沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.1 放缩与相似形 教案

相关资料相似图形教学目标：1、了解形状相同的图形是相似的图形，能在诸多图形中能找出相似图形；2、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念。

【教学过程】一、创设问题情境，引入新课1、电影中的画面是由放映机把底片上的画面经过放大后投射到屏幕上的，底片上的画面与屏幕上的画面形状是否相同？2、同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物形状改变了吗？到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，本节课我们就来研究形状相同的图形.二、小组合作解决问题：1. 观察图形找特点上面几幅图形有何特点？（每一组图形中的两个图形的形状相同）2、找形状相同的图形在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形问题：什么叫相似图形？3、（1）度量放大镜中的三角形和原三角形的对应的边和角，你 发现了什么？（2）放大镜下的图像与原来的图形形状相同吗？它们相似吗？问题：什么叫相似三角形？4、具备怎样的条件才是相似三角形？5、相似三角形有哪些性质？6、什么叫相似多边形？7、如图 D 、E 、F 分别是△A B C 三边的中点。

△D E F 与△A B C 相似吗？为什么？8、如图，△DEF ∽△ABC ，求∠E 和∠D 的大小以及 DF 的长AD8 75B1045 3、如图，判断下面两个三角形是否相似，简单说明理由；若相似，写出相似三角形对应边的比例式，求出相似比 k ．6 45 F80 5 6.75 40D2780 F203260B CE三、教师点拨： ①定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做相似比．A 'AB C B ' C '如图,在△A B C 和△ A 'B 'C ' 中,∠A =∠A ’,∠B =∠B ’,∠C =∠C ’ AB = A ' B ' BC = B 'C ' AC A 'C '= k ，则△A B C 与△ A 'B 'C ' 相似， ②相似用符号“∽”表示，记作：△A B C ∽△ A 'B 'C ' ，读作：△ABC 相似于△ A 'B 'C ' ；对应边的比如做相似三角形的相似比 AB A ' B ' 叫做相似比，即k 的值叫 ③记两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对 应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．④相似三角形的相似比是有顺序的．如：△A B C ∽△ A 'B 'C ' ，它们的相似比是 AB = A ' B ' BC = B 'C ' AC A 'C ' = k ， 如果写成△ A 'B 'C ' ∽△A B C ，它们的相似比为 A ' B ' = B 'C ' = A 'C ' = k ' ， 因此k = 1 k ' AB BC AC⑤当相似比为 1 时，两个三角形不仅形状相同，而且大小也 相同，这样的三角形叫全等三角形．全等三角形是相似三角形的特例． ⑥相似三角形具有传递性，若ABC ~ A 1B 1C 1 , A 1B 1C 1 ~ A 2 B 2C 2 ，那么ABC ~ A 2 B 2 C 2 。

沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计一. 教材分析《放缩与相似形》是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要内容包括相似形的定义、性质及判定，以及相似形的应用。

本节内容在学生的数学知识体系中起到承上启下的作用，为后续学习相似三角形的性质和应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象力。

但学生在学习过程中，对于抽象的概念和理论的理解仍有困难，需要通过具体的例子和动手操作来加深理解。

三. 教学目标1.了解相似形的定义和性质，能判断两个图形是否相似。

2.掌握相似形的判定方法，能运用相似形解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.相似形的定义和性质的理解。

2.相似形的判定方法的掌握。

3.相似形在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究相似形的定义和性质。

2.利用几何画板软件，动态展示相似形的变换，增强学生的直观感受。

3.通过例题和练习题，巩固学生对相似形的理解和应用。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和几何画板软件。

2.准备相关的例题和练习题。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际生活中的相似图形，如眼镜、放大镜等，引导学生思考：这些图形有什么共同特点？从而引出相似形的概念。

2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，动态展示相似形的变换，让学生直观地感受相似形的性质。

同时，引导学生总结相似形的性质，如对应边的比例关系、对应角的相等关系等。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和操作，判断给出的图形是否相似。

