怎样理解充分条件、必要条件和充要条件

高一数学充分条件与必要条件笔记充分条件与必要条件是数学中重要的概念，它们描述了命题成立的条件和结论之间的关系。

1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。

简单来说，就是有了A，就可以得到B。

2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。

简单来说，就是没有A，就没有B。

充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B的充分必要条件，简称充要条件。

既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A 是B的既不充分也不必要条件。

可以根据这些定义来判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件。

同时，这些判断也可以基于逻辑推理关系来进行。

1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。

简单来说，就是有了A，就可以得到B。

比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。

在这里，“能被2整除”就是“偶数”的充分条件。

2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。

简单来说，就是没有A，就没有B。

比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。

在这里，“能被2整除”就是“偶数”的必要条件。

3. 充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B 的充分必要条件，简称充要条件。

比如，在三角形中，如果一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形。

在这里，“是直角”就是“直角三角形”的充分必要条件。

4. 既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A是B的既不充分也不必要条件。

比如，在三角形中，“是等腰三角形”不能推出“有一个角是直角”，也不能推出“是直角三角形”，因此，“是等腰三角形”就是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件。

这些判断可以根据逻辑推理关系来进行。

在判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件时，可以通过逻辑推理的方法来验证。

充分条件必要条件充要条件的概念
充分条件、必要条件与充要条件是逻辑学与数学中的基本概念，它们的定义如下：
1. 充分条件：
在数学和逻辑学中，充分条件是一个能够导致某个结果的条件。

换句话说，如果存在一个条件，那么我们就可以合理地认为它能导致某个结果。

例如，如果A 是B 的充分条件，那么我们可以说只要A 发生，B 就一定会发生。

2. 必要条件：
在数学和逻辑学中，必要条件是一个没有它就不能产生结果的条件。

换句话说，如果没有一个条件，那么我们就无法合理地推断出某个结果。

例如，如果B 是A 的必要条件，那么我们可以说只有B 发生，A 才会发生。

3. 充分且必要条件：
充分且必要条件是同时满足两个条件的条件。

换句话说，如果A 是B 的充分条件，同时B 是A 的必要条件，那么我们可以说A 是B 的充分且必要条件。

在逻辑学和数学中，这种条件通常被称为充要条件。

充分条件、必要条件和充要条件的概念可以应用于各种情况，包括数学证明、逻辑推理和计算机科学。

例如，在计算机科学中，这些概念可以帮助我们编写更加可靠和健壮的代码，因为它们可以确保我们只使用必要的条件，从而避免不必要的复杂性和错误。

怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。

怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。

谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。

2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，有了条件A ，结论B 一定成立（A B ⇒）；没有条件A ，结论B 未必不成立，也有可能成立。

这样的条件A 就是结论B 的充分条件。

例如，在命题“若x>0，则x 20>”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“x 20>”成立。

把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”，仍有结论“x 20>”成立。

因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。

教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”，说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。

3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，没有条件A ，结论B 一定不成立（⌝⇒⌝A B ）；但是有了条件A ，结论B 却未必一定成立。

这样的条件A 就是结论B 的必要条件。

例如，在命题“若x R x Q ∈∈，则”中，没有条件“x Q ∈”，就一定不会有结论“x Q ∈”。

但是有了条件“x R ∈”，却未必有结论“x R ∈”，还有可能是x C Q R ∈。

因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。

利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件，有时是很困难的。

我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断，但一定要注意A 还是条件，B 还是结论，即若由结论B 能推出条件A ，则条件A 对于结论B 的成立是必要的。

充分条件与必要条件知识点充分条件和必要条件是高中数学中的重要概念。

虽然这些概念比较抽象，但是它们的理解对于学生来说非常重要。

下面是关于高一数学中充分条件和必要条件的知识点。

1.充分条件、必要条件和充要条件充分条件指的是，如果条件A成立，那么结果B也成立。

也就是说，条件A是B成立的充分条件。

必要条件则是指，如果条件A成立，那么结果B也成立。

也就是说，结果B是条件A成立的必要条件。

充要条件则是指，如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B。

简单来说，如果满足条件A，那么结果B必然成立；如果不满足条件A，那么结果B必然不成立。

因此，条件A是结果B的充分必要条件。

反之，如果有事物情况B，则必然有事物情况A；如果没有事物情况B，则必然没有事物情况A。

因此，结果B是条件A的充分必要条件。

简单来说，如果满足结果B，那么条件A必然成立；如果不满足结果B，那么条件A必然不成立。

因此，结果B是条件A的充分必要条件。

也就是说，条件A可以推导出结果B，结果B也可以推导出条件A。

2.充分条件、必要条件和充要条件的判断对于命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下：如果条件A成立，那么结果B也成立，用符号表示为A B。

