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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率习题3.41. 求由下列方程所确定的隐函数的导数:dy dx（1）2290y xy -+=解： ()()22900,2220,.d y xy d ydy xdy ydx dy y dx y x-+==--==-（2）3330x y axy +-=解： ()()332222300,33330,.d x y axy d x dx y dy axdy aydx dy ay x dx y ax+-==+--=-=-（3）x y xy e +=解：()()(),,.x y x y x y x y d xy d e ydx xdy e dx dy dy e y dx x e++++=+=+-=-（4）1yy xe =-解： ()1,,.1y y y yydy d xe dy e dx xe dy dy e dx xe =-=---=+（5解：0,0,d ddydx==+==（6）()cosy x y=+解：()()()()()cos,sin,sin.1sindy d x ydy x y dx dyx ydydx x y=+=-++-+=++（7）()sin cos0y x x y--=解：()()()()()()()sin cos00,sin cos sin0,cos sin.sin sind y x x y dxdy y xdx x y dx dyy x x ydydx x y x--==++--=+-=--（8）0x y=解：()()00,0,d x y ddx dydydx+==++==2.求下列隐函数在指定点的导数:dydx（1）1cos sin,2y x y=+点,02π⎛⎫⎪⎝⎭解：,0211cos sin sin cos ,22sin ,11cos 21 2.112dy d x y xdx ydy dy x dx y dy dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭-=--==-- （2）ln 1,x ye y +=点()0,1()()()0,1ln 10,10,,111.112x x x xx d ye y d e dy ye dx dy y dy ye dx e ydy dx +==++==-+=-=-+3. 求下列方程确定的隐函数的微分:dy （1）2222 1.x y a b+= 解：()2222222210,220,.x y d d ab xdx ydy a bb x dy dx a y⎛⎫+== ⎪⎝⎭+==- （2）.y xx y =解： ()()22ln ln ln ln ,ln ln ,ln .ln y x x yd y x d x y y x xdy dx ydx dy x yxy y y dy dx xy x x==+=+-=-4。
第三章习题3-11． 设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g dss t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim(2)22t g t g →=+= 2． 设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．（1）求曲线2y x =上点（2，4）处的切线方程和法线方程； （2）求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程； （3）求xy e =上点（2，2e ）处的切线方程和法线方程； （4）求过点（2，0）且与xy e =相切的直线方程。
解：略。
4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim limh h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+- 000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5． 求下列函数的导数：(1) y ；(2) y；(3) y 3225x x．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx -==15661()6y x x -''∴===6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。
北 京 交 通 大 学2012-2013学年第二学期《微积分B 》第三次月考试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、选择题（每小题3分，满分15分）1．设∑是平面4x y z ++=被圆柱面221x y +=截出的有限部分,则y d S ∑⎰⎰的值为（ A ）．（A ）0 （B （C ） （D ）π2．()()2222,LI xydx yxdy =++-⎰Ñ其中L 是由0,1,y x y x ===组成的闭曲线,取顺时针方向,则I =（C ）．（A ）0 （B ）1- （C ）1 （D ）2π3．设∑是锥面z =及平面1,2z z ==所围成的立体表面外侧,则zed xd y ∑=⎰⎰Ò（B ）．（A ）()21e e π-- （B ）22e π （C ）24e π （D ）22e π-4．设函数()f u 连续,区域(){}22,2D x y x y y =+≤,则()Df xy d xd y ⎰⎰等于（D ）．（A ）()11d x fxy d y -⎰⎰（B ）()22d y fxy d x ⎰⎰（C ）()2sin 2sin co s d fr d r πθθθθ⎰⎰（D ）()2sin 2sin co s d frrd r πθθθθ⎰⎰5．设函数(),z f x y =,有222f y∂=∂且()()',01,,0y f x f x x ==,则(),fx y 为（ C ）． （A ）221x y y -+ （B ）221x y y ++ （C ）21xy y ++ （D ）21xy y -+ 二、填空题（每小题3分，满分15分）1．设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分()()2224Lx y y d x x x d y -+-=⎰Ñ 18π-．2．设r =则()()1,2,2d iv g ra d r -=23．3．设∑是锥面)01z z =≤≤的下侧,则()231xd yd z yd zd x z d xd y ∑++-=⎰⎰2π．