高等数理统计答案——茆诗松(2017)

高等统计学: 1.2写出下列统计问题的统计结构。

（1）一地质师在一老河床测量n个卵石的最大直径，若已知直径的对数服从均值为μ和方差为σ2的正态分布；（2）一昆虫产出的卵数服从均值为λ的Poisson分布，卵一旦产出，每个卵能孵出幼虫的概率为θ，并且每个卵的孵化是相互独立的，一位昆虫学家对n个昆虫所观察所产生的卵数X和孵化出的幼虫数Y；（3）已知人的体重Y和身高x有关，一般认为较高的人体重较重，且由线性趋势，但同样身高的人的体重且都不会相同。

如今测量n个人的体重y i和身高x i，并设有如下关系：y i=a+bx i+εi,i=1,…,n习题解答李璐习题解答习题解答高等统计学: 1.10高等统计学: 1.12高等统计学: 1.15高等统计学: 1.16高等统计学: 1.22高等统计学: 1.23高等统计学: 1.26解答：高等统计学: 1.27高等统计学: 1.29高等统计学: 1.31高等统计学: 1.32高等统计学: 1.35高等统计学: 1.36高等统计学: 1.37高等统计学: 1.38高等统计学: 1.39习题解答高等统计学: 1.40高等统计学: 1.42高等统计学: 1.48高等统计学: 1.51高等统计学: 1.54高等统计学: 1.56高等统计学: 2.1高等统计学: 2.2高等统计学: 2.3高等统计学: 2.4高等统计学: 2.6高等统计学: 2.7高等统计学: 2.12（2）高等统计学: 2.13高等统计学: 2.15高等统计学: 2.16高等统计学: 2.18高等统计学: 2.19高等统计学: 2.21高等统计学: 2.24高等统计学: 2.25高等统计学: 3.1。

