习题六__样本及抽样分布解答

§样本及抽样理论题型一 有关样本分布及统计量的命题【例6.1】设总体X 服从两点分布(1,)B p ，即{1}P X p ==，{0}1P X p ==-.其中p 是未知参数，125,,,X X X 是来自X 的简单随机样本. （1）写出125,,,X X X 的联合概率分布；（2）指出21255115,max(),2,()i i X X X X p X X ≤≤++-中哪些是统计量哪些不是统计量. 【解】（1）X 的分布律可写为1{}(1),xxP X x p p -==- (0,1)x =所以，125,,,X X X 的联合分布为55111{}(1)i ix x i i i P Xx p p -==∏==∏-55115(1)iii i x x p p ==-∑∑=- .（2）2125115,max(),()i i X X X X X ≤≤+-都是统计量，而52X p +含有未知量p ，不是统计量.【例6.2】设总体服从参数λ为的指数分布，分布密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩ 求()E X ,()D X 和2()E S .【解】 01()x i E X xe dx λλλ+∞-==⎰,201()()x i D X x e dx λλλ+∞-=-⎰21λ=. (1,2,,)i n =由于11ni i X X n ==∑, 所以1111()().n i i n E X E X n n λλ===⨯=∑22211111()()().n ni i i i D X D X D X n n n λ=====∑∑ 2211()(())1n i i E S E X X n ==--∑2111()1n ii E X n λ==--∑11()1n i i D X n ==-∑211n n n λ=⨯-21(1)n λ=-. 【例6.3】设从总体中随机抽取容量为10的样本进行观测，观测数据为：1，2，4，3，3，4，5，6，4，8，试计算样本均值，样本方差和经验分布函数.【解】 依题意，样本均值10114,10i i X X ===∑ 22211()1ni i S X nX n ==--∑ 221111n ii n X X n n ==---∑4=. 经验分布函数10()F x 为100,0,0.1,12,0.2,23,0.4,34,()0.7,45,0.8,56,0.9,68,1,8.x x x x F x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩题型二 2χ分布、t 分布和F 分布的应用【例6.4】 设1216,,,X X X 是来自正态总体(0,1)N 的样本，记421()ii Y X ==∑812162225913()()()i i i i i i X X X ===+++∑∑∑，问c 取何值时，cY 服从2χ分布.【解】令4812162222123415913(),(),(),()ii i i i i i i Y X YX Y X Y X ========∑∑∑∑ ，则1Y ，2Y ，3Y ，4(0,4)Y N ，从而12Y ，22Y ，32Y ，4(0,1)2Y N ，且它们相互独立，得 22222123411()(4)44Y Y Y Y Y χ=+++， 故取14c =.【例6.5】（99.3.7）设129,,,X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本，11261()6Y X X X =+++，27891()3Y X X X =++，922211()2i i S X Y ==-∑，12)Y Y Z S -=.证明：统计量Z 服从自由度为2的t 分布.【证明】记2()D X σ=（未知），由于12()()()E Y E Y E X ==，12()0E Y Y -=，2212(),()63D Y D Y σσ==，又1Y 和2Y 独立，则22212()632D Y Y σσσ-=+=.从而(0,1)U N =根据正态分布方差的性质，2222S χσ=服从自由度为2的2χ分布.由于1Y 和2Y 独立，1Y 和2S 独立，2Y 和2S 独立，且1Y ，2Y ，2S 相互独立，因此12Y Y -与2S 也独立，根据t 分布的应用模式12)(2)Y Y Z t S-==【例6.6】 设121,,,,,,n n n m X X X X X ++为总体2(0,)XN σ的样本，（1）确定a 与b ，使2211()()nn mii i i n a X b X +==++∑∑服从2χ分布 ；(2) 确定c，使1n i cX=∑t 分布；（3）确定d ，使2211n n miii i n cXX+==+∑∑服从F 分布.【解】（1）由21(0,)nii XN n σ=∑，得1(0,1)ni i X N σ=∑，从而22211()(1)ni i X n χσ=∑，同理22211()(1)n mi i n X n χσ+=+∑，又因21()nii X =∑与21()n mii n X +=+∑相互独立，故222221111()()(2)nn mi i i i n X X n m χσσ+==++∑∑从而2211,a b n m σσ==. （2）因为1(0,1)ni N =，221()()n mii n X m χσ+=+∑1n i i X =与21()n mii n X σ+=+∑独立，由t 分布定义知1ni X =1nX =(1)t m -.故c =（3）因为22211()nii Xn χσ=∑，22211()n mii n X m χσ+=+∑，且2211nii Xσ=∑与2211n mii n Xσ+=+∑独立，由F 分布定义知22221111()n mn m ii i n i n XX n m σσ++=+=+∑∑=2211n m n mi ii n i n m X Xn ++=+=+∑∑(,)F n m =.从而md n=. 【例6.7】若()T t n 分布，问2T 服从什么分布？ 【分析】当2(0,1),()XN Yn χ，且X 与Y 相互独立时，()T t n =，22X T Y n= 又22(1)Xχ，且2X 与Y 相互独立，因此 2221(1,)X X T F n Y n Y n==.即2T 服从自由度为(1,)n 的F 分布.题型三 抽样分布定理【例6.8】设总体X 服从正态分布2(,0.3)N μ，12,,,n X X X 是总体X 的一个样本，求容量至少取多大才能使{0.1}0.05P X μ-≥≤.【解】由2(,0.3)X N μ知20.3(,)XN nμ 有{0}0.05P X μ-≥≤， 1{0.1}0.05P X μ--<≤，即 {0.1}0.95P X μ-<≥，而 {0.1}P X P μ-<=<213=Φ-.要求2)10.953Φ-≥，查正态分布表 1.963≥，所以35n =. 【例6.9】设总体2(,)XN μσ，已知样本容量24n =，样本方差212.5227s =，求总体标准差大于3的概率. 【解】 由222(1)(1)n s n χσ--，现24n =，故 222223(23)s χχσ=，所以 211{3}{}9P P σσ>=<22232312.5227{}9s P σ⨯=<22{32}1{32}.P P χχ=<=-≥ 查表得{3}10.10.9P σ>=-=. 【例6.10】设总体2(,)XN μσ，μ与2σ皆末知，已知样本容量16n =，样本均值12.5x =，样本方差2 5.333s =，求{0.4}P x μ-<.【解】 由于σ未知，需用t 统计量： (1).x t t n=-其中s 为样本标准差，现16, 2.309n s ==，(15).0.5773x t t μ-={0.4}{0.692}0.5773x P x P μμ--<=< {0.692}P t =<{0.6920.692}P t =-<<1{0.692}{0.692}P t P t =-≥-≤-. 由于t 分布关于原点对称，故{0.692}{0.692}P t P t ≥=≤-故{0.4}12{0.692}P x P t μ-<=-≥，查表得{0.692}0.25P t ≥=. 所以，{0.4}120.250.5P x μ-<=-⨯=.【例6.11】 （94.3.3）设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 是样本均值，记2111()1n i i S X X n ==--∑，2211()n i i S X X n ==-∑， 2311()1n i i S X n μ==--∑，2411()n i i S X n μ==-∑. 则服从自由度为1n -的t 分布的是 【 】()A X t =()BX t =()C X t =. ()DX t =【分析】由抽样分布知识和 t 分布的应用模型(0,1)X N ，2212()(1)nii XX n χσ=--∑(1)t n -.即(1)X X t n =-.选()B .【例 6.12】设12,,,n X X X 和12,,,n Y Y Y 是分别来自于正态总体21(,)X N μσ和22(,)YN μσ，且相互独立，则以下统计量服从什么分布？（1）22122(1)()n s s σ-+ ； （2）2122212[()()]n X Y s s μμ---+ 【解】（1）由2212(1)(1)n s n χσ--，2222(1)(1)n s n χσ--，由2χ分布的性质.222122(1)()(22)n s s n χσ-+-.