在此过程中，引导学生运用相似形的性质进行判断，并总结相似形的判定方法。

4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用相似形的相关知识。

如：已知一个矩形的长和宽，如何求其放大或缩小后的矩形的面积？5.拓展（5分钟）引导学生思考：相似形在现实生活中的应用有哪些？如何利用相似形解决实际问题？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的主要内容和知识点，形成知识体系。

沪科版数学九年级上册《相似形》教学设计1一. 教材分析《相似形》是沪科版数学九年级上册的一章内容，主要介绍了相似形的定义、性质和判定方法。

本章内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习函数、解析几何等数学分支奠定了基础。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握相似形的知识，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和操作有一定的基础。

但是，学生对于抽象的相似形概念和性质的理解还较为困难，需要通过大量的实例和练习来加深理解。

此外，学生的学习兴趣和动机对于数学学习非常重要，需要通过有趣的教学活动和实际应用来激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.了解相似形的定义和性质，能够运用相似形的知识解决实际问题。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.相似形的定义和性质的理解。

2.相似形的判定方法的掌握。

3.相似形在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题和引导学生思考，激发学生的学习兴趣和动机。

2.通过多媒体教学和实物模型的展示，帮助学生直观地理解相似形的概念和性质。

3.提供丰富的练习题和实际问题，让学生通过动手动脑的方式，加深对相似形的理解和应用。

4.采用小组合作和讨论的方式，培养学生的合作精神和沟通能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.实物模型和图片。

3.练习题和实际问题。

4.教学课件和教学计划。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考：“什么是相似形？”引起学生对相似形的兴趣和好奇心。

2.呈现（10分钟）通过多媒体展示实物模型和图片，引导学生观察和描述相似形的特征。

同时，给出相似形的定义和性质，让学生初步理解相似形的概念。

3.操练（15分钟）提供一组实际的例子，让学生通过动手画图和推理，验证相似形的性质。

同时，引导学生运用相似形的知识解决实际问题，加深对相似形应用的理解。

沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计一. 教材分析《放缩与相似形》是沪教版数学九年级上册第24.1节的内容，主要包括相似形的定义、性质及判定，以及相似形的应用。

本节内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习相似三角形、相似多边形等知识打下基础。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握相似形的概念和性质，培养学生的几何思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，具备一定的逻辑思维和分析问题的能力。

但学生在学习相似形时，可能会对相似形的定义和性质理解不深，难以运用相似形解决实际问题。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解相似形的本质，并通过适量练习，提高学生运用相似形解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似形的定义、性质及判定方法，能运用相似形解决简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生几何思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：相似形的定义、性质及判定方法。

2.难点：相似形的应用，特别是在解决实际问题时，如何正确运用相似形。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识相似形，激发学生学习兴趣。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师提问引导学生思考，激发学生思维。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生团队合作精神，提高学生解决问题的能力。

4.实践操作法：通过动手操作，使学生加深对相似形的理解和应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似形的图片和实例。

2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：准备尺子、三角板等教具，便于学生实践操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的相似形图片，如人民币、手机等，引导学生认识相似形。

《放缩与相似形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对放缩与相似形概念的理解，通过实际操作加深对放缩变换和相似形性质的认识，并能够运用所学知识解决实际问题。

二、作业内容本作业包括以下几个部分：1. 理论复习：回顾放缩与相似形的基本概念、性质和定理。

2. 课堂练习：完成一系列与放缩和相似形相关的练习题，包括选择题、填空题和解答题。

3. 实践操作：学生需自行寻找生活中的实例，分析其是否符合放缩或相似形的特点，并绘制简图进行说明。

4. 拓展探究：设计一个与放缩或相似形有关的实际问题，并尝试用所学知识解决。

三、作业要求1. 理论复习：要求学生全面复习放缩与相似形的知识点，确保理解透彻。

2. 课堂练习：练习题需独立完成，不得抄袭他人答案。

遇到难题时，可与同学交流讨论，但需注明思路来源。

3. 实践操作：寻找的实例需具有代表性，能够真实反映放缩或相似形的特点。

简图需清晰明了，能够准确表达实例的特点。

4. 拓展探究：设计的问题需具有实际意义，解决方案需合理且符合数学原理。

鼓励创新思考，提出多种解决方案。

四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况，对理论知识掌握程度、课堂练习的正确率、实践操作的代表性以及拓展探究的创新性进行综合评价。

