高中数学 1.3.1 三角函数的周期性教案 苏教版必修4

高中数学教案：三角函数的周期性教案名称：三角函数的周期性教案目标：1. 了解三角函数的定义和性质；2. 掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性；3. 能够应用周期性解决相关问题。

教学重点：1. 三角函数的周期性；2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性；3. 周期性的应用。

教学难点：1. 正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性的理解；2. 周期性的应用和解题过程。

教学准备：1. 教师准备黑板、白板或投影仪等教学工具；2. 备好三角函数的定义和性质的PPT或教材；3. 准备相关练习题。

教学过程：Step 1：引入教师用一个实际例子，如画家在画河流的起伏曲线时，引出周期性的概念，以引发学生对周期性的思考。

Step 2：三角函数的定义和性质回顾教师通过PPT或教材的方式回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质，可以给出具体的函数图像以及函数值的变化规律。

Step 3：正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性教师解释正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性概念，并给出周期的定义。

然后，详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的周期。

可以通过演示函数图像的变化来帮助学生理解。

Step 4：例题演练教师给出一些具体的例题，让学生通过观察函数图像或计算函数值等方法来判断函数的周期，并解答相应的问题。

教师可以给予提示和指导，引导学生理解和应用周期的概念。

Step 5：练习和讨论教师布置一些相关的练习题，让学生自主练习，并进行讨论和解答。

教师可以随机让学生上台解答问题，帮助学生巩固和深化对周期性的理解。

Step 6：小结和拓展教师对本节课的内容进行小结，并引导学生总结和归纳三角函数的周期性的特点和应用方法。

教师还可以拓展讲解正割函数、余割函数和余切函数的周期性。

Step 7：作业布置教师布置相关的练习题作为课后作业，巩固学生对周期性的理解和应用。

教学延伸：教师可以引导学生进行更多的实际问题应用，如舞蹈中的动作变化规律、物理中的周期性振动等，加深学生对周期性的认识和理解。

第十一课时 三角函数的周期性教学目标：掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的周期教学难点：函数的周期性教学过程：周期函数的定义：根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期正切函数是周期函数，且周期T ＝π课本P 25例1、例2一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)及y ＝A cos(ωx ＋ϕ)（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝2πω ，函数y ＝A tan (ωx ＋ϕ)的周期T ＝πω周期函数应注意以下几点：1.式子f (x ＋T )＝f (x )对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x ，式子都成立.而不能是“一个x ”或 “某些个x ”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.例如：由于sin(π12 ＋5π6 )＝sin π12 ，即sin(x ＋5π6 )＝sin x .该式中x 取π12时等式成立，能否断定5π6 是sin x 的周期呢?不能，因对于其他一些x 值该式不一定成立.如x ＝π6时，sin(x ＋5π6)≠sin x . ［例］函数y ＝cos x (x ≠0)是周期函数吗?2.式子f (x ＋T )＝f (T )是对“x ”而言.例如，由cos( x 3 ＋2k π)＝cos x 3 (k ∈Z )，是否可以说cos x 3 的周期为2k π呢?3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常数)，显然任何一个正数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f(x)＝a无最小正周期.4.设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数.有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：［例1］函数y＝sinπx的周期是［例2］［例2］函数y＝tan2πx的周期是 .［例3］若对于函数y＝f(x)定义域内的任何x的值，都有f(x＋1)＝f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝1是其周期.［例4］设f(x)定义在R上，并且对任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4).求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y＝x2(x∈R)在其定义域R内限制在(－1，1］，然后将y＝x2(－1＜x≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1)，k∈Z，如图：［例］已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数g(x)，使x∈(－1，1］时，g(x)＝f(x).评述：(1)要判定f(x)是周期函数，自变量x必须取遍定义域内的每一个值.(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.课堂练习：课本P27练习1～4课时小结：课后作业：课本P45 习题 1。

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高中数学 1。

3.1 三角函数的周期性互动课堂学案 苏教版必修4 疏导引导关于周期函数的概念，也可以叙述为:如果某函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值（这样的值可以有很多个）,函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.例如： sin(α+2kπ)=sinα（k∈Z ）这表明，正弦函数在定义域内,自变量每增加(k ＞0时）或减少（k ＜0时)一个定值2|k ｜π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数是周期函数。

