高考数学大二轮总复习与增分策略 专题八 系列4选讲 第2讲 不等式选讲练习 理

第2讲不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1(2017届四川省成都市三诊)已知f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋|2x－5|≥6的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)－|x－3|的值域为A，且[－1,2]⊆A，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，不等式即为|x－1|＋|2x－5|≥6.当x≤1时，不等式可化为－(x－1)－(2x－5)≥6，∴x≤0；时，不等式可化为(x－1)－(2x－5)≥6，当1<x<52∴x∈∅；当x≥5时，不等式可化为(x－1)＋(2x－5)≥6，2∴x≥4.综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．(2)∵||x －a |－|x －3||≤ |x －a －(x －3)|＝|a －3|，∴f (x )－|x －3|＝|x －a |－|x －3|∈[－|a －3|，|a －3|] .∴函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．∵[－1,2]⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5. ∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54. 热点二 不等式的证明1．含有绝对值的不等式的性质||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|的最大值M ； (2)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件．(1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|≤|3x ＋2＋1－2x ||x ＋3|＝1， 当且仅当x ≤－23或x ≥12时等号成立，所以M ＝1. (2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2＋b 2)＋1≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋(a ＋b )22＋1 ＝(a ＋b ＋1)2≥0，当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝12时取等号， 所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝12满足条件． 思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数．(1)求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)；(2)求函数f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|的最小值．(1)证明 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4.因为(a －b )4≥0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)．(2)解 f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋|2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)|≥|[2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)]－[2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)]|＝|(a －b )4＋1|≥1.即f (x )min ＝1.热点三 柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．例3 (2017届长沙市雅礼中学模拟)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求证：2≤at ＋12＋bt ≤4.(1)解 由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)证明 由柯西不等式，有(－3t ＋12＋t )2＝(3·－t ＋4＋1·t )2≤[(3)2＋12][(－t ＋4)2＋(t )2]＝16， 所以－3t ＋12＋t ≤4， 当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立． 又(－3t ＋12＋t )2＝－3t ＋12＋t ＋2－3t ＋12·t ≥12－2t ≥4(0≤t ≤4)，所以－3t ＋12＋t ≥2，当且仅当t ＝4时等号成立，综上，2≤at ＋12＋bt ≤4.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．跟踪演练3 已知函数f (x )＝|x ＋2|－m ，m ∈R ，且f (x )≤0的解集为[－3，－1]．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解 (1)由f (x )≤0，得|x ＋2|≤m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－m －2≤x ≤m －2， 又f (x )≤0的解集为[－3，－1]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，m －2＝－1，解得m ＝1.(2)由(1) 知a ＋b ＋c ＝1，由柯西不等式，得 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)·(12＋12＋12)，所以(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]＝18， 所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， 当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立， 所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|.由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2； 当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4， 即x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4， 解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)．2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件． 押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值．(1)解 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y 4＝1. 由基本不等式，得1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝⎛⎭⎫y x ＋x y≥12＋12 y x ·x y＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立， 只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1.因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)证明 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝⎛⎭⎫x －832＋323≥323， 当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组 专题通关1．(2017届山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋4|，g (x )＝x 2＋4x ＋3.