论正态分布的重要性和意义

论正态分布的重要性和意义一、正态分布的概论正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

若随机变量X服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。

二、正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布。

其重要性我们可以从以下两方面来理解：（1）一方面。

正态分布是自然界最常见的一种分布。

一般说来.若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。

例如，产品尺寸是一类典型的总体。

对于成批生产的产品.如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定.而且不存在产生系统误差的明显因素。

那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。

又如测量的误差,炮弹落点的分布,人的生理特征的量:身高.体重等,农作物的收获量等等.都服从或近似服从正态分布。

（2）另一方面.正态分布具有许多良好的性质.很多分布可以用正态分布来近似描述.另外.一些分布又可以通过正态分布来导出.因此在理论研究中正态分布也十分重要。

正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。

例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。

正态分布公式的意义正态分布是概率论与统计学中非常重要的一种分布，也称为高斯分布。

它的概率密度函数可以用一个简单的公式来表示，而这个公式的意义也十分深远。

正态分布的公式可以表示为：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-(x-μ)² / (2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差，e是自然对数的底数。

正态分布在自然界和人类社会中广泛存在，它的重要性体现在以下几个方面。

正态分布在统计学中具有重要的作用。

许多现实世界的观测数据都可以近似地服从正态分布。

例如，人的身高、体重、智力水平等，都可以用正态分布来描述。

通过对这些数据的统计分析，我们可以了解这些特征的分布情况，从而推断出一些普遍规律。

正态分布在假设检验和参数估计中起着关键的作用。

假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断某个假设是否成立。

而正态分布则是许多假设检验方法的基础，我们可以根据样本数据的正态分布情况，进行合理的假设检验。

正态分布还具有中心极限定理的重要性质。

中心极限定理指出，当独立随机变量的数量足够大时，其和的分布接近于正态分布。

这个定理在实际应用中非常有用，它使得我们可以利用正态分布来近似计算一些复杂随机变量的分布，简化计算过程。

正态分布还在许多领域中被广泛应用。

在自然科学领域，许多物理量的测量误差可以用正态分布来描述，从而帮助我们评估测量结果的可靠性。

在金融领域，股票价格、汇率等也常常服从正态分布，这对于风险管理和投资决策具有重要意义。

在工程领域，正态分布常被用于描述产品尺寸的变异情况，从而帮助设计和生产过程的优化。

正态分布公式的意义非常重大。

它不仅可以用于描述现实世界的数据分布，还可以用于统计分析、假设检验和参数估计。

正态分布的中心极限定理以及在各个领域的应用也使得它成为统计学与概率论中不可或缺的一部分。

通过对正态分布的深入理解和应用，我们可以更好地认识和把握事物的本质，促进科学的发展和社会的进步。

简述你对正态分布的认识正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是概率统计学中最为重要和常见的概率分布之一。