（2）2122(,)X Y N n σμμ--(0,1)X Y N故有22(1)X Y χ，又有222122(1)()(22)n s s n χσ-+-，由F 分布的定义21222212222212122[()()]1[()()](1,22)(1)()(22)nX Y n X Y F n n s s s s n μμσμμσ------=--++-.【例6.13】设总体211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ从两个总体分别抽样，得到如下结果：111n =，218.27s =，18n =，22 4.89s =，求概率2212{}P σσ>.【解】 由于211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ所以22112222(10,7)s F s σσ，从而22211222{}{1}P P σσσσ>=>222111222222{}s s P s s σσ=<{(10,7) 1.6912}P F =<0.750=.§历年考研真题评析1、【06.3.4】设总体X 的概率密度为1()()2xf x e x -=-?<+?，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，样本方差2S ，则2()E S =______________.【分析】样本方差2S 的数学期望等于总体方差，由于X 概率密度的对称性， ()0E X =，故2222201()()()()222x E S D X E X x f x dx x e dx s +??--?=====?蝌.2、【04.3.4】设总体X 服从正态分布21(,)N m s ，总体Y 服从正态分布22(,)N m s ，112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==轾犏-+-犏犏=犏+-犏犏臌邋______________. 【分析】因为122111()1n i i E X X n s =轾犏-=犏-臌å，222121()1n j j E Y Y n s =轾犏-=犏-臌å，故应填2s .3、【09.3.4】设12,,,n X X X 是来自二项分布(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则()E T =______________. 【分析】222()()()()(1)E T E X S E X E S np np p np =-=-=--=. 4、【10.3.4】设12,,,n X X X 是来自总体2(,)(0)N m s s >的简单随机样本，记统计量211n i i T X n ==å，则()E T =________.【分析】因简单随机样本12,,,n X X X 独立同分布，即2(,)iX N m s ，于是，22222(),(),()()[()]i i i i i E X D X E X D X E X m s s m ===+=+，因此，222222111111()()n n n i i i i i E T E X E X n n n s m s m ===骣骣鼢珑===+=+鼢珑鼢珑桫桫邋?. 5、【02.3.3】设随机变量X 和Y 都服从标准正态，则 【 】()A X Y +服从正态分布. ()B 22X Y +服从2c 分布. ()C 2X 和2Y 服从2c 分布. ()D 22X Y服从F 分布.【分析】由于X ，Y 不一定相互独立，故()A ，()B ，()D 不一定成立，又(0,1)X N ，故22(1)Xχ，同理，22(1)Y χ.选()C .6、【98.3.3】设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，212(2)X a X X =-233(34)b X X +-，则当a =_______,b =________时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为________.【分析】1234,,,X X X X 独立同正态分布2(0,2)N ，因此，122X X -与3434X X -也相互独立且分别服从正态分布(0,20)N 和(0,100)N ，都服从标准正态分布(0,1)N ，利用2χ分布的应用模式2223412(34)(2)(2)20100X X X X X χ--=+.因此，当11,20100a b ==时，统计量X 服从2χ分布. 7、【97.3.3】设随机变量X 和Y 独立且都服从正态分布2(0,3)N ，而129,,,X X X 和129,,,Y Y Y 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量U =服从________分布，参数为________.【分析】由于129,,,X X X 相互独立与X 同分布，故1291()(0,1)9X X X N +++类似地，129,,,Y Y Y 相互独立且与Y 同分布，故22221291()(9)9Y Y Y χ+++，由于1291()9X X X +++与2221291()9Y Y Y +++相互独立，，因此1291()(9)X X X t +++=.即U 服从参数为9的t 分布.8、【01.3.4】设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，而1215,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本， 则随机变量2221210222112152()X X X Y X X X +++=+++服从________，参数为________. 【分析】因为2(0,2)(1,2,,15)iX N i =.于是(0,1)2i X N ，从而有22221012(10)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222151112(5)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而且由样本的独立性可知，22221012(10)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭与2222151112(5)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭相互独立，故222101222212102222221121515111210222(10,5)2()10222X X X X X X Y F X X X X X X 骣骣骣÷鼢ç珑+++÷鼢ç珑鼢?珑ç+++桫桫桫==+++骣骣骣÷鼢ç珑+++÷鼢ç珑鼢?珑ç桫桫桫.9、【05.1.4】设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则 【 】()A (0,1)nX N . ()B 22().nS n χ()C (1)(1).n Xt n S--. ()D222(1)(1,1).i ni i n X F n X =-=-å【分析】由抽样分布定理知，(0,1).X N =可排除()A ；(1)X t n =-，可排除()C ；2222(1)(1)(1)1n S n S n c -=--，可排除()B ；因为221(1)Xc ，222(1)nii X n c =-å，且221(1)Xc 与222(1)ni i X n c =-å相互独立，于是2212222(1)1(1,1).(1)i nn ii i i n X X F n Xn X ==-==--邋选()D .10、【03.1.4】设随机变量()(1)Xt n n >，21Y X=，则 【 】 ()A 2()Yn χ. ()B 2(1).Y n χ- ()C (,1).Y F n . ()D (1,).Y F n =【分析】由题设知，X =，其中(0,1)U N ，2()Vn χ.于是22211V n V n Y X U U ===，这里22(1)U χ，由F 分布的定义知21(,1)Y F n X =.选()C .11、【01.1.9】设总体X 服从正态分布2(,)(0),N μσσ>从该总体中抽取简单随机样本12,,,(2)n X X X n ≥，其样本均值为2112ni i X X n ==∑，求统计量21(2)ni n i i Y X X X +==+-∑的数学期望().E Y【解】记111n i i X X n ==∑，211nn i i X X n +==∑，则有122X X X =+.因此221211()(2)()()n n i n i in i i i E Y E X X X E X X X X ++==⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑ 2211221()2()()()n i i n i n i i E X X X X X X X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ 221211()0()n n i n i i i E X X E X X +==⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑22(1)(1)n n σσ=-+- 22(2)n σ=-. 12、【98.1.4】从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 【解】以X(0,1)X N ，从而{1.4 5.4}X P X P ⎧⎫<<=<<210.95⎫=Φ≥⎪⎭. 