∴-+-+-=，解得2a =或85=-a ，又0a >，2a ∴=.综上，2a =，6n =；【小问2详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1k +项为()()()621231662C C 20,1,,6kkk kkk k T x x k x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，令12310-=k ，可得23k =，不合题意，所以1k T +中不含10x 的项，令1239k -=，可得1k =，所以()119926C 212T x x =-=-，令1236-=k ，可得2k =，所以()226636C 260T x x =-=，()2413na x x x x ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭的展开式中10x 的系数为1236024-⨯+=.17.水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月时间代码x 123456销售额y （单位：万元）2.0 4.0 5.2 6.1 6.87.4（1）根据题目信息，ˆˆˆy a bx=+与ˆˆˆln y a b x =+哪一个更适合作为销售额y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y 关于时间x 的回归方程.（注：数据保留整数）；（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X 表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考公式与数据：61ln 6.6ii x=≈∑，61ln 41.1i i i x y =⋅≈∑，()621ln 9.4i i x =≈∑，61128.4i i i x y =⋅=∑，6121i i x ==∑，6131.5ii y==∑样本数据(),(1,2,,)i i x y i n = 的线性回归方程ˆˆˆy a bx=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.【答案】（1）ˆˆˆln y a b x =+（2）ˆ3ln 2yx =+（3）列联表见解析，数学期望为2【解析】【分析】（1）根据表中的数据可得y 关于时间x 的回归方程类型；（2）求出y ，ln x ，ˆb，ˆa 可得y 关于时间x 的回归方程；（3）求出X 的所有可能取值及相应的概率可得答案.【小问1详解】根据表中的数据，可得y 关于时间x 的变化不是直线型，所以ˆˆˆln ya b x =+更适合作为销售额y 关于时间x 的回归方程类型；【小问2详解】31.5 5.256y ==， 6.6ln 1.16x ==，()()121662ln 6ln ˆln 6ln ==⋅-⋅=-∑∑ii i i i x y x y bx x241.161.15.2539.461.1-⨯⨯=≈-⨯，ˆ 5.2531.12a=-⨯≈，所以，销售额y 关于时间x 的回归方程为ˆ3ln 2yx =+；【小问3详解】X 的所有可能取值为1，2，3，则()124236C C 11C 5P X ===，()214236C C 32C 5P X ===，()3436C 13C 5P X ===.所以，X 的分布列为X123P153515()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为2.18.为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.12345678910训练前4759528.5675训练后8.59.57.59.58.569.58.599优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行A 和B 两个武术项目的训练考核，A 、B 项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，A 项若为优秀得2分，概率为p ，B 项若为优秀得3分，概率为13，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为()f p ，求p 为何值时，()f p 取得最大值.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）同学的优秀情况与训练有关，理由见解析（2）1528（3）58p =【解析】【分析】（1）将列联表完善，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；（2）设出事件，结合组合知识，利用条件概率求出答案；（3）计算出甲同学一天得分不低于3分的概率，从而得到38()(21)(1)81f p p p =+-，01p <<，求导后得到单调性，从而确定当58p =时，()f p 取得最大值.【小问1详解】零假设0H ：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关.列联表为优秀人数非优秀人数合计训练前2810训练后8210合计1010202220(464)36 6.635101010105χ⨯-==>⨯⨯⨯.故根据小概率值0.01α=的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关.【小问2详解】设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件A ，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件B ，事件AB 为所选4人中，有1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀，有1人训练前非优秀，训练后也非优秀，从（1）中可知，有6人训练前非优秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀，则121262410C C C ()C P AB =，3182410C C ()C P A =，所以1212623182C C C ()15()()C C 28P AB P B A P A ===.【小问3详解】设“甲同学一天得分不低于3分”为事件M ，有121()1(1)133p P M p +⎛⎫=---= ⎪⎝⎭，则恰有3天每天得分不低于3分的概率333421218()C 1(21)(1)3381p p f p p p ++⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，01p <<，232888()6(21)(1)(21)(21)(58)818181f p p p p p p '=⨯+--⨯+=⨯+-，当508p <<时，()0f p '>，518p <<时，()0f p '<，故()f p 在50,8p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在5,8p ⎛⎫∈ ⎪⎝+⎭∞单调递减.所以当58p =时，()f p 取得最大值.19.已知函数1()2(21)ln f x ax a x x =-+-，12a ≤.（1）证明：当0a =时，()1f x ≤-；（2）已知()()4ln g x f x a x =+，且()g x 在区间[]2,5上单调递增，求a 的最小值；（3）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）3222-（3）102a <≤【解析】【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为证明函数的最大值小于等于1-；（2）首先求函数()g x 的解析式，由题意转化为()0g x '≥在区间[]2,5上恒成立，利用参变分离，转化为求解最值问题；（3）首先求函数的导数，分0a ≤，102a <<和12a =三种情况讨论函数的单调性，以及最值，分析函数的零点个数.【小问1详解】证明：当0a =时，1()ln f x x x=--，0x >，22111()xf x x x x -'∴=-=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；max ()(1)1f x f ∴==-，即()1f x ≤-.【小问2详解】1()2(21)ln g x ax a x x=+--，[]2,5x ∈，2222112(21)1()2a ax a x g x a xx x -+-+'∴=++=，由题意知()g x 在[]2,5上单调递增，()0g x '≥在[]2,5上恒成立，即22(21)10ax a x +-+≥在[]2,5上恒成立，2max 122x a x x -⎛⎫∴≥ ⎪+⎝⎭，[]2,5x ∈.下面研究函数2122x y x x -=+，[]2,5x ∈的最大值.令1t x =-，[]2,5x ∈，[]1,4t ∴∈，22142(1)2(1)26426t t y t t t t t t ∴===+++++++，[]1,4t ∈，42t t ⎡⎤∴+∈⎣⎦，4266,15t t ⎡⎤∴++∈+⎣⎦，426t t ∴++的最大值为32-，即2122x y x x -=+，[]2,5x ∈的最大值为32-，1x =+时，y 取到最大值.32a -∴≥，即a的最小值为32-.【小问3详解】22222112(21)1(21)(1)()2a ax a x ax x f x a x x x x+-++--'=-+==，0x >.①当0a ≤时，210ax -<.令()0f x '>得01x <<；令()0f x '<得1x >，()f x ∴在()0,1单调递增，()1,∞+上单调递减，max ()(1)210f x f a ∴==-<，此时()f x 无零点，不符合题意.②当102a <<时，112a>.令()0f x '>得01x <<或12x a >；令()0f x '<得112x a <<，()f x ∴在()0,1和1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又(1)210f a =-< ，当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(1)0f x f ≤<，()f x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点.由（1）知，当0a =时，()1f x ≤-，即1ln 1x x+≥恒成立.用1x 替换x 得1ln 1x x ≥-，即ln 1≤-x x ，ln x x ∴<，<，ln 2ln x ∴=，当112x a >>11x >>，1x ∴->，1()2(21)ln 22(22(4f x ax a x ax a ax ax ∴=-+->-+=-+，∴存在231222m aa ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0>f m ，又因为102f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在01,2x m a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，又因为()f x 在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，且()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，所以0x 是()f x 的唯一零点.③当12a =时，22(1)()0x f x x-'=≥，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，又(1)210f a =-= ，()f x ∴有唯一零点，符合题意.综上，102a <≤.【点睛】关键点点睛：本题的关键是当102a <<时，讨论在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭有1个零点，用到了放缩法，以及零点存在性定理.。

