微积分(上)A层期末考试卷A

上 海 商 学 院经管类《高等数学》第一章测试题（Ａ）班级 姓名 学号 成绩一. 选择题：（每小题2分，共2'×10=20分）1. 函数()44ln -+=x x y 的定义域是（ ）。

A. {}4>x xB. {}4->x xC. {}4-≥x xD. {}4≥x x 2. 数列n x ： ,101,0,81,0,61,0,41,0,21 ,0---（ ）。

A. 发散 B. 收敛于0 C. 收敛于1- D. 收敛于13. 下面说法中正确的是（ ）。

A. 函数在0x 处无定义，则在这一点必无极限B. 函数在0x 处有定义，则在这一点必有极限C. 若函数在0x 处有定义且有极限，则其极限值必为该点函数值D. 在确定函数在点0x 处的极限时，对函数在点0x 是否有定义不作要求4. 下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）。

A.()012→-x xB.()01→-x x xC.()()1112→-x xD.()112→--x x5. 下列命题中正确的是（ ）。

A. 无界变量必是无穷大B. 无穷大是一个很大的数C. 无穷大的倒数是无穷小D. 无穷小是一个很小的数 6. 下列等式中成立的是（ ）。

A. 133sin lim=∞→x x x B. 11sin lim 0=→x x x C. 1sin lim =-→ππx x x D. 11sin lim =∞→xx x 7. 下列函数中当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小的是（ ）。

A. x sin B. 2x x +C. xD. x cos 1-8. 下列函数在0=x 处不连续的是（ ）。

A. 0,sin 0,)(⎪⎩⎪⎨⎧>≤=x x x x e x f x B. 0,10,sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x f C. 0,00,1cos )(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x f D. 0,00,)(41⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-x x e x f x 9. 要使函数()2cos 1xx x f -=在0=x 处连续，则要求补充定义()=0f （ ）。

上海大学2013 ~ 2014学年冬季学期《微积分A2》(A 卷)答案一、单项选择题 (5小题, 每小题3分, 共15分)1. 设sin x x 为()f x 的一个原函数, 且常数0a ≠, 则()d f ax x a =⎰( A ). A ．3sin ax C a x + B ．2sin ax C a x + C ．sin ax C ax + D ．sin axC x+2. 设直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面π:4220x y z -+-=, 则直线L ( C ).A ．平行于πB ．在π上C ．垂直于πD ．与π斜交 3. 设()f x 是区间[0,1]上连续函数, 且10()d 2f x x =⎰, 则π220(cos )sin 2d f x x x =⎰( B ). A ．1B ．2C ．3D ．44. 曲线211ln 42y x x =-自1x =至e x =之间的一段弧的弧长s =( C ). A ．21(e 2)4+ B ．21(1e )4- C ．21(e 1)4+ D ．21(e 1)4- 5. 设向量,a b 满足a b a b -=+, 则必有( D ). A ．0a b -=B ．0a b +=C ．0a b ⨯=D ．0a b ⋅=二、填空题 (5小题, 每小题3分, 共15分)6.20d sin()d d x x t t x -=⎰2sin x .7. 由不等式23x y x ≤≤及2x ≤所确定的平面图形的面积为1712.8. 设()1a b c ⋅⨯=, 则()[()()]b c c a a b +⋅+⨯+=2.9.=1arcsin Cx-+.10. 曲线2224,x y z y z ⎧++=⎨=⎩在yOz 平面上的投影曲线是,(0,y z y x =⎧≤⎨=⎩.三、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分)11. (6分)计算.x解:2d 2tx t t t = ---------------------(3分) .C C =-=- ---------------------(2+1分)12. (6分) 计算22ln(4)d .x x x+⎰ 解: 222ln(4)d ln(4)1d x x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝++⎭⎰⎰ ---------------------(2分) 22ln(4)12d 4x x x x x x ⎡⎤+=--⋅⎢⎥+⎣⎦⎰ ---------------------(2分)22ln(4)1d 212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ ---------------------(1分) 2ln(4)arctan .2x x C x +=-++ ---------------------(1分)13. (6分)计算20x ⎰.解:220x x =⎰⎰---------------------(2分)111(1x tt t -=-====-⎰---------------------(2分)111t t --=-⎰⎰π02=- ---------------------(1+1分)π2=.。

