[高中数学]立体几何.球专题讲义

专题2多面体的外接球第一讲长方体切割体的外接球a，b，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形．图4中，22222222222222222222228a b BCAD BCAB CD b c AC a b c RAC BD c a ABααβγαβγβγ⎧+===⎫⎪++++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩,abcabcabcV BCDA31461=⨯-=-．【例1】在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA===,则这个球的表面积是．【例2】在三棱锥BCDA-中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC∆、ACD∆、ADB∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥BCDA-的外接球的体积为（）A．6πB．26πC．36πD．46π【例3】如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，2===⊥⊥BCABDABCABABCDA，，面,则球O的体积等于．【例4】四面体BCDA-中，5==CDAB，34==BDAC，41==BCAD，则四面体BCDA-外接球的表面积为（）A．π50B．π100C．π150D．π200础自测1．三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，BC AC ⊥，1==BC AC ，3=PA ，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．π5B ．π2C ．π20D ．π42．在三棱锥ABC P -中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（）A ．π8B ．π12C ．π26D ．π243．已知三棱锥ABC P -的顶点都在球O 的表面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则球O 的体积为（）A ．π312B ．π28C ．π34D ．π44．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，4=AC ，三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．π8B ．π12C ．π20D ．π245．已知三棱锥ABC P -的各顶点都在同一球面上，且⊥PA 平面ABC ，若该棱锥的体积为332，2=AB ，1=AC ，︒=∠60BAC ，则此球的表面积等于（）A ．π5B ．π8C ．π16D ．π206．已知三棱锥ABC S -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且1===SC SB SA ，2===AC BC AB ，则球的表面积为（）A ．π12B ．π8C ．π4D ．π37．三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，1=PA ，4=+PC PB ，当三棱锥的体积最大时，球O 的体积为（）A ．π36B ．π9C ．29πD ．49π8．如图所示，平面四边形ABCD 中，2===CD AD AB ，22=BD ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．π328B ．π24C ．π34D ．π12第二讲三棱柱的切割体的外接球⇒图1立着放的模型图2躺着放的模型图1：立着放的模型一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形非直角三角形，将重垂线长度设为h ，底面三角形外接圆半径设为r ，A a r sin 2=可以求出，则222⎪⎭⎫⎝⎛+=h r R ；图2：躺着放的模型，底面是直角三角形或者矩形，侧面非直角三角形，底面一条棱垂直于侧面，222⎪⎭⎫⎝⎛+=h r R ．【例5】如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，3=AB ，︒=∠60ACB ，︒=∠90BCD ，CD AB ⊥，22=CD ，则该球的体积为．【例6】已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．π8B ．π16C ．π32D ．π649．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A ．320πB ．π8C ．π9D ．319π10．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．π34B ．π32C ．π24D ．π2211．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，三角形BCD 是边长为3的等边三角形，若4=AB ，则球O 的表面积为（）A ．π36B ．π28C ．π16D ．π4第9题图第10题图第12题图第13题图12．已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为32π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．π20B ．π17C ．π16D ．π813．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．π27B ．π48C ．π64D ．π8114．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，62==AB AD ，则该球的体积为（）A ．π332B ．π48C ．π24D ．π16第三讲切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）图1BCAB BAC PAC ⊥⊥,面图2底面ABC 固定，P 在球面上运动，ABC P V -最值问题图1：由图可知，小圆ABC 直径AC 长可以求出，平面PAC 必在大圆上，由AaR sin 2=，解出R ．图2：先根据Aar sin 2=求出底面圆的直径MN ，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算出P 到底面距离的最大值和最小值．双半径单交线公式：4222212l R R R -+=2122212122D O E O D O OO OD R +=+==4)21()(222212122221222l R R D O BC C O D O CE C O -+=+-=+-=注意：常见的切瓜模型中，一旦出现21l R =或22lR =时，则2R R =或1R R =．双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为1R 和2R ，两半平面交线长度为l ，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是︒90时，此公式将不再适用．【例7】某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A ．π12B ．π16C ．π20D ．π24【例8】已知三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足3==BC AB ，3=AC ，若该三棱锥体积的最大值为433，则其外接球的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．3215．矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体BCDA -的外接球的体积为（）A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π312516．点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，2==BC AB ，2=AC ，若球的表面积为π425，则四面体ABCD 体积最大值为（）A ．41B ．21C ．32D ．217．在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，2==SC SA ，平面⊥SAC 平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为（）A ．π316B ．π8C ．π38D ．π418．如图所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为（）A ．π4B ．π12C ．π16D ．π36第4题图第5题图19．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A ．π33B ．πC ．π326D ．π27332第四讲全等三角形折叠模型作二面角剖面⇒作二面角剖面⇒题设：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角α='∠EC A ,h E A CE ='=如图，作左图的二面角剖面图如右图：1H 和2H 分别为BD A BCD '∆∆,外心，BCDBDr CH ∠==sin 21，r hEH -=1，()2tan1αr h OH -=，故()2tan 222212122αr h r CH OH OC R -+=+==．凡是有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面图，对剖面图进行分析时，利用圆内接四边形和三角形性质，可以求出外接球半径，特殊情况要用CcB b A a R sin sin sin 2===进行处理．【例9】已知菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ，3=AB ，对角线AC 与BD 的交点为O ，把菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得︒=∠90AOC ，则折得的几何体的外接球的表面积为（）A ．π15B ．215πC ．27πD ．π7【例10】在三棱锥ABC P -中，2====BC AC PB PA ，32=AB ，1=PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（）A ．34πB ．π4C ．π12D ．352π【例11】在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线AC 折成二面角D AC B --为 120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为．第五讲等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体凡是遇到直角三角形，通常要转换直角顶点，因为直径所对的圆周角为直角，故可将直角顶点转换为共斜边的直角三角形直角顶点，如下图左：ABC △以斜边BC 为交线与其它平面形成的二面角可以转换为平面DBC 与其它平面构成的二面角．作二面角剖面⇒如上图中，ABC △为等腰三角形，且AC AB =，DBC △是以BC 为斜边的△Rt ，D BC A --二面角为α，令ABC △的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC △的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R 满足以下恒等式()21222221212sin r r h R E O OO OE +⎪⎭⎫⎝⎛-==+=α．【例12】在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为．第六讲剖面图转化定理：剖面图一致的外接球一定一致两个等腰三角形（不全等）共底边的二面角，或等腰三角形底边与直角三角形直角边为公共边构成的二面角模型如图6：设二面角α=∠AED ，1h AE =，2h DE =，ABC ∆外接圆半径1r ，DBC △外接圆半径2r ，延长AE 交球于F ,DE 交球于G ，作如图6的二面角剖面图如图7所示，根据相交弦定理ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若DE AE =或者GE AE =，则和全等等腰三角形共底边完全一样，利用公式()2tan 2222αr h r R -+=秒杀．（备注：若︒=∠60BAC ，则EF AE 3=，若︒=∠120BAC ，则EF AE 31=）如图8：CD 为BCD Rt ∆的斜边，设二面角α=∠1AED ，1h AE =，21h E D =，ABC △外接圆的半径为1r ，DBC △外接圆的半径为22CDr =，221r h E O -=，延长AE 交球于F ，E D 1交球于G ，作如图8的二面角剖面图如图9所示，根据相交弦定理1ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若E D AE 1=或者GE AE =，利用公式()2tan 2222αr h r R -+=秒杀．【例13】（2018•全国四模）已知三棱锥ABC D -所有顶点都在球O 的球面上，ABC △为边长为32的正三角形，ABD △是以BD 为斜边的直角三角形，且2=AD ，二面角D AB C --为︒120，则球O 的表面积（）A ．3148πB ．π28C ．337πD ．π36【例14】（2018•全国一模）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A ．π4B ．π8C ．π16D ．π32【例15】（2018•长郡期末）四面体BCD A -中，︒=∠=∠=∠60CBD ABD ABC ，3=AB ，2==DB CB ．则此四面体外接球的表面积为（）A ．219πB ．243819πC ．π17D ．61717π第七讲含二面角的外接球终极公式双距离单交线公式：4sin cos 222222l mn n m R +-+=αα如右图，若空间四边形ABCD 中，二面角D AB C --的平面角大小为α，ABD 的外接圆圆心为1O ，ABC 的外接圆圆心为2O ，E 为公共弦AB 中点，则α=∠21EO O ，m E O =1，n E O =2，2lAE =，R OA =，由于21O E O O 、、、四点共圆，且αsin 221O O R OE ='=，根据余弦定理αcos 222221mn n m O O -+=，4sin cos 22222222l mn n m AE OE R +-+=+=αα．注意：此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离，通常是，剖面图能很快判断出两条相等弦的优先使用公式()2tan 2222αr h r R -+=．下面以此公式来解答一下前面出现的例题：【例12】在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为．【例13】（2018•全国四模）已知三棱锥ABC D -所有顶点都在球O 的球面上，ABC △为边长为32的正三角形，ABD △是以BD 为斜边的直角三角形，且2=AD ，二面角D AB C --为︒120，则球O 的表面积为（）A ．3148πB ．π28C ．337πD ．π36【例14】（2018•全国一模）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A ．π4B ．π8C ．π16D ．π32达标训练1．（2019•潮州二模）如图，四棱锥E ABCD -中，正方形ABCD 的边长为2，ABE ∆为E 为直角顶点的等腰三角形，平面ABE ⊥平面ABCD ，则该几何体外接球的表面积为（）A ．12πB ．62πC ．22πD ．8π第1题图第5题图2．（2019•安徽模拟）在三棱锥E ABD -中，已知1,3AB DA ==，三角形BDE 是边长为2的正三角形，则三棱锥E ABD -的外接球的最小表面积为（）A ．233πB ．833πC ．163πD ．32327π3．（2019•成都模拟）三棱柱111ABC A B C -中，棱AB ，AC ，1AA 两两垂直，AB AC =，且三棱柱的侧面积21，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 表面积的最小值为（）A ．πB 2πC ．2πD ．4π4．（2019•河北二模）已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π5．（2019•莆田二模）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，23AB =2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π6．（2019•南关月考）在四面体ABCD 中，若3AB CD ==2AC BD ==，5AD BC ==则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π7．（2019•武侯模拟）在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π8．（2019•深圳模拟）如右图所示，1AA ，1BB 均垂直于平面ABC 和平面111A B C ，11190BAC A B C ∠=∠=︒，AC AB =1112AC AB A A B C ====，则多面体111ABC A B C -的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π9．（2018•金牛模拟）已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD ∆折起使A位于新位置A '，且3A C '=，则三棱锥A BCD '-的外接球的表面积为（）A ．529πB ．509πC ．6πD ．25π10．（2019•渝水月考）已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2AB =，3BC =32PA PB ==面角P AB C --的大小为150︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A ．100πB ．108πC ．110πD ．111π11．（2018•临川期末）在三棱锥S ABC -中，2AB BC ==2SA SC AC ===，二面角S AC B --的余弦值是33，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（）A ．32πB ．2πC 6πD ．6π12．（2018•黄州三模）如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰Rt △，2AB =BAD CBD∠=∠2π=，且二面角A BD C --的大小为56π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．20πC ．24πD ．36π13．已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为（）12题图13题图14题图A ．π48B ．π52C ．3172πD ．3196π14．（2019•河北一模）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A ．8πB ．9πC ．414πD 41π15．（2019•黄山一模）已知三棱锥A BCD -，6BC =，且ABC ∆、BCD ∆均为等边三角形，二面角A BC D--的平面角为60︒，则三棱锥外接球的表面积是．16．（2019•城关月考）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，32AB BC ==侧面PAC 为正三角形，且顶点P在底面上的射影落在ABC ∆的重心G 上，则该三棱锥的外接球的表面积为．17．（2019•宝鸡一模）已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB CD a ==，5AC AD BC BD ====，则a =．18．（2018•南平一模）在三棱锥P ABC -中，3AB BC AC ===，PAC PAB ∠=∠，2PA =，PA 与平面ABC所成角的余弦值为33，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为．。