2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页,包含单选题(第1题～第8题)、多选题(第9题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17～第22题)。

本卷满分150分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将答题卡交回。

2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整,笔迹清楚。

4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条符号等须加黑加粗。

5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸修正液、可擦洗的圆珠笔。

一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求的。

1.复平面内,复数z＝－3＋4i对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数f(x)＝x2－sinx在区间[0,π]上的平均变化率为A.1B.2C.π2D.π3.若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位),则|z|为D.54.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个5.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址,则不同的方法种数为A.34B.43C.A 43D.C 436.已知z 1,z 2∈C,|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1＋z 2|＝3,则|z 1－z 2|＝A.0B.1C.3D.27.若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上的任意一点,则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 A.2 B.22 C.12D.1 8.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一。

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

无锡江阴四校2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题命题人：黄希 复核人：黄亚新一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 计算：2547A C -的值为 ▲ . 2. 已知复数iiz -+=141，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部是 ▲ . 3. 已知421414-=x x C C ，则x = ▲ . 4. 已知复数)21)(1(i i z ++=，其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ .5. 用反证法证明“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设 ▲ .6. 用数学归纳法证明“122+>n n 对于0n n ≥的自然数都成立”时，第一步中的值0n 应取 ▲ .7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ▲ 种.8. 1233-除以9的余数为 ▲ .9. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为___▲___.10. 已知不等式23411<+，3591411<++，4716191411<+++，照此规律总结出第)(*∈N n n 个不等式为 ▲ .11. 在平面几何中，ABC ∆的C ∠内角平分线CE 分AB 所成线段的比BC AC EB AE ::=（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中（如图所示），面DEC 平分二面角B CD A --且与AB 相交于点E ，则得到的结论是_ ▲ .12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___.13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，则=2019a ▲ .14. 三角形的周长为31，三边c b a ，，均为整数，且c b a ≤≤，则满足条件的三元数组),,(c b a 的个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知复数是虚数单位）i R m iim m m m z ,(1)()2(22∈+++--=是纯虚数.（1）求m 的值；（2）若复数w ，满足||1w z -=，求||w 的最大值.16. （本小题满分14分）（1）设0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）已知非零实数a b c ，，是公差不为零的等差数列，求证： 112a cb +≠．17. （本小题满分14分）从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？ （1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； （3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒； （4）甲不在第一棒.18. （本小题满分16分）已知在nxx⎪⎭⎫⎝⎛+2323的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n的值；（2）求展开式中6x的项；（3）求展开式中系数最大的项.19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根， 数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-= (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,试比较nb 1与1+n S 的大小，并用数学归纳法给予证明．20. （本小题满分16分）已知*()(1),(01,)nn f x x x x n N =+≠≠-∈且. （1）设3410()()()()g x f x f x f x =+++，求()g x 中含3x 项的系数；（2）化简：123234(1)nn n n n C C C n C +++++；（3）证明：1121(1)1232m m mmm m m m m n m n m n C C C nC C m ++++-+++++++=+无锡江阴四校2018-2019学年高二下学期期中考试数学答案一、填空： 1. 15 2. 23-3. 4或64. 105. a ，b 都不能被5整除6. 57. 308. 79. 1 10.112)1(11312112222++<++++++n n n n 11.BCDACDS S EB AE ∆∆=12. 420 13. 3974 14. 24 二、解答题：15. 解:(1)复数是纯虚数.,计算得出.的值是1..........................................................................................8分 (2)由(1)可以知道:.设.,,,.可以知道:,.的最大值为3................................................................................14分注：法二：用复数的几何意义 16.（1）由33222222(2)(2)2()()(2)()()a b ab a b a a b b a b a b a b a b ---=-+-=++-……4分 因为0a b ≥>所以20,0,0a b a b a b +>+>-≥ 所以332222a b ab a b -≥-………………………7分（2）（反证法）假设，则． ①而． ②由①②，得，即，于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即成立．…………………14分17. 解：（1）60 ………………………3分(2)480 ………………………6分 (3)180 ………………………10分(4)1470 ………………………14分1819. 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1. ………………………2分因为T n ＝1－12n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，（10分）（16分）所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . ………………………6分(2) 因为S n ＝12n －12×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812S 5＝25，所以1b 4>S 5. ………………………8分猜想：n ≥4时，1b n＞S n ＋1. ………………………9分下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2(k ＋1)2， …………………10分那么，1b k ＋1＝3k ＋123·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1> k 2＋4k ＋4 =[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1 …14分 所以当n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n>S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1， ………………………15分当n ≥4时，1b n>S n ＋1. ………………………16分20. 解：（1）由3410()(1)(1)(1)g x x x x =++++++ 所以()g x 中含3x 项的系数为：333343334345104451011330C C C C C C C C C ++++=++++==………………………3分（2）通项为(1)k k k n n n k C kC C +=+ ………………………5分0()(1)n nk k n n k f x x C x =∴=+=∑111(1)nn k k n k n x kC x --=+=∑两边求导得 1x =令得到112n n k n k n kC -=⋅=∑ 1221n n n n n C C C +++=-又1231234(1)221n n n n n n n C C C n C n -∴+++++=⋅+-………………………10分 (如采用组合恒等式证明相应给分)。

