2020高中数学---取球问题

高中趣味数学题及答案1. 赛车比赛问题甲、乙两辆赛车进行比赛，每辆车必须按规定次序穿过四个门，在一门经过前会获得相应的得分，如下表所示：门号 | 得分-------- | --------1 | 52 | 33 | 24 | 1比赛规则如下：两辆赛车同时在门外起跑，当其中一辆车通过所有门且累计得分高于另一辆车时，比赛结束，高分车获胜。

求甲、乙两车同时通过所有门的概率。

答案：通过所有四个门的方案数为4！=24，其中甲车与乙车同步通过所有门的方案数为2^4=16种，因为每个门都只有两个可能的结果：先经过甲车或先经过乙车。

所以两车同时通过所有门的概率为16/24=2/3。

2. 整数半径的球问题一个半径为整数的球，最多能在什么样的长方体内？答案：如果球的半径为r，则它的直径为2r，可以在一个取长宽高均为2r的长方体内。

我们可以证明，在长方体的边长大于2r时，这个半径为r的球必定无法在其中放置。

假设长方体的边长为a，考虑球的直径在x，y，z三个方向上的投影。

因为r为整数，所以直径的长度应为k(2r) (k为正整数)。

而长方体的任意一条边的长度小于等于a，故有k(2r)＜a，即2rk＜a。

由于k为正整数，所以k≥1，因此有2r＜a。

因此，当长方体的边长大于2r时，这个半径为r的球必定无法在其中放置。

3. 骑士巡游问题骑士巡游是指一个象棋中的骑士从某个位置出发，在不允许重复经过的前提下，挨个经过棋盘上所有的格子。

求骑士巡游的路径数。

棋盘的大小为n×n，骑士的起始位置任意指定。

答案：骑士巡游是一个经典的应用数学问题，其路径数可以通过递归和动态规划两种方法求得。

这里简单介绍一下递归的解法：对于棋盘上某个位置(pos_x, pos_y)，假设当前已经经过了已知的k个格子，那么下一个要经过的格子应该是哪个呢？根据骑士移动的规则，它可以前往八个位置，即(pos_x+1,pos_y+2)，(pos_x+1, pos_y-2)，(pos_x-1, pos_y+2)，(pos_x-1, pos_y-2)，(pos_x+2, pos_y+1)，(pos_x+2,pos_y-1)，(pos_x-2, pos_y+1)，(pos_x-2, pos_y-1)。