第三章 多维随机变量及其分布习题3.11． 100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X , Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取． 解：（1）(X , Y )服从多维超几何分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P −==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===5,,0;5,4,3,2,1,0,51005203050},{L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为0281.0500000918.00612.040001132.01562.00495.03000661.01416.00927.00185.0200182.00539.00549.00227.00032.010019.00073.00102.00066.00019.00002.00543210X Y（2）(X , Y )服从多项分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P j i j i −==×××−−⋅⋅===−−5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0)!5(!!!5},{5L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为03125.05000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135.009.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108.00072.00024.000032.00543210X Y2． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P {X = Y }．解：35935335647222347221213}2,2{}1,1{}{=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===+====Y X P Y X P Y X P ．3． 口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个．如果第i 次取出的是白球，则令X i = 1，否则令X i = 0，i = 1, 2, 3．求：（1）(X 1, X 2, X 3)的联合分布列； （2）(X 1, X 2)的联合分布列． 解：（1）14328116127138)}0,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970115127138)}1,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ， 42970117125138)}0,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970117128135)}0,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114125138)}1,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114128135)}1,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940118124135)}0,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，1435113124135)}1,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ；（2）3914127138)}0,0(),{(21=⋅==X X P ，3910125138)}1,0(),{(21=⋅==X X P ，3910128135)}0,1(),{(21=⋅==X X P ，395124135)}1,1(),{(21=⋅==X X P ．39/539/10139/1039/1401012X X4． 设随机变量X i , i =1, 2的分布列如下，且满足P {X 1X 2 = 0} = 1，试求P {X 1 = X 2}．25.05.025.0101P X i −解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = −1} = P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = −1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，分布列为故P {X 1 = X 2} = P {X 1 = −1, X 2 = −1} + P {X 1 = 0, X 2 = 0} + P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<−−=.,0,42,20),6(),(其他y x y x k y x p试求（1）常数k ；（2）P {X < 1, Y < 3}； （3）P {X < 1.5}； （4）P {X + Y ≤ 4}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得6)6(2242⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−∫∫∫xy y k dx dy y x k dx故81=k ； （2）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<<1032210322681)6(81}3,1{y xy y dx dy y x dx Y X P 832278127811210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<5.104225.10422681)6(81}5.1{y xy y dx dy y x dx X P 3227)6(81)26(815.1025.10=−=−=∫x x dx x ； （4）∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<+204222422681)6(81}4{xxy xy y dx dy y x dx Y X P326268124681203222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∫x x x dx x x ． 6． 设随机变量(X , Y )的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()43(其他y x k y x p y x 试求（1）常数k ；（2）(X , Y ) 的联合分布函数F (x , y )； （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得e 0)43(⎢⎣⎡⋅=∞+∞+∞++−∫∫∫k dx dy k dx y x 故k = 12；（2）当x ≤ 0或y ≤ 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当x > 0且y > 0时，∫∫∫∫−−+−+−−=−⋅==xy u x y v u x y v u du du dv du y x F 0430)43(0)43()e 1(e 3]e 3[e 12),()e 1)(e 1()e 1(e 43043y x xy u −−−−−−=−−=故(X , Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),e 1)(e 1(),(43其他y x y x F y x （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2} = P {X ≤ 1, Y ≤ 2} = F (1, 2) = (1 − e −3) (1 − e −8)．7． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x p 试求（1）P {0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}； （2）P {X = Y }； （3）P {X < Y }；（4）(X , Y ) 的联合分布函数．解：（1）∫∫∫⋅==<<<<5.00125.025.00125.024}125.0,5.00{xy dx xydy dx Y X P641516158155.0025.00===∫x xdx ； （2）P {X = Y } = 0；（3）∫∫∫∫−=⋅==<1311211)22(24}{dx x x xy dx xydy dx Y X P xx21211042=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x x ；（4）当x < 0或y < 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 1且0 ≤ y < 1时，220220202224},{),(y x y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F x x x y x y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当0 ≤ x < 1且y ≥ 1时，2020010210224},{),(x u udu uv du uvdv du y Y x X P y x F x xx x ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且0 ≤ y < 1时，210221210210224},{),(y y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F y y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且y ≥ 1时，F (x , y ) = P (Ω) = 1， 故(X , Y ) 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=.1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或 8． 设二维随机变量(X , Y ) 在边长为2，中心为(0, 0) 的正方形区域内服从均匀分布，试求P {X 22 解：设D 表示该正方形区域，面积S D = 4，G 表示单位圆区域，面积S G = π，故4π}1{22==≤+D G S S Y X P ．9． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,),(2其他x y x k y x p （1）试求常数k ；（2）求P {X > 0.5}和P {Y < 0.5}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得1632)(10321021122==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=⋅=∫∫∫∫k x x k dx x x k y k dx kdy dx xx xx， 故k = 6；（2）∫∫∫∫−=⋅==>15.0215.015.0)66(66}5.0{22dx x x ydx dy dx X P x xxx5.0)23(15.032=−=x x ；∫∫∫∫−=⋅==<5.005.005.00)66(66}5.0{dy y y xdy dx dy Y P y yyy432)34(5.00223−=−=y y ． 10．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<−=.,0,10),1(6),(其他y x y y x p （1）求P {X > 0.5, Y > 0.5}；（2）求P {X < 0.5}和P {Y < 0.5}； （3）求P {X + Y < 1}．解：（1）81)1()1(3])1(3[)1(6}5.0,5.0{15.0315.0215.01215.01=−−=−=−−⋅=−=>>∫∫∫∫x dx x y dx dy y dx Y X P xx； （2）∫∫∫−−⋅=−=<5.00125.001])1(3[)1(6}5.0{x x y dx dy y dx X P 87)1()1(35.0035.002=−−=−=∫x dx x ； ∫∫∫−−⋅=−=<5.005.025.005.0])1(3[)1(6}5.0{xxy dx dy y dx Y P21)1(43)1(3435.0035.002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫−−−−⋅=−=<+5.00125.001])1(3[)1(6}1{x xxxy dx dy y dx Y X P43])1([])1(33[5.00335.0022=−−−=−+−=∫x x dx x x ．11．设随机变量Y 服从参数为λ = 1的指数分布，定义随机变量X k 如下：2,1.,1,,0=⎩⎨⎧>≤=k k Y k Y X k ．求X 1和X 2的联合分布列．解：因Y 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y且X 1和X 2的全部可能取值为0, 1，则1101021e 1e e }1{}2,1{}0,0{−−−−=−==≤=≤≤===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，P {X 1 = 0, X 2 = 1} = P {Y ≤ 1, Y > 2} = P (∅) = 0，21212121e e e e }21{}2,1{}0,1{−−−−−=−==≤<=≤>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，22221e e e }2{}2,1{}1,1{−+∞−+∞−=−==>=>>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，故X 1和X 2的联合分布列为221112e e e 1e 1010−−−−−−X X12．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=.,0,20,10,3),(2其他y x xy x y x p 求P {X + Y ≥ 1}．解：∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=≥+1021221021263}1{x x xy y x dx dy xy x dx Y X P 72652459441653421104321032=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=∫x x x dx x x x ． 13．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<=−.,0,0,e ),(其他y x y x p y 试求P {X + Y ≤ 1}． 解：∫∫∫∫−−−−−−+−=−⋅==≤+5.0015.0015.001)e e ()e (e }1{dx dx dy dx Y X P x x x xy x xy5.015.001e 2e 1)e e (−−−−−+=−−=x x ．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,20,10,2/1),(其他y x y x p求X 与Y 中至少有一个小于0.5的概率．解：85831431211}5.0,5.0{1}5.0},{min{15.015.025.0=−=−=−=≥≥−=<∫∫∫dx dy dx Y X P Y X P ．15．从(0,1)中随机地取两个数，求其积不小于3/16，且其和不大于1的概率． 解：设X 、Y 分别表示“从(0,1)中随机地取到的两个数”，则(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,1),(其他y x y x p故所求概率为∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−==≤+≥−4341434111631631}1,163{dx x x dy dx Y X XY P x x3ln 16341ln 1632143412−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=x x x ．习题3.21． 设二维离散随机变量(X , Y ) 的可能值为(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X 与Y 各自的边际分布列． 解：因X 的全部可能值为−1, 0, 1，且12512131}1{=+=−=X P ， 61}0{==X P ， 125}1{==X P ， 故X 的边际分布列为12561125101PX − 因Y 的全部可能值为0, 1, 2，且12712561}0{=+==X P ， 31}1{==X P ， 121}2{==X P ， 故Y 的边际分布列为12131127210PY2． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>−−−=−−−−−.,0,0,0,e e e 1),(},max{122121其他y x y x F y x y x y x λλλλλ 试求X 与Y 各自的边际分布函数．解：当x ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F X (x ) = F (x , + ∞) = 0，当x > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121y y y x F y x y x y x λλλλλ 有 x y x y x y x y X x F x F 1122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=∞+=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(1x x x F x X λ 当y ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F Y ( y ) = F (+ ∞, y ) = 0，当y > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121x x y x F y x y x y x λλλλλ 有 y y x y x y x x Y y F y F 2122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=+∞=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(2y y y F y Y λ 3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.,0,1,π1),(22其他y x y x p解：当x < −1或x > 1时，p X (x ) = 0，当−1 ≤ x ≤ 1时，2111π2π1),()(22x dy dy y x p x p x x X −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他x x x p X当y < −1或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当−1 ≤ y ≤ 1时，2111π2π1),()(22y dx dx y x p y p y y Y −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他y y y p Y4． 设平面区域D 由曲线y = 1/ x 及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X , Y ) 在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数．解：因平面区域D 的面积为2ln 122e 1e 1===∫x dx xS D ， 则(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 当x < 1或x > e 2时，p X (x ) = 0，当1 ≤ x ≤ e 2时，xdy dy y x p x p x X 2121),()(10===∫∫∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,e 1,21)(2其他x x x p X5． 求以下给出的(X , Y ) 的联合密度函数的边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )：（1）⎩⎨⎧<<=−.,0;0,e ),(1其他y x y x p y （2）⎪⎩⎪⎨⎧−<<+=.,0;10),(45),(222其他x y y x y x p（3）⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;10,1),(3其他x y x y x p解：（1）当x ≤ 0时，p X (x ) = 0，当x > 0时，x xyxy X dy dy y x p x p −+∞−+∞−+∞∞−=−===∫∫e e e ),()(1，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x X 当y ≤ 0时，p Y ( y ) = 0， 当y > 0时，y yy Y y dx dx y x p y p −−+∞∞−===∫∫e e ),()(01，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(y y y y p y Y （2）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 1时，)1(85)21(45)(45),()(41022102222x y y x dy y x dy y x p x p x x X −=+=+==−−+∞∞−∫∫， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−−=.,0;11),1(85)(4其他x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y xy x dx y x dx y x p y p y y yyY −+=+=+==−−−−−−+∞∞−∫∫1)21(65)31(45)(45),()(113112， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−+=.,0;10,1)21(65)(其他y y y y p Y （3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，111),()(03=⋅===∫∫+∞∞−xx dy x dy y x p x p xX ， 故⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，y y x dx xdx y x p y p y y Y ln ln 1ln ln 1),()(1−=−====∫∫+∞∞−， 故⎩⎨⎧<<−=.,0;10,ln )(其他y y y p Y6． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,6),(2其他x y x y x p试求边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )． 解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，)(66),()(22x x dy dy y x p x p xxX −===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(2其他x x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)(66),()(y y dx dx y x p y p yyY −===∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(其他y y y y p Y7． 试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．⎩⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,10,10,),(其他y x y x y x p ⎩⎨⎧≤≤≤≤++=.,0,10,10),5.0)(5.0(),(其他y x y x y x g 证：当x < 0或x > 1时，p X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)21()(),()(1021+=+=+==∫∫+∞∞−x y xy dy y x dy y x p x p X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x p X当y < 0或y > 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)21()(),()(10210+=+=+==∫∫+∞∞−y xy x dx y x dx y x p y p Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y p Y并且当x < 0或x > 1时，g X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)5.0(21)5.0()5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−x y x dy y x dy y x g x g X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x g X 当y < 0或y > 1时，g Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)5.0()5.0(21)5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−y y x dx y x dx y x g y g Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y g Y故它们有相同的边际密度函数．8． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，试求P {X = Y }．解：因X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，则(X , Y ) 的联合概率分布21212141411214141111ji p p X Y ⋅⋅−− 故P {X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = 1/2．9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P {X ≤ Y }． 解：因X 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {X = 0} = 0.8 2 = 0.64，32.08.02.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，P {X = 2} = 0.2 2= 0.04， 又因Y 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，5.05.05.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ，P {Y = 2} = 0.5 2= 0.25，则(X , Y ) 的联合概率分布25.05.025.004.001.002.001.0232.008.016.008.0164.016.032.016.00210ji p p X Y ⋅⋅故P {X ≤ Y } = 1 − P {X > Y } = 1 − P {X = 1, Y = 0} − P {X = 2, Y = 0} − P {X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X 和Y 相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321b x c a x y y y X Y试求联合分布列中的a , b , c ．