数列极限的解法(15种)Word版

求数列极限的方法及例题
求数列极限是数学中一个重要的概念，它是指当数列中的每一项都接近某一值时，数列的极限值。

求数列极限的方法有三种：
1. 定义法：定义法是指通过定义数列的极限值，从而求出数列的极限值。

例如，设数列{an}的极限值为L，则有：
lim an = L
n→∞
2. 极限算术法：极限算术法是指通过算术运算，求出数列的极限值。

例如，设数列{an}的极限值为L，则有：
lim an = L
n→∞
3. 极限函数法：极限函数法是指通过函数的极限值，求出数列的极限值。

例如，设数列{an}的极限值为L，则有：
lim an = L
n→∞
例题：求数列{an}的极限值：
an = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ……
解：由定义法可知，数列{an}的极限值为2，即：lim an = 2
n→∞。

极限的求解方法极限是数学中非常重要的一种概念，也是很多高等数学学科的基础。

它用于描述函数在某点处的变化趋势，具有重要的理论和应用价值。

下面将详细介绍极限的求解方法。

一、数列极限的求解方法数列是一组按照一定规律排列的数，数列极限是指当数列中的数趋近于某个值时，这个值被称为数列的极限。

数列极限可以通过以下方法求解：1. 夹逼准则法：如果一个数列存在两个单调递增（或单调递减）的数列，它们都趋近于同一个极限，那么这个数列也趋近于这个极限。

2. 单调有界准则法：如果一个数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个数列必定收敛于某个极限。

3. 递推公式法：有些数列存在递推公式，通过不断迭代可以求出该数列的极限。

二、函数极限的求解方法函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于的一个限制，这个限制称为函数的极限。

函数极限可以通过以下方法求解：1. 直接代入法：将自变量代入函数中，计算得到函数的值。

2. 极限的四则运算法则：函数极限的四则运算法则是指根据函数极限的加减乘除法则，对函数极限进行四则运算，得出函数极限的值。

3. 夹逼准则法：对于复杂的函数，可以使用夹逼准则法来求解函数的极限。

三、级数极限的求解方法级数是指由无穷多个项相加或相乘所得到的结果。

级数极限是指当级数的项趋近于零时，级数的和趋近于的一个限制值，这个限制值称为级数的极限。

级数极限可以通过以下方法求解：1. 比较判别法：通过比较级数的通项和另一个级数的通项来判断级数的收敛性。

2. 级数收敛法：这种方法是通过对级数进行适当的变换，使得级数变得更容易计算，从而求出级数的极限。

3. 积分判别法：根据积分判别法，如果级数的通项能表示成某个函数的导数，那么就可以通过求这个函数在某个区间的积分来判断级数的收敛性。

以上就是极限的几种求解方法，希望能对您有所帮助。

高考数学冲刺数列极限的求解方法在高考数学中，数列极限是一个重要的考点，也是许多同学感到棘手的问题。

在最后的冲刺阶段，掌握有效的求解方法对于提高成绩至关重要。

接下来，让我们一起深入探讨数列极限的求解方法。

一、数列极限的基本概念首先，我们要明确数列极限的定义。

如果当项数 n 无限增大时，数列的通项 an 无限趋近于一个常数 A，那么就称 A 是数列{an}的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。

理解这个定义是求解数列极限的基础。

二、常见的数列极限类型1、简单数列的极限对于一些简单的数列，如常数数列{an ＝ C}，其极限就是这个常数C；对于等差数列{an ＝ a1 ＋（n 1)d}，当 n 趋向于无穷大时，如果公差 d ＝ 0，则极限为 a1；如果d ≠ 0，则数列没有极限。

2、等比数列的极限对于等比数列{an ＝ a1 q^（n 1)｝，当|q| ＜ 1 时，极限为 0；当 q ＝ 1 时，极限为 a1；当|q| ＞ 1 时，数列没有极限。

三、数列极限的求解方法1、利用定义求解直接根据数列极限的定义来进行求解。

通过分析数列通项与极限值之间的差距，随着 n 的增大，这个差距趋向于零，从而证明极限的存在并求出极限值。

例如，对于数列{an ＝ 1 ／ n}，要证明其极限为 0。

对于任意给定的正数ε，要找到一个正整数 N，使得当 n ＞ N 时，｜1 ／ n 0| ＜ε 成立。

因为|1 ／ n 0| ＝ 1 ／ n，所以只要取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1（x表示不超过 x 的最大整数），当 n ＞ N 时，就有 1 ／ n ＜ 1 ／ N ＜ε，从而证明了lim(n→∞） 1 ／ n ＝ 0。