高中数学知识点总结立体几何中的球面与球体表面积计算高中数学知识点总结——立体几何中的球面与球体表面积计算立体几何是数学中一个重要的分支，其中球面和球体的表面积计算是其基本内容之一。

在本文中，我们将对高中数学中与立体几何相关的球面和球体表面积计算进行总结。

1. 球面的表面积计算在立体几何中，球面是由一个半径为r的圆绕其直径旋转而形成的。

为了计算球面的表面积，我们可以使用下述公式：S = 4πr²其中，S表示球面的表面积，π近似取3.14，r表示球的半径。

2. 球体的表面积计算球体是由一个半径为r的圆绕其直径旋转而形成的三维图形。

为了计算球体的表面积，我们可以使用下述公式：S = 4πr²其中，S表示球体的表面积，π近似取3.14，r表示球的半径。

需要注意的是，球体的表面积实际上等于球面的表面积的两倍。

3. 实例演算为了更好地理解和应用上述公式，我们通过一个实例来进行演算。

假设有一个半径为5cm的球体，我们首先计算球面的表面积：S = 4π(5)²≈ 4π(25)≈ 100π≈ 100 × 3.14≈ 314 cm²因此，该球体的球面的表面积约为314平方厘米。

接下来，我们计算球体的表面积：S = 4π(5)²≈ 4π(25)≈ 100π≈ 100 × 3.14≈ 314 cm²由于球体的表面积是球面的表面积的两倍，因此该球体的表面积约为628平方厘米。

4. 总结通过本文的总结，我们了解到在立体几何中，球面和球体的表面积计算是一个重要的知识点。

我们可以通过简单的公式进行计算，其中球面的表面积公式为S = 4πr²，球体的表面积则是球面表面积的两倍。

在实际应用中，我们可以根据给定的半径来计算球面和球体的表面积，以便更好地理解和应用立体几何的知识。

通过本文的学习，相信读者对立体几何中的球面和球体表面积计算有了更清晰的认识。

一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中,这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。

棱柱1。

1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1。

2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1。

4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。

1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。

立体几何中的球面与球体的性质球面与球体是立体几何中重要的概念，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将详细论述球面和球体的性质，包括定义、特点以及相关公式和定理。

