北京初三数学模拟试卷附答案

2023北京北师大附中初三三模数 学一、选择题（共16分，每题2分）1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A.B.C.D.2. 2021年《中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见》发布，明确了我国实现碳达峰碳中和的时间表、路线图．文件提出到2030年森林蓄积量达到190亿立方米．将19000000000用科学记数法表示应为（ ） A. 101910⨯B. 101.910⨯C. 110.1910⨯D. 91.910⨯3. 实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足0a b +>，则b 的值可以是（ ）A. －2B. －1C. 1D. 24. 如图，点C ，D 在直线AB 上，OC OD ⊥，若120ACO ∠=，则∠BDO 的大小为（ ）A. 120B. 140C. 150D. 1605. 若1a b +=，则代数式221a b b a b⎛⎫−⋅ ⎪−⎝⎭的值为（ ） A. 2−B. 1−C. 1D. 26. 从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（ ） A.14B.13C. 12D.237. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m ，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ） A. 29m πB. 26m πC. 23m πD. 2m π8. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （单位：千帕）随气球内气体的体积V （单位：立方米）的变化而变化，P 随V 的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P 与气球内气体的体积V 的函数关系最可能是A. 正比例函数B. 一次函数C. 二次函数D. 反比例函数二、填空题（共16分，每题2分）9. x 的取值范围是___________________．10. 分解因式：222x 2y −= ______.11. 正多边形一个外角的度数是60︒，则该正多边形的边数是______．12. 若关于x 的一元二次方程2410x x m −+−=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是___． 13. 用一个a 的值说明命题“若0a >，则21a a>”是错误的，这个值可以是=a ______． 14. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，70ABC ∠=，P A ，PC 是⊙O 的切线．∠P ＝___°．15. 如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．16. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a ～h 的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b ，c ，d 的3个球，接着乙首次也取走3个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有a ，b 的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．三、解答题（共68分，第17－21题，每题5分，第22－24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17. 112sin 4522−⎛⎫+−+ ⎪⎝⎭．18. 解分式方程：312242x x x −=−−． 19. 解不等式1253x x −−<，并写出它的所有非负整数解． 20. 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形． 作法：① 作⊙O 的直径AB ；② 分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 同样长为半径作弧，两弧交于M ，N ； ③ 作直线MN 交⊙O 于点C ，D ； ④ 连接AC ，BC ，AD ，BD ．∴ 四边形ACBD 就是所求作的正方形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：∵ MN 是AB 的 ，∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°．∴ AC = BC = BD = AD ．（ ）（填推理依据） ∴ 四边形ACBD 是菱形． 又∵AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB = 90°．（ ）（填推理依据） ∴ 四边形ACBD 是正方形．21. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点()13−，． （1）求这个反比例函数的解析式；（2）当1x <−时，对于x 的每一个值，函数y x n =−+的值大于反比例函数(0)ky k x=≠的值，直接写出n 的取值范围．22. 如图，在菱形ABCD 中，O 为AC ，BD 的交点，P ，M ，N 分别为CD ，OD ，OC 的中点．（1）求证：四边形OMPN 是矩形；（2）连接AP ，若4AB =，60BAD ∠=，求AP 的长．23. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，OD AB ⊥交AC 于点E ，DE DC =．（1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若4OA =，2OE =，求cos D ．24. 2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，该意见对学生睡眠时间提出了新的要求．为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息． a ．睡眠时长（单位：小时）：c．睡眠时长的平均数、众数、中位数如下：（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图；（2）直接写出表中m，n的值；（3）根据抽样调查情况，可以推断（填“男生”或“女生”）睡眠情况比较好，理由为．25. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；（2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度； （3）求起跳点A 距离地面的高度；（4）在一次表演中，已知人梯到起跳点A 的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A 的水平距离才能成功？ 26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2261y ax m x =+−+经过点()1,24m −．（1）求a 的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）点()1,m y −，()2,m y ，()32,m y +在抛物线上，若231y y y <≤，求m 的取值范围．27. 在ABC 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是________，若BC a =，则CD 的长为________；（用含a 的式子表示）（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ． ①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．28. 我们规定：如图，点H 在直线MN 上，点P 和点P '均在直线MN 的上方，如果HP HP '=，PHM P HN '∠=∠，点P '就是点P 关于直线MN 的“反射点”，其中点H 为“V 点”，射线HP 与射线HP '组成的图形为“V 形”．在平面直角坐标系xOy 中，（1）如果点(0,3)P ，(1.5,0)H ，那么点P 关于x 轴的反射点P '的坐标为 ； （2）已知点(0,)A a ，过点A 作平行于x 轴的直线l ．①如果点(5,3)B 关于直线l 的反射点B '和“V 点”都在直线4y x =−+上，求点B '的坐标和a 的值； ②W 是以(3,2)为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l 的反射点和“V 点”都在直线4y x =−+上，且形成的“V 形”恰好与W 有且只有两个交点，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1. 【答案】C【详解】解：A ．是轴对称图形，故此选项不合题意； B ．是轴对称图形，故此选项不合题意； C ．不是轴对称图形，故此选项符合题意； D ．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a ×10”的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正整数；当原数的绝对值<1时，n 是负整数． 【详解】解：19000000000=101.910⨯． 故选：B ．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10”的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3. 【答案】D【分析】根据题意可得21a −<<−1a >，再由0a b +>，可得0b >，且1b a >>，从而得到1b a <−>，即可求解．【详解】解∶根据题意得∶21a −<<−， ∴1a >， ∵0a b +>，∴0b >，且1b a >>， ∴1b a >−>， ∴b 的值可以是2． 故选：D【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b 的取值范围． 4. 【答案】C【分析】根据垂直的定义及三角形外角的性质求解即可得出结果 【详解】解：∵OC ⊥OD ， ∴∠O =90°，∵∠ACO =∠O +∠ODC =120°， ∴∠ODC =30°， ∴∠BDO =150°， 故选：C ．【点睛】题目主要考查垂直的定义及三角形外角的性质、邻补角的计算等，结合图形，找出各角之间的数量关系是解题关键． 5. 【答案】C【分析】先将代数式进行化简，再将1a b +=代入化简之后的式子求解即可． 【详解】解：()()()2211a b a b b =b a b b a b a b a b −⎛⎫⎛⎫−⋅⋅=⎪ ⎪−−++⎝⎭⎝⎭将1a b +=代入上式可得：原式1=11=， 故选：C ．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是根据分式运算法则先将式子正确化简，再将1a b +=代入计算． 6. 【答案】B【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加,和有三种情况， 分别是3，4，5三种情况. 所以和为偶数的概率为13， 故选：B ．【点睛】本题主要考查的计算，解题的关键是掌握求等可能事件的的概率公式. 7. 【答案】C【分析】代入扇形的面积公式直接进行计算即可．【详解】解：钢板的面积22212033360360n R S m πππ⨯⨯===，故选：C ．【点睛】本题考查了扇形的面积，解答本题的关键是熟练记忆扇形的面积的计算公式及公式内字母表示的含义． 8. 【答案】D【分析】根据96PV =结合反比例函数的定义判断即可． 【详解】由表格数据可得96PV =，即96P V=， ∴气球内气体的气压P 与气球内气体的体积V 的函数关系最可能是反比例函数， 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】3x≥−【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，30x+≥，∴3x≥−．故答案为∶3x≥−．)0a≥的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．10. 【答案】()()2x y x y+−【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【详解】2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）．故答案为2（x+y）（x-y）．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．11. 【答案】6【分析】多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，再结合一个外角的度数为60︒，据此求解即可．【详解】解：∵360606÷=，∴正多边形的边数为6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握正多边形的外角和为360︒且每个内角都相等是解答本题的关键．12. 【答案】m＜5【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程2410x x m−+−=有两个不相等的实数根，∴2(4)41(1)>0m∆=−−⨯⨯−．解得：m<5．故答案为：m<5．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，熟悉一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的实数根的情况的关系是本题的关键．13. 【答案】12（答案不唯一）【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可．【详解】解：当a =12时，a 2=14，12a =，而14＜2， ∴命题“若a >0，则a 2>1a ”是假命题， 故答案为：12（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．14. 【答案】40【分析】连接OC ，根据切线的性质可得∠OAP =∠OCP =90°，从而得到∠P +∠AOC =180°，再由圆周角定理可得∠AOC =2∠ABC =140°，即可求解．【详解】解：如图，连接OC ，∵P A ，PC 是⊙O 的切线．∴∠OAP =∠OCP =90°，∴∠P +∠AOC =180°，∵70ABC ∠=，∴∠AOC =2∠ABC =140°，∴∠P =40°．故答案为：40【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 15. 【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中， AD BC ∥ ，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC ===， ∴144AE =， ∴1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16. 【答案】①. 乙②. e，f．【分析】（1）乙首次也取走3个球，但必须相邻，有两种取法，分类讨论即可判断；（2）分乙取三个球和乙取二个球两种情况讨论，再在乙取二个球的情况下，再分乙取c，d，乙取d，e，乙取e，f，三种情况讨论；当乙取e，f时，再分三种情况讨论即可求解．【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c，d的3个球，∴还剩下a，，e，f，g，h，又∵乙首次也取走3个球，但必须相邻，∴乙可以取e，f，g或f，g，h，若乙取e，f，g，只剩下a，，h，∵它们不相邻，∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；同理，若乙取f，g，h，只剩下a，，e，∵它们不相邻，∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；枚答案为：乙；（2）∵甲首次取走a，b二个球，还剩下c，d，e，f，g，h，①若乙取三个球:若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是连着的，故若甲取走剩下的三个，则甲胜；若乙取d，e，f，此时甲取g，则c，h，不相邻，则甲胜；若乙取e，f，g，此时甲取d，则c，h，不相邻，则甲胜；②若乙取二个球:若乙取c，d，此时甲取f，g，那么剩下e，h，不相邻，则甲胜；若乙取d，e，此时甲取f，g，则c，h，不相邻，则甲胜；若乙取e，f，此时甲取c，d或g，h，则乙胜；若甲取c或d，那么乙取g或h，则乙胜；若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2个球不相邻，则乙胜；因此，乙一定要获胜，那么它首次取e，f，故答案为：e，f．【点睛】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜．三、解答题（共68分，第17－21题，每题5分，第22－24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17. 【答案】【分析】分别根据二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质进行化简，最后再由二次根式的运算法则合并即可．【详解】解：原式2222=⨯−+=．故答案为：【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂定义及绝对值的性质是解题的关键．18. 【答案】1x =【分析】首先两边同时乘以2（x -2），去分母，再解整式方程，最后检验即可．【详解】解：两边同时乘以2（x -2），去分母得：2x -3=x -2，解得x =1，检验：把x =1代入2（x -2），得-2≠0，分式方程的解为x =1．【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本题的关键．19. 【答案】32x <，不等式的所有非负整数解为0，1 【分析】去分母，移项、合并同类项，系数化为1即可，根据不等式的解集即可求得所有非负整数解．【详解】解：()3512x x −<−，31512x x −<−，23x <，32x <． ∴原不等式的所有非负整数解为0，1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式及求其非负整数解，正确求解不等式是解题的关键．20. 【答案】（1）见解析 （2）垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90°【分析】（1）根据题目要求进行作图即可得到答案；（2）根据题意可知MN ⊥AB 则∠AOC =∠COB =∠BOD =∠DOA =90°，由圆心角与弦之间的关系可得AC =BC =BD =AD 即可证明四边形ACBD 是菱形，再由直径所对的圆心角是90度即可证明四边形ACBD 是正方形．【小问1详解】解：如下图所示，即为所求；【小问2详解】证明：∵ MN 是AB 的垂直平分线，∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°．∴ AC = BC = BD = AD ．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴ 四边形ACBD 是菱形．又∵AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB = 90°．（直径所对的圆周角是90°），∴ 四边形ACBD 是正方形．故答案为：垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90°．【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段垂直平分线，直径所对的圆周角是90°，菱形的判定，正方形的判定，圆心角与弦直径的关系等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21. 【答案】（1）这个反比例函数的解析式为3y x=−； （2）2n ≥．【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点()13−，时的解析式，求得此时直线与y 轴的交点，利用数形结合思想即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过点()13−，， ∴133k =−⨯=−， ∴这个反比例函数的解析式为3y x=−； 【小问2详解】解：当=1x −时，()13y n =−−+=，∴2n =，∵当1x <−时，对于x 的每一个值，函数y x n =−+的值大于反比例函数(0)k y k x=≠的值， ∴2n ≥． 【点睛】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析 （2）AP =【分析】（1）由三角形中位线定理可得四边形OMPN 是平行四边形，再由菱形的性质即可证得结论； （2）由菱形的性质及已知可得△ABD 是等边三角形，进而可得OA 的长度，由中位线的性质可得PN 及ON ，从而可得AN ，由矩形的性质及勾股定理即可求得AP 的长．【小问1详解】∵P ，M ，N 分别为CD ，OD ，OC 的中点．∴//PM OC ，//PN OD ．∴四边形OMPN 是平行四边形．∵在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，∴90COD ∠=．∴四边形ONPN 是矩形．【小问2详解】∵四边形OMPN 是矩形，∴90PNO ∠=．∵四边形ABCD 是菱形，∴OA OC =，OB OD =，AC 平分∠BAD ．∵4AB AD ==，60BAD ∠=，∴△ABD 是等边三角形．∴BD =4．∴2OB OD ==，由勾股定理得：OC OA ==．∴1PN =，ON =．∴AN =．∴在Rt PAN △中,由勾股定理得:AP ===【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，涉及的知识点较多，灵活运用它们是解题的关键．23. 【答案】（1）见解析 （2）35【分析】（1）连接OC ．证∠OCD =90°，即可得出结论； （2）先求出4OC =．再同由勾股定理求出DC =3，OD =5，最后由余弦定义cos DC D OD =求解． 【小问1详解】证明：如图，连接OC ．∵OD AB ⊥交AC 于点E ，∴90AOD ∠=,∴90A AEO ∠+∠=．∵AEO DEC ∠=∠，∴90A DEC ∠+∠=．∵DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠,∵OA OC =，∴A ACO ∠=∠，∴∠OCD =90ACO DCE ∠+∠=，∴DC OC ⊥，∴DC 是⊙O 的切线，【小问2详解】解：∵90OCD =∠，∴222DC OC OD +=，∵4OA =，∴4OC =．设DC x =，∵2OE =，∴()22242x x +=+．解得3x =，∴3DC =，5OD =．∴在Rt △OCD 中，3cos 5DC D OD ==． 【点睛】本师考查切线的判定，解直角三角形，掌握切线的判定定理是解题的关键．24. 【答案】（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图见解析 （2）9.2，9（3）男生；男生和女生男生睡眠时长的平均数相等，而中位数和众数都大于女生【分析】（1）先求出男生睡眠时间：89x ≤<组的人数，依此补全男生睡眠时长频数分布直方图即可； （2）根据众数和中位数的定义，结合频数分布直方图，分别列式计算即可；（3）根据频数分布直方图的数据集中区间进行平均数大小估计即可解答．【小问1详解】解：男生睡眠时间：89x ≤<的人数有：()2014123−++=，补全男生睡眠时长频数分布直方图如下：【小问2详解】解：∵男生睡眠时长从小到大排序为：5.5，7.5，7.7，7.7，7.9，8.5，8.6，8.7，9，9.2，9.2，9.2，9.3，9.4，9.6，9.6，9.8，9.8，9.9，9.9，∵9.2出现3次，出现的次数最多，∴男生睡眠时长的众数为：9.2， 男生睡眠时长的中位数为：9.29.29.22+=， 女生睡眠时长从小到大排序为：7.6，7.9，8，8.2，8.5，8.6，8.6，8.8，9，9，9，9，9.1，9.1，9.1，9.2，9.2，9.3，9.3，9.5，∵9出现4次，出现的次数最多，∴女生睡眠时长的众数为：9， 女生睡眠时长的中位数为：9992+=， ∴9.2m =，9n =；【小问3详解】男生的睡眠质量比较好，理由如下：∵男生和女生男生睡眠时长的平均数相等，而中位数和众数都大于女生，∴男生的睡眠质量比较好．故答案为：男生，男生和女生男生睡眠时长的平均数相等，而中位数和众数都大于女生．【点睛】本题考查了频数分布直方图，中位数和众数等统计知识，解题的关键是能读懂频数分布直方图． 25. 【答案】（1）见解析 （2）4.75米（3）1米（4）不成功；应调节人梯到起跳点A 的水平距离为1米或4米才能成功．【分析】（1）建立直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接；（2）根据表格中的数据或函数图象分析h 的最大值即可；（3）利用待定系数法求出函数的解析式，令0d =，求h ；（4）对比表格中的数据可知3d =时 3.4h ≠，故不成功，只需计算当 3.4h =时d 的大小，由此可知调节人梯的方案．【小问1详解】解：如图所示.【小问2详解】解：由图可知，演员身体距离地面的最大高度为4.75米.【小问3详解】解：设抛物线的表达式为2( 2.5) 4.75h a d =−+(0)a ≠，将点(1,3.4)代入，得23.4(1 2.5)4.75a =−+，解得0.6a =−． ∴该抛物线为20.6( 2.5) 4.75h d =−−+．当0d =时，20.6(0 2.5) 4.751h =−−+=．∴起跳点A 离地面的高度为1米．【小问4详解】解：由表格可知，当3d =时， 3.4h ≠，故不成功．令 3.4h =，即20.6( 2.5) 4.75 3.4d −−+=，解得1d =或4d =． ∴应调节人梯到起跳点A 的水平距离为1米或4米才能成功．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的作图，解决本题的关键是掌握二次函数的图象与性质．26. 【答案】（1）1 （2）3x m =−（3）12m <≤【分析】（1）将点()124m −，代入抛物线解析式计算即可； （2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解；（3）分两种情况讨论：①当0m >时，可知点()1m y −，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布，根据23y y <可得232m m m ++−<，根据31y y ≤可得232m m m −++−≥，即可求解；②当0m ≤时，即0m −≥，即有3m m m ≤−<−+，可得21y y ≥，与题意不符，舍去.【小问1详解】解：∵抛物线()2261y ax m x =+−+经过点()124m −，， ∴()24261m a m −=+−+，∴1a =；【小问2详解】由（1）得抛物线的表达式为()2261y x m x =+−+， 即()()22313y x m m =+−+−−⎡⎤⎣⎦，∴抛物线的对称轴为3x m =−；【小问3详解】①当0m >时， 可知点()1m y −，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布， 根据23y y <可得232m m m ++−<， ∴1m >，根据31y y ≤可得232m m m −++−≥，∴2m ≤，∴12m <≤；②当0m ≤时，即0m −≥，∵3m m m ≤−<−+，∴21y y ≥，不符合题意.综上，m 的取值范围为12m <≤．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．27. 【答案】（1）互相垂直；12a ； （2）①2BAC DAE ∠=∠，证明见解答过程；②BE CD DE =+，证明见解答过程．【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC a ===，利用AAS 证明ACD ACM ≌，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==； （2）当点E 与点C 不重合时，①过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；②在BC 上截取BF CD =，连接AF ，利用SAS 证明ABF ACD △≌△，根据全等三角形性质得到AF AD =，BAF CAD ∠=∠，根据角的和差得到FAE DAE ∠=∠，再利用SAS 证明FAE DAE ≌，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE CD DE =+．【小问1详解】解：当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，90DAE ACD ∠+∠=︒，90DAC ACD ∴∠+∠=︒，90ADC ∴∠=︒，AD CB ∴⊥'，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：则90AMC ADC ∠∠=︒=，∵AB AC =，1122CM BM BC a ∴===，在ACD 与ACM △中，ADC AMCACD ACM AC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ACD ACM ∴≌△△，12CD CM a ∴==，即CD 的长为12a ， 故答案为：互相垂直；12a ；【小问2详解】解：①当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥点N ，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，90CAN ACB ∴'∠+∠=︒，90DAE ACD ∠+∠=︒，即90DAE ACB '∠+∠=︒，DAE CAN ∴∠=∠，∵AB AC =，AM BC ⊥，22BAC CAM BAM ∴∠=∠=∠，在ACN △与ACM △中，ANC AMCACN ACM AC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ACN ACM ∴≌△△，CAN CAM ∴∠=∠，222BAC CAM CAN DAE ∴∠=∠=∠=∠；②用等式表示线段BE 、CD 、DE 之间的量关系是：BE CD DE =+，证明如下：在BC 上截取BF CD =，连接AF ，如图：∵AB AC =，B ACB ∴∠=∠，ACB ACB ∠'=∠，B ACB ACD ∴∠=∠'=∠，在ABF △和ACD 中，AB AC B ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABF ACD ∴≌△△，AF AD ∴=，BAF CAD ∠=∠，BAF CAE CAD CAE DAE ∴∠+∠=∠+∠=∠，由①知：2BAC DAE ∠=∠， 即12DAE BAC ∠=∠， 12BAF CAE BAC ∴∠+∠=∠， ()12FAE BAC BAF CAE BAC ∴∠=∠−∠+∠=∠， FAE DAE ∴∠=∠，在FAE 和DAE 中，AF AD FAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS FAE DAE ∴≌△△，FE DE ∴=，BE FE BF CD DE ∴=+=+．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．28. 【答案】（1）(3,3)（2）①(1,3)B '，1a =；②312a +<<或32a <． 【分析】（1）由题知，P 与P '关于直线 1.5x =对称，由此求出P '的坐标；（2）①由题可知，点B '与点B 的纵坐标相同，又点B '在直线4y x =−+上，由此可求出B '的坐标，从而确定直线l 的位置，计算a 的值；②分析题意，可知“V 点”是直线4y x =−+与直线l 的交点H ，分析H 在什么位置时，“V 形”与O 恰有2个交点，求出此时a 的取值范围即可．【小问1详解】 解：由题可知，点P 与点P '关于直线 1.5x =对称，且(0,3)P ，∴(3,3)P '．故答案是：（3，3）；【小问2详解】解：①由//l x 轴可知，点B '与点B 的纵坐标相同，又(5,3)B ，将3y =代入4y x =−+，得34=−+，解得1x =，∴(1,3)B '．设点B 关于直线l 的“V 点”为(,)b a ，则点B '与点B 关于直线x b =对称， ∴1532b +==， 点(,)b a 在直线4y x =−+上，∴4341a b =−+=−+=．②由题可知，“V 点”是直线4y x =−+与直线l 的交点H ，点P '在直线4y x =−+上，设(4,)H a a −，则直线PH 与直线P H '关于直线4x a =−对称，如图．PH与P H'关于直线4x a=−对称，∴设PH的表达式为y x n=+，当直线PH与W相切时，设切点为00(,)x x n+，1=，整理得22002(210)4120x n x n n+−+−+=，此时直线PH与W相切，∴关于x的方程22002(210)4120x n x n n+−+−+=有唯一解，∴令22(210)42(412)0n n n∆=−−⨯⨯−+=，解得1n=−±∴当直线PH与W相切时，直线PH的表达式为1y x=−−1y x=−．联立41y xy x=−+⎧⎪⎨=−⎪⎩5232xy⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，∴53(22C+；联立41y xy x=−+⎧⎪⎨=−+⎪⎩5232xy⎧−=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴53(22A+．点(3,1)到圆心(3,2)W的距离等于半径1，且点(3,1)在直线4y x=−+上，∴点(3,1)是W与直线4y x=−+的一个交点，且为两个交点中靠下方的交点，即(3,1)B．“V形”与W有且仅有两个交点，分析图像可知，当且仅当B Ay a y<<或Ca y<时符合题意．∴312a +<<或32a <． 【点睛】本题考查了对称的性质，圆的性质，两点之间距离公式，一元二次方程的判别式，二元一次方程组与一次函数，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．。

东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID 号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．2．2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A ．71.3310⨯B ．513.310⨯C ．61.3310⨯D ．70.1310⨯3．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -，()2,0C 为ABCD 的顶点，则顶点D 的坐标为（ ）A ．()3,2-B ．()2,2C ．()3,2D ．()2,34．若实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A ．a b <B ．11a b +<+C ．22a b <D ．a b>-5．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2P 在反比例函数k y x =（k 是常数，0k ≠）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A ．()2,0-B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()1,2-6．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．AE BE =B ．90CBD ∠=︒C ．2COB D∠=∠D ．COB C ∠=∠7．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A ．12B ．13C ．16D ．198．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为248m ，则该正五边形的边长大约是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：tan 360.7︒≈，tan 54 1.4︒≈ 6.5≈ 4.6≈）A ．5.2mB ．4.8mC ．3.7mD ．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是______．10．因式分解：2218xy x -=______．11．方程323x x =-的解为______．12．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．13．为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如下表所示：锻炼时间x56x ≤<67x ≤<78x ≤<8x ≥学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有______人．14．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，DE BC ⊥于点E ，且DE DA =，连接DB ．若20C ∠=︒，则DBE ∠的度数为______°．15．阅读材料：如图，已知直线l 及直线l 外一点P ．按如下步骤作图：①在直线l 上任取两点A ，B ，作射线AP ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线AP 于点C ；②连接BC ，分别以点B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点Q ；③作直线PQ ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN 是线段BC 的______；（2）若CPQ △与CAB △的面积分别为1S ，2S ，则12:S S ______．16．简单多面体的顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表：名称图形顶点数（V ）面数（F ）棱数（E ）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V ，F ，E 之间的数量关系是______；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共______个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17()02cos30π12-︒+---．18．解不等式组：26516132x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩．19．已知290x y --=，求代数式226344x y x xy y--+的值．20．如图，四边形ABCD 是菱形．延长BA 到点E ，使得AE AB =，延长DA 到点F ，使得AF AD =，连接BD ，DE ，EF ，FB ．（1）求证：四边形BDEF 是矩形；（2）若120ADC ∠=︒，2EF =，求BF 的长．21．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B 的位置，被遮挡部分的水平距离为BC 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A 的影子D 到点C 的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB 的长为x 米，BC 的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD 的长第一次1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x ，y 的方程是______，由第二次测量数据列出关于x ，y 的方程是______；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得10y =，则钟楼的高度约为______米．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠）的图象由函数13y x =的图象平移得到，且经过点()3,2A ，与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式及点B 的坐标；（2）当3x >-时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23．某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm ），数据整理如下：a ．1班 168 171 172 174 174 176 177 1792班 168 170 171 174 176 176 178 183b ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm ．24．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，EAC CAB ∠=∠，直线CD AE ⊥于点D ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：直线CD 为O 的切线；（2）当1tan 2F =，4CD =时，求BF 的长．25．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，击球点P 到球网AB 的水平距离 1.5m OB =．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.2 2.5 2.35y x =--+．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）的几组数据如下：水平距离x /m01234飞行高度y /m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y 与水平距离x 满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为1d ，2d ，则1d ______2d （填“＞”，“＜”或“＝”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线()210y ax bx a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x t =．（1）若点()2,1在该抛物线上，求t 的值；（2）当0t ≤时，对于22x >，都有12y y <，求1x 的取值范围．27．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 是BC 边上的点，12DE BC =，连接AD ．过点D 作AD 的垂线，过点E 作BC 的垂线，两垂线交于点F ．连接AF 交BC 于点G ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，直接写出DAF ∠与BAC ∠之间的数量关系；（2）如图2，当点D 与点B 不重合（点D 在点E 的左侧）时，①补全图形；②DAF ∠与BAC ∠在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD ，DG ，CG 之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段PQ 和直线1l ，2l ，线段PQ 关于直线1l ，2l 的“垂点距离”定义如下：过点P 作1PM l ⊥于点M ，过点Q 作2QN l ⊥于点N ，连接MN ，称MN 的长为线段PQ 关于直线1l 和2l 的“垂点距离”，记作d ．（1）已知点()2,1P ，()1,2Q ，则线段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 为______；（2）如图1，线段PQ 在直线3y x =-+上运动（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），若PQ =段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 的最小值为______；（3）如图2，已知点(0,A ，A 的半径为1，直线y x b =+与A 交于P ，Q 两点（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），直接写出线段PQ 关于x 轴和直线y =的“垂点距离”d 的取值范围．。