正态分布是指当某一随机变量服从该分布时，其概率密度函数呈现出左右对称的钟形曲线形状。

正态分布的特点主要体现在两个方面。

首先，它的均值、中位数和众数都相等，且位于曲线的中心。

这意味着随机变量的取值更有可能接近均值。

其次，正态分布的标准差决定了曲线的宽窄程度。

当标准差较小时，曲线较为陡峭，变量的取值相对集中；而当标准差较大时，曲线较为平缓，变量的取值相对分散。

正态分布在实际应用中具有广泛的意义和应用价值。

首先，正态分布假设是许多统计推断和参数估计方法的基础。

例如，许多假设检验和回归分析都基于正态分布的假设。

其次，正态分布也被广泛应用于自然和社会科学中的数据分析。

许多自然现象和人类行为都可以近似地描述为正态分布。

最后，正态分布还在风险管理和金融领域中起到重要作用。

例如，股票价格的变动和收益率常常服从正态分布，这对投资者进行风险评估和决策提供了基础。

尽管正态分布在实际应用中具有重要作用，但也要注意到不是所有数据都符合正态分布。

在实际情况中，很多数据可能存在偏离正态分布的情况，例如长尾分布和偏态分布等。

因此，在使用正态分布进行统计推断和数据分析时，需要首先对数据进行合适的检验和转换，以确定其是否符合正态分布的假设。

总之，正态分布是概率统计学中一种重要的概率分布，具有对称的钟形曲线形状。

它在统计推断、参数估计、数据分析和风险管理等领域具有广泛的应用。

然而，要注意到实际数据可能存在偏离正态分布的情况，因此在使用正态分布进行分析时需要谨慎。

论正态分布的重要性和意义一、正态分布的概论正态分布Normaldistribution,也称“常态分布”,又名高斯分布Gaussiandistribution,最早由 A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到.C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它.P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质.是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力.若随机变量X服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布,且其概率密度函数为则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作,读作服从,或服从正态分布.二、正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布.其重要性我们可以从以下两方面来理解：1一方面.正态分布是自然界最常见的一种分布.一般说来.若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布.例如,产品尺寸是一类典型的总体.对于成批生产的产品.如果生产条件正常并稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定.而且不存在产生系统误差的明显因素.那么,产品尺寸的总体分布就服从正态分布.又如测量的误差,炮弹落点的分布,人的生理特征的量:身高.体重等,农作物的收获量等等.都服从或近似服从正态分布.2另一方面.正态分布具有许多良好的性质.很多分布可以用正态分布来近似描述.另外.一些分布又可以通过正态分布来导出.因此在理论研究中正态分布也十分重要.正态分布有极其广泛的实际背景,生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如,在生产条件不变的情况下,产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量,等等.一般来说,如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果,那么就可以认为这个量具有正态分布见中心极限定理.从理论上看,正态分布具有很多良好的性质,许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的,例如对数正态分布、t分布、F 分布等.三、正态分布的意义正态分布的意义在于它的应用领域.⒈估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例.⒉制定参考值范围⑴正态分布法适用于服从正态或近似正态分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标.⑵百分位数法常用于偏态分布的指标.表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握.⒊质量控制：为了控制实验中的测量或实验误差,常以作为上、下警戒值,以作为上、下控制值.这样做的依据是：正常情况下测量或实验误差服从正态分布.⒋正态分布是许多统计方法的理论基础.检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布.许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布,但相应的统计量在大样本时近似正态分布,因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的.。

正态分布剖析1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布。

一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。

一般说来，假设影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，那么这个指标服从正态分布。

例如，产品尺寸；测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、体重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。

另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述，另外，一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。

2．正态曲线及其性质正态分布函数：222)(21)(σμπσ--=x e x f ，x ∈〔-∞，+∞〕1．正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=E ξ，σ=D ξ。

2．正态曲线具有以下性质：〔1〕曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交。

〔2〕曲线关于直线x =μ对称。

〔3〕曲线在x =μ时位于最高点。

〔4〕当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。

〔5〕当μ一定时，曲线的形状由σ确定。

σ越大，曲线越“矮胖〞，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高〞，表示总体的分布越集中。

3．标准正态曲线标准正态曲线N 〔0，1〕是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。

由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表〞。

对于抽象函数)()(00x x p x <=Φ，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N 〔0，1〕、x 轴、直线0x x =所围成的图形的面积。

再由N 〔0，1〕的曲线关于y 轴对称，可以得出等式)(1)(00x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。

4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，所以，研究其在某个区间),(21x x 的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。

概率论正态分布正态分布是概率论中最为重要的分布之一，它也被称为高斯分布，是一种连续概率分布。

正态分布在自然界中广泛存在，例如身高、体重、智力等指标都符合正态分布。

正态分布的研究对于统计学、经济学、物理学、生物学等学科都具有重要的意义。

正态分布的概率密度函数可以表示为：$$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$$其中，$mu$ 是均值，$sigma$ 是标准差，$x$ 是随机变量。