一、球面的性质球面是由空间中所有与给定点距离相等的点组成的曲面。

在数学中，球面可以用数学方程表示，如二次曲面方程:(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2其中，(a, b, c)为球心坐标，r为球的半径。

可以看出，球面与球心之间的距离在任意一点上都相等。

1.1 球面的特点球面上的所有点到球心的距离都相等，这是球面最基本的性质。

球面是完全对称的，具有无限多个点。

1.2 球面的公式根据球面的定义和特点，可以得到一些与球面相关的公式：- 球面上任意两点的距离公式为：d = √[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2]其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别为球面上的两个点坐标。

- 球面的面积公式为：A = 4πr^2其中，r为球的半径。

- 球面的体积公式为：V = (4/3)πr^3二、球体的性质球体是由空间中所有与给定点距离不超过半径的点组成的立体。

球体是由球面所围成的空间，具有立体的特点。

2.1 球体的特点球体是具有三维空间形状的几何体，与球面相比，球体包含了球面内的所有点，并扩展到球面以外的点。

球体的表面称为球面，球体的内部称为球体的体积。

2.2 球体的公式根据球体的定义和特点，可以得到一些与球体相关的公式：- 球体的表面积公式为：S = 4πr^2其中，r为球体的半径。

- 球体的体积公式为：V = (4/3)πr^3其中，r为球体的半径。

三、球面与球体的关系球面和球体是密切相关的几何概念，它们的性质有许多相似之处。

3.1 共同特点球面和球体都具有完全的对称性，球面上每个点到球心的距离均相等，球体内任意一点到球心的距离都不超过球体的半径。

3.2 共同公式球面和球体的面积和体积公式均以半径为主要参数，可以通过半径的大小计算出。

高中数学竞赛标准讲义：第12章：立体几何2021高中数学竞赛标准讲义：第十二章：立体几何一、基础知识公理1 一条直线。

上如果有两个不同的点在平面。

内．则这条直线在这个平面内，记作：a?a．公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。

即不共线的三点确定一个平面．推论l 直线与直线外一点确定一个平面．推论2 两条相交直线确定一个平面．推论3 两条平行直线确定一个平面．公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4 (三垂线定理)若d为平面。

13.2球的体积和表面积一、球的体积与表面积1.球的体积设球的半径为/?，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数•事实上，如果球的半径为R,那么它的体积V= ____________ .2.球的表面积设球的半径为/?，它的表而积由半径R唯一确定,即它的表而积S是以/?为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积S= _____________ .二、球的截面1.球的截面在解决球的相关计算问题中的作用（1）当截而过球心时，截而圆的半径即球的半径，此时球的截而就是球的大圆：（2）当截而不过球心时，截而圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆•2.球的截面的性质（1）球心和截面圆心的连线垂直于截而：（2）球心到截而的距离〃与球的半径R及截而圆的半径「之间满足关系式：d = jF~~F .三、球的切、接问题（常见结论）1/3（I ）若正方体的棱长为"，则正方体的内切球半径是-«：正方体的外接球半径是—a ；与正方体所 正四面体所有棱相切的球的半径是—U.4（4） 球与圆柱的底而和侧而均相切，则球的宜径等于圆柱的髙，也等于圆柱底面圆的直径.（5） 球与圆台的底而与侧而均相切，则球的宜径等于圆台的髙.K 知识参考答案：运 0∙κ< •冷越：。

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鑑：：：晅「趨晅 T 邃・y sg φ *⅛.∙Φ< .≡= «「•曜一.1. — π/?'32. 4πR 2晅.85Sg 「隹「龜 V 晅CSf . ≡≡ 晅「•總 ≡ ⅛°-*3g.o ⅛ .≡≡ S -4.ag 隹重点K —重点：球的体积和表而积.K —难点：球的截而问题、球与几何体的切、接问题.K —易错：空间能力想象不足、考虑不全出错等.1. K 亟点——球的体积与表面积确泄一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表而枳和体积：反之，已知球 的体积或表面积也可以求其半径.仞Il 若球的表而积膨胀为原来的3倍，则膨胀后的球的体积为原来的A. √J 倍 B, 2√5倍（2）若长方体的长、宽、髙分别为a , b, h,则长方体的外接球半径是-ψι2+b 2+h 2 .C. 3√J 倍【答案】C 【解析】设球的半径几则球的表而积为曲’球的体积为卩，膨胀后球的表面积为W,球故选C.D. 4倍的半径为√3r ,膨胀后球的体积为丰（屈『，⅛（√3r）5"胀后球的体积变成了原来的毛厂如,33 【名师点睛】本题是基础题，考查的是球的体积的汁算，考查了讣算能力•求解时，设出球的半径，求岀 膨胀后球的半径，即可得到体积比.2. K 难点——球的截面问题当截而过球心时，截而圆的半径即球的半径，此时球的截而就是球的大圆；当截而不过球心时，截而圆 的半径小于球的半径，此时球的截而就是球的小圆.【答案】B【解析】设球O 的半径为R,则R 寸十（妁2二0 故％二扌应=4厉7T.故选B-【技巧点拨】（I ）解题时，利用平而α截球O 的球而所得圆的半径为1,球心O 到平而α的距离为JΣ, 求出球的半径，然后求解球的体积.（2）对于球的截面问题，注意：①球心和截而圆心的连线垂直于截而：②球心到截而的距离d 与球的半 径/?及截面圆的半径,•之间满足关系式：d =Q∣e -F .3. K 难点——球与几何体的切、接问题解决几何体的内切球问题：（1）找过切点和球心的截而：（2）体积法•解决几何体的外接球问题：（1）由球心和几何体抽象得出新几何体：（2）找过球心的截而.W3某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为平面α截球O 的球而所得圆的半径为1,球心O 到平面 a.的距藹为J∑,则此球的体积为D. 6y∕3π125√2---- 兀3【答案】DIWl由三视图可知，此几何体为三棱柱的切割体，由于保留了大部分顶点，所以其外接球即为原三棱柱外接球，由于底面为直角三角形，所以该外接球是以此三棱柱底面直角边为长和寛，以此三棱柱的高为高的长方体的外接球，由长方体外接球半径公式可得；―叱y冬所以体积为2 2125√2+. _ C—;—冗-故选D-3【归纳总结】球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长：(2)正四而体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3： 1：(3)直棱柱的外接球：找岀直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球•特别地，宜三棱柱的外接球的球心是上、下底而三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧而均相切，则球的直径等于圆柱的髙，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底而和侧而均相切，则球的直径等于圆台的髙.求解本题时，由三视图可知此空间几何体为三棱柱的切割体，相对于原三棱柱，只缺失了一个顶点，所以此几何体的外接球即为三棱柱外接球，由于底面为直角三角形，所以该外接球可转化为长方体外接球，进而求岀体枳.4.K易错——问题考虑不全面出错例4已知半径为10的球的两个平行截而圆的周长分别是12π和16π,则这两个截而圆间的距离为_________ •【错解】如图(1)，设球的大圆为圆O, C, D分别为两截而圆的圆心，AB为经过点C, O, D的直径，由题中条件可得两截而圆的半径分别为6和8•在RtΔCOf中，OC = √102 - 62 = 8.在RtΔDOF中，OD= √102-82 = 6•所以C»OC-0*8-6=2,故这两个截而圆间的距离为2.【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误•事实上，两个平行截而既可B. 2π以在球心的冋侧，也可以在球心的两侧.B. 2πA. 2πT 【正解】如上图，设球的大圆为圆O, G D 为两截面圆的圆心…炉为经过点C, O, D 的直径，由题 中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，如1(1), CD = OC-OD= √102-62 -√102 -82= 2 ；当两截面在球心两侧时J 如g(2); CD = OC^OD= √102-62 + √102-S 2 =14.综上可知，两截面Sl 间的距禽対2或14. 蔭好题1.若两个球的表而积之比为1 ： 4,则这两个球的体积之比为A. 1 ： 2B. 1：4C. 1 ： 8 D ・ 1 ： 162.将直径为2的半圆绕宜径所在的直线旋转半周而形成的曲面所用成的几何体的表而积为A. 2πB. 3πC. 4兀D. 6π3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为F — 2 --- H 1 2 —IIE 视图 値段图(2)3 4. 一个长方体共一顶点的三条棱长分别是JE√1 W ,这个长方体的八个顶点都在同一个球而上，则这个 球的表而积是A. 12πB. 18πC. 36π D ・ 6兀5. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几 何体的外接球的表而积是A. 12冗B. 4^3πC. 3πD. 12>∕3π6. 圆柱形容器的内壁底而半径是IOCm,有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器 的水面下降了」cm,则这个铁球的表而积为3A. 50π cm 2B. 500πcm 2C 500π 7 c ■ cc β>C. ----- Cm-D. 100TΓCIYΓ37. 表而积为兀的球的体积为 ___________ .8. 若球的表面积为16兀，则与球心距离为的平而截球所得的圆而而枳为 ____________ •9. 在球而上有四个点几A 、B 、C,如果用、PB 、PC 两两垂直且PA=PB=PC=t h 求这个球的体积.D ・4兀10.如图是某几何体的三视图.B. 2π(1)求该几何体外接球的体积:(2)求该几何体内切球的半径.饨力11・等体积的球与正方体，它们的表而积的大小关系是A. S球＞Sj E方体B. S球=S iE方体C. S球VS正方体D.不能确定12.—个球被两个平行平而截后所得几何体形如我国的一种民族打击乐器“鼓”，该“鼓"的三视图如图所示,则球的表而积为A・5π B. 10πC ・20兀D ・4√5π13. 已知直三棱柱ABC-A i B i C l 的6个顶点都在球。