解：因c a p ++=⋅911，9431912+=++=⋅b b p ，911+=⋅a p ，b p +=⋅912，c p +=⋅313， 根据独立性，知81495919422222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅b b b b p p b p ， 可得0814942=+−b b ，即0922=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b ， 故92=b ； 再根据独立性，知⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅91969194911221a a b p p p ，可得6191=+a ，故181=a ； 由正则性，知1953191912131=+++=+++++=∑∑==c b a b c a p i j ij ，可得94=++c b a ，故6118394==−−=b ac ． 11．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X 与Y 的联合密度函数；（2）P {Y ≤ X }；（3）P {X + Y ≤ 1}．解：（1）因X 与Y 相互独立，且边际密度函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x p X ⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y故X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧≥<<==−.,0,0,10,e )()(),(其他y x y p x p y x p y Y X （2）1111101e 1e 1)e ()e 1()e (e }{−−−−−−=−+=+=−=−⋅==≤∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx X Y P ；（3）11110110101010e )e ()e 1()e (e }1{−−−−−−−=−=−=−⋅==≤+∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx Y X P ．12．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，2033),()(x xdy dy y x p x p xX ===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其他x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)1(23233),()(2121y x xdx dx y x p y p yyY −====∫∫+∞∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他y y y p Y （2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<<−=.,0,10,10),1(29)()(22其他y x y x y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．13．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其他y y x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 0时，x dy dy y x p x p xX +===∫∫−+∞∞−11),()(1，当0 ≤ x < 1时，x dy dy y x p x p xX −===∫∫+∞∞−11),()(1，故⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y dx dx y x p y p yyY 21),()(===∫∫−+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他y y y p Y（2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤−<<<<−+=.,0,10,10),1(2,10,01),1(2)()(其他y x x y y x x y y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数如下，试问X 与Y 是否相互独立？（1）⎩⎨⎧>>=+−.,0;0,0,e ),()(其他y x x y x p y x （2）+∞<<∞−++=y x y x y x p ,,)1)(1(π1),(222；（3）⎩⎨⎧<<<=.,0;10,2),(其他y x y x p （4）⎩⎨⎧<+<<<<<=.,0;10,10,10,24),(其他y x y x xy y x p（5）⎩⎨⎧<<<<−=.,0;10,10),1(12),(其他y x x xy y x p（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;1,421),(22其他y x y x y x p解：（1）因x e − (x + y ) = x e −x ⋅ e −y 可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（2）因)1π(1)1π(1)1)(1(π122222y x y x +⋅+=++可分离变量，−∞ < x , y < +∞是广义矩形区域， 故X 与Y 相互独立；（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（5）因12xy (1 − x ) = 12x (1 − x ) ⋅ y 可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X 与Y 相互独立； （6）因x 2 < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立．15．在长为a 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．解：设X 和Y 分别表示这两个点与线段中点的距离，有X 和Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，则(X , Y ) 的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,20,20,4),(2其他a y a x a y x pa a故所求概率为922321}3{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛×==<+a a S S aY X P DG ． 16．设二维随机变量(X , Y ) 服从区域D = {(x , y ): a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }上的均匀分布，试证X 与Y 相互独立． 证：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−−=.,0;,,))((1),(其他d y c b x a c d a b y x p当x < a 或x > b 时，p X (x ) = 0，当a ≤ x ≤ b 时，a b dy c d a b dy y x p x p d c X −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他b x a a b x p X当y < c 或y > d 时，p Y ( y ) = 0，当c ≤ y ≤ d 时，cd dx c d a b dx y x p y p baY −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他d y c c d y p Y因p x (x ) p y ( y ) = p (x , y )， 故X 与Y 相互独立．17．设X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量．证明n k n k X X X X E n k ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．证：因X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知),,2,1(1n i X X X niL L =++同分布，且满足101<++<niX X X L ，可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n i X X X E L 1存在，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n nn n X X X E X X X E X X X E L L L L 11211， 因11111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n n n X X X X E X X X E X X X E X X X E L L L L L L ， 则n X X X E X X X E X X X E n n n n 111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++L L L L ， 故n k n k XX X X E n k≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．习题3.31． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列为09.007.004.0222.011.007.0120.015.005.00321X Y 试分布求U = max{X , Y } 和V = min{X , Y } 的分布列．解：因P {U = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；P {U = 2} = P {X = 0, Y = 2} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 1}= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；P {U = 3} = P {X = 0, Y = 3} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故U 的分布列为51.037.012.0321P U因P {V = 0} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 0, Y = 2} + P {X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P {V = 1} = P {X = 1, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 1}= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；P {V = 2} = P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故V 的分布列为16.044.040.0210P V2． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且X ~ Exp (λ )，Y ~ Exp (µ )．如果定义随机变量Z 如下⎩⎨⎧>≤=.,0,,1Y X Y X Z 当当 求Z 的分布列．解：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,e )()(),()(其他y x y p x p y x p y x Y X µλλµ 则∫∫∫+∞+∞+−+∞+∞+−−⋅==≤==0)(0)(e )(e }{}1{xy x xy x dx dy dx Y X P Z P µλµλλλµµλλµλλλµλµλ+=+−==+∞+−+∞+−∫0)(0)(e e xx dx ，µλµ+==−==}1{1}0{Z P Z P ，故Z 的分布列为µλλµλµ++PZ 13． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为4/12/14/1101P X − 2/12/110P Y已知P {XY = 0} = 1，试求Z = max{X , Y }的分布列．解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，可得 (X , Y ) 的联合分布列为因{Z P {Z P 故Z 4．（1）X （2）X 解：（1）(X , 因P {Z = 0} = P {X = 0, Y = 0} = 0.25；P {Z = 1} = 1 − P {Z = 0} = 0.75； 故Z 的分布列为75.025.010P Z（2）因P {Z = k } = P {X = k , Y ≤ k } + P {X < k , Y = k } = P {X = k } P {Y ≤ k } + P {X < k } P {Y = k }p p p p p p p p k k i i kj j k 1111111)1()1()1()1(−−=−=−−−⋅−+−⋅−=∑∑p p p p p p p p p p k k k k 111)1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(−−−−⋅−−−−+−−−−⋅−= = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]故Z = max{X , Y }的概率函数为p z (k ) = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]，k = 1, 2, …．5． 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 试求P {max{X , Y } ≥ 0}．解：设A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有73)(=AB P ，74)()(==B P A P ， 故75737474)()()()(}0},{max{=−+=−+==≥AB P B P A P B A P Y X P U ．6． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()(其他y x y x p y x 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X ．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫−+−−+−−⋅==z x z y x zx z y x Z dx dy dx z F 2020)(2020)(]e [e )(z z x z z x z z x dx 2202202e )12(1)e e ()e e (−−−−−+−=−−=+−=∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 4)()(2z z z z F z p z Z Z （2）作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，∫∫∫∫+∞−−+−+∞−++−+∞−++−−=−⋅==zx z x zz x y x zzx y x Z dx dy dx z F e []e [e )()2(0)(0)(z z z zx z x e 21e e 21e e 21)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∞−−+−，当z > 0时，∫∫∫∫+∞−+−+∞++−+∞++−+−=−⋅==0)2(0)(0)(]e e []e [e )(dx dx dy dx z F x z x z x y x zx y x Zz z x z x −−+∞−+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=e 2111e 21e e 210)2(，因分布函数F Z (z )连续，有Z = Y − X 为连续随机变量，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=′=−.0,e 21,0,e 21)()(z z z F z p zzZ Z 方法二：增补变量法 （1）函数2yx z +=对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,2y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,2v y v z x 且21012=−=′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫∫+∞∞−+∞∞−−=⋅−=dv v v z p dv v v z p z p Z ),2(22),2()(，作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z Z z dv z p 2202e 4e 2)(−−==∫， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 4)(2z z z z p z Z（2）函数z = y − x 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v x y z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,v y z v x 且11011−=−=′′′′=v z vzy y x x J ， 则∫+∞∞−−=dv v z v p z p Z ),()(，作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，zz v z v Z dv z p e 21e 21e )(0202=−==+∞+−+∞+−∫， 当z > 0时，z zzv z z v Z dv z p −+∞+−+∞+−=−==∫e 21e 21e )(22， 故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=−.0,e 21,0,e 21)(z z z p zzZ 7． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求Z = X − Y 的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，31203102102123233333)(z z z x x xzdx dx x xdy dx xdy dx z F z z zz z xzx z x Z −=+=+=+=∫∫∫∫∫∫−，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X − Y 为连续随机变量， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,10),1(23)()(2其他z z z F z p Z Z方法二：增补变量法函数z = x − y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=+=,,v y v z x 且11011==′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫+∞∞−+=dv v v z p z p Z ),()(，作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0或z ≥ 1时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，)1(23)(23)(3)(210210z v z dv v z z p z z Z −=+=+=−−∫， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他z z z p Z 8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e )(1t t t t p t设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p 2 (x )；（2）三周需要量的密度函数p 3 (x )． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设T i 表示“该种商品第i 周的需要量”，因T i 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−.0,0,0,e )2(1)(121t t t t p t可知T i 服从伽玛分布Ga (2, 1)，（1）两周需要量为T 1 + T 2，因T 1与T 2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 61.0,0,0,e )4(1)(3142x x x x x x x p x x （2）三周需要量为T 1 + T 2 + T 3，因T 1, T 2, T 3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2 + T 3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 1201.0,0,0,e )6(1)(5163x x x x x x x p xx 方法二：分布函数法（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 2 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=xt x t t t xt x t t t t dt dt t t dt x F 02110221121221121)e e (e e e )( ∫−−+−−=xt x dt t t xt t 0111121]e e )[(1xt t x t t x t t 0121213111e e e 212131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−11)1(e e e 212131233−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−x x x x x x xxx x x x x x −−−−−−−−=e 61e 21e e 132， 因分布函数F 2 (x )连续，有X 2 = T 1 + T 2为连续随机变量， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 61)()(322x x x x F x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 3 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=x x x t t x x x x t x t x dx dt t x dx x F 003322003332232332232)e e (e 61e e 61)(∫−−+−−=x x x dx x x x x x 0232323242]e e )[(6`12 xx x x x x x x x x x x x 0222324242522222e 6e 6e 3e e 41415161⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−− )1(e e e 21e 61e 4141516123455−−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−−x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x −−−−−−−−−−−−=e 1201e 241e 61e 21e e 15432， 因分布函数F 3 (x ) 连续，有X 3 = T 1 + T 2 + T 3为连续随机变量， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 1201)()(533x x x x F x p x 方法三：卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，卷积公式∫+∞∞−−=2222)()()(21dt t p t x p x p T T ，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0， 当x ≤ 0时，p 2 (x ) = 0， 当x > 0时，xxx xxxt t x x t x t dt t xt dt t t x x p −−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−=∫∫e 61e3121e )(e e )()(30322202222022)(2222， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 61)(32x x x x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，卷积公式∫+∞∞−−=3333)()()(32dt t p t x p x p T X ，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 3 (x ) = 0，21当x > 0时，∫∫−−−−−+−=−=x x xt t x dt t xt t x t x dt t t x x p 03433323233033)(333e )33(61e e )(61)(33 x xx x t x t x t x t −−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=e 1201e 51432161505343233323， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 1201)(53x x x x p x9． 设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X + Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ U (0, 1)； （2）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，2020002121)(1)(z x zx dx x z dy dx z F zz zxz Z =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∫−，当1 ≤ z < 2时，1121110110110)(211)(111)(−−−−−−−−−=−+=+=∫∫∫∫∫∫z z z z xz z Zx z z dx x z dx dy dx dy dx z F121221)1(21122−−=+−−−=z z z z ， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=′=.,0,21,2,10,)()(其他z z z z z F z p Z Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，z z x z zx z zx z y z xz y Z z x dx dx dy dx z F −+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e 1)e ()e 1()e (e )(0000，当z ≥ 1时，z z x z x z x z y xz y Z x dx dx dy dx z F −−+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e e 1)e ()e 1()e (e )(111110，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=′=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)()(z z z z F z p z z Z Z方法二：卷积公式（增补变量法） 卷积公式∫+∞∞−−=dy y p y z p z p Y X Z )()()(，（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，2。