正态分布的均值和方差分别为 $mu$ 和 $sigma^2$。

正态分布的图像呈钟形曲线，中心对称。

其中，均值 $mu$ 是曲线的对称轴，标准差 $sigma$ 决定了曲线的宽度。

当$sigma$ 越大时，曲线越平缓；当 $sigma$ 越小时，曲线越陡峭。

正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中的一些：1. 正态分布的均值、中位数和众数相等。

2. 正态分布的曲线在均值处取得最大值。

3. 68.27% 的数据位于均值 $pm$ 1 个标准差之间。

4. 95.45% 的数据位于均值 $pm$ 2 个标准差之间。

5. 99.73% 的数据位于均值 $pm$ 3 个标准差之间。

6. 正态分布可以通过标准正态分布进行标准化，即将原始数据减去均值后除以标准差，得到的数据符合标准正态分布。

正态分布的应用正态分布在实际应用中非常广泛，以下是其中的一些应用：1. 统计学中，正态分布是许多假设检验和区间估计的基础。

2. 生物学中，正态分布可以用来描述许多生物特征，例如身高、体重、血压等。

3. 工程学中，正态分布可以用来描述许多工程参数，例如材料强度、电路噪声等。

4. 经济学中，正态分布可以用来描述许多经济指标，例如收入、消费、通货膨胀等。

5. 金融学中，正态分布可以用来描述许多金融指标，例如股票价格、汇率等。

正态分布的拟合检验在实际应用中，我们经常需要判断一个数据集是否符合正态分布。

论正态分布的重要地位和应用Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】本科毕业论文（设Array计）题目：论正态分布的重要地位和应用学部：工学部学生姓名：王梅影年级：2011级专业班级：信息与计算科学指导教师：赵姣珍职称：讲师完成时间：2015/5/15中国·贵州·贵阳成果声明本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。

毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本声明的法律结果由本人承担。

论文作者签名：日期年月日目录摘要：正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,是概率论中最重要的一中分布.在理论上和实际生活中正态分布具有重要地位，数理统计中的正态分布是很多重要问题的解决的基础，在理论研究中占有举足轻重的地位.本文首先针对正态分布这一理论研究与实际应用都占有重要地位的概率分布展开分析研究，从其基本概念出发，然后分析其特性以及各种应用价值，最后通过一系列研究给出正态分布具有重大作用的理论依据.关键词：正态分布标准正态分布方差标准差Abstract: The normal distributionis the most common distribution of acontinuous random variablewhether in theoretical research orpractical application. It occupiespride of placein that ithas awideapplication in the field . It cansolve many important problemsin the mathematical statisticswhich based on the normal distribution forthe normal distribution,soin theory to studythe normal paper analysis the normal probability distributionaccording to thetheoretical research and practical application which occupy an important position in many science fields from the basicconcept,analysis andapplication value of itscharacteristics.The theoretical basisis giventhrough a series ofstudies onthe normal distributionhas a significant role.Key words: The normal distribution Standard distribution Thecurve Standard deviation1绪论研究背景随机现象存在于自然界和人类生活中的每一个角落，因此概率论在现实中的应用非常之广泛，而在概率论中的最主要的一个分支就是正态分布（Normal distribution），正态分布不仅在金融、精算以及保险等新型领域中占有重要地位，而且对于医学、物理学、生物学等领域的影响也是不可忽略的.正态分布又被称为高斯分布，正态分布在统计学科、数学领域、自然生物领域都有着极其关键作用的概率分布.我们假设连续性随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2).μ决定了正态分布的期望值，其标准差σ决定了分布的幅度.由于正态分布的曲线也称为钟形曲线.在日常的学习研究之中，标准正态分布，它是μ = 0,σ = 1的正态分布.正态分布是我们生活中不可或缺的一部分，如果能够充分理解它，它能够带来的利益也是无法估量的.作为新时代的大学生，很好地掌握正态分布的原理并能够将其运用于社会生活中，是我们的一个任务，为此对正态分布进行系统的学习和研究.研究目的正态分布是统计方法的理论中最为基础的部分，是不以人类的意志而转移的统计规律，具有统一的函数表达式.正态分布在实际生活中，存在着很多服从正态分布的例子,.比如测量产品的误差、产品质量的测量，农业作物的产量等.服从正态分布的随机变量应用非常之广.没有任何一种随机变量可以相比较.所以，我们需要对正态分布进行深入广泛的研究.为了能够更好地掌握正态分布，让其能够更好地被应用生活之中，为人类谋取更多的福利，对其在理论和应用方面进行了系统的研究以求进一步的了解正态分布的奥秘.研究现状正态分布概念首先由数学家De Moivre发现引入并提出，然后直到1809年，德国数学家Gauss将其应用于自然科学的广泛研究，因此又被称作高斯分布.正态分布最早是通过进行误差分析而发现的.进入近代统计时代，拉普拉斯首次提出了概率论的古典定义，把概率论的理论作为基本理论，再次进行了中心极限定理的证明，进一步完善了观测误差论，在前人的基础上进行了一次伟大的改革.19世纪50年代凯特莱运用大量的概率论原理对自然和社会现象进行测量，然后统计出大数据，这些数据反映出来的规律可以体现事物的变化，甚至可以预测未来事件发生的可能性.随后凯特莱有对正态曲线进行了拓展，高尔顿对正态分布进行了创新.19世纪起，以马尔可夫和切比雪夫为代表的数学家通过引入随机变量的盖帘，建立了随机变量的独立性和非独立性的标准，提出了收敛到正态分布的充要条件.