§3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用学习目标 1.了解分类变量的意义.2.了解2×2列联表的意义.3.了解随机变量K 2的意义.4.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．知识点一 分类变量及2×2列联表思考 山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：体育 文娱 合计 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合计270520790如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？答案 可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断． 梳理 (1)分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表①定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． ②2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表.y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d知识点二 等高条形图1．与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．2．如果通过直接计算或等高条形图发现aa ＋b 和cc ＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．知识点三 独立性检验1．定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．2．K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．3．独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.(2)利用公式计算随机变量K2的观测值k.(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．1．列联表中的数据是两个分类变量的频数．( √)2．事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．( ×)3．K2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．( √)类型一等高条形图的应用例1 为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：组别阳性数阴性数总计铅中毒病人29736对照组92837总计383573试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？考点定性分析的两类方法题点利用图形定性分析解等高条形图如图所示：其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．反思与感悟在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例aa＋b，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例cc＋d.两个比例的值相差越大，X与Y有关系成立的可能性就越大．跟踪训练1 网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？考点定性分析的两类方法题点利用图形定性分析解根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：经常上网不经常上网总计不及格80120200及格120680800总计200800 1 000得出等高条形图如图所示：比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．类型二独立性检验例2 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100根据表中数据，问是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法解 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2的观测值k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(60×10－20×10)270×30×80×20＝10021≈4.762. 因为4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．反思与感悟 (1)独立性检验的关注点在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad －bc ≈0，因此|ad －bc |越小，关系越弱；|ad －bc |越大，关系越强． (2)独立性检验的具体做法①根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k 0.②利用公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算随机变量K 2的观测值k .③如果k ≥k 0，推断“X 与Y 有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X 与Y 有关系”． 跟踪训练2 某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系． 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)2×2列联表如下所示：(2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”． 由公式得K 2＝50×(10×6－24×10)234×16×20×30≈4.963<6.635，所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关． 类型三 独立性检验的综合应用例3 (2017·全国Ⅱ改编)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).考点独立性检验思想的应用题点分类变量与统计、概率的综合性问题解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”，由P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )，则旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62，新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66，则事件A 的概率估计值为P (A )＝P (B )P (C )＝0.62×0.66＝0.409 2， ∴A 发生的概率为0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表：则K 2＝200×(62×66－38×34)2100×100×96×104≈15.705，由15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． 反思与感悟 两个分类变量相关关系的判断(1)等高条形图法：在等高条形图中，可以估计满足条件X ＝x 1的个体中具有Y ＝y 1的个体所占的比例aa ＋b，也可以估计满足条件X ＝x 2的个体中具有Y ＝y 1的个体所占的比例cc ＋d.两个比例的值相差越大，X 与Y 有关系成立的可能性就越大．(2)观测值法：通过2×2列联表，先计算K 2的观测值k ，然后借助k 的含义判断“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度．跟踪训练3 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X ，求X 的分布列与均值． 考点 独立性检验思想的应用题点 分类变量与统计、概率的综合性问题 解 (1)列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计321648(2)由K 2＝48×(220－60)228×20×32×16≈4.286.因为4.286>3.841，所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． (3)喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2. 其概率分别为 P (X ＝0)＝C 210C 220＝938，P (X ＝1)＝C 110C 110C 220＝1019，P (X ＝2)＝C 210C 220＝938，故X 的分布列为X 0 1 2 P9381019938X 的均值为E (X )＝0＋1019＋919＝1.1．某机构调查中学生的近视情况，了解到某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( ) A ．平均数 B ．方差 C ．回归分析 D ．独立性检验 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的思想 答案 D2．对于分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k ，下列说法正确的是( )A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的思想答案 B解析k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．3．用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关，观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是( )考点定性分析的两类方法题点利用图形定性分析答案 D解析由等高条形图易知，D选项两个分类变量关系最强．4．若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案 D解析独立性检验的结论是一个统计量，统计的结果只是说明事件发生的可能性的大小，具体到一个个体，则不一定发生．5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据.总成绩好 总成绩不好 总计 数学成绩好 478 a490 数学成绩不好39924423 总计b c913(1)计算a ，b ，c 的值；(2)文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？ 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法解 (1)由478＋a ＝490，得a ＝12. 由a ＋24＝c ，得c ＝12＋24＝36. 由b ＋c ＝913，得b ＝913－36＝877. (2)计算随机变量K 2的观测值k ＝913×(478×24－399×12)2490×423×877×36≈6.233>5.024，因为P (K 2≥5.024)≈0.025，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．1．列联表与等高条形图列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有相关关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有相关关系． 2．对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量K 2的值，如果K 2的值很大，说明假设不合理．K 2越大，两个分类变量有关系的可能性越大．一、选择题1．下面是一个2×2列联表：y 1 y 2总计 x 1 a21 73 x 2825 33 总计b46106则表中a ，b 的值分别为( ) A ．94,96 B ．52,50 C ．52,60D ．54,52考点 分类变量与列联表 题点 求列联表中的数据 答案 C2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得K 2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为( ) A ．0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9% 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 C解析 易知K 2＝7.01>6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．3．在独立性检验中，两个分类变量“X 与Y 有关系”的可信度为99%，则随机变量K 2的观测值k 的取值范围是( ) A ．[3.841,5.024) B ．[5.024,6.635) C ．[6.635,7.879) D ．[7.879,10.828)考点 分类变量与列联表 题点 求观测值 答案 C4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：则随机变量K 2的观测值约为( ) A ．0.600 B ．0.828 C ．2.712D ．6.004考点 分类变量与列联表 题点 求观测值 答案 A解析 根据列联表中的数据，可得随机变量K 2的观测值k ＝90×(11×37－34×8)245×45×19×71≈0.600.故选A.5．在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为( )A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.ab ＋d 与ca ＋c考点 定性分析的两类方法 题点 利用图形定性分析 答案 A 解析 由题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋ad －ac －bc (a ＋b )(c ＋d )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ad －bc (a ＋b )(c ＋d )，因为|ad －bc |的值越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，故选A.6．有两个分类变量X ，Y ，其列联表如下所示，其中a,15－a 均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X ，Y 有关，则a 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．8或9D ．6或8考点 分类变量与列联表 题点 求列联表中的数据 答案 C解析 根据公式，得K 2的观测值 k ＝65×[a (30＋a )－(15－a )(20－a )]220×45×15×50＝13×(13a －60)220×45×3×2>3.841，根据a >5且15－a >5， a ∈Z ，求得当a ＝8或9时满足题意．7．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：则推断“学生的性别与认为作业量大有关”这种推断犯错误的概率不超过( ) A ．0.01 B ．0.025 C ．0.005 D ．0.001 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法答案 B解析 由公式得K 2的观测值k ＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>5.024.∵P (K 2≥5.024)＝0.025，∴犯错误的概率不超过0.025. 二、填空题8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K 2的观测值k >6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________． 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的思想 答案 ③解析 K 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确． 9．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为K 2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为__________．考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 5%解析 因为K 2>3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.10．2014年世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为35，则有超过________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 95%解析 设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A ，由已知得P (A )＝q ＋35100＝35，所以q ＝25，p ＝25，a ＝40，b ＝60.K 2＝100×(25×35－25×15)240×60×50×50＝256≈4.167>3.841.故有超过95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关． 三、解答题11．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判断． 考点 定性分析的两类方法 题点 利用图形定性分析解 建立性别与态度的2×2列联表如下：根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为110＝0.2，女生中作肯定态度的频率为2260≈0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．根据列联表中的数据得到K 2的观测值k ＝170×(22×38－22×88)2110×60×44×126≈5.622>5.024.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系．12．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：喜欢 不喜欢 合计 大于40岁 20 5 25 20岁至40岁10 20 30 合计302555(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率． 考点 独立性检验思想的应用题点 分类变量与统计、概率的综合性问题解 (1)由公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得，观测值k ≈11.978>7.879，所以有99.5%以上的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4，C 1，C 2，从中任选2人的基本事件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，B 4)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，(C 1，C 2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的事件有(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为815.四、探究与拓展13．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其中2×2列联表为：y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组是( ) A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2 B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5 D ．a ＝3，b ＝2，c ＝4，d ＝5考点 分类变量与列联表 题点 求列联表中的数据 答案 D解析 对于同一样本，|ad －bc |越小，说明x 与y 相关性越弱，而|ad －bc |越大，说明x 与y 相关性越强，通过计算知，对于A ，B ，C 都有|ad －bc |＝|10－12|＝2.对于选项D ，有|ad －bc |＝|15－8|＝7，显然7>2. 14．2017年世界第一届轮滑运动会(the first edtion of Roller Games)在南京举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者分别有10人和6人喜爱轮滑，其余不喜爱．得到2×2列联表如下.(1)根据2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱轮滑有关？ (2)从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱轮滑的人数为ξ，求ξ的分布列和均值． 考点 独立性检验思想的应用题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用解 (1)假设：是否喜爱轮滑与性别无关．由已知数据可求得K 2的观测值为 k ＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.157 5<2.706.因此不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为喜爱轮滑与性别有关． (2)喜爱轮滑的人数ξ的可能取值为0,1,2， 则P (ξ＝0)＝C 06C 28C 214＝2891＝413，P (ξ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891，P (ξ＝2)＝C 26C 08C 214＝1591.所以喜爱轮滑的人数ξ的分布列为4 13＋1×4891＋2×1591＝67.所以喜爱轮滑的人数ξ的均值为E(ξ)＝0×。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）(数学)第I 卷参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()È=+P A B P A P B ．如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．球的表面积公式24S R p =，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =I ð（）A.{3,3}- B.{0,2}C.{1,1}-D.{3,2,1,1,3}---2.设a ÎR ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为（）A.B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]L ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为）A.12pB.24pC.36pD.144p6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -æö===ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -= C.2214x y -= D.221x y -=8.已知函数()sin 3f x x p æö=+ç÷èø．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2p ；②2f p æöç÷èø是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.① B.①③C.②③D.①②③9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ì=í-<î…若函数2()()2()g x f x kx xk =--ÎR 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.1,)2æö-¥-+¥ç÷èøUB.1,(0,2æö-¥-ç÷èøUC.(,0)(0,-¥UD.(,0))-¥+¥U2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）(数学)第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________．11.在522x x æö+ç÷èø的展开式中，2x 的系数是_________．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB °Ð==，6BC =，且3,2AD BC AD AB l =×=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数l 的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =u uu u r ，则DM DN ×u u u u r u u u r的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p æö+ç÷èø的值．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<ÎN；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+ì-ïï=íïïî为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x¢=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -…时，求证：对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-．答案及解析第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =I ð（）A.{3,3}- B.{0,2}C.{1,1}-D.{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--ð，则(){}U 1,1A B =-I ð.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.设a ÎR ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3.函数241xy x =+的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]L ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+´=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518´=.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.5.若棱长为）A.12pB.24pC.36pD.144p【答案】C 【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R p p p ==´=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -æö===ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -æö==>=ç÷èø，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -= C.2214x y -= D.221x y -=【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-´=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-´=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8.已知函数()sin 3f x x p æö=+ç÷èø．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2p ；②2f p æöç÷èø是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.① B.①③ C.②③D.①②③【答案】B 【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin(3f x x p =+，所以周期22T pp w ==，故①正确；51()sin()sin 122362f p p pp =+==¹，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，得到sin()3y x p =+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ì=í-<î…若函数2()()2()g x f x kx xk =--ÎR 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.1,)2æö-¥-+¥ç÷èøUB.1,(0,2æö-¥-ç÷èøUC.(,0)(0,-¥UD.(,0))-¥+¥U 【答案】D 【解析】【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ì>==í<î，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0D =得280k -=，解得k =，所以k >综上，k的取值范围为(,0))-¥+¥U .故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i是虚数单位，复数82ii-=+_________．【答案】32i-【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】()()()()828151032 2225i ii iii i i----===-++-.故答案为：32i -.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11.在522x x æö+ç÷èø的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．【详解】因为522x x æö+ç÷èø的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+æö==××=ç÷èø，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ´=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1).16(2).23【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236´=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-´-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解.【详解】0,0,0a b a b >>\+>Q ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b\++=++++4==，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+，或22a b =+=.故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB °Ð==，6BC =，且3,2AD BC AD AB l =×=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数l 的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =u uu u r ，则DM DN ×u u u u r u u u r的最小值为_________．【答案】 (1).16 (2).132【解析】【分析】可得120BAD Ð=o ，利用平面向量数量积的定义求得l 的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ££），得出DM DN ×u u u u r u u u r关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ×u u u u r u u u r的最小值.【详解】AD BC l =u u u r u u u rQ ，//AD BC \，180120BAD B \Ð=-Ð=o o ，cos120AB AD BC AB BC AB l l ×=×=×ouu u r uu u r uu u r u uu r u uu r u uu r1363922l l æö=´´´-=-=-ç÷èø，解得16l =，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C =\Q ，,∵3,60AB ABC =Ð=°，∴A的坐标为3,22A æöç÷ç÷èø,∵又∵16AD BC =uu u r u u u r ,则5,22D æöç÷ç÷èø，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ££），5,22DM x æö=--ç÷èøu u u u r，3,22DN x æö=--ç÷èøu u u r，()2225321134222222DM DN x x x x x æöæöæö×=--+=-+=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøu u u u r u u u r ，所以，当2x =时，DM DN ×u u u u r u u u r 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p æö+ç÷èø的值．【答案】（Ⅰ）4C p =；（Ⅱ）sin 13A =；（Ⅲ）sin 2426A p æö+=ç÷èø.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC V中，由5,a b c ===及余弦定理得222cos 22a b c C ab +-===，又因为(0,)C p Î，所以4C p=；（Ⅱ）在ABC V 中，由4C p =，a c ==及正弦定理，可得sin sin a C A c ´===13；（Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A ==13，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin2cos cos2sin 444132132A A A p p p +=+=´+´=26.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6；（Ⅲ）3.【解析】【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC u u u r u u u r u u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M u u u u r 和1B D u u u u r 的坐标，得出110C M B D ×=uu u u r u uu u r，即可证明出11C M B D ^；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA uu u r ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n r，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA uu u r 、CB u u u r、1CC u u u u r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =uu uu r ，()12,2,2B D =--uu u u r，从而112200C M B D ×=-+=uu u u r u u u u r，所以11C M B D ^；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =uu u r是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =u uu r ，()2,0,1ED =-u u u r．设(),,n x y z =r为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ì×=ïí×=ïîr u u u r r u u u r ，即2020y z x z +=ìí-=î，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-r．cos ,6C CA n A C n A n ×<>===×u u u r ru u u r u r u u r r，sin ,6CA n \<>==u u u r r ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6；（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-u u u r．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-r 为平面1DB E的一个法向量，于是cos ,3AB n AB n AB n ×<>===-×u u u r ru u u r r u u u r r ．所以，直线AB 与平面1DB E所成角的正弦值为3.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ^，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ^，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）Q 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，\3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）Q 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ^，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-ìïí+=ïî，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =×--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k æö-ç÷++èø，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -æöç÷++èø，由3OC OF =u u u r u u u r，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ^，所以231261k k k ×=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<ÎN；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+ì-ïï=íïïî为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+´.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=å和21nkk c=å的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==æö=-=-ç÷+-+èøåå，和223111211352321444444nnk k n n k k k n n c -==---==+++++ååL ①由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++åL ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=æö-ç÷--èø=+++-=---åL ，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++æö-ç÷--+èø--=-´--´=-´-，从而得：21565994nk nk n c =+=-´å.因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+´ååå.所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+´.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x¢=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -…时，求证：对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得()g x ¢的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i)当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.(ii)依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++Î+¥.从而可得()2263'36g x x x x x=-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x¢-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：x ()0,11x =()1,+?()'g x -0+()g x 单调递减极小值单调递增所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x¢=+.对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ¢¢-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x æöæö=-+++--+ç÷ç÷èøèø3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x æö=--++--ç÷èø()332213312ln x t t t k t t t æö=-+-+--ç÷èø.①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--Î+¥.当x >1时，22121()110h x x x x ¢æö=+-=->ç÷èø，由此可得()h x 在[)1,+¥单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ³，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ³-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t ttæöæö-+-+-------ç÷+ç÷èøèø (323)36ln 1t t t t=-++-.②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->③由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ¢¢-+-->.所以，当3k ³-时，任意的[)12,1,x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

