第一章 函数、极限与连续教材

第一章 函数、极限与连续初等数学的研究对象基本上是不变的量，高等数学的研究对象是变动的量。

而函数是高等数学的主要研究对象，极限是微积分的理论基础，极限方法是研究变量的一种基本方法，连续是函数的一个重要性态。

本章将介绍函数、极限与连续的基本概念、基本方法以及一些性质。

第一节 函数一、集合 1、集合概念集合是数学中的一个重要概念，下面我们通过几个例子来理解它. 例如：一个专业的学生、一批灯泡、全体实数等，这些由某种特定事物组成的集体都是集合。

一般地，具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 通常用大写英文字母如C B A 、、等表示. 而组成集合的事物称为集合的元素，用小写英文字母如c b a ，，. 表示. 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记为A a ∈.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记为A a ∉或A a ∈. 由有限个元素组成的集合称为有限集，由无限个元素组成的集合称为无限集.下面举几个集合的例子：(1) 某大学2009级的全体学生；(2) 不等式0862<+-x x 的所有解； (3) 全体有理数；(4) 抛物线232+-=x x y 上所有的点.2、集合的表示(1) 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，并用{ }括起来. 例如由f e d c b a ，，，，，组成的集合A ，可表示为} {f e d c b a A ，，，，，=. (2) 描述法：若集合A 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成，则A 可表示为}{P x x A 具有性质=，例}086{2<+-x x x . 对于数集，我们介绍几个特殊的数集及其记法.全体非负整数即自然数构成的集合记为N , 即} 2 1 0{ ，，，，，n N =.全体正整数构成的集合记为+Z , 即} 2 1 { ，，，，n Z =+.全体整数构成的集合记为Z ，即} 2 1 0 1 2 { ，，，，，，，，，，n n Z ---=. 全体有理数构成的集合记为Q ，即},|{互质与且q p Z q Z p qpQ +∈∈=全体实数构成的集合记为R , 全体正实数构成的集合记为+R . 全体复数构成的集合记为C .3、子集: 设B A 、是两个集合，如果集合A 的所有元素都是集合B 的元素，即若A x ∈，必有B x ∈，则称A 是B 的子集，记为B A ⊂(读作A 包含于B )或A B ⊃(读作B 包含A ).如果集合A 与集合B 互为子集, 即B A ⊂且A B ⊂, 则称集合A 与集合B 相等, 记为B A =. 例如，设 }21{、<<=x x A }023{2<+-=x x x B ，则B A =. 若B A B A ≠⊂且，则称A 是B 的真子集，记为B A ≠⊂. 例，N R Q Z N ≠⊂≠⊂≠⊂.不含任何元素的集合称为空集，记为φ. 规定空集是任何集合的子集. 4、集合的运算(1) 并：设B A 、是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并)，记为B A ，即}{B x A x x B A ∈∈=或 .(2) 交：设B A 、是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交)，记为B A ，即}{B x A x x B A ∈∈=且 .(3) 差：设B A 、是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差)，记为B A \，即}{\B x A x x B A ∉∈=且.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行，所研究的其它集合A 都是I 的子集.我们称集合I 为全集，称A I \为A 的余集或补集, 记为A 或C A .、，，，、，，，，，设例如，7} 5 3 1{ }6 5 4 3 2 1{ ==B A }10 9 8 7 6 5 4 3 2 1{，，，，，，，，，，=I 则 }7 6 5 4 3 2 1{，，，，，，=B A 、}5 3 1{，，=B A ；}7{\ }6 4 2{\；、，，==A B B A }10 9 8 6 4 2{ }10 9 8 7{，，，，，、，，，==B A .(4) 集合运算的法则设C B A 、、为任意三个集合，则 ①交换律：A B B A A B B A == ，；②结合律：)()( )()(C B A C B A C B A C B A ==，；③分配律：)()()( )()()(C B C A C B A C B C A C B A ==，； ④对偶律：B A B A B A B A == 、. 以上法则都可以根据集合运算及相等的定义证明. 