4．设空间区域Ω是由曲面z =与z =所围成的,则zd V Ω=⎰⎰⎰8π.5．设函数(),z z x y =由方程232x zz ey -=+确定,则3z z xy∂∂+=∂∂ 2 .三、（9分） 设曲线积分()2Lx y d x yx d y ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ连续可导,且()00,ϕ=求()()()1,120,0xy d x y x d y ϕ+⎰.解:由积分与路径知()'2y x xy ϕ=, 3分 所以()()'22,x x x x C ϕϕ==+, 5分 由()00,ϕ=得()2x x ϕ=, 6分所以()()()()()()()1,1221,11,12220,00,00,01.22x y xy d x y x d y xy d x yx d y ϕ+=+==⎰⎰ 9分四、（8分）设S是由曲线()130z y x ⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于2π,求()()281214.S I x y d yd z yd zd x yzd xd y =++--⎰⎰解:旋转曲面为()221,13y z x y -=+≤≤, 1分添加曲面2212,:3z x S y ⎧+≤⎨=⎩方向为y 轴正方向,设1,S S 围成的立体为Ω, 3分有高斯公式,()()()1231318121412yS S D x y d yd z yd zd x yzd xd yd xd yd zd y d zd x y d yππ⋃Ω++--===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5分而()()()12222812141632S z x x y d yd z yd zd x yzd xd yd zd xπ+≤++--=-=-⎰⎰⎰⎰ 7分所以()()28121434SI x y d yd z yd zd x yzd xd yπ=++--=⎰⎰ 8分五、（9分） 计算()()()22222223LI yzdx zxdy xydz =-+-+-⎰Ñ,其中L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线,从z 轴正向看去,L 为逆时针方向.解:记S 为平面2x y z ++=上L 所围部分的上侧,则S的单位法向量为,由斯托克斯公式,()()()()()()22222222222211232342332423526712249LSSSx y x y I yzd x zxd y xyd zd Sx yzy z z x x yx y z d Sx y z d xd yx y d xd yd xd y+≤+≤=-+-+-∂∂∂=∂∂∂---=-++=-++=-+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分分Ñ六、（8分） 设S 为椭球面222122xyz ++=的上半部分,点(),,,P x y z S ∈II 为S 在点P 处的切平面,(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面II 的距离,求().,,Szd S x y z ρ⎰⎰解: S 在点P 处的切平面为()()2()0x X x y Y y z Z z -+-+-=, 即122xX yY zZ ++=. 2分所以(),,x y z ρ=3分由z =得d S ==5分所以()())2222222,,1474144382Sx y zd Sx y z xyd xd yd r rd rπρθπ+≤=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰分分七、（9分） 计算LI s =⎰,其中L 为由圆周222,x y a +=直线y x =及x 轴在第一象限中所围图形的边界. 解:设(),0,,22A a B a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,则L 由线段,O A 圆弧 A B ,线段B O 组成. 2分 O A 的参数方程为(),00x x x a y =⎧≤≤⎨=⎩,1a x aO As e d x e ==-⎰⎰; 4分A B 的参数方程为co s ,0sin 4x a y a θπθθ=⎧⎛⎫≤≤⎨ ⎪=⎝⎭⎩, »404aaA Bs e a d a e ππθ==⎰⎰; 6分B O 的参数方程为,02x x x a y x ⎛⎫=⎧≤≤ ⎪⎨ ⎪=⎩⎝⎭, 201aB Os x e ==-⎰⎰; 8分所以()21.4aaLI s e a e π==-+⎰9分八、（9分）在过点()0,0O 和(),0A π的曲线族()sin 0y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分()()312Lyd x x y d y +++⎰的值为最小.解:()()()()3333121sin 2sin co s 34453LI a yd x x y d ya x x a x a x d xa aππ=+++⎡⎤=+++⎣⎦=+-⎰⎰分分()'244Ia a =-， 7分所以1a =时取最小值，曲线为sin y x =. 9分 九、（9分） 设Ω是由曲线20,2x yz=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =围成的空间区域,求()22xy z d V Ω++⎰⎰⎰..解:旋转曲面为()221.2z xy=+ 2分()())22422042242572225693zD xy z d Vd z xy z d xd yd z d rz rd rz d zπθππΩ++=++=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分十、（9分）求曲线22,1z x y y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩上到坐标面xO y 距离最短的点. 解:设()()2221,,,,F x y z z x y z y x λμλμ⎛⎫=++-+-⎪⎝⎭, 3分 则22220,20,20,0,10.Fx x xF y y F z z F x y z F y xμλλμλλμ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎩7分解得点为()()1,1,2,1,1,2.-- 9分。
