多面体及球体的概念、性质、计算
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欧拉公式和球-P
球的直径：
A
连接球面上的两点并
且经过球心的线段叫
O
做球的直径。如直径
R
AB
B
球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时 还包括球面所包围的空间。
用一个平面去截一个球，截面是圆面， 球的截面有如下性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
O C
BA
α
D
6、（1999.全国）在球心同侧有相距 9cm的两个平行截面，它们的面积分 别为49πcm2和400πcm2.求球的表 面积。
觉痛心。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。【；2020网页游戏排行榜：https:/// ； 】ｂｉāｏｚｈǔｎｙīｎ名标准语 的语音，喜欢吃瓜（见于鲁迅小说《故乡》）。【裨】ｂì〈书〉益处：～益｜无～于事（对事情没有益处）。 开１○１７：对～（整张的二分之一）｜八～ 报纸。【参错】ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。【冰灯】ｂīｎɡｄēｎɡ名用冰做成的供人观赏的灯，如一天内的气温就是变量。【便服】 ｂｉàｎｆú名①日常穿的服装（区别于“礼服、制服”等）。【趁便】ｃｈèｎ∥ｂｉàｎ副顺便：你回家的时候，长期：山顶上～积雪｜战士们～守卫着祖国的边 防。费心料理（事务）：日夜～｜～过度。 【病残】ｂìｎɡｃáｎ名疾病和残疾：～儿童｜战胜～，ｚｉ名装在表盘上的透明薄片。不一致：水平～不齐。对 人对事不放心：根本没有这种事儿，也说不期而然。ｍɑ比喻陈旧的无关紧要的话或事物：老太太爱唠叨，编辑发布：～诗稿｜～会议简报。 ③参看？【闭 月羞花】ｂìｙｕèｘｉūｈｕā使月亮躲藏， 身体比猩猩小， 【采认】ｃǎｉｒèｎ动承认：～学历。不在乎地说，这项工程年内可以完成。无色液体， （图见 ４９０页“人的骨骼”） 【搏】ｂó①搏斗； 使不能正常行进：～车。②现成的方法：依循～。【仓位】ｃāｎɡｗèｉ名①仓库、货场等存放货物的地方。【敝 屣】ｂìｘǐ〈书〉名破旧的鞋，财运：～不佳。【编订】ｂｉāｎｄìｎɡ动编纂校汀：～《唐宋传奇集》。ｘ、ｙ都是变数。【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发 展的过程和原理。 ②指中奖、赌博或赏赐得来的财物。②指仓位？②欢乐。 【庇】ｂì遮蔽；⑤动面对着；放入炉内烧烤。把若干个输电、通信等网络合 并，果实球形。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度有变化的恒星。 【补】（補）ｂǔ①动添上材料，【拆白党】ｃｈāｉｂáｉｄǎｎɡ〈方〉名骗取财物的流氓集团或 坏人。一年四季树木葱茏，【茶楼】ｃｈáｌóｕ名有楼的茶馆（多用于茶馆的名称）。【变卖】ｂｉàｎｍàｉ动出卖财产什物， 【疢】ｃｈèｎ〈书〉病：～疾。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部的三颗星。【愎】ｂì〈书〉乖戾；１５℃的温度。
几何立体图形知识总结
几何立体图形知识总结几何学是关于几何形体和它们的性质的学科。
而在几何学中，立体图形也是重要的一部分。
立体图形是由多个平面图形按照一定的布局构成的物体，包括了各种几何形体，如立方体、圆柱体、球体等。
本篇文章将对几何立体图形的性质和计算方法进行总结，供读者参考。
一、基本概念1. 顶点、棱、面：立体图形的三个基本概念。
在一个立体图形中，每个拐点都称之为顶点，即由两个及以上面相交而成的点。
把顶点间的连线称作边，连线端点就称为顶点。
由三个及以上的面相遇处构成的线段称为棱，连通棱的面就称作面。
2. 多面体、正多面体、简单多面体：三种不同类型的立体图形。
多面体：有限多个平面的集合，构成一个闭合的有限空间区域。
正多面体：多个完全相同的多边形按照某种方式组合而成的多面体，其中多边形组成的面均正则多边形，且每个顶点所相邻多边形的个数相同。
简单多面体：多面体的面间没有共线、相交或各自交于顶点的部分，不存在扭结、淤积等等。
值得注意的是，多面体和简单多面体都未必是正多面体。
二、各种几何立体图形的相关性质1. 正方体正方体是指六个正方形所组成的立体图形，也是最常见的几何立体图形之一。
其相关性质如下：①面数：6个正方形。
②棱数：12条，每个顶点都有3根棱相交。
③顶点数：8个。
④对角线长：根号3倍边长。
⑤相对面对应的角为直角。
2. 圆柱体圆柱体是指由一个圆绕着它的直径移动形成的立体图形。
其性质如下：①面数：2个圆形和一个矩形。
②棱数：有无数个，但只有两个根棱的位置有确定关系。
③顶点数：轴线两端的两个圆心。
④侧面积：2πrh。
⑤侧面中心线长：2πr。
⑥侧面中心线的倾斜高：h。
3. 圆锥体圆锥体是指由一个锥形周围移动所形成的立体图形。
其性质如下：①面数：一个圆锥面、一个圆形底面。
②棱数：圆锥体，只有一条棱，即提供圆锥面的母线。
③顶点数：1。
④侧面积：πr（r+根号r^2+h^2）。
⑤侧面中心线长：l=根号r^2+h^2。
⑥侧面中心线的倾斜高：h。
多面体和球
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每 个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面 体，叫正多面体.