2、四则运算法则若lim(n→∞） an ＝ A，lim(n→∞） bn ＝ B，则有：（1）lim(n→∞）（an ± bn) ＝ A ± B（2）lim(n→∞）（an bn) ＝ A B（3）lim(n→∞）（an ／ bn) ＝ A ／ B （当B ≠ 0 时）例如，求lim(n→∞）（2n ＋ 1) ／（3n 1)，可以将分子分母同时除以 n，得到lim(n→∞）（2 ＋ 1 ／ n) ／（3 1 ／ n) ＝ 2 ／ 3。

数列极限的万能方法
数列极限的万能方法：定义法。

定义：设{an} 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε，则称数列{an} 收敛于a；记作：lim(n→∞)an=a，否则称{an} 为发散数列。

数列极限的其他方法还有：利用柯西收敛准则、运用单调有界定理、利用迫敛性准则、利用定积分的定义、利用归结（海涅）原则、利用施托尔茨（stolz）定理、利用级数求和、利用级数收敛性判断极限存在、利用幂级数、利用微分中值定理、巧用无穷小数列、利用无穷小的等价代换、利用压缩映射原理等。

1。

数列求极限的方法总结数列求极限的方法总结数列求极限的方法有那些？极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。

极限分为一般极限，还有个数列极限，下面是为大家总结的数列求极限的方法总结。

1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。

2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。

首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的.形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母看上去复杂，处理很简单！5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

求数列极限的方法要求解数列极限，我们首先需要了解数列的定义和性质。

数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列的极限是指当数列中的数字无限接近某个固定值时，该固定值就是数列的极限。

求数列极限的方法有很多，下面我将介绍几种常见的方法。

1. 通过数列的定义求极限。

要求解数列的极限，可以通过对数列的定义进行推导。

数列的定义是指按照一定规律排列的一系列数的集合。

根据定义，我们可以通过逐渐增加数列的项数，观察数列的变化趋势，推测数列的极限。

例如，对于递归数列an = n^2，我们逐渐增加n的值，可以观察到当n趋近于无穷大时，an也趋近于无穷大。

因此，可以猜测该数列的极限是正无穷大。

2. 使用极限运算法则求极限。

极限运算法则是指通过对数列中的各个项进行特定的运算，从而得到数列的极限。

常见的极限运算法则有加法法则、乘法法则和除法法则等。

例如，对于数列an = 1/n，可以将每一项分子分母都乘以n，得到新的数列bn = 1。

由于bn的每一项都是常数1，因此bn的极限是1。

根据极限的乘法法则，我们可以得到原数列an的极限也是1。

3. 利用数列的收敛性求极限。

数列中的一部分项可能已经足够接近极限值，我们可以利用数列的收敛性来求解数列的极限。

数列的收敛性是指当数列中的项逐渐增加时，数列的极限趋于一个固定值。

例如，对于递归数列an = 1/n，随着n的增大，an逐渐接近于0。

因此，我们可以推测该数列的极限是0。

4. 利用夹逼定理求极限。

夹逼定理是利用数列的中间项来确定数列的极限。

夹逼定理是指当一个数列在某一项之后受到两个趋于同一极限的数列夹逼时，该数列的极限也趋于相同的极限。

夹逼定理常用于求解复杂的数列极限。

例如，对于递归数列an = (n^2 +1)/(n^2 + n + 1)，我们可以证明该数列的极限是1。

首先，我们可以通过将分子和分母都除以n^2，得到新的数列bn = (1 + 1/n^2)/(1 + 1/n + 1/n^2)。

数列极限各类解法探究目录一、数列极限的基本概念与性质 (2)1. 数列极限的定义 (3)2. 极限的性质 (4)3. 极限的存在性定理 (4)二、数列极限的常见求解方法 (5)1. 直接法 (6)2.1 逐项相加或相乘 (7)2.2 单调有界准则 (8)2. 间接法 (10)2.1 等价无穷小替换 (11)2.2 导数与微分 (12)2.3 函数连续性的利用 (13)3. 定积分定义法 (14)4. 夹逼准则 (15)5. 单调有界定理 (16)6. 柯西收敛准则 (18)7. 实数的完备性 (19)三、特殊数列的极限求解 (20)1. 无穷数列 (21)3.1 单调有界数列 (23)3.2 发散数列 (23)2. 振荡数列 (23)3. 交错级数 (24)4. 幂级数 (26)四、数列极限的应用 (27)1. 求极限值 (28)2. 证明不等式 (29)3. 求解常微分方程 (30)五、数列极限的计算机求解方法 (31)1. 计算机模拟 (31)2. 数值分析软件 (33)3. 算法设计与实现 (34)六、数列极限的讨论与展望 (36)1. 数列极限理论的局限性 (37)2. 新的求解方法的探索 (38)3. 数列极限与其他数学领域的联系 (40)一、数列极限的基本概念与性质数列极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了数列在无限接近某个值时的趋势和行为。