如果条件A成立，但结果B不一定成立，用符号表示为A B。

如果条件A和结果B互相成立，用符号表示为A B。

具体来说，如果XXX且B成立，则条件A是结果B成立的充分条件，结果B是条件A成立的必要条件。

如果XXX 且B成立，则条件A是结果B成立的充分且不必要条件，结果B是条件A成立的必要且非充分条件。

如果A和B互相成立，并且B能推导出A成立，则条件B是结果A成立的充分条件，结果A是条件B成立的必要条件。

如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。

要证明A是B的充要条件，需要分两步：①先证明A是B成立的充分条件；②再证明A是B成立的必要条件。

如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。

怎样理解充分条件、必要条件和充要条件充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。

怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。

谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。

2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A则B”，有了条件A，结论B一定成立（）；没有条件A，结论B未必不成立，也有可能成立。

这样的条件A就是结论B的充分条件。

例如：只要天下雨，地就会湿。

“下雨”就是“地湿”的充分条件，有“下雨”这个条件就一定有“地湿”这个结果，但“地湿”这个结果不一定就是“天下雨”造成的，也许还可能有其他的条件原因，如洒水车洒的、别人喷的等等。

3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A则B”，没有条件A，结论B一定不成立（）；但是有了条件A，结论B却未必一定成立。

这样的条件A就是结论B的必要条件。

例如：只有阳光充足，菜才能长得好。

“阳光充足”就是“菜长得好”的必要条件，有“阳光充足”这个条件“菜”不一定就长得好，还需要施肥、浇水等其他条件。

但“菜”要长得好一定要有“阳光充足”这个条件。

4. 充要条件：即充分必要条件。

或者说是无条件的。

充要条件的特征是“有之必然，无之必不然”，即对于给定的命题“若A则B”，有了条件A，结论B一定成立；没有条件A，结论B一定不成立。

这样的条件A就是结论B的充要条件。

例如：有两条对应边平行且相等的四边形是平行四边形。

“两条对应边平行且相等”是“平行四边形”的充要条件。

5.在命题“若A则B”中，条件A是结论B的充分（必要、充要）条件，在逆命题“若B则A”中，条件B就是结论A的必要（充分、充要）条件。

运用充分条件、必要条件、充要条件的概念和观点思考问题、解决问题时，一定要弄清问题中所涉及的命题是什么（即弄清谁是条件，谁是结论）。

充分条件、必要条件、充要条件1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若则”为真时，可表示为，称为的充分条件，是的必要条件．事实上，p q p q p q q p与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若不成立，则一定不成立．这就是说，p q ￢q ￢p q p q 对于是必不可少的，所以说是的必要条件．例如：．显然，则．等价于p q p p：x＞2；q：x＞0 x p x qx q x p，则一定成立．2、充要条件：如果既有“”，又有“”，则称条件是成立的充要条件，或称条件是成立p q q p p q q p的充要条件，记作“”．与互为充要条件．p q p q【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；p q q p p q②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；p q q p p q③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；p q q p p q④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．p q q p p q⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．1/ 1。

数学中的充分条件、必要条件如何理解？
在数学中：命题的条件和结论之间有着一定的联系。

这些联系就是由：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件（充分必要条件）”、“充分而非必要条件”、“必要而非充分条件”，这些条件组成。