理解周期函数的概念要注意以下三点：①存在一个常数T≠0;②对其定义域内的每一个x 值，x+T 也属于定义域；③当x 取定义域内每一个值时，f(x+T)=f （x ）恒成立。

在理解周期函数定义时，首先要特别注意函数f(x+T)=f （x)恒成立是对f(x ）的定义域中的每一个x 值都成立,例如y=sinx （x∈R ）对于x=3π,T=3π,显然有sin(3π+3π）=sin 3π，但T=3π不是它的周期.其次应注意，周期性不是三角函数的专有性质。

利用周期函数的定义,可以推得周期函数的一个必要不充分条件：它的定义域至少一方无界.例如y=sinx,x∈［—4π，10π］就不是周期函数，而y=sinx ，x∈［2π,+∞)是只有正周期的周期函数.对于每一个周期函数f （x ），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时， 令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21 C.23- D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。

1．3.1 三角函数的周期性(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解周期现象在现实中是广泛存在的；(2)理解周期函数的概念；(3)能熟练地求正、余弦函数的周期；(4)能利用周期函数定义进行简单运用．2．过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；发现并归纳出正弦函数、余弦函数的周期性及求法；根据周期性的定义，再在实践中加以应用．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，树立学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．●重点难点重点：求函数的周期、利用周期求函数值．难点：对定义的理解及定义的简单应用．(教师用书独具)●教学建议1．教材通过对正弦线变化规律的分析以及诱导公式(一)反映的函数值关系，给出周期函数的定义，并通过具体函数——正弦函数说明周期不止一个，且给出了正弦函数、余弦函数的最小正周期；通过“探究与发现”，引导学生推导出函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的周期公式．2．关于周期函数定义的导入的教学建议教师在教学过程中多举些具有周期变化规律的实例，提高学生的学习兴趣，增强数学的应用意识．关于周期函数定义的教学，建议教师在教学过程中，讲清：(1)T为不为零的常数．(2)f(x＋T)＝f(x)是关于x的恒等式．(3)不是所有的周期函数都有最小正周期．3．关于函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期的教学建议教师在教学中重视公式T＝2π|ω|的推导过程，及时训练，加强学生对公式的理解和记忆．●教学流程创设问题情境，引入周期函数的定义，并探究如何用周期性定义证明一个函数是周期函数的方法.⇒引导学生探究正、余弦函数的周期性，理解函数y＝A sinωx＋φ和函数y ＝A cosωx＋φ的周期求法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求三角函数周期的方法.⇒通过例2及其互动探究，归纳总结解决判断证明函数是周期函数的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握关于函数周期性综合应用问题的解决方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解周期函数的定义．(难点)2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．3．会求函数y ＝sin(ωx ＋φ)和y ＝cos(ωx ＋φ)的周期．(重点)周期函数的定义【问题导思】单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．【提示】 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x )＝sin x ，cos(2π＋x )＝cos x ．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．(1)周期函数的定义一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期.正、余弦函数的周期 【问题导思】4π是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期吗？【提示】 是的．由sin(4π＋x )＝sin x 恒成立，根据周期函数的定义，可知4π是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2πω.求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y ＝3sin(π2x ＋π6)；(2)y ＝2cos(－x 2＋π4)；(3)y ＝|sin x |. 【思路探究】 利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期．【自主解答】 (1)T ＝2πω＝2ππ2＝4.(2)y ＝2cos(－x 2＋π4)＝2cos(x 2－π4)，∴T ＝2π12＝4π.(3)由y ＝sin x 的周期为2π，可猜想y ＝|sin x |的周期应为π.验证：∵|sin(x ＋π)|＝|－sin x |＝|sin x |，∴由周期函数的定义知y ＝|sin x |的周期是π.求三角函数的周期，通常有三种方法： (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，有T ＝2π|ω|.(3)观察法(图象法)．求下列函数的周期：(1)y ＝3cos(12x －π6)；(2)y ＝2cos(2x －π6)＋sin(2x ＋π4)．【解】 (1)y ＝3cos(12x －π6)中ω＝12，故T ＝4π.(2)y 1＝2cos(2x －π6)中，ω＝2，故周期T ＝π，y 2＝sin(2x ＋π4)中，ω＝2，故周期T＝π，故y ＝2cos(2x －π6)＋sin(2x ＋π4)的周期为π.函数周期性的判断 设函数y ＝f (x )，x ∈R ，若函数y ＝f (x )为偶函数并且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，求证：函数y ＝f (x )为周期函数．【思路探究】 要证函数y ＝f (x )是周期函数，就是要找到一个常数T (T ≠0)，使得对于任意实数x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，可根据y ＝f (x )的奇偶性与对称性推导证明．【自主解答】 由y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称得f (2a －x )＝f (x )，∴f (2a ＋x )＝f (－x )．∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (2a ＋x )＝f (x )，∴f (x )是以2a 为周期的函数．1．判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T 满足f (x ＋T )＝f (x )对定义域中一切x 都成立．2．若函数f (x )对定义域内的一切实数x 满足f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x，则f (x )都是周期函数，且2a 为它的一个周期，这里a 为非零常数．将本例中的条件改为“若函数y ＝f (x )为奇函数并且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称”，求证：f (x )为周期函数．【证明】 若f (x )为奇函数，则图象关于原点对称， ∴f (－x )＝－f (x )．由图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称得 f (2a －x )＝f (x )，∴f (2a ＋x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴f (4a ＋x )＝－f (2a ＋x )＝f (x )， ∴函数f (x )是以4a 为周期的函数．函数周期性的综合应用设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f (72)的值．【思路探究】 T ＝1→f 72＝f 72－1×4＝f －12→－12∈－1，0及fx ＝2x ＋1→f72＝f －12＝0 【自主解答】 f (x )是以1为一个周期的函数， ∴k ∈Z (k ≠0)也是f (x )的周期．∴f (x －k )＝f (x )，故f (72)＝f (72－4)，从而f (72)＝f (－12)．又当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，所以 f (72)＝f (－12)＝2×(－12)＋1＝0.1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．2．如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．设函数f (x )(x ∈R )是以2为周期的函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝(x －1)2. (1)求f (3)；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式.【解】 (1)∵函数f (x )(x ∈R )是以2为周期的函数，且x ∈[ 0,2]时，f (x )＝(x －1)2，∴f (3)＝f (3－2)＝f (1)＝(1－1)2＝0. (2)∵f (x )的周期为2，∴当x ∈[2,4]时有f (x )＝f (x －2)， 又∵x －2∈[0,2]，∴f (x －2)＝(x －2－1)2＝(x －3)2，∴f (x )＝(x －3)2.即x ∈[2,4]时，f (x )＝(x －3)2.函数周期性概念理解不透彻致误判断函数y ＝cos 4x ，x ∈[－π，π]是否为最小正周期为π2的周期函数，若不是，请说明理由．【错解】 记f (x )＝cos 4x ，设T 为f (x )的周期，则f (x ＋T )＝f (x )，即cos 4x ＝cos 4(x ＋T )对任意实数x 都成立，也就是cos(μ＋4T )＝cos μ对任意实数μ都成立，其中μ＝4x ，由于y ＝cos μ的最小正周期为2π，令4T ＝2π，得T ＝π2，故函数y ＝cos 4x ，x ∈[－π，π]是最小正周期为π2的周期函数．【错因分析】 导致错误的原因在于没有注意条件x ∈[－π，π]的限制，∵x ＝π时，x ＋T ∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，即忽略了f (x )＝f (x ＋T )对任意x 都成立．【防范措施】 要判断一个函数是否为周期函数，①要看定义域I ，对任意x ∈I ，有x ＋T ∈I ；②对任意x ∈I ，有f (x )＝f (x ＋T )．要说明一个函数不是周期函数或者不是以T 为周期的周期函数，只需要举一反例即可．【正解】 由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x 值，有f (x ＋T )＝f (x )，故x ＋T 也应在定义域内，但是当x ＝π时，x ＋π2＝3π2∉[－π，π]，故函数y ＝cos 4x ，x∈[－π，π]不是周期函数．1．函数周期性的理解：(1)对于“f (x ＋T )＝f (x )”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x ，x ＋T 仍在定义域内且等式成立．(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么kT (k ∈Z ，k ≠0)也一定是函数的周期．(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f (x )＝C 没有最小正周期． 2．求三角函数的周期，通常有三种方法． (1)定义法；(2)公式法，对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|；(3)观察法(图象法)． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.1．下列说法中，正确的是________①因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是函数y ＝sin x 的一个周期； ②因为tan(2π＋x )＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的最小正周期；③因为当x ＝π4时，等式sin(π2＋x )＝sin x 成立，所以π2是函数y ＝sin x 的一个周期；④因为cos(x ＋π3)≠cos x ，所以π3不是函数y ＝cos x 的一个周期．【解析】 根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y ＝tan x 的一个周期，但不是最小正周期．【答案】 ④2．函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(ω＞0)的周期为π4，则ω＝________.【解析】 由2πω＝π4，得ω＝8.【答案】 8 3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当2＜x ≤6时，f (x )＝3－x ，则f (1)＝________.