高中数学必修2立体几何知识点1.1柱、锥、台、球的结构特征，定义，性质棱柱：棱锥：棱台：圆柱：圆锥：圆台：球：1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2斜二测画法的步骤：1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积，侧面积公式扇形的面积公式213602n RS lrπ==扇形（其中l表示弧长，r表示半径）（二）空间几何体的体积公式第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的,无大小，无厚薄。

2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点特别指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα⊄来表示2.2.直线、平面平行的判定及其性质一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法90角1、定义：成︒2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质901、二面角的平面角为︒2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九线面角的求法1．定义法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

高二数学球知识精讲 人教版【基础知识精讲】1.球的概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心，连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径.连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.如图的球中，O 是球心，线段OC 是半径，线段AB 是直径，球一般用表示它的球心的字母来表示，上图记为球O.球面可以看作空间内到定点(球心)的距离等于定长的点的集合，球则可以看作空间内到空点(球心)的距离小于或等于定长(半径)的点的集合.2.球的性质用一个平面去截一个球，截面是圆面，其截面有如下性质： (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.(2)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r,有下面的关系：r ＝22d R球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆. (3)经过球面上不是同一条直径的两端点的两个点，可以且只可以作一个大圆. (4)同一个球的大圆相等. (5)球的大圆平分这个球.(6)球的任意两个大圆相互平分.画球时，一般画一个大圆，与一个辅助椭圆就足够了.3.经度、纬度和球面距北极、南极的连线称为地轴.英国的格林威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴为直径，天文台所在半圆弧称为O °经线，也称为本初子午线.经线指的是某点与地轴形成半圆、圆弧，赤道面指的是垂直于地轴.某地点的经度指的是经过这点的经线与地轴确定的半平面与O °经线与地轴确定的半平面所成二面角的度数，实质是二面角.某地点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，本质是线面角. 注意：东西径180°经线重合，如图1.球面距指的是经过两点的大圆的劣孤长，也是球面上经过这两点的最短距离. 如图2所示：NS 为地轴，P 所在经线为⌒NPS ，设P 点所在经线为0°经线，B 所在经线为东径n 度(n ＝∠AOB)，P 在北纬m 度(m ＝POA )要确定Q 在地球上的位置，必须知道Q 的经度与纬度.4.球的面积和体积公式.定理 球面面积等于它的大圆面积的4倍，S 球面＝4πR 2定理：如果球的半径为R ，那么它的体积是V 球＝34πR 3.【重点难点解析】多面体：旋转体与球的相切和相接问题，常成为高考的重点和热点，难点是球半径与多面体，旋转体的几何量的关系.例1 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.5解 如图，设球的半径是r ，则πBD 2＝5π，πAC 2＝8π，∴BD 2＝5，AC 2＝8.又AB ＝1，设OA ＝x. ∴x 2+8＝r 2,(x+1)2+5＝r 2. 解之，得r ＝3 故选B.例2 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.解 如图，球O 为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r 的小球，过O 作O 1O 2O 3平面的垂线，垂足为H ，它一定是ΔO 1O 2O 3的中心，连接O 1H ，O 1O ，在Rt ΔO 1OH 中，O 1H ＝332，OH ＝1-r,OO 1＝1+r,∴OO 12＝O 1H 2+OH 2，即(1+r)2＝(332)2+(1-r)2，解得r ＝31.例3 地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度差为2π，求球面上A 、B 两点间球面距离.分析 本题关键是求出∠AOB 的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图，以O 1O ，O 1A ，O 1B 为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO 内求∠BOA 的问题.解 如图2，∵∠O 1OA ＝4π＝∠O 1OB ，OA ＝OB ＝R ，∴OO 1＝O 1A ＝O 1B ＝22R ∴AB 2＝O 1A 2+O 1B 2＝R ∴ΔAOB 为等边Δ ∴∠AOB ＝3π，A 、B 间的球面距离为3πR.例4 两面都是凸形镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm 和17cm ，两球心间的距离为21cm ，求此镜面的表面积和体积.解 轴截面如图，设O 2C ＝x ，则CO 1＝21-x,∵AB ⊥O 1O 2 ∴AO 22-O 2C 2＝AO 12-CO 12，即102-x 2＝172-(21-x)2，解得x ＝6,CO 1＝15,又设左边球缺的高为h 1,右边的球缺高为h 2，则h 1＝17-15＝2,h 2＝10-6＝4,∴S 表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)2,V ＝31π［22(3·10-2)+42(3·17-4)］＝288π(cm 3).例5 正三棱锥的底面边长是2cm ，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积.解 如图，PD 是三棱锥的高，则D 是ΔABC 的中心，延长PD 交球于E ，则PE 就是外接球的直径，AD ＝33AB ＝323，∠PAD ＝60°，∴PD ＝AD ·tan60°＝2,PA ＝343，而AP⊥AE ，∴PA 2＝PD ·PE ＝PD PA 2＝38，R ＝34，∴S 球＝964π(cm)2.例6 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.证明 设球的半径为R ，正四面体的高为h ，侧面积为S ，则有V A —BCD ＝V O —ABC +V O —ABD +V O —BCD ，如图，即31Sh ＝4×31SR,∴h ＝4R.【难题巧解点拨】例1 地球半径为R ，A 、B 两地都在北纬45°线上，且A 、B 的球面距离为3R，求A 、B 两地经度的差.分析：如图，O 为球心，O 1为北纬45°小圆的圆心，知A 、B 的球面距离，就可求得∠AOB 的弧度数，进而求得线段AB 的长，在ΔAO 1B 中，∠AO 1B 的大小就是A 、B 两地的经度差.解 设O 1是北纬45°圈的中心， ∵A 、B 都在此圈上，∴O 1A ＝O 1B ＝22R. ∵A 、B 的球面距离为3R π， ∴∠AOB ＝R l ＝R R3π＝3π,ΔAOB 为等边三角形.AB ＝R ，在ΔAO 1B 中， ∵O 1A 2+O 1B 2＝21R 2+21R 2＝R 2＝AB 2， ∴∠AO 1B ＝90°.∴A 、B 两地的经度差是90°.评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.例2 已知圆锥的母亲长为l ，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.解 设球半径为R ，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA ，∠OAD ＝2θ，R ＝OD ＝AD ·tan2θ,VA ＝l,AD ＝lcos θ,∴R ＝lcos θtan 2θ,又设正方体棱长为x ，则3x 2＝EG 2＝4R 2,x ＝323R.∴V 正方体＝938(lcos θtan 2θ)3.例3 如图，过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC ，(1)求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值；(2)求三棱锥P —ABC 的体积的最大值.分析：先选其中两条弦PA 、PB ，设其确定的平面截球得⊙O 1，AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1于D ，PADB 是矩形，PD 2＝AB 2＝PA 2+PB 2，然后只要证得PC 和PD 确定是大圆就可以了.解 (1)设过PA 、PB 的平面截球得⊙O 1，∵PA ⊥PB ，∴AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1于D ，则PADB 是矩形，PD 2＝PA 2+PB 2. 设O 为球心，则OO 1⊥平面⊙O 1， ∵PC ⊥⊙O 1平面，∴OO 1∥PC ，因此过PC 、PD 的平面经过球心O ，截球得大圆，又PC ⊥PD. ∴CD 是球的直径.故 PA 2+PB 2+PC 2＝PD 2+PC 2＝CD 2＝4R 2定值.(2)设PA 、PB 、PC 的长分别为x 、y 、z ，则三棱锥P —ABC 的体积V ＝61xyz ， V 2＝361x 2y 2z 2≤361(3222z y x ++)3＝361·27646R ＝5432R 6.∴V ≤2734R 3. 即 V 最大＝2734R 3. 