2018届高中数学人教A版 (文)3.3三角函数的图象和性质单元测试 Word版 含答案

三角函数的图象及性质能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．知识点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 和性质易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )． 答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R 解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，221．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54. 答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间． 解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题． [解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0， ∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2.答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( )A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D.答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值． 解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。

第三节三角函数的图象与性质
【最新考纲】.能画出＝，＝，＝的图象，了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在[，π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
．周期函数和最小正周期
对于函数()，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每
一个值时，都有(＋)＝()，则称()为周期函数，为它的一个周期．若
在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做()的最
小正周期．
．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质。

高三一轮复习 3.3三角函数的图象和性质（检测教师版）时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3 C.3＋2 D ．2－ 3【答案】B【解析】因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为－2,1]，所以b －a ＝3.故选B.2．对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期为π，且在0,1]上单调递增.B ．f (x )的周期为2，且在0,1]上单调递减.C ．f (x )的周期为π，且在－1,0]上单调递增.D ．f (x )的周期为2，且在－1,0]上单调递减.【答案】B【解析】因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在0,1]上单调递减，故选B.3．(2016朝阳模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5，若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．2B ．4C ．πD ．2π 【答案】A【解析】由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期，即T 2＝πω＝2.故选A.4．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3【答案】B【解析】∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4，由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.故选B.5．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12 D.34【答案】D【解析】由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.故选D.6．（2016北京朝阳区二模）同时具有性质:“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】故排除A ；又图象关于直线对称，所以函数在处取得最值，故排除C ；又，对B ：，是减函数，故B 错。

2018版高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象和性质模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝sin|x |答案 B解析 注意到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.2．[2017·衡阳模拟]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( )A ．0B ．33C ．1D ． 3答案 D解析 由条件可知，f (x )的周期是π4.由πω＝π4，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π12＝tan π3＝ 3.4．[2017·南昌模拟]函数y ＝cos x －32的定义域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R 答案 C 解析 ∵cos x －32≥0, 得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])的递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 答案 A解析 首先将函数化为y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈[0，π])，令t ＝2x －π6，x 增大，t 增大，所以为求函数的增区间，须研究y ＝2sin t 的减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z 得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，所以k ＝0时得⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，故选A.6．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 53π4＋2k π(k ∈Z ) 解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )． 7．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是________．答案 2解析 由题意得ω×π6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，ω＝6k ＋2(k ∈Z )，∵ω∈N *，所以ω的最小值是2.8．[2017·郑州模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为________．答案 32解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以T 4≤π3，即π2ω≤π3.所以ω≥32，即ω的最小值为32. 9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z. 因为ω＝12，所以周期T ＝πω＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解 ∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则|φ|的最小值是( )A ．π4B ．π3C ．π6D ．π2答案 A解析 由题意可知，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，故φ＝k π－π4，k ∈Z .当k ＝0时，φ＝－π4，此时|φ|＝π4为最小值，选A.12．[2017·石家庄模拟]若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34解析 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z .因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. 13．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．答案 (3，2)解析 令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ( x ＋π3 )＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称．(1)求φ，ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2， 求f (x )的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称，所以ω×34π＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f (x )的最小值为0.。