5、区间和邻域(1) 区间：区间是微积分中常用的实数集. 设b a 和为实数，且b a <，数集}{b x a x <<称为开区间，记为) (b a ，，即}{) (b x a x b a <<=，. 其中b a 和称为开区间) (b a ，的端点.类似可定义闭区间和半开半闭区间如下： 闭区间}{] [b x a x b a ≤≤=，； 半开半闭区间}{) [b x a x b a <≤=，、}{] (b x a x b a ≤<=，. 以上区间称为有限区间，而数a b -称为这些区间的长度. 另外我们还可以定义无限区间，为此引入记号∞+(读作正无穷大)及∞-(读作负无穷大)，则可以定义如下无限区间：}{) (a x x a >=∞+，、}{) [a x x a ≥=∞+，； }{) (b x x b <=-∞，、}{] (b x x b ≤=-∞，；R =∞+-∞) (，.有限区间和无限区间都可以在数轴上表示，例图1-1)( )( )( )(d c b a 、、、分别表示区间] ( ) ( ] [ ) (b a b a b a ，、，、，、，-∞∞+.图1-1(2) 邻域:邻域也是微积分中常用的实数集，它是一类特殊的区间. 设δ和a 为实数，且0>δ，数集}{δ<-a x x称为以点a 中心，δ为半径的邻域，记为) (δ，a U ，即}{) (δδ<-=a x x a U ，.) (δ，a U 还可以表示为) () (δδδ+-=a a a U ，，，如果不需要指出其半径，则) (δ，a U 可简记为)(a U .点a 的δ的邻域) (δ，a U 在数轴上表示如图1-2图1-2有时用到的邻域要把中心去掉，点a 的δ邻域去掉中心a 后称为点a 的去心δ邻域，记为) (δ，a U o，即}0{) (δδ<-<=a x x a U o，. 二、函数1、函数的概念定义 设D 是一个非空数集，如果存在一个法则f ，使得对D 中每个元素x ，按法则f ，都有一个确定的实数y 与之对应, 则称f 为定义在D 的函数， 记为)(x f y =. 其中x 称为自变量，y 称为因变量；数集D 称为函数的定义域，记为f D ，即D D f =.对D x ∈0，按照法则f ，有确定的值0y (记为)(0x f )与之对应，称)(0x f 为函数在点0x 处的函数值，还可记为0x x y =. 所有函数值的集合称为函数的值域，记为f R ，即} )({D x x f y y R f ∈==，. 函数的定义域和对应法则是确定函数的两个要素，当两个函数的定义域和对应法则均相同时，称两个函数相等. 例1、下列各对函数是否相同？(1) 1)(11)(2+=--=x x g x x x f 与(2) x x g x x f lg 2)(lg )(2==与解(1) 因为)(x f 的定义域为) 1()1 (∞+-∞，， ，)(x g 的定义域为) (∞+-∞，， 所以)(x f 与)(x g 的定义域不同，故)()(x g x f 与不相同.(2) 因为)(x f 的定义域为) 0()0 (∞+-∞，， ，)(x g 的定义域为) 0()0 (∞+-∞，， ，所以)(x f 与)(x g 的定义域相同.又x x f lg 2)(=，所以)(x f 与)(x g 的对应法则相同. 故)()(x g x f 与相同.关于函数的定义域，通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定. 例如在自由落体运动中，设物体下落的时间为t ，下落的距离为s ，开始下落的时刻0=t ，落地的时刻T t =，则s 与t 之间的函数关系是] 0[ 212T t gt s ，，∈=，则这个函数的定义域就是区间] 0[T ，.另一种是对抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域. 例如函数21x y -=的定义域是闭区间]1 1[，-，函数211xy -=的定义域是开区间)1 1(，-.例2、求下列函数的定义域.31)2arcsin()( )2( 4)1lg()( )1(2-+-=-+-=x x x f x x x f ， 解(1) 要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≥->-04012x x ，解不等式得⎩⎨⎧≤≤->221x x ，所以21≤<x ，故所求定义域为]2 1(，=f D . (2) 要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≤-0312x x ，解不等式得⎩⎨⎧≠≤≤ 331x x ，所以31<<x ，故所求定义域为)3 1[，=f D .在函数的定义中，对每个f D x ∈，对应的函数值y 总是唯一的，这样种函数称为单值函数. 否则称为多值函数，例如方程222r y x =+在闭区间] [r r ，-上确定了以x 为自变量、y 为因变量的函数，但对每个) (r r x ，-∈，对应的y 有两个值22x r y -+=，所以这方程确定了一个多值函数. 