2024年中考第三次模拟考试数学（考试时间：120分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．2．（2分）风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ）A．0.358×105B．35.8×103C．3.58×105D．3.58×104 3．（2分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．4．（2分）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为2340°，那么这个多边形的一个外角的度数为（ ）A．24°B．30°C．36°D．60°5．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A．b﹣c＞0B．ac＞0C．b+c＜0D．ab＜16．（2分）如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）A．B．C．D．7．（2分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．k＜B．k＞﹣且k≠0C．k＞﹣D．k＜且k≠08．（2分）在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点，∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①；②AE2+BF2＝EF2；③；④△DEF始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ．10．（2分）因式分解：xy3﹣25xy＝ ．11．（2分）分式方程的解为 ．12．（2分）已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x2＜0＜x1，那么y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．（2分）如图，在▱ABCD中，，连接BE，交AC于点F，AC＝10，则CF的长为 ．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠P＝62°，C是⊙O上的动点（异于A，B），连接CA，CB，则∠C的度数为 °．15．（2分）一笔总额为1078元的奖金，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍．若把这笔奖金发给6个人，评一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且0＜a≤b≤c，那么三等奖的奖金金额是 元．16．（2分）把红、蓝、黄三种颜色的筷子各5根混在一起．如果让你闭上眼睛，每次最少拿出 根才能保证一定有2根同色的筷子；如果要保证有2双不同色的筷子，每次最少拿出 根．（2双不同色的筷子是指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x +y ＝6，xy ＝9，求的值．20．（6分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接DE ，DG ．（1）请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；（2）若∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，DE ＝2，求BC 的长．21．（6分）小明到文具店买文具，请你根据对话信息（小明：阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是一共112元？店员：不对呀，一共是144元．小明：啊……哦，我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了），求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是共112元．啊……哦我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了． 不对呀，是144元．22．（5分）已知一次函数 y ＝（k ﹣2）x ﹣3k +12．（1）k 为何值时，函数图象经过点（0，9）？（2）若一次函数 y ＝（k ﹣2）x ﹣3k +12 的函数值y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．23．（5分）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m ）如下：甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67；乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75；【整理与分析】平均数众数中位数甲 1.69a 1.68乙 1.69 1.69b（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ；（2）这两人中， 的成绩更为稳定．【判断与决策】（3）经预测，跳高1.69m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由．24．（6分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠EAD；（2）连接AC，若CD＝1，DE＝3，求AB的长．25．（5分）【综合与实践】【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：任务一：求出函数表达式（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线y＝﹣0.04x2+bx+c的一部分，场景B的图象是直线y＝ax+c（a≠0）的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；任务二：探究该化学试剂的挥发情况（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣（a+2）x+2a+1．（1）若a＝2，求抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若A （m，n），B（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞﹣8．27．（7分）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点D为BC中点，将△DEF 绕点D旋转，连接AE、CF．观察猜想：（1）如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的位置关系为 ；探究发现：（2）如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE 之间的数量关系，并说明理由；解决问题：（3）若△ABC中，，在△DEF旋转过程中，当且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（，0），D（0，﹣1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P 可以与点C，E重合），连接OP，DP．①线段DP的最小值为 ，最大值为 ；线段OP的取值范围是 ；②点O与线段DE （填“是”或“否”）满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点G纵坐标的取值范围；（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，3为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．2024年中考第三次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看，是一行两个矩形．故选：B．2．（2分）风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ）A．0.358×105B．35.8×103C．3.58×105D．3.58×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：35800＝3.58×104．故选：D．3．（2分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．4．（2分）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为2340°，那么这个多边形的一个外角的度数为（ ）A．24°B．30°C．36°D．60°【分析】根据多边形的内角和公式为（n﹣2）180°列出方程，求出边数，再根据外角和定理求出这个多边形的一个外角．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意列方程：（n﹣2）180°＝2340°，解得n＝15，360°÷15＝24°，故选：A．5．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A．b﹣c＞0B．ac＞0C．b+c＜0D．ab＜1【分析】根据数轴可知：﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，由此逐一判断各选项即可．【解答】解：由数轴可知：﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，A、∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴b﹣c＜0，故选项A不符合题意；B、∵﹣3＜a＜﹣2，0＜c＜1，∴ac＜0，故选项B不符合题意；C、∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴b+c＜0，故选项C符合题意；D、∵﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1，∴ab＞1，故选项D不符合题意；故选：C．6．（2分）如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A 门，再经过E 门”的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A 门，再经过E 门”的只有1种结果，所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A 门，再经过E 门”的概率为，故选：D ．7．（2分）已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣（4k ﹣1）x +4k ﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＜B ．k ＞﹣且k ≠0C ．k ＞﹣D ．k ＜且k ≠0【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0且二次项系数不为0，求出k 的范围即可．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣（4k ﹣1）x +4k ﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（4k ﹣1）2﹣4k （4k ﹣3）＞0且k ≠0，解得：k且k ≠0．故选：B ．8．（2分）在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，点D 为AB 中点，∠GDH ＝90°，∠GDH 绕点D 旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①；②AE2+BF2＝EF2；③；④△DEF始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接CD，根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE ＝CF，进而得出CE＝BF，就有AE+BF＝AC，由勾股定理AE2+BF2＝EF2，因为S四边形CEDF＝S△EDC+S△EDF，得出．【解答】解：连接CD，∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°，∴．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°．∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°，∴∠ADE＝CDF．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF．∵AC＝BC，∴AC﹣AE＝BC﹣CF，∴CE＝BF．∵AC＝AE+CE，∴AC＝AE+BF．∵AC2+BC2＝AB2，∴，∴．∵DE＝DF，∠GDH＝90°，∴△DEF始终为等腰直角三角形．∵CE2+CF2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2．∵S四边形CEDF＝S△EDC+S△EDF，∴．∴正确的有4个．故选：D．第Ⅱ卷二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围为　x≠3　．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．10．（2分）因式分解：xy3﹣25xy＝　xy（x+5）（x﹣5）　．【分析】先提公因式xy，然后根据平方差公式进行计算即可求解．【解答】解：原式＝xy（y2﹣25）＝xy（y+5）（y﹣5）．故答案为：xy（y+5）（y﹣5）．11．（2分）分式方程的解为 ．【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可．【解答】解：，3x＝x﹣3，2x＝﹣3，，经检验，是原分式方程的解．故答案为：．12．（2分）已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x2＜0＜x1，那么y1　＞　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第二象限，B 在第四象限，从而判定y1＞y2．【解答】解：∵k＝﹣4＜0，∴双曲线在第二，四象限，∵x2＜0＜x1，∴B在第二象限，A在第四象限，∴y1＜y2；故答案为：＜．13．（2分）如图，在▱ABCD中，，连接BE，交AC于点F，AC＝10，则CF的长为　6　．【分析】由平行四边形的性质得AD∥CB，AD＝CB，则AE＝AD＝CB，可证明△EAF∽△BCF，得＝＝，则CF＝AC＝6，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∵AE＝AD，∴AE＝CB，∵AE∥CB，∴△EAF∽△BCF，∴＝＝，∴CF＝AC＝AC＝×10＝6，故答案为：6．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠P＝62°，C是⊙O上的动点（异于A，B），连接CA，CB，则∠C的度数为　59或121　°．【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝118°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，而∠P＝62°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣62°＝118°，当点P在劣弧AB上，则∠ACB＝∠AOB＝59°，当点P在优弧AB上，则∠ACB＝180°﹣59°＝121°．故答案为：59或121．15．（2分）一笔总额为1078元的奖金，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍．若把这笔奖金发给6个人，评一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且0＜a≤b≤c，那么三等奖的奖金金额是　98或77　元．【分析】由a，b，c之间的关系结合a，b，c均为整数，即可得出a，b，c的值，设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，根据奖金的总额为1078元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论（取其为【解答】解：∵a+b+c＝6，0＜a≤b≤c，且a，b，c均为整数，∴，，．设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，依题意，得：4x+2x+4x＝1078，4x+2×2x+3x＝1078，2×4x+2×2x+2x＝1078，解得：x＝107.8（不合题意，舍去），x＝98，x＝77．故答案为：98或77．16．（2分）把红、蓝、黄三种颜色的筷子各5根混在一起．如果让你闭上眼睛，每次最少拿出　4　根才能保证一定有2根同色的筷子；如果要保证有2双不同色的筷子，每次最少拿出　8　根．（2双不同色的筷子是指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）【分析】根据题意可知，筷子的颜色共有3种，根据抽屉原理可知，先拿出3根是三种颜色，所以一次至少要拿出3+1＝4（根）筷子才能保证一定有2根同色的筷子；根据题意可知，先把其中一种颜色的全部（5根）摸出，剩下的2种颜色的筷子各再摸出1根，即2根，还不能满足条件，则此时再任意拿出1根，必定会出现有2双不同色的筷子，据此解答即可．【解答】解：3+1＝4（根），答：每次最少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子；5+2+1＝8（根），答：要保证有2双不同色的筷子，每次最少拿出8根．故答案为：4，8．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：．【分析】先分别按照负整数指数幂、求立方根、绝对值的化简法则及特殊角的三角函数值化简，再合并同类项及同类二次根式即可．【解答】解：＝﹣3+2+﹣1﹣4×＝﹣2+﹣2＝﹣2﹣．18．（5分）解不等式组：．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，由①得x≤﹣1，由②得x＞﹣3，∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤﹣1．19．（5分）已知x+y＝6，xy＝9，求的值．【分析】首先化简，然后把x+y＝6，xy＝9代入化简后的算式计算即可．【解答】解：∵x+y＝6，xy＝9，∴＝＝＝＝．20．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC＝60°，∠C＝45°，DE＝2，求BC的长．【分析】（1）四边形EBGD为菱形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断；（2）过D作DM⊥BC于M，分别求出CM、BM即可；【解答】解：（1）四边形EBGD 为菱形；理由：∵EG 垂直平分BD ，∴EB ＝ED ，GB ＝GD ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∵∠EBD ＝∠DBC ，∴∠EDF ＝∠GBF ，∴DE ∥BG ，同理BE ∥DG ，∴四边形BEDG 为平行四边形，又∵DE ＝BE ，∴四边形EBGD 为菱形；（2）如图，过D 作DM ⊥BC 于M ，由（1）知，∠DGC ＝∠ABC ＝60°，∠DBM ＝∠ABC ＝30°，DE ＝DG ＝2，∴在Rt △DMG 中，得DM ＝3，在Rt △DMB 中，得BM ＝3又∵∠C ＝45°，∴CM ＝DM ＝3，∴BC ＝3+3．21．（6分）小明到文具店买文具，请你根据对话信息（小明：阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是一共112元？店员：不对呀，一共是144元．小明：啊……哦，我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了），求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是共112元．啊……哦我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了．不对呀，是144元．【分析】设中性笔的单价是x 元，笔记本的单价是y 元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设中性笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：中性笔的单价是2元，笔记本的单价是6元．22．（5分）已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12．（1）k为何值时，函数图象经过点（0，9）？（2）若一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12 的函数值y随x的增大而减小，求k的取值范围．【分析】（1）根据一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12图象经过点（0，9），列方程即可得到结论；（2）根据k﹣2＜0时一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12 的函数值y随x的增大而减小，求出k的取值范围即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12图象经过点（0，9），∵（k﹣2）×0﹣3k+12＝9，解得k＝1，故当k＝1时，函数图象经过点（0，9）；（2）∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12 的函数值y随x的增大而减小，∴k﹣2＜0，解得k＜2．故当k＝1或﹣1时，一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12的值都是随x值的增大而减小．23．（5分）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67；乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75；【整理与分析】平均数众数中位数甲 1.69a 1.68乙 1.69 1.69b（1）由上表填空：a＝　1.68　，b＝　1.70　；（2）这两人中，　甲　的成绩更为稳定．【判断与决策】（3）经预测，跳高1.69m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由．【分析】（1）利用众数及中位数的定义分别求得a、b的值即可；（2）根据方差的计算公式分别计算方差，再根据方差的意义判断即可；（3）看哪位运动员的成绩在1.69m以上的多即可．【解答】解：（1）∵甲的成绩中1.68出现了3次，最多，∴a＝1.68，乙的中位数为b＝＝1.70，故答案为：1.68，1.70；（2）分别计算甲、乙两人的跳高成绩的方差分别：S甲2＝×[（1.71﹣1.69）2+（1.65﹣1.69）2+…+（1.67﹣1.69）2]＝0.00065，S乙2＝×[（1.60﹣1.69）2+（1.74﹣1.69）2+…+（1.75﹣1.69）2]＝0.00255，∵S甲2＜S乙2，∴甲的成绩更为稳定；故答案为：甲；（3）应该选择乙，理由如下：若1.69m才能获得冠军，那么成绩在1.69m及1.69m以上的次数乙多，所以选择乙．24．（6分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠EAD；（2）连接AC，若CD＝1，DE＝3，求AB的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质、圆内接四边形的性质证明∠BAD＝∠EAD；（2）连接AC，证明△ADB≌△ADE，得到∠ABD＝∠E，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，证明△ACE∽△DAE，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】（1）证明：∵AD＝ED，∴∠EAD＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E+∠BCD＝180°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠EAD；（2）解：如图，连接AC，在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（SAS），∴∠ABD＝∠E，由圆周角定理得：∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠E＝∠EAD，∵∠E＝∠E，∴△ACE∽△DAE，∴＝，即＝，解得：AE＝2，∴AB＝AE＝2．25．（5分）【综合与实践】【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：任务一：求出函数表达式（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线y＝﹣0.04x2+bx+c的一部分，场景B的图象是直线y＝ax+c（a≠0）的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；任务二：探究该化学试剂的挥发情况（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？【分析】（1）应用待定系数法即可求出函数解析式；（2）分别求出y＝3时，x的值，再比较即可得到答案．【解答】解：（1）场景A：把（0，21），（10，16），代入y＝﹣0.04x2+bx+c，得：，解得，∴y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21；场景B：把（0，21），（5，16），代入y＝ax+c，得：，解得，∴y＝﹣x+21；场景A的函数表达式为y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，场景B的函数表达式为y＝﹣x+21；（2）当y＝3时，场景A中，3＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，解得：x1＝20，x2＝﹣22.5（舍去），场景B中，3＝﹣x+21，解得x＝18，∵20＞18，∴化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣（a+2）x+2a+1．（1）若a＝2，求抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若A （m，n），B（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞﹣8．【分析】（1）将a＝2代入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案；（2）由题意可得（﹣1，y0）为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为x＝﹣1，从而计算出a的值，再将A（m，n），B（2﹣m，p）代入如抛物线的解析式得到n+p＝2（m﹣1）2﹣8，即可得到答案．【解答】解：（1）∵a＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2−4x+5，∵y＝x2−4x+5＝（x−2）2+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）；（2）∵抛物线过点（−1，y n），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，∴（−1，y0）为抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴＝−1．∴a＝﹣4，∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x−7，∵A（m，n），B（2﹣m，p）是抛物线上不同的两点，∴n＝m2+2m−7，p＝（2−m）2+2（2−m）−7．∴n+p＝m2+2m﹣7+（2﹣m）2+2（2﹣m）﹣7＝2（m﹣1）2﹣8，又∵m≠2﹣m，∴m≠1，∴n+p＞﹣8．27．（7分）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点D为BC中点，将△DEF 绕点D旋转，连接AE、CF．观察猜想：（1）如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的位置关系为　AE＝CF　；探究发现：（2）如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE 之间的数量关系，并说明理由；解决问题：（3）若△ABC中，，在△DEF旋转过程中，当且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长．【分析】（1）如图所示，连接AD，根据等腰三角形的性质可证△AED≌△CFD（SAS），由此即可求解；（2）由（1）中△AED≌△CFD（SAS），再根据△DEF为等腰直角三角形，由此即可求解；（3）点C、E、F三点共线，分类讨论，根据（2），（3）中的结论即可求解．【解答】解：（1）AE＝CF，理由如下，如图所示，连接AD，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴AD＝CD，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴DE＝DF，∠EDA+∠ADF＝∠ADF+∠FDC＝90°，∴∠EDA＝∠FDC，在△AED和△CFD中，，∴△AED≌△CFD（SAS），∴AE＝CF，故答案为：AE＝CF；（2）证明：如图2所示，连接AD，由（1）可知，△AED≌△CFD（SAS），∴∠EAD＝∠FCD，AE＝CF，∴CE＝CF+EF＝AE+EF，∴CE﹣AE＝CE﹣CF＝EF，∵△DEF是等腰直角三角形，即DE＝DF，∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，∴EF＝DE＝DF，∴CE﹣AE＝DE；（3）解：AB＝，AE＝，C、E、N三点共线，①由（2）可知，CE﹣AE＝DE，由（1）可知，∠EAD＝∠FCD，∵∠ACD＝∠ACE+∠FCD＝45°，∠DCF+∠FCA+∠DAC＝90°，∴∠EAD+∠FCA+∠DAC＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACE中，AB＝AC＝，AE＝CF＝，∴CE＝＝＝，∴EF＝CE﹣CF＝，∴DE＝FE＝；②如图所示，由（1）可知，△ADE≌△CDN，AE＝CF＝，∠DAE＝∠DCF，∴∠DAE+∠EAC+∠ACD＝∠DCF+∠EAC+∠ACD＝90°，∴△AEC是直角三角形，∴CE＝＝＝，∴EF＝CF﹣CE＝（不符合题意舍去）；③如图，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠F＝∠DEF＝45°，同法可证△ADE≌△CDF，∴∠AED＝∠F＝45°，∴∠AED+∠DEF＝45°+45°＝90°，即△ACM是直角三角形，在Rt△ACE中，AB＝AC＝，AE＝CF＝，∴CE＝＝＝，∴EF＝CE+CF＝，∵EF＝DE，∴DE＝＝；综上所述，DE的长为或．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（，0），D（0，﹣1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P 可以与点C，E重合），连接OP，DP．①线段DP的最小值为 ，最大值为　2　；线段OP的取值范围是　　；②点O与线段DE　是　（填“是”或“否”）满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点G纵坐标的取值范围；（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，3为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，DP的最大值，最小值即可解决问题；②根据限距关系的定义判断即可；（2）根据两直线平行k相等计算设FG的解析式为：y＝﹣x+b，得G（0，b），F（b，0），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG 与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【解答】解：（1）①如图1中，∵点C（，0），E（0，1），∴OE＝1，OC＝，∴EC＝2，∠ECO＝30°，当OP⊥EC时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是，Rt△OPC中，OP＝OC＝，即OP的最小值是；如图2，当DP⊥EC时，DP的值最小，Rt△DEP中，∠OEC＝60°，∴∠EDP＝30°，∵DE＝2，∴cos30°＝，∴＝，∴DP＝，∴当P与E重合时，DP的值最大，DP的最大值是2，线段DP的最小值为，最大值为2；线段OP的取值范围是；故答案为：，2，；②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，如图3，故点O与线段DE满足限距关系；故答案为：是；（2）∵点C（，0），E（0，1），∴设直线CE的解析式为：y＝kx+m，∴，解得，∴直线CE的解析式为：y＝﹣x+1，∵FG∥EC，∴设FG的解析式为：y＝﹣x+b，∴G（0，b），F（b，0），∴OG＝b，OF＝b，当0＜b＜时，如图5，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1﹣b，最大距离为1+b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+b≥2（1﹣b），解得b≥，∴b的取值范围为≤b＜；当1≤b≤6时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当b＞6时，如图6，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为b﹣1，最大距离为b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴b+1≥2（b﹣1），而b+1≥2（b﹣1）总成立，∴b＞6时，线段FG与⊙O满足限距关系，综上所述，点G的纵坐标的取值范围是：b≥2；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r﹣6，最大值为2r+6，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+6≥2（2r﹣6），解得r≤9，故r的取值范围为0＜r≤9．2024年中考第三次模拟考试数学·参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）12345678B DC A CD B D第Ⅱ卷二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．x≠3．10．xy（y+5）（y﹣5）．11．．12．＜．13．6．14．59或121．15．98或77．16．4，8．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）解：＝﹣3+2+﹣1﹣4×＝﹣2+﹣2＝﹣2﹣．18．（5分）解：，由①得x≤﹣1，由②得x＞﹣3，∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤﹣1．19．（5分）解：∵x+y＝6，xy＝9，∴＝＝＝＝．20．（6分）解：（1）四边形EBGD为菱形；理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，∴DE∥BG，同理BE∥DG，∴四边形BEDG为平行四边形，又∵DE＝BE，∴四边形EBGD为菱形；。

北京初三初中数学中考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的绝对值是（）A．B．C．D．2.我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到666000000人.将666000000用科学记数法表示为（）A．B．C．D．3.从3个苹果和3个雪梨中，任选1个，则被选中苹果的概率是（）A．B．C．D．4.如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=，则∠BED 的度数是（）A．B．C．D．5.如图，下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．6.某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下：则这个小组成员年龄的众数和中位数分别是（）A．15，16 B．13，14 C．13，15 D．14，147.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， ,则EC的长是（）A．4.5B．8C．10.5D．148.如下图，MN ⊥PQ,垂足为点O ，点A 、C 在直线MN 上运动，点B 、D 在直线PQ 上运动.顺次连结点A 、B 、C 、D ，围成四边形ABCD ．当四边形ABCD 的面积为6时，设AC 长为x ，BD 长为y ，则下图能表示y 与x 关系的图象是（ ）二、填空题1.分解因式： .2.若分式的值为0，则的值为 ．3.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为πcm ，则这个扇形的半径为 .4.如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2=B 1A 2，连接A 2B 2…按此规律下去，记∠A 2B 1B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn ，则（1）θ1= , （2）θn = .三、计算题计算：四、解答题1.已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥EC ，AC=CE ，∠B=∠EDC求证：BC=DE2.解不等式组.3.先化简，再求值：，其中x=6．4.如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题：（1）①分别写出点A、B的坐标；②把直线AB向右平移5个单位，再向上平移5个单位，求出平移后直线A′B′的解析式；（2）若点C在函数的图象上，△ABC是以AB为底的等腰三角形，请写出点C的坐标．5.列方程或方程组解应用题:某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间150元,双人间每人每天140元,为了吸引游客, 实行团体入住五折优惠措施,一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住,住了一些三人间和双人间客房,若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元,则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间?6.如图，□ABCD中，∠ABC=60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，求AB的长.7.某同学在学习了统计知识后，就下表所列的5种用牙不良习惯对全班每一个同学进行了问卷调查（每个被调查的同学必须选择而且只能在5种用牙不良习惯中选择一项），调查结果如下统计图所示．根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：种类A B C D E（1）这个班有多少名学生？（2）这个班中有C类用牙不良习惯的学生多少人？占全班人数的百分比是多少？（3）请补全条形统计图；（4）根据调查结果，估计这个年级850名学生中有B类用牙不良习惯的学生多少人？8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE 并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=，求⊙O 的半径．9.阅读并操作：如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③)．拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1)．请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中．（1）新图形为平行四边形；（2）新图形为等腰梯形．10.已知抛物线，（1）若求该抛物线与x 轴的交点坐标； （2）若 ，证明抛物线与x 轴有两个交点； （3）若且抛物线在区间上的最小值是-3，求b 的值.11.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α． （1）当点D′恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值； （2）如图2，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D ；（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能说明理由．12.对于平面直角坐标系中的任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），我们把叫做P 1、P 2两点间的直角距离，记作d （P 1，P 2）．（1）已知O 为坐标原点，动点P （x ，y ）满足d （O ，P ）=1，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；（2）设P 0（x 0，y 0）是一定点，Q （x ，y ）是直线y=ax+b 上的动点，我们把d （P0，Q ）的最小值叫做P0到直线y=ax+b 的直角距离．试求点M （2，1）到直线y=x+2的直角距离．北京初三初中数学中考模拟答案及解析一、选择题1.的绝对值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D.【解析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣到原点的距离是，所以﹣的绝对值是，故选D.【考点】绝对值.2.我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到666000000人.将666000000用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C.【解析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。