2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知i 是虚数单位，则i 2014= ______ ．2. 若z =−1+√3i(其中i 为虚数单位)，则z 3= ______ ．3. 从集合{−1,1，2，3}中任意取出两个不同的数记作m ，n ，则方程x 2m+y 2n=1表示焦点在x 轴上的双曲线的概率是______．4. 已知(3x +1)(x +m)6的展开式中x 5的系数为3，则m =______5. 已知(x 13−2x)n 的展开式中，各项的系数与它的二项式系数和的差为−33，则n =______． 6. 因指数函数y =a x 是增函数(大前提)，而y =(13)x 是指数函数(小前提)，所以y =(13)x 是增函数(结论)，上面推理错误的原因是______ 是错误的(填大前提或小前提或结论)．7. 已知S n =1n+1+1n+2+⋯+12n ，n ∈N ∗，利用数学归纳法证明不等式S n >1324的过程中，从n =k到n =k +l(k ∈N ∗)时，不等式的左边S k+1=S k +______． 8. 如图，正方形边长为，分别作边上的三等分点，得正方形，再分别取边上的三等分点，得正方形，如此继续下去，得正方形，……，则正方形的面积为 ．9. 已知点A(1,2，3)，B(0,1，2)，C(−1,0，λ)，若A ，B ，C 三点共线，则λ=______．10. 若直线l 的方向向量为a⃗ =(1,0，2)，平面α的法向量为u ⃗ =(−2,0，−4)，则直线与平面的位置关系是______ ．11. 已知向量a ⃗ =(2,−1,2)，b ⃗ =(−4,2，m)，且a ⃗ //b⃗ ，则m 的值为______ ． 12. 已知空间三点A(0,2，3)，B(2,5，2)，C(−2,3，6)，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为______．13. 已知点M ，N 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，直线OM 与直线ON 的斜率之积为b 2a 2(O 为坐标原点)，P 为平面内任意一点．研究发现：若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=2； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=10； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b2=10； 根据上述研究结果，可归纳出：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈N ∗)则点p 的轨迹方程为______ ． 14. 14.，则。