2. 对于优秀作业，将在课堂上进行展示，并给予表扬和鼓励。

3. 对于存在问题的作业，教师将进行个别指导，帮助学生找出问题所在，并加以改正。

五、作业反馈1. 教师将在课堂上收集学生作业，对每份作业进行认真批改，并给出详细的评语和建议。

2. 对于学生在作业中普遍存在的问题，教师将在课堂上进行集中讲解，确保学生能够理解并改正错误。

3. 鼓励学生之间互相交流作业心得，互相学习，共同进步。

4. 作业反馈将作为学生学习成果的一部分，纳入平时成绩的评定。

通过以上就是“初中数学课程《放缩与相似形》作业设计方案（第一课时）”的部分内容。

这样的作业设计，既考虑了学生对知识点的掌握情况，又通过实践操作和拓展探究的方式，锻炼了学生的实际运用能力和创新思维。

24.5 相似三角形的性质（第1课时）
定理有几条？它们的具体内容又是怎样？
：相似三角形可看作是一个三角形放大得到的，
中线、角平分线＂是否会随三角形的放
相似比为那么相似三角形的对应高的比、对应中线的比、
明猜想：如何利用已学的知识来证明猜想的结论？
他的由学生独立完成．
：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似
：已知中，
.
∽的相似比为，则它们对应中线的比为
⑵已知两个相似三角形对应高的比是
的角平分线，且。