一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。

2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。

3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。

4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。

厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.215．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。

6．求方程2x ydy dx +=的通解。

7．求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。

8．求方程1y y x x'-=的通解。

9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。

二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。

2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。

3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。

4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。

5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。

6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。

三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx++-+=-的通解。

2．设0>a ，求直线231aa x y +-=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。

3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。

0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。

=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。

)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。

=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. 。

='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。

Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。

11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。

=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。

当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

一元微积分A （上）08~09一、填空题（每题4分，共32分）1、若)()(00x f x x f -∆+与x ∆2sin 为0→∆x 时的等价无穷小，则=')(0x f ；2、曲线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y t t x 在2=t 处的切线方程为 ； 3、)1ln(2)cos(sin 1lim 20x x x +-→的值等于 ； 4、)tan ln(2x x y +=，=dy dx ；5、曲线x e y 2-=的拐点的横坐标是 ；6、函数x e x f =)(的带佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林展式为 ；7、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=0cos 01)(22x x x a x x e x f x 在),(+∞-∞上连续，则a = ；8、0→x 时，若取x 为基本无穷小，2cos 1x -是 阶无穷小。

二、试解下列各题（每题6分，共30分） 1、求极限12x x 13x 53x lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+。

2、设函数)(x y y =由方程1=-x xe y 确定，求022=x dx y d 。

3、求函数11+-=x x y 的n 阶导数的一般表达式。

4、求极限2sin 1)1cos(ln lim 1x x x π--→。

5、设x x y )sin 1(+=，求π=x dx dy三、（8分）求函数2)4ln(2x x y -=的单调区间。

四、（10分）在半径为R 的球内，求体积最大的内接圆柱体的高。

五、（6分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(2x x x x x f ，讨论)(x f '在x =0处的连续性。

六、（6分）设函数nn x x x f 211lim)(++=+∞→，求函数)(x f 的间断点，并说明类型。

七、（4分）设函数)(x f 在],[+∞a 可导，)(lim x x f +∞→存在，b x f ='+∞→)(lim x ，求证：0=b 。

微积分考试题库（附答案）85考试试卷（⼀）⼀、填空1．设c b a,,为单位向量，且满⾜0=++c b a ，则a c c b b a ?+?+?= 2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ?dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．?>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b⼆、选择1．曲线==-0122z y x 绕x 轴旋转⼀周所得曲⾯⽅程为（）。

（A ）12222=+-z y x ；（B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ；（D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（）。

（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'?dx x f x f x )]()([（）（A ）c x xf +)(；（B ）c x f x +')(；（C ）c x f x +'+)(；（D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上⾄少有⼀点ξ，使得（）（A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=?)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1．求与两条直线??+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平⾏且过点（3，-2，1）的平⾯⽅程。