评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB 是大圆，探求得定值4R 2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.例4 求棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的半径.解 如图，作AH ⊥底面BCD 于H ，则AH ＝36a ，设内切球的球心为O ，半径为r ，O点与A 、B 、C 、D 相连，得四个锥体，设底面为S ，则每个侧面积为S ，有4·31·Sr ＝31S ·AH ，∴r ＝41AH ＝126a,设外接球心为O ，半径R ，过A 点作球的半径交底面ΔCD 于H ，则H 为圆BCD 的圆心，求得BH ＝32a,AH ＝36a,由相交弦定理得36a ×(2R-36a)＝(33a)2. 解得R ＝36a.【课本难题解答】1.求证：球的任意两个大圆互相平分.证明：因为任意两个大圆都过球心O ，所以它们必交于过球心的直径，这条直径也是两个大圆的公共直径，所以任意两个大圆互相平分.2.在球心的同一侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积各为49πcm 2和400πcm 2.求球的表面积.解 如图，设球的半径为R ，∵πO 2B 2＝49π ∴O 2B ＝7 同理 O 1A ＝20设OO 1＝xcm ，则OO 2＝(x+9)cm.在Rt ΔOO 1A 中，可得R 2＝x 2+202在Rt ΔOO 2B 中，可得R 2＝72+(x+9)2∴x 2+202＝72+(x+9)2 解方程得 x ＝15cm R 2＝x 2+202＝252∴S 球＝4π·OA 2＝2500π(cm 2)【命题趋势分析】纵观近几年高考题，关于球的应用题基本上出现在选择题、填空题的位置上，且难度不大，同时实际背景材料并不复杂，主要考查三个方面：①算表面积和体积；②求半径；③求球面距.【典型热点考题】例1 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )A.43B.23C.2D. 3解 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr ＝4π,∴r ＝2.如图，设三点A 、B 、C ，O 为球心，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝3，又∵OA ＝OB ∴ΔAOB 是等边三角形同理，ΔBOC 、ΔCOA 都是等边三角形，得ΔABC 为等边三角形. 边长等于球半径R ，r 为ΔABC 的外接圆半径. r ＝33AB ＝33R R ＝33r ＝23 ∴应选B.例2 已知球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球表面积是( )A.964π B.38π C.4π D.916π 解 如图，过ABC 三点的截面圆的圆心是O ′，球心是O ，连结AO ′、OO ′，则OO ′⊥ AO ′.ΔABC 中，AB ＝BC ＝CA ＝2，故ΔABC 为正三角形.∴AO ′＝33×2＝332设球半径为R ，则OA ＝R ，OO ′＝2R在Rt ΔOAO ′中，OA 2＝O ′O 2+O ′A 2，即R 2＝42R +(323)2∴R ＝34∴球面面积为4πR 2＝964π ∴应选A.说明 因为R ＝OA ＞O ′A ＞21AB ＝1，所以球面积S ＝4πR 2＞4π.从而选A.例3 长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )A.202πB.252πC.50πD.200π解 正方体的对角线为l ，球的半径为R ，则l ＝2R.得：l 2＝4R 2＝32+42+52＝50从而 S 球＝4πR 2＝50π ∴应选C.例4 在球面上有四个点P 、A 、B 、C.如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a,那么这个球的表面积是 .解 由已知可得PA 、PB 、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线CD ，则CD 过球心O ，对角线CD ＝3a.∴S 球表面积＝4π·(23a)2＝3πa 2.例5 圆柱形容器的内壁底半径为5cm ，两个直径为5cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.分析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.解 设取出小球后，容器水平面将下降hcm ，两小球体积为V 球＝2×34π×3)25(V 1＝V 球即 25πh ＝3125π ∴h ＝35cm. ∴应填35.本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.正四面体的内切球半径与正四面体的高的比是( ) A.1∶4 B.1∶3C.1∶6D.5∶122.要使一个光源能照到一个半径为R 的球面积的31，这个光源应距球心( ) A.23R B.2RC.3RD.21R3.已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系为( )A.S 1＞S 2＞S 3B.S 1＜S 3＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 34.甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为( )A.1∶2∶3B.1∶2∶3C.1∶34∶39D.1∶22∶335.半径为1的球面上有三个点A 、B 、C ，其中A 和B 及A 和C 之间的球面距离都是2π，B 和C 之间球面距离是3π，则过A 、B 、C 三点的截面到球心的距离是( ) A.22B.33 C.721 D.2226.在北纬60°处有A 、B 两点，它们的经度相差180°，若地球的半径为R ，则它们的球面距离是( )A.3R π B.πR C.22RD.2R7.已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，且距离为1，那么这个球的半径是( )A.2B.3C.4D.无解8.定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里.在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为( )A.5400海里B.2700海里C.4800海里D.3600海里9.三个半径为1的球，两两相切放置于水平桌面上，在三球中间上方再放上一个半径为2的小球，则其最高点距离桌面的距离为( )A.362+3B.362+2C.369+3D.393+310.一个球的半径是15cm ，在距球心25cm 的地方能看到的球面部分的面积是( )A.180πcm 2B.270πcm 2C.4675πcm 2D.41125πcm 2二、填空题1.球的表面积为S ，则内接正方体的表面积为 .2.两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是 .3.一个凸多面体的表面积为S ，如果它有一个内切球，其球半径为r ，则这个凸多面体的体积为 .4.在半径为2的球面上有A 、B 、C 三点，已知AB ＝2，AC ＝3，BC ＝1，则过这三点的截面与球心的距离为 ，AC 两点间的球面距离是 .三、解答题1.正三棱锥P —ABC 的底面ΔABC 的边长为a ，侧面与底面成α角，求其外接球的表面积.2.在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝a,CD ＝2.求四面体内切球的体积.【素质优化训练】1.在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，侧面SAB ⊥侧面SBC.①求证：ΔSBC 为直角三角形.②若∠BSC ＝45°，SB ＝α，求三棱锥S —ABC 的外接球的体积.2.三棱锥V —ABC ，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)求二面角V —AB —C.3.把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离.【生活实际运用】湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.解 设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性质得：r 2+d 2＝R 2,即122+(R-8)2＝R 2.得R ＝13 ∴该球半径为13cm.【知识验证实验】在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，则Scos30°＝S ′,并且S ′＝9π，所以S ＝63π(米2)【知识探究学习】设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解 ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ，∴AB ⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面AC.记E 是AD 的中点，从而ME ⊥AD.∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球.不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心.设球O 的半径为r ，则r ＝MF EM EF S MEF ++△2 设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1.∴ME ＝a 2.MF ＝22)2(aa +, r ＝22)2(22a a a a +++≤2222+＝2-1 当且仅当a ＝a2，即a ＝2时，等号成立.∴当AD＝ME＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.[参考答案]【同步达纲练习】一、1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.A 二、1.π25 2. 32 3. 31sr 4. 3 2arccos 85 三、1.ααπ2222tan 12)4(tan a + 2.31(262-156)πa 2【素质优化训练】1.(1)略 (2)32πa 32.①设VC 中点为O ，可证O 即为球心②90° 3.(2+362)R。