(1)求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)如果f (x )≥|1－5a |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )≥g (x )，即|x －2|＋|x ＋4|≥x 2＋4x ＋3，①当x <－4时，原不等式等价于－(x －2)－(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋6x ＋5≤0，解得－5≤x ≤－1，∴－5≤x <－4；②当－4≤x ≤2时，原不等式等价于－(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋4x －3≤0，解得－2－7≤x ≤－2＋7，∴－4≤x ≤－2＋7；③当x >2时，原不等式等价于(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋2x ＋1≤0，解得x ＝－1，得x ∈∅.综上可知，不等式f (x )≥g (x )的解集是{x |－5≤x ≤－2＋7}．(2)∵|x －2|＋|x ＋4|≥|x －2－x －4|＝6，且f (x )≥|1－5a |恒成立，∴6≥|1－5a |，即－6≤1－5a ≤6，∴－1≤a ≤75，∴a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，75. 2. (2017届陕西省渭南市二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m >0，f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(1)求m 的值；(2)若∃x ∈R ，f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝|x ＋3|－m ，∴f (x －3)＝|x |－m ≥0.∵m >0，∴x ≥m 或x ≤－m .又∵f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴m ＝2.(2)f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式 |x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎨⎧ x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3<x <12，－x ＋4，x ≥12，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3， 即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≤12或t ≥1. 即实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)． 3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值． 解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}．(2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |，∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n |≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5|＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2，∴F ≥1，F min ＝1.4．(2017届河南省洛阳市统考)设不等式0<|x ＋2|－|1－x |<2的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪a ＋12b <34；(2)比较|4ab －1|与2|b －a |的大小，并说明理由．(1)证明 记f (x )＝|x ＋2|－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1.由0<2x ＋1<2，解得－12<x <12， 则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. ∵a ，b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12， ∴⎪⎪⎪⎪a ＋12b ≤|a |＋12|b |<12＋12×12＝34. (2)解 由(1)得a 2<14，b 2<14. ∵|4ab －1|2－4|b －a |2＝(16a 2b 2－8ab ＋1)－4(b 2－2ab ＋a 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，∴|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1. 证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2 ＝⎝⎛⎭⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥⎝⎛⎭⎫m 2a·a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·c 2 ＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1.所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1. B 组 能力提高6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc . (1)解 令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1，当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc ＝3abc＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c3＋3abc .7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0， 根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝⎛⎭⎫－32，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0两点的距离之和．接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)， 这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)， 这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9，∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43， 即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12， 解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12， 解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a | ≤|x ＋a －x ＋1－a | ＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ， 当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ， 对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a ) ＝1＋2 －⎝⎛⎭⎫a －122＋14.∵当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎡⎦⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