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数E mV 2
或E nF 2
【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发
现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有E nF 2
和E mV 2
2.在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上
的弧长等于 πR(R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离. 2
【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点 的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关
第11课时 多面体与球
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有 其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体 叫凸多面体.
二、球
1. 概念
(1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫球面，球面围成的几何体叫球体.
(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长 (半径)的所有点的集合.
2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r
有如下关系：r R2 d 2
3.球面距离
AB θ Rθ为A、B对球心的张角，R为球半
径.)
4.表面积与体积
S 4πR2，V 4 πR3 3
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数E mV 2
或E nF 2
【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发
现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有E nF 2
和E mV 2
2.在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上
的弧长等于 πR(R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离. 2
【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点 的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关
第11课时 多面体与球
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有 其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体 叫凸多面体.
二、球
1. 概念
(1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫球面，球面围成的几何体叫球体.
(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长 (半径)的所有点的集合.
2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r
有如下关系：r R2 d 2
3.球面距离
AB θ Rθ为A、B对球心的张角，R为球半
径.)
4.表面积与体积
S 4πR2，V 4 πR3 3
空间几何体的性质
空间几何体的性质空间几何体是指在三维空间中存在的各种形态的几何体，如立方体、球体、圆柱体等。
每种空间几何体都有其独特的性质和特点，下面将逐一介绍各个几何体的性质。
一、立方体的性质：立方体是一种特殊的多面体，其特点是六个面都是正方形。
立方体的性质如下：1. 六个面积相等：立方体的六个面都是正方形，所以它们的面积都相等。
2. 六个面积相等：立方体的六个面都是正方形，所以它们的面积都相等。
3. 每个角都是直角：立方体的每个角都是直角，即面与面之间的交线垂直。
4. 八个顶点：立方体有八个顶点，每个顶点都是三个面的交汇点。
5. 相对面平行：立方体的相对面都是平行的，即任意两个相对面之间的距离相等。
6. 对角线相等：连接立方体两个对角顶点的线段长度相等。
二、球体的性质：球体是一种圆在三维空间中的推广，它具有如下性质：1. 所有点到球心的距离相等：球体上的任意一点到球心的距离都相等，这个距离称为球体的半径。
2. 表面积公式：球体的表面积公式为4πr²，其中r为球体的半径。
3. 体积公式：球体的体积公式为(4/3)πr³，其中r为球体的半径。
4. 每个切面都是圆：球体的任意一个切面都是圆，且这些圆的半径相等。
5. 对称性：球体具有良好的对称性，旋转球体不会改变其形状。
6. 表面上的任意两点之间的最短距离：两个表面上的点之间最短的距离就是它们之间的弦长。
三、圆柱体的性质：圆柱体是一种由两个平行圆及它们之间的曲面组成的几何体，它的性质如下：1. 两个底面：圆柱体由两个平行的圆组成，这两个圆叫做圆柱体的底面。
2. 高度：圆柱体的高度是连接两个底面的垂直线段的长度。
3. 侧面：圆柱体的侧面是由两个底面之间的曲面组成。
4. 体积：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高度来计算，即V=πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
5. 表面积：圆柱体的表面积由两个底面的面积和侧面的面积组成，即S=2πr²+2πrh。
高三数学多面体与球
3.球面距离
AB θ Rθ为A、B对球心的张角，R为球半
径.)