所以0.975Φ≥即1.96≥，2(3 1.96)34.57n ≥⨯≈. 因此n 至少应取35.§6.4 习题全解1、设128,,,X X X 是来自(0,)θ 上均匀分布的样本，0θ>末知，求样本的联合密度函数.【解】128812810,,,(,,,)0x x x f x x x 其他θθ<<=⎧⎪⎨⎪⎩2、 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其概率分布律为()(0,1,)!iP X i ei i λλ-===求样本12,,...,n X X X 的联合分布律.【解】样本12,,...,n X X X 的联合分布律为{}1122,,...,n n P X i X i X i ==={}1nk k P X i ==∏=11()!nkk in nk k ei λλ=-=∑=∏0,1,2,,1,2,,k i i n == .3、若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，但μ末知，而12,,,n X X X 为它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量. （1）11nii X n=∑ ；（2）211()nii X n μ=-∑ ；（3）211()1nii X X n =--∑ ；（4；（5； （6【解】（1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数μ，所以不是统计量 .4、总体X 的一组容量为10的样本观测值为：0,0.2,0.25,0.3,0.1,2,0.15,1,0.7,1----，求经验分布函数10()F x .【解】将样本观测值重新排序10.70.30.100.150.20.2512-<-<-<-<<<<<<，所以经验分布函数为：10010.210.70.40.70.3()0.81212x x x F x xx ≤--<≤--<≤-=<≤>⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩5、 来自总体X 的一组样本观测值为：i x102 104 106i n2 3 5求样本均值X ，样本方差2S 和样本标准差S .【解】104.6x =，22.71=s ， 1.646s = .6、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 在50.8到53.8之间的概率. 【解】 由2(52,6.336)X N 知5252(0,1)6.362.12X X N --=故所求概率为{}50.8525253.85250.853.8 2.122.12 2.12X P X P ---<<=<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭521.14 1.712.12X P -=-≤≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1.71)(1.14)=Φ-Φ-(1.71)1(1.14)=Φ-+Φ0.956410.8729=-+0.8293= .7、设随机变量X 与Y 相互独立，且222(,),()YXN n μσχσ，证明()t t n =.【证明】由于2(,)X N μσ，则(0,1)X N μσ-据t分布的定义，()X t t n μ-==. 8、若对总体X 有()E X m =，2()D X s =，取X 的容量为n 的样本，样本均值为X ，问n 多大时，有(0.1)0.95P X μσ-<≥.【解】 由2(,)XN n σμ(0,1)X N -知(0.1)P X P μσ-<=<(210.95=Φ-≥即(0.975Φ≥，查表得 1.96≥，即385n ≥ . 9、 设总体(150,400)XN ，(125,625)Y N ，并且X ，Y 相互独立，现从两总体中分别抽取容量为5的样本，样本均值分别为X ，Y ，求{}0P X Y -≤ . 【解】 {}0P X Y P -≤=≤(1.75)=Φ-0.0401= .10、 设总体X ，Y 都服从正态分布2(,)N μσ，并且X ，Y 相互独立，X ，Y 分别是总体X 和Y 的容量为n 的样本均值，确定n 的值，使{}00.01P X Y ->= .【解】 由于)(0,1)X Y X Y N -=-于是，{}P X Y P Y σ->=->21=-⎡⎢⎣0.01=.即0.995Φ=2.58=，13.3128n =，取14n = . 11、 设总体(0,1)XN ，126,,,X X X 为X 的一个样本，设2123()=++Y X X X2456()+++X X X ，求常数C ，使2χY分布.【解】 由于126,,,X X X 独立同分布,所以123456(0,3),(0,3)X X X N X X X N ++++456(0,1),(0,1)3X X X X X X N N ++++于是 22123456()()X XX X X X +++++=223+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2212Y Y =+其中222212(1),(1)33Y Y χχ.所以 22221212345611()()()33Y Y X X X X X X +=+++++⎡⎤⎣⎦ 21(2)3Yχ，即13C = .12、 设1210,,,X X X 为来自总体(0,0.09)N 的样本，求{}10211.44ii PX=>∑ .【解】 设总体为X ，则由(0,0.09)X N 可知(0,1)0.3X N ，(0,1)0.3i X N ，1,2,,10,i =因此 10222211(10),0.3i i Xχχ==∑ 利用2χ分布表，可得1021 1.44i i P X =>⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑1022211 1.440.30.3i i P X =⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∑{}216P χ=>0.10≈ .13、设125,,,X X X 是总体(0,1)X N 的一个样本，若统计量()U t n =，试确定c 与n .【解】 由于i X 独立同分布(1,2,3,4,5)=i ,所以2222345(0,1),(3)X XN X X Xχ+++,且两者相互独立,由t分布定义知(3)U t=故=c3=n .14、设总体2(0,)X Nσ，12,X X是样本，求212212()()X XYX X+=-的分布.【解】记X X X XU V+-==22122212()()X X UYX X V+==-，由于221212(0,2),(0,2)X X N X X Nσσ+-则2222(0,1),(0,1),(1),(1)U N V N U Vχχ .下面证明U和V相互独立.因为U，V都服从标准正态分布(0,1)N，因此只要证明U，V互不相关，即cov(,)0U V=即可.由于()0,()0E U E V==，因此，cov(,)()()()()=-=U V E UV E U E V E UV[]121221()()2E X X X Xσ=+-221221()2E X Xσ=+221221()()02E X E Xσ=-=⎡⎤⎣⎦.即22(1,1)UY FV=.15、设总体21(,)X Nμσ,222(,)Y Nμσ,从二总体中分别抽取样本,得到下列数据:18n= ,10.5x=,2142.25s=；210n= , 13.4y=，2256.25s=，求概率2221( 4.40)Pσσ< .【解】由于22122212(7,9)S SF Fσσ=，0.05(7,9) 3.29F=，故( 3.305)0.05P F≥≈ .从而 22221122212242.254.40 4.4056.25σσσσ<=⋅<⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S P P S ( 3.305)P F =< 1( 3.305)P F =-≥10.05=-0.95= .B1、设有N 个产品，其中有M 个次品，进行放回抽样，定义i X 如下：1,0,i i X i 第次取得次品,第次取得正品.=⎧⎨⎩求样本12,,...,n X X X 的联合分布.【解】 因为是放回抽样，所以12,,...,n X X X 独立同分布，{}{}1,01i i M M P X P X NN====-.则12,,...,n X X X 的联合分布为{}111,,()(1)ni i ni i n xi n n x P X x X x M N M N ==-∑===-∑. 2、设总体2(,)XN nσμ，12,,...,n X X X 是样本，证明：22241[()](1)σ=-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑n i i E X X n . 【证明】由222(1)(1)n Sn χσ--和221(1)()ni i n S X X =-=-∑得22212()(1)nii X X n χχσ=-=-∑ .使用2χ分布期望和方差的公式，22()1,()2(1)E n D n χχ=-=-，于是，22224121()([()])n i n i i i X X E X X E σσ==--=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑422()E σχ⎡⎤=⎣⎦2422(()())D E σχχ⎡⎤=+⎣⎦42242(1)(1)(1)n n n σσ⎡⎤=-+-=-⎣⎦. 