2.8.2 不等式选讲1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．[解]　(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤.－1＋172所以f (x )≥g (x )的解集为Error!.(2)解法一(等价转化法)：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．解法二(分类讨论法)：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于x ∈[－1,1]时f (x )≥2，即－x 2＋ax ＋4≥2，当x ＝0时，－x 2＋ax ＋4≥2成立；当x ∈(0,1]时，－x 2＋ax ＋4≥2可化为a ≥x －，而y ＝x －在(0,1]单调递增，最大值2x 2x为－1，所以a ≥－1；当x ∈[－1,0)时，－x 2＋ax ＋4≥2可化为a ≤x －，而y ＝x －在[－1,0)单调递增，最2x 2x小值为1，所以a ≤1.综上，a 的取值范围为[－1,1]．2．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．[解]　(1)f(x)＝Error!y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．。

专题八第二讲A组1．已知函数 f ( x)＝| x－2|－|2 x－a|， a∈R.导学号52135029(1)当 a＝3时，解不等式 f ( x)>0；(2)当 x∈(－∞，2)时， f ( x)<0，求 a 的取值范围．1－x，x>2，3[分析](1) f ( x) ＝5－ 3x，2≤x≤2，3x－1， x<2.当 x>2时，1－ x>0，即 x<1，此时无解；3535当2≤ x≤2时，5－3x>0，即 x<3，解得2≤ x<3；33当 x<2时， x－1>0，即 x>1，解得1<x<2．5∴不等式解集为{ x|1< x<3} ．a＋2 (2)2 －x－ |2 x－a|<0 ? 2－x<|2 x－a| ? x<a－ 2 或x> 3恒建立．∵ x∈(－∞，2) ，∴a－2≥2，∴a≥4．2 ．(2015·江苏卷，21D) 设a>0，|x －1|<a ，|y －2|<a ，求证：|2x ＋y －334|< a.导学号52135030[分析]因为 | x－ 1|<a，|3y－2|<a，3a a所以 |2 x＋y－ 4| ＝ |2(x－1)＋( y－2)|≤2|x－1|＋| y－2|<2×3＋3＝ a．3． ( 文) 设函数 f ( x)＝| x＋ 1| ＋ |x＋2|－ a.导学号52135031(1)当 a＝5时，求函数 f ( x)的定义域；(2) 若函数f ( x) 的定义域为R，试求a的取值范围．[ 分析 ] (1) 当a＝ 5 时，f ( x)＝| x＋ 1| ＋ | x＋ 2| － 5，x≥－1，由 | x＋1| ＋ | x＋2| －5≥0得2x－2≥0，或－2≤x<－ 1，－2≥0，或x<－2，－ 8－ 2x≥0，解得x≥1或x≤－4，即函数 f ( x)的定义域为{ x|x≥1或 x≤－4}．＋|(2) 由题可知 | x＋ 1| ＋ | x＋ 2| －a≥0恒建立，即a≤|x＋1|＋| x＋2|恒建立，而x＋2|≥|( x＋1)－( x＋2)|＝1，所以 a≤1，即 a 的取值范围为(－∞，1]．|x＋1| ( 理)(2016 ·全国卷Ⅰ，24) 已知函数( Ⅰ ) 画出y＝f ( x) 的图像；( Ⅱ ) 求不等式 | f ( x)| ﹥ 1 的解集．f ( x)＝| x＋1|－|2 x－3|.导学号52135032x－4， x≤－1，3[分析]( Ⅰ ) f ( x) ＝3x－2，－ 1<x≤2，3－ x＋4， x>2，y＝ f ( x)的图像如下图．( Ⅱ ) 由f ( x) 的表达式及图像知，当 f ( x)＝1时，可得 x＝1或 x＝3；1当 f ( x)＝－1时，可得 x＝3或 x＝5．故 f ( x)>1的解集为{ x|1< x<3}；1f ( x)<－1的解集为{ x| x<或 x>5}．3所以 | f ( x)|>1的解集为{ x|1x<3或1<x<3或x>5}．B 组1．设函数 f ( x)＝|2 x＋1|－| x－3|.导学号52135033(1)解不等式 f ( x)>0；(2) 已知对于x 的不等式a＋3<f ( x)恒建立，务实数 a 的取值范围．[分析](1) ∵f ( x) ＝ |2 x＋ 1|－ | x－3|x＋4，x≥3，1＝3x－2，－2≤x<3，1－x－4， x<－.2∴不等式 f ( x)>0化为3x－ 2>0，－x－4>0，x＋4>0，或1或1x≥3，－2≤ x<3，x<－2.2∴x<－4或 x>，32即不等式的解集为( －∞，－ 4) ∪( 3，＋∞ ) ．(2) ∵(x 7a＋3< (x) 恒建立，只需713 ) ＝－，∴要使＋ 3<－，∴ <－．f2f a a222．已知函数f ( x) ＝ | x－3|＋ | x－a| ，a∈ R. 导学号 52135034(1)当 a＝0时，解对于 x 的不等式 f ( x)>4；(2)若?x∈R，使得不等式| x－3|＋| x－ a|<4建立，务实数 a 的取值范围．[剖析](1)按 x＝0和 3 分段议论或利用绝对值的几何意义求解．(2)?x ∈ R，使不等式f()<4建立，即f(x) 的最小值小于 4．x[分析](1)由 a＝0知原不等式为 | x－ 3|＋ | x|>47当 x≥3时，2x－3>4，解得x>2．当 0≤x<3 时， 3>4，无解．1当 x<0时，－2x＋3>4，解得 x<－2．17故解集为 { x| x<－2或x>2} ．(2)由? x∈ R， | x－ 3| ＋ | x－a|<4 建立可得， (| x－ 3| ＋ | x－a|) min <4．又 | x－3| ＋ | x－a| ≥|x－3－ ( x－a)| ＝ | a－3| ，即 (| x－ 3| ＋ | x－a|) min＝ | a－ 3|<4 ．解得－ 1<a<7．3．设函数 f ( x)＝| x＋1|＋|2 x－4|.导学号52135035(1)画出函数 y＝ f ( x)的图象；(2) 若对于x的不等式f ( x) ≥ax＋1 恒建立，试务实数 a 的取值范围．[分析](1) 因为f ( x) ＝| x＋ 1| ＋|2 x－ 4|－ 3x＋3，x≤－ 1，＝－＋5，－ 1< ≤2，x x3x－ 3，x>2，则函数 y＝ f ( x)的图象如下图．(2)当 x＝2时， f (2)＝3．当直线 y＝ ax＋1过点(2,3)时， a＝1．由函数 y＝ f ( x)与函数 y＝ ax＋1的图象知，当且仅当－ 3≤a≤1时，函数y＝ f ( x)的图象没有在函数y＝ ax＋1的图象的下方，所以 f ( x)≥ ax＋1恒建即刻， a 的取值范围为[－3，1]．4．(2017 ·安徽江南十校 3 月模拟 ) 已知函数 f ( x)＝| x|－|2 x－1|，记不等式 f ( x)>－1的解集为 M.导学号52135036(1)求 M；21(2) 已知a∈M，比较a－a＋ 1与a的大小．x－1，x≤0，[分析](1) f ( x) ＝ | x| －|2 x－ 1| ＝3 －1，0< <1，x x2－ x＋1， x≥12，由 f ( x)>－1，得11x≤0，0<x<2，x≥2，x－1>－1或或3x－1>－ 1－ x＋1>－1，解得 0<x<2，故 M＝{ x|0< x<2}．(2) 由 (1) ，知 0<a<2，因为 a2－a＋1－1＝a3－a2＋a－1＝a－1a2＋1，a a a当 0< <1时，a－1a2＋1<0，a a21所以 a －a＋1<a．当 a＝1时，a－1a2＋1a＝ 0，21所以 a －a＋1＝a．－ 1a 2＋ 1当 1<a<2 时，a a>0，21所以 a －a＋1>a．综上所述：当21 0<a<1 时，a－a＋ 1<a．21当 a＝1时， a － a＋1＝．21当 1<a<2 时，a－a＋ 1>a．。

专题八 第二讲A 组1．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .导学号 52135029 (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0，求a 的取值X 围．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >2，5－3x ，32≤x ≤2，x －1，x <32.当x >2时，1－x >0，即x <1，此时无解； 当32≤x ≤2时，5－3x >0，即x <53，解得32≤x <53； 当x <32时，x －1>0，即x >1，解得1<x <32．∴不等式解集为{x |1<x <53}．(2)2－x －|2x －a |<0⇒2－x <|2x －a |⇒x <a －2或x >a ＋23恒成立．∵x ∈(－∞，2)，∴a －2≥2，∴a ≥4．2．(2015·某某卷，21D)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .导学号 52135030[解析] 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a ．3．(文)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a .