微专题90 取球问题一、基础知识：在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。

2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。

5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。

二、典型例题：例1：一袋中有6个黑球，4个白球（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X的分布列，期望和方差（1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。

第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为6598，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为3698，从而能够得到第三次取到黑球的概率解：设事件A为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”65364829898723P A（2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为6 9解：设事件B为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”23P B（3）思路：本问依然属于独立重复试验模型，X 的取值为0,1,2,3，则X 符合二项分布，即23,5X B :，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列解：X 的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,5X B :30332705125P X C2133254155125P X C12233236255125P X C3332835125P X CX 0123P271255412536125812523,5X B Q :26355EX 231835525DX例2：已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球（1）求取出的4个球中没有红球的概率（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率（1）设事件i A 为“甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“乙盒中取出j 个红球”则2213332246,i ijjijC C C C P A P B CC设事件A 为“４个球中没有红球”则0202133300224633161510C C C C P AP A P B CC（2）设事件B 为“４个球中恰有1个红球”0211110213331333011022224646393326156155C C C C C C C C P BP A B P A B CCCC（3）可取的值为0,1,2,31010P P A 215PP B22111113331333021122224646225C C C C C C C C PP A B P A B CC C C1121333122246331361510C C C C P P A B CC的分布列为：123P11025251101221301231055102E例3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．解：（1）设事件A 为“两只手中所取的球颜色不同”，则A 为“两只手中所取的球颜色相同”2333432119999993P A P A （2）X 可取的值为0,1,2左手取球成功的概率222234129518C C C P C右手取球成功的概率22233322914CC C P C511301118424P X 5151711118418418P X 515218472P X X 的分布列为X 012P132471857213751901224187236EX例4：袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率（2）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望（1）思路：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四次中一共摸到3次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球。

第七章随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列第2课时 课后篇巩固提升基础达标练1.设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y=X-2,则P (Y=2)等于( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.70.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3,故P (Y=2)=P (X=4)=0.3.2.(2020浙江高三专题练习)已知离散型随机变量X 的分布列如下表,则实数c 为( )X 0 1 P9c 2-c 3-8cA.13 B.23 C.1或23D.14,9c 2-c ≥0,3-8c ≥0,9c 2-c+3-8c=1,解得c=13.故选A.3.若随机变量X 的分布列为则当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,2] B.[1,2] C.(1,2] D.(1,2)X 的分布列知P (X<1)=0.5,P (X<2)=0.8,故当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是(1,2].4.(2020潍坊高三月考)若随机变量X 的分布列如下表所示,则a 2+b 2的最小值为( )X 0 1 2 3P 14a14bA.124B.116C.18D.14a+b=12,故a2+b2≥(a+b)22=18,当且仅当a=b=14时,等号成立.故选C.5.已知离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an (n+1)(n=1,2,3,4),其中a 是常数,则P12<X<52的值为()A.23B.34C.45D.56P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),∴a2+a6+a12+a20=1,∴a=54,∴P12<X<52=P(X=1)+P(X=2)=54×12+54×16=56.6.已知随机变量X的分布列如下表.则X为奇数的概率为.7.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.如明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223.(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码;(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.①求P (ξ=2);②求随机变量ξ的分布列.这个明文对应的密码是12232.(2)①∵表格的第一、二列均由数字1,2组成,∴当ξ=2时,明文只能取表格第一、第二列中的字母. ∴P (ξ=2)=2333=827.②由题意可知,ξ的取值为2,3. ∴P (ξ=3)=1-P (ξ=2)=1-827=1927. ∴ξ的分布列为8.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.(1)求获得复赛资格的人数.(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人?(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X 表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数,求X 的分布列.由题意知在区间(90,110]的频率为1-20×(0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125)=0.3,0.3+(0.0125+0.005)×20=0.65,故获得复赛资格的人数为800×0.65=520. (2)0.0125∶0.005=5∶2,在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人, 则在区间(110,130]与(130,150]中各抽取5人,2人. (3)X 的可能取值为0,1,2,则 P (X=0)=C 53C 20C 73=27, P (X=1)=C 52C 21C 73=47,P (X=2)=C 51C 22C 73=17.故X 的分布列为能力提升练1.(多选)下列随机变量服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为随机变量X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X={1,取出白球,0,取出红球D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X2.已知抛掷2枚骰子,所得点数之和X 是一个随机变量,则P (X ≤4)等于( ) A.1B.13C.12D.23,P (X=2)=136,P (X=3)=236=118,P (X=4)=336=112,故P (X ≤4)=136+118+112=16.3.已知随机变量ξ只能取三个值x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.0,13B.-13,13C.-3,3D.0,1ξ取x 1,x 2,x 3的概率分别为a-d ,a ,a+d (0≤a-d ≤1,0≤a+d ≤1),则由分布列的性质,得(a-d )+a+(a+d )=1,故a=13.由{13-d ≥0,13+d ≥0,解得-13≤d ≤13.4.由于电脑故障,使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ,y ”代替),其分布列如下.则x ,y 的值依次为 .0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y )+0.20=1,得10x+y=25.又因为x ,y ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故x=2,y=5. 5.袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量ξ,则P (ξ≤6)= .4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球的个数为0,1,2,3,其得分ξ=4,6,8,10,则P(ξ≤6)=P (ξ=4)+P (ξ=6)=C 44×C 3C 74+C 43×C 31C 74=1335.6.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列.记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,则P (A )=A 21A 31A 52=310.(2)X 的可能取值为200,300,400, 则P (X=200)=A 22A 52=110,P (X=300)=A 33+C 21C 31A 22A 53=310,P (X=400)=1-P (X=200)-P (X=300) =1-110−310=35.故X 的分布列为素养培优练受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=2+350=110.(2)依题意得,X1的分布列为X2的分布列为。