茆诗松数理统计学答案【篇一：数理统计】txt>mathematical statistics课程代码：课程性质：专业基础理论课适用专业：统计开课学期：4总学时数： 56总学分数：3.5编写年月： 2007.5 修订年月：2007.7执笔：邱红兵一、课程的性质和目的?本课程以概率论为基础开设本课程的目的在于通过教与学，使学生掌握数理统计的基本思想、基本理论和一般方法，具有一定的解决随机现象的实际问题的能力，并为学习后续课程奠定必要的基础。

是对随机现象统计规律性归纳的研究，主要对随机现象统计资料进行收集、整理和推断分析。

本课程是数学类专业本科生的专业基础课。

本课程以概率论为基础，研究如何用有效的方式收集、整理和分析受到随机性影响的数据，从而为随机现象选择和检验数学模型，并在此基础上对随机现象的性质、特点和统计规律作出推断和预测，进而为决策提供依据和建议。

通过本课程的教学，使学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，并能应用其解决一些简单实际问题。

包括如何进行参数估计，如何进行统计假设检验，如何研究变量之间的关系等。

培养学生运用概率统计方法分析问题和解决实际问题的能力，使学生初步建立统计思维方式。

同时为学习有关的后继课程打好必要的基础。

二、课程教学内容及学时分配统计推断两个基本问题：参数估计，假设检验；简单随机样本的分布；经验分布；样本的原点矩和中心矩，特别是样本均值、样本方差。

第一章抽样分布（12学时）本章内容：数理统计的基本概念：总体、样本、抽样、简单随机样本、统计量；顺序统计量；经验分布函数；几个重要分布：?分布，?分布，t分布和f分布；多元正态分布与正态二次型；抽样分布；分位数。

本章要求：1、理解总体、样本、抽样、简单随机样本、统计量的概念；2、理解顺序统计量及经验分布函数的概念；3、掌握?分布，t分布和f分布的定义，以及三种分布的性质； 224、掌握多元正态分布与正态二次型的定义及其性质；5、熟练抽样分布定理。

加 I —W)W j04/(l -疔36840 (1 ) ,011.6习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X. p(x0.1) Cs *0.1 2 *0.960.1488 p(x 0.2) C ；*0.22*0.86 0.2936 后验分布: 0.1 x 0.2x0.1488*0.70.1488*0.7 0.2936*0.3 0.2936*0.3 0.1488*0.7 0.2936*0.30.5418 0.4582苴它1o<e<iJ n[2(1® a G<e<i其它1m x 0p(x| ) 1d°C ； 3(1 )5 *2(1 )d1 0112 3(1 )6d12i…氏设辱心…血是栗ri泊松分布praj的个样本swe匚此样木的似然函数为匕现収仙也［分•仃Ga(fiL Q 粹为泊松分巾均们A的址验匕们•即―oo < a v+c©的后验分布为192/ 7 6 86192 —8 7参故久的百验分布为兀(几斗)板I A)^(Z)'X /J+M j A服从伽玛分布Go辽対+桟申一八r-11.11由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布U(0,)P(X)亠0 X0, 其它因为抽取3个样本，即X (x1,x2, x3)，所以样本联合分布为丄p(X) 3,0, X i，X2, X3其它又因为192/0, 所以，利用样本信息得h(X, ) p(X )() 1~3192~4192 (~7(8,0 X i,X2,X3 )于是 m(X) 8 h(X, )d 192 , rdp(x\A) =——, -OC < XIX/ < +OCh(X,)m(X)( X)21,2,3,5,6,7,8,10,11,121p(x ) — ,0 x0,即(x) ( n)1/0,即得证。