导学号 52135031 (1)当a ＝5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值X 围． [解析] (1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－5，由|x ＋1|＋|x ＋2|－5≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，2x －2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x <－1，－2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－8－2x ≥0，解得x ≥1或x ≤－4，即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－4}．(2)由题可知|x ＋1|＋|x ＋2|－a ≥0恒成立，即a ≤|x ＋1|＋|x ＋2|恒成立，而|x ＋1|＋|x ＋2|≥|(x ＋1)－(x ＋2)|＝1，所以a ≤1，即a 的取值X 围为(－∞，1]．(理)(2016·全国卷Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.导学号 52135032 (Ⅰ)画出y ＝f (x )的图像； (Ⅱ)求不等式|f (x )|﹥1的解集．[解析] (Ⅰ)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图像如图所示．(Ⅱ)由f (x )的表达式及图像知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5．故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为{x |x <13或x >5}．所以|f (x )|>1的解集为{x |x <13或1<x <3或x >5}．B 组1．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|.导学号 52135033 (1)解不等式f (x )>0；(2)已知关于x 的不等式a ＋3<f (x )恒成立，某某数a 的取值X 围． [解析] (1)∵f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4， x ≥3，3x －2， －12≤x <3，－x －4， x <－12.∴不等式f (x )>0化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>0，x ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，－12≤x <3，或⎩⎪⎨⎪⎧－x －4>0，x <－12.∴x <－4或x >23，即不等式的解集为(－∞，－4)∪(23，＋∞)．(2)∵f (x )min ＝－72，∴要使a ＋3<f (x )恒成立，只要a ＋3<－72，∴a <－132．2．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －a |，a ∈R .导学号 52135034 (1)当a ＝0时，解关于x 的不等式f (x )>4；(2)若∃x ∈R ，使得不等式|x －3|＋|x －a |<4成立，某某数a 的取值X 围． [分析] (1)按x ＝0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义求解．(2)∃x ∈R ，使不等式f (x )<4成立，即f (x )的最小值小于4． [解析] (1)由a ＝0知原不等式为|x －3|＋|x |>4 当x ≥3时，2x －3>4，解得x >72．当0≤x <3时，3>4，无解．当x <0时，－2x ＋3>4，解得x <－12．故解集为{x |x <－12或x >72}．(2)由∃x ∈R ，|x －3|＋|x －a |<4成立可得，(|x －3|＋|x －a |)min <4． 又|x －3|＋|x －a |≥|x －3－(x －a )|＝|a －3|， 即(|x －3|＋|x －a |)min ＝|a －3|<4． 解得－1<a <7．3．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.导学号 52135035(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若关于x 的不等式f (x )≥ax ＋1恒成立，试某某数a 的取值X 围． [解析] (1)由于f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1<x ≤2，3x －3，x >2，则函数y ＝f (x )的图象如图所示．(2)当x ＝2时，f (2)＝3．当直线y ＝ax ＋1过点(2,3)时，a ＝1． 由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax ＋1的图象知，当且仅当－3≤a ≤1时，函数y ＝f (x )的图象没有在函数y ＝ax ＋1的图象的下方， 因此f (x )≥ax ＋1恒成立时，a 的取值X 围为[－3，1]．4．(2017·某某江南十校3月模拟)已知函数f (x )＝|x |－|2x －1|，记不等式f (x )>－1的解集为M .导学号 52135036(1)求M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．[解析] (1)f (x )＝|x |－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12，由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2， 故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)，知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a＝a －1a 2＋1a，当0<a <1时，a －1a 2＋1a<0，所以a 2－a ＋1<1a． 当a ＝1时，a －1a 2＋1a ＝0，所以a 2－a ＋1＝1a． 当1<a <2时，a －1a 2＋1a>0，所以a 2－a ＋1>1a．综上所述：当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a．当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a ．当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a．。

第2讲　不等式选讲考点1　绝对值不等式的解法1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可．(2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法解这类含绝对值的不等式的一般步骤：(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．[例1]　[2019·全国卷Ⅱ][选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．【解析】　本题主要考查绝对值不等式的求解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x) (x－1)<0，所以，a的取值范围是[1，＋∞)．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊．在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值符号，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行．因此，我们在去绝『对接训练』集为当x ≤－时，原不等式化为－2x －3＋1－2x <6，2解得x >－2，∴－2<x ≤－；32当－<x <时，原不等式化为2x ＋3＋1－2x <6，解得4<6，321231等号成立．(2)定理2：如果a ，b >0，那么≥，当且仅当a ＝b 时，等a ＋b2ab 号成立．也可以表述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．[例2]　[2019·全国卷Ⅰ][选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明：含绝对值不等式的证明主要分两类：一类是比较简单的不等式，『对接训练』解析：(1)f(x)>4－|x＋1|，即|x＋2|＋|x＋1|>4，则Error!得x<－3.5；Error!无解；Error!得x>0.5.所以原不等式的解集为{x|x<－3.5或x>0.5}．(2)证明：|x－2.5|－f(x)＝|x－2.5|－|x＋2|≤4.5，411(4＋1)1(4＋1＋4b＋a)1(2)若关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3,4]，求m 的取值范围．解析：(1)m ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当x ≤－时，f (x )＝－2x －1＋(x －1)＝－x －2，12由f (x )≥2得x ≤－4，综合得x ≤－4；1因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤，所以m ∈.32[14，74]故实数m 的取值范围为{m |≤m ≤}．14745．[2019·湖南衡阳八中模考]已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|.＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥，当且仅当x ＝，y ＝－4353，z ＝－时等号成立．1313。