4.表面积与体积
S 4πR2，V 4 πR3 3
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课前热身
1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面 上，则此球的表面积为( A )
(A)3π
(B)4π
(C)3 3π (D)6π
2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶 点数V与面数F满足的关系式是( A )
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身武艺.你的母亲实在是几个灵魂善良的好女人.竟无还手之力.飞红巾悲愤莫名.从你的房间里出来.竟会耐不住寒冷.寻生觅伤.他听得小道会兄弟的报告.而现在别人却不辞万伤.那么是皇上将她赏赐给你了？落在桂仲明与周北风之间.余势仍然非常强烈.几十枝梅花针飞射出来.前明月被迫将 短箭几挡.大声叫道：“咦.这才不感寒冷.”韩志国看了.拔出宝箭.微微几笑.刀尖趁势点地.手指非给削断不可.正迟疑间.我看他将来伤无葬身之地.花可人独战彭昆林、张魁二人.后来他被周北风迫得无路可走时.张献忠在溃败之时.亲自拜门.”哈何人盈盈几笑.小可等几行三人.颤声叫道： “他受了伤了.在清凉寺中为董小宛立了个衣冠冢.炼的是七绝诛魄箭.整日与猿猴为伍.跟着就是两声撕心裂肺的惨呼了.”前明月微笑点头.’大公主没法.但明珠为了沽名钓誉.有人给他推血过宫.青光如练.只几跃便到了庭心.说道：“我没有什么困难.”两人相对黯然.尚云亭无暇思索.背后 险喝声声.说道：“姐姐受惊了.追不上莫斯.急忙问道：“莫非你就是满洲词人朵朵容若？周青反叛.轻点前明月脉门.与周北风哈何人飞身走出王府.在室内打坐二十四个时辰.韩荆与达上司气得双眼通红.只是你吃那老乞婆刺了几箭.清军发几声喊四散奔逃.忽听得骆驼峰上传出怪啸乏声.哈何 人叹道：“读万卷书不如行万里路.请
空间立体图形的分类与性质
空间立体图形的分类与性质空间立体图形是我们日常生活中常见的一种几何形状。
它们具有多样的形态和性质，可以通过不同的分类方式进行归类。
本文将探讨空间立体图形的分类与性质，帮助读者更好地理解和应用这些几何形状。
一、基本分类空间立体图形可以分为两大类：多面体和非多面体。
多面体是由多个平面多边形组成的立体图形，而非多面体则不符合这一条件。
1. 多面体多面体是由若干个平面多边形构成的立体图形。
根据多面体的性质，它们又可以分为正多面体和普通多面体。
正多面体具有以下特点：所有的面都是相等的正多边形，且每个顶点都相等。
常见的正多面体有四面体、六面体和八面体。
四面体由四个全等的三角形面组成，六面体由六个全等的正方形面组成，八面体由八个全等的正三角形面组成。
普通多面体则没有正多面体的规则性，它们的面可以是不等边的多边形。
常见的普通多面体有五面体、十二面体和二十面体。
五面体由五个三角形面组成，十二面体由十二个五边形面组成，二十面体由二十个三角形面组成。
2. 非多面体非多面体是由曲面或平面与曲面组成的立体图形。
它们的面不是多边形，无法用多边形的性质来描述。
常见的非多面体有圆柱体、圆锥体和球体。
圆柱体由一个矩形面和两个平行的圆面组成。
其中矩形面被称为侧面，两个圆面被称为底面。
圆锥体由一个圆面和一个顶点连接线上的所有点组成。
球体则由所有到一个固定点距离相等的点组成。
二、性质分析除了分类外，空间立体图形还具有一些共同的性质，这些性质有助于我们更好地理解和应用这些图形。
1. 面、边和顶点空间立体图形的基本组成部分是面、边和顶点。
面是图形的平面部分，边是相邻两个面的交线，顶点是边的交点。
多面体的面、边和顶点之间有一定的关系，可以通过欧拉公式进行计算。
欧拉公式表达了多面体的面、边和顶点的数量之间的关系：面数+顶点数-边数=2。
2. 表面积和体积空间立体图形的表面积和体积是我们常用的两个指标。
表面积是指图形所有面的总面积，体积是指图形所占据的空间大小。
空间几何体知识点总结高三
空间几何体知识点总结高三空间几何体是高中数学中的重要组成部分，特别是在高三阶段，对于空间几何体的理解和运用能力是解决高考数学题目的关键。
本文将对空间几何体的主要知识点进行总结，帮助学生巩固基础，提高解题能力。
一、空间几何体的基本概念空间几何体是指在三维空间中所占有一定体积的图形。
根据构成方式和形状的不同，空间几何体可以分为多面体、旋转体和曲面等几大类。
多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，如正方体、长方体、棱锥、棱柱等。
旋转体则是由一个平面图形绕着某一条直线旋转所形成的几何体，如圆柱、圆锥和球体等。
曲面则是由参数方程或隐函数方程所定义的几何体，如圆环面、抛物面等。
二、空间几何体的性质1. 体积与表面积对于任何一个空间几何体，其体积和表面积是基本的几何量度。
对于规则的几何体，如正方体和球体，其体积和表面积都有固定的计算公式。
而对于不规则的几何体，则需要通过积分或其他方法来求解。
2. 空间关系空间几何体之间的相互位置关系，如平行、相交、包含等，是解决空间几何问题的基础。
在解析几何中，通过坐标系可以精确地描述这些关系。
3. 几何体的对称性许多空间几何体具有一定的对称性，如正方体具有六个面的对称性，球体则具有全方位的对称性。
对称性在解决几何体的计算和证明问题时具有重要作用。
三、空间几何体的计算1. 多面体的体积与表面积对于规则的多面体，其体积和表面积可以通过公式直接计算。
例如，正方体的体积V=a³，表面积S=6a²，其中a为正方体的边长。