一、计算下列各题（每题5分，共20分）：1.θθθθd⎰2sincos2.⎰+dxxx)1(123.dxex x⎰+∞-534.[]dx xxx sin||)1,min(2015201622+⎰-解： 1. 22;Cθ===+----------------3分 ----------- 5分2. 由待定系数法，或者加一项减一项，有11)1(122+-+=+xxxxx⎰⎰++-=+-+=+Cxxdxxxxdxxx)1ln(21||ln11)1(1222------------3分 -----------5分另解：令211,d(dt)x xt t==-，3222221111()d=d(+1)(1)(1)2(1)tdx t tx x t t t=--+++⎰⎰⎰---------------- 3分22221111=ln(+1)ln(+1)ln()ln||ln(+1).2222t C x x C x x C-+=-++=-+-------------5分3.335330001111(2)3333x x ux e dx x e dx ue du+∞+∞+∞---===Γ=⎰⎰⎰------------3分 ---------- 5分4. 由偶倍奇零准则[]⎰⎰=+-220162015201622)1,min(2sin||)1,min(dxxdxxxx----------------3分厦门大学《微积分III-1》课程期末试卷试卷类型：（经管类A卷）考试日期 2016.1.1220174036210212016=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰dx dx x ---------------- 5分二、求下列各式的极限（每题6分，共12分）：1. x x xx x -++-+→)1ln(2131lim32.n →∞解： 1. 分时，当2..................).........(1310223x o x x x x +-+=+→ 分2..................).........(2112122x o x x x +-+=+ 分1..................).........(2)1ln(22x o x x x +-=+分1.......1)(21)(]211[)3))(32(31(213311lim )1ln(2131lim 22222030=+-+-+--⨯+⨯+=-++-+→→x o x x o x x x x xx x x x x ∑=∞→∞→+=++n k n nn nkn n n n n 13...........................).........1ln(1lim )2()2)(1(ln lim .2分⎰+=12..................................................)1ln(分dx x分1................................................12ln 2-= ∑⎰=∞→∞→--=+=+=++n k n nn dx x n k n n n n n 11012ln 23ln 3)2ln()2ln(1lim )3()22)(12(ln lim三、（10分）设⎰>-=21221,)ln()(x x dt t x x x f ， 对任意固定的2221(1+),ln()x x x x t dt ∈∞-⎰，瑕积分是否收敛？若收敛，求()f x '.解： 令2,d d u x t u t =-=- ，则有212()ln d ,1x f x xu u x -=>⎰........................4分对(1+),0x u ∀∈∞=，是瑕积分21ln d x u u -⎰ 的瑕点，因为++00ln lim lim 01u u uu →→==，...1分又21x u -⎰收敛，根据反常积分比较判别法的极限形式，得210ln d x u u -⎰收敛.......1分2122224220()ln d (1)(ln(1)1)()(ln(1)1)x f x xu u x x x x x x -==---=---⎰，则323()(42)(ln(1)1)2f x x x x x '=---+..............................................................................4分。

微积分考试试题一、 填空题（每题2分⨯10=20分）1、函数245)(x x f --=的定义域是 .2、 设3)(-=x x f ，则=)]1([f f .3、 =---∞→13926lim 22n n n n .4、 x xx 5sin 3sin lim 0→ .5、 =-∞→x x x )431(lim .6、 =')(arccos x .7、 函数y x =，则=dy .8、 函数x e y tan =的导数为 .9、 0sin lim x xx →= .10、 微积分的创始人是： .二 选择题（每题2分⨯5=10分）1、 x x f arcsin 1)(=是（ ）.A 偶函数B 奇函数C 单调函数D 有界函数2、 若,21)(lim 0=→x ax f x 则 ,)(lim 0=→x bx f x ( ). （ab 0≠）A a b2 B ab 21C 2abD b a23、 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x a x xxx f ,)(x f 在x=0处连续, 则a=（ ）.A 0B 1C 2D 不存在4、设曲线)(x f y =在0x x =处切线是水平的，则当0→x 时，)()(0x f x f -较之0x x -为（ ）无穷小。