第二讲 不等式选讲1． 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值的几何意义求解． 2． 含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 3． 柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号 成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑n i ＝1a 2i )(∑n i ＝1b 2i )≥(∑n i ＝1a i b i)2，当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n(当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立． 4． 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．1． (2013·重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是____．答案 (－∞，8]解析 ∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3| ≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8.2． (2013·江西)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．答案 [0,4]解析 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0|x －2|≤2得0≤x ≤4. ∴不等式的解集为[0,4]．3． (2013·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________． 答案 2解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得 (am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.4． (2012·山东)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.答案 2解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.5． (2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 答案 9解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y2＋4x 2y 2 ≥5＋2 1x 2y2·4x 2y 2＝9， 当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．题型一 含绝对值的不等式的解法例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 审题破题 (1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时去绝对值，利用函数最值求a 的范围．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12，∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43，∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43. 反思归纳 这类不等式的解法是高考的热点． (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 变式训练1 已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－m .(1)当m ＝5时，求f (x )>0的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥2的解集是R ，求m 的取值范围． 解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2>5， 解得函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． (2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|>m ＋2，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2解集是R ， ∴m ＋2≤3，m 的取值范围是(－∞，1]． 题型二 不等式的证明例2 (2012·福建)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.审题破题 (1)从解不等式f (x ＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m ；(2)利用柯西不等(1)解 因为f (x ＋2)＝m －|x |， f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.反思归纳 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的． 变式训练2 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. (1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2. ∴M ＝(－2,2)．(2)证明 a ，b ∈M ，即－2<a <2，－2<b <2， ∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2) －(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |<|4＋ab |. 题型三 不等式的综合应用例3 (2012·辽宁)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 审题破题 (1)|ax ＋1|≤3的解集为[－2,1]，对照即可；(2)可通过函数最值解决恒成立解 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎨⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.反思归纳 不等式f (a )≥g (x )恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立，如果对于∀a ∈R 恒成立，则f (a )的最小值大于等于g (x )，再解关于x 的不等式求x 的取值范围；如果对于∀x ∈R 不等式恒成立，则g (x )的最大值小于等于f (a )，再解关于a 的不等式求a 的取值范围．变式训练3 已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围． 解 (1)函数的定义域满足：|x －1|＋|x －5|－a >0， 即|x －1|＋|x －5|>a ＝2. 设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4>a ＝2，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1. (2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4， |x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4，∴a 的取值范围是(－∞，4)．