一般若无特别说明，本教材中的函数均指单值函数.表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法)，这在中学里大家已经熟悉. 其中用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集} )() {(f D x x f y y x W ∈==，，称为函数)(x f y =的图形(图1-3).图1-3根据函数的解析式的形式不同，函数又可分为显函数、隐函数、分段函数. (1)显函数：函数y 由x 的解析表达式直接给出，例如x x y sin +=.(2)隐函数：函数的因变量y 与自变量x 的对应关系由方程0) (=y x F ，给出，例如)ln(y x y +=.(3)分段函数：函数在定义域的不同变化范围内，具有不同的解析表达式.下面介绍几个分段函数.例3、绝对值函数⎩⎨⎧<-≥==0 0||x x x x x y其定义域为) (∞+-∞=，f D ，值域为) 0[∞+=，f R ，图形如图1-4 例4、符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y .其定义域为) (∞+-∞=，f D ，值域为}1 0 1{，，-=f R ，图形如图1-5.图1-4 图1-5例5、取整函数][x y =其中][x 表示不超过x 的最大整数，例如3]3.2[ 0]3.0[ 2]4.2[-=-==，，. 取整函数][x y =的定义域为) (∞+-∞=，f D ，值域为Z ，图形如图1-6图1-62、函数的特性 (1)函数的有界性设函数)(x f 的定义域为D ，数集D X ⊂，如果存在正数M ，使对一切X x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在X 上有界. 否则称函数)(x f 在X 上无界. 若D X =，则称)(x f 为有界函数..函数)(x f )无界, 就是说对任何正M ，总存在X x ∈0，使M x f >)(. 例如①函数) (sin )(∞+-∞=，在x x f 上有界，因为1sin ≤x . ②函数xx f 1)(=在开区间)1 0(，无界，因为 对任意0>M ，要使M xx x f >==11)(，只要M x 1<，这时取M x +=110，则M M x f x >+=∈1)()1 0(00且，，所以函数xx f 1)(=在开区间)1 0(，无界. 函数x x f 1)(=在(1, 2)内是有界的.(2)函数的单调性设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊂. 如果任意I x x ∈21 、，当21x x <时， 恒有)()(21x f x f <则称函数)(x f 在区间I 上是单调增加的(图1-7). 这时区间I 称为)(x f 单调增加区间.如果任意I x x ∈21 、，当21x x <时， 恒有)()(21x f x f >则称函数)(x f 在区间I 上是单调减少的(图1-8). 这时区间I 称为)(x f 单调减少区间.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.图1-7 图1-8例如，函数2x y =在区间]0 (，-∞上是单调增加的, 在区间) 0[∞+，上是单调减少的, 在) (∞+-∞，上不是单调的(图1-9). 而函数3x y =在) (∞+-∞，上是单调增加的(图1-10)图1-9 图1-10 (3)函数的奇偶性设函数)(x f 的定义域D 关于原点对称，如果对于任一D x ∈，有)()(x f x f -=-则称)(x f 为奇函数. 如果对于任一D x ∈，有)()(x f x f =-则称)(x f 为偶函数.奇函数的图形关于原点轴对称(图1-11)，偶函数的图形关于y 轴对称(图1-12).图－11 图1-12函数3sin x y x y ==、都是奇函数，2cos x y x y ==、是偶函数，而x x y cos sin +=是非奇非偶函数.例6、判断)1ln()(2x x x f -+=的奇偶性.解 因为)(x f 的定义域为) (∞+-∞，，且)]()(1ln[)(2x x x f ---+=-)1ln(2x x ++= )()1l n (11ln22x f x x xx -=-+-=-+=所以)(x f 为奇函数. (4)函数的周期性设函数)(x f 的定义域D ，如果存在一个正数T ，使得对于任一D x ∈有D T x ∈+)(，且)()(x f T x f =+则称)(x f 为周期函数，且T 称为)(x f 的一个周期.显然若T 为函数)(x f 的一个周期，则)(+∈Z n nT 也为)(x f 的周期，通常我们所说的周期是指最小正周期. 例如x x y cos sin 、=的周期为π2，x x y cot tan 、=的周期为π.周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为T 的区间上，函数的图形有相同的形状(如图1-13).