数列极限的基本概念包括：极限的定义：对于一个数列{a_n}，如果存在一个实数 L，使得当 n 趋于无穷大时，a_n 趋于 L，即 lim(n) a_n L，则称 L 为数列{a_n}的极限。

有界性：如果数列{a_n}的极限存在且为 L，那么 L 必须同时属于数列{a_n}的所有项的范围。

柯西收敛准则：对于任意给定的正数0，存在正整数 N，使得当n, m N 时，a_n a_m 。

单调有界原理：如果数列{a_n}单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列必有极限。

数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明:引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得:|C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn)(法则1)=limAn+(-1)limBn(引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn|=|An-0|·|Bn-0|＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)(法则1)=A-A(引理2)=0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB(法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB(引理3、引理2)=B×0+A×0+AB(引理1)=AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5:若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对∀ε>0, ∃正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方)(法则3)....(往复k-1次)=(limAn)的k次方=A的k次方.。

数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。

高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。

本文主要研究了求极限问题的若干种方法。

在纷繁众多的求极限方法中，同学们往往在求解极限时不知如何下手。

文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性：利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限：这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。

还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限：利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。

在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。

关键词：数列，极限，槪念，泄理。

Solution of the limitAbstract : In the higher mathematics limit is an important basic concepts・ In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration. series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit .In the numerous and numerous limit method. students often in solving limit doesn't know how to start. Tlie contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property. Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit. These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special stnictures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method. these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods・Key words: Series, limit, the concept, the theorem.引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。

求数列极限的几种方法求数列极限是数学中一个重要的概念，它也是数学家研究多类数列的重要理论基础。

求数列极限有几种方法，下面我们来权衡它们。

- 单调变换法：单调变换法是将求取极限转化为求内隐函数极限的方法，从而实现极限求取。

单调变换法使用连续性、联系性和函数极限的概念，允许在一定范围内，特定的函数值不断变化，推到特定的独立的函数的极值。

单调变换法可以用来求取数列的极限，但它需要求出原函数的极限才有效。

- 无穷级数法：无穷级数法也称为极限法，它是一种利用级数无限增长变成收敛的定义来求取数列极限的方法。

无穷级数法要求数列中各项均为连续函数。

使用本方法求解的特点是，数列的有限项收敛速度越快，其极限就越容易求解。

比如多项式无穷级数，若多项式的项数不断增加，多项式前n项的和就会越来越接近多项式的极限，最后当n趋于无穷，多项式无穷级数的和就会收敛至它的极限。

- 分析法：分析法是求数列极限的一种有效方法，它利用大数量数学分析手段，包括局部函数之间的联系、连续性、导数法则等，把数列中的局部性函数转换成无穷级数法来求取极限，从而解决数列极限问题。

这样不仅能够求出数列极限，还能得出某一种函数的定义。

- 平方根测试法：平方根测试法，不仅可以求取数列的极限，也可以用来判断某数列是否存在极限。

特别是求取不可分解的方程的极限的时候，可以应用此方法。

它的基本原理是：如果某一数列的 n 项和有如下关系，即 an ∗ an+1=bn，那么该数列必须存在极限，并且极限的值为 b 的平方根；如果 an ∗ an+1=ln，则表明该数列无限增长，即有极限，而且极限值为∞。