【解析】 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (1)＝f (1＋4)＝f (5)，又当2＜x ≤6时，f (x )＝3－x ，∴f (5)＝3－5＝－2，∴f (1)＝－2.【答案】 －24．求下列函数的最小正周期：(1)y ＝－2cos(－12x －1)；(2)y ＝3sin(π6＋3x )；(3)y ＝4sin(ax ＋π6)(a ≠0)．【解】 (1)原函数可化为y ＝－2cos(12x ＋1)．∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π.(2)∵ω＝3，∴T ＝2π3.(3)当a >0时，T ＝2πa，当a <0时，y ＝－4sin(－ax －π6)，T ＝2π－a .综上可知T ＝2π|a |.一、填空题1．函数y ＝3sin(π6－32x )的周期是________．【解析】 T ＝2π|－32|＝4π3.【答案】 4π32．下列各图形是定义在R 上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的有________．(填序号)图1－3－1【解析】 根据周期函数图象特征可知图①②③都是周期函数；图④为一个偶函数图象，不是周期函数．【答案】 ①②③3．函数y ＝2cos(π3－ωx )(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.【解析】 由周期公式可知4π＝2π|ω|⇒|ω|＝12，由ω＜0，可知ω＝－12.【答案】 －124．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．【解析】 f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.【答案】325．已知定义在R 上的函数f (x )是以2为周期的奇函数，则方程f (x )＝0在[－2,2]上至少有________个实数根．【解析】 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵函数f (x )以2为周期， ∴f (2)＝f (－2)＝f (0)＝0，且{ f －1＝－f 1f －1＝f 1， 解得f (－1)＝f (1)＝0，故方程f (x )＝0在[－2,2]上至少有5个实数根． 【答案】 56．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝1f x，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ，则f (7.5)＝________.【解析】 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1fx ＋2＝f (x )， ∴T ＝4，∴f (7.5)＝f (4×2－0.5) ＝f (－0.5)＝f (0.5)＝1.【答案】 17．已知函数f (x )＝2sin(kx ＋π6)的最小正周期T ∈(1,3)，则正整数k 的取值集合是________．【解析】 由题意得1＜2πk ＜3⇒⎩⎨⎧ 2πk ＞1，2πk ＜3⇒⎩⎨⎧k ＜2π，k ＞2π3，即2π3＜k ＜2π. ∵k ∈N *，∴k ＝3,4,5,6. 【答案】 {3,4,5,6}8．设函数f (x )(x ∈R )是以π为最小正周期的周期函数，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ；当x ∈[π2，π)时，f (x )＝cos x ，则f (113π)＝________.【解析】 ∵T ＝π，x ∈[π2，π)时，f (x )＝cos x .∴f (113π)＝f (3π＋2π3)＝f (2π3)＝cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.【答案】 －12二、解答题9．已知函数y ＝5sin(k 3x ＋π3)．(1)若函数的周期为3π，求k 的值；(2)若函数的周期不大于1，求自然数k 的最小值．【解】 (1)∵函数y ＝5sin(k 3x ＋π3)的周期T ＝2π|k3|＝3π，∴|k |＝2，∴k ＝±2.(2)∵T ≤1，∴2π|k 3|≤1，即|k |≥6π≈18.85， 又k 为自然数， ∴k 的最小值为19.10．已知f (x )是周期为T (T ＞0)的周期函数，则f (2x ＋1)是否为周期函数，若是，请求出其周期．【解】 ∵f (x )＝f (x ＋T )，∴f (2x ＋1)＝f (2x ＋1＋T )＝f [2(x ＋T2)＋1]．∴周期为T2，∴f (2x ＋1)是周期为T2的周期函数．11．设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，f (x )在[0,3]内单调递增，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，试比较f (1.5)，f (3.5)，f (6.5)的大小．【解】 如图，∵f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，∴f (6.5)＝f (0.5)，又∵y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，∴f (3.5)＝f (2.5)，利用f (x )在[0,3]内单调递增可知，f (0.5)＜f (1.5)＜f (2.5)， 即f (6.5)＜f (1.5)＜f (3.5)．(教师用书独具)若函数f (n )＝sinn π6(n ∈Z )，求f (97)＋f(98)＋f (99)＋…＋f(102)的值． 【思路探究】 直接求和较难，可以判断f (n )的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解．【自主解答】 由题意得sin n π6＝sin(n π6＋2π)＝sin[n ＋12π6](n ∈Z )，∴f (n )＝f (n ＋12)，∵97＝12×8＋1,98＝12×8＋2，…，102＝12×8＋6， ∴f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3.当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．已知f (n )＝sin n π4，n ∈N *，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值为________．【解析】 ∵f (n )＝sin n π4，n ∈N *，∴T ＝2ππ4＝8， 又f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝sin π4＋sin π2＋…＋sin 2π＝0，且100＝12×8＋4，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝12[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝sin π4＋sin π2＋sin 3π4＋sin π＝2＋1.【答案】2＋1。