图1-133、反函数与复合函数 (1)反函数 定义：设函数)(x f y =的定义域为f D ，值域为f R . 如果对任一个f R y ∈，存在确定f D x ∈与y 对应且满足关系式)(x f y =则在f R 上定义了一个函数，称之为)(x f y =的反函数，记为)(y x ϕ=或)(1y fx -=. 而原来的函数)(x f y =称为直接函数.函数)(x f y =，x 为自变量，y 为因变量，定义域为f D ，值域为f R . 函数)(1y fx -=，y 为自变量，x 为因变量，定义域为f R ，值域为f D .一般地，习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，于是我们把f D x x f y ∈= )(，的反函数记为f R x y fy ∈=- )(1，.函数)(x f y =与它的反函数关于直线x y =对称(图1-14).图1-14例7、求函数2xx e e y --=的反函数.解 由2x x e e y --=得 x x e e y --=2，012)( 2=--xx ye e 即.于是2212442y y y y e x++=++=，)1ln(2y y x ++= 故所求反函数为)1ln(2x x y ++=. (2)复合函数定义：设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x u ϕ=的值域为ϕR ，若φϕ≠R D f则称函数)]([x f y ϕ=为复合函数，其中x 为自变量，y 为因变量，而u 称为中间变量.例如，函数u y sin =与12+=x u 的复合函数为)1sin(2+=x y .不是任何两个函数都能复合成一个复合函数. 例如，u u f y arcsin )(==与2)(2+==x x u ϕ就不能复合成一个复合函数，因为]1 1[，-=f D ，) 2[∞+=，ϕR ，φϕ=R D f .利用复合函数的概念，可以将一个复杂的函数看成由几个简单函数复合而成，以便于对函数进行研究. 例如函数1sin +=x ey 可以看成u y sin =、v e u =、1+=x v 三个函数复合而成.三、初等函数 1、基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等五类函数统称为基本初等函数，下面分别进行介绍.(1)幂函数：)( 为实数μμx y =定义域依μ的取值而定，但不论μ取何值，μx y =在) 0(∞+，都有定义且图形都经过点)1 1(，.322x y x y ==、例如的定义域为) (∞+-∞，，图形关于y 轴对称(图1-15). 313x y x y ==、例如的定义域为) (∞+-∞，，图形关于原点对称(图1-16). xy 1=例如的定义域为)(00) (∞+-∞，， ，图形关于原点对称(图1-17)图1-15 图1-16 图1-17(2)指数函数：)1 0( ≠>=a a a y x，特别有xe y =，其中 597182818284.2=e 为无理数.定义域为) (∞+-∞，，值域为) 0(∞+，，图形都通过点)1 0(，. 当1>a 时，函数x a y =单调增加；当10<<a 时，函数x a y =单调减少. x a y =与x a y -=的图形关于y 轴对称(图1-18).(3)对数函数：)1 0( log ≠>=a a x y a ， 特别当e a =时，对数函数记为x y ln =.定义域为) 0(∞+，，值域为) (∞+-∞，，图形都通过点)0 1(，. 当1>a 时，函数x y a log =单调增加；当10<<a 时，函数x y a log =单调减少. x y a log =与x y a1log =的图形关于x 轴对称(图1-19). 对数函数与指数函数互为反函数.图1-18 图1-19(4)三角函数：x y x y x y x y x y x y csc sec cot tan cos sin ======、、、、、 常用的三角函数：①正弦函数x y sin =，定义域为) (∞+-∞，，值域为]1 1[，-，是奇函数及以π2为周期的周期函数(图1-20)图1-20②余弦函数x y cos =，定义域为) (∞+-∞，，值域为]1 1[，-，是偶函数及以π2为周期的周期函数(图1-21)图1-21③正切函数x y tan =，定义域为Z k k x ∈+≠ 2，ππ，值域为) (∞+-∞，，是奇函数及以π为周期的周期函数(图1-22)④余切函数x y cot =，定义域为Z k k x ∈≠ ，π，值域为) (∞+-∞，，是奇函数及以π为周期的周期函数(图1-23)图1-22 图1-23(4)反三角函数： arctan arccos arcsin 、、、x y x y x y ===x arc y cot = 由于三角函数x y x y x y x y cot tan cos sin ====、、、在定义域内不是单调的，为了得到它们的反函数，对这些三角函数我们限定在某个单调区间内进行讨论，所以取反三角函数的主值.