A 同阶B 等价C 低阶D 高阶5、 设函数(),()u x v x 在x 可导，则（ ）A []u v u v '''+=+B []u v u v '''-=+C []u v u v '''⨯=+D []u v u v '''÷=+三、计算题（每小题6分，共24分）1、已知x x f 2sec 8)(tan -=，求)(x f2、求极限12253lim 323+-+∞→x x x x x 3、求极限xx x x 3sin tan lim 0-→ 4、求极限x x x 1)41(lim -→ 四、计算题（每小题8分，共24分）1、求x e x y 12-=的导数2、设)(x y y =由隐函数e xy e y +=确定，求y '3、求211dx x +⎰五、应用题（每小题8分，共16分）1、 某厂生产某种产品所需要成本为()5200()C Q Q =+元，销售后得到总收入为2()100.01()R Q Q Q =-元，问该厂每批生产多少件产品才能使利润最大？2、 某工厂需要修建一个容积为4立方米的正方柱体（即池底为正方形）无盖水池，池底与池壁的材料相同，问池底边长和池高分别为多少时，用料最省？六、 证明题（6分）证明方程e x x =+2332至少有一个正根。

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《 微积分（上） 》试卷A（试卷号：2013.1.10 时间120分钟，总分100）注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)； 3．考试形式：闭卷；一、填空题（每小题4分，20分）1．写出数列{}n x 以常数a 为极限的N ε-定义： 对所有0ε>，存在0N >，当n N >时n a ε-<2．设()()112f f '==，则()()22011lim x f x f x→+-= 83．方程1yy xe =+确定了隐函数()y y x =，则dy =1yye dx xe- 4．设()f x ，且()31x f t dt x -=⎰，则()7f =1125.2=2π二、计算下列各题（每小题5分，共15分）6、设数列{}n x 满足：10x π<<，且()1sin 1,2,n n x x n +==。

证明：lim n n x →∞存在，并求出此极限解 因为10x π<<，所以210sin 12x x π<=<<，设01,1k x k <<>，则10sin 1k k x x +<=<由数学归纳法得01,1n x n <<>，从而数列{}n x 有界；又1sin 0n n n n x x x x +-=-<，从而数列{}n x 是一个单调减少的有界数列。

根据单调有界准则lim n n x →∞存在，设lim n n x l →∞=。

则1lim lim sin lim n n n n n n x x x l +→∞→∞→∞===，即sin l l =，得0l =，即lim 0n n x →∞=7、求极限22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解 原式222222400sin sin lim lim sin x x x x x x x x x →→--==（等价无穷小替换）3330000sin sin sin sin sin lim lim lim 2lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→+-+--⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 12lim2lim 2lim 363x x x x x x x x x x →→→---====- 8、求极限()()()222lim 12n n nnn n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎪+++⎝⎭解()()()2222221111lim lim 1212111n n n nn n n n n n n n n n →∞→∞⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+++=+++ ⎪⎪ ⎪+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11221001111111lim 121211n n k dx n x x k n →∞=---====-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⎰ 三、 解答下列各题（每小题5分，共20分） 9、已知sin y x=，求dy dx解 ()()211ln ln 2ln 3ln ln sin 36y x x x x =--+++ 从而211111cos 23263sin y x x y x x x x'=-⋅++-+ ()()211cot sin 3233x y x x x x x ⎛' =-++ -+⎝ 10、设()2sin cos f x x x x =，求()()20130y解 ()21sin 22f x x x =，由莱布尼茨公式 ()()()()()()()()20132012201120132120132012sin 220132sin 22sin 222f x x x x x x ⋅⎡⎤=+⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦()()()()20112013201100201320122013201220110sin 22sin 2222x x f x x π==⋅⎡⋅⎤⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅⋅+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 20112010201020132012112sin 5032201320122sin 201320122222πππ⋅⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、设()y y x =由参数方程()2ln 1arctan x x y t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定，求dy dx解 222221,1111dx t dy t dt t dt t t==-=+++，从而2221122dydy t t t dt dx dx t t dt+==⋅=+ 12、写出()xf x xe =带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式解 ()()()()()1,12x x x x x xf x e xe x e f x e x e x e '''=+=+=++=+从而发现()()()n x fx n x e =+，()()()()11n x x x f x e n x e n x e +=++=++()()()()()00,01,02,,0n f f f f n '''====，由公式()()()()()()()()()2100001!2!!1!n n n n f f f f f x f x x x x n n ξ+'''=++++++得()()()32111,2!1!1!xn n n x xe x x x e x n n ξξξ+++=+++++-+在0与x 之间。