立体几何球的性质与体积立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何图形以及它们的属性和性质。

其中，球是立体几何中的一个基本图形，具有许多独特的性质和特点。

本文将探讨立体几何球的性质与体积，并介绍球体在日常生活和科学研究中的应用。

一、球的性质1. 定义：球是由空间中的所有点与一个固定点的距离相等的集合构成的。

这个固定点称为球心，相等的距离称为半径。

球面是球的表面，它由无数个点组成。

2. 球心和半径：球的性质和定理都与球心和半径的特点密切相关。

球心是球的中心点，对称于球的任意一点。

半径是从球心到球面上的任意一点的距离，用r表示。

3. 切线和切平面：切线是与球面只有一个交点的直线，该交点在球面上。

切平面是与球面只有一个交点的平面，该交点在球面上。

4. 球的对称性：球具有高度的对称性，它的每个点都可以通过球心作为中心点进行对称。

这种对称性在计算球体属性和应用球体时非常重要。

二、球的体积1. 球的体积定义：球的体积是指球所占据的三维空间的大小。

球的体积由半径决定，用V表示。

2. 球的体积计算公式：球的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V为球的体积，π为常数3.14159，r为球的半径。

3. 球的体积应用：球的体积广泛应用于日常生活和科学研究中。

例如，计算球形容器的容量、球形饰品的材料消耗量、球形天体的质量等等。

三、球的应用1. 地理学：地球是一个近似于球形的天体，在地理学中，球体模型广泛应用于地球的测量和研究中。

通过测量球体的直径、周长和曲率，可以计算出地球的面积和体积，从而推导出地球的各种属性和特征。

2. 物理学：在物理学中，球体模型常用于描述原子、分子、质点等微观粒子的运动和相互作用。

球的对称性和几何性质能够简化复杂的物理问题，使得物理学家能够更加深入地研究和理解这些微观粒子的行为。

3. 工程学：球形结构常用于工程学中的建筑设计、车辆制造、航天技术等领域。

球形设计具有均匀的力传递和强大的承载能力，使得球形结构能够在各种复杂的环境中承受重力和力学压力，并提供良好的抗震和抗风能力。

立体几何中与球有关的问题一、球与几何体的“接、切”问题1 球与特殊几何体的接切(1）正方体:设正方体的棱长为a ，则内切球半径2a R =（图1）, 外接球半a O A R 231==（图2）与棱相切的球半径a R 22=（图3）图1 图2 图3（2）长方体：长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 球的半径222.22l a b c R ++== （3）正四面体:作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，设正四面体棱长为a,外接球半径R 和内切球半径r 分别为66,.412R a r a == 2球与一般几何体接切问题解决策略(确定半径)“接’的问题(1)找球心（在过小圆圆心与小圆面垂直的直线上）（2）镶嵌到特殊几何体上与几何体表面“切”的问题：等体积习题演练1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 2、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

3、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为4、已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )5、已知三棱锥A BCD -内接与球O ，且23BC BD CD ===，若三棱锥A BCD -体积的最大值为43，则球O 的表面积为（ ）6、已知三棱锥错误!未找到引用源。

平面错误!未找到引用源。

，其中错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

四点均在球错误!未找到引用源。

的表面上，则球错误!未找到引用源。

高中数学中的立体几何与球体计算立体几何是高中数学中的一个重要分支，它研究的是空间形体的性质和计算方法。

而球体作为立体几何中的重要对象之一，具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍高中数学中与立体几何与球体计算相关的内容，并探讨其在实际生活中的应用。

