中考数学总复习：第17课时解直角三角形课件

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命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
基础自主导学
规律方法探究
17
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
基础自主导学
规律方法探究
变式训练如图,某施工单位为测得某河段的宽度,测量员先在河 对岸岸边取一点A,再在河这边沿河边取两点B,C,在点B处测得点A 在北偏东30°方向上,在点C处测得点A在西北方向上,量得BC长为 200 m,请你求出该河段的宽度.(结果保留根号)
第17课时 解直角三角形
考点梳理 自主测试
基础自主导学
规律方法探究
考点一 锐角三角函数定义
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为 a,b,c.
2
考点梳理 自主测试
基础自主导学
规律方法探究
考点二 特殊角的三角函数值
3
考点梳理 自主测试
基础自主导学
规律方法探究
考点三 解直角三角形
基础自主导学
规律方法探究
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命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
基础自主导学
规律方法探究
命题点2 特殊角的三角函数值
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命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
基础自主导学
规律方法探究
命题点3 解直角三角形
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命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
基础自主导学
规律方法探究
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命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
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考点梳理 自主测试
基础自主导学
规律方法探究
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,则 下列结论 正确的
是( )
答案:D
2.在正方形网格中,△ABC的位置如图,则 cos B的值为 ( )

∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，

活动1 创设情境，引入新知
问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与 地面所成的角α一般要满足50°＜α＜75°，如图现有一个长6m的梯子， 问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少 （精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解：（1）由 sin A BC AB
得 BC AB • sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin 75 0.97 ，所以BC 6 0.97 5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
分析：对于问题（12），当梯子与底地端面距所离成墙的 面角2α.4为m7时5°，时求，梯梯子子与顶地端面与所地成面的的角距α离的是问使题用，这可个 以梯归子结所为能：攀在到R的t△最A大B高C中度，。已问知题A（C1=）2.可4，以斜归边结为： A在BR=t6△，A求BC锐中角，α已的知度∠数A。=75°，斜边AB=6，求 ∠A的对边BC的长。
解：（2）由于cos AC 2.4 0.4 ，
AB 6
利用计算器求得 66 因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66° 由 50 66 75 可知，这时使用这个梯子是安全的。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
活动2 探究思考，理论提升
AC 2
A 60
B 90 A 90 60 30 AB 2AC 2 2
点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口。
知识回顾 问题探究 课堂小结

余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。

经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。

整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm

) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益 高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校 外实践活动中对此开展测量活动.如 图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角 为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】 【类型一】 仰角俯角问题 例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘 船由西向东航行,在A处测得正东方向上 一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测 得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图 所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测 角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度 与长度.
解直角三角形的实际 应用的基本类型
【主干必备】 解直角三角形的实际应用的基本类型
应用 类型
图示
测量方式
解答要点
仰角 俯角 问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯 角测距离.
水平线与竖直 线的夹角是 90°,据此构 造直角三角形.
应用 类型
坡度 (坡 比)、 坡角 问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a

比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。

第四章 第17讲
图形的认识与三角形 解直角三角形
考点梳理
考点1锐角三角函数 1.定义
2.特殊角的三角函数值
考点2 解直角三角形
三边关系：①__a2＋b2＝c2__； 两锐角关系：②__∠A＋∠B＝90°__ 在Rt△ABC中， 边角之间的关系：sinA＝cosB＝③____； c b ∠C＝90°，三 cosA＝sinB＝④____ ； c 边分别为a，b， a tanA＝⑤____ c b ；
2．如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向 匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40 分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与 灯塔A的距离是( D ) A．20海里 B．40海里 C. 20 3 海里 D. 40 3 海里
3 3
D 由题意，知∠B＝30°，∠C＝30°，BC＝60× ＝40(海里)，作AD⊥BC于点D，则DC＝DB＝20海 CD 20 40 （海里） 3 里．在Rt△ADC中，AC＝ cos30 3
2 2
技法点拨►应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为 解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角 形．当两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是 解答此类题的基本思路．
真题全练
命题点1
锐角三角函数
猜押预测►1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA 的值是( )A
B 如图，过点PA⊥MN于点A，MN＝30×2＝ 60(海里)．∵∠MNC＝90°，∠CNP＝46°， ∴∠MNP＝∠MNC＋∠CNP＝136°.∵∠BMP＝68°， ∴∠PMN＝90°－∠BMP＝22°.∴∠MPN＝180°－ ∠PMN－∠PNM＝22°.∴∠PMN＝∠MPN.∴MN＝PN＝ 60海里．∵∠CNP＝46°，∴∠PNA＝44°.∴PA＝ PN·sin∠PNA＝60×0.6947≈41.68(海里)．

第17课时 几何初步及平行线、相交线 第18课时 三角三角形
第21课时 直角三角形与勾股定理 第22课时 相似三角形及其应用 第23课时 锐角三角函数 第24课时 解直角三角形及其应用
第17课时┃ 几何初步及平行线、 相交线
第17课时┃ 中考解读
2 3 4 5
n n－1 n 条直线最多有________ 2 个交点
平面内有 n 条直线，最多可以把平面分成 n n＋1 平面的份数 ____________ ＋1 个部分 2
第17课时┃ 考点聚焦
考点4 互为余角、互为补角
90° ，则这两个角 如果两个角的和等于 ________
互余
互为 定义 余角
邻补角 定义
第17课时┃ 考点聚焦
考点6 “三线八角”的概念
同位 角 内错 角 同旁 内角 如果两个角在截线 l 的同侧，且在被截直线 a、 b 的同一方向叫做同位角(位置相同)．∠1 和∠ 5，∠4 和∠8，∠2 和∠6，∠3 和∠7 是同位角 如果两个角在截线 l 的两旁(交错 )， 在被截线 a、 b 之间 (内 )叫做内错角 (位置在内且交错 )．∠ 2 和∠8，∠3 和∠5 是内错角 如果两个角在截线 l 的同侧，在被截直线 a、b 之间(内 )叫做同旁内角．∠5 和∠2，∠3 和∠8 是同旁内角
第17课时┃ 考点聚焦 考点3 几何计数
1 数直线的 条数 数线段的 条数 数角的 个数 数交点的 个数 数直线分 过任意三个不在同一直线上的 n 个点中的两个 n n－1 点可以画________ 2 条直线 线段上共有 n 个点(包括两个端点)时，共有线 n n－1 段________ 2 条 n n－1 从一点出发的 n 条直线可组成______ 2 个角