1、充分条件
如果命题“ p → q ” 为真，那么p 叫做q的充分条件。

也就是说，若条件p成立时，则事件q必然发生。

例如：“若两角是对顶角，则此两角相等”为真，“两角是对顶角”是“两角相等”的充分条件。

也就是说，由“两角是对顶角”这个条件成立，就可以保证“两角相等”成立。

简而言之，充分条件就是有之则必然。

2、必要条件
如果命题“→p →q ”为真，那么p就叫做使q成立的必要条件。

也就是说，若条件p不成立，则事件q就一定不发生。

例如“若两角不相等，则此两角一定不是对顶角”为真。

“两角相等”是“两角是对顶角”的必要条件。

即要使“两角是对顶角”成立，“两角相等”是必不可缺少的。

需要注意的是，必要条件具备也不能保证结论成立。

如上例：“两角相等”，也不能保证“两角是对顶角”。

简而言之：必要条件就是无之则不然。

充分条件,必要条件,充要条件题型解析文章充分条件、必要条件、充要条件是数学和逻辑学中非常重要的概念，对于解题、证明和推理都有着重要的作用。

在解题中，对于这些条件的理解可以帮助我们更好地找到解题的关键点，进行有效的推理，从而得出正确的结论。

下面我将就这些条件的概念、特点、解题技巧和例题进行解析，希望能为你对这些条件的理解提供一些帮助和启发。

一、充分条件、必要条件、充要条件的概念1. 充分条件：如果A是B的充分条件，那么表示A是B发生的一个足够的条件，即如果B发生，则A一定发生。

充分条件通常用“若……则……”表示。

2. 必要条件：如果A是B的必要条件，那么表示A是B发生的一个必需条件，即只有当A发生时，B才能发生。

必要条件通常用“只有……才……”表示。

3. 充要条件：A是B的充要条件，表示A不仅是B发生的充分条件，也是B发生的必要条件，即当且仅当A发生时，B才能发生。

二、充分条件、必要条件、充要条件的特点1. 充分条件和必要条件是对偶关系，即A是B的充分条件，等价于B 是A的必要条件，反之亦然。

2. 充要条件是充分条件和必要条件的结合，即A是B的充要条件，表示A既是B发生的充分条件，又是B发生的必要条件。

3. 在数学证明中，常常用“充要条件”的推理方式来进行证明，因为它包含了充分条件和必要条件的双重性质，能够更准确地得出结论。

三、解题技巧与例题解析充分条件、必要条件、充要条件在数学中有着广泛的应用，特别是在逻辑推理、证明方法和解题技巧中。

在解题时，我们可以根据充分条件和必要条件的特点，灵活运用以下几种方法来进行推理和证明：1. 分情况讨论法：对于充分条件和必要条件，我们可以分别讨论条件成立和不成立的情况，从而得出结论。