江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数1z i =-（其中i 是虛数单位），则复数z 的虛部为（ ） A.1-B.i -C.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v （单位：m/s ）与行驶时间t （单位：s ）之间的关系是()20.40.6v t t t =+，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s 2？（ ）A.32s B.2s C.52s D.73s 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的正弦值为（ ）D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（ ） A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数()332f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增，则实数b 的取值范围是（ ） A.4b ≤B.4b <C.4b ≥D.4b >6.如图，在圆锥PO 的轴截面PAB 中，60APB ∠=︒，有一小球1O 内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球1O 的体积为1V ，圆锥PO 的体积为V ，则1:V V 的值为（ ）A.13B.49C.59D.237.若函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭D.()1,00,e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（ ） A.252B.216C.162D.228第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.复数z 满足z i=（其中i 是虛数单位），则复数z 的模等于______. 10.设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.11.用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）三、解答题（题型注释）12.已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.13.已知函数()ln f x ax bx x =+，()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，其中e 是自然对数的底数.（1）求实数a ，b 的值； （2）求函数()f x 的极值.14.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，M 是PD 上一点，且BM PD ⊥.（1）求异面直线PB 与CM 所成角余弦的大小； （2）求点M 到平面PAC 的距离.16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，3AB AC AD ===，4PA CD ==，E 为线段AB 上一点，2AE EB =，M 为PC 的中点.（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值. 17.已知()221()ln ,x f x a x x a R x-=-+∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．四、新添加的题型）A.若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+ B.若()2x f x e =，则()2x f x e '=C.若()f x =()f x '=D.若()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()sin 23f x x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭19.下面四个命题中的真命题为（ ） A.若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ B.若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C.若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = D.若复数z R ∈，则z R ∈ 20.以下关于函数()21f x x x=+的说法正确的是（ ） A.函数()f x 在0,上不单调B.函数()f x 在定义域上有唯一零点C.函数()f xD.x =()f x 的一个极值点21.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A.PC 与平面BCD 所成的最大角为45B.存在某个位置，使得PB CD ⊥--的大小为90时，PC=C.当二面角P BD CD.存在某个位置，使得B到平面PDC22.已知四面体ABCD的所有棱长均为a，则对棱AB与CD间的距离为______，该四面体的外接球表面积为______.参考答案1.A【解析】1.利用复数的除法运算化简，再得到复数z 的虛部.21i z i =-2(1)1(1)(1)i i i i i --==--+--，则复数z 的虛部为1-. 故选：A 2.B【解析】2.计算()'v t ，根据()'v t 的物理意义，代入() 2.8='v t ，简单计算可得结果. 由题可知：()20.40.6v t t t =+，所以()=0.4+1.2'v t t 则()2.8=0.4+1.22⇒=t t s 所以火车开出2s 时加速度为2.8m/s 2 故选：B 3.C【解析】3.连AC 交BD 于O ，连1A O ，证明BD ⊥平面11AAC C ，从而有1,AC BD AO BD ⊥⊥，1AOA ∠或（补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，在1Rt AOA 中求出11,AO AA 关系， 即可得出结论.连接AC 交BD 于点O ，连1A O ，如下图所示， 因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以11,A AA BD AC BD A C A A ⊥⊥=，，BD ⊥平面111,AAC C AO ⊂平面111,AAC C BD AO ⊥， 所以1AOA ∠（或补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 的平面角，在△A 1OA 中，设AA 1＝a ，则AO 2=a ，12A O a =，1111sin sin2AAAOC AOAAO∠=∠===所以平面1A BD与平面ABCD.故选：C．4.B【解析】4.甲和乙相邻，捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.