2020年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题(考试时间:90分钟;满分:100分)参考公式：样本数据x1，x2，…，x 。

的标准差s =√1n [(x 1−x ̅)2+(x 2−x ̅)2+⋯+(x n −x ̅)2] ,其中x ̅为样本平均数 锥体体积公式V=13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积公式S=4πR 2,球的体积公式V=43πR 3,其中R 为球的半径 柱体体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高台体体积公式V =13(S ′+√S ′S +S)h ，其中S ＇，S 分别为上、下底面面积，h 为高 第Ⅰ卷 (选择题45)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分.每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合A=｛3｝，B=｛1，2，3｝，则A ∩B=A.{1,2,3}B.{1,3}C.{3}D. φ2.右图是某圆锥的三视图，则该圆锥底面圆的半径长是A.1B.2C.3D. √103.若三个数1，3，a 成等比数列，则实数a=A.1B.3C.5D.94.一组数据3，4，4，4，5，6的众数为A.3B.4C.5D.65.如图，在正方形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A. 14B. 12C. 34 D.1 6.函数y=cosx 的最小正周期为A. π2B. πC. 3π2D. 2π 7.函数y= 1X−2的定义域为A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(-∞，2)U(2，+∞)D. R8.不等式2x+y-4≤0表示的平面区域是9.已知直线l 1:y =x-2，l 2:y=kx ，若l 1∥l 2，则实数k=A.-2B.-1C.0D.110.化简MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗10.不等式(x+2)(x-3)＜0的解集是A.｛x | x ＜-2，或x ＞3｝B. {x |-2<x<3｝C.｛−12 < x < 13｝D. ｛x|x <−12，或x ＞1312.化简tan(π+α)=A. sinαB.cos αC. –sinαD.tanα13.下列函数中，在(0，+∞)上单调递减的是A. y=x-3B.y= 2xC.y=x 2D.y=2x14.已知a=40.5，b=42，c=log 40.5，则a ，b ，c 的大小关系是Aa < b<c B .c<b<a Cc<a < b D a<c< b15.函数y={1, |x|＜2，log2|x|,|x|≥2的图象大致为第Ⅱ卷(非选择题55分)二、填空题(本大题有5小题，每小题3分，共15分)16.已知向量a=(0，2)，则2a= 。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.5B.5C.5D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为255d；所以，圆心到直线230x y 的距离为5.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2c ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为28c当且仅当a b C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.B.32C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为4的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，2233r球心O 到平面ABC 的距离1d .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：202k a a b k ，解得：2k .故答案为：2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z ，则12||z z =__________.【答案】【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，122cos cos 2sin sin z z i i ，2cos cos 2sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i故答案为：.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）3 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC周长3L AC AB BC ，ABC周长的最大值为3 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，202180i i x x （，20219000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r)ni i x y x y（（=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()ii x x y y r 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y的相关系数为20()()0.943i i x x y y r （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c，b ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 603ON故：ON AP ∵//EF BC AP EP AM BM3EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQsin10QN QPN PQ 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x232sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A 版必修第二册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A版必修第二册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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章末综合检测(九)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A，B,C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4,为检验该公司的产品质量,用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝（)A．96 B．72C．48 D．36解析：选B。

由题意得错误!n－错误!n＝8，所以n＝72。

故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15),6;［15，20），8；［20,25),13；［25，30)，35；［30，35），46;[35,40)，34；［40,45），28；［45，50),15；[50，55)，10；［55，60],5。

则样本在［35,60]上的频率是( )A．0。

69 B．0.46C．1 D．不存在解析：选B.由题可知,样本在［35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0。

46.3．2019年高考某题的得分情况如下:得分(分）01234百分率(%)37.08。

2.2.2 事件的相互独立性[A 基础达标]1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立的事件解析：选D ．因为P (A 1)＝35，若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，所以A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，所以A 1与A 2不是相互独立事件．2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )A ．0.2B ．0.8C ．0.4D ．0.3解析：选D ．由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P ＝0.6×0.5＝0.3，故选D ．3．某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A ．12B ．13C ．23D ．34解析：选B ．因为该电路为通路的概率为6581，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581＝(1－p )4，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故选B ．4．(2019·重庆高二检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )A ．13B ．29C ．49D ．827解析：选A ．由已知得逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13，则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.5．有一道数学难题，学生A 解出的概率为12，学生B 解出的概率为13，学生C 解出的概率为14.若A ，B ，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( ) A ．1 B ．624 C ．1124D ．1724解析：选C ．一道数学难题，恰有一人解出，包括： ①A 解出，B ，C 解不出，概率为12×23×34＝14；②B 解出，A ，C 解不出，概率为12×13×34＝18；③C 解出，A ，B 解不出，概率为12×23×14＝112.所以恰有1人解出的概率为14＋18＋112＝1124.6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 答案：0.267．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．解析：设“开关a ，b ，c 闭合”分别为事件A ，B ，C ，则灯亮这一事件为ABC ∪AB C —∪A B —C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C —，A B —C 相互独立， ABC ，AB C —，A B — C 互斥，所以 P ＝P (ABC )＋P (AB C —)＋P (A B —C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C —)＋P (A )P (B —)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.答案：388．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________． 解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A ，B ，C ， 则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次为事件(A —BC )∪(A B —C )∪(AB C —)，故其概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：7189．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两互相独立，且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A — B — C —表示，P (A — B — C —)＝P (A —)P (B —)P (C —)＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85) ＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用 (A —BC )∪(A B —C )∪(AB C —)表示． 由于事件A —BC ，A B —C 和AB C —两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A —BC )＋P (A B —C )＋P (AB C —) ＝P (A —)P (B )P (C )＋P (A )P (B —)P (C )＋P (A )P (B )P (C —)＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )[1－P (C )]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.10．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)， (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A — B — C —)＝P (A —)·P (B —)·P (C —)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C —)＋P (A B —C )＋P (A —BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)(3)可知P 1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大．[B 能力提升]11．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A ．316B ．34C ．1316D ．14解析：选C ．记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C —)P (D —)[1－P (AB )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：3413．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×(1－23)＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×(1－56)×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为(1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.14．(选做题)某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C 用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．解：(1)两个地区用户的满意度评分的茎叶图如图．通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，C A 2表示事件“A 地区用户的满意度等级为非常满意”，C B 1表示事件“B 地区用户的满意度等级为不满意”，C B 2表示事件“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2，P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2)＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2)．由所给数据，得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.。

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第二册训练：5.3.1 样本空间与事件课堂含解析第五章5。