2. 双向推理法：对于充要条件，我们可以采用双向推理的方法，即从A推出B，再从B推出A，从而证明A是B的充要条件。

下面通过一个例题来进行解析：例题：已知命题P：若x > 3，则x^2 > 9。

第2节充分条件与必要条件知识梳理充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.设a ，b ∈R 且ab ≠0，则ab >1是a >1b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 若“ab >1”，当a ＝－2，b ＝－1时，不能得到“a >1b ”， 若“a >1b ”，例如当a ＝1，b ＝－1时，不能得到“ab >1”， 故“ab >1”是“a >1b ”的既不充分也不必要条件.3.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________. 答案 m ＝－24.(多选题)(2020·临沂质检)设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是( ) A.x ＜1 B.x ＞1 C.x ＞－1 D.x ＞3答案 BC5.(2020·天津卷)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由a 2＞a ，得a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0， ∴“a ＞1”是“a 2＞a ”的充分不必要条件.6.(2021·合肥七校联考)已知集合A ＝{x |13<3x <27，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<3x <27，x ∈R ＝{x |－1<x <3}.∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B，所以m＋1>3，即m>2.考点一充分条件与必要条件的判定【例1】(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n 共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l 可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.感悟升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练1】(1)(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是()A.l⊂α，l⊥βB.l⊥α，m⊥β，l⊥mC.α⊥γ，β∥γD.l⊂α，m⊂β，l⊥m(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 (1)ABC (2)C解析 (1)由面面垂直的判定可以判断A ，B ，C 符合题意，对于选项D ，l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，也可以得到α∥β，D 不符合题意.故选ABC.(2)若存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β，则当k ＝2n (n ∈Z )，α＝2n π＋β，有sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )，α＝(2n ＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n ＋1)π－β]＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β(k ∈Z )， 即α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z ).故选C. 考点二 充分、必要条件的应用【例2】(经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . ∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移2】设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q 且q ⇒p ，即P S . ∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，又因为S 为非空集合， 所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0， 综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).感悟升华 1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键 (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练2】设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x－a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}. 由q 是p 的必要而不充分条件，知A B . 所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.考点三 充要条件的探求【例3】已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件.解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根， 所以⎩⎨⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数. 又因为m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.感悟升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性.【训练3】 (1)命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a ≥4B.a ＞4C.a ≥1D.a ＞1(2)(2021·武汉质检)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________. 答案 (1)B (2)ac ＜0解析 (1)要使“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件.(2)ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＞0，ca ＜0，即ac ＜0.A 级 基础巩固一、选择题1.设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”.故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件.2.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.3.(多选题)(2021·长沙质检)若x 2－x －2＜0是－2＜x ＜a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A.1 B.2C.3D.4答案 BCD解析 由x 2－x －2＜0，解得－1＜x ＜2.∵x 2－x －2＜0是－2＜x ＜a 的充分不必要条件，∴(－1，2)(－2，a )，∴a ≥2. ∴实数a 的值可以是2，3，4.4.(2019·北京卷)设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0. 故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件. 5.“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)＜1⇔0＜2x －3＜2⇔32＜x ＜52，4x＞8⇔2x ＞3⇔x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A.6.(2021·湖南雅礼中学月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.(3，＋∞) D.[3，＋∞) 答案 D解析 |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4，解得a ≥3.7.(2020·东莞模拟)若实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，则“a ＞b ”是“a ＋ln a ＞b ＋ ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵a＞b，∴f(a)＞f(b)，∴a＋ln a＞b＋ln b，充分性成立；∵a＋ln a＞b＋ln b，∴f(a)＞f(b)，∴a＞b，必要性成立，故“a＞b”是“a＋ln a＞b＋ln b”的充要条件，故选C.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]答案A解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.二、填空题9.“sin α＝sin β”是“α＝β”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).答案必要不充分10.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解得－1<k<3.11.(2020·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).解析 由x 2－5x ＋4≥0得x ≤1或x ≥4，可知{x |x >4}是{x |x ≤1或x ≥4}的真子集，∴p 是q 的充分不必要条件.12.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38. B 级 能力提升13.(多选题)(2021·青岛调研)下列叙述正确的是( )A.“a ＜1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B.若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C.“a ＞1”是“1a ＜1”的充分不必要条件D.若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0” 答案 AC解析 若方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a ＞0，x 1x 2＝a ＜0，∴a ＜0，∴“a ＜1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故A 正确.a ＞c 且b ＝0时，推不出ab 2＞cb 2，故B 不正确.a ＞1⇒1a ＜1，1a ＜1⇒/ a ＞1，∴“a ＞1”是“1a ＜1”的充分不必要条件，C 正确. 当a ＝0，b ＝0，c ＜0时，满足b 2－4ac ≤0，但此时ax 2＋bx ＋c ≥0不成立，所以D 不正确.14.(2020·福州模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝ －f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立.故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件.15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－x －6≤1，B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，0]解析 由⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}.由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }.由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.16.ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是________.答案 a ≤1解析 (1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合题目要求.(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a .①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a ＜0，得a ＜0. ②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a ＜0，1a ＞0，得0＜a ≤1.综上，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.。

充分条件必要条件的区别通俗易懂
充分条件和必要条件是数学中常用的概念，用于描述一个命题的性质。

充分条件：充分条件是指如果某个条件成立，那么这个命题一定成立。

可以理解为某个条件是命题成立的充分原因或足够条件。

举个例子，我们来考虑一个命题：“如果一个动物是猫，
那么它有尾巴。

”这里，“是猫”就是这个命题成立的充分条件，也就是说，只要一个动物是猫，那么它一定有尾巴。

必要条件：必要条件是指如果某个命题成立，那么这个条件一定成立。

可以理解为某个条件是命题成立的必要条件或必需条件。

继续用前面的例子来解释，我们说“如果一个动物有尾巴，那么它是猫。

”这里，“有尾巴”就是这个命题成立的必要条件，也就是说，只有当一个动物有尾巴时，它才能是猫。

总结起来，充分条件是指某个条件可以推导出命题成立，必要条件是指命题成立可以推导出某个条件。

充分条件是解释为条件导致结果，而必要条件则解释为结果需要条件。