甲和乙相邻，捆绑在一起有22A种，再与丙和丁外的两人排列有33A种，再排丙和丁有24A种，故共有22A33A24A144=种.故选：B5.A【解析】5.先对函数求导，根据函数在区间()2,3内单调递增，转化为导函数大于等于0，然后分离常数b，根据最值求得b的取值范围.3()32f x x bx=-+，2()33f x x b'=-，∵函数()332f x x bx=-+在区间()2,3内单调递增，∴导函数2()33f x x b'=-0,(2,3)x≥∈恒成立，则2,(2,3)b x x≤∈恒成立，故4b≤.故选：A．6.B【解析】6.采用数形结合，假设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R，然后计算=r R ，可得R =，然后根据体积公式简单计算，可得结果.如图设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R 由1△△POB PMO 所以11=PO O MPB OB由60APB ∠=︒，所以tan tan 603=∠==OP R OBP R R2sin2==∠OBPB RAPB所以=r RR =所以3323141,3333πππ==⋅==r R V V R r所以149=V V ， 故选：B 7.C【解析】7.首先能判断出0x=是函数的零点，问题转化为xxa e =有一个非零根，构造函数，研究其图象的走向，从而得出结果.函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，等价于2x x ax e=有两个不同的解，0x =满足条件，所以xxa e =有一个非零根， 令()x x g x e =，21'()x x xx e xe xg x e e--==， 当1x >时，)'(0g x <，1x <时，'()0g x >，所以()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且当(,1)x ∈-∞时，1()(,)f x e ∈-∞，当(1,)x ∈+∞时，1()(0,)f x e∈， 所以xx a e =有一个非零根时，实数a 的取值范围是()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， 故选：C. 8.D【解析】8.根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案.解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个；②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个，这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D.【解析】9.利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出结果． ∵3iz i-=， ∴223331131i i i i i z i i --+===---=，∴|z |=10.1【解析】10.先对函数求导，再令1x =，求出'(1)f 的值，代入原函数中，再令3x =可求出(3)f .由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f = 故答案为：1 11.240【解析】11.根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.12.（1）32a =-；3b =-；（2）34m <<【解析】12.（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2zi-，利用其为纯虚数，求得32a =-； （2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果.（1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-，因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数， 所以32a =-． （2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 13.（1）11a b =⎧⎨=-⎩；（2）极大值1；()f x 无极小值..【解析】13.（1）计算()f e ，()f e '，根据函数在x e =处的切线方程，简单计算可得结果. （2）根据（1）的结论，可得()ln f x x x x =-，然后利用导数，判断原函数的单调性，找到极值点，最后计算可得结果.（1）由()ln f x ax bx x =+，得()()1ln f x a b x '=++，由()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，知切点为(),0e ，斜率为1-，所以()()()021f e a b e f e a b ⎧=+=⎪⎨=+=-'⎪⎩，解之得11a b =⎧⎨=-⎩．（2）()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，令()0f x '=，得1x =，由表可知，当1x =时，f x 取得极大值1；)f x 无极小值. 14.（1）4096种；（2）360种；（3）1560种.【解析】14.（1）根据分步计数原理直接计算可得64，然后可得结果. （2）依据题意，计算46A ，可得结果.（3）先分组，可得22364622+C C C A ，后排列，可得2234646422⎛⎫+ ⎪⎝⎭C C C A A ，简单计算可得结果. （1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法， 由分步计数原理知共有644096=种．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人， 第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法， 第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法466543360A =⨯⨯⨯=种．（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，因此需将6人分成4组，有2236462215620652C C C A ⨯+=+=种． 每组参加一个项目，由分步计数原理得共有()22346464222045241560C C C A A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭种． 15.（1；（2.【解析】15.（1）连BD 交AC 于O ，连MO ，根据已知可得BP BD =，得出M 为PD 中点，从而有//OM PB ，OMC ∠（或补角）就为所求的角，分别求出,,OM OC MC ，即可得出结论；或建立空间直角坐标系，确定,,,P B M C 坐标，利用向量夹角公式，也可求解.