3 5.3。

11．“抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，它落地时向上的数字是2”是(C)A．不可能现象B．必然现象C．随机现象D．无法确定［解析]抛掷一个均匀的正方体玩具（它的每一面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，它落地时向上的数字可能是1、2、3、4、5、6，故选C．2．“连续抛掷两个质地均匀的骰子，记录朝上的面的点数”，该试验的结果共有（D)A．6种B．12种C．24种D．36种［解析](1,1），(1，2），(1,3），（1，4)，（1，5),(1，6），（2，1）,（2，2）,(2，3),（2,4)，(2,5），(2,6），（3,1）,（3，2)，（3,3)，(3，4)，（3，5）,(3,6），(4,1)，（4,2），（4，3)，(4,4），（4，5)，（4，6）,（5,1）,（5,2），（5，3)，(5，4）,（5，5),（5,6）,(6,1)，（6，2)，(6，3）,（6，4)，(6，5)，（6，6)，共36种．3．有下列事件:①掷一枚硬币，出现反面；②实数的绝对值不小于零；③若a＞b，则b＜A．其中是随机事件的是(B) A．②B．①C．③D．②③[解析］掷一枚硬币,可能出现正面，也可能出现反面，故①是随机事件，②③是必然事件．4．一个盒子中装有8个完全相同的球,分别标上号码1、2、3、…、8，从中任取一个球，写出基本事件空间__Ω＝{1,2，3，4,5，6，7，8}__．［解析］记取得球的标号为i,则Ω＝｛1，2，3,…,8}．5．有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出该试验的样本空间．[解析］这个试验的样本空间为：Ω＝｛（1，1)，（1,2)，(1，3),（1，4)，（2,1)，(2，2）,(2,3)，（2,4)，（3,1），(3,2)，(3，3），（3,4),（4,1)，(4，2)，（4,3)，(4,4)}．攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。

10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。

发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。

思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.分析：因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分析：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},出问题，类比思考。

9.1.2分层随机抽样同步练习一．选择题1．要从1 000个球中抽取100个进行抽样分析，其中红球共有50个，如果用分层抽样的方法对球进行抽样，则应抽取红球()A．33个B．20个C．5个D．10个2．某校为了解高一学生的生涯规划情况，在高一年级6个班级中任选两个班级，并在所选的班级中按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是()A．简单随机抽样B．分层抽样C．先用分层抽样，再用随机数表法D．先用抽签法，再用分层抽样3．某校高中生共有900人，其中高一年级有300人，高二年级有200人，高三年级有400人，现采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()A．10，15，20B．15，15，15C．20，5，20D．15，10，20 4．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是()A．42名B．38名C．40名D．120名5．某中学有高中生3000人，初中生2000人，高中生中男生、女生人数之比为3:7，初中生中男生、女生人数之比为6:4，为了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为N的样本，已知从初中生中抽取男生12人，则从高中生中抽取的女生人数是()A．12B．15C．20D．216．某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为()A．8B．11C．16D．107．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2:1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是( ) A ．8B ．12C ．16D ．248．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依次为:3:2m ，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知A 种型号产品抽取了45件，则(m = )A ．1B ．2C ．3D ．49．某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用剔除个体，那么样本容量n 的最小值为( ) A ．6B ．12C ．18D ．2410．某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：其中::2:3:5a b c =，全校参与登山的人数占总人数的35，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取( ) A ．6人B ．12人C ．18人D ．24人11．（多选）某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2:5:3，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，则( ) A ．此样本的容量n 为20 B ．此样本的容量n 为80 C ．样本中B 型号产品有40件D ．样本中B 型号产品有24件12．（多选）某中学高一年级半期考试后将进行新高考首选科目的选择，每位同学必须在“物理”、“历史”中二选一，学校采用分层抽样的方法，抽取了该年级部分男、女学生选科意愿的一份样本，并根据统计结果绘制如右两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是( )A．该年级男生数量多于女生数量B．样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的数量C．样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数D．样本中对历史有意愿的女生人数多于对物理有意愿的女生人数13．（多选）甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，考生成绩都分布在[70，150]内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀，则下列说法正确的有()分组[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]甲校频数3481515x32乙校频数12891010y3 A．计算得10x=，7y=B．估计甲校优秀率为25%，乙校优秀率为40%C．估计甲校和乙校众数均为120D．估计乙校的数学平均成绩比甲校高二．填空题14．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检家．15．今年第6号台风“米克拉”于8月10日正面登陆福建，影响波及面较大，为做好民众的安全防护工作，当地政府及有关部门做了大量的宣传及预防工作，事后某自由媒体从A、B、C三个社区按社区人数之比4:4:3，采用分层抽样的方法抽取n位居民进行问卷检测，了解其对突发事件的防护等安全知识的掌握情况．若A社区抽取了20位居民，则n的值是．16．某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）:高一6 6.577.58高二6789101112高三3 4.567.5910.51213.5则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为．17．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取3%的学生进行调查，则样本容量为；抽取的高中生中近视的人数为．18．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别A B C 产品数量（件)1300样本容量130由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息填补表格中数据．9.1.2分层随机抽样同步练习答案1．解：要从1000个球中抽取100个进行抽样分析，其中红球共有50个，∴抽样比1001100010f==，用分层抽样的方法对球进行抽样，则应抽取红球：150510⨯=个．故选：C．2．解：某校为了解高一学生的生涯规划情况，在高一年级6个班级中任选两个班级，利用抽签法，并在所选的班级中按男女比例抽取样本，利用分层抽样法，∴应采用的抽样方法是先用抽签法，再用分层抽样．故选：D．3．解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为451 90020=，则在高一年级抽取的人数是13001520⨯=人，高二年级抽取的人数是12001020⨯=人，高三年级抽取的人数是14002020⨯==人，故选：D．4．解：C专业的学生有1200380420400--=，由分层抽样原理，应抽取400120401200⨯=名．故选：C．5．解：某中学有高中生3000人，初中生2000人，高中生中男生、女生人数之比为3:7，初中生中男生、女生人数之比为6:4，∴高中生男生有73000210037⨯=+人，初中男生有：62000120064⨯=+人，从初中生中抽取男生12人，设从高中生中抽取的女生人数为x，∴1221001200x=，解得21x=，故选：D．6．解：设高一学生有x 人，则高三有2x ，高二有300x +， 高一、高二、高三共有学生3500人，23003500x x x ∴+++=， 800x ∴=，按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本， ∴应抽取高一学生数为18008100⨯= 故选：A ．7．解：根据题意，绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2:1， 所以样本中绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比也为2:1， 所以绿色公共自行车的辆数为2362421⨯=+， 故选：D ．8．解：某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品， 其中某月生产的产品数量之比依次为:3:2m ， 现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，A 种型号产品抽取了45件，则4512032mk mk k k=++， 解得3m =． 故选：C ．9．解：总体容量6121836++=，则系统抽样的间隔为36n ，采用分层抽样的比例是36n，分层抽样乒乓球运动员人数为6366n n ⨯=，篮球运动员人数为12363n n⨯=，足球运动员人数为18362n n⨯=，可知n 应为6的倍数，36的约数，故样本容量最小的6n =． 故选：A ．10．解：根据题意可知样本中参与跑步的人数为2100405⨯=人，所以高二级参与跑步的学生中应抽取的人数为3401210⨯=人． 故选：B ．11．解：工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2:5:3， 现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，设样本为n ，则21680253kn k k k=÷=++，故A 错误，B 正确；样本中B 型号产品有：58040253kk k k⨯=++件，故C 正确，D 错误．故选：BC ．12．解：由图2知，样本中的女生数量多于男生数量， 样本中的男生、女生均偏爱理科，故A 错误，B 正确；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，故C 正确，D 错误， 故选：BC ．13．解：A ：甲校抽取的人数为：12001106012001000⨯=+人，乙校抽取人数为1106050-=人，所以348153260x ++++++=，解得10x =；同理可得12891010350y +++++++=可得7y =，所以A 正确；B ，由表可得甲校的优秀人数为32103215x ++=++=，所以优秀率为1525%60=， 乙校的优秀人数310731020y ++=++=，所以乙校的优秀率为2040%50=所以B 正确； C 甲的众数是105和115，乙的众数115和125，所以C 不正确；D ：甲校的平均成绩为10125135314523754858951051511515109.560⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，乙校的平均成绩为135314517528589591051011510125114.650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以D 正确， 故选：ABD ．14．解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检10027202010015⨯=++（家)．故答案为：20．15．解：根据分层抽样方法原理知， 204443n =++， 解得55n =， 所以n 的值是55． 故答案为：55．16．解：样本数据中该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为20614-=（人)，估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为1420014020⨯=（人)． 故答案为：140．17．解：样本容量为：(350020004500)3%300++⨯=； 抽取的高中生人数为：20003%50%30⨯⨯=． 故答案为：300；30．18．解：设样本的总容量为x ，则130********x⨯=， 300x ∴=．A ∴产品和C 产品在样本中共有300130170-=（件)．设C 产品的样本容量为y ， 则10170y y ++=，80y ∴=．C ∴产品的数量为300080800300⨯=． A 产品的数量为30001300800900--=．故：。