2024年中考第二次模拟考试数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（　）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．37．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A ．23B ．34C ．25D ．358．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9x 可取的一个数是 ．10．将2327m n n -因式分解为 ．11．方程12131x x =+-的解为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0k y k x =≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值 ．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于 .14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为.CE=．连接15．如图，在矩形ABCD中，4AB=，5BC=，E点为BC边延长线一点，且3⊥于点H，则DH=．AE交边CD于点F，过点D作DH AE16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e 的卡片写有数字 ．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()20211π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭18．（本题5分）解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中1x =．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE的形状，并证明；(2)连接EF，若EF CD的长．21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺为3m，且空白区域A B贴用纸费用分别为：A区域10元2/m，铺贴三个区域/m，B区域15元2/m，C区域20元2共花费150元，求C区域的面积．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖人数101010第一次竞赛平均数828795人数21216第二次竞赛平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/m y 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y 是x 的函数，并对y 随x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y ，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m ；此时距离A 的水平距离为___________m ；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m 时补光效果最好，若在距离A 处水平距离1.5m 的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m ？（灯的大小忽略不计）26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()0y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，AB =若线段AB 是O的关于直线()0y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．2024年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒【答案】B 【分析】根据∠AOC 和∠BOC 的度数得出∠AOB 的度数，从而得出答案．【详解】∵∠AOC =70°，∠BOC =30°，∴∠AOB =70°－30°=40°，∴∠AOD =∠AOB +∠BOD =40°+70°=110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+22a b <，∴C 选项的结论不成立；22a b +<+，∴D 选项的结论成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a ，b 的取值范围是解题的关键．5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（　）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n -∙︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】 正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A ．23B ．34C ．25D ．358．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③==+，∴DF AC a b∵DF DE<，+<，①正确，故符合要求；∴a b c∵EAB BCD≌△△，第Ⅱ卷非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9x可取的一个数是．∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．10．将2327m n n -因式分解为．【答案】()()333n m m +-【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．【详解】解：2327m n n -=()239n m -=()()333n m m +-故答案为：()()333n m m +-．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．11．方程12131x x =+-的解为 ．【答案】x ＝3【分析】根据分式方程的解法解方程即可；【详解】解：去分母得：3x ﹣1＝2x +2，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入得：(x +1)(3x ﹣1)≠0，∴分式方程的解为x ＝3．故答案为：x ＝3．【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0k y k x=≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值 ．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于 .AB是直径，CD丄AB∴=，CE DE=BD BC=60︒，∠ACDA∴∠=︒，30∴∠=∠=︒，DOE A26014．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为.CE=．连接15．如图，在矩形ABCD中，4AB=，5BC=，E点为BC边延长线一点，且3⊥于点H，则DH=．AE交边CD于点F，过点D作DH AE16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．【答案】B；4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，∴第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()20211π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭18．（本题5分）解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪．∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++，其中1x =．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE 的形状，并证明；(2)连接EF ，若EF =CD 的长．四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，60HDE ∠=︒ ，633OE OD ∴===21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为3m ，且空白区域AB 、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A 区域10元2/m ，B 区域15元2/m ，C 区域20元2/m ，铺贴三个区域共花费150元，求C 区域的面积．【答案】25m 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A 区域的面积为m x ，根据题意得出101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，再求出C 区域的面积即可．【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，9225-⨯=，答：C 区域的面积是25m ．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖人数101010第一次竞赛平均数828795人数21216第二次竞赛平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n 91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．【答案】(1)见详解；(2)88m =，90n =；(3)第二次【分析】（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/m y 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m；此时距离A的水平距离为___________m；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m？（灯的大小忽略不计）【答案】(1)见解析；(2)4；3；(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m．【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；（2）结合图表回答，即可解答；x=，求得函数值，即可解答．（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令 1.5【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为距离为3m ；故答案为：4；3；（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫⎪⎝⎭，，代入得，18342c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >，不符合题意，当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-；∴a 的取值范围是1a <-；综上所述：a 的取值范围是3a >或1a <-.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)CF DF =【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【详解】（1）解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；（2）CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE ≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC ≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()0y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，AB =若线段AB 是O的关于直线()0y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．发现线段11A B 的对称线段是⊙O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，⊙O 的关于直线故答案为：11A B ；（2）已知()30y x b b =-+>交x 轴于点是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的以及相应的BC 长．解：∵直线()30y x b b =-+>交x 轴于点当0y =时，()030x b b =-+>，将点C 代入直线3y x b =-+中，得0解得：23b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴22125BC B C '==+=，∴当A '为()10，时，如图，OC 最大，此时2024年中考第二次模拟考试数学·参考答案 第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．12345678BDBDCBDD第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9．如4等（答案不唯一，3x ≥）10．()()333n m m +-11．x ＝312．2-（答案不唯一）13．14．()621031x x-=1516．B ；4三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）【详解】解：原式1144=-+-+....................（2分）114=-++-....................（4分）4=．....................（5分）18．（5分）【详解】解：221352x xxx+<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x>，....................（2分）解不等式②得：5x<，....................（4分）∴不等式组的解集为35x<<．....................（5分）19．（5分）【详解】解：原式22121211(1)x x xx x x⎛⎫---=+÷⎪+++⎝⎭()()22112x x xx x-+=⋅+-....................（2分）()1x x=-+....................（3分）2x x=--，....................（4分）当1x=时，原式)1113=--+=-....................（5分）20．（5分）【详解】（1）解：四边形DFHE是菱形，理由如下：CD平分ACB∠，过点D作DE BC⊥于点E，DF AC⊥于点F，60ACB∠=︒，DF DE∴=，30FCD DCE∠=∠=︒，....................（1分）点H是CD的中点，FH CH DH∴==，EH CH DH==，FH HE∴=，30DCE∠=︒，DE CB⊥，60HDE∴∠=︒，DHE∴ 是等边三角形，DE HE DH∴==，DF DE HE FH∴===，∴四边形DFHE 是菱形；....................（2分）（2）解：连接EF ，交DH 于点O ，四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，12OF OE EF ===EF DH ⊥，....................（3分）60HDE ∠=︒，OD ∴===....................（4分）24CD DH OD ∴===....................（5分）21．（5分）【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，....................（1分）解得2x =，....................（2分）9225-⨯=，....................（3分）答：C 区域的面积是25m ．....................（5分）22．（5分）【详解】（1）解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，....................（1分）该一次函数的表达式为112y x =-+，....................（2分）令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；....................（3分）（2）解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，....................（4分）4m ∴>-．....................（5分）23．（6分）【详解】（1）解：如图所示；....................（2分）（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，....................（3分）∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第15和第16个数，∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；....................（4分）（3）第二次竞赛，学生成绩的平均数、中位数和众数均高于第一次竞赛，故第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．....................（6分）24．（6分）【详解】（1）解：∵BAC ADB∠=∠∴ AB BC =，....................（1分）∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，....................（2分）∴ AD CD =，∴ AB AD BC CD +=+，即 BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；....................（3分）（2）解：∵90BAD ∠=︒，CF AD ∥，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵ AD CD =，∴AD DC =．∵AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．....................（4分）∵BD 平分ADC ∠，∴1302CDB ADC ∠=∠=︒．∵BD 是直径，∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒-︒=︒，∴12FB BC =．....................（5分）∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径，∴此圆半径的长为142BD =．....................（6分）25．（6分）【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示， ....................（1分）（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m ；此时距离A 的水平距离为3m ；故答案为：4；3；....................（3分）（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入得，18311423c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得1321a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，....................（4分）∴抛物线的解析式为21213y x x =-++，令 1.5x =，则21331321 3.253224y ⎛⎫=-⨯+⨯+== ⎪⎝⎭，()3.25 1.5 1.75m -=，....................（5分）答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ．....................（6分）26．（6分）【详解】（1）解：∵抛物线解析式为()22230y ax a x a =--≠，。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1.下图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱第1题 第3题 第4题 第7题2.我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖1 040 000 000人左右，将1 040 000 000用科学记数法表示应为（A ）1.04×1010 （B ）1.04×109 （C ）10.4×109 （D ） 0.104×10113．如上图，若数轴上的点A 表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（A ） （B（C （D ）π4. 如上图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为（A ）60° （B ）40°（C ）20° （D ）10°5. 经过某路口的汽车，只能直行或右转. 若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（A ）（B ）（C ）（D ）141312346．正六边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）540°（D ）720°7．某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了200名进行问卷调查，根据数据绘制了如上面图所示的统计图. 若该校有2000名学生，估计喜欢木工的人数为（A ）64（B ）380（C ）640 （D ）7208. 下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y 与它的邻边x ;②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S 与全村总人口n ;③汽车的行驶速度一定，行驶路程s 与行驶时间t .其中，两个变量之间的函数关系可以用形如的式子表示的是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共16分，每题2分）9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．分解因式：．11． 若关于x 的一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．方程的解为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数的图象经过点和点，则．14．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC =6. 若△ABD 的周长为13，则△ABC 的周长为．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，连接BE 并延长，交CD 的延长0ky k k x=≠（为常数，）2363a a -+=322x x=+6y x=()2A m ，()2B n -，m n +=第14题图第15题图线于点F . 若AB =2，BC =4，，则BF 的长为 ．16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元.（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住. 三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元.）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间;（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．计算：．18．解不等式组：19．已知，求代数式的值．20. 下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其2AEDE=(02sin 45π-+-o 17242.3x x xx +⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤230x x --=(2)(2)(2)x x x x +---中一种，完成证明.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC .求证：∠B =∠C .方法一证明：如图，作△ABC 的中线AD .方法二证明：如图，作△ABC 的角平分线AD .21. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，AE ∥CF ，连接AF ，CE ．（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若∠EAO +∠CFD =180°，求证：四边形AECF 是矩形．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点A .（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x ≥时，对于x 的每一个值，函数的值大于一次函数0y kx b k =+≠（）2y x m =+的值，直接写出m 的取值范围.23. 如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，过点A 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点D ，连接OB .（1）求证：∠B =∠D ；（2）延长BO 交⊙O 于点E ，连接AE ，CE ，若AD=，sinBCE 的长．24．某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min ），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息.a . 七、八年级学生平均每天阅读时间统计图：0y kx b k =+≠（）七年级学生平均每天阅读时间八年级学生平均每天阅读时间b . 九年级学生平均每天阅读时间：21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50c . 七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数：年级七八九平均数26.435.236.8根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ；（2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数；（3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，，，则，，之间的大小关系为.25．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种. 测得一些数据如下：滑行时间t /s 01234滑行距离s /m261220（1）s 是t 的函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；21s 22s 23s 21s 22s 23s（2）求s 关于t 的函数表达式；（3）已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足函数关系2522s t t =+. 记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t 1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t 2，则t 1t 2（填“<”，“=”或“＞”）.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，.（1）求a 的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，在抛物线上，若231y y y ＜≤，求m 的取值范围.27. 如图，∠MON =α，点A 在ON 上，过点A 作OM 的平行线，与∠MON 的平分线交于点B ，点C 在OB 上（不与点O ，B 重合），连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转180°-α，得到线段AD ，连接BD .（1）直接写出线段AO 与AB 之间的数量关系，并证明∠MOB =∠DBA ；（2）连接DC 并延长，分别交AB ，OM 于点E ，F . 若α=60°，用等式表示线段EF 与AC 之间的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，C ，Q （点P 与点C 不重合），给出如下定义：若∠PCQ =90°，且1CQ CP k，则称点Q 为点P 关于点C 的“k -关联点”.已知点A （3，0），点B （0，），⊙O 的半径为r .（1）①在点D （0，3），E （0，-1.5），F （3，3）中，是点A 关于点O 的“1-关联点”的为；②点B 关于点O 的关联点”的坐标为；（2）点P 为线段AB 上的任意一点，点C 为线段OB 上任意一点（不与点B重合）.①若⊙O 上存在点P 关于点O 的关联点”，直接写出r 的最大值及最小值；②当r =⊙O 上不存在点P 关于点C 的“k -关联点”，直接写出k 的取值范围：.北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2023.4一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案A B D C A B C A 二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17. 解：原式12=-++1=+.18. 解：原不等式组为17242.3x xxx+⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤解不等式①，得 2.x>解不等式②，得 4.x≤∴原不等式组的解集为2 4.x<≤19. 解：(2)(2)(2)x x x x+---2242x x x=--+222 4.x x=--∵230x x--=，∴2 3.x x-=题号9101112答案5x≥23(1)a-9x=4题号13141516答案01951；1600①②∴原式22()4 2.x x =--=20. 方法一证明：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD =CD .在△ABD 和△ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C .方法二证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠CAD . 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C.21. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC . ∵AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO .∵∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO . ∴OE =OF .∴四边形AECF 为平行四边形.（2）∵∠EAO +∠CFD =180°，∠CFO +∠CFD =180°，∴∠EAO=∠CFO . ∵∠EAO =∠FCO ，∴∠FCO=∠CFO . ∴OC=OF . ∴AC=EF .∴四边形AECF 是矩形．22. 解：（1）∵一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），∴12 2.b k b =⎧⎨-+=⎩，解得 121.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴该一次函数的表达式为11.2y x =-+令0y =，得 2.x =∴()20.A ，（2） 4.m ＞-23. （1）证明：如图，连接OA .∵AD 为⊙O 的切线，∴∠OAD =90°.∴∠CAD +∠OAB =90°.∵OC ⊥AB ，∴∠ACD =90°.∴∠CAD +∠D =90°.∴∠OAB =∠D .∵OA =OB ，∴∠OAB =∠B .∴∠B =∠D .（2）解：在Rt △ACD 中，AD=，sin D =sin B，可得sin 2AC AD D =⋅=.∴AB =2AC =4.根据勾股定理，得CD =4.∴tan B =tan D =12.∵BE 为⊙O 的直径，0y kx b k =+≠（）∴∠EAB =90°.在Rt △ABE 中,tan 2AE AB B =⋅=.在Rt △ACE 中，根据勾股定理，得CE=24．解：（1）37．（2）根据题意可知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为 1526.41535.21536.832.8.45⨯+⨯+⨯=（3）＜＜．25．解：（1）二次.（2）设s 关于t 的函数表达式为s =at 2+bt ，根据题意，得242 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11.a b =⎧⎨=⎩，∴s 关于t 的函数表达式为s =t 2+t.（3）＞.26．解：（1）∵抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，，∴2m -4=a +（2m -6）+1.∴a =1（2）由（1）得抛物线的表达式为y =x 2+（2m -6）x +1.∴抛物线的对称轴为3.x m =-（3）①当m ＞0时，可知点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布.根据23y y ＜可得232m m m ++-＜.∴ 1.m ＞根据31y y ≤可得232m m m -++-≥.∴ 2.m ≤22s 21s 23s∴1 2.m ＜≤②当m ≤0时，∵3m m m +≤-＜-，∴21y y ≥，不符合题意.综上，m 的取值范围为1 2.m ＜≤27．解：（1）AO =AB .证明：∵OB 平分∠MON ， ∴∠MOB =∠NOB. ∵OM //AB ，∴∠MOB =∠ABO. ∴∠NOB =∠ABO. ∴AO =AB .根据题意，得AC =AD ，∠OAB =∠CAD .∴∠CAO =∠DAB.∴△OAC ≌△BAD. ∴∠COA =∠DBA. ∴∠MOB =∠DBA.（2）EF =.证明：如图，在OM 上截取OH =BE ，连接CH .∵△OAC ≌△BAD ，∴OC=BD.又OH =BE ，∴△OHC ≌△BED.∴CH=DE ，∠OHC=∠BED ，∵OM//AB ，∴∠MFC=∠BED.∴∠MFC=∠OHC.∴CF=CH.∴CF=DE.∴CD=EF.∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°，作AK ⊥CD 于点K. ∵AC=AD ，∴∠ACK =30°，1.2CK CD =∴.CK AC =∴CD =.∴EF =.28． 解：（1）①D .②（-3，0）或（3，0）.（2）① 3，32.②k .。

北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第1页（共8页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数 学 2024.5考生须知1．本试卷共8页，共两部分，28道题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）三棱柱（D ）长方体2．新能源革命受到全球瞩目的同时，也成为中国实现“碳达峰碳中和”目标的关键所在．2023年全球可再生能源新增装机510 000 000千瓦，其中中国的贡献超过了50%． 将510 000 000用科学记数法表示应为 （A ）90.5110 （B ）85.110 （C ）95.110 （D ）75110 3．正十二边形的每一个外角的度数为（A ）30°（B ）36°（C ）144°（D ）150°4．如图，直线AB ⊥CD 于点C ，射线CE 在∠BCD 内部，射线CF平分∠ACE ．若∠BCE =40°，则下列结论正确的是 （A ）∠ECF =60° （B ）∠DCF =30° （C ）∠ACF 与∠BCE 互余 （D ）∠ECF 与∠BCF 互补5．不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是 （A）12 （B ）13（C ）23（D ）49北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第2页（共8页）6．如图，点C 为线段AB 的中点，∠BAM =∠ABN ，点D ，E 分别在射线AM ，BN 上，∠ACD 与∠BCE 均为锐角．若添加一个条件一定 可以证明△ACD ≌△BCE ，则这个条件不能是 （A ）∠ACD =∠BCE （B ）CD=CE （C ）∠ADC =∠BEC（D ）AD =BE7．某农业合作社在春耕期间采购了A ，B 两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A 型机器的进价比每台B 型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A ，B 两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B 型机器的进价为x 万元，根据题意可列出关于x 的方程为（A ）12.621(20.7)x x （B ）2112.620.7x x （C ）2112.620.7x x（D ）2112.620.7x x8．下面问题中，y 与x 满足的函数关系是二次函数的是①面积为102cm 的矩形中，矩形的长y （cm ）与宽x （cm ）的关系；②底面圆的半径为5cm 的圆柱中，侧面积y 2(cm )与圆柱的高x （cm ）的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(100)x 件． 利润y （元）与每件售价x （元）的关系． （A ）① （B ）②（C ）③ （D ）①③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9． 若分式34x 有意义，则x 的取值范围是______． 10．分解因式：2218x y y =______．11．方程组25,24x y x y的解为______． 12．在平面直角坐标系xOy 中，点(3,1)A 关于原点O 的对称点的坐标为______．13．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥BC 于点E ．若BE =3，△BDE 的面积为1.5，则点D 到边AB 的距离为______． 14．如图，AB 与⊙O 相切于点C ．点D ，E 分别在OA ，OB上，四边形ODCE 为正方形．若OA =2，则DE =______．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第3页（共8页）15．如图，(2,)A m ，(3,2)B 两点在反比例函数ky x（x ＞0）的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段OA ，OB 及反比例函数图象上A ，B 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为______．16．在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分，负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为m （分），则m 的最小值为______；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为______场． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：04cos 45(π3) ．18．解不等式组3 2 < 4,2,53x x x x≥并写出它的所有整数解． 19．已知230x x ，求代数式233(1144x x x的值． 20．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA=BC ．求作：点D ，使得点D 在△ABC 内，且12ADB BDC ．下面是小华的解答过程，请补充完整：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：①作线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点E ；②以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，与直线PQ 在△ABC 内交于点D ． 点D 就是所求作的点．（2）完成下面的证明．证明：连接DA ，DB ，DC ．∵ 点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ DB = DC （ ）（填推理的依据）， DE ⊥BC ．∴ 12BDE CDE BDC ．∵ ∠ABC =90°，∠DEC =90°， ∴ ∠ABC =∠DEC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第4页（共8页）∴ AB ∥DE ． ∴ ∠ABD =∠BDE ． ∵ ， ∴ ∠ADB =∠ .∴ 12ADB BDE BDC ．21．已知关于x 的一元二次方程2320x x k 有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）若k 为满足条件的最大整数，求此时方程的根．22．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ，FG =CF ，连接AG ．（1）求证：四边形AEFG 是矩形；（2）若∠ABD =30°，AG =2AE =6，求BD 的长．23．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，点E 是 BD的中点，连接AE 交BC 于 点F ，∠ACB =2∠EAB ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若BF =6，3cos 5C，求AB 的长．24．我国快递市场繁荣活跃，某快递公司为提高服务质量，对公司的业务量、公众满意度等数据进行统计分析．公司随机抽取了某日发往相邻城市的快递中的1000件，称重并记录每件快递的重量（单位：kg，精确到0.1）．下面给出了部分信息．a.每件快递重量的频数分布直方图（数据分成11组：0≤x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10，10≤x＜11）；b.在3≤x＜4这一组的数据如下：3.0 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.43.5 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.9c.这1000件快递重量的平均数、中位数、众数如下：平均数 中位数 众数快递重量3.6 m n（单位：kg）根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）写出m的值；（3）下面四个结论中，① n的值一定在2≤x＜3这一组；②n的值可能在4≤x＜5这一组；③n的值不可能在5≤x＜6这一组；④n的值不可能在8≤x＜9这一组.所有正确结论的序号是 ；（4）该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中有3800件发往相邻城市，估计这批快递的重量.北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第5页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第6页（共8页）25．已知角x （0°≤x ≤90°），探究sin x 与角x 的关系.两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案：方案一：如图，点P 在以点O 为圆心，1为半径的 MN上，∠MON =90°，设∠POM 的度数为x . 作PC ⊥OM 于点C ，则线段 ① 的长度c 即为sin x 的值.方案二：用函数35π1π1π()()()1806180120180x x x F x的值近似代替sin x 的值．计算函数 ()F x 的值，并在平面直角坐标系xOy 中描出坐标为(,())x F x 的点.两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（精确到0.001）. 若()c F x ≤0.001记为√，否则记为×. x 0 102030 40455060708090 c 0 0.174 0.342 ②0.643 0.707 0.766 0.866 0.940 0.985 1 ()F x0.174 0.342 0.500 0.643 0.707 0.766 0.866 0.941 0.987 1.005√或× √√√√√√√√×根据以上信息，解决下列问题： （1）①为 ，②为 ； （2）补全表中的√或×；（3）画出()F x 关于x 的函数图象，并写出sin55°的近似值（精确到0.01）.26．在平面直角坐标系xOy 中，11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c上任意两点．设抛物线的对称轴是x=t ．（1）若对于12x ，21x ，有12y y ，求t 的值；（2）若对于1x ≥2，都有1y c 成立，并且对于21x ，存在2y c ，求t 的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0°＜α＜30°）．将射线AB绕点A顺时针旋转2α得到射线l，射线l与直线BC的交点为点M．在直线BC上截取MD=AB （点D在点M右侧），将直线DM绕点D顺时针旋转2α所得直线交直线AM于点E．（1）如图1，当点D与点B重合时，补全图形并求此时∠AED的度数；（2）当点D不与点B重合时，依题意补全图2，用等式表示线段ME与BC的数量关系，并证明．图1图2北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第7页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第8页（共8页）28．如图1，对于⊙O 外的线段PQ （线段PQ 上的各点均在⊙O 外）和直线PQ 上的点R ，给出如下定义：若线段PQ 绕点R 旋转某一角度得到的线段P ′Q ′恰好是⊙O 的弦，则称点R 为线段PQ 关于⊙O 的“割圆点”．图1图2在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．（1）如图2，已知点(1,4)S ，(1,2)T ，(1,2)U ，(0,3)W . 在线段ST ，TU ，UW 中，存在关于⊙O 的“割圆点”的线段是_______，该“割圆点”的坐标是_______； （2）直线y x b 经过点(0,3)W ，与x 轴的交点为点V ．点P ，点Q 都在线段VW 上，且PQ PQ 关于⊙O 的“割圆点”为点R ，写出点R 的横坐标R x 的取值范围；（3）直线l 经过点H ，不重合的四个点A ，B ，C ，D 都在直线l 上，且点H 既是线段AB 关于⊙O 的“割圆点”，又是线段CD 关于⊙O 的“割圆点”．线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，记线段MN 的长为d ，写出d 的取值范围．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第1页（共6页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共16分，每题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBADABCC二、填空题（共16分，每题2分）9．4x 10．2(3)(3)y x x11．2,1x y 12．(3,1) 13．1 1415．(1,1)，(2,2) 16．6；4 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解： 04cos 45(π3) 2412…………………………………………………………… 4分 1 ． ……………………………………………………………………………… 5分18．解：原不等式组为3 2 < 4,2.53x x x x≥ 解不等式①，得3x ．……………………………………………………………1分 解不等式②，得1x ≥．………………………………………………………… 2分∴ 原不等式组的解集为1 ≤3x ．…………………………………………… 3分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1 ，0，1，2．……………………………… 5分19．解： 233(1)144x x x2231(2)x x x3(1)(2)x x232x x． ……………………………………………………………………… 3分∵ 230x x ， ∴ 23x x ．∴ 原式3 ．…………………………………………………………………………5分① ②北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第2页（共6页）20．解：（1）作图见图1．……………………………………………………………………2分（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；……………… 3分 AB=AD ；……………………………………………………………………… 4分ABD ．………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）依题意，得234(2)174k k ．…………………………………… 1分∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 1740k ．………………………………………………………………2分 解得 174k．…………………………………………………………………3分 （2）∵ k 为满足条件的最大整数，∴ 4k ．此时方程为2320x x ．此时方程的根为11x ，22x ．…………………………………………5分22．（1）证明：如图∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD ，AB=CD ．…………………………………………………… 1分 ∴ ∠ABE=∠CDF ．∵ AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ， ∴ ∠AEB=∠CFD=∠AEF=∠EFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF ．图1北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第3页（共6页）∴ AE=CF ．∵ FG =CF ，∴ AE= FG ．∵ ∠AEF=∠EFC ，∴ AE//FG ．∴ 四边形AEFG 是平行四边形．∵ ∠AEF=90°，∴ 四边形AEFG 是矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ △ABE ≌△CDF ，∴ BE= DF ．∵ AG=2AE =6，∴ AE =3．在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∠ABE =30°，AE =3，∴3tan tan 30AE BE ABE4分 ∵ 四边形AEFG 是矩形，AG =6，∴ EF=AG=6．……………………………………………………………… 5分∴26BD BE EF DF BE EF ． ………………………… 6分23．（1）证明：如图3，连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，∴ ∠BDA=90°．∴ 90B DAB ．∵ 点E 是 BD的中点， ∴ BEED ． ∴ 1EAB ．∴ 12DAB EAB EAB ．∵ ∠ACB =2∠EAB ，∴ ∠DAB =∠ACB ．∴ 90B ACB ．∴ ∠BAC=90°．………………………………………………………… 2分∴ AC ⊥AB ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ AC 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 3分 图3北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第4页（共6页）（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，3cos 5C ． 设AC =3k ，则BC =5k ，AB =4k ．∵ 90B DAB ，90CAD DAB ，∴ B CAD ．∵ 2B EAB ，1CAF CAD ，1EAB ，∴ 2CAF ．∴ CF=AC=3k ．∴ 2BF BC CF k ．∵ BF =6，∴ k =3．∴ 412AB k ．…………………………………………………………… 6分24．解：（1）补全频数分布直方图见图4；……………………………………………… 1分（2）2分（3）②④；………………………………………………………………………… 4分（4）3.6380013680 （kg ）．……………………………………………………5分25．解：（1）PC ，0.5； …………………………………………………………………… 2分（2）√，×；……………………………………………………………………… 4分（3）画图见图5；5分0.82．………………………………………………………………………… 6分 图5北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第5页（共6页）26．解：（1）∵ 对于12x ，21x ，有12y y ，∴ 42a b c a b c ．∴ b a ．∴ 122b t a ．………………………………………………………………2分 （2）由题意可知，抛物线2y ax bxc 与y 轴的交点为(0,)c ．①当a > 0时，抛物线开口向上．∴ 当1x ≥2时，1y 有最小值，没有最大值．∴ 与“对于1x ≥2时，都有1y c ”不符，所以不合题意．∴ a > 0不成立．②当a < 0时，抛物线开口向下，且经过点(0,)c ，(2,)t c ．若抛物线经过点(1,)c ，则12t ； 若抛物线经过点(2,)c ，则1t ．（i ）当12t ≤时， 01t ≤或021t t ≤．∴ 对于21x ，都有2y c ．与“对于21x ，存在2y c ”不符，所以不合题意．（ii ）当112t 时，122t t ． ∴ 对于21x ，存在2y c ，对于1x ≥2，都有1y c ．∴112t 成立． （iii ）当1t ≥时，022t ≤． ∴ 当12x 时，1y c ．与“对于1x ≥2，都有1y c 成立”不符，所以不合题意． 综上所述，112t ．27．解：（1）补全图形见图6．∵ 点D 与点B 重合，MD=AB ，∠BAM ∴ ∠AMD =∠BAM =2α．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∴ 90AMD MAC ．∵ ∠BAC =α，∴ 5α=90AMD BAM BAC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第6页（共6页）解得α=18 ．∵ ∠MDE =2α，∴ 2α+2α4α=72AED AMD MDE ．………………………… 2分（2）补全图形见图7．…………………………………………………………… 3分ME =2BC ．…………………………………………………………………… 4分证明：如图7，在BC 的延长线上截取CF=BC ，连接AF ．以点B 为圆心，BF 为半径作弧，交AF 于点N ，连接BN ．∵ CF=BC ，∠ACB =90°，∴ AB=AF ．∴ ∠BAN =2∠BAC =2α．∵ ∠MDE =2α，∴ ∠MDE =∠BAN ．∴ 在等腰△ABF 中，18090α2BAF F ． ∵ BN=BF ，∴ 390αF ．在Rt △AMC 中，190903αMAC ．∴ 21(903α)+2α90αMDE ．∴ 23 ．∵ 41802 ，1803BNA ，∴ 4BNA ．∵ DM =AB ，∴ △DME ≌△ABN ．∴ ME=BN ．∵ BN=BF ，∴ ME=BF=2BC ．……………………………………………………7分28．解：（1）UW ，(2,1) ；…………………………………………………………………2分（2）2R x ≤或1R x ≥；………………………………………………………… 4分（3）02d或4d ≤．……………………………………………… 7分。

2023北京丰台初三二模数 学2023. 05考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题. 满分100分. 考试时间120分钟.2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号.3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4. 选择题和作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 右图是某几何体的展开图，该几何体是（A ）圆柱（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）球2. 如图，AB ∥CD ，点E 为CD 上一点，AE ⊥BE ，若∠B =55°，则∠1的度数为（A ）35°（B ）45°（C ）55°（D ）65°3. 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）a ＞c（B ）b ＞1（C ） b ＜c（D ）ac ＞04. 以下图形绕点O 旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（A ）（B ）（C ）（D ）5. 已知3.52=12.25，3.62=12.96，3.72=13.69，3.82=14.44精确到0.1的近似值是（A ）3.5（B ）3.6（C ）3.7（D ）3.86. 掷一枚质地均匀的硬币m 次，正面向上n 次，则nm的值 1DE ABC（A）一定是12（B）一定不是12（C）随着m的增大，越来越接近12（D）随着m的增大，在12附近摆动，呈现一定的稳定性7. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，索和竿子各几何？（1托为5尺）其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，那么绳索和竿各长几尺？设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据题意列方程组，正确的是（A）5152x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，（B）5152x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，（C）525y xx y-=⎧⎨-=⎩，（D）525x yy x-=⎧⎨-=⎩，8. 下面三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x图1 图2 图3其中，变量y与x之间的函数关系大致符合右图的是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．隧道ABCO10. 分解因式：2233=x y -________.11. 正十边形的外角和为________°.12. 如图所示，正方形网格中，三个正方形A ，B ，C 的顶点都在格点上，用等式表示三个正方形的面积S A ，S B ，S C 之间的关系________.13. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数11y x =（x ＞0）和2ky x=（x ＞0）的图象如图所示，k 的值可以是________（写出一个即可）.14. 若b a -=2，则代数式222+a b aba b a b---的值为________.15. 右图是某书店2022年7月至12月教育类图书销售额占当月全部图书销售额的百分比折线统计图. 小华认为，8月份教育类图书销售额比7月份减少了. 他的结论 （填“正确”或“错误”），理由是 .16.甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地. 每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表.物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量/吨654每吨所需运费/元120160100如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为元.三、解答题（共68分，第17-21，23题，每题5分，第22，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：3112sin 30(1)().2-+- 18. 解方程：1111x x x +=-+.y 1教育类图书销售额占当月全部图书销售额的百分比折线统计图19. 下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法. 请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明.20. 已知关于x 的一元二次方程04222=-+-m mx x . （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）选择一个m 的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．21. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，点D 为AC 的中点，连接DB ，过点C 作CE ∥DB ，且CE =DB ，连接BE ，DE ．（1）求证：四边形BECD 是菱形；（2）连接AE ，当∠ACB =30°，AB =2时，求AE 的长．22. 某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A ，B 两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息.a . 两种花生仁的长轴长度统计表：花生仁长轴长度（mm ）12131415161718192021A 品种花生仁粒数51067200000B 品种花生仁粒数23645442b . 两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：平均数中位数众数方差A 品种花生仁a 13.5c 1.4B 品种花生仁17.5b163.9根据以上信息，回答下列问题：（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是______（填序号）；①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；（2）写出a ，b ，c 的值；（3）学校食堂准备从A ，B 两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 （填“A ”或“B ”）品种花生仁，理由是 ．23. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点（2，0），（3，1）．（1）求这个一次函数的表达式；A BCDE（2）当x m >时，对于x 的每一个值，正比例函数y mx =的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，点D 是BC 的中点，点E 是AB 的延长线上的一点，∠BCE =∠BOD ，OD 的延长线交CE 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若sin E ＝23，AC ＝5，求DF 的长．25. 学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形ABCD 构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌EFGH ，要求矩形EFGH 的顶点E ，H 在抛物线上，顶点F ，G 在矩形ABCD 的边AD 上．为了设计面积最大的矩形EFGH ，兴趣小组对矩形EFGH 的面积与它的一边FG 的长之间的关系进行研究．图1 图2具体研究过程如下，请补充完整. （1）建立模型：以FG 的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，通过研究发现，抛物线满足函数关系211224y x x (≤≤）=-+-. 设矩形EFGH 的 面积为S 2m ，FG 的长为a m ，则另一边HG 的长为________m （用含a 的代数式表示），得到S 与a 的关系式为：___________（0＜a ＜4）；HGFE DCBAED BC AOF（2）探究函数：列出S 与a 的几组对应值：a / m…0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5…S /2m …0.490.941.291.501.521.310.82…在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；（3）解决问题：结合函数图象得到，FG 的长约为_________m 时，矩形面积最大．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点（4，3）在抛物线23y ax bx =++（a ≠0）上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点（x 1，5），（x 2，-3）在抛物线上，求a 的取值范围；（3）若点（m ，y 1），（m +1，y 2）在抛物线上，对于任意的m ≥3，都有21y y -≥3，直接写出a 的取值范围．27. 如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在CB ，AC 的延长线上，且BD=CE ， EB 的延长线交AD 于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）延长EF 至点G ，使FG=AF ，连接CG交AD 于点H . 依题意补全图形， 猜想线段CH 与GH 的数量关系，并证明．CEDBAF28. 对于⊙W和⊙W的弦PQ，以PQ为边的正方形为PQ关于⊙W的“关联正方形”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点T（m，0），点M（m，-1），以点T为圆心，TM的长为半径作⊙T，点N为⊙T上的任意一点（不与点M重合）．（1）当m=0时，若直线y=x+t上存在点在MN关于⊙T的“关联正方形”上，求t的取值范围；（2）若点A在MN关于⊙T的“关联正方形”上，点B（-m+2，3）与点A的最大距离为d，当d取最小值时，直接写出此时m和d的值.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案CACDBDAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x ≥510. 3（x +y ）（x -y ）11. 36012. S A +S B =S C （答案不唯一，其他形式相应给分） 13. 2（答案不唯一，k ＞1即可） 14. 215. 错误；理由合理即可16. 9，2，9；11680.三、解答题（共68分，第17-21，23题，每题5分，第22，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.解：原式=1-1-+2. ……4分=2-. ……5分18.解：去分母，得x （x +1）+（x -1）=（x +1）（x -1）.去括号，得x 2+x +x -1=x 2-1. 移项，得2x =0.系数化为1，得x =0. ……4分检验:当x =0时，（x +1）（x -1）≠0. ∴原分式方程的解为x =0. ……5分19.解：选择作法一：正确补全图形； ……2分证明：∵AB = AP ，CB = CQ ，∴PQ ∥l (三角形的中位线定理). 5分2222l选择作法二：正确补全图形； ……2分证明：∵AP = BQ ，AB = PQ ，∴四边形APQB 是平行四边形（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）.∴PQ ∥l (平行四边形的对边平行). ……5分20.（1）证明：∵=b 2-4ac=4m 2-4（m 2-4）=16＞0.∴该方程总有两个不相等的实数根. …3分（2）取m=0,原方程可化为 解得x 1=2，x 2=-2. ……5分（答案不唯一，取符合题意的m 值相应给分） 21.（1）证明：∵CE ∥DB ,且CE =DB , ∴四边形BECD 是平行四边形.……1分∵∠ABC =90°,点D 是AC 边中点， ∴BD=AC=CD . ∴四边形BECD 是菱形. ……2分 （2）证明：∵四边形BECD 是菱形， ∴AC ∥BE ,CD=BE .∵点D 是AC 中点， ∴AD =CD =BE .∵AD ∥BE ,AD =BE . ∴四边形ABED 是平行四边形. ∵∠ACB =30°,∠ABC =90°，∴AB =AC =AD .l∆042=-x 2121EABCDFABCD EO∴四边形ABED 是菱形.∴AE ⊥BD ，AE =2AO .∴∠AOB=90°.∵∠ACB =30°,∴∠CAB =60°.∴∠EAB=∠CAB =30°.∴AO=AB =.∴AE =2AO =. ……5分22.解：（1）②； ……1分（2）a =13.7，b =17.5，c =13； ……4分（3）A ，A 品种花生仁长轴长度方差小，说明该品种花生仁大小更均匀. 6分23.解：（1）∵一次函数的图象经过点（2，0），（3，1），∴解得∴一次函数表达式为. …3分（2） ……5分24.（1）证明：连接OC .∵D 是BC 的中点，∴OD ⊥BC . ……1分∵OC =OB ，∴∠OBC=∠OCB .∵∠BOD=∠BCF ，∴∠BOD+∠OBC=∠BCF+∠OCB .∴∠BCF+∠OCB =90°. ……2分即∠OCE =90°. ∴OC ⊥CE .∵OC ⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线. ……3分2123332y kx b =+2031,k b k b ì+=ïïíï+=ïî12k ,b .ì=ïïíï=-ïî2y x =-1≥m .ED B CA O F（2）解：∵∠OCE =90°，sin E=，∴.设OC=2k ，OE=3k ，则BE=OE -OB=k .∴AE=AB+BE=5k .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°∴∠ACB =∠ODB ，∴AC ∥OF .∴△EOF ∽△EAC . ……4分∴.∵AC =5,∴OF=3. ……5分∵CD=BD ,AO=BO ,∴OD=AC=.∴DF=OF -OD=. ……6分25.解：（1）()，； 2分（2）正确画出该函数的图象； …4分（3）2.3 . ……6分26.解：（1）由题意得抛物线经过点（0，3）和点（4，3），∴抛物线的对称轴. …1分（2）∵抛物线的对称轴，∴.∴抛物线顶点坐标为.3232=OE OC 53==AE OE AC OF1225122116a -+316a S a =-+0422x +==22bx a =-=4b a =-()234,a -∵点，在抛物线上，∴当a ＞0时，，解得；当a ＜0时，，解得.综上所述，或. ……4分（3）或. ……6分27.（1）解：∵等边△ABC ，∴AB =BC ,∠ACB=∠ABC=60°.∴∠ABD=∠BCE=120°.∵CE =BD ，∴△ABD ≌△BCE . ……1分∴∠D=∠E .∵∠DBF=∠CBE ，∴∠D+∠DBF=∠E+∠CBE .即∠AFE=∠ACB=60°. ……2分（2）正确补全图形；……3分CH=GH ； ……4分证明：在EF 上截取FM=FA,连接AM ，CM .∵∠AFE=60°，∴ △AFM 是等边三角形.∴∠FAM=∠AFM=60°，AM=AF=MF .∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC .∴∠BAC -∠MAB=∠FAM -∠MAB .即∠CAM=∠BAF .∴△ACM ≌△ABF . ……5分1(,5)x 2(,3)x 343a ≤--32a ≥345≥a -12≤-a 32a ≥12≤-a 1a ≥1a ≤-M GFAB D CH∴∠AMC=∠AFE=60°.∴∠CMF=∠AMC+∠AMB=120°.∴∠CMF+∠AFE=180°.∴CM ∥HF . ……6分∴.∵FM=AF ，AF=GF ，∴FM=GF .∴CH=GH . ……7分28.解：（1）如图，MN 关于⊙T 的“关联正方形”上的所有点在以C （-1，0）和D （1，0径，以E （-1，-1），F （1，-1）和O （0，0）为圆心，1为半径的五个圆上及圆内.由直线y=x +t 上存在点在MN 关于⊙T的“关联正方形”上，可知：当直线与⊙C 相切时，设切点为G ，交x 轴于点H ，交y 轴于点I ，由CG =，得CH =2，∴OH =OI =3，此时t =3；当直线与⊙F 相切时，设切点为J ，交y 轴于点K ，由OJ =OK ，∴此时t =.综上所述，. ……3分（2）m =1；d . ……7分MF GFCH GH21+2-23≤≤t -1。