第十一课时 三角函数的周期性教学目标：掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的周期教学难点：函数的周期性教学过程：由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同.即有： sin （2π＋x ）＝sin x ，cos （2π＋x ）＝cos x ，正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期正切函数是周期函数，且周期T ＝π课本P 26例1、例2一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)及y ＝A cos(ωx ＋ϕ)（其中A 、ω、ϕ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T ＝2πω ，函数y ＝A tan (ωx ＋ϕ)的周期T ＝πω周期函数应注意以下几点：1.式子f (x ＋T )＝f (x )对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x ，式子都成立.而不能是“一个x ”或“某些个x ”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.例如：由于sin(π12 ＋5π6 )＝sin π12 ，即sin(x ＋5π6 )＝sin x .该式中x 取π12时等式成立，能否断定5π6 是sin x 的周期呢?不能，因对于其他一些x 值该式不一定成立.如x ＝π6时，sin(x ＋5π6)≠sin x . ［例］函数y ＝cos x (x ≠0)是周期函数吗?解：不是，举反例，当T ＝2π时，令x ＝－2π，则有cos(x ＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x ＝0，不属于题设的定义域，则x 不能取－2π，故y ＝cos x (x ≠0)不是周期函数.2.式子f (x ＋T )＝f (T )是对“x ”而言.例如，由cos( x 3 ＋2k π)＝cos x 3 (k ∈Z )，是否可以说cos x 3的周期为2k π呢?不能!因为cos( x 3 ＋2k π)＝cos x ＋6k π3 ，即cos x ＋6k π3 ＝cos x 3 (k ∈Z )，所以cos x 3 的周期是6k π，而不是2k π(k ∈Z ).3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f (x )＝a (常数)，显然任何一个正数T 都是f (x )的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f (x )＝a 无最小正周期.4.设T 是f (x )(x ∈R )的周期，那么kT (k ∈Z ，且k ≠0)也一定是f (x )的周期，定义规定了T 为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T 的取值范围，只要求不为零，不要误认为T 一定是π的倍数.有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：［例1］函数y ＝sin πx 的周期是T ＝2ππ＝2. ［例2］函数y ＝tan2πx 的周期是T ＝π2π ＝12. ［例3］若对于函数y ＝f (x )定义域内的任何x 的值，都有f (x ＋1)＝f (x )成立，则由周期函数的定义可知，函数y ＝f (x )是周期函数，且T ＝1是其周期.［例4］设f (x )定义在R 上，并且对任意的x ，有f (x ＋2)＝f (x ＋3)－f (x ＋4). 求证：f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.证明：∵f (x ＋2)＝f (x ＋3)－f (x ＋4) ①∴f (x ＋3)＝f (x ＋4)－f (x ＋5) ②①＋②得：f (x ＋2)＝－f (x ＋5) ③由③得：f (x ＋5)＝－f (x ＋8) ④∴f (x ＋2)＝f (x ＋8)即f (x )＝f (x ＋6)∴f (x )为周期函数，一个周期为6.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f (x )(如y ＝log 2x ，y ＝｜x ｜，y ＝2x ，y ＝x 2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y ＝x 2(x ∈R )在其定义域R 内限制在(－1，1］，然后将y ＝x 2(－1＜x ≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f (x )＝(x －2k )2(2k －1＜x ≤2k ＋1)，k ∈Z ，如图：［例］已知f (x )＝｜x ｜，x ∈(－1，1］，求定义在R 上的一个周期为2的函数g(x )，使x ∈(－1，1］时，g(x )＝f (x ).解：由g (x )的周期性可画出g(x )的图象.如图：对于任意的x ∈R ，x 一定在周期为2的区间(2n －1，2n ＋1］内，则x －2n ∈(－1，1］. ∴g (x )＝g (x －2n )＝f (x －2n )＝｜x －2n ｜，即g (x )＝⎩⎨⎧≤<-+-+≤<-nx n n x n x n n x 212,2122,2评述：(1)要判定f (x )是周期函数，自变量x 必须取遍定义域内的每一个值.(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.课堂练习：课本P 27 练习1～4课时小结：要初步掌握三角函数的周期性.课后作业：课本P 45 习题 1。