课时分层作业(九）事件的独立性(建议用时：60分钟）[基础达标练]一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数"；②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M:“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( )A．3个B．2个C．1个D．0个C［①中，M,N是互斥事件；②中,P（M）＝错误!，P(N）＝错误!。

即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M,N不是相互独立事件；③中，P（M)＝错误!，P（N)＝错误!,P(M∩N）＝错误!，P（M∩N)＝P(M)·P(N），因此M，N是相互独立事件．]2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!A[“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A,则P(A)＝错误!＝错误!，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝错误!＝错误!，事件A、B相互独立,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为错误!×错误!＝错误!，故选A。

]3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!A［问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝错误!;第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢,其概率P2＝错误!×错误!＝错误!。

故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝错误!。

]4．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响,那么其中恰有1人击中目标的概率是（）A．0。

章末质量检测(一) 计数原理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{1，－2，3}，N ＝{－4，5，6，－7}，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是( )A ．18B ．16C ．14D ．102．有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字，如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套，则不同的配套方法共有( )A ．7种B ．12种C ．64种D ．81种3.⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式中的常数项为( ) A ．120B ．160C ．200D ．2404．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是( ) A ．72B ．96 C ．144D ．2405．自2020年起，山东夏季高考成绩由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．若⎝⎛⎭⎫x －a x 6的展开式中含x 32项的系数为160，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．22D ．－2 27．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－40B ．40 C ．30D ．－308．“中国梦”的英文翻译为“Chinese Dream”，其中Chinese 又可以简写为CN ，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A ．360种B ．480种C ．600种D ．720种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．给出下列四个关系式，其中正确的为( )A ．n ！＝（n ＋1）！n ＋1B ．A m n ＝n A m －1n －1 C ．A m n ＝n ！（n －m ）！D ．A m －1n －1 ＝（n －1）！（m －n ）！ 10．下列有关排列数、组合数计算正确的是( )A ．C mn ＝A m n n ！B ．(n ＋2)(n ＋1)A m n ＝A m ＋2n ＋2C ．C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋…＋C 2100 ＝C 3101D ．C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 是一个常数11．二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，系数最大的项为( )A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项12．关于(a －b )11的说法，正确的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为2048 B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最大三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为________． 14．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有________种不同的选法．15．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．16．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我校学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位同学组成校“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同的组队方式有________种．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(2)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？18．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎫x －2x 10的展开式． (1)求展开式中含x 4项的系数；(2)如果第3r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，求r 的值．19.(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数． (1)A ，B 必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．20．(本小题满分12分)已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．21．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个，其中红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)如取1个红球记2分，1个白球记1分，从口袋中取5个球，总分不小于7的取法有多少种？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋x )n ，n ∈N *.(1)当n ＝8时，求展开式中系数的最大项．(2)化简C 0n 2n －1＋C 1n 2n －2＋C 2n 2n －3＋…＋C n n 2－1. (3)定义：∑i ＝1na i ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，化简：i ＝1n (i ＋1)C i n .章末质量检测(一)1．解析：分两类：第一类，M 中取横坐标，N 中取纵坐标，共有3×2＝6个第一、二象限内的点；第二类，M 中取纵坐标，N 中取横坐标，共有2×4＝8个第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，知共有6＋8＝14个不同的第一、二象限内的点．故选C.答案：C2．解析：要完成配套，分两步：第一步，取“迎”字，有4种不同取法；第二步，取“新”字，有3种不同取法，故有4×3＝12种不同的配套方法．故选B.答案：B3．解析：⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6 ·⎝⎛⎭⎫1x 6－k (2x )k ＝2k C k 6 x 2k －6，令2k －6＝0，解得k ＝3，所以展开式中的常数项为23×C 36 ＝160.故选B.答案：B4．解析：从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩余的2位男生插入到2位女生所形成的3个空隙中，所以共有A 24 A 22 A 33 ＝144种不同的排法．故选C.答案：C5．解析：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为C 23 C 13 ＝9种．故选D.答案：D6．解析：由二项式定理得展开式的通项T k ＋1＝C k 6x6－k⎝⎛⎭⎫－a x k＝C k 6 (－a )k x 6－32k ，令6－32k ＝32，得k ＝3，由C 36 (－a )3＝－20a 3＝160，得a ＝－2.故选B. 答案：B7．解析：(2x －y )5的展开式的通项为C k 5 (2x )5－k (－y )k ＝25－k (－1)k C k 5x 5－k y k .令5－k ＝1，得k ＝4，则x ·2·C 45 xy 4＝10x 2y 4；令5－k ＝2，得k ＝3，则y ·22·(－1)·C 35 x 2y 3＝－40x 2y 4.所以(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为10－40＝－30.故选D. 答案：D8．解析：从其他5个字母中任取4个，然后与“ea ”进行全排列，共有C 45 A 55 ＝600种，故选C.答案：C9．解析：由A m n ＝n ！（n －m ）！可知：A m －1n －1＝（n －1）！（n －m ）！，故D 不正确．A 、B 、C 均正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：A 错，A m n ＝C mn ·m ！；B 正确；C 错，应为C 3101 －1；D 正确，由组合数定义可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤n －2≤2n －1 （ⅰ）0≤2n －1≤n ＋1 （ⅱ）由(ⅰ)得n ≥2，由(ⅱ)得12≤n ≤2，所以n ＝2.所以C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 ＝C 03 ＋C 33 ＝2.所以B 、D 正确．答案：BD11．解析：二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项，所以系数最大的项为第六项和第七项．故选BC.答案：BC12．解析：(a －b )11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A 正确；因为n ＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确．故选AC.答案：AC13．解析：∵(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，∴2n －1＝32，即n ＝6，∴(1－2x )6展开式中的第4项为T 4＝C 36 13(－2x )3＝－160x 3. 答案：－160x 314．解析：可以分为三类，第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C 24 C 23 种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C 34 C 13 种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C 34 C 23 种选法．根据分类加法计数原理知，一共有C 24 C 23 ＋C 34 C 13 ＋C 34 C 23 ＝42种不同的选法．答案：4215．解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：162 516．解析：从五人中选四人有C 45 ＝5种选择方法，分类讨论：若所选四人为甲、乙、丙、丁，则有A 22 ×A 22 ＝4种组队方式；若所选四人为甲、乙、丙、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式；若所选四人为甲、乙、丁、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式； 若所选四人为甲、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式； 若所选四人为乙、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式．由分类加法计数原理得，不同的组队方式有4＋8＋8＋2＋2＝24种． 答案：2417．解析：(1)分三步：第1步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第2步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第3步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理可得，不同的选法种数为6×7×8＝336.(2)分三类，每类又分两步：第1类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同的选法；第2类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同的选法；第3类，从高二、高三两个年级各选1个班，有7×8种不同的选法，故不同的选法种数为6×7＋6×8＋7×8＝146.18．解析：(1)展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (－2)k x 10－32k，令10－32k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为C 410 (－2)4＝3 360.(2)第3r 项的二项式系数为C 3r －110 ，第r ＋2项的二项式系数为C r ＋110 ，∵C 3r －110 ＝C r ＋110 ，∴3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10， 解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1.19．解析：(1)除选出A ，B 外，从其他10个人中再选3人，选法数为C 310 ＝120.(2)按女生的选取情况分为四类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生，所有选法数为C 25 C 37 ＋C 35 C 27 ＋C 45 C 17 ＋C 55 ＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理知，所有选法数为C 17 ·C 15 ·A 310 ＝25 200.20．解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝⎛⎭⎫12x 2n －k⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k ⎝⎛⎭⎫12n －k C k n x 2n －5k2.(1)因为第9项为常数项，所以当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6⎝⎛⎭⎫124C 610 ＝1058.(3)要使2n －52k ，即4n －5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．21．解析：(1)满足条件的取法情况分为以下三类： 第一类，红球取4个，白球不取，取法有C 44 种；第二类，红球取3个，白球取1个，取法有C 34 C 16 种；第三类，红球取2个，白球取2个，取法有C 24 C 26 种．所以共有取法C 44 ＋C 34 C 16 ＋C 24 C 26 ＝115(种).(2)设取红球x 个，白球y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x ＋y ≥7，0≤x ≤4，0≤y ≤6，其正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.因此总分不小于7的取法可分为三类，不同的取法种数为C 24 C 36 ＋C 34 C 26 ＋C 44 C 16 ＝186.22．解析：(1)f (x )＝(1＋x )8，所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T 5＝C 48 x 4＝70x 4.(2)f (x )＝(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n ，所以原式＝12(C 0n 2n ＋C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋C n n 20) ＝12(1＋2)n ＝3n2. (3)∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ① ∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ， ② 在①，②添加C 0n ，则得1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ③ 1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋1C 0n ， ④ ③＋④得：2(1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n )＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝(n ＋2)2n ，所以∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋2)2n －1－1.。