1.151样本的似然函数：p(x )1e服从伽马分布Ga n, nx-0.00024,20000.1.12样本联合分布为:(X)6 867~0,(x) p(x )()1/1max 0,%丄，人因此的后验分布的核为1/n 1,仍表现为Pareto 分布密度函数的核参数的后验分布 (x) p(x )()n 1( nx)enX in— i 1n nxe0.0001221,2,3,5,6,7,8,10,11,12乙11)讥刈8)二&(1一&)\兀(&) = 1p 何0)兀(0)= &(1—胖 〜尿(2,4)E(&|X )"E =±W2)讽申)=，(1 — &)叫兀(&) = 1二 诃x) * p(x 0)兀(8)=护(1 一 0)10〜%(4,11)i ・44 E(& x) = 3¥ = ---- =——E 11 + 4 152.2解：由题意，变量t 服从指数分布：p(t )由伽玛分布性质知:0.2nt i 20 3.8 76，所以 ni 1由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布又已知n=20,0.04, 0.2t 3.8(|t) P(T| )( )neti1en 1e (ti )即后验分布为Ga( n,t i ) Ga(20.04,76.2)E T() n t i20.04 76.2 0.2631服从倒伽玛分布IGa(n ,t i ) IGa(20.04,76.2)样本联合分布p(T )neti且~Ga(,)〒0 , E()0.2 Var (n20.04, t76.2t-E T ( ) E |T (1) ----- 4.002n 1n 12.8 由 x ~ Ga( , ), ~ IGa(,)可以得出(1}e(1) 的后验分布为:(3)样本分布函数为:的后验期望估计的后验方差为11 162.5n 36.2.7的先验分布为：()/ 1,0, 令1 max 0必丄,X -可得后验分布为：(x)(n) 1 n/0,后验方差为： Var( x)E( x)十, n 1 (n) 122(n 1) (n 2)(xpn -2n -2X1 xe 2 ,x 0(x)p(x 1)e^即为倒伽玛分布IGa(-,2所以的后验分布为IGa(n2 )的核。

第一章 随机事件与概率习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个． 解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0； （2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ； （5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？ 解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3． 设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生； （2）A , B , C 中不多于一个发生； （3）A , B , C 中不多于两个发生； （4）A , B , C 中至少有两个发生． 解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ； （4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4． 指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ； （2）AB = A ． 解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5． 设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ； （2）B A U ；（3）AB ； （4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ； （4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7． 试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅； （3）(A ∪B ) − B = A ； （4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(； （4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8． 若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9． 请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”． 解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”； （3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =； （2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21． 对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111； （3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ； （5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }； （6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111； （3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ， 故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ； （5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b bx b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(， 两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(， 其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ； （6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ， 再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率． 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1， 即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4． 掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6； （2）点数之和不超过6； （3）至少有一个6点． 解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5． 考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ． 事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ．6． 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃； （2）同花；（3）没有两张同一花色； （4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7． 设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ； 事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ．10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )， 故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， （1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ； （2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5． 解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ； （2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率． 解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率． 解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ．15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926； （2）P {一对} = 0.4630； （3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）； （5）P {四枚一样} = 0.0193； （6）P {五枚一样} = 0.0008． 解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==； （2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ， 故P {一对}4630.077763600==； （3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ， 故P {两对}2315.077761800==； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==； （5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ， 故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ； 事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为158210112}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=， 故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布． 解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ； 事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率． 解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ， （1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ， 故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ， 故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x + y< 7/5}， 得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ， 故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576，事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”， 若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ， 故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ， 从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ， 若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ， 有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交； 如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交； 当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα ∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=．方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”， 由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )， 因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0， 则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交， 有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=， 故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ， 事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ， 故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率． 解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫， 故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ．29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31． 设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生； （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生． 解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2． 设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件； （5）P (A ) = 0或P (B ) = 0； （6）P (A − B ) = P (A )． 解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0； （6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率． 解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =， 则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ， 故取到二级品的概率92)(=B P ．4． 从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}； （2）A 2 = {三个数字中不含0或5}； （3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ； （2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ； （3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率： （1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ； （3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？ 解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8． 从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率． 解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”， 则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”， 设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ， 且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9． 口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球，则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率． 解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率． 解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ； （2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =， 故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……， 故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问： （1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4． 注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1． 证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )． （2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)， 则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ． 证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤， 故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ， 故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。