2023北京大兴初三二模数 学2023．05考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。

2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域。

3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效。

4．在答题纸上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．练习结束，请将答题纸交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．长方体B ．正方体C ．圆柱D ．圆锥2．国家统计局官网显示，2023年第一季度国内生产总值达284997亿元，比去年同一时期增长4.5%．数据28499700000000用科学记数法表示应为（ ）A ．1228.499710⨯B ．132.8499710⨯C ．142.8499710⨯D ．140.28499710⨯3．正六边形的外角和是（ ）A ．180︒B ．360︒C ．540︒D ．720︒4．下列运算结果正确的是（ ）A ．3332b b b ⋅=B ．22()ab ab-=-C ．523a a a ÷=D ．23a a a +=5．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a b<B ．0a b ->C ．0a b +<D ．0ab >6．如图，将一块直角三角板的顶点B 放在直尺的一边DE 上，当DE 与三角板的一边AC 平行时，则ABD ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒7．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n （n 为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果．下面有三个推断：①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个；③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是（ ）A ．①②B ．②C ．①③D ．①②③8．如图1，点P ，Q 分别从正方形ABCD 的顶点A ，B 同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q 的速度是点P 速度的2倍，当点P 运动到点B 时，点P ，Q 同时停止运动．图2是点P ，Q 运动时，BPQ △的面积y 随时间x 变化的图象，则正方形ABCD 的边长是（ ）A ．2B ．C ．4D ．8二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若代数式13x -有意义，则实数x 的取值范围是________．10．分解因式：39x x -=________．11．方程组2,25x y x y +=-⎧⎨-=⎩的解是________．12．如果1a b -=，那么代数式22(2)a b a bb a a+--÷的值为________．13．下图是根据A ，B 两城市一周的日平均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断日平均气温较稳定的城市是________（填“A ”或“B ”）．14．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//AC DF ，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF △≌△，这个条件可以是________（写出一个即可）．15．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D 是网格线交点，AC 与BD 相交于点O ，小正方形的边长为1，则AO 的长为________．16．某公司需要采购甲种原料41箱，乙种原料31箱．现安排A ，B ，C 三种不同型号的卡车来运输这批原料，已知7箱甲原料和5箱乙原料可装满一辆A 型卡车；5箱甲原料和7箱乙原料可装满一辆B 型卡车；3箱甲原料和2箱乙原料可装满一辆C 型卡车．A 型卡车运输费用为一次2000元，B 型卡车运输费用为一次1800元，C 型卡车运输费用为一次1000元．（1）如果安排5辆A 型卡车、1辆B 型卡车、1辆C 型卡车运输这批原料，需要运费________元；（2）如果要求每种类型的卡车至少使用一辆，则运输这批原料的总费用最低为________元．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17112sin 451(3-︒+．18．解不等式组：2(1)2,1.32x x x x -+-≥<⎧⎪⎨⎪⎩19．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象平移得到，且经过点(2,0)-．（1）求该函数的解析式；（2）当2x ≥时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围．20．已知：如图，线段AB ．求作：ABC △，使得AC BC =，且30ACB ∠=︒．作法：①分别以点A 和点B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧在AB 的上方交于点D ，下方交于点E ，作直线DE ；②以点D 为圆心，AD 长为半径画圆，交直线DE 于点C ，且点C 在AB 的上方；③连接AC ，BC ．所以ABC △就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AD ，BD ，AE ，BE ．∵AD BD =，AE BE =，∴DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AC =________．∵AB BD AD ==，∴ABD △为等边三角形，∴60ADB ∠=︒．∵AB AB =，∴12ACB ADB ∠=∠（________）（填推理的依据），∴30ACB ∠=︒．21．如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，延长DC 到点E ，使CE CD =．过点E 作//EF AD 交AC 的延长线于点F ，连接AE ，DF ．（1）求证：四边形ADFE 是平行四边形；（2）过点E 作EG DF ⊥于点G ，若2BD =，5AE =，求EG 的长．22．已知关于x 的方程2(4)40x m x m -++=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于1，求m 的取值范围．23．某中学为普及天文知识，举行了一次知识竞赛（百分制）．为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．七年级学生竞赛成绩的频数分布表：成绩频数频率5060x ≤<20.056070x ≤<4m 7080x ≤<100.258090x ≤<140.3590100x ≤≤100.25合计401.00b ．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：c ．八年级学生竞赛成绩在8090x ≤<这一组的数据是80，80，82，83，83，84，86，86，87，88，88，89，89，89d ．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下：中位数七年级81八年级n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值：m =________，n =________；（2）此次竞赛中，抽取的一名学生的成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩．他是哪个年级的学生，请说明理由；（3）该校八年级有200名学生，估计八年级竞赛成绩80分及80分以上的学生共有________人．24．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，AD 平分CAB ∠交O 于点D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 是O 的切线；（2）延长AB 与直线DE 交于点F ，若5AB =，4cos 5AFD ∠=，求DE 的长．25．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某中学一名运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/m x 01 1.52 2.53竖直高度/my 00.750.937510.93750.75根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+<；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.25( 2.2) 1.21y x =--+．记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为1d ，第二次训练落入沙坑点的水平距离为2d ，则1d ________2d （填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,1)在抛物线21(0)y ax bx a =++>上．（1）求抛物线的对称轴；（2）已知点0(,)A x m ，点(3,)B n 在抛物线上，若对于01t x t ≤≤+，都有m n <，求t 的取值范围．27．如图，在ABC △中，45B ∠=︒，将线段AC 绕点A 逆时针旋转得到线段AD ，且点D 落在BC 的延长线上，过点D 作DE AC ⊥于点E ，延长DE 交AB 于点F ．（1）依题意补全图形．求证：12BDF CAD ∠=∠；（2）用等式表示线段CD 与BF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,0)A r -，(,0)B r ．点P 为平面内一点（不与点A ，点B 重合），若ABP △是以线段AB 为斜边的直角三角形，则称点P 为线段AB 的直点．（1）若1r =，①在点111(,)22P -，2(0,1)P ，3(1,1)P --这三个点中，点________是线段AB 的直点；②点P 为线段AB 的直点，点(1,1)C -，求CP 的取值范围；（2）点D 在直线1y x =-上，若点D 的横坐标D x 满足24D x <<，点P 为线段AB 的直点，且1DP =，直接写出r 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案ABBCCDAC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．x ≠3 10．()()33x x x +-11．13x y =⎧⎨=-⎩．， 12．113．B 14．答案不唯一，如AC =DF ，∠A =∠D 15．10316．（1）12800；（2）12600三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）17．解：原式213-………………………………………………………4分4．……………………………………………………………………….…5分18．解：原不等式组为2(1)2,132x x x x -+⎧⎪⎨-⎪⎩＜.①②解不等式①，得0x >．……………………………………………………………………2分解不等式②，得3x ≤．……………………………………………………………………4分∴ 原不等式组的解集为03x <≤．…………………………………………………………5分19．解：（1）∵ 函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于函数12y x =的图象，且经过点()2,2， ∴ 1220.k k b ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，…………………………………………………………………2分 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴该函数的表达式为112y x =+．………………………………………………3分（2）0m ＞．………………………………………………………………………………5分20．（1）补全图形如图所示．……………………………………………………………………………2分（2）BC；……………………………………………………………………………………3分一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．……………………………………5分21．（1）∵EF∥AD，∴∠DAC=∠EFC．∵∠ACD=∠FCE，CD=CE，∴△ACD≌△FCE，∴AD=EF．∵AD∥EF，AD=EF，∴四边形ADFE是平行四边形．…………………………………………………………3分（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵CD=2，∴BD=2．∵CD=CE，∴CE=2，∴DE=4．∵AE=5，∴=AD∴AD=3，∴sin∠AED=ADAE=35．∵四边形ADFE是平行四边形，∴AE∥DF，∴∠EDF=∠AED，∴sin∠EDF=sin∠AED=35．∵EG⊥DF，∴∠EGD=90°，∴sin∠EDF=3=5 EGDE．又∵DE=4，∴EG=125．…………………………………………………………………………………6分22．（1）证明：∵2[(4)]44m m∆=-+-⨯2816m m =-+2(4)0m =-≥…………………………………………………………………………2分∴方程总有两个实数根．…………………………………………………………………3分（2）解：由求根公式，得(4)(4)2m m x +±-=∴14x =，2x m =，…………………………………………………………………………4分依题意可得1m <． ………………………………………………………………………5分23．解：（1）m =0.10，n =85．…………………………………………………………………2分（2）七年级，理由如下：因为被抽取的七年级学生成绩的中位数是81，81<83，所以该生的成绩超过了一半以上被抽取的七年级学生的成绩；因为被抽取的八年级学生成绩的中位数是85，83<85，所以该生的成绩低于一半被抽取的八年级学生的成绩；所以该名学生是七年级学生．……………………………………………………………4分（3）130．…………………………………………………………………………………6分24．证明：（1）连接OD ．∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD =∠CAD ．∵OD =OA ，∴∠ODA =∠OAD ，∴∠ODA =∠CAD ，∴OD ∥AE ，∴∠E +∠ODE =180°．∵DE ⊥AC ．∴∠E =90°，∴∠ODE =90°，∴OD ⊥EF ．又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 是⊙O 的切线．………………………………………………………………3分（2）连接BC 交OD 于点H ．∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∴∠BCE =90°．又∵∠E =90°，∠ODE =90°，∴四边形CEDH 为矩形，∴CH ∥EF ，∴∠ABC =∠F ，∴cos ∠ABC =cos F =45．又∵AB =5，cos ∠ABC=BC AB =45，∴BC =4．∵四边形CEDH 为矩形，∴OH ⊥BC ，∴CH =12BC =2．∵四边形CEDH 为矩形，∴DE =CH =2．……………………………………………………………………………6分25．解：（1）1； ………………………………………………………………………………1分由题意可知，抛物线的顶点为（2，1）．则抛物线解析式为2(2)10y a x a =-+<（）．∵ 当x ＝0时，y ＝0，∴ 20(02)1a =-+，解得 0.25a =-．∴ 抛物线的解析式为20.25(2)1y x =--+．.……………………………………………3分（2）<．……………………………………………………………………………………5分26．解：（1）将点（2，1）代入()210y ax bx a =++＞，得4211a b ++=2b a=-∴2122b a x a a-=-=-=∴抛物线的对称轴为直线1x =．…………………………………………………………2分（2）∵B （3，n ）∴点B 关于对称轴的对称点坐标为()1n -，，∵0a >，∴抛物线开口向上，∵点()()03A x m B n ，，，在抛物线上，且m ＜n ，∴013x -＜＜，∵01t x t +≤≤∴113tt -⎧⎨+⎩＜＜解得12t -＜＜．……………………………………………………………………………6分27．（1）依题意补全图形，如图1． ……….……………………………………………1分图1 图2证明：如图2，过点A 作AG ⊥BD 于点G ．∵AC =AD ，∴∠CAG =∠GAD =12∠CAD ，∵AG ⊥BD ，∴∠ACD +∠CAG =90°．∵DE ⊥AC ，∴∠ACD +∠BDF =90°，∴∠BDF =∠CAG ，∴∠BDF =12∠CAD ．….………………………………………………………………3分（2）如图2，数量关系：CDBF ．证明：过点F 作FH ⊥BC 于点H ．∵AG ⊥BD ，∠B =45°，∴∠BAG =45°．∵∠FAD =∠BAG +∠GAD ，∴∠FAD =45°+∠GAD ．∵∠AFD =∠B +∠BDF ，∴∠AFD =45°+∠BDF ，又∵∠GAD =∠BDF ，∴∠AFD =∠FAD ，∴DF =AD ．∵FH ⊥BC ，∴∠FHD =90°．∵AG ⊥BD ，∴∠AGD =90°，∴∠FHD =∠AGD ．∵∠BDF =∠GAD ，∴△FHD ≌△DGA ，∴FH=GD．在Rt△FHB中，∠B=45°，∴sin B=FHBF,∴FHBF,∵AC=AD，AG⊥CD，∴CD=2DG，∴CD=2FH，∴CDBF．…….………………………………………………………………………7分28．解：（1）①2P；………………………………………………………………………1分②如图：解：∵r=1，∴点A(-1，0），B（1，0）．∵点P为线段AB的直点，∴点P在⊙O上．情况1：连接CO交⊙O于点P，此时CP最短，连接CA，∵C（-1，1），A（-1,0），∴AC=OA=1，CA⊥AO，∴=OC，∴=OC．∵CP=CO-OP，∴=1CP．情况2：延长CO交⊙O于点P'，此时CP'最长．∵CP'=CO+OP'，∴=+1CP'．∴CP11≤CP．………………………………………………………5分（2）r16＜＜r．……………………………………………………………7分解：∵r=1，∴点A(-1，0），B（1，0）．∵点P 为线段AB 的直点，∴点P 在以AB 为直径的⊙O 上，OP =1．如图，连接OC ，OP ．∵C （-1，1），∴=OC ．∴OC >OP∴+OC OP PC OC OP -≤≤∴CP11≤CP。

丰台区2023年九年级学业水平考试综合练习（一）数学试卷2023.04考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下面几何体中，主视图是圆的是（A ）（B ）（C ）（D ）2.习近平在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中指出：十年来，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总产量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二.将一百一十四万亿，即114000000000000用科学记数法表示为（A ）1211410⨯（B ）121.1410⨯（C ）141.1410⨯（D ）150.11410⨯3.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）4.下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（A ）15°（B ）75°（C ）105°（D ）115°5.若关于x 的方程20x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（A ）14（B ）14-（C ）4（D ）-46.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（A ）a b-<（B ）a b>（C ）+0a b >（D ）0ab >7.小文掷一枚质地均匀的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是6，那么第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是（A ）61（B ）31（C ）21（D ）18.下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是①圆的周长C 是半径r 的函数；②表达式x y =中，y 是x 的函数；③下表中，n 是m 的函数；④下图中，曲线表示y 是x 的函数（A ）①③（B ）②④（C ）①②③（D ）①②③④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若12x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是.10.分解因式：22xy xy x -+=.11.方程211x x=-的解是.m -3-2-1123n-2-3-6632-3-2-1123yxO -1-2-1121243北京市2023年3月每日最高气温统计图12.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，E ，连接EA ，EB ，则图中存在的相等关系有（写出两组即可）.13.在平面直角坐标系xOy 中，点A （-2，y 1），B （5，y 2）在反比例函数xky =（k ≠0）的图象上，若y 1＞y 2，则k0（填“＞”或“＜”）.14.如图，△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线BF 交AC 于点D .若点D 到BC 的距离为1，则AC =.15.为了解北京市2023年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成右面的统计图.若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为21s ，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为22s ，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为23s ，则21s ，22s ，23s 的大小关系为（用“＜”号连接）.16.临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A ，B 两种套装销售.A 套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B 套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个.（1）设购进的小枣粽x 袋，豆沙粽y 袋，则购进的肉粽的个数．．为（用含x ，y 的代数式表示）；（2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的25，则豆沙粽最多购进袋.三、解答题（共68分，第17-20，22，25题，每题5分，第21，23-24，26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：()032cos30123π.-+︒-+-18.解不等式组：()32221.23x x x x ⎧-+⎪⎨-⎪⎩＜，≥19.已知2220x x --=，求代数式()()()22111x x x -+-+的值.20.在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如下图所示.你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C .求证：AB =AC .甲的方法：证明：作∠BAC 的平分线交BC 于点D .乙的方法：证明：作AE ⊥BC 于点E .丙的方法：证明：取BC 中点F ，连接AF .21.如图，在Y ABCD 中，∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，连接AE 交CD 于点F .（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接BF ，若∠ABC =60°，CE =2，求BF 的长.22.在平面直角坐标系xOy 中，函数0y kx b k =+≠（）的图象经过点（2，0），（0，1-）.（1）求这个函数的表达式；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数0y kx b n k =++≠（）的值大于0，直接写出n 的取值范围.23.“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立.小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析.下面是部分信息.a.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ＜100）：b.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在60≤x ＜70这一组的是：6365656565666768686869696969c.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数71.2m65，69根据以上信息，回答下列问题：（1）截止到第十六届共有人获得“华罗庚数学奖”；（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；（3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄（填“小”或“大”），理由是；（4）根据以上统计图表描述“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄分布情况.24.如图，AB 是⊙O 的直径，AD ，BC 是⊙O 的两条弦，∠ABC =2∠A ，过点D 作⊙O 的切线交CB 的延长线于点E .（1）求证：CE ⊥DE ；（2）若tan A =31，BE =1，求CB 的长.“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图“华罗庚数学奖”得主获奖年龄扇形统计图90≤x <10080≤x <9050≤x <6010%60≤x <7070≤x <8025.赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，桥拱上的点到水面的竖直高度y （单位：m ）与到点O 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2001309y .x （）=--+．据调查，龙舟最高处距离水面2m ，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m.图1图2（1）水面的宽度OA =m ；（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m ，求最多可设计龙舟赛道的数量.26.在平面直角坐标系xOy 中，点A （-3，y 1），B （a +1，y 2）在抛物线221y x ax =-+上.（1）当2=a 时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出y 1和y 2的大小关系；（2）抛物线经过点C （m ，y 3）.①当4=m 时，若y 1=y 3，则a 的值为________；②若对于任意的4≤m ≤6都满足y 1＞y 3＞y 2，求a 的取值范围.27.在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，点E 在对角线AC 上，连接EB ，点F 在直线AD 上（点F 与点D 不重合），且EF=EB.（1）如图1，当点E 在线段AO 上（不与端点重合）时，①求证：∠AFE =∠ABE ；②用等式表示线段AB ，AE ，AF 的数量关系并证明；（2）如图2，当点E 在线段OC 上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB ，AE ，AF 的数量关系.图1图228.对于点P 和图形G ，若在图形G 上存在不重合的点M 和点N ，使得点P 关于线段MN 中点的对称点在图形G 上，则称点P 是图形G 的“中称点”.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，0），B （1，1），C （0，1）.（1）在点P 1（12，0），P 2（12，12），P 3（1，2-），P 4（1-，2）中，是正方形OABC 的“中称点”；（2）⊙T 的圆心在x 轴上，半径为1.①当圆心T 与原点O 重合时，若直线y =x +m 上存在⊙T 的“中称点”，求m 的取值范围；②若正方形OABC 的“中称点”都是⊙T 的“中称点”，直接写出圆心T 的横坐标t 的取值范围.3m龙舟示意图y /m x /m拱桥2m水面丰台区2023年九年级学业水平考试综合练习（一）数学试卷参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案D C C D A B A C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.x ≠210.21）（-y x 11.1x =-12.AC=BC ；∠EAB=∠EBA （答案不唯一）13.＜14.12+15.222231s s s <<16.40022x y --；40.三、解答题（共68分，第17-20题，22，25，每题5分，第21，23-24，26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.解：原式=3+3-32+1.……4分=4-3.……5分18.()322,21.23x x x x ⎧-+⎪⎨-⎪⎩＜①≥②解：解不等式①，得x ＞1.……2分解不等式②，得x ≤2.……4分∴原不等式组的解集为1＜x ≤2.….5分19.解：原式=()()222121x x x --++=223x x --.……3分∵2220x x --=，∴222x x -=.∴原式=2-3=-1.……5分20.解：选择甲的方法；证明：作∠BAC 的平分线交BC 于点D .∴∠BAD=∠CAD .在△ABD 与△ACD 中,⎪⎧C B=∠∠21.（1）证明：∵DE ⊥BC 于点E ,∴∠DEC =90°.∵∠ACB =90°,∴∠DEC =∠ACB .∴AC ∥DE .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BE .∴四边形ACED 是平行四边形.∵∠DEC =90°，∴☐ACED 是矩形.……3分（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC .∵四边形ACED 是矩形，∴AD =CE ，AF =EF .……4分∴BC =CE =2.∵∠ACB =90°，∴AC 垂直平分BE .∴AB=AE .∵∠ABC=60°，∴△ABE 是等边三角形.6090∴BF =BE •sin ∠BEF=23.……6分22.解：（1）∵函数图象经过点（2,0），（0,-1），∴201，k b b ì+=ïïíï=-ïî解得121k ,b .ìïï=ïíïï=-ïî∴函数表达式为112y x =-.……3分（2）2≥n .……5分23.解：（1）30；……1分（2）正确补全频数分布直方图；……2分（3）小；他的获奖年龄比中位数69岁小……4分（4）获奖年龄在60≤x <70范围内的人数最多，在90≤x <100范围内的人数最少.（答案不唯一）……6分24.（1）证明：连接OD .∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE=90°……1分∵AO =DO ，∴∠ODA =∠A ，180°-∠90∴C E ⊥DE .……3分（2）解：连接BD ,CD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°.∴∠A+∠ABD=90°.∵OD=OB ，∴∠ODB=∠OBD .∵∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°，∴∠BDE =∠A .……4分∴tan ∠BDE=tan A=31.∵BE=1，∠E=90°，∴DE=3.∵∠C =∠A ，∴tan C=tan A=31.∴CE=9.……5分∴CB=CE -BE=8.……6分25.解：（1）60m.……2分（2）令y =5，得()20013095.x --+=，解得110x =，250x =.……3分∴可设计赛道的宽度为50-10=40m.∴最多可设计赛道4条.……5分26.解：（1）当a =2时，()223y x =--，顶点坐标为（2,-3）；……1分12y y >.……2分（2）①12；……3分②∵对于任意的4≤m ≤6都满足132情况1，如示意图，当31a m -<+<时，可知32ma -+<，∴312m a m -+<<-，解得332a <<.情况2，如示意图，当31m a -<<+时可知12m a a ++<，∴11a m a m ì>-ïïíï>+ïî，∴1a m >+，解得7a >.综上所述，332a <<或7a >.……6分27.（1）①证明：连接DE .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAD =90°.∵点E 在对角线AC 上，∴∠BAC =∠DAC =45°.∵AE =AE ，∴△ABE ≌△ADE .∴BE =DE ,∠ABE =∠ADE .∵EF =BE ,∴DE =EF .∴∠F =∠ADE .∴∠F =∠ABE .……2分290∵∠BAE =45°，∴∠AGE =∠BAE =45°.∴AG =2AE ,∠EGB =135°.∵∠FAE =∠FAB +∠BAE =135°,∴∠EGB =∠FAE .∵∠F =∠ABE ,EF=EB ,∴△AEF ≌△GEB .∴BG=AF .∴AB=BG+GA=AF +2AE .……5分（2）正确补全图形；AB+AF=2AE .……7分28.解：（1）1P ，2P ；……2分（2）①由题意得：⊙T 的“中称点”在以O 为圆心，3为半径的圆内，当直线y =x +m 与此圆相切于点D 时，直线与y 轴交于点E （0,32）；相切于点F 时，直线与y 轴交于点G （0,32-）.∵直线y =x +m 上存在⊙T 的“中称点”，∴3232m -<<.……5分2551--。