常用的反三角函数：①反正弦函数x y arcsin =，定义域为]1 1[，-，值域为]2 2[ππ，-，是奇函数，且为增函数(图1-24)②反余弦函数x y arccos =，定义域为]1 1[，-，值域为] 0[π，，是减函数(图1-25) ③反正切函数x y arctan =，定义域为) (∞+-∞，，值域为)22(ππ，-，是奇函数，且为增函数(图1-26)④反余切函数x y cot arc =，定义域为) (∞+-∞，，值域为) 0(π，，是减函数(图1-27)图1-24 图1-25 图1-26 图1-272、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数. 例如2c o t xy =、21)1arcsin(x x y +-=，221cos x x x y --= 等都是初等函数.习 题 1-11. 设，，，，，]3 8( ) 4()4 (-=∞+--∞=B A 求A B B A B A B A \ \ 、、、 .2. 设B A 、为任意两个集合，证明：B A B A =.3. 求下列函数的定义域： 32 )1(+=x y 21ln)2(-=x y 241)3(xy -= 111)4(2++-=x x y 23)2a r c c o s ( )5(2+--=x x x y 45lg )4(2x x y -= 4. 下列各对函数是否相同？ (1) 2)(44)(2-=+-=x x g x x x f 与(2) )tan (sec )()(22x x x x g x x f -==与5. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<= 3 03 sin )(ππx x x x f ，，，求)2( )6( )6( )4(--f f f f 、、、πππ并作)(x f y =的图形.6. 设) 0()(∞+，在x f 上有意义，0 021>>x x 、，证明：(1)若x x f )(单调减少，则)()()(2121x f x f x x f +<+； (2)若xx f )(单调增加，则)()()(2121x f x f x x f +>+；7. 下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？ (1)1cos sin +-=x x x y (2)32x x y -= (3)2xx e e y --=(4)xx y -+=11ln (5))1)(1(2+-=x x x y (6)12+=xy8. 证明定义在) (a a ，-内的任意函数)(x f 都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和.9. 下列函数中哪些周期函数？对于周期函数求其周期.(1)x y 2cos = (2)x x y sin = (3)x y sin = (4)x x y cos sin +=10. 证明函数x x x f cos )(=在) 0(∞+，上是无界函数.11. 求下列函数的反函数.(1)31x y -= (2)x x y +-=32 (3))2ln(1++=x y (4)122+=x xy12. 设x xx f +=1)(，求)]}([{ )]([x f f f x f f 、.13. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 11 01 1)(x x x x f ，，，，x e x g =)(， 求)]([x g f 及)]([x f g ，并作出它们的图形.14. 设函数)(x f 的定义域为]1 0[，，求下列函数的定义域.(1))(2x f (2))(sin x f (3))0( )()(>++-a a x f a x f15. 已知225)1(x xx f +=，求)1( )(2+x f x f 、. 16. 设221)1(x x x x f +=+，求)(x f .17. 设)( 1)1()(3)(x f xxf x f x f 求，满足=-. 18. 设2sin )( cos 1)]([xx x x f =+=ϕϕ，，求)(cos x f . 19. 下列函数可以看成由哪些函数复合而成? (1)4)lg 1(x y += (2)xey 1sin= (3))2ln(cos -x (4))1arctan(2+=x y20. 某工厂生产某产品，每日最多生产100单位，它的日固定成本为130元，生产一个单位的可变成本为6元，求该厂日总成本函数及平均单位成本函数.21. 某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内按原价出售，超过700吨时，超过的部分打九折出售，试将销售总收益与总销量的函数关系用数学表达式表出.第二节 数列的极限一、数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法――割圆术，就是极限思想在几何上的应用.