三角函数的周期性三角函数知多少正弦函数作代表赣榆区赣马高级中学李春利一、教学目标及分析1知识与技能1、了解周期函数的概念2、会判断一些简单、常见的函数的周期3、会求一些简单三角函数的周期2过程与方法1、通过组织学生从生活实际周期现象出发，逐步抽象出函数周期性的定义，不断增强学生分析问题、解决问题的能力2、通过本节的学习，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比拟、归纳、分析等一般科学方法的运用3、通过对例2的学习，使学生进一步理解周期函数的定义和正弦函数、余弦函数的最小正周期，通过观察、归纳、类比方法的运用得出一般情况：3情感、态度与价值观1 通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，让学生体会数学律，体会从感性到理性的思维过程，2 在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对三角函数周期性的理解，让学生在亲身经历数学研究的过程中，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

二、学情分析三角函数是必修4整本教材的核心内容，虽然初中学生已对三角函数有了一定的了解，但那只局限在直角三角形中，对三角函数的特征还很茫然。

进入高中后学生学习了三角函数的定义，诱导公式，让学生具备了有一定能力去进行深入的研究，而周期性是三角函数的重要性质之一，在高中数学课程编排中是以三角函数为载体引出周期性这一概念的，理解三角函数周期性的本质对于函数周期性的后续学习起到至关重要的作用。

正弦、余弦函数作为最重要的两类三角函数，对其周期性的学习对后面它们的图像和性质的探究和学习起到了非常关键的作用。

因此本节课的学习至关重要。

三、教学重点和难点，教学方法分析重点：1、周期函数的概念2、求一些简单三角函数的周期难点：周期函数的概念的理解教学方法：引导发现法、观察归纳法，合作讨论法依据：为了把发现创造的时机还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维开展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的时机;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程．四、教学过程〔一〕、问题情境问题1: 年复一年，日复一日，潮汐潮落、、、、、、，这些事物呈现一种什么现象？你能再举一些这样的例子吗？设计意图：是从简单的问题出发，可以让学生立即进入上课的状态。

使学生对周期现象有一个初教学重周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法教学过程备课札记函数是如何刻画周期现象的呢？．在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生函数解析式的特点的描述，四、数学运用之间的函数关系如图1)sR上，精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。