3、设129,,...,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，11262789()6,()3=+++=++Y XX X Y X X X ,922221271(),)2ii S X Y Z Y Y S ==-=-∑ . 证明：统计量Z 服从自由度为2的t 分布.【证明】 因为2()D X σ=为末知，而12()()E Y E Y =，21()6D Y σ=，22()3D Y σ=.由1Y 与2Y 的独立性，12()0E Y Y -=，22212().632D Y Y σσσ-=+=故 1((0,1).U Y Y N =-由正态总体样本方差的性质知，2222().S n σχ又由1Y 与2Y 独立知，1Y 与2S 独立，2Y 与2S 独立，于是12Y Y -也与2S 独立.从而，由t 分布随机变量的构造知12)(2).Z Y Y S t =-=§同步自测题及参考答案一、选择题1、设12,X X 是来自总体X 的样本，a 是一个未知参数，则是统计量的是 【 】()A 12X aX +. ()B 12aX X . ()C 2212X X +. ()D 221()i i X a =-å.2、设12,,n X X X 是来自总体2(,)XN m s 的样本，m 是未知参数，则是统计量的是()A max{}i X . ()B 21()ni i X m =-å. ()C X m -. ()D 22()X m s -+. 【 】3、设126,,X X X 是来自2(,)N m s 的样本，62211()5i i s X X ==-å，则2()D s = 【 】 ()A 413s . ()B 425s . ()C 415s . ()D 225s .4、设2(1,2)XN ，12,,n X X X 为X 的样本，则 【 】()A1(0,1)2X N -. ()B1(0,1)4X N -.()C(0,1)X N . ()D(0,1)X N .5、X 服从正态分布，且()1E X =-，2()4E X =，则11ni i X X n ==å服从的分布为【 】()A 3(1,)N n -. ()B 4(1,)N n -. ()C 1(,4)N n -. ()D 13(,)N n n-. 6、设随机变量2(,)X N m s ，2()Y n c ，则T =【 】 ()A (1)t n -分布. ()B ()t n 分布. ()C (0,1)N 分布. ()D (1,)F n 分布.7、设12,,n X X X 是来自总体(0,1)XN 的样本，X 是样本均值，则 【 】()A (0,1)X N . ()B (0,1)nXN . ()C 221()ni i X n c =å. ()D (1)Xt n -.8、设2()X m χ，2()Y n χ，且X 与Y 相互独立，则随机变量X mF Y n=服从的分布为 【 】()A (1,1)F n m --. ()B (1,1)F m n --. ()C (,)F n m . ()D (,)F m n .9、设1234,,,X X X X 为来自正态总体(0,1)N服从的分布为 【 】()A (1,2)F . ()B (2,2)F . ()C (2)t . ()D (3)t10、设1234,,,X X X X 为来自正态总体(0,1)N 的一个样本，则统计量212234()()X X X X +-服从分布为 【 】()A (2,2)F . ()B (1,1)F . ()C (2)t . ()D (4)t二、填空题1、设12,,n X X X 是来自指数分布()E l 的简单随机样本，0l >为未知参数，则12,,n X X X 的概率分布为：________________，设10n =时，样本的一组观测值为4，6，4，3，5，4，5，8，4，7则样本均值为：________________，样本方差为________________.2、设12,,n X X X 是来自于正态总体2(,)N m s 的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则X_________X ________X _________分布.3、设X 与Y 相互独立，且22(),()X m Y n χχ，则X Y+______________.4、设2(,)XN m s ，X 与2S 分别是容量为n 的样本均值和样本方差，则21()ni i X Xσ=-∑____________分布.5、设总体(,4)XN m ，12,,n X X X 是来自总体的一个简单随机样本，n ³______时才能使2()0.1E X m -?.6、设随机变量X 服从自由度k 为t 的分布，则随机变量函数2X 服从自由度__________为的___________分布.7、设随机变量X 服从自由度为(,)m n 的F 分布，则随机变量函数1X服从自由度为____________的____________分布.8、设随机变量X 和Y 相互独立且均服从正态分布2(0,4)N ，而随机样本1216,,X X X 和1216,,Y Y Y 分别是来自正态总体X 和Y，则统计量U =服从_______分布，参数为______________. 三、解答题1、设总体],[~b a U X ，12,,n X X X 是来自总体X 的样本，试写出样本12,,nX X X 的联合密度函数.2、从织布车间抽取7尺布，检查每尺的疵点数，得到样本值：0，3，2，1，1，0，1，求其经验分布函数.3、设从总体2(,)XN m s 抽取样本1210,,,X X X ，求下列概率：（1）1210{max(,,,)10}P X X X >；（2）1210{min(,,,)5}P X X X £.4、设总体X 的分布密度为 11()0x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他1250,,,X X X 是来自总体的一样本，试求()E X ,()D X ,2()D S .5、 总体(,6)XN m ，从中取出一个容量为25的样本，样本方差为2S ，求2{9.1}P S >.6、设总体X 服从正态分布2(,5)XN m .（1）从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值X 与总体均值μ之差的绝对值小于1的概率{1}P X μ-<；（2）抽取样本容量n 多大时，才能使{1}P X μ-<达到0.95？ 7、设126,,,X X X 是来自正态总体2(,)N m s 的一个样本，记11231()3Y X X X =++， 24561()3Y X X X =++， 322111()3i i S X Y ==-å，试求统计量12()T Y Y S =-的概率分布.8、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(30,3)XN ；1220,,,X X X 和1225,,,Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，求{0.4}P X Y ->.9、设总体1(,10)XN m 、2(,15)YN m ,从总体X 中取出容量为25的样本，从总体Y 中取出容量为31的样本，设X 和Y 相互独立且样本方差分别为21S ，22S ,求2122{ 1.26}S P S >. 10、设总体21(,)XN m s ，22(,)Y N m s ，从二总体中分别抽取样本，得到下列数据：17n =，54x =，21116.7;s =28n =，42y =，2285.7;s = 求概率12{0.87.5}P m m <-<.同步自测题参考答案一、选择题1、()C . 2. ()A . 3. ()B . 4. ()C . 5. ()A . 6. ()D . 7. ()C . 8. ()D 9. ()C . 10. ()B 二、填空题 1、112exp{}0,(,,,)00.nn i i i n i x x f x x x x l l=ìïï->ï=íïï£ïïîå， 5x =，22.2S = 2.2(,)N ns m ，(0,1)N ，(1)t n - 3. 2(2)m c . 4. 2(1)n c -. 5.40. 6.(1,)k ，F 7. (,)n m ，F8. t ，16. 三、解答题 1、12121,,,()(,,,)0.n nn a x x x b b a f x x x 其他ìïï?ï-=íïïïïî.2、70,2701,(10)5712,6723,13.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ . 3.(1)0.8224,(2)0.4991. .4、()0,E X =()0.01,D X = 2()0E S = .5、0.05.提示：222(251)(24)6S c c -=，22(251)9.1{9.1}{}6P S P c -?>=>6. (1)0.8904,(2)96.n = 7、(2)t8、0.66,提示：(30,920),(30,925)XN Y N ，2(0,0.9)X YN -，{0.4}P X Y ->1{0.4}P X Y =--?1[2(0.44)1]0.66.=-F -=1{90.44}P X Y =--<9、0.05,提示：2221122212(1,1)SF n n S s s --.10、0.175,提示：取统计量12()()(2).X Y T t n n μμ---=+-。