第四章 大数定律与中心极限定理习题4.11． 如果X X Pn →，且Y X Pn →．试证：P {X = Y } = 1．证：因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ，又因X X Pn →，且Y X Pn →，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY X P n n ，则P {| X − Y | ≥ ε} = 0，取k 1=ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ，即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−k Y X P ， 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I ． 2． 如果X X Pn →，Y Y Pn →．试证：（1）Y X Y X Pn n +→+； （2）XY Y X Pn n →．证：（1）因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ，又因X X P n →，Y Y P n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ，故0}|)()({|lim =≥+−++∞→εY X Y X P n n n ，即Y X Y X Pn n +→+；（2）因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ，对任意的h > 0，存在M 1 > 0，使得4}|{|1h M X P <≥，存在M 2 > 0，使得8}|{|2hM Y P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，8}1|{|h Y Y P n <≥−， 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |，有4}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <≥+≥−≤+≥， 存在N 2 > 0，当n > N 2时，4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε，当n > max{N 1, N 2}时，有244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，存在N 3 > 0，当n > N 3时，42||1hM Y Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε，有244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2, N 3} 时，有h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ，即XY Y X Pn n →．3． 如果X X Pn →，g (x )是直线上的连续函数，试证：)()(X g X g Pn →． 证：对任意的h > 0，存在M > 0，使得4}|{|h M X P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，4}1|{|h X X P n <≥−， 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |，则244}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<≥+≥−≤+≥， 因g (x ) 是直线上的连续函数，有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续，必一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当 | x − y | < δ 时，有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ，存在N 2 > 0，当n > N 2时，4}|{|hX X P n <≥−δ，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2} 时，有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δεh hh h M X P M X P X X P n n =++<≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ， 故0}|)()({|lim =≥−+∞→εX g X g P n n ，即)()(X g X g Pn →．4． 如果a X P n →，则对任意常数c ，有ca cX Pn →． 证：当c = 0时，有c X n = 0，ca = 0，显然ca cX Pn →；当c ≠ 0时，对任意的ε > 0，有0||||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→c a X P n n ε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εca cX P n n ，即ca cX Pn →．5． 试证：X X P n →的充要条件为：n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ．证：以连续随机变量为例进行证明，设X n − X 的密度函数为p ( y )，必要性：设X X Pn →，对任意的ε > 0，都有0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，对012>+εε，存在N > 0，当n > N 时，εεε+<≥−1}|{|2X X P n ， 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y XX X X E εεεεεεεεεεεεε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ，故n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ； 充分性：设n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ， 因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεεε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，即X X Pn →．6． 设D (x )为退化分布：⎩⎨⎧≥<=.0,1;0,0)(x x x D试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n = 1, 2, …．）（1）{D (x + n )}； （2）{D (x + 1/n )}； （3）{D (x − 1/n )}．解：（1）对任意实数x ，当n > −x 时，有x + n > 0，D (x + n ) = 1，即1)(lim =++∞→n x D n ，则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1，有f (−∞) = 1 ≠ 0，故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数； （2）若x ≥ 0，有01>+n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，若x < 0，当x n 1−>时，有01<+n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D 1的极限函数是分布函数；（3）若x ≤ 0，有01<−n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，若x > 0，当x n 1>时，有01>−n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数．7． 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x )，试证：{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，对任意的ε > 0，取正整数ε2>k ，则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1，使得1,,2,1,)(−==k i kix F i L ，并取x 0 = −∞，x k = +∞， 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,21)()(1−=<=−−L ε， 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x )，且F (x ) 连续，有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x )，则存在N > 0，当n > N 时，1,,2,1,2|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε，且显然有20|)()(|00ε<=−x F x F n ，20|)()(|ε<=−k k n x F x F ，对任意实数x ，必存在j ，1 ≤ j ≤ k ，有x j −1 ≤ x < x j ，因2)()()()(2)(11εε+<≤≤<−−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ，则εεεε−=−−>−−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ，且εεεε=+<+−<−222)()()()(x F x F x F x F j n ，即对任意的ε > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε ， 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )．8． 如果X X Ln →，且数列a n → a ，b n → b ．试证：b aX b X a Ln n n +→+． 证：设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F b aX b aX ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点，因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(，有a b y x −=是F X (x )的连续点，且X X L n→， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F b aX b aX n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n ， 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续， 存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(ε−>M F X ，4)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有41)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，4)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，41)(ε−>M F n X ，4)(ε<−M F n X ，可得2)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因数列a n → a ，b n → b ，存在N 3，当n > N 3时，M h a a n 4||<−，4||h b b n <−， 可得当n > max{N 2, N 3}时，⎭⎫⎩⎨⎧>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n2}|{|24||42||||||ε<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⋅−≤M X P h h X M hP h b b X a a P nn n n n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U2)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F b aX b aX b aX n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n ， 故)()(y F y F b aX Wb X a n n n ++→，b aX b X a Ln n n +→+． 9． 如果X X Ln →，a Y Pn →，试证：a X Y X Ln n +→+． 证：设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )的任一连续点，因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a )，有x = y − a 是F X (x )的连续点，且X X Ln →， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F a X a X n ， 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因a Y Pn →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 2，当n > N 2时，22||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−h a Y P n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U222||200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U2)(2||}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2}时，ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n ， 故)()(y F y F a X WY X n n ++→，a X Y X Ln n +→+． 10．如果X X Ln →，0Pn Y →，试证：0Pn n Y X →．证：因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续，则对任意的h > 0，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(h M F X −>，4)(hM F X <−， 因X X L n →，有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→，4)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→，则存在N 1，当n > N 1时，41)(h M F n X −>，4)(hM F n X <−，可得2)(1)(}|{|hM F M F M X P n n X X n <−+−=>，因0Pn Y →，对任意的ε > 0，有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε，存在N 2，当n > N 2时，2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ε， 则当n > max{N 1, N 2}时，有h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ，故0}|{|lim =>+∞→εn n n Y X P ，即0Pn n Y X →．11．如果X X Ln →，a Y Pn →，且Y n ≠ 0，常数a ≠ 0，试证：aXY X L n n →． 证：设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0//ε<−y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点，因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=，有x = ay 是F X (x )的连续点，且X X Ln →，有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|//ε<−y F y F a X a X n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|0////0//ε<−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因X 的分布函数F X (x )满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x )单调不减且几乎处处连续，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且121)(ε−>M F X ，12)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有121)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，12)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，121)(ε−>M F n X ，12)(ε<−M F n X ，可得6)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因0≠→a Y Pn ，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 3 > 0，当n > N 3时，62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ，有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a Y P n ，且64||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−M h a a Y P n ， 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a XP y Y X P y F n n n n n n Y X n n U22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ，且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n nn n a X n U2)(20/0ε+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ，即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(0//0/εε+<<−y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<)(2)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ，故)()(//y F y F a X WY X n n →，aX Y X L n n →． 12．设随机变量X n 服从柯西分布，其密度函数为+∞<<∞−+=x x n nx p n ,)1π()(22．试证：0Pn X →．证：对任意的ε > 0，)arctan(π2)arctan(π1)1π(}|{|22εεεεεεn nx dx x n n X P n ==+=<−−∫， 则12ππ2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==<−+∞→+∞→εεn X P n n n ， 故0Pn X →．13．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;0,1)(其他ββx x p其中常数β > 0，令Y n = max{X 1, X 2, …, X n }，试证：βPn Y →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}n⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=βεβ1， 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=<−+∞→+∞→nn n n Y P βεβεβ， 故βPn Y →．14．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<≥=−−.,0;,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n }，试证：a Y Pn →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}εεεn na a x n a a x dx −∞++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(， 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞→+∞→εεn n n n a Y P ，故a Y Pn →．15．设随机变量序列{X n }独立同分布，且X i ~ U(0, 1)．令nni i n X Y 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏=，试证明：c Y P n →，其中c 为常数，并求出c ．证：设∑∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ，因X i ~ U (0, 1)， 则1)ln (ln )(ln 101−=−==∫x x x xdx X E i ，2)2ln 2ln (ln )(ln 12122=+−==∫x x x x x xdx X E i ，1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X ， 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ，n X nZ ni in 1)Var(ln 1)Var(12==∑=，由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，221)Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =≤≥−，则01lim }|)({|lim 02=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ，即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ，1)(−=→n P n Z E Z ，因n Z n Y e =，且函数e x 是直线上的连续函数，根据本节第3题的结论，可得1e e −→=PZ n n Y ， 故c Y Pn →，其中1e −=c 为常数．16．设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x )，且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数，又设 ξ 服从(0, 1)上的均匀分布，试证：)()(11ξξ−−→F F Pn． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，则对任意的h > 0，存在M > 0，使得21)(h M F −>，2)(h M F <−， 因F (x ) 是连续、严格单调函数，有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数， 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时，| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε， 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点，记x * = F −1( y *)，有x * ∈ [−M , M ]，不妨设0 < ε < 1， 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ，就有 δ≥−|*)(|y x F ，根据本节第7题的结论知，{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )， 则对δ > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ， 因当n > N 时，δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ，有*)(y x F n ≠，即*)(1y F x n −≠， 则对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n ， 可得对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞→εξξF F P n n ，故)()(11ξξ−−→F F Pn．17．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = µ，试证：µP n k k X k n n →⋅+∑=1)1(2．证：令∑=⋅+=nk k n X k n n Y 1)1(2，并设Var (X n ) = σ 2， 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(21)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E nk n ， 且222212222)1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=++⋅+=+=∑=n n n n n n n n k n n Y nk n ， 则由切比雪夫不等式可得，对任意的ε > 0，222)1(3241)Var(1}|{|1σεεεµ++−=−≥<−≥n n n Y Y P n n ， 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+∞→σεn n n n ，由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P ， 故µP n k kn X k n n Y →⋅+=∑=1)1(2． 18．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：2121σP n k k X n →∑=． 注：此题与第19题应放在习题4.3中，需用到4.3节介绍的辛钦大数定律．证：因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且222)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在，故}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即2121σP n k k X n →∑=．19．设随机变量序列{X n }独立同分布，且Var (X n ) = σ 2存在，令∑==n i i X n X 11，∑=−=n i i n X X n S 122)(1．试证：22σPnS →．证：2122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i ni i n i i n i i i n i i n−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====，设E(X n ) = µ，{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律，即µP nk k X n X →=∑=11，则根据本节第2题第（2）小问的结论知，22µPX →，因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且2222)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在，则}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即22121µσ+→∑=P n k k X n ，故根据本节第2题第（1）小问的结论知，22222122)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i nX X n S ．20．将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记⎩⎨⎧=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==ni i n X S 1，试证明：0)(Pn n n S E S →−． 证：因n X P i 1}1{==，nX P i 11}0{−==，且i ≠ j 时，)1(1}1{−==n n X X P j i ，)1(11}0{−−==n n X X P j i ， 则n X E i 1)(=，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(， 且i ≠ j 时，)1(1)(−=n n X X E j i ，)1(11)1(1)()()(),Cov(22−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i ， 有1)()(1==∑=ni i n X E S E ，1)1(1)1(11),Cov(2)Var()Var(211=−⋅−+−=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S nj i j i ni i n ， 可得0)]()([1)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ，221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−， 由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−， 则01lim )()(lim 022=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n ， 故0)(Pn n nS E S →−．习题4.21． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数．1.02.03.04.03210PX解：特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it ．2． 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p ， k = 1, 2, … ．试求X 的特征函数．并以此求E (X ) 和Var (X )． 解：特征函数ititk k ititk k itk p p p p p p t e)1(1e )]1([ee)1(e )(1111−−=−=−⋅=∑∑+∞=−+∞=−ϕ； 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ，有)()0(2X iE pip ip ===′ϕ，故pX E 1)(=； 因332]e )1(1[]e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]e )1(1[e )(it it it itit itit itp p p i p p ip p i ip t −−−+−=⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ， 有)(2)2()0(2223X E i pp p p p =−−=−−=′′ϕ，可得222)(p p X E −=， 故222112)Var(p pp p p X −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=． 3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布rk r p p r k k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{，k = r , r + 1, …试求X 的特征函数．解：特征函数∑∑+∞=−−+∞=−−+−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itkp r k k r p p p r k t )(e)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it rk p x r k r it ititdx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()()!1()e ()1()1()!1()e (L itit it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑rit itr it r it p p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (． 4． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差．（1）)0(,e 2)(||1>=∫∞−−a dt a x F x t a ； （2）)0(,1π)(222>+=∫∞−a dt at a x F x ． 解：（1）因密度函数||11e 2)()(x a ax F x p −=′=，故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=+∞−∞−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0)(0)(0)(0)(||1e e 2e e 2ee 2)(ait a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 222112at a a it a it a +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=； 因222222221)(22)()(a t ta t a t a t +−=⋅+−=′ϕ，有)(0)0(1X iE ==′ϕ， 故E (X ) = 0；因32242242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ， 有)(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ，可得222)(a X E =， 故222202)Var(aa X =−=；（2）因密度函数22221π)()(ax a x F x p +⋅=′=， 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2221e π)(ϕ， 由第（1）小题的结论知∫∞+∞−=+=dx x p a t a t itx )(e )(12221ϕ，根据逆转公式，可得∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt at a dt t a x p itx itx x a 2221||1e π21)(e π21e 2)(ϕ， 可得||||222e πe 2π21e y a y a itya a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫， 故||||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx ax a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ； 因⎩⎨⎧>−<=′−,0,e ,0,e )(2t a t a t atat ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ，即)0(2ϕ′不存在， 故E (X ) 不存在，Var (X ) 也不存在．5． 设X ~ N (µ, σ 2)，试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩． 解：因X ~ N (µ, σ 2)，有X 的特征函数是222e)(t t i t σµϕ−=，则)(e)(2222t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−，)(e)(e )(222222222σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−−t t i t t i t i t ，因)()(3e)(e)(2223222222σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−−t i t i t t t i t t i ，有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3)， 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2； 又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−−−t t i t t i t t i t i t i t ，有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4)， 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4．6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ b (n + m , p )．证：因X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ，ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m ， 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ，这是二项分布b (n + m , p )的特征函数， 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p )．7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ P (λ1 + λ2)．证：因X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为)1(e1e )(−=itt X λϕ，)1(e2e )(−=itt Y λϕ，则X + Y 的特征函数为)1)(e(21e )()()(−++==itt t t Y X Y X λλϕϕϕ，这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2)．8． 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性：若X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．证：因X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为11)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t X ，21)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t Y ，则X + Y 的特征函数为)(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ，这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．9． 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性：若X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ χ 2 (n + m )．证：因X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为2)21()(n X it t −−=ϕ，2)21()(m Y it t −−=ϕ，则X + Y 的特征函数为2)21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ，这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m )．10．设X i 独立同分布，且X i ~ Exp(λ)，i = 1, 2, …, n ．试用特征函数的方法证明：),(~1λn Ga X Y ni i n ∑==．证：因X i ~ Exp (λ)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为11)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=λλλϕit it t i X ，则∑==ni i n X Y 1的特征函数为nni X Y it t t i n −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1，这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ)．11．设连续随机变量X 的密度函数如下：+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)(π1)(22µλλ， 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞，常记为X ~ Ch (λ, µ )．（1）试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |}，且利用此结果证明柯西分布的可加性； （2）当µ = 0, λ = 1时，记Y = X ，试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )，但是X 与Y 不独立；（3）若X 1, X 2, …, X n 相互独立，且服从同一柯西分布，试证：)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 证：（1）根据第4题第（2）小题的结论知：若X *的密度函数为22π1)(*xx p +⋅=λλ，即X * ~ Ch (λ, 0)， 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |，且X = X * + µ 的密度函数为22)(π1)(µλλ−+⋅=x x p ， 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |； 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1)，X 2 ~ Ch (λ2, µ2)，且相互独立，有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=，||222e )(t t i X t λµϕ−=， 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==，这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)； （2）当µ = 0, λ = 1时，X ~ Ch (1, 0)，有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |，又因Y = X ，有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |，且X + Y = 2X ，故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )； 但Y = X ，显然有X 与Y 不独立；（3）因X i ~ Ch (λ, µ )，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=， 则)(121n n X X X nY +++=L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n ti n ni X ni X nY i in ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅==∏∏，故根据特征函数的唯一性定理知)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 12．设连续随机变量X 的密度函数为p (x )，试证：p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数．证：方法一：根据随机变量X 与−X 的关系充分性：设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布，因X 的密度函数为p (x )，有−X 的密度函数为p (−x )，故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x )，即p (x ) 关于原点对称； 必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )， 因−X 的密度函数为p (−x )，即−X 与X 同分布，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕϕ=====−−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数． 方法二：根据密度函数与特征函数的关系充分性：设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，因∫+∞∞−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ，有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itxx it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ， 令t = −u ，有dt = −du ，且当t → −∞时，u → +∞；当t → +∞时，u → −∞，则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iuxiux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ， 故p (x ) 关于原点对称；必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )，因∫+∞∞−−==dx x p E t itxitX)(e )(e)(ϕ，有∫∫+∞∞−−+∞∞−−==−dx x p dx x p t itx xt i )(e )(e)()(ϕ，令x = −y ，有dx = −dy ，且当x → −∞时，y → +∞；当x → +∞时，y → −∞， 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−+∞∞−−∞∞+−−，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕϕ====−=−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数．13．设X 1, X 2, …, X n 独立同分布，且都服从N(µ , σ 2)分布，试求∑==ni i X n X 11的分布．证：因X i ~ N (µ , σ 2)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为222e)(t t i X t i σµϕ−=，则∑==n i i X n X 11的特征函数为nt t i n t n t i n ni X n i X n X n t t t i i 2211112222ee)()(σµσµϕϕϕ−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∏∏，这是正态分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X ni i 21,~1σµ． 14．利用特征函数方法证明如下的泊松定理：设有一列二项分布{b (k , n , p n )}，若λ=→∞n n np lim ，则L ,2,1,0,e !),,(lim ==−∞→k k p n k b kn n λλ．证：二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ，且n → ∞时，p n → 0，因)1(e)1(e )1(e 1e )]1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞→∞=−+=−+=itit n it n n np p itn p n it n n n n p p t λϕ，。