以上就是常见求数列极限的几种方法，在不同的情况下，可以根据特定的情况来选择合适的方法，来实现数列极限的求取。

0.引言在数学分析的学习过程中,极限的思想和方法起着基础性的作用，极限的基本思 想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用，而数列极限又是极限的基础.涉及到数列极限的问题有很多，包括数列极限的求法、给定数列极限存在性的证明等.数列极限的证明和求解是较为常见的一种题型，数列极限反应的是数列变化的趋势，其证明和求解也是数学分析题中的重点，主要原因是其证法与求法没有固定的程序可循，方法多样，技巧性强，涉及知识面较广，因此在数学刊物上常可看到这类文章，但大多是对某一些或某一类数列极限的证明或求解，很少系统地探索数列极限证法和求法的基本技巧和方法.随着社会的快速发展及数学本身的发展,迫切地需要对这些方法进行归纳. 当前,有不少文献对数列极限求解方法做了一些探讨,如文献[1]-[10],但是方法的应用举例较少,不全面. 在高等数学竞赛及研究生入学考试中, 数列极限求解方法是经常出现的一种题型. 这些都说明: 数列极限求解方法是一个重要的研究课题. 本文作者将对有关数列极限求解的方法做比较全面系统的归纳,同时举例进行说明.本文归纳了十五种方法. 1.定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a .记作：lim n n a a →∞=.否则称{}n a 为发散数列.例1.求证1lim 1,nn a →∞=其中0a >.证：当1a =时，结论显然成立.当1a >时，记11na α=-，则0α>，由()1111(1)nna n n ααα=+≥+=+-得111na a n --≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11n a ε-<即1lim 1,nn a →∞=当1111101,1,lim 1,lim 1lim n n n n nn a b b b a ab→∞→∞→∞<<=>=∴==时，令则由上易知综上，1lim 1,nn a →∞=0a >例2.求7lim!nn n →∞解：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤=-7777717177100,,0!6!6!!6!n n N n N n n n n εε⎡⎤∴-≤∴∀>∃=>-≤⎢⎥⎣⎦则当时，有<ε 7lim 0!nn n →∞∴= 2.利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0,ε∀>∃正整数N ，使得当,n m N >时，有n m a a ε-<. 例3.证明：数列1sin (1,2,3,)2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列. 证11111sin(1)sin 111112()122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛.例4.（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1,2,)n =⋅⋅⋅ 则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛 证：令1112210,n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-那么{}n y 单调递增，由已知知{}n y 有界，故{}n y 收敛，从而0,ε∀>∃正整数N ，使得当n m N >>时，有 n m y y ε-<此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-< 由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛.注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a 只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极[]1限.例5.证明数列n x =n 个根式,a>0,n=1,2,⋅⋅⋅）极限存在，并求lim n n x →∞.证：由假设知n x = （1） 用数学归纳法易证：1,n n x x k N +>∈()2 此即证{}n x 单调递增. 用数学归纳法可证1n n x x +>，事实上，10n x +<<<1=由（1）（2）证得{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对（1）式两边取极限得 l =解得l =和l =（舍去）∴lim n n x →∞=. 4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n>N 时，有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.例6.求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭解：记2221212n n x n n n n n n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭，则2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++22(1)(1)2(2)2(1)nn n n n x n n n n ++∴≤≤+++ 22(1)1(1)limlim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++由迫敛性得22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭=12. 注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[],a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[],a b 的任意分割T,以及在其上任意选取的点集{}i ξ,[]1,i i i x x ξ-∈只要T<δ，就有()1nii i f x J ξε=-<∑，则称函数()f x 在[],a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[],a b 上的定积分，记作()ba J f x dx =⎰.例7.()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦解：原式=n n ==11121lim 111exp lim ln 1nnn n i n i n n n n n →∞→∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭∑=()()()10expln 1exp 2ln 21x dx +=-⎰例8.求2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎝⎭解：因为222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n nn n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++又2sinsinsin 12limlim sin sin sin 11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤⎛⎫=⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦=02sinsinsin12lim sin 1n n n n n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰ 同理2sin sin sin 2lim 1n n n n n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+由迫敛性得2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎝⎭=2π. 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规X ”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。

数列极限方法总结数列极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了数列随着项数的增加趋向于一个确定的数值或趋向于无穷大的特性。

数列是一系列按照一定规律排列的数的集合，数列极限的研究是为了求得这些数列的趋势和性质。

在数学和物理等学科中，数列极限的求解是基础和关键的一步。

数列极限的求解方法有很多，这里我将总结一些常用的数列极限方法。

一、代入法：代入法是数列极限求解的一个简单而直接的方法。

用代入法求解数列极限时，只需要将数列的项数逐一代入数列规律中，找出当项数趋于无穷大时数列的极限。

例如，对于数列an=3n-1，当n≥1时，对于任意的正整数n，有：当n=1时，a1=3*1-1=2；当n=2时，a2=3*2-1=5；当n=3时，a3=3*3-1=8；...当n趋于无穷大时，数列中的每一项都趋于无穷大，所以该数列的极限为正无穷大。

二、数列递推关系：对于一些含有递推关系的数列，可以通过观察数列之间的关系，找到数列极限的方法。

以Fibonacci数列为例，该数列的递推关系是每一项等于前两项的和，即：Fn=Fn-1+Fn-2。

根据这个递推关系，可以得到该数列的前几项：F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，F6=8，...通过观察可以发现，当n趋于无穷大时，Fn/Fn+1的值趋于黄金分割比例(1+√5)/2，即Fibonacci数列的极限是黄金分割比例。