概率论与数理统计 第六章 抽样分布练习题与答案详解（答案在最后）1．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本，总体方差2σ=DX 为已知，X和2S 分别为样本均值，样本方差，则下列各式中（ ）为统计量．(A)21)(∑=-ni iEX X(B) 22)1(σS n - (C) i EX X - (D) 12+nX2．设总体) ,(~2σμN X ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 是来自X的样本，判断下列样本的函数中，（ ）是统计量．(A) σ++21X X (B) 221)(S X ni i∑=-μ(C) ),,,min(21n X X X (D)212σ∑=ni iX3．今测得一组数据为12.06，12.44，15.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23．试计算样本均值，样本方差及顺序统计量*1X ,*9X ．4．设总体) ,(~2σμN X ，样本观测值为3.27，3.24，3.25，3.26，3.37，假设25.3=μ，22016.0=σ，试计算下列统计量的值：(1) nX U σμ-=，(2) 251221)(1∑=-=i iX Xσχ,(3) 251222)(1∑=-=i iXμσχ．5．某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，但参数λ未知，为统计推断需要，任意抽查n 只电容器测其实际使用寿命．试问此题中的总体，样本及其分布各是什么？6．某市抽样调查了一百户市民的人均月收入，试指出总体和样本． 7．某校学生的数学考试成绩服从正态分布) ,(2σμN ．教委评审组从该校学生中随机抽取50人进行数学测试，问这题中总体，样本及其分布各是什么？8．设1621,,,X X X 是来自正态总体) ,2(~2σN X 的样本，X 是样本均值，则~1684-X （ ） (A) )15(t (B) )16(t (C) )15(2χ (D) 1) ,0(N9．设总体) ,0(~2σN X ，n X X X ,,,21 为其样本，∑==n i i X n X 11，212)(1∑=-=n i i n X X n S ，在下列样本函数中，服从)(2n χ分布的是（ ）． (A)σnX (B)∑=ni iX1221σ (C)22σnnS (D)nS n X 1- 10．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为X 的简单随机样本，X ，2nS 同上题，则服从)1(2-n χ分布的是（ ）．(A)nX σμ- (B)1--n S X nμ (C)22σnnS (D)212)(1∑=-ni iXμσ11．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的样本，X ,2S 是样本均值和样本方差，则下列式子中不正确的有（ ）(A))1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (B))1 ,0(~N X σμ-(C) )1(~--n t nSX μ (D))(~)(2221n Xni iχσμ∑=-12．设n X X X ,,,21 和n Y Y Y ,,,21 分别取自正态总体) ,(~21σμN X 和) ,(~22σμN Y ，且X 和Y 相互独立，则以下统计量各服从什么分布？(1) 22221))(1(σS S n +-； (2)nS S Y X )()()(222121+---μμ；(3) 2221221)]()[(S S Y X n +---μμ． 其中X ,Y 是X ,Y 的样本均值，21S ,22S 是X ,Y 的样本方差．13．设n X X X ,,,21 是正态总体) ,(~2σμN X 的样本，记2121)(11∑=--=n i i X X n S ， 2122)(1∑=-=n i i X X n S ， 2123)(11∑=--=n i i X n S μ， 2124)(1∑=-=n i i X n S μ， 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量有（ ）(A) 11--n S X μ (B) 12--n S X μ (C) n S X 3μ- (D) nS X 4μ-14．设321 , ,X X X 是来自正态总体)9 ,(~μN X 的样本，232212)()(μχ-+-=X b X X a ，则当=a ____，=b ____时，22~χχ(___)．15．设921,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 分别为来自总体)2 ,(~21μN X 和)2 ,(~22μN Y 的两个相互独立的样本，它们的样本均值和样本方差分别为X ,Y 和21S ,22S ．求以下各式中的621,,,ααα ．(1) 9.0})({91221=<-<∑=i i X X P αα；(2) 9.0}|{|31=<-αμX P ；(3) 9.0)(||416122=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=αμi i Y Y Y P ；(4) 9.0815621225=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααS S P ． 16．在天平上重复称量一个重为a （未知）的物品．假设n 次称量结果是相互独立的，且每次称量结果均服从).20 ,(2a N ．用n X 表示n 次称量结果的算术平均值．为使n X 与a 的差的绝对值小于0.1的概率不小于%95，问至少应进行多少次称量？17．根据以往情形，某校学生数学成绩)10 ,72(~2N X ，在一次抽考中，至少应让多少名学生参加考试，可以使参加考试的学生的平均成绩大于70分的概率达到0.9以上？18．在均值为80，方差为400的总体中，随机地抽取一容量为100的样本，X 表示样本均值，求概率}3|80{|>-X P 的值．19．设总体)5 ,40(~2N X ，从中抽取容量64=n 的样本，求概率}1|40{|<-X P 的值．20．设总体X 与Y 相互独立，且都服从)2 ,30(2N ，从这两总体中分别抽取了容量为201=n 与252=n 的样本，求4.0||>-Y X 的概率．21．设总体)2 ,0(~2N X ，而1521,,,X X X 是X 的样本，则)(221521121021X X X X Y ++++= 服从什么分布，参数是多少？又问当a 为何值时，215272621X X X X a F ++++= 服从)9 ,6(F ？22．设总体)4 ,0(~N X ，1021,,,X X X 是X 的样本，求(1) }13{1012≤∑=i i X P ；(2) }76)(3.13{2101≤-≤∑=i i X X P ．23．从总体) ,(~2σμN X 中抽取容量为16的样本，2S 为样本方差，求}041.2{22≤σS P ．24．从总体)2 ,12(~2N X 中随机抽取容量为5的样本521,,,X X X ，求} 284.44)12( {512>-∑=i i X P ．答案详解1．B(A)中含总体期望EX 是未知参数，(C)中EX EX i =也是未知参数，都不是统计量，而(D)不是样本的函数，当然不是统计量．2．B ，C3．样本容量9=n ，利用计算器的统计功能键，算出92.12=x ，65.9)107.3(22==s ，观察921,,,x x x ，可得最小值15.8*1=x ，最大值23.17*=n x ．