大兴区2023~2024学年度第二学期期中检测初三数学2024.04考生须知：1.本试卷共6页，共28道题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下面几何体中，是圆锥的为（）A. B. C. D.2.2024年是京津冀协同发展十周年，高标准建设雄安新区成效显著.从新区设立至2023年底，累计开发面积184平方公里，4017栋楼宇拔地而起，总建筑面积4370万平方米.将43700000用科学记数法表示应为（ ）A.643.710⨯ B.74.3710⨯ C.84.3710⨯ D.90.43710⨯3.五边形的内角和为（ ）A.180︒B.360︒C.540︒D.720︒4.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE AB ⊥，若30AOC ∠=︒，则EOD ∠的大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒5.实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A.0b c ->B.0ac >C.0b c +<D.1ab <6.不透明的盒子中装有3个小球，每个小球上面写着一个汉字分别是“向”、“前”、“冲”，这3个小球除汉字外无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其汉字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其汉字，则两次都摸到“冲”字的概率是（ ）A.23B.13C.16D.197.若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A.1m >- B.1m ≥- C.1m > D.1m ≥8.如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，设BD a =，DC b =，AD c =，给出下面三个结论：①2c ab =；②2a b c +≥；③若a b >，则a c >.上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题（共16分，每题2分）9.x 的取值范围是______.10.分解因式：24ax a -=______.11.方程1341x x =-的解为______.12.在平面直角坐标系xOy 中，若点(5,2)A 和(,2)B m -在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则m 的值为______.13.如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，若AC BC =，则D ∠的度数为______︒.14.如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OE BC ⊥于点E .若4AC =，30DBC ∠=︒，则OE 的长为______.15.某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图.若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有______人.16.某公园门票价格如下表：购票人数1~4041~8080以上门票价格20元/人16元/人13元/人某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为a 和()b a b >.若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为a =______，b =______.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：0|3|(2024)2cos 45π-+++-︒.18.解不等式组：4125,21.3x x x x -≥+⎧⎪-⎨<⎪⎩19.已知2310a a +-=，求代数式2(1)(4)2a a a +++-的值.20.某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动.现有A ，B 两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A 书籍和每本B 书籍厚度的比为5:6，根据图中所给出的数据信息，求每本A 书籍的厚度.21.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE DF =，连接CF ，射线AE 和线段DC 的延长线交于点G .（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若2tan 3BAE ∠=，9DG =，求线段CE 的长.22.种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基.农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t ），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：（ ）a.20块试验田每公顷产量的频数分布表如下：每公顷产量(t)频数7.407.45x ≤<37.457.50x ≤<27.507.55x ≤<m7.557.60x ≤<67.607.65x ≤≤5b.试验田每公顷产量在7.557.60x ≤<这一组的是：7.55 7.55 7.57 7.58 7.59 7.59c. 20 块试验田每公顷产量的统计图如下：（1）写出表中m 的值；（2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为______.（3）下列推断合理的是______（填序号）；①20块试验田的每公顷产量数据中,每公顷产量低于7.50t 的试验田数量占试验田总数的25%；②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名.（4）1~10号试验田使用的是甲种种子，11~20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为7.537t 及7.545t ，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定.据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是______（填“甲”或“乙”）.23.在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(1,3)A 和(1,1)B --，与过点(2,0)-且平行于y 轴的直线交于点C .（1）求该函数的表达式及点C 的坐标；（2）当2x <-时，对于x 的每一个值，函数(0)y nx n =≠的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值且小于2-，直接写出n 的取值范围.24.某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的.喷水口H 距地面的竖直高度OH 为1.5m ，喷水区域的上、下边缘与地面交于A ，B 两点，上边缘抛物线的最高点C 恰好在点B 的正上方，已知6m OA =，2m OB =，2m CB =.建立如图2所示的平面直角坐标系.图1图2（1）在①21(2)28y x =-++，②21(2)28y x =--+两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）；（2）如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形DEFG ，水平宽度3m DE =，竖直高度0.5m DG =.如图4，OD 为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：m ）.若矩形DEFG 在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带.图3图4①当 2.6m OD =时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由；②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则OD 的取值范围是______.25.如图，过O 外一点A 作O 的切线，切点为点B ，BC 为O 的直径，点D 为O 上一点，且BD BA =，连接CD ，AD ，线段AD 交直径BC 于点E ，交O 于点F ，连接BF .（1）求证：EF BF =；（2）若1sin 3A =，52OE =，求O 半径的长.26.在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线2(0)y ax bx c a =++<上任意两点.设抛物线的对称轴为直线x t =.（1）若22x =，2y c =，求t 的值；（2）若对于112t x t +<<+，245x <<，都有12y y >，求t 的取值范围.27.在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 是线段AB 上一个动点（不与点A ，B 重合），()045ACD αα∠=<<︒，以D 为中心，将线段DC 顺时针旋转90︒得到线段DE ，连接EB .（1）依题意补全图形；（2）求EDB ∠的大小（用含α的代数式表示）；（3）用等式表示线段BE ，BC ，AD 之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,0)T t ，T 的半径为1，过T 外一点P 作两条射线，一条是T 的切线，另一条经过点T ，若这两条射线的夹角大于或等于45︒，则称点P 为T 的“伴随点”.（1）当0t =时，①在1(1,0)P ，2P ，3(1,1)P -，4(1,2)P -中，T 的“伴随点”是______.②若直线12y x b =+上有且只有一个T 的“伴随点”，求b 的值；（2）已知正方形EFGH 的对角线的交点(0,)M t ，点11,22E t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，若正方形上存在T的“伴随点”，直接写出t 的取值范围.大兴区2023~2024学年度第二学期初三期中检测数学参考答案及评分标准一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案DBCBCDAD二、填空题（共16分，每题2分）题号910111213141516答案3x ≥(2)(2)a x x +-1x =5-45124060，30三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：原式312=++-4=+.18.解：4125,21.3x x x x -≥+⎧⎪⎨-<⎪⎩①②解不等式①，得3x ≥.解不等式②，得1x >-.所以不等式组的解集为3x ≥.19.解：2(1)(4)2a a a +++-222142a a a a =++++-2261a a =+-.2310a a +-= ，231a a ∴+=.2262a a ∴+=.∴原式2261a a =+-21=-1=.20.解：设每本A 书籍厚度为cm x ，桌子高度为cm y .由题意可得379,6582.5x y x y +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得1,76.x y =⎧⎨=⎩答：每本A 书籍厚度为1cm .21.（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，∴//AD BC ，AD BC =.BE FD =，∴AD FD BC BE -=-.即AF CE =.又 //AF CE ，∴四边形AECF 是平行四边形.（2）解： 四边形ABCD 是正方形，∴//AB CD ，90BCD D ∠=∠=︒，AD CD =.∴BAE G ∠=∠，90ECG ∠=︒，∴2tan tan 3BAE G ∠==.在Rt ADG △中，2tan 3AD G DG ==，9DG =，∴6AD =.∴6CD =.∴3CG =.在Rt ECG △中，2tan 3CE G CG==，∴2CE =.22.解：（1）4；（2）7.55；（3）①；（4）乙.23.解：（1）将(1,3)A ，(1,1)B --代入(0)y kx b k =+≠中，得3,1.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得2,1.k b =⎧⎨=⎩∴函数的表达式为21y x =+.过点(2,0)-且平行于y 轴的直线交于点C ，∴点C 的横坐标为2-.把2x =-代入，得3y =-.∴点C 的坐标为(2,3)--.（2）312n ≤≤.24.（1）②，①；（2）①不能.理由如下：由题意可得 2.63 5.6OE =+=.把 5.6x =代入上边缘抛物线表达式，得21(5.62)20.380.58y =--+=<所以绿化带不全在喷头口的喷水区域内.所以洒水车不能浇灌到整个绿化带.②21OD ≤≤-.25.（1）证明：AB 为O 的切线，∴90OBA ∠=︒.∴90A AEB ∠+∠=︒. BC 为O 的直径，∴90CDB ∠=︒.∴90CDE BDE ∠+∠=︒.BD BA =，∴BDA A ∠=∠.∴CDE AEB ∠=∠.又CDE CBF ∠=∠ ，AEB CBF ∴∠=∠.EF BF ∴=.（2）解：连接CF .AB 为O 的切线，∴90OBA ∠=︒.∴90AEB A ∠+∠=︒，90EBF FBA ∠+∠=︒. AEB CBF ∠=∠，∴FBA A ∠=∠.∴AF BF =.∴AF BF EF ==.设BF EF AF x ===，则2AE x =.在Rt ABE △中，1sin 3A =，2AE x =，∴23BE x =.BC 为直径，∴90CFB ∠=︒.BCF BDA ∠=∠，BDA A ∠=∠，∴BCF A ∠=∠.∴1sin sin 3A BCF =∠=.在Rt BFC △中，BF x =，∴3BC x =.22()BC OB OE BE ==+，∴523223x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解得3x =.∴92OB =.∴O 半径的长为92.26.解：（1） 22x =，2y c =，42.a b c c ∴++=2.b a ∴=- 1.2bt a ∴=-=（2） 2(0)y ax bx c a =++<，∴抛物线开口向下.抛物线的对称轴为x t =，112t x t +<<+，∴点M 在对称轴的右侧.①当点N 在对称轴上或对称轴右侧时，抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小.由12y y >，∴12x x <.∴4,2 4.t t ≤⎧⎨+≤⎩解得42t t ≤⎧⎨≤⎩，∴2t ≤.②当点N 在对称轴上或对称轴左侧时，设抛物线上的点()22,N x y 关于x t =的对称点为()2,N d y '，2t x d t ∴-=-，解得22d t x =-，∴()222,N t x y '-.245x <<∴225224t t x t -<-<-.在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小.由12y y >，∴122x t x <-.∴522 5.t t t ≥⎧⎨+≤-⎩解得5,7.t t ≥⎧⎨≥⎩∴7t ≥.综上所述，t 的取值范围是2t ≤或7t ≥.27.（1）补全图形如下：（2）解： AC BC =，90ACB ∠=︒，∴45A ABC ∠=∠=︒.∴45CDB A ACD α∠=∠+∠=︒+.90CDE ∠=︒，∴45EDB CDE CDB α∠=∠-∠=︒-.（3）用等式表示线段BE ，BC ，AD 之间的数量关系是BC BE =+.证明：过点D 作DM AB ⊥，交AC 于点F ，交BC 的延长线于点M .90MDB CDE ∠=∠=︒，∴CDM EDB ∠=∠. 45MBD ∠=︒，∴45M MBD ∠=∠=︒.∴DM DB =.又 DC DE =，∴DCM DEB △≌△.∴CM BE =.45M ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴45CFM M ∠=∠=︒.∴CF CM =.∴CF BE =.在Rt FAD △中，45A ∠=︒，cos AD A AF ∴==.AF ∴=.AC AF FC =+ ，AC FC ∴=+.CF BE = ，BC AC =，BC BE ∴=+.28.解：（1）①2P ，3P ②如图1：图1设射线PM 与T 相切于点M ，连接TM .∴TM PM ⊥.当45P ∠=︒时，在Rt PMT △中，PT ===.∴当点P 在T 外且45P ∠≥︒时，1PT <≤.∴点P 在以T 为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外.如图2：图2直线12y x b =+上有且只有一个T 的“伴随点”，∴直线12y x b =+与以T 为半径的圆相切.∴0b ≠.设直线12y x b =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与以T 为半径的圆相切于点C ，连接TC ，∴TC AB ⊥.令0x =，则y b =；令0y =，则2x b =-，∴(2,0)A b -，(0,)B b .∴|2|AT b =-，||BT b =.在Rt ATB △中，||1tan 1|2|2BTb AT b ∠===-，1290∠+∠=︒.TC AB ⊥，2390∴∠+∠=︒.13∴∠=∠.1tan 1tan 32∴∠=∠=.在Rt TCB △中，1tan 32BC CT ∠===.∴BC =.∴BT ===.∴||b =.∴b =±（232t <≤或32t -≤<.。

2023年北京市中考数学模拟试卷答案2023年北京市中考数学模拟试题一.选择题(共10小题，每小题4分，共40分.)1.4的平方根是( )A.2B.﹣2C.±2D.162.2023年某省人口数超过105 000 000，将这个数用科学记数法表示为( )A.0.105某109B.1.05某109C.1.05某108D.105某1063.下列运算正确的有( )A.5ab﹣ab=4B.3 ﹣=3C.a6÷a3=a3D. + =4.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.5.，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于( )A.2B.3C.4D.56.所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是( )A. B. C. D.7.，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于( )A.20B.15C.10D.58.小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是( )A. B. C. D.9.，△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A等于( )A.80B.60C.50D.4010.，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在某轴、y轴的正半轴上，反比例函数y= (某>0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=( )A. B.9 C. D.3二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.把多项式2某2﹣8分解因式得：.12.在函数y= 中，自变量某的取值范围是.13.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元.则平均每月降价的百分率为.14.如果关于某的方程某2﹣2某+k=0(k为常数)有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是.15.不等式组的解集是.16.矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于.三、解答题(本题共8小题，共86分)17.计算：(﹣ )﹣1﹣| ﹣1|+2sin60°+(π﹣4)0.18.先化简﹣÷ ，再求代数式的值，其中a= ﹣3.19.，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)(每个方格的边长均为1个单位长度).(1)请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于某轴对称;(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.20.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°(B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计).求小岛高度AC(结果精确的1米，参考数值： )21.某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况，随机调查了部分学生最喜爱哪一类节目 (被调查的学生只选一类并且没有不选择的)，并将调查结果制成了如下的两个统计图(不完整).请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：(1)求本次调查的学生人数;(2)请将两个统计图补充完整，并求出新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数;(3)若该中学有2023名学生，请估计该校喜爱电视剧节目的人数.22.植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5颗，需2100元，若购进A种树苗4颗，B种树苗10颗，需3800元.(1)求购进A、B两种树苗的单价;(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵?23.，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D点，O是AB上一点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F.(1)用尺规补全图形(保留作图痕迹，不写作法);(2)求证：BC与⊙O相切;(3)当AD=2 ，∠CAD=30°时，求劣弧AD的长.24.已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ +b某+c与某轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=某+4经过A，C两点，(1)求抛物线的表达式;(2)如果点P，Q在抛物线上(P点在对称轴左边)，且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标;(3)动点M在直线y=某+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标.2023年北京市中考数学模拟试题答案一.选择题(共10小题，每小题4分，共40分.)1.4的平方根是( )A.2B.﹣2C.±2D.16【考点】平方根.【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数某，使得某2=a，则某就是a的平方根，由此即可解决问题.【解答】解：∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2.故选：C.2.2023年某省人口数超过105 000 000，将这个数用科学记数法表示为( )A.0.105某109B.1.05某109C.1.05某108D.105某106【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a某10n的形式，其中1≤|a|1时，n 是正数;当原数的绝对值0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=( )A. B.9 C. D.3【考点】反比例函数系数k的几何意义.【分析】设点D的坐标为(m，n)，则点B的坐标为(4m，n)、点E的坐标为(4m， )，由此即可得出BD=3m、BE= n，再利用分割图形求面积法结合反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ODE= k=9，解之即可得出k值.【解答】解：设点D的坐标为(m，n)，则点B的坐标为(4m，n)、点E的坐标为(4m， )，∴BD=AB﹣AD=3m，BE=BC﹣CE= n.∵点D在反比例函数y= 的图象上，∴k=mn，∴S△ODE=S矩形OABC﹣S△OAD﹣S△OCE﹣S△B DE=4k﹣ k﹣ k﹣ k= k=9，∴k= .故选C.二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.把多项式2某2﹣8分解因式得：2(某+2)(某﹣2) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】首先提公因式2，然后利用平方差公式分解.【解答】解：2某2﹣8=2(某2﹣4)=2(某+2)(某﹣2).故答案是：2(某+2)(某﹣2).12.在函数y= 中，自变量某的取值范围是某≠﹣2 .【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解.【解答】解：由题意得，某+2≠0，解得某≠﹣2.故答案为：某≠﹣2.13.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元.则平均每月降价的百分率为10% .【考点】一元二次方程的应用.【分析】等量关系为：原售价某(1﹣降低率)2=降低后的售价，依此列出方程求解即可.【解答】解：设平均每月降价的百分率为某，依题意得：1000(1﹣某)2=810，化简得：(1﹣某)2=0.81，解得某1=0.1，某2=﹣1.9(舍).所以平均每月降价的百分率为10%.故答案为10%.14.如果关于某的方程某2﹣2某+k=0(k为常数)有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k0，即(﹣2)2﹣4某1某k>0，然后解不等式即可.2-1-c-n-j-y【解答】解：∵关于某的方程某2﹣2某+k=0(k为常数)有两个不相等的实数根，∴△>0，即(﹣2)2﹣4某1某k>0，解得k>下一页更多“2023年北京市中考数学模拟试题答案”【解答】解：设AE=某，由折叠可知，EC=某，BE=4﹣某，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即32+(4﹣某)2=某2，解得：某=由折叠可知∠AEF=∠CEF，∵AD∥BC，∴∠CEF=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF= ，∴S△AEF= 某AF某AB= 某某3= .故答案为： .三、解答题(本题共8小题，共86分)17.计算：(﹣ )﹣1﹣| ﹣1|+2sin60°+(π﹣4)0.【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.2•1•c•n•j•y【解答】解：原式=2﹣ +1+2某 +1=2﹣ +1+ +1=4.18.先化简﹣÷ ，再求代数式的值，其中a= ﹣3.【考点】分式的化简求值.【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题.【解答】解：﹣÷=== ，当a= ﹣3时，原式= .19.，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)(每个方格的边长均为1个单位长度).(1)请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于某轴对称;(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.www-2-1-cnjy-com【考点】作图﹣旋转变换;作图﹣轴对称变换.【分析】(1)根据网格特点，找出点A、B、C关于某轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可;(2)分别找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，观察可知点B所经过的路线是半径为，圆心角是90°的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解.【解答】解：(1)，△A1B1C1即为所求.(2)，△A2B2C2即为所求.点B旋转到点B2所经过的路径长为：= π.故点B旋转到点B2所经过的路径长是π.20.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°(B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计).求小岛高度AC(结果精确的1米，参考数值： )【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC中，利用三角函数即可求解.【解答】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=60°﹣30°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=62(米).在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62某=31 ≈31某1.7=52.7≈53(米).答：小岛的高度约为53米.21.某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况，随机调查了部分学生最喜爱哪一类节目 (被调查的学生只选一类并且没有不选择的)，并将调查结果制成了如下的两个统计图(不完整).请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：(1)求本次调查的学生人数;(2)请将两个统计图补充完整，并求出新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数;(3)若该中学有2023名学生，请估计该校喜爱电视剧节目的人数.【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】(1)根据喜爱电视剧的人数是69人，占总人数的23%，即可求得总人数;(2)根据总人数和喜欢娱乐节目的百分数可求的其人数，补全即可;利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数;(3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解.【解答】解：(1)69÷23%=300(人)∴本次共调查300人;(2)∵喜欢娱乐节目的人数占总人数的20%，∴20%某300=60(人)，补全;∵360°某12%=43.2°，∴新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数为43.2°;(3)2023某23%=460(人)，∴估计该校有460人喜爱电视剧节目.22.植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5颗，需2100元，若购进A种树苗4颗，B种树苗10颗，需3800元.(1)求购进A、B两种树苗的单价;(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵?【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.【分析】(1)设B树苗的单价为某元，则A树苗的单价为y元.则由等量关系列出方程组解答即可;(2)设购买A种树苗a棵，则B种树苗为(30﹣a)棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式解答即可.【解答】解：设B树苗的单价为某元，则A树苗的单价为y元，可得：，解得：，答：B树苗的单价为300元，A树苗的单价为200元;(2)设购买A种树苗a棵，则B种树苗为(30﹣a)棵，可得：200a+300(30﹣a)≤8000，解得：a≥10，答：A种树苗至少需购进10棵.23.，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D点，O是AB上一点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F.(1)用尺规补全图形(保留作图痕迹，不写作法);(2)求证：BC与⊙O相切;(3)当AD=2 ，∠CAD=30°时，求劣弧AD的长.【考点】圆的综合题.【分析】(1)作AD的垂直平分线交AC于O，以AO为半径画圆O分别交AB、AC于点E、F，则⊙O即为所求;(2)连结OD，得到OD=OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ODA，等量代换得到∠ODA=∠CAD，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，根据平行线的性质即可得到结论;(3)连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE=90°，根据三角形的内角和得到∠AOD=120°，根据三角函数的定义得到AE= =4，根据弧长个公式即可得到结论.【解答】(1)解：所示，(2)证明：连结OD，则OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∵∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，即BC⊥OD，∴BC与⊙O相切;(3)解：连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∵∠OAD=∠ODA=30°，∴∠AOD=120°，在Rt△ADE中，AE= = =4，∴⊙O的半径=2，∴劣弧AD的长= = π.24.已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ +b某+c与某轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=某+4经过A，C两点，(1)求抛物线的表达式;(2)如果点P，Q在抛物线上(P点在对称轴左边)，且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标;(3)动点M在直线y=某+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式;(2)根据平行于某轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线某=﹣1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案;(3)根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.【解答】解：(1)当某=0时，y=4，即C(0，4)，当y=0时，某+4=0，解得某=﹣4，即A(﹣4，0)，将A、C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的表达式为y= ﹣某+4;(2)PQ=2AO=8，又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴某=﹣1对称，PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，当某=﹣5时，y= 某(﹣5)2﹣(﹣5)+4=﹣，即P(﹣5，﹣ );﹣1+4=3，即Q(3，﹣ );P点坐标(﹣5，﹣ )，Q点坐标(3，﹣ );(3)∠MCO=∠CAB=45°，①当△MCO∽△CAB时， = ，即 = ，CM= .1 ，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH= CM= ，当某=﹣时，y=﹣ +4= ，∴M(﹣， );当△OCM∽△CAB时， = ，即 = ，解得CM=3 ，2 ，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH= CM=3，当某=﹣3时，y=﹣3+4=1，∴M(﹣3，1)，综上所述：M点的坐标为(﹣， )，(﹣3，1).第 11 页共 11 页。

2024年北京市人大附中中考数学模拟试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道，将数字55000用科学记数法表示为（）A．5.5×104B．55×103C．5.5×103D．0.55×105 2．（2分）下列图形中，既不是轴对称也不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．三棱柱B．长方体C．三棱锥D．圆锥4．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a+2＞0B．|a|＞b C．a+b＞0D．ab＞05．（2分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果|a|＝|b|，下列结论中错误的是（）A．a+c＞0B．a﹣b＞0C．b+c＞0D．ac＜06．（2分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．B．C．D．7．（2分）下列命题中的假命题是（）A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形8．（2分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）在△ABC中，D，E，F分别为三边中点，若△DEF面积为2，则△ABC的面积是．11．（2分）解分式方程：＝得．12．（2分）已知反比例函数与的图象如图所示，则k1、k2的大小关系是k1 k2.（填“＞”，“＜”或“＝”）13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB ＝35°，则∠ABP＝°．14．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝6x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是．15．（2分）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD，AFIJ和BFGH都是正方形．如果图中△BCE与△FDE的面积比为，那么tan∠GFI的值为．16．（2分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．三、解答题（本题共68分，第17至22题，每小题5分，第23至26题，每小题5分，第27至28题，每小题5分）17．（5分）计算：+4sin60°．18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．19．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1．20．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接AE，CF．（1）若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF；（2）在（1）的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由．21．（5分）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．（1）求证：四边形ACFE是菱形；（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．22．（5分）疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表节数x频数频率0≤x＜1080.1610≤x＜20100.2020≤x＜3016b30≤x＜40a0.24x≥4040.08总数501其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20202122232323232526262627282829请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有人．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G．（1）求证：四边形ADCG是菱形；（2）若AB＝10，tan∠CAG＝，求BC的长．24．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点A在直线l上，AD与直线l相交所得的锐角为60°．点F在直线l上，AF＝8，EF⊥直线l，垂足为点F且EF＝6，以EF为直径，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点．发现：AM的最小值为，AM的最大值为，OB与直线l的位置关系是．思考：矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在AD边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积．25．（6分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000人，数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为；估计全校非常了解交通法规的有人．（2）补全条形统计图；（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2（m是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y＝1的距离为1，直接写出m的取值范围；（3）如果点A（a，y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．27．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD，AE⊥CD于点E，以点A为圆心，CD长为半径画弧，交AE于点F，连接DF．（1）依题意补全图形：①设∠BCD＝α，则∠DFA的度数为；（用含α的式子表示）②求证：DF∥BC；（2）探究DF、AF、BC之间的数量关系并证明．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．（1）已知点A的坐标是（2，0）．①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α﹣相关线段”经过点，求α的值．（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记，求t的取值范围．2024年北京市人大附中中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．【分析】用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．【解答】解：55000＝5.5×104．故选：A．【点评】本题主要考查了科学记数法以及有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．2．【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．3．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：根据几何体的三视图可知，则该几何体是三棱柱．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．4．【分析】由题图知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，进而解决此题．【解答】解：由题知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1．∴a+2＜0，|a|＞b，a+b＜0，ab＜0．∴选项B符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查数轴上的点表示的实数以及绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的实数以及绝对值是解决本题的关键．5．【分析】利用|a|＝|b|，可知a与b互为相反数，从而a＜0，b＞0，c＞0，|c|＞|b|＝|a|，进一步判断即可．【解答】解：∵|a|＝|b|，且根据a，b在数轴上位置，∴a与b互为相反数，∴a＜0，b＞0，c＞0，且|c|＞|b|＝|a|，A、a+c，异号两数和，取绝对值大的数的符号，故a+c＞0，是正确的；B、a﹣b，左边的数减去右边的数，是小于0的．故a﹣b＞0，是错误的；C、b+c，两个正数相加，得正数，故b+c＞0，是正确的；D、ac，异号两数积，同号得正，异号得负，故ac＜0，是正确的；故选：B．【点评】本题考查的是有理数的简单运算，解题的关键是两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数．本题得看位置知两数互为相反数．6．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2种，所以两次都摸到白球的概率是＝，故选：D．【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．7．【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的概念以及平行四边形、矩形、菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是中心对称图形，故本选项命题是真命题，不符合题意；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是轴对称图形，故本选项命题是真命题，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是中心对称图形，故本选项命题是真命题，不符合题意；D、等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项命题是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．【解答】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．故选：D．【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．【解答】解：由题意可得：1﹣x≥0，解得：x≤1，故答案为：x≤1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．10．【分析】由于D，E，F分别为三边中点，可得△DEF与△ABC的对应边的比为，即其面积比为，进而可得结论．【解答】解：如图，∵D，E，F分别为三边中点，即＝，＝2，∴＝＝，而S△DEF＝8．∴S△ABC故答案为8．【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质以及三角形对应边与对应面积的关系，能够掌握并熟练求解．11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x＝x﹣2，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解，故答案为：x＝﹣1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．【分析】，“图象离坐标轴越远，|k|越大”．【解答】解：如图，因为反比例函数的图象离坐标轴比反比例函数的图象离坐标轴远，所以k2、＞k1．故答案为：＜．【点评】本题考查了反比例函数图象和反比例系数k的关系，“图象离坐标轴越远，|k|越大”．13．【分析】根据切线的性质得PA＝PB，OA⊥PA，则∠OAP＝90°，可得∠BAP＝55°，从而得到∠ABP的度数．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，OA⊥PA，∵∠OAB＝35°，∴∠BAP＝90°﹣∠OAB＝55°，∵PA＝PB，∴∠ABP＝∠BAP＝55．故答案为：55．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．14．【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．【解答】解：由正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象和性质可知，其交点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，∴y1+y2＝0，故答案为：0．【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提．15．【分析】证明△BCE∽△FDE，可得，而△BCE与△FDE的面积比为，即得，设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t，在Rt△AFB中，有tan∠BFA＝＝，又∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA，从而推导出tan∠GFI＝tan∠BFA＝．【解答】解：∵ABCD都是正方形，∴∠FDC＝90°＝∠BCD，∵∠FED＝∠CEB，∴△BCE∽△FDE，∴，∵△BCE与△FDE的面积比为，∴，设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t，∴AF＝AD+DF＝7t，在Rt△AFB中，tan∠BFA＝＝＝，由“青朱出入图”可知：∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA，∴tan∠GFI＝tan∠BFA＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．16．【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【解答】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，∴第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c为白3，∴第二行中a为黑2，b为黑3；第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，∴第二行中e为白4．故答案为：B；4．【点评】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（本题共68分，第17至22题，每小题5分，第23至26题，每小题5分，第27至28题，每小题5分）17．【分析】先把60°的正弦值代入算式，再根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质计算乘方和去绝对值符号，然后进行计算即可．【解答】解：原式＝4﹣1+2﹣+4×＝＝．【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质和特殊角的三角函数值．18．【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜，所以不等式组的解集为：，所以不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝+1时，原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDF，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠CFD，∵BF＝DE，∴BF+EF＝DE+EF，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：AF＝CE，理由如下：如图：∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD，AE＝CF，在△ABF和△CDE中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，求得AE＝AC，EF＝CF，根据平行线的性质得到∠EAD＝∠AFC，求得AE＝EF＝AC＝CF，于是得到结论；（2）如图，根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，根据直角三角形的性质得到BC＝2，CE＝4，由勾股定理得到BE＝＝2，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴AF⊥CE，∵CD＝DE，∴AE＝AC，EF＝CF，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠AFC，∴∠CAD＝∠CFA，∴AC＝CF，∴AE＝EF＝AC＝CF，∴四边形ACFE是菱形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，∵AB＝2，CD＝DE，∴BC＝2，CE＝4，∴BE＝＝2，∵AB＝CD＝DE，∠BAE＝∠EDG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴BG＝EG，∴BG＝BE＝．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．【分析】（1）根据频数分布表即可求出a，b；（2）结合（1）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；（3）根据节数在20≤x＜30这一组的数据是：20202122232323232526 262627282829即可得观看直播课节数的中位数；（4）利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．【解答】解：（1）a＝50﹣8﹣10﹣16﹣4＝12，b＝1﹣0.16﹣0.20﹣0.24﹣0.08＝0.32；故答案为：12，0.32；（2）补全的频数分布直方图如下：（3）∵节数在20≤x＜30这一组的数据是：20202122232323232526262627282829∴随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+25）÷2＝24，故答案为：24；（4）500×（0.24+0.08）＝160（人）．答：估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．故答案为：160．【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解决本题的关键是综合掌握以上知识．23．【分析】（1）根据直角三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACG，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AG∥DC，CG∥DA，∴四边形ADCG是平行四边形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∴AD＝CD＝AB，∴四边形ADCG是菱形；（2）解：∵CG∥DA，∴∠BAC＝∠ACG，∴tan∠CAG＝tan∠BAC＝＝，∴设BC＝3x，AC＝4x，∴AB＝5x＝10，∴x＝2，∴BC＝3x＝6．【点评】本题考查了菱形的判定，三角函数的定义，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．24．【分析】发现：先依据勾股定理求得AO的长，然后由圆的性质可得到OM＝3，当点M 在AO上时，AM有最小值，当点M与点E重合时，AM有最大值，然后过点B作BG⊥l，垂足为G，接下来求得BG的长，从而可证明四边形OBGF为平行四边形，于是可得到OB与直线l的位置关系．思考：连接OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE＝2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：发现：由题意可知OM＝OF＝3，AF＝8，EF⊥l，∴OA＝＝＝．当点M在线段OA上时，AM有最小值，最小值为﹣3．当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值＝＝10．如图1所示：过点B作BG⊥l，垂足为G．∵∠DAF＝60°，∠BAD＝90°，∴∠BAG＝30°．∴GB＝AB＝3．∴OF＝BG＝3，又∵GB∥OF，∴四边形OBGF为平行四边形，∴OB∥FG，即OB∥l．故答案为：﹣3；10；平行．思考：如图2所示：连接OG，过点O作OH⊥EG．∵∠DAF＝60°，EF⊥AF，∴∠AEF＝30°．∴∠GOE＝120°．∴GE＝2EH＝2××3＝3．∴半圆与矩形重合部分的周长＝+3＝2π+3；S重合部分＝S扇形GOE﹣S△GOE＝．【点评】本题主要考查的是切线的性质和判定、特殊锐角三角函数值的应用、切线长定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．25．【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C人数所占比例，由总人数可求全校非常了解交通法规的人数即可得；（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人数，据此补全图形即可得；（3）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷40%＝60（人），∴扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×＝90°，全校非常了解交通法规的有：3000×40%＝1200（人），故答案为：90°，1200；（2）D类别人数为60×5%＝3，则B类别人数为60﹣（24+15+3）＝18，补全条形图如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，所以丙和丁两名学生同时被选中的概率为＝．【点评】本题主要考查条形统计图以及列表法与树状图法等知识；条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数．26．【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线开口向下可得抛物线顶点在直线y＝2与直线y＝0之间，从而列不等式求解．（3）由顶点在第四象限可得m的取值范围，由抛物线开口向下，y1＞y2，可得a与m之间的关系，进而求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2＝﹣（x﹣m）2+m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，m﹣2）．（2）∵抛物线开口向下，∴当抛物线与直线y＝0有两个交点且与直线y＝2无交点时满足题意，∵抛物线顶点坐标为（m，m﹣2），∴0＜m﹣2＜2，解得2＜m＜4．（3）∵抛物线顶点（m，m﹣2）在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵抛物线开口向下，∴x≥m时，y随x增大而减小，∴点A，B在对称轴右侧时，满足题意，即a≥m，当点A在对称轴左侧时，设点A（a，y1）关于对称轴对称点A'坐标为（2m﹣a，y1），∴点B在A'右侧时，满足题意，即2m﹣a＜a+2，解得a＞m﹣1，∴a＞m﹣1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．27．【分析】（1）①根据题意画出图形，连接CF并延长交AB于点G，首先根据题意证明出△ABC是等腰直角三角形，然后证明出△CAF≌△BCD（SAS），进而得到△AGC是等腰直角三角形，然后证明出△AGF≌△CGD（HL），得到FG＝GD，∠AFG＝∠CDG＝∠BCD+∠B＝α+45°，然后利用∠DFA＝∠AFG+∠GFD求解即可；②由①得到∠FDG＝45°，∠B＝45°，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；（2）根据勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，，然后利用勾股定理得到AG2+GF2＝AF2，然后代入求解即可．【解答】（1）①解：如图所示，连接CF并延长交AB于点G，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°，∵AE⊥CD，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD＝α，∵AC＝BC，AF＝CD，∴△CAF≌△BCD（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠AGC＝∠CGD＝90°，∴△AGC是等腰直角三角形，∴AG＝CG，又∵AF＝CD，∴△AGF≌△CGD（HL），∴FG＝GD，∠AFG＝∠CDG＝∠BCD+∠B＝α+45°，∵∠FGD＝90°，∴∠GFD＝∠GDF＝45°，∴∠DFA＝∠AFG+∠GFD＝α+45°+45°＝α+90°，故答案为：α+90°；②证明：由①可得，∠FDG＝45°，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠FDG，∴DF∥BC；（2）解：BC2+DF2＝2AF2．理由如下：∵△AGC是等腰直角三角形，∴AG2+CG2＝AC2，AG＝CG，∴2AG2＝AC2，∴整理得，∵AB＝AC，∴，∵△FGD是等腰直角三角形，∴同理可得，∵∠AGF＝90°，∴AG2+GF2＝AF2，∴，整理得AC2+FD2＝2AF2，∴BC2+DF2＝2AF2．【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．28．【分析】（1）①如图所示，以点O为旋转中心，将线段AO顺时针旋转30°，得到线段OM，过点M作x轴的垂线段，交x轴于点F，沿x正方向作线段MN，使得MN∥x 轴，MN＝OA，连接AN，线段MN即为所求．②因为点O到点的距离＝，OA＝2，所以点只能为点M或点N．（2）以点O圆心，以PO的长度为半径作⊙O，过点（0，4）作直线l，交⊙O于点M、点M′，将圆⊙O沿直线l移动，将圆心O移动至⊙O上的点P，点M、点M′的对应点分别为点N、点N′，当点M与点M′重合，且坐标为（0，4）时，PO＝4，当点N 与点N′重合，且坐标为（0，4）时，．【解答】解：（1）①如图2.1所示，以点O为旋转中心，将线段OA顺时针旋转30°，得到线段OM，过点M作x轴的垂线段，交x轴于点F，沿x正方向作线段MN，使得MN∥x轴，MN＝OA，连接AN，线段MN即为所求．MF＝OM sin∠AOM＝2×sin30°＝1，．点M的坐标为，点N的坐标为．②∵点O到点的距离＝，OA＝2，∴点只能为点M或点N．当点M为时，如图2.2所示，根据题意可知，∴∠AOM＝α＝60°．当点N为时，如图2.3所示，设MN与y轴交于点F．。