一、球体的定义与性质在数学中，球体是由所有与球心的距离等于半径的点组成的集合。

它是一个三维几何体，具有以下性质：1. 球心与半径：球心是球体的中心点，而半径则是球心到任一点的距离。

球体的半径决定了其大小。

2. 表面积：球体的表面积可以通过公式S = 4πr²计算得出，其中S 表示表面积，r表示半径。

3. 体积：球体的体积可以通过公式V = (4/3)πr³计算得出，其中V表示体积，r表示半径。

二、球体的计算方法1. 已知半径求表面积和体积：若已知球体的半径r，可以利用上述的公式计算出表面积和体积。

例如，半径为3cm的球体的表面积为36πcm²，体积为36πcm³。

2. 已知表面积求半径和体积：若已知球体的表面积S，可以通过以下公式计算出半径和体积：- 半径r = √(S / 4π)- 体积V = (4/3)πr³3. 已知体积求半径和表面积：若已知球体的体积V，可以通过以下公式计算出半径和表面积：- 半径r = ∛(V / (4/3)π)- 表面积S = 4πr²三、球体的应用1. 地球的近似模型：由于球体在几何形状中最接近地球的真实形状，因此在地理学和天文学中，我们常常将地球看作一个稍微偏离球形的几何体，以便于计算和研究地球的各种性质。

2. 物体的表面积与体积计算：球体的表面积与体积计算方法在实际生活中具有广泛的应用。

例如，设计师在制作球形物体的模型或雕塑时，需要准确计算表面积以确定所需的材料量；工程师在设计球形容器或球阀时，需要计算体积以确定容量和功能。

3. 圆顶建筑与球体结构：球体的固有性质使其在建筑领域中得到广泛应用。

EBCD A立体几何-球-专题学案☞ 双基练习1.下列四个命题中错误．．的个数是 （ ） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长B.12.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是A.3π100 cm 3B.3π208 cm 3C.3π500 cm 3D.3π34161 cm 33.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2.☞ 知识预备1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ．2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫 ．4. 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ．5. 球面距离计算公式：__________☞ 典例剖析（1）球面距离，截面圆问题例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为3B.23 D. 3练习： 球面上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的41，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的61，且球心到截面ABC 的距离是721，求球的体积．例2. 如图，四棱锥A －BCDE 中，BCDE AD 底面⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ． (1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上；(2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE 求B 、D 两点间的球面距离．（2）注意体会立体空间想象能力，不要把图形想象错误例3. 在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切）， 求小球的半径。