三、夹逼法：夹逼法是一种常用的求解数列极限的方法。

当数列难以直接求得极限时，可以通过迫近的方式利用夹逼法求得数列的极限。

夹逼法的思想是通过构造两个不等式，将数列逐渐夹逼到一个确定的极限值。

夹逼法的步骤如下：1）找到两个数列，一个上界数列bn，一个下界数列cn，并确定它们的极限值分别为L，M；2）构造两个不等式，即：cn≤an≤bn；3）证明bn和cn的极限都为L，M；4）由bn≥an和cn≤an可以得到bn=M≤an≤L=cn；5）根据夹逼定理，当n趋于无穷大时，数列an的极限也是L。

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高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。

常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”(ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()(（iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlimlim 0)(（iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握).极限)(limx f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

求数列极限的几种常用方法一、运用极限的定义来求极限定义：设{an}为数列，a为常数，若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当nN时，有|an-a|ε，则称数列{an}收敛于a，常数a称为数列{an}的极限.二、利用极限四则运算法则及重要公式和初等变形求极限（1）四则运算法则：若limn→∞an=a，limn→∞bn=b.limn→∞（an±bn）=a±b，limn→∞（anbn）=ab，limn→∞anbn=ab（b≠0）.（2）limn→∞alnl+al-1nl-1+…+a0bknk+bk-1nk-1+…+b0=limn→∞alnlbknk.当l=k时，原式=albk;当lk时，原式=+∞.（3）limn→∞qn=0（|q|=0）.（4）limn→∞na=1（a0）.（5）limn→∞an=a.则① limn→∞a1+a2+…+ann=a.② 若an0，limn→∞na1a2…an=a.（6）若{an}是等比数列，其前n项和为Sn，公比q满足|q|=1，则limn→∞Sn=a11-q.三、利用重要极限求数列的极限（1）limn→∞sinxx=1.变形limn→∞sinφ（n）φ（n）=1（n→∞，φ（n）→0）.（2）limn→∞ax-1x=lna（a0）.变形limn→∞aφ（n）-1φ（n）=lna（a0）（n→∞，φ（n）→0）.（3）limn→∞1+1nn=e.變形limn→∞（1+φ（n））1φ（n）=e（n→∞，φ（n）→0）.推广：（1）n→∞.若φ（n）→0，f（n）→∞且φ（n）·f（n）→A，则limn→∞（1+φ（n））f（n）=limn→∞ef（n）ln（1+φ（n））=limn→∞ef·φ=eA.（2）n→∞.若φ（n）→1，f（n）→∞且（φ（n）-1）f（n）→B，则limn→∞φ（n）f（n）=limn→∞ef（ln（φ（n））-1）=eB.四、单调有界数列法、单调有界数列必收敛（即存在极限）（1）利用“单调数列必收敛”证明极限存在;（2）令limn→∞an=a，对an+1=f（an）两边取极限，转化为关于a的方程，求出a的值.五、利用迫敛性准则求数列极限如果数列{xn}，{yn}，{zn}满足下列条件：（1）从某项起，均有yn≤xn≤zn;（2）limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，则limn→∞xn=a.六、利用柯西收敛准则证明极限的存在性例证明an=b112+b222+b332+…+bnn2（|bn|≤M，n=1，2，…）收敛.证明ε0，N0，使得当nN，P∈N+，有1n2≤1n（n-1）=1n-1-1n，|an+p-an|=M1n+p-1-1n+p+1n+p-2-1n+p-1+…+1n-1-1n≤M1nε.七、利用等价无穷小代换求极限重要的近似公式：当x→0时（1）sinx～x;（2）tanx～x;（3）ex-1～x;（4）1-cosx～12x2;（5）arcsinx～x;（6）arctanx～x;（7）ln（1+x）～x;（8）ax-1～xlna（a0且a≠1）.八、利用定积分求数列极限（此类方法主要是处理无限项求和或求积的形式）定积分的定义的数学形式：实际使用中[a，b]→[0，1]比较常见.∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1fa+i（b-a）nb-an（取右端点定义，x0=a），∫baf（x）dx=limn→∞∑n-1i=0fa+i（b-a）nb-an（取左端点定义，xn=b）.以上方法是数学分析中常用的求解数列极限的重要方法.除了以上的常用的方法外，还有许多求数列极限的方法等着我们不断去探索和挖掘，每一种方法的产生都源于多样的表达方式和细心地发现，所以在求解极限的过程中要巧妙地运用技巧，找到合适的方法，使问题迎刃而解.。