注 上面得到的x ，2s ，*1x ，*nx 依次是统计量∑==ni i X n X 11，),,,max( ),,,,min( ,)(1121*21*1212n n n n i i X X X X X X X X X X n S ==--=∑=的观察值．注意统计量与统计量的观察值的区别，前者是随机变量，后者是具体的数值4．258.3=x ，00017.02=s (1) 118.1=u ； (2) 656.221=χ；(3) 906.322=χ，提示 为了计算22χ的值，先将其展开为)52(1251512222μμσχ+-=∑∑==i i i iX X ，其中，∑=512i iX ，∑=51i i X 均可由计算器的统计功能键求出来5．“电容器的使用寿命”是总体X ，其服从参数为λ的指数分布，即X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0.x , 0 0,x ,)(x X e x f λλ“抽查的n 只电容的使用寿命”是容量为n 的样本n X X X ,,,21 ．由于n X X X ,,,21 相互独立且每个i X 与总体X 具有相同的分布，所以，样本的联合概率密度为⎩⎨⎧=>=∏=+++-=., 0,,,1 ,0,)(),,,()(12121其它n i x e x f x x x f i x x x n i X ni n n λλ 6．总体X 为该市市民户的人均月收入，容量为100的样本10021,,,X X X 为抽查的100户市民的人均月收入7．总体X 为该校学生的数学考试成绩，容量为50的样本5021,,,X X X 为抽取的50人的数学成绩总体) ,(~2σμN X ，即其概率密度为222)(21)(σμσπ--=x X ex f ，样本5021,,,X X X 的概率密度为∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--50122)(2150502121),,,(i i x e x x x f μσσπ8．D因为) ,2(~2σN X ，根据正态总体的抽样分布),2(~2nN X σ，)1 ,0(~)2(4162222N X X n X U σσσ-=-=-=9．(A) 因) ,0(~2σN X ，由正态总体的抽样分布，有) ,0(~2nN X σ，所以)1 ,0(~2N nX nXU σσ==．(B) 因) ,0(~2σN X i ，得)1 ,0(~N X iσ，n i ,,1 =，且这n 个标准正态变量相互独立，所以由2χ分布的定义知，)(~1212122n X X ni i ni i χσσ∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛=．(C) 2122)1()(S n X X nS ni i n-=-=∑=，由正态总体的抽样分布知)1(~)1()(22221222--=-=∑=n S n X XnSni iχσσσ．(D) ()nS X X n n n S n i i n 2122)1(11=--=-∑=,由正态分布的抽样分布知 )1(~11--=-=-=n t S n X n S X nSX T nnμ， 或者，由(A)，(C)的结果，根据t 分布的定义有)1(~1)1(22--=-=n t S n X n nS n X T nn σσ．综上可知，应选B ． 10．C 11．B12．(1) )22(2-n χ； (2) )22(-n t ； (3) )22 ,1(-n F 13．B 14．181=a ，91=b 时，)2(~22χχ 15．(1) 由正态总体的抽样分布得∑=-91222)8(~)(21i iX Xχ，因此，}44)(4{})({2912191221αααα<-<=<-<∑∑==i ii i X XP X X P9.0}4)8({}4)8({2212=>->=αχαχP P ，令95.0}4)8({12=>αχP ，05.0}4)8({22=>αχP ，根据2χ分布得上侧临界值的定义，查表可得，733.2)8(4295.01==χα，955.21)8(4205.02==χα，即932.104733.21=⨯=α，82.874955.212=⨯=α注 一般来说，满足条件{}αχ-=<<12B A P的数（临界值）A ，B 有很多对，这里我们采用的取法是使A ，B 满足{}{}222αχχ=≥=≤B P A P ．通常认为这样的取法比较好，对于F 分布也类似(2) 由正态总体的抽样分布)1 ,0(~91N X σμ-，即)1 ,0(~321N X μ-， 得9.0}23||23{}|{|3131=<-=<-αμαμX P X P ，根据)1 ,0(N 分布得双侧临界值的定义，查表得645.1232/10.03==u α，所以097.132645.13=⨯=α．(3) 由正态总体的抽样分布)15(~1622t S Y μ-，即)15(~)(422t S Y μ-，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=422241612215||)(||αμαμS Y P Y Y Y P i i 9.0154)(4 422=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=αμS Y P ．根据t 分布的双侧临界值的定义，并查表得75.1)15(1542/10.04==t α，于是，113.015475.14==α．(4) 由正态总体得抽样分布)8 ,15(~222212222122F S S S S =，得90.005.095.0158158815621225621225=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααααS S P S S P ， 查F 分布上侧临界值表，得645.21)15 ,8(1)8 ,15(15805.095.05===F F α， 22.3)8 ,15(15805.06==F α， 所以，709.08645.2155=⨯=α，038.6709.081522.36==⨯=α 16．16≥n ，即至少应进行16次称量提示 对该物品进行独立重复称量的所有可能结果，看成总体X ，则n 次称量结果n X X X ,,,21 就是X 的一容量为n 的样本，n X 即样本均值．由题意知，).20 ,(~2a N X ，根据正态总体的抽样分布，)2.0 ,(~2na N X n ，按条件95.0}1.0 || {≥<-a X P n 来求出n17．至少要42个学生参加抽考18．0.1336提示 该总体并非正态总体，然而100=n 为大样本，所以)100400,80(~N X 19．0.8904 20．约等于0.3446 21．)5 ,10(~F Y ；23=a 22．(1) 因为)4 ,0(~N X i ，)10,,1( =i 且1021,,,X X X 相互独立，所以)10(~421012χ∑=i i X ， }4134{}13{10121012∑∑==≤=≤i i i iX P X Pαχ-=>-=1}25.3)10({1 2P ，由于25.3)10(2=αχ，反查2χ分布表，得，975.0=α，故025.0975.01}13{1012=-=≤∑=i i X P ．(2) 因为)9(~49)(2221012χσS X Xi i=-∑=，所以， }194932.3{}76)(3.13{21012≤≤=≤-≤∑=S P X X P i i 2122}19)9({}32.3)9({ ααχχ-=>->=P P ， 由32.3)9(21=αχ及19)9(22=αχ，反查2χ分布表，得95.01=α及025.02=α，所以，925.0025.095.0}76)(3.13{1012=-=≤-≤∑=i i X X P23．0.99 24．0.05。