人大附中朝阳学校初三年级数学学科一模模拟一．选择题（共16分，每小题2分）1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱2.2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元，13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元.将39500用科学记数法表示应为（A ）395×102（B ）3.95×104（C ）3.95×103（D ）0.395×1053.不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（A ）23（B ）34（C ）25（D ）354.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为（A ）60°（B ）40°（C ）20°（D ）10°5.正六边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）540°（D ）720°6.已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（A ）1-（B ）0（C ）1（D ）27.如下图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是图1图2（A）（B）（C）（D）8.如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足90AEB∠=°，连接CE.给出下面四个结论：①AE+CE≥a2；②CE≤a215-；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE=a时，tan∠ABE=21.上述结论中，所有正确结论的序号为（A）①②（B）①③（C）①④（D）①③④二．填空题（共16分，每小题2分）9.若1x-在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.10.分解因式：2312x-=_______________.11.方程322x x=+的解为____________．12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数6yx=的图象经过点()2A m，和点()2B n-，，则m+n =__________.13.如图，树AB在路灯O的照射下形成树影AC．已知灯杆PO高为5m，树影AC长为3m，树AB与灯杆PO的水平距离AP为4.5m，则树AB的高度为m.14.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接AC，AD．若∠BAC＝40°，则∠D＝°．15.用一组a，b，m的值说明“若a b<，则ma mb>”是错误的，这组数可以是a=______，b=______．m=_______.16.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交路线，为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：（第14题图）（第13题图）线路公交车用时频率公交车时间30≤t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐________（填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.三．解答题（共68分）17.计算：06cos 45185(2)-+--π-°.18.解不等式组：22135.2x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩，19.已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值．20.如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）使用直尺和圆规，作AD ⊥BC 交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①∠BEC =°；②写出图中一个．．与∠CBE 相等的角．21.如图，在四边形ABCD 中，∠ACB =∠CAD =90°，点E 在BC 上，AE ∥DC ，EF ⊥AB ，垂足为点F .（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分∠BAC ，BE =5，54cos =B ，求BF 和AD 的长.22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点A.（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y=2x+m的值大于一次函数y=kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围.23.列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势.某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍.要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24.如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过点E作弦CD⊥AB，连接AC，AD.（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若点F是的中点，过点C作CG⊥AF，垂足为点G.若⊙O的半径为2，求CG的长.25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况.在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B 中的剩余质量分别为y1，y2(单位:克).下面是某研究小组的探究过程，请补充完整:记录y1，y2与x的几组对应值如下:x（分钟）05101520…y1(克)2523.52014.57…y2(克)252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象;（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：y1=-0.04x2+bx+c.场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足一次函数y2=kx+c(k≠0).则b=_______，c=_______，k=_______；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A_______x B（填“＞”，“=”或“＜”）.26.在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y=ax2-2ax+c（a＞0）上任意两点.（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1=a+1，x2=a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围.27.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），点D是BC的中点，点E是BD的中点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F.（1）①依题意补全图形；②求证：∠B=∠AFE；（2）连接CF，DF，用等式表示CF，DF之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 外一点，给出如下定义：若在⊙O 上存在点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在⊙O 上，则称点Q 为点P 关于⊙O 的“关联对称点”.（1）若点P 在直线y =2x 上；1若点P 的坐标为（1，2），则Q 1（0，1），Q 2（1，0），Q 3（22-，22-）中，是点P 关于⊙O 的“关联对称点”的是____________；2若存在点P 关于⊙O 的“关联对称点”，求点P 的横坐标P x 的取值范围；（2）已知点A （2，23），动点M 满足AM ≤1，若点M 关于⊙O 的“关联对称点”N 存在，直接写出MN 的取值范围.参考答案一、选择题：1. A2.B3.D4.C5.B6.C7.D8.C二、填空题：9.x≥1 10. 3（x＋2）（x－2） 11.4 12.0 13.2 14.50° 15.2 3 4（答案不唯一）16.C三．解答题17．计算：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0．解：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0＝6×﹣3+5﹣1＝3﹣3+5﹣1＝4．18．解不等式组：．解：，解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＜5，则不等式组的解集为3＜x＜5．19．已知x2﹣x﹣3＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）的值．解：（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）＝x2﹣4﹣（2x﹣x2）＝x2﹣4﹣2x+x2＝2x2﹣2x﹣4，∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2﹣x＝3，则原式＝2（x2﹣x）﹣4＝2×3﹣4＝2．20．如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC于点D（保留作图痕迹）；（2）以D为圆心，DC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，DE．①∠BEC＝90°；②写出图中一个与∠CBE相等的角∠BCF（答案不唯一）．解：（1）如图，AD为所作；（2）①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴DB＝DC，AD平分∠BAC，∴BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°；故答案为：90；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴BC为⊙O的直径，∴∠CFB＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠BCF，∵∠CBE+∠BCE＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF．故答案为：∠BCF（答案不唯一）．21.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；，求BF和AD的长．（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45（1）证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，∴AD∥CE，∵AE//DC，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，∵EF⊥AB，AE平分∠BAC，∠ACB=90°，∴EF=CE，∴EF=CE=AD，，∵BE=5,cosB=45=4，∴BF=BE⋅cosB=5×45∴EF=√BE2−BF2=3，∴AD=EF=3．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），与x轴交于点A．（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），∴，解得，该一次函数的表达式为y＝﹣x+1，令y＝0，得0＝﹣x+1，∴x＝2，∴A（2，0）；（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于等于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，∴2x+m≥﹣x+1，∴m≥﹣4．23．列方程解应用题：无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝150，经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．24.如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若点F是的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．（1）证明：连接OC，如图：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，∴∠DAE＝∠CAE，∵OC＝OB，点E为OB的中点，∴OE＝OB＝OC，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∴∠CAE＝∠COE＝30°，∴∠DAE＝∠CAE＝30°，∴∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：由（1）可知：△ACD是等边三角形，∠CAE＝30°，∴∠D＝60°，∵点F为弧AC的中点，∴∠CAF＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OA＝OB＝2，∵点E为OB的中点，∴OE＝1，∴AE＝OA+OE＝2+1＝3，在Rt△ACE中，cos∠CAE＝，∴AC＝＝＝，在Rt△ACG中，AC＝，∠CAF＝30°，∴CG＝AC＝．25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录y1，y2与x的几组对应值如下：（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分y2与x之间近似满足一次函数y2＝kx+c（k≠0）．则b＝﹣0.1，c＝25，k＝﹣1；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A＞x B（填“＞”，“＝”或“＜”）．解：（1）由题意，作图如下．（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．又点（0，25），（10，20）在函数图象上，∴．解得：．∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝kx+c．又（0，25），（10，15）在函数图象上，∴，解得：，∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．故答案为：﹣0.1，25，﹣1；（3）由题意，当y＝4时，场景A中，x A≈21.7，场景B中，4＝﹣x B+25，解得：x B＝21，∴x A＞x B．故答案为：＞．26.在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，且x1＜x2，∴y1＜y2；（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，∴＜，∵y1＜y2，a＞0，∴M（x1，y1）距离对称轴更近，x1＜x2，则MN的中点在对称轴的右侧，∴解得：m．27.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF ⊥AE 交射线AM 于点F .（1）①依题意补全图形；②求证：∠B ＝∠AFE ；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．答案.（1）①依题意补全图形.②∵AB AC =，2BAC α∠=, ∴1802902B C αα︒−∠=∠==︒−.∵EF AE ⊥, ∴90AEF ∠=︒. ∵EAF α∠=, ∴90AFE α∠=︒−.∴B AFE ∠=∠.（2） 线段CF 与DF 的数量关系为CF =DF .证明：延长FE 至点G ，使EG =EF ，连接AG ，BG . ∵AE ⊥EF ， ∴AE 垂直平分GF . ∴AG =AF .∴∠GAE =∠EAF =α.∴∠GAF =∠GAE ＋∠EAF =2α. ∵∠BAC =2α， ∴∠GAF =∠BAC . ∴∠GAB =∠F AC .BC∠°∠°M C∵AB=AC，AG=AF，∴△AGB≌△AFC（SAS）.∴GB=FC.∵E为BD中点，∴BE=DE.∵∠GEB=∠DEF，∴△GBE≌△FDE（SAS）.∴GB=DF.∴DF=CF.28．（2024•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．（1）若点P在直线y＝2x上；①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是Q2，Q3．；②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标x P的取值范围；（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．解：（1）解：如图所示，PQ3连线的中点在⊙O的内部，PQ1的中点的纵坐标为1，则点P，Q1关于y＝1对称，点P关于⊙O的关联点是Q3，Q2，故答案为：Q2，Q3．②如图所示，点P在线段RS和UW上，设R（m，2m），在Rt△OHR中，m2+（2m）2＝32，解得m＝或m＝﹣（舍），∴x R＝；同理x S＝，x U＝﹣，x W＝﹣，∴﹣≤p＜﹣或＜p≤；（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵AM≤1，则M在半径为1的⊙A上以及圆内，M关于⊙O的关联点N，∴MN的最大值为OM+ON＝3+1＝4，如图所示，当M在线段OA上时，MN取最小值，∴OA＝＝，设MN＝GH＝x，则GT＝HT＝x，∴MH2＝（）2﹣（1+x）2，∴NG2＝12﹣（1﹣x）2，∴（）2﹣（1+x）2＝12﹣（1﹣x）2，解得x＝，∴≤MN≤4．。

2024北京西城初三一模数 学考生须知：1. 本试卷共7页，共两部分， 28道题．满分 100分．考试时间120分钟．2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效．4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5. 考试结束， 将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 圆锥B. 三棱柱C. 三棱锥D. 四棱锥2. 2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps ，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit )的数据. 将10000000000用科学记数法表示应为（ ）A.110.110⨯ B. 10110⨯ C. 11110⨯ D. 91010⨯3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 直尺和三角板如图摆放，若155∠=︒，则2∠的大小为（ ）A. 35︒B. 55︒C. 135︒D. 145︒5. 不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（ ）A.14B.13C. 12D.236. 已知21a -<<-， 则下列结论正确的是（ ）A. 12a a <<-< B. 12a a <<-< C. 12a a <-<<D.12a a -<<<7. 若关于x 的一元二次方程 220kx x +-=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 18k ≤- B. 18k >-且0k ≠ C. 18k ≥-且0k ≠ D. 14k ≥-且0k ≠8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BC a =，AC b = (其中a b <)．CD AB ⊥于点D ，点E 在边AB 上，.BE BC = 设CD h =，AD m =，BD n =， 给出下面三个结论∶①()²²²n h m n +<+；②2222h m n >+；③AE 的长是关于 x 的方程 2220x ax b +-=的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：21236x y xy y -+=______．11. 方程43312x x =--的解为______.12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,8-和()2,n ， 则n 的值为______．13. 如图， 在ABCD Y 中，点E 在边AD 上，BA ，CE 的延长线交于点F ．若1AF =，2AB =， 则AEED= ．14. 如图， 在O 的内接四边形ABCD 中， 点A 是 BD的中点，连接AC ， 若130DAB ∠=︒，则ACB =∠_______︒．15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD ，点A ，B ，C 在同一直线上， 点1O ，2O 分别为两个正六边形的中心． 则2tan O AC ∠的值为______．16. 将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为______，第37个空格所填入的数为______．3717. 计算： 112sin605-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组: ()21521.32x x x x ⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩，19. 已知 240x x --=，求代数式2(2)(1)(3)x x x -+-+的值.20.如图，点E 在ABCD Y 的对角线DB 的延长线上，AE AD =，AF BD ⊥于点F ，EG BC ∥交AF 的延长线于点G ，连接DG ．（1）求证: 四边形AEGD 是菱形；（2）若 1tan 42AF BF AEF AB =∠==，，求菱形AEGD 的面积．21. 某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B -， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =-+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg 的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g )，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ． 甲同学的山楂重量的折线图：b ． 乙同学的山楂重量：8， 8.8， 8.9， 9.4， 9.4， 9.4， 9.6， 9.6， 9.6， 9.8， 10， 10， 10， 10， 10c ． 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m 9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ， n 的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 (填写“甲”或“乙”)；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的 10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 和 ；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24. 如图， AB 为O 的直径， 弦CD AB ⊥于点H ，O 的切线CE 与BA 的延长线交于点E ， AF CE ∥， AF 与O 的交点为F .（1）求证: AF CD =；（2）若O 的半径为6， 2AH OH =，求AE 的长．25. 如图，点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心． 线段PQ 经过点O ，交边AB 于点P ， 交边AC 于点Q ． 若 12:APQ ABC AP x AQ y S S y ===，，，下表给出了x ，1y ，2y 的一些数据 (近似值精确到0.0001)．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中描出了部分点()()12,,x y x y ，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出1y 与2y 关于x 的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当APQ △是等腰三角形时，1y 关于x 的函数图象上的对应点记为(),a b ，请在x 轴上标出横坐标为a 的点；②当2y 取最大值时，x 的值为 ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点 ()()()2,2,,A y B y C m y -₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++(0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ．（1）若 3y =₁，求t 的值；（2）若当 12t m t +<<+时，都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．27. 在 ABC 中， 45ABC ACB ∠=∠=︒，AM BC ⊥于点M .D 是射线AB 上的动点 (不与点 A ， B 重合)， 点 E 在射线AC 上且满足 AE AD =，过点D 作直线BE 的垂线交直线BC 于点F ， 垂足为点 G ， 直线BE 交射线AM 于点P ．（1）如图1， 若点D 在线段AB 上， 当 AP AE =时，求 BDF ∠的大小；（2）如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF ，MP ，AB 的数量关系， 并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为1．对于O 上的点 P 和平面内的直线:l y ax =给出如下定义：点P 关于直线l 的对称点记为P '，若射线OP 上的点Q 满足OQ PP ='，则称点Q 为点P 关于直线l 的“衍生点”．（1）当0a =时，已知O 上两点 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，在点()112Q ，，232Q ⎫⎪⎪⎭， ()(341,1Q Q --，中，点1P 关于直线l 的“衍生点”是 ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是 ；（2）P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ． 若线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，直接写出m 的取值范围；（3）当11a -≤≤时，若过原点的直线s 上存在线段 MN ，对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”． 将线段MN 长度的最大值记为()D s ，对于所有的直线s ，直接写出()D s 的最小值．参考答案第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 【答案】C【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据侧面展开图为4个三角形，所以该几何体是三棱锥．【详解】解：∵侧面展开图为4个三角形，∴该几何体是三棱锥，故选C ．2. 【答案】B【分析】此题考查科学记数法的表示方法：10n a ⨯，110a ≤<，n 是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n 的值，据此解答．【详解】1010000000000110=⨯，故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．【详解】解：A ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；D ．既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意．故选：D ．4. 【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到3435∠∠==︒，再由邻补角互补即可得出结果．【详解】解：如图所示：1+3=90∠∠︒，∵155∠=︒，∴335∠=︒，由题意得，直尺的两边平行，∴3435∠∠==︒，∴21804145=︒-=︒∠∠，故选D ．5. 【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为14．故选：A ．6. 【答案】A【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由21a -<<-，可得12a <-<，然后判断作答即可．【详解】解：∵21a -<<-，∴12a <-<， ∴12a a <<-<，故选：A ．7. 【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得()2Δ1420k =-⨯-≥ 且0k ≠，求出k 的取值范围即可．【详解】解：∵一元二次方程220kx x +-=有两个实数根，∴()2Δ14200k k ⎧=-⨯-≥⎨≠⎩，∴18k ≥-且0k ≠，故选C ．8. 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系．【详解】解：∵在Rt BDC 中，222BD CD BC +=，即222n h a +=，在Rt ABC 中，222BC AC AB +=，即()222a b m n +=+，∴()222222n h a a b m n +=<+=+ ，即()²²²n h m n +<+，故①正确．∵在Rt BDC 中，222n a h =-，在Rt ADC 中，222m b h =-，∴222222n m a b h +=+-，又∵在Rt ABC 中，()222a b m n +=+，∴()22222n m m n h +=+-，即2222222n m n m mn h +=++-，即222mn h =，∴()()()222222220m nh m n mn m n m n +-=+-=->≠，∴2222m n h +>，故②错误．∵DE BE BD BC BD a n =-=-=-，∴()AE AD DE m a n m n a =-=--=+-，∵2220x ax b +-=的实数根为：()()222a m n x a m n -±+===-±+，∴AE 的长是关于 x 的方程 2220x axb +-=的一个实数根，故③正确．综上①③正确，故选：B ．第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 【答案】3x ≥【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x 的取值范围．【详解】由二次根式的概念，可知30x -≥，解得3x ≥.故答案为：3x ≥10. 【答案】()26y x -【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．【详解】解：()()222123612366x y xy y y x x y x -+=-+=-．故答案为：()26y x -．11. 【答案】=1x -【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解法是解决本题的关键．先去分母，转化为一元整式方程，再求解即可．【详解】解：()()42331x x -=-，4893x x -=-，解得：=1x -，经检验：=1x -是原方程的根，所以，原方程的根为：=1x -，故答案为：=1x -．12. 【答案】4-【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意，()1,8-和点()2,n ，都满足解析式()0k y k x=≠，即可求解．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()1,8-和()2,n ，∴182n -⨯=，解得：n =-4故答案为：4-．13. 【答案】12【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由FAE CDE ∽，推出AE AF DE CD=．由平行四边形的性质得到AB CD ∥，2CD AB ==，推出FAE CDE ∽，得到AE AF DE CD=，而1AF =，于是得到12AE DE =．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，2CD AB ==，FAE CDE ∴∽，∴AE AF DE CD=，1AF =Q ，∴12AE DE =．故答案为：12．14. 【答案】25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出BCD ∠的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵O 的内接四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，∴18500DA BCD B ∠︒∠==︒-，∵点A 是 BD的中点，∴ AD AB =，∴1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒，故答案为：25．15. 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，设正六边形的边长为a ，则112O A O B O C a ===，在2Rt O CE 中，22,3606230O C a CO E =∠=︒÷÷=︒，∴21122EC O C a BE ===，22O E C ==，∴15222AE a a a =+=，∴22tan O E O AC AE ∠==．16. 【答案】 ①. 1 ②. 19【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得．【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴这37个数的和也是第37个数的倍数，又∵12337++++ ()()()137236182019=+++++++ 381819=⨯+703=3719=⨯，∴第37个空格所填入的数为19，故答案为：1，19．17. 【答案】5-【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算绝对值，负整数指数幂，代入三角函数值，化简二次根式，再合并即可．【详解】解∶112sin605-⎛⎫-+︒⎪⎝⎭52=+-=5-．18. 【答案】3x<【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出两个不等式的解，再求公共解，即得答案．【详解】原不等式组为()2152132x xx x⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩①②解不等式①，得3x<，解不等式②，得7x≤，∴原不等式组的解集为3x<．19. 【答案】9【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将²40x x--=变形为24x x-=，最后将24x x-=以整体的形式代入原式，即得答案．【详解】2(2)(1)(3)x x x-+-+22(44)(23)x x x x=-+++-2221x x=-+，²40x x--=，24x x∴-=，∴原式22()19x x=-+=．20. 【答案】（1）见详解（2）32【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF DF=，再证GEF△和ADF△全等，得出EF DF=，于是根据对角线相互平分的四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF 、EF 的长，即可得出对角线AG 、ED 的长，根据菱形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：AE AD = ，AF BD ⊥，EF DF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EG BC ∥，AD EG ∴∥，GEF ADF ∴∠=∠，在GEF △和ADF △中，GEF ADFEF DF EFG DFA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)GEF ADF ∴△≌△，∴=GF AF ，EF DF = ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AE AD = ，∴四边形AEGD 是菱形；【小问2详解】解：AF BD ⊥ ，AF BF =，AFB ∴ 是等腰直角三角形，4AB = ，∴由勾股定理得，4AF BF AB ====1tan 2AEF ∠= ，∴12AFEF =，12=，EF ∴=，四边形AEGD 是菱形，2AG AF ∴==2ED EF ==∴菱形AEGD 32=．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21. 【答案】购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩，计算求解，然后判断作答即可．【详解】解：设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩， 解得，10011y =，∵y 不为正整数，∴不合题意．答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍．22. 【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x -+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B -，代入函数解析式得，3520k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x -+>+，即24n x -<，又2x <，∴224n -≥，解得：10n ≥，∴n 的取值范围为10n ≥．23.【答案】（1）9.4，10（2）①甲，②9.3，9.6（3）160串【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【小问1详解】解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以9.4m =；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以10n =．【小问2详解】解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.19.2-之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.89.4-，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．② 要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：222221[(9.39.48)(9.49.48)(9.59.48)(9.69.48)(9.69.48)]0.01365-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：222221[(9.49.6)(9.59.6)(9.69.6)(9.69.6)(9.99.6)]0.0285-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：222221[(9.39.54)(9.49.54)(9.59.54)(9.69.54)(9.99.54)]0.04245-+-+-+-+-⨯=，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．【小问3详解】解：7.6千克7600=克，76009.5800÷=（个)，8005160÷=（串)，答：能制作160串冰糖葫芦．【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）12【分析】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握切线的性质是解题的关键．（1） 连接OC ，OC 与AF 交于点G ，根据切线的性质得到90OCE ∠=︒，根据垂径定理得到 2AF AG =，然后证明OAG OCH ≌即可得到结论；（2）在Rt OCH 和Rt OCE 运用解直角三角形得到OE 长，然后利用AE OE OA =-解题即可．【小问1详解】证明: 如图， 连接OC ，OC 与AF 交于点 G .∵ CE 与O 相切， 切点为C ，∴CE OC ⊥.∴90OCE ∠=︒ .∵ AF CE ∥，∴ 90OGA OCE ∠∠==︒ .∴ OC AF ⊥于点 G .∴ 2AF AG =.∵CD AB ⊥ 于点 H ，∴90OHC ∠=︒， 2CD CH =.∴OGA OHC ∠∠=.又∵ AOG COH ∠∠=，OA OC =，∴ OAG OCH ≌.∴AG CH =.∴A F CD =；【小问2详解】解: ∵ O 的半径为6， 2AH OH =，∴2OH =， 4AH =.在Rt OCH 中， 190cos .3OHOHC COH OC ∠=︒∠==，在Rt OCE 中， 190cos 63OCE COE OC ∠=︒∠==，，，18cos OCOE COE ∴==∠，∴18612AE OE OA =-=-=.25. 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）①见解析；②0.5或1【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出此时点Q 在点C 处，从而得出12APQ ABC S S =△△，即可得出答案；（2）根据解析（1）得出的数据，先描点，再连线即可；（3）①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，根据等边三角形的性质求出23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，根据60PAQ ∠=︒，证明PAQ △为等边三角形，解直角三角形求出23a =，23b =，在函数图象上描出该点即可；②根据函数图象，得出2y 取最大值时x 的值即可．【小问1详解】解：当0.5x =时，点P 为AB 的中点，∵点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心，∴此时点Q 在点C 处，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点P 为AB 的中点，点Q 在点C 处，∴12APQ ABC S S =△△，∴20.5APQABCS y S == ；填报如下：x 0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.50.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5【小问2详解】解：如图所示：【小问3详解】解：①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点O 为ABC 外心，∴30OBD BAD ∠=∠=︒，AD BC ⊥，1122BD BC ==，OA OB =，∴12OD OB =，AD ===，∴23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，∵60PAQ ∠=︒，∴PAQ △为等边三角形，∴60APQ ∠=︒，∴APQ ABC ∠=∠，∴PQ BC ∥，∴90AOP ADB ∠=∠=︒，∴2cos303AOAP ===︒，∴23AQ AP ==，∴23a =，23b =，∴此时在1y 关于x 的函数图象上标出点22,33⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：②根据函数图象可知，函数2y 的最大值为0.5，此时0.5x =或1x =．26. 【答案】（1）1-（2）13t ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）把A 点的坐标代入解析式求得2b a =，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，分两种情况讨论，得到关于t 的不等式组，解不等式组从而求得t 的取值范围．【小问1详解】解： 点(2,3)A -在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，3423a b ∴=-+，2b a ∴=，12b t a∴=-=-；【小问2详解】解：0a > ，∴抛物线23(0)y ax bx a =++>开口向上，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当12t m t +<<+时，都有132y y y >>，∴点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -，2(2,)B y ，3(,)C m y 在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，∴点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，当2t ≥时，则222221t t t t +>+⎧⎨-≤+⎩，解得03t <≤，23t ∴≤≤；当2t <时，则22212t t t +>+⎧⎨+≥⎩，解得12t ≤<，综上所述，t 的取值范围为13t ≤≤．27. 【答案】（1）67.5︒（2）2CF MP =，证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得345∠=︒，再根据等腰三角形性质与三我内角和定理求得267.5∠=︒，然后由余角性质得出2BDF ∠=∠，即可求解．（2）作CQ AP ∥交BE 于点 Q ，利用相似三角形的性质求得2CQ MP =，证明BDF CEQ ≌，得到BF CQ =，由勾股定理得BC ，即可由CF BF BC CQ =+=，得出结论．【小问1详解】解∶如图4．∵在ABC 中，45ABC ACB ∠=∠=︒，∴AB AC =，90BAC ∠=︒，1290∠+∠=︒．∵AM BC ⊥于点 M ， 3452BAC BM CM ∠∴∠==︒=，．∵AP AE =， 180318045267.522︒-∠︒-︒∴∠===︒．∵DF BE ⊥于点 G ，∴190BDF ∠+∠=︒，∴267.5BDF ∠=∠=︒．【小问2详解】解：补全图形，如图5．2CF MP =+．证明∶ 如图5， 作CQ AP ∥交BE 于点 Q ．∵CQ AP ∥，∴BMP BCQ∽∴MP BM CQ BC=，∵BM =CM ， AM ⊥BC ， 1902MP BM BCQ AMC CQ BC ∴==∠=∠=︒ 2518045CQ MP ACB BCQ ∴=∠=︒-∠-∠=︒，．445ABC ∠=∠=︒ ，∴45∠=∠，DBG ABE DG BE ∠=∠⊥ ，于点 G ， 90BAC ∠=︒，∴D E∠=∠ AD AE AB AC == ，，AD AB AE AC ∴-=-， 即BD CE =．∴BDF CEQ≌BF CQ =∶．．CF BF BC BC =+= ，，2CF CQ MP ∴=+=+．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线有关的角的计算，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28. 【答案】（1）23Q Q ，（2）2m ≤≤2m -≤≤-（3）2-【分析】（1）先得出直线l 为0y =，根据轴对称得出121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，进而可得11PP '=，22P P '=，勾股定理求得点1234,,,Q Q Q Q 与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，02PP '≤≤当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，则符合题意，进而分0,0m m ><画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点P 的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【小问1详解】解：∵当0a =时，直线l 为0y =，即x 轴，∵121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴11PP '=22P P '=，∵()112Q ，， 232Q ⎫⎪⎪⎝⎭， ()(341,1Q Q --，∴1OQ ==，2OQ ==3OQ ==，42OQ ==，∴点1P 关于直线l 的“衍生点”是2Q ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是3Q ，故答案为：23Q Q ，．【小问2详解】解：依题意，02PP '≤≤，由（2）可得当点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”则2OS ≤，∵P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ．∴OA OB m ==，∴当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，当0m >时，如图所示，当2OS =时，即S 与B 点重合时，存在点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =则AB （除端点外）上所有的点到O 的距离都2<，∵对称轴为直线y ax =，不能为y 轴，则()0,2和()2,0-不是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =符合题意，∵线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴m 2≥，当OS y x m '⊥=+，此时OS '最短，则当2OS '=时，m =，此时只有1个点到O 的距离为2，其他的点都不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴2m ≤≤根据对称性，当0m <时，可得2m -≤≤-；综上所述，2m ≤≤2m -≤≤-【小问3详解】∵11a -≤≤时∴随着a 的变化，点P 关于直线l 的对称点P '始终在圆上，如图所示，依题意，直线l 是经过圆心，且经过 AB 的直线，s 经过圆心，①当点P 在 AB （包括边界）上时，当,P P '重合时，当PP '为直径时，则2OQ PP '==，根据新定义可得02PP '≤≤，∴()2D s =，②当P 点在 AD 的内部的圆弧上时（不包括边界），当PP '为直径时，则2OQ PP '==，则对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”．当P 在y 轴上时，两条边界线的正中间，则PP '，2PP OQ '≤=≤即()2D s =-综上所述，()2D s =．【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．。