一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分,共计10分）1．1lim 2xx -→=_________。

（A ） —∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x xf x x+=的极限为 _________。

(A ） 0 (B ） 1 （C ）2 （D) 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。

0()()()lim ()x f a x f a A f a x -∆→+∆-'=∆0()(0)()lim (0)x f tx f B tf x→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。

（A ） 极小值 （B ）极大值（ C )拐点 （D) 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。

()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、 填空题（每小题3分，共18分）1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导，且,那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。

２．函数()f x =[0,3］上满足罗尔定理，则定理中的ξ= 。

3．设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 . 4．设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。

四川大学期末考试试题（闭卷）（2020——2021学年第 1 学期）A卷课程号：201137050 课序号：课程名称：微积分（Ⅰ）-1 任课教师：成绩：试卷编号：(1)n+-与轴所围成区域的面积x试卷编号：20202021(I)-1-四川大学学年微积分期末试题参考答案(315)一、填空题每小题分，共分3221111.3 2.1 3.3 4.arctan ln(1)3665.131x x x x C y x y x --+++=+=-；；；；；.(832)二、计算题每小题分，共分222021(121.lim.cos x x x x x e→-+--求极限 2224422421111cos 1()1()()2!4!2!2!2x x x x x o x e x o x -=-++=-+-+解因为，，12244211(1)1()28x x x o x =+=+-+ ……………….. 3分2244211101~cos ~2812xx x x x e x -→+---所以当时，，……………….. 6分404138lim .1212x xx →==--因此，原式 ……………….. 8分23332.()(1)sin ()sin d ().x f x x e x f x x x f x ππ-=++⎰设，求33()sin d sin ]A f x x x x ππππ-=-⎰解设，两边同乘并在区间，上积分，得23363()sind (1)sin d sin d x f x x x xe x x A x x ππππππ---=++⎰⎰⎰ ……….. 4分由奇偶性得662605315sin d 4sin d 4I 4.64228A x x x x πππππ-====⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2335()(1)sin .8x f x x e x π=++所以 …………….. 8分3.()(0)()1[()()]sin d .f x f f f x f x x x ππ''''==+⎰已知连续，且，求积分的值()sin d ()sin d ()sin d sin d ()f x x x f x x x f x x x x f x ππππ'''=+=+⎰⎰⎰⎰解由分部积分公式原式00()sin d [()sin |()cos d ]f x x x f x x f x x x πππ''=+-⎰⎰()sin d ()cos d f x x x f x x x ππ'=-⎰⎰ …………….. 4分()sin d cos d ()f x x x x f x ππ=-⎰⎰00()sin d [cos ()|()sin d ]f x x x x f x f x x x πππ=-+⎰⎰…………….. 6分2= …………….. 8分22(12)4.()cos (0).f x x x f =设，求222211()cos cos 222f x x x x x x ==+解首先， …………….. 2分 由莱布尼茨公式(12)22(12)2(12)111()(cos 2)(cos 2)222f x x x x x x =+=⋅(12)21(11)2(10)12121[(cos 2)(cos 2)2(cos 2)20]2x x C x x C x =⋅+⋅+⋅+……….. 6分 (12)2(10)1201(0)(cos 2)2|2x f C x ==⋅⋅所以10100662cos(210)|662.2x x π==⋅⋅+⋅=-⋅ …………….. 8分(1020)三、解答题每小题分，共分220()()1.()0lim1lim(0)x ax x t f x t d tf x f x x b b xxa b →→-===≠⎰设函数在处可导，且，若，求，的值.