抽样分布习题及答案1. 题目：从一个容器中随机取出30个样本，每个样本的体积服从正态分布，均值为150，标准差为10。

计算样本均值的抽样分布的标准差。

解答：我们知道，样本均值的抽样分布的标准差（也称为标准误差）可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。

标准误差 = 总体标准差/ √样本容量在本题中，总体标准差为10，样本容量为30，代入公式可得：标准误差= 10 / √30 ≈ 1.83因此，样本均值的抽样分布的标准差约为1.83。

2. 题目：某电视台进行了一项调查，随机抽取了500名观众，其中有380人表示喜欢该电视节目。

根据该样本数据，计算其样本比例的抽样分布的标准差。

解答：样本比例的抽样分布的标准差可以通过以下公式计算：标准误差= √((样本比例 × (1 - 样本比例)) / 样本容量)在本题中，样本比例为380/500 = 0.76，样本容量为500，代入公式可得：标准误差= √((0.76 × (1 - 0.76)) / 500) ≈ 0.018因此，样本比例的抽样分布的标准差约为0.018。

3. 题目：某商品的包装袋上注明每袋重量服从正态分布，均值为500克，标准差为10克。

为了确定该注明是否准确，随机抽取了100袋该商品，计算抽取样本的平均重量的抽样分布的标准差。

解答：抽取样本的平均重量的抽样分布的标准差可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。

标准误差 = 总体标准差/ √样本容量在本题中，总体标准差为10克，样本容量为100，代入公式可得：标准误差= 10 / √100 = 1因此，抽取样本的平均重量的抽样分布的标准差为1克。

4. 题目：某超市进行了一次促销活动，随机抽取了50个顾客进行调查，得知他们购买的平均金额为200元，标准差为50元。

计算该样本的平均金额的抽样分布的标准差。

解答：样本的平均金额的抽样分布的标准差可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。

第六章 样本及抽样分布习题( 附注: 以下各章的习题中 2211(),1ni i S X X n ==--∑都表示样本方差，不在赘述。

)1．填空题：⑴ 设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = ，样本方差 = ；⑵ 在总体)16,5(~N X 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = ；⑶ 设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2σN X (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到100,940==s x ，则(940)P X <= .[4] 设71,,X X 为总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，则=>∑=)4(712i iXP ;[5] 设61,,X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，26542321)()(X X X X X X Y +++++=，则=c .2．设321,,X X X 是总体),(~2σμN X 的一个样本，其中μ已知而0>σ未知，则以下的函数：⑴ 321X X X ++； ⑵ μ33+X ； ⑶ 1X ；⑷ 22X μ；⑸321ii Xσ=∑；⑹ }max{i X ；⑺3X +σ 中哪些为统计量？为什么？3．在总体)3.6,52(~2N X 中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率.4．设n X X ,,1 是总体~(8)X P 的一个样本，X 与2S 分别为其样本均值与样本方差，求X D X E ,与2ES .5. 设51,,X X 是总体)4,12(~N X 的一个样本，求: ⑴ 样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率; ⑵ },15),,{max(51>X X P }10),,{min(51<X X P .6．设41,,X X 是来自正态总体)4,0(N 的样本，证明统计量Y 服从)2(2χ分布，这里 243221)43(01.0)2(05.0X X X X Y -+-=.7．设921,,,X X X 是来自正态总体X 的样本，∑==61161i i X Y ，∑==97231i i X Y ，922271()2i i S X Y ==-∑， SY Y Z )(221-=，证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布．8．已知)(~n t X ，求证),1(~2n F X ．*9．设),(~2σμN X ，n X X X 221,, 是总体X的容量为2n 的样本，其样本均值为∑==ni i X n X 2121，试求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Z 12)2(的数学期望及方差．。