2023北京东城初三二模数 学2023.5学校_________ 班级_________ 姓名_________ 教育ID 号_________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID 号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 据报道：中国铁路营业里程从2012年的9.8万公里增长到2022年的15.5万公里，其中高铁从0.9万公里增长到4.2万公里，稳居世界第一．将数字155000用科学记数法表示应为（ ）A. 60.15510⨯ B. 51.5510⨯ C. 61.5510⨯ D. 315510⨯2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圆柱D. 圆锥3. 在平面直角坐标系中，已知点()()3,2,5,2A B ，将线段AB 平移得到线段CD ，若点A 的对应点C 的坐标是()1,2-，则点B 的对应点D 的坐标是（ ）A. ()1,2 B. ()2,1- C. ()9,2 D. ()2,14. 下列正多边形中，一个内角为120︒的是（ ）A. B. C. D.5. 如图，在ABC 中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点,E BD 和CE 交于点O ，则下列结论不正确的是（ ）A. 12∠=∠B. 1590∠+∠=︒C. 34∠∠=D. 534∠=∠+∠6. 下列运算结果正确的是（ ）A. 22()a a -= B. 623a a a ÷= C. 22(2)4a a -=- D. 34a a +=7. 小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分．若将三项得分依次按2:4:4的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为（ ）A. 8.3分B. 8.4分C. 8.5分D. 8.6分8. 两个变量满足的函数关系如图所示．①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x 分钟，离家的距离为y 米；②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x 秒，瓶内水的体积为y 毫升；③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x 天，完成的修路长度为y 米．在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 有意义，则x 的取值范围是___．10. 分解因式：2x 2﹣8=_______11. 的整数：________．12. 如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，连接AC ，AD ．若28BAC ∠=︒，则D ∠=______°13. 如图，在ABC 和DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC DF ∥，AC DF ，只添加一个条件：____________能判定ABC DEF ≌△△．14. 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：抽检产品数n 1001502002503005001000合格产品数m89134179226271451904合格率m n0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________．15. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF 长2米，它的影长FD 是4米，同一时刻测得OA 是268米，则金字塔的高度BO 是________米．16. 将15个编号为1~15的小球全部放人甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3．（1）写出一种甲盘中小球的编号是_________；（2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是_________．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 111452-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭︒．18. 解方程组：225x y x y -=⎧⎨+=⎩．19. 已知：如图，点P 和O ．求作：直线PA ，使得PA 与O 相切于点A ．作法：（1）连接OP ，分别以点O 和点P 为圆心，大于12OP 的长为半径作弧，两弧交于,C D 两点；（2）作直线CD ，交OP 于点B ；（3）以点B 为圆心，以OB 长为半径作B ，与O 相交，其中一个交点为点A ；（4）作直线PA ．直线PA 即为所求作．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：由作法可知，点B 为线段OP 的中点．连接OA ．∵OP 为B 的直径，∴OAP ∠=_________︒（_________）（填推理的依据）．∴OA PA ⊥．∵点A 在O 上，∵PA 是O 的切线（_________）（填推理的依据）．20. 先化简，再求值：2241244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中4a =．21. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为BC 中点，过点,A C 分别作,BC AD 的平行线，相交于点E ．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）连接,BE DE ，若4tan ,33CBE CD ∠==，求AB 的长．22. 如图，函数(0)m y x x=>的图像G 与直线112y x =+交于点P ，点P 的纵坐标为4，PA x ⊥轴，垂足为点A ．（1）求m 的值；（2）点M 是图像G 上一点，过点M 作MB AP ⊥于点B ，若12PB BM =，求点M 的坐标．23. 如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且CE DE =，点F 在AB 的延长线上，连接,,OC DF F C ∠=∠．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若2,2OE BE BF ==，求O 半径的长．24. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接kg/hm）如下表．近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位：2 1hm表示10000平方米，即1公顷．注：2品种A品种B品种C品种D品种E品种F品种G品种H低海拔区98438650799677057506743765175398高海拔区78007267753378676333640058745201（1）请补全条形统计图：（2）8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定；（3）已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大，a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较．25. 某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为m 米，对于m的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下．请你补全探究过程．（1）建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为,x y ．由矩形的面积为4，得4xy =，即4y x=；由周长为m ，得()2x y m +=，即2my x =-+．满足要求的(),x y 应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标；（2）画出函数图象：函数4(0)y x x =>的图象如图所示，而函数2m y x =-+的图象可由直线y x =-平移得到．请在同一平面直角坐标系xOy 中画出直线y x =-；（3）平移直线y x =-，观察函数图象：当直线平移到与函数4(0)y x x =>的图象有唯一交点()2,2时，直线2m y x =-+与y 轴交点的纵坐标为_________；（4）得出结论：若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长m 的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴是直线3x =．（1）求出该抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当0a >时，对于任意的正数t ，若点()()123,,32,t y t y -+在该抛物线上，则1y _________2y （填“>”“<”或“=”）；（3）已知点()()0,3,7,3A B ．若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，求a 的取值范围．27. 如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，E 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），点F 与点A 关于直线DE 对称，连接DF ．作射线CF ，交直线DE 于点P ，设ADP α∠=．（1）用含α的代数式表示DCP ∠；（2）连接AP AF ，．求证：APF 是等边三角形；（3）过点B 作BG DP ⊥于点G ，过点G 作CD 的平行线，交CP 于点H ．补全图形，猜想线段CH 与PH 之间的数量关系，并加以证明．28. 已知线段PQ 是G 的弦，点K 在直线PQ 上．对于弦PQ 和点K ，给出如下定义：若将弦PQ 绕点K 逆时针旋转()0180αα︒<<︒得到线段P Q ''，恰好也是G 的弦，则称弦PQ 关于点K 中心映射，点K 叫做映射中心，α叫做映射角度．（1）如图1，点G 是等边ABC 的中心，作G 交AB 于点,P Q ．在,,A B C 三点中，弦PQ 关于点_________中心胦射；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，OEF ∠的角平分线交y 轴于点D ．若D 与线段EF 相交所得的弦关于点E 中心映射，直接写出D 的半径r 的取值范围；（3）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，线段MN 是O 的弦．对于每一条弦MN ，都有相应的点H ，使得弦MN 关于点H 中心映射，且映射角度为60︒．设点H 到点O 的距离为d ，直接写出d 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案B D A C C A B A 二、填空题（本题共16分，每小题2分）题号910111213141516答案2x≥2（x+2）（x﹣2）2（或3）（答案不唯一，写出一个即可）62答案不唯一，如AB DE=0.9134（1）（1，2，3，4，5），（1，2，4，5）或（1，2，3，6）（2）7或5（答案不唯一）三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.11145 2-⎛⎫+--⎪⎝⎭︒．=2211 ++--=218. 解方程组：225 x yx y-=⎧⎨+=⎩．②-①得：3y=3，解得：y=1，把y=1代入①得：x=3，则方程组的解为31 xy=⎧⎨=⎩19. （1）解：如图所示，即为所求；（2）90；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．20. ()()()2222222a a a a a a a ++⎛⎫=-⋅ ⎪+++-⎝⎭()()()222222a a a a +=⨯++-22a =-；当4a =时，原式2142==-．21. （1）证明：∵,AE BC AD CE ∥∥，四边形ADCE 是平行四边形，∵AB AC =，点D 为BC 中点，AD BC ∴⊥，∴90ADC ∠=︒，四边形ADCE 为矩形；（2）解：∵四边形ADCE 为矩形，90BCE ADB ∴∠=∠=︒，DE AC=∵点D 为BC 中点，26,BC CD ∴==在Rt BCE 中，4tan 63CE CE CBE BC ∠===，解得：8,CE =在Rt CDE 中，222CD CE DE +=，∴DE =.∴AC =.故AB 22. （1）∵点P 的纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，∴()6,4P ，∴46m=∴24m =．（2）∵12PB BM =，∴设PB n =，则2BM n =，∵M 点的坐标为()6+2,4M n n -∴()6+2)(424n n -=，解得11n =，20n =（舍去），∴点M 的坐标为()8,323. （1）证明：连接OD ，如图所示：∵O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且CE DE=∴AB CD ⊥，∴90F EDF ∠+∠=︒，∵OC OD =，∴ODC C F ∠=∠=∠，∴90ODC EDF ∠+∠=︒.∴OD DF⊥∴DF 是O 的切线；（2）解∵2,OE BE =∴3OD OC BE ==.∴在Rt OCE △中，2sin 3OE C OC ==，∵F C ∠=∠，解得：43x =，∴4OD =，∴2sin sin 3F C ==设,BE x =则2,3,3 2.OE x OD x OF x ===+在Rt ODF △中，2sin 3OD F OF ==∴32.323x x =+∴43x =.∴4OD =即O 的半径为4．24. （1）根据表格中F 品种在高海拔地区的产量为64002kg /hm ，补全条形统计图，如图所示：（2）将8个不同品种的玉米在低海拔区产量从大到小排序：9843，8650，7996，7705，7506，7437，6517，5398，中位数为770575067605.52+=；根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势可以判断在高海拔地区更加稳定；故答案为：7605.5，高；（3）a 选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，故a 不选，b 、c 选用了相同品种的玉米，而且改变了气温和含氧量，故可以选；故选用b 、c 两种方案．25. （1）解：∵x ，y 是矩形的边长，都是正数，所以点(),x y 在第一象限；（2）图像如图所示：（3）解：将点()2,2代入2my x =-+得：222m=-+，解得：8m =，即4y x =-+，当0x =时，4y =，∴直线2my x =-+与y 轴交点的纵坐标为4y =；（4）解：联立4y x =和2m y x =-+并整理得：21+402x mx -=，∴221441402b ac m ⎛⎫∆---⨯⨯≥ ⎪⎝⎭==时，两个函数有交点，解得：8m ≥，∴周长m 的最小值为8米，可得4+4xy x y =⎧⎨=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，∴矩形相邻两边的长分别为2米、2米；26. （1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴是直线3x =，∴32ba -=，∴6b a =-，当3x =时，931y a b =++()9361a x a =+-+91a =-+，∴抛物线()210y ax bx a =++≠的顶点坐标是()3,91a -+；（2）∵()210y ax bx a =++>，∴抛物线开口向上，∴距离抛物线对称轴越远，函数值越大，点()3,t y -距离对称轴3x =的距离为：33t t --=，点()232,t y -距离对称轴3x =的距离为:32322t t t --=-=，∵0t >，∴2t t >，∴()232,t y -距离对称轴3x =比()3,t y -距离对称轴3x =更远，∴12y y <，故填：<；（3）当0a >时，抛物线开口向上.∵抛物线与线段AB 恰有一个公共点，∴当7x =时的函数值大于或等于3.∴494213a a -+≥，∴27a ≥；当0a <时，抛物线开口向下当抛物线的顶点在线段AB 上时，抛物线与线段AB 有唯一公共点.∴913y a =-+=顶点∴29a =-综上所述：29a =-或27a ≥．27. （1）解：∵点F 与点A 关于直线DE 对称，∴DA DF =，PA PF =FDP ADP α∠=∠=，APD FPD∠=∠∵菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，∴AD AB CD ==，120ADC ∠=︒，∴1202CDF α∠=︒-∵DF AD CD ==，∴()1180302DCP CDF α∠=︒-∠=︒+，（2）证明：∵DFC DPF FDP∠=∠+∠∴DPF DFC FDP∠=∠-∠∵DF DC=∴30DFC DCF α∠=∠=︒+∴3030DPF αα∠=︒+-=︒∴260APF DPA ∠=∠=︒∵,60PA PF APF =∠=︒∴APF 是等边三角形；（3）解：CH PH =，证明如下：连接,PB BD ，∵APF 是等边三角形，∴,60AD AB DAB =∠=︒，∴ABD △是等边三角形，∴PAF FAB DAB FAB∠+∠=∠+∠∴PAB FAD ∠=∠，在APB △和AFD △中，,,,AP AF PAB FAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴.APB AFD ≌，∴PB FD BD ==，∵BG DP⊥∴点G 为PD 中点∵CD GH ∥，∴CH PH=28.（1）根据中心映射的定义， 若将弦PQ 绕点K 逆时针旋转()0180αα︒<<︒得到线段P Q ''，恰好也是G 的弦，则称弦PQ 关于点K 中心映射，点K 叫做映射中心．由于ABC 是等边三角形，因此直线PQ 绕A 点逆时针旋转60α=︒()0180α︒<<︒，可使弦PQ 落在弦P Q ''上．但直线PQ 绕B 点、C 点逆时针旋转α ()0180α︒<<︒后，弦PQ 无法与G 再相交成弦．故只有点A 符合映射中心的条件，如下图．（2）如下图， OEF ∠的角平分线交y 轴于点D ，过D 作DG EF ⊥，垂足为G ．则D 与线段EF 相交所得的弦关于点E 中心映射，此时D 的半径r 的取值范围是DF r DG ≥>．在OEF 中，EF 平分OEF ∠，过D 作x 轴的平行线，与EF 交于H ，则HDE DEO ∠∠＝，又HED DEO ∠∠＝，所以HDE HED ∠∠＝，则HD HE ＝．由DH OE ∥得，FDH △∽△FO E ，所以DFFHFH FEDO HE HD OE＝＝＝即DF FE DO EO ＝，DF FEOF DF OE ＝－。

2023-2024学年北京市第二中九年级中考模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到新抛物线的表达式是()A. B.C. D.3.已知的半径为r ，点P 到圆心的距离为如果，那么点P ()A.在圆外B.在圆外或圆上C.在圆内或圆上D.在圆内4.一个多边形的内角和等于，则它是() A.五边形 B.七边形 C.九边形D.十边形5.正比例函数和反比例函数是常数且在同一平面直角坐标系中的图象可能是A. B.C. D.6.若，则的结果是()A.7B.9C.D.117.如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为()A. B. C. D.不确定8.如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为A.24B.12C.18D.21二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.分解因式：__________10.如图，身高为米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得米，米，则旗杆CD的高度是__________米．11.若分式的值为正数，则x满足__________12.请写出一个解为，的二元一次方程组，这个方程组可以是__________.13.若点P是角平分线的交点，且，，则点P到边AB的距离是__________.14.如图，在中，AB的垂直平分线DE交AC于点E，，，若，则CE 的长度为__________.15.正六边形内接于圆，则它的边所对的圆周角的度数为__________.16.某超市现有n个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放__________个收银台．三、解答题：本题共12小题，共96分。