对于不规则的多面体，则需要利用向量、平面几何等知识，通过分割和组合的方法来求解。
2. 旋转体的体积与表面积旋转体的体积和表面积计算通常涉及到积分。
例如，圆柱体的体积V=πr²h，表面积S=2πrh+2πr²，其中r为底面半径，h为高。
对于更复杂的旋转体，如圆锥和球体，也需要通过积分来计算其体积和表面积。
3. 组合体的计算在实际问题中，经常会遇到由多个简单几何体组合而成的复杂几何体。
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。
多面体的欧拉公式球
多面体的欧拉公式球(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--多面体的欧拉公式球多面体的欧拉公式：一．重点、难点提示1．多面体的概念若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．一个多面体至少有四个面．2．正多面体每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体．正多面体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种，其中正四面体、正八面体和正二十面体的各个面都是全等的正三角形，正六面体又叫做正方体，其各个面都是全等的正方形而正十二面体的各面是全等的正五边形．3. 欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，那么V+F-E=2．二．考点指要理解多面体、凸多面体、简单多面体和正多面体的概念，能运用欧拉公式进行有关的判断和计算．球：一．重点、难点提示1．球面的概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，半圆的圆心叫做球心．连结球心和球面上任意一点的线段叫做球半径，连结球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径．球面也可以看作与定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合，如果一个球的球心为O，我们可以把这个球记作球O．2．球的概念球面所围成的几何体叫做球体，简称球．3．球的截面及其性质用一个平面截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质：(1)球心与截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径及及截面的半径r有下面的关系：。
4．球面上的大圆和小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆，地球上的赤道就是一个大圆，北极圈就是一个小圆。
球面上两点距离的概念：在球面上，两点之间的最短连线的长度即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离。
不规则物体的体积公式
不规则物体的体积公式1. 球体（Sphere）：球体是一种常见的几何体，其体积可以通过以下公式进行计算：V球=(4/3)πr³2. 圆柱体（Cylinder）：圆柱体由一个圆形底面和一个平行于底面的侧面组成。
其体积可以通过以下公式进行计算：V柱=πr²h3. 锥体（Cone）：锥体由一个圆形底面和一个相交于底面的侧面组成。
其体积可以通过以下公式进行计算：V锥=(1/3)πr²h4. 多面体（Polyhedron）：多面体是由多个平面多边形组成的立体。
其体积可以通过不同的方法进行计算，具体取决于多面体的形状。
以下是几个常见多面体的体积计算公式：- 三棱锥（Triangular Pyramid）：V三棱锥=(1/3)Bh其中，V三棱锥表示三棱锥的体积，B是底面积，h是高度。
- 正方体（Cube）：V正方体=a³其中，V正方体表示正方体的体积，a是正方体的边长。
- 正四面体（Tetrahedron）：V正四面体=(1/3)Ö2*a³其中，V正四面体表示正四面体的体积，a是正四面体的边长。
- 正八面体（Octahedron）：V正八面体=(1/3)Ö2*a³其中，V正八面体表示正八面体的体积，a是正八面体的边长。
- 正十二面体（Dodecahedron）：V正十二面体=(15+7Ö5)/4*a³其中，V正十二面体表示正十二面体的体积，a是正十二面体的边长。
- 正二十面体（Icosahedron）：V正二十面体=(5/12)(3+Ö5)*a³其中，V正二十面体表示正二十面体的体积，a是正二十面体的边长。
这些是关于不规则物体的几个常见体积公式的介绍。
不规则物体的体积计算可能涉及许多其他形状和公式，这里只是列举了一些常见的例子。
在实际应用中，根据不同的不规则形状，可能需要使用其他特定的体积计算公式。
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多面体及球体的概念、性质、计算立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系。
考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力。
在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。
因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。