第七章 假设检验习题7.11． 设X 1 , …, X n 是来自N (µ , 1) 的样本，考虑如下假设检验问题H 0：µ = 2 vs H 1：µ = 3，若检验由拒绝域为}6.2{≥=x W 确定． （1）当n = 20时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β ≤ 0.01，n 最小应取多少？ （3）证明：当n → ∞ 时，α → 0，β → 0． 解：（1）犯第一类错误的概率为0037.0)68.2(168.220126.21}2|6.2{}|{0=Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=∈=n X P X P H W X P µµα，犯第二类错误的概率为0367.0)79.1(79.120136.21}3|6.2{}|{1=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=∉=n X P X P H W X P µµβ；（2）因01.0)4.0(4.0136.21}3|6.2{≤−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n X P X P µµβ，则99.0)4.0(≥Φn ，33.24.0≥n ，n ≥ 33.93，故n 至少为34；（3）)(0)6.0(16.0126.21}2|6.2{∞→→Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=n n n n n X P X P µµα，)(0)4.0(4.0136.21}3|6.2{∞→→−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n n X P X P µµβ． 2． 设X 1 , …, X 10是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题H 0：p = 0.2 vs H 1：p = 0.4，取拒绝域为}5.0{≥=x W ，求该检验犯两类错误的概率． 解：因X ~ b(1, p )，有),10(~10101p b X X i i =∑=，则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10510100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑=−k k k kC p X P p X P H W X P α，6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{410101=⋅⋅==<==<=∉=∑=−k k k kC p X P p X P H W X P β．3． 设X 1 , …, X 16是来自正态总体N (µ , 4) 的样本，考虑检验问题H 0：µ = 6 vs H 1：µ ≠ 6，拒绝域取为}|6{|c x W ≥−=，试求c 使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ = 6.5处犯第二类错误的概率．解：因05.0)]2(1[22162162}6||6{|}|{0=Φ−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≥−==≥−=∈=c c c X P c X P H W X P µµα，则Φ (2c ) = 0.975，2c = 1.96，故c = 0.98；故}5.6|48.05.648.1{}5.6|98.0|6{|}|{1=<−<−==<−=∉=µµβX P X P H W X P83.0)96.2()96.0(96.01625.696.2=−Φ−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=X P ．4． 设总体为均匀分布U (0, θ )，X 1 , …, X n 是样本，考虑检验问题H 0：θ ≥ 3 vs H 1：θ < 3，拒绝域取为}5.2{)(≤=n x W ，求检验犯第一类错误的最大值α ，若要使得该最大值α 不超过0.05，n 至少应取多大？解：因均匀分布最大顺序统计量X (n ) 的密度函数为θθ<<−Ι=x nn n nx x p 01)(，则nn n n nn n n x dx nx X P H W X P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=====≤=∈=∫−6535.233}3|5.2{}|{5.205.201)(0θα， 要使得α ≤ 0.05，即05.065≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛n，43.16)6/5ln(05.0ln =≥n ，故n 至少为17．5． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；当原假设不真时，则犯了第二类错误．若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．6． 设X 1 , …, X 20是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题H 0：p = 0.2 vs H 1：p ≠ 0.2，取拒绝域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≥=∑∑==17201201i i i i x x W 或，（1）求p = 0, 0.1, 0.2, …, 0.9, 1的势并由此画出势函数的图；（2）求在p = 0.05时犯第二类错误的概率．解：（1）因X ~ b(1, p )，有),20(~201p b X i i ∑=，势函数∑∑=−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=6220201)1(201)(k kk i i p p k p WX P p g ， 故110201)0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3941.09.01.0201)1.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k kk k g ， 1559.08.02.0201)2.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3996.07.03.0201)3.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ，7505.06.04.0201)4.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ，9424.05.05.0201)5.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ， 9935.04.06.0201)6.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，9997.03.07.0201)7.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ， 999998.02.08.0201)8.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g11.09.0201)9.0(6220≈××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ， 101201)1(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k kk k g ； （2）在p = 0.05时犯第二类错误的概率2641.095.005.02005.0|6220201=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∉=∑∑=−=k kk i i k p W X P β． 7． 设一个单一观测的样本取自密度函数为p (x )的总体，对p (x )考虑统计假设： H 0：p 0(x ) = I 0 < x < 1 vs H 1：p 1(x ) = 2x I 0 < x < 1．若其拒绝域的形式为W = {x : x ≥ c }，试确定一个c ，使得犯第一类，第二类错误的概率满足α + 2β 为最小，并求其最小值．解：当0 < c < 1时，α = P {X ∈ W | H 0} = P {X ≥ c | X ~ p 0(x )} = 1 − c ，且20112)}(~|{}H |{c xdx x p X c X P W X P c==<=∉=∫β，则2224128721161287212⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−=+c c c c c βα，故当41=c 时，α + 2β 为最小，其最小值为87． 8． 设X 1, X 2, …, X 30为取自柏松分布P (λ)的随机样本．（1）试给出单侧假设检验问题H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1的显著水平α = 0.05的检验； （2）求此检验的势函数β (λ)在λ = 0.05, 0.2, 0.3, …, 0.9时的值，并据此画出β (λ)的图像．解：（1）因)30(~3021λP X X X X n +++=L ，假设H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1， 统计量)30(~λP X n ，当H 0成立时，设)3(~P X n ，其p 分位数)3(p P 满足∑∑=−−=−≤<)3(031)3(03e !3e !3p p P k k P k k k p k 显著水平α = 0.05，可得P 1−α (3) = P 0.95 (3) = 6，右侧拒绝域}7{≥=x n W ；（2）因∑=−−=≥=∈=630e!)30(1}|7{}|{)(k k k X n P W X n P λλλλλβ， g故0001.0e !5.11)05.0(605.1=−=∑=−k k k β，3937.0e !61)2.0(606=−=∑=−k k k β，7932.0e !91)3.0(609=−=∑=−k k k β，9542.0e !121)4.0(6012=−=∑=−k k k β，9924.0e !151)5.0(6015=−=∑=−k k k β，9990.0e !181)6.0(6018=−=∑=−k k k β，9999.0e !211)7.0(6021=−=∑=−k kk β， 1e !241)8.0(6024≈−=∑=−k k k β，1e !271)9.0(6027≈−=∑=−k k k β．习题7.2说明：本节习题均采用拒绝域的形式完成，在可以计算检验的p 值时要求计算出p 值． 1． 有一批枪弹，出厂时，其初速率v ~ N (950, 1000)（单位：m /s ）．经过较长时间储存，取9发进行测试，得样本值（单位：m /s ）如下：914 920 910 934 953 945 912 924 940．据经验，枪弹经储存后其初速率仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速率有显著降低（α = 0.05）？解：设枪弹经储存后其初速率X ~ N (µ , 1000)，假设H 0：µ = 950 vs H 1：µ < 950，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因928=x ，µ = 950，σ = 10，n = 9， 则W u ∈−=−=6.6910950928，并且检验的p 值p = P {U ≤ −6.6} = 2.0558 × 10−11 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批枪弹的初速率有显著降低． 2． 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N (4.55, 0.1082 )．现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（α = 0.05）？ 解：设现在生产的铁水含碳量X ~ N (µ , 0.1082 )，假设H 0：µ = 4.55 vs H 1：µ ≠ 4.55，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因484.4=x ，µ = 4.55，σ = 0.108，n = 9， 则W u ∉−=−=8333.19108.055.4484.4，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −1.8333} = 0.0668 > α = 0.05，β (故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55． 3． 由经验知某零件质量X ~ N (15, 0.05 2 ) （单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量为14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6．已知方差不变，问平均质量是否仍为15 g （取α = 0.05）？解：设技术革新后零件质量X ~ N (µ , 0.05 2 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ ≠ 15，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9.14=x ，µ = 15，σ = 0.05，n = 6， 则W u ∈−=−=8990.4605.0159.14，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −4.8990} = 9.6326 × 10−7 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为平均质量仍为15 g ． 4． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100 kg ，标准差为1.2 kg ．某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5．设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取α = 0.05）？ 解：设这天包装机包装的化肥每包的质量X ~ N (µ , 1.22 )，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ ≠ 100，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9778.99=x ，µ = 100，σ = 1.2，n = 9， 则W u ∉−=−=0556.092.11009778.99，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −0.0556} = 0.9557 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这一天包装机的工作正常． 5． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验H 0：µ = 15， H 1：µ < 15．已知σ 2 = 2.5，取α = 0.05，若要求当H 1中的µ ≤ 13时犯第二类错误的概率不超过0.05，求所需的样本容量．解：设该总体X ~ N (µ , 2.5 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ < 15，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因µ = 15，σ 2 = 2.5，有nx u 5.215−=，当µ ≤ 13时犯第二类错误的概率为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−+−>−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−>−=13|5.21565.15.213|65.15.215µµµµβn n X P n X P 05.0)2649.165.1(15.2131565.15.2≤+−Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−>−≤n n nX P µ，则95.0)2649.165.1(≥+−Φn ，即65.12649.165.1≥+−n ，6089.2≥n ，n ≥ 6.8064， 故样本容量n 至少为7．6． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：100.36 100.31 99.99 100.11 100.64 100.85 99.42 99.91 99.35 100.10．设这批钢管内直径服从正态分布N (µ , σ 2)，试分别在下列条件下检验假设（α = 0.05）．H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100．（1）已知σ = 0.5； （2）σ 未知．解：设这批钢管内直径X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100，（1）已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 因104.100=x ，µ = 100，σ = 0.5，n = 10， 则W u ∉=−=6578.0105.0100104.100，并且检验的p 值p = P {U ≥ 0.6578} = 0.2553 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100． （2）未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (9) = 1.8331，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.8331}， 因104.100=x ，µ = 100，s = 0.4760，n = 10， 则W t ∉=−=6910.0104760.0100104.100，并且检验的p 值p = P {T ≥ 0.6910} = 0.2535 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100．7． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？解：设这次考试考生的成绩X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 70 vs H 1：µ ≠ 70，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (35) = 2.0301，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0301}， 因5.66=x ，µ = 70，s = 15，n = 36， 则W t ∉−=−=4.13615705.66，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −1.4} = 0.1703 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分． 8． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8 h 电视．”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字．为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间5.6=x h ，样本标准差为s = 2 h ．问是否可以认为这位校长的看法是对的（取α = 0.05）？ 解：设学生看电视的时间X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 8 vs H 1：µ < 8，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ，n = 100，大样本，有)1,0(~N n S X T &µ−=，显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，因5.6=x ，µ = 8，s = 2，n = 100， 则W t ∈−=−=5.7100285.6，并且检验的p 值p = P {T ≤ −7.5} = 3.1909 × 10−14 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这位校长的看法是对的．9． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数2.11=x cm ，样本标准差为s = 2.6 cm ，问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12 cm （取α = 0.05）？ 解：设该批木材小头的直径X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 12 vs H 1：µ < 12，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t n S X T µ，n = 100，大样本，有)1,0(~N nS X T &µ−=， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，因2.11=x ，µ = 12，s = 2.6，n = 100， 则W t ∈−=−=0769.31006.2122.11，并且检验的p 值p = P {T ≤ −3.0769} = 0.0010 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为这批木材小头的平均直径不低于12 cm ．10．考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为：0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1．设鱼的含汞量服从正态分布N (µ , σ 2)，试检验假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2（取α = 0.10）． 解：设鱼的含汞量X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nSX T µ，显著性水平α = 0.1，t 1 − α (n − 1) = t 0.9 (9) = 1.3830，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.3830}， 因97.0=x ，µ = 1.2，s = 0.3302，n = 10， 则W t ∉−=−=2030.2103302.02.197.0，并且检验的p 值p = P {T ≥ −2.2030} = 0.9725 > α = 0.10，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 1.2 ． 11．如果一个矩形的宽度w 与长度l 的比618.0)15(21≈−=l w ，这样的矩形称为黄金矩形．下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值．0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933 0.630．设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为µ ，试检验假设（取α = 0.05）H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618．解：设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}，因6620.0=x ，µ = 0.618，s = 0.0918，n = 20， 则W t ∈=−=1422.2200918.0618.06620.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.1422} = 0.0453 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为µ = 0.618．12．下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（h ）的观测值型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9；型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6．设两样本独立且数据所属的两总体的密度函数至多差一个平移量．试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取α = 0.01）？解：设两种型号的计算器充电以后所能使用的时间分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 > µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.01，t 1 − α (n 1 + n 2 − 2) = t 0.99 (21) = 2.5176，右侧拒绝域W = {t ≥ 2.5176}， 因5.5=x ，3667.4=y ，s x = 0.5235，s y = 0.4677，n 1 = 11，n 2 = 12，4951.0214677.0115235.0102)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=4844.51211114951.03667.45.5，并且检验的p 值p = P {T ≥ 5.4844} = 9.6391 × 10 −6 < α = 0.01，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长．13．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：东支：1337.0,230.0211==s x ；西支：1736.0,269.0222==s x ．若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样（取α = 0.05）？解：设东、西两支矿脉的含锌量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~11212121−++−=n n t n n S X X T w，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (15) = 2.1314，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1314}，因1736.0,269.0,1337.0,230.0222211====s x s x ，n 1 = 9，n 2 = 8，3903.0151736.071337.082)1()1(21222211=×+×=−+−+−=n n s n s n s w ，则W t ∉−=+×−=2056.081913903.0269.0230.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.2056} = 0.8399 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为东、西两支矿脉含锌量的平均值是一样的．14．在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强力（主要质量指标）的影响．为了比较70°C与80°C 的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位：N ）：70°C 时的强力：20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2， 80°C 时的强力：17.7 20.3 20.0 18.8 19.0 20.1 20.0 19.1．根据经验，温度对针织品断裂强力的波动没有影响．问在70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间是否有显著差别？（假设断裂强力服从正态分布，α = 0.05）解：设在70°C 和80°C 时的断裂强力分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S Y X T w，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (14) = 2.1448，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1448}， 因4.20=x ，375.19=y ，s x = 0.9411，s y = 0.8876，n 1 = 8，n 2 = 8，9148.0148876.079411.072)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=2410.281819148.0375.194.20，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.2410} = 0.0418 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间有显著差别． 15．一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2．此处µ 1 , µ 2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值．设两总体均为正态分布且方差分别为已知值2221,σσ，现分别在两总体中取一样本X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m ，设两个样本独立．试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域．解：设服用原有止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，因X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m 分别X 和Y 为来自的样本，且两个样本独立，则),(~211n N X σµ，,(~222mN Y σµ，且X 与Y 独立，有4,2(~2222121m n N Y X σσµµ+−−， 标准化，得)1,0(~4)2()2(222121N mnY X σσµµ+−−−，假设H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2，已知2221,σσ，选取统计量)1,0(~422221N mnYX U σσ+−=，显著性水平α ，右侧拒绝域W = {u ≥ u 1 − α}．16．对冷却到−0.72°C 的样品用A 、B 两种测量方法测量其融化到0°C 时的潜热，数据如下：方法A ：79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.0080.02，方法B ：80.02 79.94 79.98 79.97 80.03 79.95 79.97 79.97．