数字信号处理
数字滤波器的设计
学院计算机与电子信息学院
专业电子信息科学与技术班级电子15-2 班
学号
指导教师利民
数字滤波器的设计
一、模拟低通滤波器的设计方法
1、Butterworth 滤波器设计步骤： ⑴.确定阶次N
① 已知Ωc 、Ωs 和As 求Butterworth DF 阶数N
② 已知Ωc 、Ωs 和Ω=Ωp(3dB p Ω≠-)的衰减Ap 求Butterworth DF 阶数N
③ 已知Ωp 、Ωs 和Ω=Ωp 的衰减Ap 和As 求Butterworth DF 阶数N
/10
/1022(/)101,(/)101p s A A N N p c s c ΩΩ=-ΩΩ=
-则：
⑵.用阶次N 确定 ()a H s
根据公式：
1,2,2N
()()a a H s H s -在左半平面的极点即为()a H s 的极点，因而
2,,N
2、切比雪夫低通滤波器设计步骤：
⑴.确定技术指标p Ω p α s Ω s α
归一化： /1p p p λ=ΩΩ= /
s s p λ=ΩΩ ⑵.根据技术指标求出滤波器阶数N 及ε：
0.12
10
1δε=- p δα= ⑶.求出归一化系统函数 其中极点由下式求出：
或者由N 和S 直接查表得()a H p
二、数字低通滤波器的设计步骤：
1、 确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p
ω、通带最大衰减系数
p
α、
阻带截止频率ω、阻带最小衰减系数s α。
2、 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
巴特沃斯：
切比雪夫：/s
s p λ=ΩΩ 0.12101δε=- p δα=
3、把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数)(S H 映射成数字滤波器的系统函数)(z H 。
实现系统传递函数s 域至z 域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。 （1）脉冲响应不变法。
按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数()
s H a 转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。
设模拟滤波器的传输函数为
()
s H a ，相应的单位冲激响应是
()
t h a ，
()s H a =LT[
()
t h a ]，LT[.]代表拉氏变换，对
()
t h a 进行等间隔采样，采样间隔为T ，
得到
()
nT h a ，将h(n)=
()
nT h a 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波
器的系统函数H(z)便是h(n)的Z 变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于
()
t h a 。
设模拟滤波器()
s H a 只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，
将
()
s H a 用部分分式表示：
()∑
=-=N
i i
i
a s s A s H 1
，式中i s 为()s H a 的单阶极点。
将
()
s H a 逆拉氏变换得到
()
t h a ：
())
(1
t u e A t h t s N
i i a i ∑== ，式中u(t)是单位阶跃函数。
对
()
t h a 进行等间隔采样，采样间隔为T,得到： ())
()(1nT u e A nT h n h nT s N
i i a i ∑===
对上式进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：
()∑
=--=N
i T s i
z e
A z H i 11
1 ， 经过一系列变换得到：
)
(1)(s k
a
e z jk s H
T
z H sT Ω-=
∑=
（2）双线性变换法
这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率围压缩到±π/T
之间，再用sT
e z =转换到z 平面上。设Ha （s ），s=j Ω，经过非线性频率压缩后
用Ha （s1），1s =j Ω1表示，这里用正切变换实现频率压缩：
()T T 15.0tan 2
Ω=
Ω
式中T 仍是采样间隔，当Ω1从-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s 平面上整个虚轴完全压缩到1s 平面上虚轴的±π/T 之间的转换。这样便有
()t s T
s z z T T th T s 111125.021--+-=
Ω= 再通过sT
e z = 转换到z 平面上，得到：
11112--+-=
z z T s
s T s T
z -+=22
令ω
j e z j s =Ω=, ，有
ωω
j j e e T j --+-=
Ω112
ω21tan 2T =Ω