管理统计学（李金林版教材）课后习题答案~~~第六章基础习题1. 解释总体分布、样本分布和抽样分布的含义。

答：总体分布：整体取值的概率分布规律，即随机变量X 服从的分布；样本分布：从总体中按照一定的抽样规则抽取的部分个体的分布，若从总体中简单随机抽取容量为n 的样本，则样本分布为(X 1,X 2,...,X n )；抽样分布：样本统计量的分布。

2. 简述卡方分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系，它们的概率密度曲线各有什么特征？答：若随机变量X 服从N(μ,σ2)，则Z =X−μσ服从N(0,1)；若随机变量X 服从N(0,1)，则Y =∑(X i )2n i=1服从自由度为n 的χ2分布；若随机变量X~N(0,1)，随机变量Y~χ2(n)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量T =√Y n⁄服从自由度为n 的t 分布；若随机变量X~χ2(n)，若随机变量Y~χ2(m)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量F n,m =X n ⁄Y m ⁄服从第一自由度为n ，第二自由度为m 的F 分布，记为F n,m ~F(n,m)。

χ2分布的概率密度曲线分布在第一象限内，随着自由度n 的增大，曲线向正无穷方向延伸，并越来越低阔，越来越趋近于正态分布的曲线形态。

t 分布的概率密度曲线以0为中心，左右对称，随着自由度n 的增大，t 分布的概率密度曲线逐渐接近标准正态分布的概率密度曲线。

F 分布的概率密度曲线分布在第一象限内，当第一个自由度不变，第二个自由度增大时，曲线越来越向右聚拢，当两个自由度都增加时，F 分布概率密度曲线逐渐接近正态分布的概率密度曲线。

3. 解释中心极限定理的含义。

从均值为μ，方差为σ2的任意一个总体中抽取样本容量为n 的随机样本，则当n 充分大时，样本均值x̅的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2n ⁄的正态分布，即x̅~N(μ, σ2n ⁄)。

4. 某公司有20名销售员，以下是他们每个人的销售量：3，2，2，3，4，3，2，5，3，2，7，3，4，5，3，3，2，3，3，4。

样本及抽样分布一、填空题1．设来自总体 X 的一个样本观察值为：，，，，，则样本均值=，样本方差=2.7162；2．在总体X ~ N (5,16)中随机地抽取一个容量为36 的样本，则均值X 落在 4 与6之间的概率=；3．设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~ N (1000, 2 )(单位:小时)，抽取一容量为9 的样本，得到x940, s 100 ，则 P( X 940)；74．设X1, X2,..., X7为总体X ~ N (0,0.52)的一个样本，则P(X i24)；i 15．设X1, X2,..., X6为总体X ~ N (0,1)的一个样本，且 cY 服从 2 分布，这里，Y ( X1X 2X 3 )2( X 4X 5X 6 )2，则 c1/3 ；6．设随机变量X ,Y相互独立，均服从N (0,32)分布且X1, X2,..., X9与Y1,Y2,..., Y9分别是来自总体 X , Y 的简单随机样本，则统计量U X1...X9服从参数为9 Y12...Y92的 t分布。

7．设X1, X2, X3, X4是取自X ~ N (0, 22)正态总体的简单随机样本且Y a( X! 2 X 2 ) 2 b(3 X3 4 X 4 ) 2, ，则 a ，b 时，统计量 Y 服从 2 分布，其自由度为 2 ；8．设总体 X 服从正态分布X ~ N (0, 22) ,而X1, X2,..., X15是来自总体的简单随机样本，则随机变量 Y X12 (X)102F 分布，参数为10,5 ；...服从2( X112 X152 )9．设随机变量 X ~ t (n)( n 1),Y 1 ,则Y ~ F(n,1) ；X 21 ) 10．设随机变量X ~ F (n, n)且 P( X A) 0.3 ，A 为常数，则 P( XA11 若 1 ,, n是取自正态总体N ( , 2 )的一个样本，则 1nni 服从。

抽样分布试题及答案详解1. 抽样分布是指什么？抽样分布是指在一定条件下，从总体中随机抽取样本，样本统计量（如均值、方差等）的分布。

2. 请解释中心极限定理。

中心极限定理表明，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将趋近于正态分布。

3. 简述抽样分布的两个主要特征。

抽样分布的两个主要特征是：(1) 均值的抽样分布；(2) 方差的抽样分布。

4. 为什么样本均值的抽样分布通常呈正态分布？样本均值的抽样分布通常呈正态分布，是因为中心极限定理的作用，即随着样本容量的增加，样本均值的分布趋向于正态分布。

5. 样本容量对抽样分布的影响是什么？样本容量越大，样本均值的抽样分布越接近正态分布，且分布的离散程度越小。

6. 请举例说明抽样分布的应用。

在质量控制中，通过抽样分布可以估计产品合格率的置信区间。

7. 已知总体均值为μ，标准差为σ，样本容量为n，求样本均值的抽样分布的均值和标准差。

样本均值的抽样分布的均值是μ，标准差是σ/√n。

8. 抽样分布与总体分布有何不同？抽样分布是基于样本统计量（如均值、方差）的分布，而总体分布是描述总体中所有个体的分布。

9. 如何确定样本容量？样本容量的确定通常依赖于研究目的、总体大小、总体变异性以及所需置信水平。

10. 请解释标准误差的概念。

标准误差是指样本均值的标准差，它反映了样本均值的抽样分布的离散程度。

11. 抽样分布对于统计推断有何意义？抽样分布是统计推断的基础，它允许我们根据样本数据推断总体参数。

12. 为什么在实际研究中，我们通常使用抽样分布而不是总体分布？在实际研究中，我们通常无法获得总体的所有数据，因此使用抽样分布来估计总体参数。

13. 请解释抽样误差的概念。

抽样误差是指由于抽样过程中的随机性导致的样本统计量与总体参数之间的差异。

14. 如何减少抽样误差？增加样本容量、使用分层抽样或提高抽样设计的质量可以减少抽样误差。

15. 请举例说明抽样分布在医学研究中的应用。