到达20世纪，通过哥赛特，费歇尔等人的努力，小样本理论诞生了，正态分布的地位得到了进一步的巩固.20世纪后，统计学家在实验中获得的数据越来越精确，由统计分析得到的结论得到了普遍认可.研究意义正态分布具有极其广泛的实际应用背景，在人们的各种生产生活以及科学实验当中，有大量的随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.当我们描述某一件事或者某一个要达到的目标时，大部分的个体所发挥出来的特性都能够很好地服从正态分布.这也就是说，对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.除此之外，正态分布也可应用到解决现实生活问题，产品质量管理、人体生理的特征及学生的综合素质等多领域都可以用正态分布进行研究.因此，正态分布作为一种最常见的连续型随机变量的分布，不仅在概率论和数理统计的理论研究中有重要地位，而且在实际应用上也有着重要研究价值.充分研究正态分布在理论和应用中的重要定位，可以让我们充分学习到正态分布的理论知识，站在前人的肩膀上获得最好的研究成果.有利于在今后的研究中少走弯路，为今后研究打好基石.2 正态分布相关知识介绍正态分布的概念正态分布又被称作高斯（Gauss ）分布或常态分布.正态分布曲线的两边低，中央是高峰，逐渐下降至两侧，左右呈现对称的，曲线不与横轴相交.设连续型随机变量ξ的密度函数为:()()22221σμπσϕ--=x ex ()x -∞<<+∞(其中μσ、是常数,且 0σ>,μ为所研究的正太总体平均值,σ为标准差,x 为随机抽取得正态分布中的样本值).则称随机变量ξ服从参数为μσ、的正态分布,记作()2,~σμξN ，正态分布密度函数的图形如下图所示，这条曲线应称作“正态分布曲线”.图2-1 正态密度曲线分布图正态分布曲线特性对上式（）进行一定的数学计算处理： 对式（）求导，可得：)(21)(222)(3μπσϕσμ-⋅-='--x ex x （）令()0='x ϕ,则有x μ=,即当x μ=时, ()x ϕ有极大值max ()2x ϕσπ=对式（）求导有:()()()[]22252221σμπσϕσμ--⋅=''--x ex x令()0=''x ϕ,则有()22x μσ-= ,即曲线在:x μσ=±可以看到拐点，而且有两个.表2-1 正态曲线的特性表0 - - -0 - -- 0曲线凹拐点凸极大值 凸拐点 凹对正态分布整体特性做了一定的介绍之后，下面对参数当μ和σ的意义进行阐释，当它们确定后，正态曲线就几乎能够得到了完全的确定.μ和σ 不同，μ的大小决定曲线的“高”、“矮”、“胖”、“瘦”，如果μ不变，改变σ，则曲线在x 轴上的位置不变，形状会变化，σ愈小，曲线愈“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图2-3所示； 如果σ不变，改变μ，那么曲线形状不变，只在x 轴上平行移动如图2-2所示：图2-2 正态曲线的特性图图2-3 正态曲线的密度函数图我们从几何的角度对上图进行分析，在上图中，μ是高斯曲线取得极大值的横坐标、σ是曲线中拐点横坐标与极大值坐标μ间的距离，也能够说σ是凸、凹曲线的连接点在横坐标轴的位置；从物理的角度对上图进行分析，在上图中，μ是正态曲线与x 轴之间所构成的平面图形重心的横坐标.在计量学科中，μ是被测量的随机变量的真值，σ是表征随机变量对象测量值分散特性的一个评价尺度因素.在数理统计学科中，μ被称为数学期望也就是平均值，σ是随机变量的标准偏差.当σ的值越小，说明观测值落在μ所在横坐标左右范围的概率越大，观测值较集中，测量精度相对较高；σ的值越大，说明观测值落在μ所在横坐标左右范围内的概率越小，观测值较分散，测量精度偏低.综上所述，正态分布的参数μ代表着随机变量样本观测值的集中的趋势,参数σ反映了随机变量样本观测值的分散程度.标准正态分布称1,0==σμ的正态分布为标准正态分布，将1,0==σμ代入式可以得到：()2221x e x -=πϕ ()x -∞<<+∞式为标准正态分布的密度函数，服从标准正态分布的随机变量()2,~σμξN通过对概率论的学习告诉我们，标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为：()()()()dt e dt t x P x P x F t x x 2221-∞-∞-⎰⎰==<<∞-=<=πϕξξ通常用()x Φ表示标准正态分布的分布函数，即：()()()()dt e dt t x P x P x t x x 2221-∞-∞-⎰⎰==<<∞-=<=Φπϕξξ取不同的x 的值，式的几何意义是在区间(),x -∞内正态曲线与x 轴之间所围曲边梯形的面积,如图所示,图2-4 标准正态分布的分布函数图这也是将“正态分布表”称作“正态概率曲线下的面积”的道理.由于密度函数()x ϕ可以在整个x 轴上取值，密度函数性质得:即迎合了正态曲线的一个性质：线与x 轴所围面积为l.3 正态分布的应用正态分布应用实例3.1.1 正态分布在生产中的应用正态分布实际应用很广，在很多产品生产及科学实验中，随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.