2023-2024学年第一学期初三数学期中模拟试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. AIC. D.【答案】C【解析】【分析】中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．【详解】解：A ：既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；B ：既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；C ：是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；D ：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别．掌握相关定义即可．2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）A. 它的图象的顶点坐标为B. 当时，随的增大而减小C. 它的图象关于直线对称D. 图象与轴的交点坐标为【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得顶点坐标，对称轴，增减性，即可判断A 、B 、C ，令，可得，即可得出图象与轴的交点坐标，即可判断D ，从而得到答案．【详解】解：，180︒243y x x =--()27--，2x >y x 2x =-y ()03-，()224327y x x x =--=--0x ==3y -y ()224327y x x x =--=--它的图象的顶点坐标为，故A 选项错误，不符合题意；，二次函数的图象开口向上，当时，随的增大而增大，故B 选项错误，不符合题意；对称轴为直线，它的图象关于直线对称，故C 选项错误，不符合题意；当时，，图象与轴的交点坐标为，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．3. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值为（ ）A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】将代入得到关于的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根，，解得：，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到关于的方程是解此题的关键．4. 二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（ ）A. B. C.D. ∴()27-，10a => ∴∴2x >y x 2x =∴2x = 0x =3y =∴y ()03-，1x =x ()22110x m x ++-=m 1-12-1x =()22110x m x ++-=m 1x =x ()22110x m x ++-=12110m ∴++-=12m =-m 231y x =-+180︒231y x =--23y x =231y x =+231y x =-【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，即可得到答案．【详解】解：二次函数解析式为，二次函数的顶点坐标为，二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，得到的抛物线的解析式为，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，得出二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反是解此题的关键．5. 如图，三点在已知的圆上，在中，是的上一点，分别连接，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所得的圆周角相等可得，据此即可求解．【详解】解：由题意得：∵∴故选：B【点睛】本题考查在同圆或等圆中，同弧所得的圆周角相等．熟记相关结论是解题关键．6. 如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦231y x =-+180︒ 231y x =-+∴()01，231y x =-+180︒∴231y x =+231y x =-+180︒,,A B C ABC 70,30,ABC ACB D ∠=︒∠=︒ BAC,DB DC D ∠30︒80︒90︒70︒BAC D ∠=∠18080BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒BAC D∠=∠80D ∠=︒O 3P AB OP 4OP =30P ∠=︒的长为（ ）．A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，由在Rt △OHP 中，∠P=30°，OP=4，可求得OH 的长，由在Rt △O4H 中，OA=3，即可求得AH 的长，继而求得答案.【详解】解：如图：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，∵在Rt △OHP 中，∠P=30°，OP=4，∴ ∵在Rt △OAH 中，OA=3，∴故选．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.7. 已知二次函数的图象与轴交于和，其中，与轴交于正半轴上一点．下列说法正确的是（ ）A.B. C. D. 【答案】D AB 2122OH OP ==AH ===2AB AH ∴==C 2y ax bx c =++x ()1,0-()1,0x 112x <<y 0ac >0b <0a b c -+>0.50.250a b c ++<【解析】【分析】由题意可得抛物线的开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的图象与性质即可求解．【详解】解：由题意可知：抛物线的开口向下∴∵二次函数图象与y 轴交于正半轴上一点∴∴故A 错误；∵二次函数的图象与轴交于和∴对称轴为直线∵∴∴∴故B 错误；∵二次函数的图象与轴交于∴当时，即故C 错误；∵抛物线的开口向下，与轴交于和，∴当时，即利用不等式的性质可得：故D 正确；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象与性质．熟记相关结论，利用数形结合的思想是解题关1122x b x a -+=-=2y ax bx c =++a<0c >0ac <2y ax bx c =++x ()1,0-()1,0x 1122x b x a -+=-=112x <<111022x -+<<02b a->0b >2y ax bxc =++x ()1,0-=1x -0y =0a b c -+=x ()1,0-()1,0x 112x <<2x =0y <420a b c ++<0.50.250a b c ++<2y ax bx c =++键．8. 如图，A,B 是半径为1的⊙O 上两点，且OA ⊥OB. 点P 从A 出发，在⊙O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束. 设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，那么下面图象中可能表示y 与x 的函数关系的是A. ①B. ④C. ②或④D. ①或③【答案】D【解析】【分析】分两种情形讨论当点P 顺时针旋转时，图象是③，当点P 逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点P 顺时针旋转时，图象是③，当点P 逆时针旋转时，图象是①．故选D ．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9. 若二次函数的图象经过点，则___________．【答案】5【解析】【分析】把点代入，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴，解得：．故答案为：5【点睛】本题主要考查了二次函数的图象上点的特征，熟练掌握二次函数的图象上点的特征是解题的关键．23y x mx m =++-()0,2m =()0,223y x mx m =++-23y x mx m =++-()0,232m -=5m =10. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．【详解】解：由题意得：且解得：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握相关结论即可．11. 一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的圆心角度数为___________，此扇形的面积为___________．【答案】①. 40 ②. 【解析】【分析】根据弧长及扇形面积公式可进行求解．【详解】解：由弧长公式可得：，解得：；∴该扇形的面积为；故答案为，．【点睛】本题主要考查弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及扇形面积公式是解题的关键．12. 已知的半径为5，点到圆心的距离为8，那么点与的位置关系是___________．【答案】点在外【解析】【分析】根据点在圆上，点在圆外，点在圆内，即可得到答案．【详解】解：的半径为5，点到圆心的距离为8，，点与的位置关系是点在外，故答案为：点在外．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上，点在圆外，点在圆内是解()1130m m xx +-+-=x m 1-12m +=10m -≠1m =-1-43π︒4π463180n ππ=40n =︒24064360S ππ⨯⨯==404πO P O P O P O d r =d r >d r < O P O 85OP ∴=>∴P O P O P O d r =d r >d r <此题的关键．13. 对于二次函数，与的部分对应值如表所示，在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围___________．01211【答案】【解析】【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合与的值确定答案即可．【详解】解：由表格可得：二次函数过点，，二次函数的对称轴为直线，由表格可得：当时，随的增大而减小故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的对称轴．14. 如图，四边形内接于为直径，，若，则___________．【答案】55【解析】【分析】连接，由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：()20y ax bx c a =++≠y x x y x x x L3-2-L y L 2-2-7-L 1x >-x y ()20y ax bx c a =++≠()32--，()12-，∴3112x -+==-1x >-y x 1x >-ABCD ,O AB CDBC =110C ∠=︒B ∠=︒BD 90,70,35ADB A CBD CDB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒BD∵为的直径，∴，∵四边形内接于，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：55．【点睛】本题主要考查圆周角的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．15. 如图，分别是内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若的半径为2，下面四个结论中，①；②的长为；③点为的中点；④平分．其中所有正确结论的序号是___________．【答案】③④##④③【解析】【分析】设圆的圆心是，连接，，，，应用圆内接正多边形的性质、圆周角定理、弧长计算公式、等边三角形的判定与性质，逐项判断即可得到答案．【详解】解：如图，设圆的圆心是，连接，，，，AB O 90ADB =︒ABCD O 110C ∠=︒18070A C ∠=︒-∠=︒20ABD ∠=︒ CDBC =CD BC =()1180352CBD CDB C ∠=∠=⨯︒-∠=︒55ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒AB AC AD ，，O O 1AB = AC 2πB AD AC BAD ∠O OA OB OC OD O OA OB OC OD是圆内接正六边形的一边，的度数为，，，为等边三角形，的半径为2，，故①错误，不符合题意；是圆内接正方形一边，的度数为，，，故②说法错误，不符合题意；是圆内接等边三角形的一边，的度数为，，，，，，点为的中点，故③正确，符合题意；，，，，，的AB AB ∴3600166⨯︒=︒60AOB ∴∠=︒OA OB = AOB ∴ O 2AB OA ∴==AC AC ∴1360904⨯︒=︒90AOC ∴∠=︒ 90π2π180AC ⨯⨯==∴AD »AD ∴13601203⨯︒=︒120AOD ∴∠=︒60AOB ∠=︒ 1206060BOD AOD AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BOD AOB ∴∠=∠ AB BD∴=∴B AD 90AOC ∠=︒ 120AOD ∠=︒1209030COD AOD AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒60BOD ∠=︒ 603030BOC BOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，，，平分，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有③④，故答案为：③④．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．16. 如图，在中，，点是边上一点且绕点逆时针旋转得线段，点始终为的中点，若绕点旋转一周，则线段的最大值为___________此时旋转角___________．【答案】①.②. ##150度【解析】【分析】由含角的直角三角形的性质可得，取边上的中点，连接，，，为的中位线，得到，，由可得当、、在同一直线时，最大，，证明为等边三角形，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，从而即可得到的度数．【详解】解：在中，，，如图，取边上的中点，连接，，BOC COD ∴∠=∠ BCCD ∴=BAC CAD ∴∠=∠∴AC BAD ∠Rt ABC △90306ACB BAC BC ∠=︒∠=︒=，，D AC AD =AD A AD 'F BD 'AD A CF DAD '∠=︒6+6+150︒30︒12BC =AB E EF CE 162CE AB ==EF ABD '△12EF AD '==EF AD '∥EF CE CF +≥C E F CF 6CF CE EF =+=+CBE △60CEB ∠=︒180120BEF CEB ∠=︒-∠=︒120D AB BEF '∠=∠=︒DAD '∠ Rt ABC △90306ACB BAC BC ∠=︒∠=︒=，，212AB BC ∴==AB E EF CE，，始终为的中点，为的中位线，，，如图，当、、在同一直线时，最大，，，，，为中点，，为等边三角形，，，，，，162CEAB ∴== F BD 'EF ∴ABD '△12EF AD '∴==EF AD '∥EF CE CF +≥ ∴C E F CF 6CF CE EF =+=+30BAC ∠=︒ 9060ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒E AB CE BE ∴=CBE ∴ 60CEB ∴∠=︒180120BEF CEB ∴∠=︒-∠=︒A EF D ' ∥120D AB BEF '∴∠=∠=︒12030150D AD D AB BAC ''∴∠=∠+=︒+︒=︒故答案为：，．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．三、解答题（共12小题，满分68分，17-19，21-23每题5分，20，24-26每题6分，27，28每题7分）17. 解方程：【答案】【解析】【分析】根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：∵，，∴解得：【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．18. 已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为1，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）计算，证明即可解题；（2）利用韦达定理，结合解题．【小问1详解】证明：6+150︒2620x x -+=1233x x ==2620x x -+=1,6,2==-=a b c 2436828b ac ∆=-=-=x ==1233x x =+=22320x kx k -+=0k >1k =224b ac k ∆=-=0∆≥212123,2b c x x k x x k a a+=-=⋅==22121212)(4()x x x x x x +=--22320x kx k -+=21,3,2a b k c k ==-=2222498b ac k k k ∆=-=-=该方程总有两个实数根；【小问2详解】又【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．19. 如图，是直径，是弦，于点，若，求圆的半径．【答案】圆的半径为5【解析】【分析】连接，设的半径为，则，由垂径定理可得，由可得，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【详解】解：如图，连接，的20k ≥Q 0∴∆≥∴22320x kx k -+=21212121,3,2b c x x x x k x x k a a -=+=-=⋅==Q 22121212()()4x x x x x x -=+-Q 22981k k ∴-=1k ∴=±0k > 1k ∴=CD O AB AB CD ⊥E 28ED AB ==，OA O r OA OD r ==4AE =2DE =4=-OE r ()22242r r +-=OA，设的半径为，则，是的直径，是弦，于点，，，，，，在中，，即，解得：，圆的半径为5．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．20. 已知抛物线经过点和．…………（1）求抛物线解析式；（2）用五点法列表并画出函数图象；O r OA OD r == CD O AB AB CD ⊥E 8AB =142AE BE AB ∴===90AEO ∠=︒2DE = 2OE r ∴=-Rt AEO △222AE OE OA +=()22242r r +-==5r ∴()21y a x k =++()03-，()10，x y（3）当时，的取值范围是___________．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）将点和代入抛物线得到，求出、的值即可得到答案；（2）先列出表格，再描点、连线，即可得到答案；（3）先求出当时，，再根据图象即可得到答案．【小问1详解】解：抛物线经过点和，，解得：，抛物线解析式为：；【小问2详解】解：列表：…01……00…画出图象如图所示：的22x -<<y ()214y x =+-45y -≤<()03-，()10，()21y a x k =++340a k a k +=-⎧⎨+=⎩a k 2x =5y = ()21y a x k =++()03-，()10，340a k a k +=-⎧∴⎨+=⎩14a k =⎧⎨=-⎩∴()214y x =+-x 3-2-1-y 3-4-3-【小问3详解】解：当时，，由图象可得：当时，的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．21. 三帆中学计划在一块（单位：）的场地新修操场．如果操场由宽为1米的矩形步行道包围，如图，若内圈矩形周长是160米，设的长为米，则可用表示为___________米；根据实际情况的取值范围是___________；为了充分利用好操场，使操场面积最大，请给出一个合理的修建新操场的方案．【答案】，，当的长为米，的长为米时，操场面积最大．【解析】【分析】利用矩形的周长公式求得的长，再利用的矩形场地，列不等式组求得的取值范围，然后利用矩形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：设的长为米，则，由题意得，解得，2x =5y =22x -<<y 45y -≤<45y -≤<4060⨯m ABCD AB x AD x x 80x -2238x ≤≤AB 38AD 44AD 4060⨯x AB x 1602802x AD x -==-24080260x x +≤⎧⎨-+≤⎩2238x ≤≤设操场的面积为y ，则，∵，开口向下，当时，y 随x 的增大而增大，∴当时，y 有最大值，最大值为（平方米）．当的长为米，的长为米时，操场面积最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形得出矩形的边的长及二次函数的性质．22. 一次函数的图象经过点和．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若直线与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设一次函数的表达式为，然后利用待定系数法求解即可；（2）由题意可联立函数解析式，然后可得交点坐标为，进而问题可求解．【小问1详解】解：设一次函数的表达式为，由题意得：，解得：，∴一次函数的表达式为；【小问2详解】解：由题意可得：，解得：()()()22802401764y x x x =+-+=--+10-<40x <38x =()2384017641760y =--+=AB 38AD 44AD ()1,6()0,4y nx =n 24y x =+02n <<y kx b =+44,22n n n ⎛⎫⎪--⎝⎭y kx b =+64k b b +=⎧⎨=⎩24k b =⎧⎨=⎩24y x =+24y nx y x =⎧⎨=+⎩4242x n ny n ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∴直线与一次函数的图象的交点坐标为，∵该交点在第三象限，∴，解得：．【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．23. 下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，是半圆的圆心，点在的延长线上．求作：过点与半圆相切的直线．作法：①以为圆心，为半径作半圆，且半圆与半圆在直线同侧，交的延长线于点；②以为圆心，的长度为半径作弧，与半圆交于点；③作直线．则直线就是所作切线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，作于点．（①___________）（填推理的依据）．是的中点，是的中点，，且．是半圆的半径．又于，y nx =24y x =+44,22n n n ⎛⎫⎪--⎝⎭402402n n n ⎧<⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩02n <<O MN P OM P MN O OP PA PA MN PN A A MN PA B PB PB AB OC PB ⊥C PC BC ∴=C PB O PA OC AB ∴∥12OC AB OM ==OC ∴MN OC PB ⊥ C是半圆的切线．（②___________）（填推理的依据）．【答案】23. 见解析24. 垂径定理；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意，画出图形，即可；（2）连接，作于点．根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理，可得，且，从而得到是半圆的半径，即可．【小问1详解】解：根据题意，画出图形，如图所示：【小问2详解】证明：连接，作于点．（垂径定理）．是的中点，是的中点，，且．是半圆的半径．又于，是半圆的切线．（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）故答案为：垂径定理；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．24. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m ）与水平距离（单位：m ）近似满足函数关系．PB ∴MN AB OC PB ⊥C PC BC =OC AB ∥12OC AB OM ==OC MN AB OC PB ⊥C PC BC ∴=C PB O PA OC AB ∴∥12OC AB OM ==OC ∴MN OC PB ⊥ C PB ∴MN y x 2()(0)y a x h k a =-+<某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x /m 02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．【答案】（1）23.20 m ； （2）【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出和，然后进行比较即可．【小问1详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，∴，，即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m ，根据表格中的数据可知，当时，，代入得：，解得：，x y ()2(0)y a x h k a =-+<20.04(9)23.24.y x =--+2d 1d 2d ()20.05823.20y x =--+＜t 1d 2d ()8,23.208h =23.20k =0x =20.00y =()2823.20y a x =-+()220.000823.20a =-+0.05a =-∴函数关系关系式为：．【小问2详解】设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，第二次训练时，，解得：，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t 表示出和是解题的关键．25. 如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】()20.05823.20y x =--+t ()20.05823.20t x =--+8x =+8x =18d =+()20.04923.24t x =--+9x =9x =29d =()()2023.202523.24t t --＜12d d ＜＜t 1d 2d AB O C AB O BD AC D E OB CE BD F AF O H BH AC CD =2OB =BH BH =【分析】（1）连接，若要证明C 为的中点，只需证，已知C 是的中点，可知，又是切线，可知，问题得证（2）由（1）及E 为中点可知，从而可知，由勾股定理可得的长，由面积法即可求出的长【详解】证明：（1）连接，∵C 是的中点，是的直径∴，∵是切线∴，∴，∴，∵，∴．（2）∵E 是的中点∴，在和中∴∴，的OC AD OC BD ∥ AB OC AB ⊥BD BD AB ⊥OB COE FBE △≌△2BF CO BO ===AF BH OC AB AB O OC AB ⊥BD O BD AB ⊥OC BD ∥AO ACOB CD=AO BO =AC CD =OB OE BE =COE FBE CEO FEB OE BE COE FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AAS COE FBE ≌BF CO =∵，∴∴∵是直径，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，切线的性质，勾股定理的应用，熟练的利用以上知识解题是关键．26. 在平面直角坐标系中，为抛物线（是常数）上的两点．（1）求抛物线顶点坐标（用表示）；（2）若，求的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将一般式化为顶点式即可求解；（2）由可得，据此即可求解．【小问1详解】解：∴抛物线的顶点坐标为【小问2详解】解：由（1）可得：抛物线的开口向上，对称轴为直线∵∴即的2OB =2BF =AF ==AB BH AF ⊥AB BF BH AF ⋅===xOy ()()1221,,2,A m y B y -2222y x mx m =-+-m m 12y y >m (),2m -32m >12y y >212m m m -->-()222222y x mx m x m =-+-=--(),2m -x m =12y y >212m m m -->-12m m->-解得：【点睛】本题考查了将抛物线的一般式化为顶点式以及二次函数的增减性．熟记相关的结论，注意计算的准确性即可．27. 如图，在中，，点是边上一动点，连接．将绕点逆时针旋转，得到，满足，并连接．（1）如图1，求证：；（2）连接为中点，为中点，连接交于．①猜想的度数，并证明当时（如图2）你猜想的结论；②连接，若长的最小值．【答案】（1）见解析 （2）①【解析】【分析】（1）证即可；（2）①延长至点，使得，可证，故；根据全等三角形和等腰三角形的性质求出即可；②将逆时针旋转得到线段，连接，取的中点，的中点，连接，当点在边上运动时，可知点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹为线段；可推出当点与点重合时，有最小值，通过解直角三角形即可求解．【小问1详解】证明：∵∴32m >ABC ,120AB AC BAC =∠=︒D BC AD AD A AE DAE BAC ∠=∠CE BD CE =,BE F CD G BE FG AB H BHF ∠30CAD ∠=︒AG AB AC ==AG 120︒ABD ACE ≌△△BC R CR BD =GF ER ∥BFG R ∠=∠R ∠AC 120︒A I ,CI BI BC J BI K KJ D BC E CI G JK D J AG DAE BAC∠=∠BAD CAE∴∠=∠,AB AC AD AE== ABD ACE∴ ≌BD CE=【小问2详解】解：①，理由如下：延长至点，使得，如图所示：∵为中点，∴为中点∵为中点∴∵∵∴当时，证明过程不变②将逆时针旋转得到线段，连接，取的中点，的中点，连接，如图所示：120BHF ∠=︒BC R CR BD =F CD CR BD =F BR G BE GF ER∥,120AB AC BAC =∠=︒30ABC ACB ∴∠=∠=︒ABD ACE≌△△30,ACE ABD BD CE CR∠=∠=︒==60DCE R CER ACB ACE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒R CER ∠=∠Q 30R ∴∠=︒30BFG R ∴∠=∠=︒180120BHF ABC BFG ∴∠=︒-∠-∠=︒30CAD ∠=︒AC 120︒A I ,CI BI BC J BI K KJ当点在边上运动时，可知点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹为线段可知∵分别为的中点∴当点与点重合时，有，平分此时的值最小∵即：【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、中位线定理等知识点．解决第三问的关键是确定动点的运动轨迹．28. 在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形D BC E CI G JK BAC CAIV V ≌30ACB ACI ∴∠=∠=︒60BCI ∴∠=︒,K J ,BI BC KJ CI∥60BJK BCI ∴∠=∠=︒D J AD BC ⊥AD BAC∠90,60ADB BAD ∴∠=︒∠=︒30KDA ADB BJK ∴∠=∠-∠=︒90AGD ∴∠=︒AG 30AB ABD =∠=︒sin 30AD AB ∴=⨯︒=30AD ADG =∠=︒Q sin 30AG AD ∴=⨯︒=AG G M 1G 1MG G −−−→1G再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：．容易知道：若，则；若，则．已知在平面直角坐标系中，点．（1）如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称．（2）点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围；（3）点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围．【答案】（1）①②（2）点的横坐标的取值范围为或（3或【解析】【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案；（2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案；N 2G 12M NG G G −−−→−−→G 2G G M N ，2G 2M NG G −−−→，1M G G −−−→1M G G −−−→2M N G G −−−→，2N MG G −−−→，xOy ()()1110A B ，，，11101,0222S T R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，A AOB O S ，S T ，R ，R O ，P 1y x =+O PAB CD →，CD P Px Q 1OQ =AB H H O Q ，K x K K x P P x 312P x -≤≤-12P x =-13K x +≤≤11K x -≤≤A AOB ()1P P P x x +，O PAB CD →，C ()2123P P x x ++，()2122P P D x x ++，CD x CD y P x（3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案．【小问1详解】解：根据题意可得：点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②，故答案为：①②；【小问2详解】解：点在直线上，设点，点，线段后点的坐标为，，线段与坐标轴有公共点，当线段与轴有公共点时，，，解得：，当线段与轴有公共点时，，解得：，综上所述，点的横坐标的取值范围为或；【小问3详解】解：线段上存在点，，设点的坐标为，点，则，H ()1y ，()Q m n ，01y ≤≤1OQ =221+=m n H O Q，()212K m n y ++，K x 20n y +=n 221+=m n m A O S ，()10，AOB A S T ，()00，AOB A R ，()33，AOB A R O ，()01，AOB A AOB P 1y x =+∴()1P P P x x +， ()()1110AB ，，，∴O PAB CD →，C ()2123P P x x ++，()2122P P D x x ++， CD ∴CD x 230P x +≥220P x +≤312P x -≤≤-CD y 210P x +=12P x =-P P x 312P x -≤≤-12P x =- AB H ()()1110A B ，，，H ()1y ，()Q m n ，01y ≤≤，，即，点作对称后的对应为点，，点在轴上，，，，，，，，，，或或，点的横坐标或．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．1OQ =1=221+=m n H O Q ，K ()212K m n y ∴++， K x 20n y ∴+=2y n ∴=-01y ≤≤021n ∴≤-≤102n ∴-≤≤2104n ∴≤≤221m n += 21014m ∴≤-≤2314m ∴≤≤1m ≤≤1m -≤≤1213m +≤+≤1211m -≤+≤+∴K K x 13K x ≤≤11K x -≤≤。

北京初三初中数学中考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的相反数是（）A．B．C．D．2.据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约196 000箱，同比下降了32%．将196 000用科学记数法表示应为（）A．B．C．D．3.下列运算正确的是（）A．B．C．D．4.如图是一个几何体的直观图，则其主视图是（）A．B．C．D．5.甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是（）A．1B．C．D．6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）A．20°B．30°C．35°D．70°8.在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为（ ） A ．B ．C ．D ．.9.为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．6，4B ．6，6C ．4，4D ．4，610.如图，过半径为6的⊙O 上一点A 作⊙O 的切线，P 为⊙O 上的一个动点，作PH ⊥于点H ，连接PA ．如果PA=，AH=，那么下列图象中，能大致表示与的函数关系的是（ ）二、填空题1.如果分式有意义，那么的取值范围是 ．2.半径为4cm ，圆心角为60°的扇形的面积为 cm 2．3.分解因式：= ．4.如图，△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 在BC 边上，当 时，△ABD ≌△ACE ．（添加一个适当的条件即可）5.如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O 为横板AB 的中点，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB="2" m ，OC="0.5" m ，通过计算得到此时的h 1，再将横板AB 换成横板A′B′，O 为横板A′B′的中点，且A′B′=3m ，此时B′点的最大高度为h 2，由此得到h 1与h 2的大小关系是：h 1 h 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h 随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．6.如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是，如果点与原点的距离不小于20，那么的最小值是．三、计算题计算：．四、解答题1.如图，∠C=∠E，∠EAC=∠DAB，AB=AD．求证：BC=DE．2.从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时．3.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若是此方程的一个根，求实数m的值．4.如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．5.在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）补全扇形图；（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线路的日均客流量将达到万人次；（精确到0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）6.如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．7.阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且，，求的度数．小敏是这样解决问题的：如图1，把，放在正方形网格中，使得，，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得="∠ABC" =°．请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=，由此可得=______°．8.已知二次函数的图象经过，两点．（1）求对应的函数表达式；（2）将先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；（3）设，在（2）的条件下，如果在≤x≤a内存在某一个x的值，使得≤成立，利用函数图象直接写出a的取值范围．9.△ABC中，AB=AC．取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H．（1）如图1，如果，那么 °，；（2）如图2，如果，猜想的度数和的值，并证明你的结论；（3）如果，那么．（用含的表达式表示）10.给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为，则点和射线OA之间的距离为________，点和射线OA之间的距离为________；（2）如果直线和双曲线之间的距离为，那么k= ；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O逆时针旋转60°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离．北京初三初中数学中考模拟答案及解析一、选择题1.的相反数是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】的相反数是．故选B．【考点】相反数．2.据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约196 000箱，同比下降了32%．将196 000用科学记数法表示应为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】将196 000用科学记数法表示为：．故选A．【考点】科学记数法—表示较大的数．3.下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】A．不是同类项，不能合并，故本选项错误；B．不是同类项，不能合并，故本选项错误；C．，故本选项正确；D．，故本选项错误．故选C．【考点】1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．幂的乘方与积的乘方．4.如图是一个几何体的直观图，则其主视图是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】从正面看下面是一个矩形，矩形上面是一个梯形，梯形下底比矩形的长要短些，故C符合题意，故选C．【考点】简单组合体的三视图．5.甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】∵设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，∴甲抽到1号跑道的概率是：．故选D．【考点】概率公式．6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A．既是轴对称图形，也是中心对称图形；B．是轴对称图形，不是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．不是轴对称图形，是中心对称图形；故选A．【考点】1．中心对称图形；2．轴对称图形．7.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）A．20°B．30°C．35°D．70°【答案】C【解析】∵弦CD⊥直径AB，∴，∴∠BAD=∠BOC=×70°=35°．故选C．【考点】1．圆周角定理；2．垂径定理．8.在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为（）A．B．C．D．.【答案】A【解析】在RT△OPD中，过P作PD⊥x轴于D，则PD=3，∴OD==4，∴P（4，3），∴代入反比例函数得，，解得k=12，∴反比例函数的解析式为，故选A．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．9.为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是（）A．6，4B．6，6C．4，4D．4，6【答案】B【解析】出现最多的是6小时，则众数为6；按大小顺序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6．故选B．【考点】1．众数；2．条形统计图；3．中位数．10.如图，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线，P为⊙O上的一个动点，作PH⊥于点H，连接PA．如果PA=，AH=，那么下列图象中，能大致表示与的函数关系的是（）【答案】C．【解析】作直径AB，连接BP．∵l是切线，∴∠PAH=∠B，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∵PH⊥AH，∴∠BPA=∠AHP，∴△APB∽△PHA，∴AB：AP=PA：PH，∴12：x=x：，∴，观察图象，只有C符合，故选C．【考点】1．动点问题；2．函数的图象．二、填空题1.如果分式有意义，那么的取值范围是．【答案】【解析】分式有意义，得：．解得，故答案为：．【考点】分式有意义的条件．2.半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为 cm2．【答案】【解析】由题意得：==，故答案为：．【考点】扇形面积的计算．3.分解因式：= ．【答案】．【解析】==．故答案为：．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．4.如图，△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 在BC 边上，当 时，△ABD ≌△ACE ．（添加一个适当的条件即可）【答案】BD=CE （不唯一：∠BAD=∠CAE ，∠ADB=∠AEC ，BE=CD ，∠BAE=∠CAD ，∠ADE=∠AED ，AE=AD ）．【解析】BD=CE ，理由是：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△ABD 和△ACE 中，∵AB=AC ，∠B=∠C ，BD=CE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），故答案为：BD=CE （不唯一：∠BAD=∠CAE ，∠ADB=∠AEC ，BE=CD ，∠BAE=∠CAD ，∠ADE=∠AED ，AE=AD ）． 【考点】1．全等三角形的判定；2．开放型．5.如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O 为横板AB 的中点，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB="2" m ，OC="0.5" m ，通过计算得到此时的h 1，再将横板AB 换成横板A′B′，O 为横板A′B′的中点，且A′B′=3m ，此时B′点的最大高度为h 2，由此得到h 1与h 2的大小关系是：h 1 h 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h 随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．【答案】=，不变．【解析】过点B 作BD ⊥AD ，B′D′⊥A′B′，∵OC 是△ABD 与△A′B′D′的中位线，∴BD=B′D′=OC ，即h 1=h 2，故答案为：=，不变．【考点】三角形中位线定理．6.如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ，如果点与原点的距离不小于20，那么的最小值是 ．【答案】7，13．【解析】第一次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，则A 1表示的数，1﹣3=﹣2﹣2； 第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，则A 2表示的数为﹣2+6=4； 第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，则A 3表示的数为4﹣9=﹣5； 第4次从点A 3向右移动12个单位长度至点A 4，则A 4表示的数为﹣5+12=7； 第5次从点A 4向左移动15个单位长度至点A 5，则A 5表示的数为7﹣15=﹣8； …；则A 7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A 9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A 11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A 13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A 6表示的数为7+3=10，A 8表示的数为10+3=13，A 10表示的数为13+3=16，A 12表示的数为16+3=19， 所以点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是13． 故答案为：7，13．【考点】1．规律型：数字的变化类；2．数轴．三、计算题计算：．【答案】3【解析】本题涉及二次根式化简、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：原式===3．【考点】1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．四、解答题1.如图，∠C=∠E，∠EAC=∠DAB，AB=AD．求证：BC=DE．【答案】证明见试题解析．【解析】由∠EAC=∠DAB，得到∠BAC=∠DAE．即可证明△ABC≌△ADE，从而有BC=DE．试题解析：证明：如图1．∵∠EAC=∠DAB，∴∠EAC+∠1=∠DAB+∠1，即∠BAC=∠DAE．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE，∴BC=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．2.从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时．【答案】300．【解析】设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时，列出分式方程，然后求解即可．试题解析：设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：．解得．经检验，是原方程的解，且符合题意．所以．答：高铁的平均速度是300千米/时．【考点】分式方程的应用．3.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若是此方程的一个根，求实数m的值．【答案】（1）证明见试题解析；（2），．【解析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）先把代入方程，然后解关于m的一元二次方程，即可求出m的值．试题解析：（1）证明：，∵≥0，∴＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵是此方程的一个根，∴，整理得，解得，．【考点】1．根的判别式；2．一元二次方程的解．4.如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）9.6．【解析】（1）由平行四边形的判定定理：两组对边分别平行得到结论；（2）由角平分线、等量代换得到角相等，由等角对等边得到BD=AB=5，根据勾股定理列方程求解．试题解析：（1）证明：∵∠ADE=∠BAD，∴AB∥ED，∵BD垂直平分AC，垂足为F，∴BD⊥AC，AF=FC，又∵AE⊥AC，∴∠EAC=∠DFC=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：如图2，连接BE交AD于点O．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠1，又∵∠ADE=∠BAD，∴∠1=∠BAD，∴AB=BD，∴平行四边形ABDE是菱形，∵AB=5，AD=6，∴BD=AB=5，AD⊥BE，OA=AD=3．在Rt△OAB中，OB=．∵，∴6×4=5AF．解得AF=4.8．∵BD垂直平分AC，∴AC=2AF=9.6．【考点】1．菱形的判定与性质；2．勾股定理；3．平行四边形的判定．5.在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）补全扇形图；（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线路的日均客流量将达到万人次；（精确到0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）【答案】（1）作图见试题解析；（2）2号线，52＜x≤72，22.2；（3）30．【解析】（1）利用1减去其它组的百分比，即可求得每周乘地铁1﹣2次的所占的百分比；（2）根据调整后部分路线的客流量及变化率即可直接求得；（3）根据15.9公里确定调整后的票价，即可求解．试题解析：（1）每周乘地铁1﹣2次的所占的百分比是：1﹣29.7%﹣12.1%﹣9.0%﹣12.2%=27%；；（2）调价后客流量下降百分比最高的线路是2号线，调价后里程x（千米）在52＜x≤72范围内的客流量下降最明显，增长率最高的线路是15号线，预计2016年1月这条线路的日均客流量将达到：17.3×（1+28.15%）≈22.2（万人）；故答案为：2号线，52＜x≤72，22.2；（3）调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出：5×2×（5﹣2）=30（元），故答案为：30．【考点】1．条形统计图；2．扇形统计图．6.如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．【答案】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】（1）连结两条线段即可；（2）连结BC、CD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则BC⊥AC，再根据轴对称的性质得到MD平分∠EMC，于是根据角平分线的性质得BC=BE，所以可判断点C与点E关于直线MD对称，得到△BCD≌△BED，则∠BCD=∠BED，再由圆周角定理得∠BCD=∠BAD，于是得到∠BAD=∠BED．试题解析：（1）如图，（2）∠BAD=∠BED．理由如下：连结BC、CD，如图，∴AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵直线l与MA所在直线关于直线MD对称，∴MD平分∠EMC，∴BC=BE，∴点C与点E关于直线MD对称，∴△BCD≌△BED，∴∠BCD=∠BED，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BAD=∠BED．【考点】1．圆周角定理；2．轴对称的性质；3．解直角三角形．7.阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且，，求的度数．小敏是这样解决问题的：如图1，把，放在正方形网格中，使得，，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得="∠ABC" =°．请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=，由此可得=______°．【答案】45，45．【解析】（1）证明△ABC时等腰直角三角形即可得到结论；（2）构造图形如图，可证△MON为等腰直角三角形，即可得到结论．试题解析：解：（1）45；（2）画图见图6．=45°．【考点】1．锐角三角函数的定义；2．作图题．8.已知二次函数的图象经过，两点．（1）求对应的函数表达式；（2）将先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；（3）设，在（2）的条件下，如果在≤x≤a内存在某一个x的值，使得≤成立，利用函数图象直接写出a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据抛物线平移的规律：向左平移加，向上平移加，可得答案；（3）根据函数与不等式的关系，可得答案．试题解析：解：（1）∵二次函数的图象经过，两点，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）∵，∴抛物线的顶点为，∴平移后抛物线的顶点为，它对应的函数表达式为；（3）（见图）．【考点】1．二次函数与不等式（组）；2．二次函数图象与几何变换；3．待定系数法求二次函数解析式．9.△ABC中，AB=AC．取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H．（1）如图1，如果，那么 °，；（2）如图2，如果，猜想的度数和的值，并证明你的结论；（3）如果，那么．（用含的表达式表示）【答案】（1）90，；（2），；（3）．【解析】（1）连结AD，由AB=AC，∠BAC=90°，得到△ABC为等腰直角三角形，设DF=x，则FE=x，EC=AE=2x，AB=AC=4x，由AB：AE=4x：2x=2：1，AE：EF=2x：x=2：1，得到AB：AE=AE：EF，因为∠BAE=∠AEF=90°，故△ABE∽△EAF，从而有∠ABE=∠EAF，，由∠EAF+∠BAF=90°，得到∠ABH+∠BAF=90°，进而得出结论；（2）结论：∠AHB=90°，．连接AD．证明△ADF∽△BCE即可；（3）如图，由△DEC∽△AED得到：DE：AD=EC：DC，由DE=2DF，BC=2DC，得到DF：AD=EC：BC，由∠1=∠C，可得△ADF∽△BCE，即可得到：AF：BE=AD：BC=AD：2DC=．试题解析：解：（1）连结AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，AD⊥BC，∴∠C=45°，∴DE=EC，设DF=x，则FE=x，EC=AE=2x，AB=AC=4x，∴AB：AE=4x：2x=2：1，AE：EF=2x：x=2：1，∴AB：AE=AE：EF，∵∠BAE=∠AEF=90°，∴△ABE∽△EAF，∴∠ABE=∠EAF，，∵∠EAF+∠BAF=90°，∴∠ABH+∠BAF=90°，∴∠AHB=90°，故答案为：90，；（2）结论：∠AHB=90°，．证明：如图，连接AD．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠1+∠2=90°，又∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠2+∠C=90°，∴∠1=∠C=60°，设AB=BC=k（），则，，∵F为DE的中点，∴，，∴，，∴，又∵∠1=∠C，∴△ADF∽△BCE，∴，∠3=∠4．又∵∠4+∠5=90°，∠5=∠6，∴∠3+∠6=90°，∴∠AHB=90°；（3）．【考点】1．等边三角形的性质；2．相似三角形的判定与性质．10.给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为，则点和射线OA之间的距离为________，点和射线OA之间的距离为________；（2）如果直线和双曲线之间的距离为，那么k= ；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O逆时针旋转60°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离．【答案】（1）3，；（2）－1；（3）①图形见试题解析；②．【解析】（1）根据两个图形G1和G2之间的距离的定义即可得到结论；（2）由于两个图形间的距离为，故把直线向上平移2个单位得到直线，则方程有两个相等的实数根，即可解出k的值；（3）①根据题意画出图形即可；②图形W和图形N之间的距离为与的交点到坐标原点的距离，交点为（，），故可得到距离．试题解析：（1）3，；（2）-1；（3）①如图，过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，则图形M为：y轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．说明：（画图2分，描述1分）（图形M也可描述为：y轴正半轴，直线下方与直线下方重叠的部分（含边界））②．【考点】1．新定义；2．代数综合题．。