()lim1 0()~.x f x x f x x x→=→解知，当时，因此 22222220011()()()()22x x x t f x t d t f x t d x t f u du -=---=⎰⎰⎰ ……….. 4分224001110()~224x x x f u du udu x →=⎰⎰所以，当时，，从而2204()1lim4x x t f x t d tx →-=⎰14.4a b ∴==， …………….. 10分 232.()1(1)0().23nnx x x f x x n n=-+-++-=讨论方程为正整数有几个实根0()0.0x f x x ≤>>解易知当时，，无实根故就讨论即可. 212221(1) 21()10.1k k x n k f x x x xx--+'=-=-+-+-=-<+当时，()(0)1()f x f f =+∞=-∞严格单减，，，.由零点存在定理知原方程有唯一实根 …………….. 6分 22211(2) 2()10 1.1k k x n k f x x x xx x--'==-+-+=-==+当时，令，得01()0() 1()0()x f x f x x f x f x ''<<<>>当时，，严格单减；当时，，严格单增.11111(1)(11)()()02322212f k k k=-+-++-+>--而，2.n k =因此当时原方程无实根 …………….. 10分(1020)四、应用题每小题分，共分sin 1.(02).1cos x t t t x y tπ=-⎧≤≤⎨=-⎩求由曲线与轴所围成区域的面积解 区域的面积20d A y x π=⎰…………….. 2分20(1cos )d(sin )t t t π=--⎰22244200(1cos )d 4sin d 16sin d 2tt t t u u πππ=-==⎰⎰⎰ ………….. 8分31163422ππ=⋅⋅⋅= …………….. 10分2.(110)(021).(1)0(2)(3)02.A B AB z AB AB z z z ===设空间有两点，，，，，求经过且与坐标面垂直的平面方程；求经过的直线方程；将直线绕轴旋转一周，求介于面与之间的旋转体体积(1)(001).()n M x y z =解 平面的法矢量，，设所求平面上任意一点为，，，则1111101[]020.x y z AM AB n x y ---==+-=，，，即平面方程为…………….. 3分11(2).111x y zAB --==-由两点式知经过的直线方程为…………….. 6分 22222(3)11.[02]()()((1)(1))2(1).AB x z y z z z A z x y z z z πππ=-=+=+=-++=+由直线的方程知:，故在区间，上任取一点，做垂直于轴的截面，面积为222028()d 2(1)d .3V A z z z z ππ==+=⎰⎰因此旋转体的体积为…………….. 10分(162713)五、证明题第小题分，第小题分，共分120121.()[0]()d 0(1)(0)()0(2)()cos d 0(0)()()0.f x C f x x f f x x x f f πππξπξηηπηη∈=∈==∈==⎰⎰设函数，，满足，证明：存在，，使得；若同时还满足，则存在不同的，，，使得0(1)()()(0)0()0(0)xF x f t d t F F ππξ===⎰证明令，则，，由罗尔定理知，在，内至少存在，()0()0.F f ξξ'==使得，即 …………….. 3分 00(2)0()cos cos ()[cos ()]sin ()sin ()f x xd x xd F x xF x xF x d x xF x d xπππππ===+=⎰⎰⎰⎰同时(1)(0)()sin 0()0.F F ξπξξξ∈==由知存在，，使得，即12[0][](0)ξξππηη在区间，，，上分别由罗尔定理即得：在，内存在两个不同的点，， 12()()0.f f ηη==使得 …………….. 6分11112.{}1 2.lim !.(1)n n n n n n a a a a n n a n a e-→∞-==≥=+设数列满足：，，证明111211111111!(1)!(1)!(1)!(1)!(2)!(2)!n n n n n a n a n a n n a n n n a ----+==+=++------证明111+1(1)!(2)!1!n n ==+++-- …………….. 3分 111+1()(1)!(2)!1!!e e e n n n n ξ+++=-→→∞--由泰勒公式知， …………….. 5分 11lim !lim.111+1(1)!(2)!1!n n n n a en n →∞→∞∴==+++-- …………….. 7分。

85考试试卷（一）一、填空1．设c b a,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b二、选择1．曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。

（A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（ ）。

（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)(4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1． 求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。