设有一圆，首先作内接正六边形，它的面积记为1A ；再作内接正十二边形, 它的面积记为2A ；再作内接正二十四边形, 它的面积记为3A ；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正)(261+-∈⨯Z n n 边形的面积记为n A . 这样就得到一系列内接正多边形的面积：321，，，，，n A A A A ⋅设想n 无限增大(记为∞→n ，读作n 趋于穷大)，即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数(数列) 321，，，，，n A A A A 当∞→n 时的极限. 在圆面积问题中我们发现，正是数列的极限才精确地表达了圆的面积.又如，春秋战国时期的哲学家庄子(公元4世纪)在《庄子•天下篇》一书中对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也包含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，微积分中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上，极限方法已成为微积分中的一种基本方法，因此有必要作进一步阐述.数列的概念：定义在正整数集合上的函数)(n f y =，当自变量n 按 3 2 1，，，依次增大的顺序取值时，得到一列有次序的函数值)( )3( )2( )1(321，，，，，n x n f x f x f x f ====这一列有次序的数就叫做数列，记为}{n x ，其中第n 项n x 称为数列的一般项或通项. 例如：143 32 21，，，，，+n n； 3 3 3 332，，，，，n ；31 31 31 3132，，，，，n ； 1)( 1 1 1，，，，，n ---； )1( 3421 21，，，，，nn n --+.都是数列的例子，它们的通项分别为：n n n n n nn n 1)1( )1( 31 3 1--+-+，，，，. 在几何上，数列}{n x 可作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 321，，，，，n x x x x (图1-27)图1-27下面我们通过一个例子引出极限的概念.观察数列})1({}{1nn x n n --+=： )1(3421 21，，，，，nn n --+当n 无限增大时的变化趋势.因为nn x n n 1)1(11=-=--易见，当n 越来越大时，n1越来越小，从而n x 就越来越接近1. 因为只要n 足够大，nx n 11即-就可以小于任意给定的正数，所以当n 无限增大时，n x 无限接近1. 例如，给定10001，要使100011<n ，只要1000>n ，即从第1001项起，都能使不等式100011<-n x 成立. 同样给定1000001，要使10000011<n ，只要100000>n ，即从第100001项起，都能使不等式10000011<-n x成立. 一般地，对给定不论多么小的正数ε，总存在一个正整数N ，当N n >时，有不等式ε<-1n x都成立. 即当∞→n 时，数列n n x n n 1)1(--+=无限接近1. 数1称为nn x n n 1)1(--+=当∞→n 时的极限.定义 设有数列}{n x 与常数a ，若对任意给定0>ε(不论ε多么小)，总存在正整数N ，使得当N n >，不等式ε<-a x n都成立，则称常数a 是数列}{n x 的极限，或称数列}{n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim 或 )( ∞→→n a x n如果一个数列没有极限，则称数列}{n x 是发散的. 习惯上也说n n x ∞→lim 不存在. 上述定义中正数ε可以任意给定是非常重要的，只有这样，不等式ε<-a x n 才能表达n x 与a 无限接近的意思. 另外正整数N 是与ε有关，它随着ε的给定而确定.a x n n =∞→lim 的几何解释：将常数a 及数列 21，，，，n x x x 表示在数轴上，再在数轴上作a 的ε邻域) (ε，a U (图1-28)图1-28因为不等式ε<-a x n 与不等式εε+<<-a x a n 等价，所以a x n n =∞→lim 的几何意义为：当N n >时，所有的点n x 都落在开区间) (εε+-a a ，内，而至多只有N 个点落在这个区间之外.为方便起见，我们把数列极限a x n n =∞→lim 的定义表述为：0lim >∀⇔=∞→εa x n n ，0>∃N ，当N n >时，有ε<-a x n .数列极限的定义并没有给出求极限的方法，但给出了证明数列}{n x 的极限为a 的方法. 下面举例说明如何证明数列极限. 例1、证明)( lim 为常数C C C n =∞→.证 0>∀ε，取1=N ，当N n >时，有ε<=-0C C ， 故 )( lim 为常数C C C n =∞→例2、证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n .