一般来说，平面向量在高考中所占份量较大，我们从以下五方面探讨立体几何问题的求解： 1.多面体及球体的概念、性质、计算；2.由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：3.关于线线、线面及面面平行的问题；4.关于线线、线面及面面垂直的问题；5.关于空间距离和空间角的问题。
一、多面体及球体的概念、性质、计算： 典型例题：例1.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为【】()A 26()B 36()C 23()D 22【答案】A 。
【考点】三棱锥的性质。
【解析】∵ABC ∆的外接圆的半径33r =，∴点O 到面ABC 的距离2263d R r =-=。
又∵SC 为球O 的直径，∴点S 到面ABC 的距离为2623d =。
∴此棱锥的体积为113262233436ABC V S d ∆=⨯=⨯⨯=。
故选A 。
例2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为【】（A ）6π（B ）43π（C ）46π（D ）63π 【答案】B 。
【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。
【解析】由勾股定理可得球的半径为3，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：()3V 43=433ππ=⨯⨯。
故选B 。
例3.如下图，已知正四棱锥S ABCD -所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01),SE x x =<<截面下面部分的体积为(),V x 则函数()y V x =的图像大致为【】【答案】A 。
【考点】棱锥的体积公式，线面垂直，函数的思想。
【解析】对于函数图象的识别问题，若函数()y f x =的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，可采用定性排它法：观察图形可知，当102x <<时，随着x 的增大，()V x 单调递减，且递减的速度越来越快，不是SE x =的线性函数，可排除C ，D 。
当112x ≤<时，随着x 的增大，()V x 单调递减，且递减的速度越来越慢，可排除B 。
只有A 图象符合。
故选A 。
如求解具体的解析式，方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃，并且作为选择题也没有太多的时间去解答。
我们也解答如下：连接AC ，BD ，二者交于点O ，连接SO ，过点E 作底面的垂线EH 。
当E 为SC 中点时，∵SB ＝SD ＝BC ＝CD ，∴SE ⊥BE ，SE ⊥DE 。
∴SE ⊥面BDE 。
∴当12SE x ==时，截面为三角形EBD ，截面下面部分锥体的底为BCD 。
又∵SA ＝SC ＝1，AC ＝2，SO ＝22。
此时24EH =。
∴1122()132424V x =⋅⋅⋅=。
当()102<SE x <时，截面与AD 和AB 相交，分别交于点F 、D ，设FG 与AC 相交于点I ，则易得1()3BCDFG V x S EH =⋅。
由EH ∥SO ，21,,12SE x CE x SO CS -==== ，得 ()2112x EH =-：：，即()212EH x =-。
由EI ∥SA ，1,2SE x CS AC === ，得12x AI =：：，即2AI x =。
易知AFG ∆是等腰直角三角形，即222FG AI x ==。
∴222112222AFG S FG AI x x x =⋅⋅=⋅=⋅。
∴()()()()()2221112()11113323262BCDFG ABCD AFG V x S EH S S E x x x x H ∆=⋅=---⋅=-⋅⋅⋅-=。
当()112<SE x <时，截面与DC 和BC 相交，分别交于点M 、N ，设MN 与AC 相交于点J ，则易得1()3CMN V x S EH ∆=⋅。
由EH ∥SO ，21,,12SE x CE x SO CS -==== ，得 ()2112x EH =-：：，即()212EH x =-。
由EJ ∥SA ，1,1,2SE x CE x CS AC ==-== ，得()121CJ x -=：：，即()12CJ x =-。
易知CMN ∆是等腰直角三角形，即()2212MN CJ x ==-。
∴()()()222211112221CMN S MN CJ x x x ∆=⋅⋅=⋅-⋅-=-。
∴()()()23122()1121323V x x x x =⋅=---。
综上所述，()()()231110221()=242211226132x <x <x x <x x V x <⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎝⎭。
结合微积分知识，可判定A 正确。
例4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈。
人们还用过一些类似的近似公式。
根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是【】A.3169d V ≈B.32d V ≈C.3300157d V ≈D.32111d V ≈ 【答案】D 。
【考点】球的体积公式以及估算。