（2）点M 到平面PAC 的距离等于点D 到平面PAC 距离的一半，由PA ⊥平面ABCD ，过D 做DN AC ⊥于N ，可证DN ⊥平面PAC ，即可求出结论；或求出,PAC ACD △△的面积，用等体积法也可求解；或建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，利用空间向量点到面的距离公式亦可求解. （1）连BD 交AC 于O ，连MO ，PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA CD ⊥⊥，在Rt PAB中，4,2,PA AB PB ====，又因为底面ABCD 是矩形，所以O 为BD 中点，2,4AB AD ==，所以BD PB ==，因为M 是PD 上一点，且BM PD ⊥， 所以M 为PD 中点，1//,2MO PB MO PB =， 所以OMC ∠（或补角）就为PB 与CM 所成的角， 因为,,PA CD AD CD PAAD A ⊥⊥=所以CD ⊥平面,PAD CD PD ⊥，MC ==，1122MO PB CO AC ====2cos MCOMC MO ∠===所以异面直线PB 与CM所成角余弦值为5； （2）解1：过D 做DN AC ⊥于N ，PA ⊥平面ABCD ， 所以,PA DN PAAC A ⊥=，所以DN ⊥平面PAC ，DN 为点D 到平面PAC 的距离，在Rt ACD △中，CD DA DN AC ⋅==， 又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC． 解2：因为Rt BCE ，PA ⊥平面ABCD ，所以111162443323P ACD ACD V S PA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，在Rt ADC 中，AC ==11422PAC S AC PA =⋅=⨯=△设点D 到平面PAC 的距离为h ，则13D PAC PAC V S h -=⋅=△，由P ACD D PAC V V --=，得1633=，所以h =．又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC ．解法二：分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，（1）()()()()()0,0,0,2,442,0,0,0,4,0,0,0,,0,A P C B D则()2,0,4PB =-，()2,4,4PC =-，()0,4,4PD =-， 设()01PM PD λλ=≤≤，则()0,4,4PM λλ=-， 所以()2,4,44BM PM PB λλ=-=--，由BM PD ⊥，知()0164440BM PD λλ⋅=+--=，所以12λ=，M 为PD 中点， 所以()0,2,2M ，()2,2,2CM =--，cos ,2PBCM PB CM PB CM⋅===．所以异面直线PB 与CM 所成角的余弦值为5． （2）()0,0,4AP =，()2,4,0AC =， 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由00AP n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得40240z x y =⎧⎨+=⎩，所以0z =，取2x =，得1y =-，所以()2,1,0n =-是平面PAC 的一个法向量．所以点M 到平面PAC 的距离为22CM n n⋅-==． 16.（1）证明见解析；（2.【解析】16.（1）取PD 中点N ，连接AN ，MN ，证明//EM AN ，再证得//EM 平面PAD ； （2）连接PE ，先证CE AB ⊥，证得CE ⊥面PAB ，再作⊥AF PE 交PE 于F，连接MF ，证得AF ⊥面PEC ，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角，再求出AMF∠的正弦值.（1）证明：取PD 中点N ，连接AN ，MN ，因为M 为PC 的中点，所以//MN CD 且12MN CD =， 又223AE AB ==，4CD =，且//AB CD ，则//MN AE ，且MN AE =， 所以四边形AEMN 为平行四边形，则//EM AN ． 又因为EM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以//EM 平面PAD ．（2）解：在ACD △中，22291692cos 22343AC CD AD ACD AC CD +-+-∠===⋅⨯⨯，因为//AB CD ，所以2cos 3BAC ∠=， 在ACE △中，22222cos 4922353CE AE AC AE AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 由222AE CE AC +=，知CE AB ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，所以CE PA ⊥， 又PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ．在平面PAB 内，过点A 作⊥AF PE ，交PE 于F ，连接FM ， 则CE AF ⊥，又PECE E =，CE ⊂平面PCE ，PE ⊂平面PCE ，所以AF ⊥平面PCE ，所以FM 是AM 在平面PCE 内的射影， 则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角．在Rt PAC △中，M 为PC 的中点，所以1522AM PC ===，在Rt PAE 中，由PA AE PE AF ⋅=⋅，得5PA AE AF PE ⋅===，所以sin 25AF AMF AM ∠==所以直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值为25． 17.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】17.试题（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性； （Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()'()2f x f x ->，根据单调性求解. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. （1），，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；（2）时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；（3）时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x--+=， 设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号， 所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。