假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取α = 0.05）．解：设用A 、B 两种测量方法测量的潜热分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.05，t 1−α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}， 因0208.80=x ，9787.79=y ，s x = 0.0240，s y = 0.0.314，n 1 = 8，n 2 = 8，0269.0190314.070240.0122)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=4722.3811310269.09787.790208.80，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.4722} = 0.0026 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测量方法的平均性能不相等．17．为了比较测定活水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水样本，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg /l ），具体数据如下：水样号 方法一（x ） 方法二（y ） 差（d = x − y ） 1 0.36 0.39 −0.03 2 1.35 0.84 0.51 3 2.56 1.76 0.80 4 3.92 3.35 0.57 5 5.35 4.69 0.66 6 8.33 7.70 0.63 7 10.70 10.52 0.18 8 10.91 10.92 −0.01设总体为正态分布，试比较两种测定方法是否有显著差异．请写出检验的p 值和结论（取α = 0.05）．解：设用这两种测定方法测定的氯气含量之差为),(~2d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，未知2d σ，选取统计量)1(~−=n t nS D T d，显著水平α = 0.05，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.975 (7) = 2.3646，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.3646}， 因4138.0=d ，s d = 0.3210，n = 8， 则W t ∈==6461.383210.04138.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.6461} = 0.0082 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测定方法有显著差异．18．一工厂的；两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（10−6）一次，下面是7天的记录：室甲：1.15 1.86 0.75 1.82 1.14 1.65 1.90， 室乙：1.00 1.90 0.90 1.80 1.20 1.70 1.95．设每对数据的差d i = x i − y i (i = 1, 2, …, 7)来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著差异？（α = 0.01）解：设两个化验室测定的含气量数据之差为),(~2d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，未知2d σ，选取统计量)1(~−=n t nS D T d，显著水平α = 0.01，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.995 (6) = 3.7074，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 3.7074}， 因0257.0−=d ，s d = 0.0922，n = 7， 则W t ∉−=−=7375.070922.00257.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.7375} = 0.4886 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，可以认为两化验室测定结果之间没有显著差异．19．为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为465.13（104/mm 3），样本方差为54.802；对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的样本均值为422.16，样本方差为49.202．试检验：该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有差异？（取α = 0.05）解：设该地区正常成年男女所含红血球分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，未知2221,σσ，大样本场合，选取统计量)1,0(~2212N n S n SY X U yx&+−=，显著水平α = 0.05，u 1−α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 1.96}，因222220.49,16.422,80.54,13.465====y x s y s x ，n 1 = 156，n 2 = 74，则W u ∈=+−=9611.57420.4915680.5416.42213.46522，并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 5.9611} = 2.5055 × 10−9 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为该地区正常成年男女所含红血球的平均值有差异．20．为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从去年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g ）：12月：3520 2960 2560 2960 3260 3960，6月：3220 3220 3760 3000 2920 3740 3060 3080 2940 3060．假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取α = 0.05）？解：设12月和6月出生的女婴体重分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ<，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著水平α = 0.05，21.077.41)5,9(1)9,5()1,1(95.005.021====−−F F n n F α，左侧拒绝域W = { f ≤ 0.21}，因225960.491=x s ，225217.306=y s ，则W f ∉==5721.25217.3065960.49122，并且检验的p 值p = P {F ≤ 2.5721} = 0.8967 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，新生女婴体重的方差冬季的不比夏季的小．21．已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048．从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32 1.55 1.36 1.40 1.44问这一天纤度的总体标准差是否正常（取α = 0.05）？解：设这一天维尼纶纤度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.0482 vs H 1：σ 2 ≠ 0.0482，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，4844.0)4()1(2025.022/==−χχαn ，1433.11)4()1(2975.022/1==−−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 0.4844或χ 2 ≥ 11.1433}， 因σ 2 = 0.0482，s 2 = 0.08822，n = 5，则W ∈=×=5069.13048.00882.04222χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 13.5069} = 0.0181 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这一天纤度的总体方差不正常．22．某电工器材厂生产一种保险丝．测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得24.62=x ，s 2 = 404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异（取α = 0.05，假定熔化时间服从正态分布）？ 解：设这天保险丝熔化时间分散度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 400 vs H 1：σ 2 ≠ 400，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，4012.12)24()1(2025.022/==−χχαn ，3641.39)24()1(2975.022/1==−−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 12.4012或χ 2 ≥ 39.3641}， 因σ 2 = 400，s 2 = 404.77，n = 25，则W ∉=×=2862.2440077.404242χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 24.2862} = 0.8907 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这天保险丝熔化时间分散度与通常没有显著差异． 23．某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω）．今在一批导线中随机抽取样品9根，测得样本标准差s = 0.007（Ω），设总体为正态分布．问在显著水平α = 0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：设这批导线的电阻X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.005 2 vs H 1：σ 2 > 0.005 2，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，5073.15)8()1(295.021==−−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 15.5073}，因σ 2 = 0.005 2，s 2 = 0.007 2，n = 9，则W ∈=×=68.15005.0007.08222χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 15.68} = 0.0472 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批导线的标准差显著地偏大．24．两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布．从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径为甲车床：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8；乙车床：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8．比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取α = 0.05）．解：设两台车床生产的滚珠直径分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ≠，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著性水平α = 0.05，2041.09.41)7,8(1)8,7()1,1(975.0025.0212/====−−F F n n F α，F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (7, 8) = 4.53，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.2041或F ≥ 4.53}，因223091.0=x s ，221616.0=y s ，则W F ∉==6591.31616.03091.022，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 3.6591} = 0.0892 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异． 25．有两台机器生产金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m = 14和n = 12的样本，测得部件质量的样本方差分别为46.1521=s ，66.922=s ，设两样本相互独立，试在显著性水平α = 0.05下检验假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ>．解：设两台机器生产金属部件质量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ>，选取统计量)1,1(~2221−−=n m F S S F ，显著性水平α = 0.05，F 1 − α (m − 1, n − 1) = F 0.95 (13, 11) = 2.7614，右侧拒绝域W = {F ≥ 2.7614}，因46.1521=s ，66.922=s ，则W F ∉==6004.166.946.15，并且检验的p 值p = P {F ≥ 1.6004} = 0.2206 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为2221σσ=．26．测得两批电子器件的样品的电阻（单位：Ω）为A 批（x ） 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137；B 批（y ） 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140．设这两批器材的电阻值分别服从),(211σµN ，),(222σµN ，且两样本独立．（1）试检验两个总体的方差是否相等（取α = 0.05）？ （2）试检验两个总体的均值是否相等（取α = 0.05）？解：设两批电子器件样品的电阻分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，（1）假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ≠，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著性水平α = 0.05，1399.015.71)5,5(1)5,5()1,1(975.0025.0212/====−−F F n n F α，F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (5, 5) = 7.15，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.1399或F ≥ 7.15}，因22002805.0=x s ，22002665.0=y s ，则W F ∉==1080.1002665.0002805.022，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 1.1080} = 0.9131 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的方差相等； （2）假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (10) = 2.2281，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.2281}， 因1407.0=x ，1385.0=y ，s x = 0.002805，s y = 0.002665，n 1 = 6，n 2 = 6，002736.010002665.05002805.052)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∉=+×−=3718.16161002736.01385.01407.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 1.3718} = 0.2001 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的均值相等．27．某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）．取使用原料B 生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ）．设产品质量服从正态分布，两个样本独立．问能否认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 显著大（取α = 0.05）？解：设两种原料生产的产品质量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 < µ 2 ，未知2221,σσ，大样本，选取统计量)1,0(~2212N n S n SY X U yx&+−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {u ≤ −1.645}， 因36.2=x ，55.2=y ，s x = 0.57，s y = 0.48，n 1 = 22，n 2 = 24， 有W u ∉−=+−=2171.12448.02257.055.236.222，并且检验的p 值p = P {U ≤ −1.2171} = 0.1118 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 不是显著大．习题7.31． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命测试，观测值如下（单位：h ）： 1643 1629 426 132 1522 432 1759 1074 528 283根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100 h （取α = 0.05）？ 解：设这批产品的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1100 vs H 1：θ < 1100，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，8508.10)20()2(205.02==χχαn ，左侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 10.8508}，因8.942=x ，n = 10，θ = 1100，则W ∉=××=1418.1711008.9421022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≤ 17.1418} = 0.3563 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命不低于1100 h ．2． 某厂一种元件平均使用寿命为1200 h ，偏低，现厂里进行技术革新，革新后任选8个元件进行寿命试验，测得寿命数据如下：2686 2001 2082 792 1660 4105 1416 2089假定元件寿命服从指数分布，取α = 0.05，问革新后元件的平均寿命是否有明显提高？ 解：设革新后元件的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1200 vs H 1：θ > 1200，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，2962.26)16()2(295.021==−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 26.2962}，因875.2103=x ，n = 8，θ = 1200，则W ∈=××=0517.281200875.2103822χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 28.0517} = 0.0312 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为革新后元件的平均寿命有明显提高．3． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%，为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3名大学毕业生，取α = 0.05，问该人看法是否成立？并给出检验的p 值．解：设该地n 名成年人中大学毕业生人数为∑==ni i X X n 1，有),(~p n b X n ，假设H 0：p = 0.3 vs H 1：p < 0.3， 选取统计量),(~p n b X n ，显著性水平α = 0.05，n = 15，p = 0.3， 有1268.07.03.005.00353.07.03.021515101515=⋅⋅<<=⋅⋅∑∑=−=−k k k kk kkkC C ，左侧拒绝域}1{≤=x n W ，因W x n ∉=3，并且检验的p 值2969.07.03.0}3{31515=⋅⋅=≤=∑=−k k k kC X n P p ，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为该人看法成立．4． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在α = 0.05下确认：男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差异？并给出检验的p 值． 解：设n 1名男同学中有∑==111n i i X X n 人喜欢看武侠小说，n 2名女同学中有∑==212n j j Y Y n 人喜欢看武侠小说，有),(~111p n B X n ，),(~222p n B Y n ，大样本，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1111)1(,~n p p p N X &，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2222)1(,~n p p p N Y &， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−−22211121)1()1(,~n p p n p p p p N Y X &，即)1,0(~)1()1()()(22211121N n p p n p p p p Y X &−+−−−−，当p 1 = p 2 = p 但未知时，此时用总频率2121ˆn n Yn X n p++=作为p 的点估计替换p ，在大样本场合，有)1,0(~11)ˆ1(ˆ21N n n p pY X U &+−−=，假设H 0：p 1 = p 2 vs H 1：p 1 ≠ p 2， 大样本，选取统计量)1,0(~11)ˆ1(ˆ21N n n p pY X U &+−−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}，因n 1 = 120，n 2 = 85，501=x n ，232=y n ，有3561.0851202350ˆ2121=++=++=n n y n x n p，则W u ∈=+−×−=1519.28511201)3561.01(3561.0852312050，并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 2.1519} = 0.0314 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为男女同学在喜爱武侠小说方面有显著差异．5． 假定电话总机在单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：0 2 3 2 3 2 1 0 2 2 1 2 2 1 3 1 1 4 1 1 5 1 2 2 3 3 1 3 1 3 4 0 6 1 1 1 4 0 1 3．在显著性水平0.05下能否认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值． 解：设电话总机在单位时间内接到的呼叫次数X ~ P(λ)，有)(~1λn P X X n ni i ∑==，大样本，有)1,0(~N nX n n X n &λλλλ−=−，假设H 0：λ = 2.5 vs H 1：λ < 2.5， 大样本，选取统计量)1,0(~N nX U &λλ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因975.1=x ，n = 40，λ = 2.5， 则W u ∈−=−=1.2405.25.2975.1，并且检验的p 值p = P {U ≤ −2.1} = 0.0179 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，不能认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次；6． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布100 m 2，发现有126个疵点，在显著性水平0.05下能否认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值． 解：设每平方米该种布上的疵点数X ~ P(λ)，有)(~1λn P X X n ni i ∑==，大样本，有)1,0(~N nX n n X n &λλλλ−=−，假设H 0：λ = 1 vs H 1：λ > 1， 大样本，选取统计量)1,0(~N nX U &λλ−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}，因26.1=x ，n = 100，λ = 1， 则W u ∈=−=6.21001126.1，并且检验的p 值p = P {U ≥ 2.6} = 0.0047 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，不能认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个； 7． 某厂的一批电子产品，其寿命T 服从指数分布，其密度函数为p (t ; θ ) = θ −1exp{− t /θ } I t > 0，从以往生产情况知平均寿命θ = 2000 h ．为检验当日生产是否稳定，任取10件产品进行寿命试验，到全部失效时停止．试验得失效寿命数据之和为30200．试在显著性水平α = 0.05下检验假设H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000．解：假设H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，5908.9)20()2(2025.022/==χχαn ，1696.34)20()2(2975.022/1==−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 9.5908或χ 2 ≥ 34.1696}，因30201030200==x ，n = 10，θ = 2000， 则W ∉=××=20.30200030201022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 30.20} = 0.0667 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命等于2000 h ． 8． 设X 1, X 2, …, X n 为取自两点分布b (1, p )的随机样本．（1）试求单侧假设检验问题H 0：p ≤ 0.01 vs H 1：p > 0.01的显著水平α = 0.05的检验； （2）若要这个检验在p = 0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10，样本容量n 应为多大？ 解：（1）假设H 0：p = 0.01 vs H 1：p > 0.01，若为小样本，选取统计量),(~1p n b X X n ni i ∑==，显著性水平α = 0.05，p = 0.01，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⋅⋅=∑∑−=−=−95.099.001.0min 05.099.001.0min 102c k k n k k n n c k kn k k n C C c ，当n ≤ 5时，c 2 = 1；当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2；当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3；当83 ≤ n ≤ 137时，c 2 = 4； 右侧拒绝域}{2c x n W ≥=， 根据x n ，作出决策； 若为大样本，选取统计量)1,0(~)1(N np p pX U &−−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 计算u ，作出决策；（2）在p = 0.08时，)08.0,(~1n b X X n ni i ∑==，则犯第二类错误的概率10.092.008.0}08.0|{}08.0|{1022≤⋅⋅==<==∉=∑−=−c k k n k kn C p c X n P p W X n P β，当n ≤ 5时，c 2 = 1，β = 0.92n ≥ 0.6591；当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2，2184.092.008.01≥⋅⋅=∑=−k k n k kn C β；当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3， 若n = 64，1050.092.008.02=⋅⋅=∑=−k kn kknC β；若n = 65，0991.092.008.02=⋅⋅=∑=−k k n k kn C β；故n ≥ 65．9． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率p ≤ p 0 = 0.04时拒绝的概率不超过0.05，而当p > p 1 = 0.30时，接受的概率不超过0.1，请你帮助找出适当的检验方案． 解：设这批电子产品中的次品数为∑==ni i X X n 1，有),(~p n b X n ，假设H 0：p = 0.04 vs H 1：p > 0.04， 小样本，选取统计量),(~p n b X n ， 显著性水平α = 0.05，p = 0.04，。