专题一　墙角模型如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R= a2+b2+c2．)，秒杀公式：R2=a2+b2+c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】例1.[例]　(1)已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π(2)若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为( )．A.3B.6C.36D.9(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于( )．A.4πB.3πC.2πD.π(4)在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是________．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )．A.86πB.46πC.26πD.6π(6)已知二面角α-l-β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC=22，PA=23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD+∠DAB=π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．【对点训练】1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.72πD.714π32．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为( )A.5πB.203πC.10πD.34π3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于________.4．已知四面体P-ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=PB =2，则球O的表面积为________．5．三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )A.272πB.2732π C.273π D.27π6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，-1)，C(0，2，1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A.16πB.12πC.43πD.6π7．在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为(　D　)A.2πB.8πC.16πD.4π8．在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.6πB.12πC.32πD.36π9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB=BC=36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为________．10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为32的正方形，AA1=3，E是线段A1B1上一点，若二面角A-BD-E的正切值为3，则三棱锥A-A1D1E外接球的表面积为________．专题二　对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R=a2+b2+c2(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2=x2+y2+z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】例2.[例]　(1)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．(2)在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．(4)在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A.6πB.6πC.3632π D.3 2π(5)已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2．则AC=________．【对点训练】1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．2．表面积为83的正四面体的外接球的表面积为( )A.43πB.12πC.8πD.46π3．已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．4．三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC =BD=5，则a=________.6．正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π专题三　汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=h 2，∴R 2=r 2+h 24．【例题选讲】例3.[例]　(1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为( )．A.3172 B.210 C.132 D.310(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A.πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D.37πa 2(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120°，则此球的表面积等于( )．A.10π B.20πC.30πD.40π(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A.4πB.16π3C.32π3D.16π(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π【对点训练】一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( )A.28π3B.22π3C.43π3D.7π2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________.3．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π4．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC =1，∠BAC =60°，AA 1=2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27 C.32030π27 D.20π5．已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为( )A.6πB.5πC.4πD.3π6．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC= 2π3，则球O的体积为( )A.32π3B.3πC.4π3D.8π7．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍8．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，二面角A1-BD-C1的大小为π3，则该正四棱柱外接球的表面积为( )A.12πB.14πC.16πD.18π9．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为________．10．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为____ ____．专题四　垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=h2，∴R2=r2+h24．【例题选讲】例4.[例]　(1)已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13813πB.13πC.136πD.13136π(2)三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π(3)在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643πB.2563πC.4363πD.2048327π(4)在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π(5)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．【对点训练】1．三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.18πB.21π2C.21πD.42π2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.32π3．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.64π4．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C.8π D.12π5．在三棱锥A-BCD中，AC=CD=2，AB=AD=BD=BC=1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．6．如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π7．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为( )．A.3B.22C.33D.638．三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________．9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB= 1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为π4．记点M的轨迹长度为α，则tanα=________．；当三棱锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为________．专题五　切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A-BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则R2=r2+m2，R2=d2+(h-m)2，解得R．可用秒杀公式：R2=r21+r22-l24(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)【例题选讲】例5.[例]　(1)已知在三棱锥P-ABC中，V P­ABC=433，∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P-ABC外接球的体积为________．(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2，∠A=60˚，∠C=90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．(3)已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.10π3B.5πC.6πD.20π3(4)已知ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=22，PC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A-DECB的外接球的表面积为________．【对点训练】1．把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为( )A.32πB.27πC.18πD.9π2．在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．3．已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.36π4．在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔABC是边长为2的正三角形，若∠BDC=π4，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为( )．A.52π3B.3πC.4πD.28π35．已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB=AC=23，BD=4，CD=25，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A.24πB.48πC.64πD.96π6．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=22，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.2πB.4πC.8πD.12π7．在四棱锥A-BCDE中，ΔABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为( )A.2121πB.84πC.721πD.2821π8．已知空间四边形ABCD，∠BAC=2π3，AB=AC=23，BD=CD=6，且平面ABC⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为( )A.60πB.36πC.24πD.12π9．在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PB=PC=43，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．10．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP=25,AB=6,∠ACB=π3，且直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.13πB.52πC.52π3D.5213π3 10．答案　B　解析　如图，过点P作PE⊥AB于E，D为AB的中点，设ΔABC的外心是O1，半径是r，连接O1B，O1E，O1D，由正弦定理得2r=ABsin∠ACB=43，则O1B=r=23，D为AB的中点，BD=AD=12AB=3，O1D⊥AB，所以O1D=O1B2-BD2=3，因为平面PAB⊥平面ABC，PE⊥AB于E，平面PAB∩平面ABC=AB，则PE⊥平面ABC，所以直线PA与平面ABC所成的角是∠PAE，则tan∠PAE=PEAE=2，即PE =2AE，因为AP=PE2+AE2=25，所以PE=2AE=4，则DE=1，故O1E=2，设三棱锥P-ABC外接球球心是O，连接OO1，OB，OP，过O作OH⊥PE于H，则OO1⊥平面ABC，于是OO1⎳PE，从而O1OHE是矩形，所以外接球半径R满足R2=OO21+O1B2=OH2+(PE-HE)2=O1E2+(PE-OO1)2，解得R=13．所以外接球的表面积为4πR2=52π．专题六　斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R=h2+r22h(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)【例题选讲】例6.[例]　(1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．(2)(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π(3)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=26,AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为________．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π4(5)如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF=22，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．(6)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=3，则该三棱锥外接球的体积为( )A.4π3B.823πC.43πD.323π【对点训练】1．已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．2．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )A.πB.π3C.4πD.4π33．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=6，AC=AB=2，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.9π4．已知体积为3的正三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，若满足OA +OB +OC =0 ，则此三棱锥外接球的半径是( )A.2 B.2C.32D.345．已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A.124π3B.625π81C.500π81D.256π96．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB 的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是________．7．已知圆台O 1O 2上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为22，圆台的外接球的球心为O ，且球心在圆台的轴O 1O 2上，满足|O 1O |=3|OO 2|，则圆台O 1O 2的外接球的表面积为________．8．在六棱锥P -ABCDEF 中，底面是边长为2的正六边形，PA =2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于________．9．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，AB =2，BC =10，∠APC =π2，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．10．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =92，AB =8，AC =6．顶点P 在平面ABC 内的射影为H ，若AH =λAB +μAC 且μ+2λ=1，则三棱锥P -ABC 的外接球的体积为________．专题七　鳄鱼模型【方法总结】鳄鱼模型即普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2= m2+n2-2mn cosαsin2α+l24(其中l=|AB|)解决．【例题选讲】例7.[例]　(1)在三棱锥A-BCD中，ΔABD和ΔCBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BD-C的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________．(2)在等腰直角ΔABC中，AB=2，∠BAC=90°，AD为斜边BC的高，将ΔABC沿AD折叠，使二面角B-AD-C为60°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________．(3)在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为________．(3)在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是-33，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.4πB.6πC.8πD.9π(4)已知三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=22，BC=3，PA=PB=32，且二面角P-AB-C的大小为150°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.100πB.108πC.110πD.111π(5)在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P-AC-B的余弦值为-63，当三棱锥P-ABC的体积最大值为13时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________．(6)在体积为233的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，ΔPAB为等边三角形，二面角P-AB-C为锐角，则四棱锥P-ABCD外接球的半径为( )A.213B.2C.3D.32【对点训练】1．在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2，二面角S-BC-A的大小为60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )A.14π3B.16π3C.40π9D.52π92．已知三棱锥A -BCD ，BC =6，且ΔABC 、ΔBCD 均为等边三角形，二面角A -BC -D 的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是________．3．已知边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD =120°，沿对角线AC 折成二面角B -AC -D 的大小为θ的四面体且cos θ=13，则四面体ABCD 的外接球的表面积为________．4．在三棱锥P -ABC 中，顶点P 在底面ABC 的投影G 是ΔABC 的外心，PB =BC =2，且面PBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．5．直角三角形ABC ，∠ABC =π2，AC +BC =2，将ΔABC 绕AB 边旋转至ΔABC 位置，若二面角C -AB -C 的大小为2π3，则四面体C -ABC 的外接球的表面积的最小值为( )A.6π B.3π C.32π D.2π6．已知空间四边形ABCD 中，AB =BD =AD =2，BC =1，CD =3，若二面角A -BD -C 的取值范围为π4，2π3 ，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．7．在三棱锥S -ABC 中，底面ΔABC 是边长为3的等边三角形，SA =3，SB =23，二面角S -AB -C 的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．8．在四面体ABCD 中，BC =CD =BD =AB =2，∠ABC =90°，二面角A -BC -D 的平面角为150°，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A.313πB.1243πC.31πD.124π9．在三棱锥A -BCD 中，AB =BC =CD =DA =7，BD =23，二面角A -BD -C 是钝角．若三棱锥A -BCD 的体积为2．则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积是( )A.12πB.373πC.13πD.534π10．在平面五边形ABCDE 中，∠A =60°，AB =AE =63，BC ⊥CD ，DE ⊥CD ，且BC =DE =6．将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120°，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是________．专题八　已知球心或球半径模型【例题选讲】例8.[例]　(1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．(2)已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3，BC= 3，BD=3，∠CBD=90˚，则球O的体积为________．(3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22(4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．(5)三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为( )A.2+3B.2-3C.3D.2【对点训练】1．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB=22，∠ACB=90°，PA为球O 的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为( )A.2B.22C.3D.232．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=23，且四棱锥O-ABCD 的体积为83，则R等于( )A.4B.23C.479D.133．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3C.64π3D.80π34．已知三棱锥A-SBC的体积为233，各顶点均在以PA为直径球面上，AB=AC=2,BC=2，则这个球的表面积为_____________．5．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．6．(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π7．(2020·全国Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )A.3B.32C.1D.328．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )A.R2B.2R3C.4R3D.R9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是( )A.4πB.πC.2πD.π210．在三棱锥A-BCD中，底面为Rt△，且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为________．专题九　最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．【例题选讲】例9.[例]　(1)已知三棱锥P-ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．(2)在四面体ABCD中，AB=1，BC=CD=3，AC=2，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为( )A.2πB.3πC.6πD.8π(3)已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+163，则球O的体积等于( )A.42π3 B.162π3 C.322π3 D.642π3(4)三棱锥A-BCD内接于半径为5的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为( )A.43B.83C.163D.323(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_ _______．【对点训练】1．三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A.4B.6C.8D.102．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π3．已知点A，B，C，D均在球O上，AB=BC=6，AC=23．若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．4．在三棱锥A-BCD中，AB=1，BC=2，CD=AC=3，当三棱锥A-BCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．5．已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱锥D-ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为( )A.8πB.9πC.25π3D.121π96．三棱锥A-BCD的一条棱长为a，其余棱长均为2，当三棱锥A-BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A.21π4B.20π3C.5π4D.5π37．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为( )A.32B.233C.23D.138．(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.123B.183C.243D.5439．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30˚，则棱锥S-ABC的体积最大为( )A.2B.83C.3D.2310．四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P-ABCD体积的最大值为( )A.8B.83C.16D.16311．(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC =8，AA1=3，则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π312．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为___．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1-CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1-CDE外接球的体积为82π3，则a=( )A.2B.2C.22D.414．已知三棱锥S-ABC的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为23，SA⊥平面ABC，SA=4，∠ABC=120°，则球O的体积的最小值为________．专题十　内切球模型【方法总结】以三棱锥P -ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P -ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ·r +13S △PAB ·r +13S △PAC ·r +13S △PBC ·r =13(S △ABC +S △PAB +S △PAC +S △PBC )·r ；第三步：解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3V S 表．秒杀公式(万能公式)：r =3V S 表【例题选讲】例10.[例]　(1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(3)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为( )A.4πB.16πC.36πD.64π3(4)已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA =PB =PC =2，则三棱锥P -ABC 的外接球与内切球的半径比为________．(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ 长度的最大值为436，则这个四面体的棱长为________．【对点训练】1．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2=________.2．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A.7π6 B.4π3 C.2π3 D.π23．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA =PB =PC =PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A.6 B.5C.92D.944．将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )A.π B.2π C.3π D.4π。