7.3 球1.了解球的体积和表面积公式.(重点)2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. (难点)[基础·初探]教材整理 球阅读教材P 48“7.3 球”一节至P 49“例6”以上部分，完成下列问题. 1.球的体积：球的半径为R ，那么它的体积V 球＝43πR 3.2.球的表面积：球的半径为R ，那么它的表面积S 球面＝4πR 2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直径为d 的球的表面积S ＝4πd 2.( )(2)若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的半径扩大为原来的4倍.( ) (3)若球的半径变为原来的2倍，则球的体积变为原来的4倍.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[小组合作型]球的表面积与体积的计算已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心的距离等于3，且AC ＝BC＝2，AB ＝2，求球面面积与球的体积.【精彩点拨】 利用已知条件，结合球心与截面圆心连线垂直于截面而构成的直角三角形，求出半径，从而求出球的体积与表面积.【自主解答】 如图所示，设球心为O ，球半径为R ，作OO 1⊥平面ABC 于O 1，由于OA ＝OB ＝OC ＝R ，则O 1是△ABC 的外心.由AC ＝BC ＝2，AB ＝2，知△ABC 是AB 为斜边的直角三角形， ∴O 1是AB 的中点，在Rt△AOO 1中，OO 1＝3，O 1A ＝12AB ＝1，∴OA ＝2，即R ＝2，∴S 球面＝4πR 2＝16π，V 球＝43πR 3＝323π.1.球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求出球的半径.2.在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系d ＝R 2－r 2.[再练一题]1.过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积.【解】 如图，设截面圆的圆心为O 1，则OO 1⊥O 1A ，O 1A 为截面圆的半径，OA 为球的半径.∵48π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝48. 在Rt△AO 1O 中，OA 2＝O 1O 2＋O 1A 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＋48，∴R ＝8(cm)，∴S 球面＝4πR 2＝4π×64＝256π(cm 2)，V 球＝43πR 3＝2 0483π(cm 3).球的表面积及体积的应用一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？【导学号：39292055】【精彩点拨】 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决.【自主解答】 设△PAB 所在平面为轴截面，AB 为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h ，球取出后水面高PH ＝x ，如图所示.∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥的容积为V 圆锥＝13πAC 2·PC＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3. 球取出后水面下降到EF ，水的体积为V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan 30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r .1.画出截面图是解答本题的关键.2.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算.[再练一题]2.圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？【解】 设取出小球后，容器中水面下降h cm ，两个小球的体积为V 球＝2×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π3，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V ＝π×52×h ， 所以125π3＝π×52×h ，所以h ＝53(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53cm.[探究共研型]与球有关的切、接问题探究1【提示】 设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为32a ，故所求的比为1∶3 3.探究2 长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？【提示】 设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522， 所以S 球＝4πR 2＝50π.在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比. 【精彩点拨】 解答本题关键是找到球的半径与正方体的棱长间的关系，可通过正方体的对角面，也可将半球补成球，将其转化为球的内接长方体问题，找到球的半径与正方体棱长的关系后，再利用体积公式计算，进而作比即可.【自主解答】 法一：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么CC ′＝a ，OC ＝2a2，在Rt△C ′CO 中，由勾股定理，得CC ′2＋OC 2＝OC ′2， 即a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2a 22＝R 2，所以R ＝62a . 从而V 半球＝23πR 3＝23π⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 3＝62πa 3，V 正方体＝a 3.因此V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝6π∶2. 法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a ，球的半径为R ，则根据长方体的对角线性质，得(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2， 即4R 2＝6a 2，所以R ＝62a .从而V 半球＝23πR 3＝23π⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 3＝62πa 3，V 正方体＝a 3.因此V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝6π∶2.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系.[再练一题]3.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πa 2B.73πa 2C.113πa 2D.5πa 2【解析】 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝712a ，∴S ＝4πR 2＝4π×7a 212＝7π3a 2. 【答案】 B1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.12B.1C.2D.3 【解析】 由题设球半径为r ，则4πr 2＝43πr 3，可得r ＝3，故选D.【答案】 D2.表面积为Q 的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为( )A.13QB.QC.43Q D.2Q 【解析】 4πR 2＝64π⇒R ＝4，∴V ＝13QR ＝43Q ，故选C.【答案】 C3.已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________.【解析】 设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝13R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13R 2，即R 2＝98.由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝9π2.【答案】9π24.已知正四棱锥O ­ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.【导学号：39292056】【解析】 过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心.由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S＝4πR 2＝24π.【答案】 24π5.某几何体的三视图如图1­7­31所示(单位：m)：图1­7­31(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π).【解】 由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体.(1)该几何体的表面积为S ＝2πR 2＋6×2×2－π×R 2＝π＋24(m 2).(2)该几何体的体积为V ＝12×43πR 3＋23＝23π＋8(m 3).。