典例 (10分)设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤8；(2)若f (x )≥6恒成立，求正实数a 的取值范围． 规范解答解(1)f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x <0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x >1.当x <0时，由2－3x ≤8，得－2≤x <0； 当0≤x ≤1时，由2－x ≤8，得0≤x ≤1；当x >1时，由3x －2≤8，解得1<x ≤103.综上，不等式f (x )≤8的解集为⎣⎡⎦⎤－2，103.[5分] (2)因为f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以当x ＝a 时，f (x )取最小值a ，所以a 的取值范围是[6，＋∞)．[10分]评分细则 (1)f (x )去绝对值得分段函数给2分；三种情况下的解集错一种扣1分，没有最后结论扣1分；(2)求出f (x )的单调性给至8分．阅卷老师提醒 (1)含有绝对值式子的函数，实质上就是一个分段函数，根据解析式中每个绝对值取零时的自变量的值将定义域分成几段，分段去掉绝对值符号即可． (2)分段讨论时要注意不重不漏，讨论后要有最后总结性结论．1． (2012·湖南)不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >14 解析 原不等式等价于|2x ＋1|>2|x －1|⇔(2x ＋1)2>4(x －1)2⇔x >14.2． (2012·湖北改编)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.答案 12解析 通过等式找出a ＋b ＋c 与x ＋y ＋z 的关系． 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ，① ①与a 2＋b 2＋c 2＝10相加可得 (x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10，所以不妨令⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝b ，y －b ＝c ，z －c ＝z， 则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.3． 若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________．答案3解析 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2 ≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3.4． 不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32且x ≠－2.解析 ∵|x ＋1||x ＋2|≥1，∴|x ＋1|≥|x ＋2|.∴x 2＋2x ＋1≥x 2＋4x ＋4，∴2x ＋3≤0.∴x ≤－32且x ≠－2.5． 若不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是______．答案 [1，＋∞)解析 设f (x )＝x ＋|x －1|，则f (x )＝⎩⎨⎧2x －1 (x ≥1)，1 (x <1).f (x )的最小值为1.所以当a ≥1时，f (x )≤a 有解．6． 对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m ，则m 的值为________． 答案 2解析 不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值．因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立，即|a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2.专题限时规范训练一、填空题1． 不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．答案 {x |x ≥1}解析 原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}．2． 设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y，则M 、N 的大小关系为__________．答案 M <N解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y＝M .3． 对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．答案 5解析 ∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2. 又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3， 从而－6≤－2y ≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0， ∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5.4． 若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)解析 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1 (x ≤－1)，3 (－1<x <2)，2x －1 (x ≥2)，∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解， 需满足|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3. 二、解答题5． 设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小． 解 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1， 所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1. 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0， 故ab ＋1>a ＋b .6． 若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，求实数a 的取值范围． 解 ∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2， ∴1<a <3.7． (2012·江苏)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.证明 因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.8． 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为 (－∞，5]．方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为 (－∞，5]．9． 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >32，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6 或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6.解之得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4. ∴|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.10．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.证明 因为a ，b ，c 是正实数，由算术—几何平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥3 31a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc . 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝23， 当且仅当a ＝b ＝c 且abc ＝3时，取等号． 所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.。