例 有一种螺纹量规平均可使用5年,其标准差为年.假设螺纹量规的使用寿命服从正态分布,试求以下概率:1)使用期不到4年;2)使用期超过6年.解 设量规使用期为随机变量ξ,由题意知()28.0,5~N ξ,本题求()()46P P ξξ<>和1) 根据公式有:()()()44544 1.250.10560.8P P μξξσ--⎛⎫⎛⎫<=-∞<<=Φ=Φ=Φ-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 或由公式可得()()()()4045054040.80.81.25 6.250.105600.1056P P μμξξσσ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<<=Φ-Φ=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=Φ--Φ-=-=,2) 根据公式有()()()6561611 1.2510.89440.10560.8P P ξξ-⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭. 例 某车间加工一批轴,其直径服从正态分布,平均直径μ=l0mm ,标准差σ=mm .规定直径在(10±mm 范围内为合格品.求:1)不合格品的概率;2)合格品的概率.解 设这批轴的直径为随机变量ξ,由题意知()015.0,10~N ξ.03.10>ξ和97.9<ξ为不合格品.1) ()()()9.97109.9710.03110.030.015不合格P P P P ξξξ-⎛⎫=<+>=Φ+-≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭2) ()10.03109.97109.9710.030.0150.015合格P P ξ--⎛⎫⎛⎫=<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222120.9772510.9545=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=,或 110.04550.9545P P =-=-=合格不合格.即975.002.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φd .3.1.2正态分布在日常生活中的应用在自然界以及人类自然生活中,很多的实践经验证实，正态分布这种随机变量的概率分布的应用是十分广泛的，十分常见.例如：人的身高、体重、生物的生理尺寸等外观评估指标.随机测量误差指标等，都能够看作是近似服从的正态分布.（1）已知某条件下的概率,求参数 和例 有一群男子,4％的身高在m 608.1以下,有52％在m 608.1到m 753.1之间.若身高成正态分布,求这一分布的平均值和标准差.解 由题意得:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<56.052.004.0753.1753.104.0608..1608.1σμξσμξP P , 由概率值和反查正态分布表得: ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-15.0753.175.1608.1σμσμ, 化为:⎩⎨⎧=--=+-015.0753.1075.1608.1σμσμ, 解得:()()⎩⎨⎧==m m 742.1076.0μσ, 即这群男子平均身高为m 742.1,标准差为mm 076.0.(2)已知 , 和区问(a,b)内的变量数,求总变量数例 某天中午一餐厅所有顾客吃饭用的钱服从正态分布,平均数为元,标准差为元.这天中午有420人吃午饭用了元或更多,问一共来了多少顾客解 ()()()5793.04207.012.012.174.85.815.815.8=-=-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=≤-=>ξξP P 故总顾客数为: 7255793.0420=÷=ξ(人).3.1.3正态分布在销售分类中的应用例 某水果重量成正态分布,现进行分级,20％为小的,55％为中等,15％为大，10％为特大.所有水果平均重量为g ,标准差为60g ,求中等水果的下限与上限的重量.解 由题意知,中等水果下限下x 以下的概率为,上限为上x 以下的概率为+=,于是有:反查正态分布表得:即中等水果下限重量为191g ,上限为282g .3.1.4正态分布在工作学习中的应用正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决考试成绩与学生综合素质研究的现实生活问题当中.例 某公司对职工进行基本理论考试,决定给14％ 的人以优.由以往经验知考试成绩成正态分布,平均分数为80分,标准差为14分,问职工至少考多少分方能得优解 设至少考x 分方能得优,由题意:()()14.0148011=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ， 86.014.011480=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx . 反查正态分布表得:08.11480=-x ，9508.11780=⨯+=x (分)即考生至少得95分方能得优.3.1.5 正态分布在仪器测量中的应用正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标. 可以制定参考值范围.（1）已知 ,及各范围内的概率,求某范围的上、下限例 用某量具测量±d)mm 这一尺寸.已知测量值平均数为mm ,标准差为mm ,测量值服从正态分布.要使测量值的95％都在公差范围内,问d 值应定为多少解 本题是求概率为的尺寸范围.设测得的值为随机变量ξ,则()202.0,26.5~N ξ.由题意得() 5.26 5.26 5.26 5.265.26 5.260.020.02210.950.020.020.02d d P d d d d d ξ+---⎛⎫⎛⎫-<<+=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ-=Φ-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 反查正态分布表得:96.102.0=d ， 故有mm 0392.002.096.1=⨯=σ.（2）用标堆差确定所需测量次教例 用某仪器测一尺寸L,已知该仪器标准差 m μδ1=,尺寸允许的测量极限误差m μδ4.1±=,问测量一次能否达到要求解 因δ=<3σ=3,故测量一次达不到精度要求,应进行多次测量,得559.44.13322≈=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥δσn ， 可见,至少要测量5次. 正态分布的应用价值正态分布理论有很多重要的理论和应用价值：（1）估计频数分布，一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例.（2）制定参考值范围.（3）质量控制.（4）制定医学参考值范围:医学现象中，如同质群体的身高、红细胞数，及实验中的，呈现为正态或近似正态分布；有些指标虽服从，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理.总 结正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决一些现实生活问题当中.医学遗传分析、考试成绩与学生综合素质研究以及质量管理和控制等诸多领域都可以利用正态分布进行研究.正态分布是统计方法的理论中最为基础的部分，具有统一的函数表达式.正态分布在实际应用中也扮演着不可或缺的角色.在自然界和社会中，存在着很多服从或近似服从正态分布的例子，如测量产品的误差、各类质量指标的测量，经济学中的股票价格走向的估计，生物学中农业作物收获量的猜测等等.服从正态分布的随机变量应用之广是任何一种随机变量不可比拟的.为此，对正态分布进行更深入更广泛的研究也是必不可少的.为了能够更好地掌握正态分布，让其能够更好地被应用生活之中，为人类谋取更多的福利，对其在理论和应用方面进行了系统的研究以求进一步的了解正态分布的奥秘.参考文献[1] 概率论与数理统计（第三版）高等教育出版社.[2] 龚光鲁.概率论与数理统计.清华大学出版社.[3] 胡细宝.概率论与数理统计与随机过程.北京邮电大学出版社.[4] 上海交大应用数学系.概率论与数理统计初步.上海交太出版社,.[5] 沈恒范.概率论讲义[M].第2版.人民教育出版社,.[6] 等.概率论与数理统计[M].第3版.高等教育出版社,.[7] 范金城等.概率论与数理统计[M].西安交大出版社,月.[8] 周富臣等.机械制造计量检测技术手册[J].机槭工业出版社. .[9] 王梓坤着.概率论基础及其应用[M].北京师范大学出版社，1996.[10] 李逢高着.概率统计应用与提高[M].科学出版社，2005.[11] 朱燕堂等着.应用概率统计方法[M].西北工业大学出版社，1997.致谢在历时三个月时间的努力下，我终于顺利写完了毕业论文.在这篇充满奋斗的历程中，带给我的学习生涯无限的激情和收获.在我的论文的写作的过程中，虽然遇到了一些困难和阻碍，不过感谢在同学和老师的帮助下我都度过了.不管是在图书馆收集查找资料还是借阅书籍文献的时候，图书馆的老师都给了我许许多多的帮助.在此，我要特别感谢我的论文指导老师——赵姣珍老师，感谢她在论文写作这三个月期间对我进行了无微不至的帮助，一次一次不厌其烦的为我进行论文的修正与改进，如果没有赵老师的悉心指导，我想我也将不会顺利的完成我的论文.同样我向所有指导过以及帮助过我的老师们表示最由衷的感谢！同时，我也要感谢本论文所引用的众多学者的着作，若没有这些学者的研究成果的启发和引导帮助，我也将无法完成我的论文.我还要感谢我的同学和朋友们，是你们给我打气给我鼓励，还给予我有价值的论文相关资料，在论文的排版及撰写过程中给予我的支持与热情的帮助！最后，由于我的专业学术水平有限，所写论文也许有些许不足，诚恳殷切地希望老师们和同学们能够给予我批评与指正！谢谢！。