2019-2020年高中数学第一册(上)二项式定理教学实录1. 教材分析1.1 教材内容《二项式定理》是高中《代数》下册最后一章（必学）的一个单元. 本课是该单元的第一课，学习该课之前，同学们已基本上学习过高中数学的其它内容，特别是学习了与本课程有关的乘法公式中的平方、立方公式，多项式乘法，数学归纳法，排列组合，组合数公式，组合数性质. 本节课主要通过归纳二次展开式的系数和字母结构的规律猜证二项式定理，并对二项式定理进行初步应用.1.2 地位与作用二项式定理是《二项式定理》这个单元的主要内容. 只有学习二项式定理，才能进而学习二项式系数的性质和应用. 二项式定理的应用主要有：求二项展开式或求某特定项；求组合的和和证明组合恒等式；证明不等式；近似计算. 二项式定理与数列等知识可组成综合性题目. 近年高考试题中，不乏涉及到二项式定理的题目.通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，进一步掌握数学归纳法，感受体验数学美.1.3 重点、难点重点：猜证二项式定理.难点：求的展开式和归纳二项展开式的系数规律.2. 教学目标2.1 知识目标掌握的展开式，知道二项式定理的数学归纳法证明. 在教学过程中，让学生树立和掌握归纳思想和数学归纳法等数学思想和方法.2.2 能力目标培养学生分析、归纳、演绎能力，猜证能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力，以及由特殊到一般，内一般到特殊的哲学思想.2.3 感情目标对学生进行爱国主义教育，激发学生奋发图强、振兴中华的爱国热情. 通过对二项展开式的教学，使学生感受和体验公式的简洁美、和谐美和对称美等数学美.3. 教学方法3.1 教法本课采用“过程教学法”，让学生参与和经历全课的思维过程. 另外，利用计算机辅助教学，便利师生交流，增大师生互动频率密度.3.2 学法采用“导学法”. 学生在教师的引导下，积极参与，积极思考，发现规律，归纳总结规律.4. 教学过程与自我评述（以下T为教师，S为学生，C为电脑显示）4.1 复习引入C,T：4个容器中有红、白玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？S,C：取法及取法种数——都不取白球（全取红球）：；取一个白球（1白3红）：；取2个白球（2白2红）：；取3个白球（3白1红）：；取4个白球（无红球）：.T：取法种数再次验证组合数性质：. 顺便问一问，组合数的另一个性质是什么？S：T：不作多项式运算，用组合知识来考察，展开，展开式中有哪些项？各项系数是什么？S：都不取；取1个；取2个；取3个；取4个，各项系数分别是，，，， .T：这两个问题的本质是一样的，只是表达形式不同. “取球”问题具体一点，的乘法抽象一点.T,C：＝＝评述：求的展开式是本课的难点之一. 在二项式教学中，它起到承上启下的作用. 在这里，通过设计学生比较熟悉的“取球”问题，联系、类比到的展开式，既分解了难度，又为二项式定理教学打下基础.4.2 点明课题T：我们学习过平方公式和立方公式，这两个公式以及的展开式就是今天学习的二项式定理的特殊形式.T,C：……4.3 猜想二项式定理T：二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律.C：1. 系数的规律T：下面是，，各项的系数，试观察分析其规律.C: 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1S1：每行的两端相等，都是1.S2：与首末等距离的两项也相等，中间一项或两项最大.T：上下两行有什么关系？S3：下一行的第二个数等于上行第一、二个数的和，第三个数等于上行第二、三个数的和……T：对. 下一行除1次外的每个数都等于它肩上两个数的和. 根据这两条规律，大家能写出，的系数吗？S： 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1C： 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1T：上面这个表称杨辉三角，它是宋朝数学家杨辉的杰作. 杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它比欧洲人称为帕斯卡三角要早四百多年. 当幂指数较小时，应用杨辉三角非常简便. 但当较大时，它就表现一定的局限性. 如时，要依赖展开式的各项系数. 而且展开式的系数，也不好用类似的数字表达. 要解决这个问题，同学们从展开式的系数得到什么启示吗？S,C ： —— ，，，，—— ，，，，，T ： 你能猜想展开式的系数吗？S,C ： —— ，， ……C ： 2. 关于字母及其幂指数的规律T ： 同学们通过观察展开式，能否发现、的结构规律？S ： 的指数由4逐一减少到0；而的指数内0逐一增加到4. 每一项、的指数和都是4，即，，，，.T ： 据此，请说出的展开式.S,C ：T ： 那么在的展开式中，大家能猜想出、的指数规律吗？S,C ：、的指数规律——的指数，从逐一减少到0，且等于组合数的下标－上标；的指数，从0逐一增加到，且等于组合数的上标. 每一项的指数与的指数之和等于.T ： 牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”请大家大胆地猜想二项式定理.S,C ：猜想：.评述：1.认识事物的规律，遵循由特殊到一般的归纳过程. 在这里，考察二项展开式的系数和字母结构，猜想二项式定理，就是这样的认识过程. 归纳思想是一个重要的数学思想，提高学生的归纳能力，是本课教学的一个重点.2.如何将杨辉三角表示的二项式系数转换到用组合数来表达，课前复习中导出的起到了很好的联系作用. 有了这个转化，就可以进而猜想出二项式的系数.3.杨辉三角是我国数学发展史的一个亮点，是中国作为文明古国的一个例证. 以光荣史实作为题材，对学生进行爱国主义教育，也是数学教学的一个任务.4.4 证明二项式定理T ： 大胆猜想，科学求证. 下面我们用数学归纳法证明二项式定理.T,C ：证明：（1）略（2）假设当时等式成立，即则当时T ： 我们在变换之前，应该先明确证明目标：S,C ：T ： 对，这是我们要证明的目标. 对照这个目标，需要作多项式的乘法. 下面请同学们进行乘法运算. 乘完后，看有什么情况？如何处理才能一步一步向证明目标靠拢？（待学生运算结束后）T ： 大家发现有什么情况？S ： ，，……，，……，各有两项，，各有一项.T ： 对，如何处理同类项？S ： 合并同类项.T,C ：1110+-+-++++++k k k k k k r r k r k k kb ab b a b a C C C C ++++=- b a a k k k r k kC C C )(010T ： 请同学们观察合并的系数与证明目标中的系数有什么关系？S,C ：理应相等，即应有：，，……，，……，，T ： 上面诸等式成立的依据是什么？S ： 组合数性质——T,C ：应用组合数性质：以及，则得到+++++-+++ 111111r r k k k k k b a b a C C （以下证明略） 评述：1.在数学归纳法证明过程中，在证明当时命题成立之前，往往先列出证明目标，这样做，目标明确，少走弯路.2.此处证明应用组合数性质：，在复习时已提到过，也算是前呼后应.4.5 对公式的再认识T,S,C ：1.通项公式：2.规律：（1）项数：项（2）二项式系数：，即，，……，，与首末等距离的两项的二项式系数相等.（3）、的指数（略）4.6 公式的初步应用【学生练习】1. 写出的展开式（解略）2. 写出的展开式（略）3. 写出的展开式（略）4. 求展开式中的第3项解：2422242632160)9)(16(15)3()2(b a b a b a C T ===5. 求展开式中的第3项解：424242634860)4)(81(15)2()3(b a a b a b C T ===T ： 比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？S ： 公式中的、不能互换.T ： 对. 求整个展开式，、可以互换，但求某一项时，、不能互换.T ： 第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？ S ： 15，2160. 两者不同.T ： 是的. “二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别.4.7 小结T,C ：1.本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理.2.数学思想和方法是数学的灵魂. 本课教学突出归纳思想和数学归纳法.3.二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律.4.二项式定理体现了数学美：简洁美、和谐美、对称美.4.8 作业（略）。

微专题90 取球问题一、基础知识：在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。

2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。

5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。

二、典型例题：例1：一袋中有6个黑球，4个白球（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X 的分布列，期望和方差（1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。

第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为6598⋅，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为3698⋅，从而能够得到第三次取到黑球的概率解：设事件A 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”()65364829898723P A ∴=⋅+⋅== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为69解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”()23P B ∴=（3）思路：本问依然属于独立重复试验模型，X 的取值为0,1,2,3，则X 符合二项分布，即23,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列 解：X 的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭()30332705125P X C ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ ()2133254155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()12233236255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()3332835125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭23,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭26355EX ∴=⋅= 231835525DX =⋅⋅=例2：已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球 （1）求取出的4个球中没有红球的概率 （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率（1）设事件i A 为“甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“乙盒中取出j 个红球”则()()2213332246,i i j ji j C C C C P A P B C C --== 设事件A 为“4个球中没有红球”则()()()0202133300224633161510C C C C P A P A P B C C =⋅=⋅=⋅=（2）设事件B 为“4个球中恰有1个红球”()()()0211110213331333011022224646393326156155C C C C C C C C P B P A B P A B C C C C ∴=+=⋅+⋅=⋅+⋅= （3）ξ可取的值为0,1,2,3()()1010P P A ξ∴===()()215P P B ξ=== ()()()0220111113331333021122224646225C C C C C C C C P P A B P A B C C C C ξ==+=⋅+⋅= ()()11021333122246331361510C C C C P P A B C C ξ===⋅=⋅=ξ∴的分布列为：01231055102E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=例3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．解：（1）设事件A 为“两只手中所取的球颜色不同”，则A 为“两只手中所取的球颜色相同”()()2333432119999993P A P A ⎛⎫=-=-⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）X 可取的值为0,1,2左手取球成功的概率222234129518C C C P C ++== 右手取球成功的概率22233322914C C C P C ++==()511301118424P X ⎛⎫⎛⎫∴==-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5151711118418418P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()515218472P X ==⋅=X ∴的分布列为01224187236EX ∴=⨯+⨯+⨯= 例4：袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率（2）记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望（1）思路：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四次中一共摸到3次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球。