第二十四章相似三角形教案（全章）【学习目标】（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念；（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方；（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；（4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5）理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律.【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以.2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是:1.由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置.2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC.基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB. 要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； （2）平行线分线段成比例没有逆定理；（3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.A 型 X 型 常用的比例式：,,AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC===.（4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 要点诠释：（1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍； （2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、黄金分割 1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC 2＝AB·BC)，C 点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 ①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB 的黄金分割点C.分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则AC 2＝AB·CB，设AB ＝，AC ＝x ，那么 CB ＝－x ， 由AC 2＝AB·CB，得：x 2＝·(－x) ＝0， 根据求根公式，得：x ＝整理后，得：x 2＋x － ∴(不合题意，舍去)即AC＝5-12AB≈0.618AB，则C点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB，求作：线段AB的黄金分割点C.作法：如图：(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB.(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB.(3)在AB上截取AC＝AE.则点C就是所求的黄金分割点.证明：∵AC＝AE＝AD－AB而AD＝∴AC＝∴C点是线段AB的黄金分割点.要点诠释：①一条线段有两个黄金分割点.②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名天文学家开普勒 (Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学.要点三、相似三角形1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.(3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比.(4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方．2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF ∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF.（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.（4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似. （5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识. 要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点四、实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn 的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3.用向量方法解决平面几何问题 （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【典型例题】 类型一、比例线段例题1.已知线段a 、b 、c 满足a ：b ：c=3：2：6，且a+2b+c=26． （1）求a 、b 、c 的值；（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值． 【答案与解析】 解：（1）∵a ：b ：c=3：2：6， ∴设a=3k ，b=2k ，c=6k ， 又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2， ∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x 是a 、b 的比例中项， ∴x 2=ab ， ∴x 2=4×6，∴x=2或x=﹣2（舍去）， 即x 的值为．举一反三： 【变式】已知：，求的值.【答案】根据等比性质：由 得.例题2．如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求.【答案与解析】分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)在□ABCD中,AD BC,∵E为AB中点，∴AE=BE，∵AD//BC，∴∠AFE=∠H.在△AEF和△BEH中：∴△AEF≌△BEH(AAS)∴AF=BH，∵，设AF=k, 则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K，∵AD//BC，即AF//HC.∴∴【总结】欲求GCAG,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形.此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M.或取AC中点N,连结EN.请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出.举一反三：【变式】如图，在BE AD ABC ,中，∆是两条中线，则=∆∆ABC EDC S S :（ ）A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4【答案】由题意可知，ED 为ABC ∆的中位线，则△CED ∽△CAB ，∴=∆∆ABC EDC S S :4:1)21()(22==AB ED ，故选D ．类型二、相似三角形例题3．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D 是BC 上一点，BD=8，DE ⊥AB ，垂足为E ，求线段DE 的长．【思路点拨】根据相似三角形的判定与性质，可得答案． 【答案与解析】解：∵DE ⊥AB ， ∴∠BED=90°， 又∠C=90°， ∴∠BED=∠C ． 又∠B=∠B ，∴△BED ∽△BCA ， ∴=，∴DE===4举一反三：【变式】如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FC B '与△B 'DG 的面积之比为（ ）A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【答案】D.设CF=x，则BF=3-x，由折叠得B'F=BF=3-x,在Rt△FC B'中，由由勾股定理得CF2+C B'2=F B'2，x2+12=(3-x)2,解得x=43,由已知可证Rt△FC B'∽Rt△B'DG，所以S△FC B'与S△B'DG的面积比为（43：1）2=169.类型三、实数与向量相乘例题4．已知下列命题：①；②；③；④其中正确命题序号是___________.【答案】②、④.【解析】掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.【总结升华】应用向量的运算性质.类型四、向量的线性运算例题5．如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC．（1）求证：FG∥AB；（2）设=，=，请用向量、表示．【答案与解析】（1）证明：∵AD=DE=EB，∴==，∵DF ∥BC ，EG ∥AC ， ∴==，， ∴， ∴FG ∥AB ；（2）解：∵DF ∥BC ，FG ∥AB ， ∴，，∴FG=AB ， ∵与同向， ∴=， ∵=，=， ∴=﹣， ∴=．类型五、相似与其它知识综合问题例题6．如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC=a 、AC=b 、AB=c.（1）求线段BG 的长；（2）求证：DG 平分∠EDF ； （3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG ⊥CG.【答案与解析】（1）∵D 、C 、F 分别是△ABC 三边中点，∴DE ∥21AB,DF ∥21AC ， 又∵△BDG 与四边形ACDG 周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG.∴BG=AC+AG ，∵BG=AB －AG ，∴BG=2AC AB +=2c b +， （2）证明：BG=2c b +，FG=BG －BF=2c b +－22b c =， ∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD ，又∵DE ∥AB ，∴∠EDG=∠FGD ，∠FDG=∠EDG ，∴DG 平分∠EDF ，（3）在△DFG 中，∠FDG=∠FGD, △DFG 是等腰三角形,∵△BDG 与△DFG 相似,∴△BDG 是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,则CD= BD=DG,∴B 、CG 、三点共圆,∴∠BGC=90°,∴BG ⊥CG.【总结】这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC 的边长，由三角形中位线性质知c DE b DF 21,21==，根据△BDG 与四边形ACDG 周长相等，可得2c b BG +=.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD ，即可证明.举一反三：【变式】如图，在口ABCD 中，ABC ∠的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ．（1）求证：AB AF =；（2）当35AB BC ==，时，求AE AC的值．【答案】（1）如图，在口ABCD 中，//AD BC ，∴23∠=∠．∵BF 是ABC ∠的平分线， ∴12∠=∠．∴13∠=∠． ∴AB AF =．（2）23AEF CEB ∠=∠∠=∠，， ∴△AEF ∽△CEB ， ∴35AE AF EC BC ==， ∴38AE AC =．。