论正态分布的重要性和意义一、正态分布的概论正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

若随机变量X服从一个位置参数为、尺度参数为?的概率分布，且其概率密度函数为则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作??，读作??服从??，或??服从正态分布。

二、正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布。

其重要性我们可以从以下两方面来理解：（1）一方面。

正态分布是自然界最常见的一种分布。

一般说来.若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。

例如，产品尺寸是一类典型的总体。

对于成批生产的产品.如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定.而且不存在产生系统误差的明显因素。

那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。

又如测量的误差,炮弹落点的分布,人的生理特征的量:身高.体重等,农作物的收获量等等.都服从或近似服从正态分布。

（2）另一方面.正态分布具有许多良好的性质.很多分布可以用正态分布来近似描述.另外.一些分布又可以通过正态分布来导出.因此在理论研究中正态分布也十分重要。

正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。

例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

正态分布在日常生活中正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为常见的一种概率分布。

它具有钟形曲线，左右对称，均值、中位数和众数相等的特点。

在日常生活中，正态分布无处不在，影响着我们的生活方方面面。

本文将从不同角度探讨正态分布在日常生活中的应用。

首先，正态分布在人类身体特征中的体现。

人类身高、体重等特征往往符合正态分布。

以身高为例，大多数人的身高集中在平均值附近，而极端的身高则较为罕见。

这种分布特点使得我们可以通过正态分布来描述和分析人类身体特征的变化规律。

在医学领域，正态分布也被广泛运用于评估人体各项指标的健康状况，为诊断和治疗提供重要依据。

其次，正态分布在教育领域的应用。

学生的考试成绩往往呈现正态分布的特点。

在一次考试中，大多数学生的成绩集中在平均水平附近，而高分和低分的学生数量相对较少。

教育工作者可以通过正态分布来分析学生成绩的分布情况，制定针对性的教学计划，帮助学生提升学习成绩。

同时，正态分布也被用于学生能力评估和选拔，为学校和教育机构提供科学依据。

此外，正态分布在经济学中的应用也十分广泛。

股市的波动、商品价格的变化等经济现象往往符合正态分布。

投资者和经济学家可以通过正态分布来分析市场走势，预测未来的发展趋势，制定投资策略。

正态分布也被运用于风险评估和金融衍生品定价，为金融市场的稳定运行提供支持。

此外，正态分布在工程领域的应用也十分重要。

工程测量中的误差、材料的强度等参数往往服从正态分布。

工程师可以通过正态分布来评估工程项目的风险，制定合理的设计方案，确保工程质量和安全。

正态分布也被广泛应用于质量控制和产品检测领域，帮助企业提升生产效率和产品质量。

总之，正态分布作为一种重要的概率分布，在日常生活中发挥着重要作用。

无论是身体特征、教育成绩、经济现象还是工程参数，正态分布都贯穿其中，为我们的生活和工作提供了重要的参考依据。

因此，了解和掌握正态分布的特点和应用，对于提升我们的生活品质和工作效率具有重要意义。

统计学正态分布统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。

在统计学中，正态分布是最为重要和广泛应用的一种概率分布。

本文将介绍正态分布的定义、特点、应用以及与其他分布的比较。

正态分布，又称高斯分布或钟形曲线分布，是一种对称的连续概率分布。

它的概率密度函数（PDF）可以用以下公式表示：f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ是均值（期望），σ是标准差。

正态分布的均值决定了曲线的位置，标准差决定了曲线的形状。

当μ=0，σ=1时，称为标准正态分布。

正态分布具有许多重要的特点。

首先，它是对称的，即曲线的左右两侧是镜像关系。

其次，大部分数据集都可以近似地用正态分布来描述。

这是由中心极限定理保证的，即当样本容量足够大时，样本均值的分布会趋于正态分布。

因此，正态分布在统计推断中扮演着重要的角色。

正态分布在许多领域中都有广泛的应用。

首先，它可以用来描述许多自然现象，如身高、体重等。

在人群中，身高和体重的分布通常近似于正态分布。

其次，正态分布在工程和质量控制中也起着重要的作用。

例如，在制造过程中，产品尺寸的分布通常可以用正态分布来描述。

通过分析正态分布，可以评估产品的质量水平和生产过程的稳定性。

除了正态分布，在统计学中还有许多其他的概率分布。

例如，均匀分布、指数分布、泊松分布等。

与这些分布相比，正态分布具有许多独特的优点。

首先，正态分布是连续的，可以表示任意小的概率。

其次，正态分布具有良好的数学性质，便于进行推导和计算。

最重要的是，许多统计推断方法是基于正态分布的假设建立的，因此正态分布在统计学中具有特殊的地位。

尽管正态分布在统计学中具有重要地位，但也存在一些限制。

首先，正态分布假设数据呈正态分布，但实际数据往往不完全符合这个假设。

因此，在使用正态分布进行统计推断时，需要进行适当的检验和修正。

其次，正态分布对异常值比较敏感，当数据中存在异常值时，正态分布的拟合效果会受到影响。