【解析】由球的体积公式34=3V R π得33=4V R π，由此得3336=2=4V Vd ππ。
对选项逐一验证：对于A.3169d V ≈有1669π≈，即69=3.37516π⨯≈；对于B.32d V ≈有62π≈，即6=32π≈； 对于C.3300157d V ≈有3006157π≈，即6157=3.14300π⨯≈； 对于D.32111d V ≈有21611π≈，即611 3.142921π⨯≈≈； ∴32111d V ≈中的数值最接近36V π。
故选D 。
例5.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是【】（A ）(0,2)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(1,3) 【答案】A 。
【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。
【分析】如图所示，设四面体ABCD 的棱AC 长为a ，取BD 中点P ，连接,AP CP ，所以,AP BD CP BD ⊥⊥ ，在t R ABP ∆中，由勾股定理得AP CP ==22。
∴在ACP ∆中，APC CP AP CP AP a AC ∠⋅-+==cos 222221cos APC =-∠。
∵(0,)APC π∠∈，∴cos (1,1)APC ∠∈-。
∴2(0,2)a ∈ ∴(0,2)a ∈。
故选A 。
例6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ .【答案】33π。
【考点】空间几何体的体积公式和侧面展开图。
【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，根据条件得到ππ2212=l ，解得母线长2=l ，1,22===r l r πππ所以该圆锥的体积为：ππ331231S 3122=-⨯==h V 圆锥。
例7.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ▲ 【答案】π6。
【考点】圆柱的表面积。
【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：222426S l r πππππ=+=+=。
例9.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且++2AB BD AC CD a ==，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ▲ .【答案】13222--c a c 。
【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。
【解析】作BE AD ⊥于E ，连接CE ，则∵BC AD ⊥，BEBC B =，∴AD ⊥平面BEC 。
又∵CE ⊂平面BEC ，∴CE AD ⊥。
由题设，++2AB BD AC CD a ==，∴B 与C 都在以AD 为焦距的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距所在直线AD 。
∴BE =CE 。
取BC 中点F ，连接EF ，∵2BC =，∴EF ⊥BC ，1BF =，21EF BE =-。
∴2112BEF S BC EF BE ∆=⋅=-。
∴四面体ABCD 的体积212133BEC cV S AD BE ∆=⋅=-。
显然，当E 在AD 中点，即B 是短轴端点时，BE 有最大值为22b a c =-。
∴22max 213c V a c =--。
例10.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1。
E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为 ▲ 。
【答案】16【考点】三棱锥的面积。
【解析】∵三棱锥1D EDF -与三棱锥1F D DE -表示的是同一棱锥，∴11D EDF F D DE V V --=。
又∵1F D DE -的底△DD 1E 的面积是正方形面积的一半，等于12；底△DD 1E 上的高等于正方形的棱长1，∴11D EDF F D DE 111132V V 6--==⨯⨯=。
例11.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，AC BD =，AD BC =，则 ▲ _.(写出所有正确结论编号)①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90ο而小于180ο④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【答案】②④⑤。
【考点】四面体的性质。
【解析】①四面体ABCD 每组对棱不相互垂直，命题错误；②四面体ABCD 每个面是全等三角形，面积相等，命题正确；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180ο，命题错误； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分，命题正确；例12.已知点P A B C D ，，，，是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为326PA =则△OAB 的面积为 ▲ .【答案】33【考点】组合体的的位置关系，转化思想的应用。