证 0>∀ε，要使ε<=--+-n n n n 11)1(1，只要ε1>n ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N 所以0>∀ε，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃ε1N ，当N n >时，有ε<--+-1)1(1n n n ，故 1)1(lim 1=-+-∞→n n n n .例3、证明).1( 0lim <=∞→q q n n证 当0=q 时，0=n q ，所以. 0lim =∞→n n q当0≠q 时，)1(0<>∀εε，要使ε<=-nn q q 0， 只要εqn log>，取[]1log +=εq N所以0>∀ε，[]1log+=∃εqN ，当N n >时，有ε<-0n q ，故 . 0l i m =∞→nn q因此 ).1( 0lim <=∞→q q n n二、收敛数列的性质:定理1(极限的唯一性) 若数列}{n x 收敛，则它的极限是唯一的. 证 设a x n n =∞→lim 、b x n n =∞→lim ，则0>∀ε，01>∃N ，当1N n >时，有ε<-a x n ， 0>∀ε，02>∃N ，当2N n >时，有ε<-b x n .取} max{21N N N ，=，则当N n >时，同时有ε<-a x n 、ε<-b x n ， 于是 εεε2=+<-+-≤-+-=-b x a x b x x a b a n n n n . 由于ε为任意小的正数，所以0=-b a ， 故b a =，从而结论成立.定理2(收敛数列的有界性) 若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 一定有界. 证 设a x n n =∞→lim ，则对01>=ε，0>∃N ，当N n >时，有1<-a x n ， 因为 a x a x n n -<-，所以a x n +<1.取} 1max{21N x x x a M ，，，，+=，则对所有的n ，有M x n ≤， 因此数列}{n x 一定有界.定理3收敛数列的保号性) 若a x n n =∞→lim 且)0(0<>a a 或，则存在正整数N ，当N n >时，有)0(0<>n n x x 或.证 我们只证0>a 的情形. 因为a x n n =∞→lim 且0>a ，则对02>=a ε，则存在正整数N ，当N n >时，有2aa x n <-. 因为n n x a a x -≥-，从而2ax a n <-， 所以 022>=->aa a x n . 推论 若数列}{n x 从某项起有)0(0≤≥n n x x 或，且a x n n =∞→lim ，则0≥a (或0≤a ).证 只证0≥n x 的情形. 设数列}{n x 从1N 项起，即当1N n >时，有0≥n x . 下面用反证法证明，设0<a ，则由定理3知，存在正整数2N ，当2N n >时，有0<n x 时.取} max{21N N N ，=，当N n >，同时有0 0<≥n n x x 、. 显然这是矛盾的，所以0≥a .若推论的条件0≥n x 改为0>n x ，则结论仍为0>a . 例如01>=nx n ，但0lim =∞→n n x子数列：在数列}{n x 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列}{n x 的子数列. 例如，数列})1{(}{1+-=n n x ： )1( 1 1 1 11，，，，，，+---n ⋅有子数列}{2k x ：1 1 1，，，，---及子数列}{12-k x ： 1 1 1，，，，.定理4(收敛数列与其子数列间的关系)⇔=∞→a x n n lim a x a x k k k k ==∞→-∞→212lim lim 且.推论 若b x a x k k k k ==∞→-∞→212lim lim ，，且b a ≠，则数列}{n x 发散.例4、设1)1(+-=n n x ，证明：数列}{n x 发散.证 因为 11lim )1(lim lim 212==-=∞→∞→-∞→k kk k k x ，1)1(lim )1(lim lim 1212-=-=-=∞→+∞→-∞→k k k k k x显然 11-≠， 所以数列}{n x 发散.从例4可知：由数列}{n x 有界推不出数列}{n x 数列.习 题 1-21、用观察的方法判断下列数列是否收敛？若收敛写出其极限.(1)nx n n )1(-= (2)11+-=n n x n (3)n x nn )1(1-+=(4)213nx n += (5)n n x n 1-= (6)n nn x 413-= 2、用数列极限的定义证明下列极限.(1)322312lim=+-∞→n n n (2)1)211(lim =-∞→n n (3)232lim 22=+∞→n n n (4)19999.0lim =∞→ 个n n 3、证明：则，若 lim a x n n =∞→a x n n =∞→lim ，举例说明反过来未必成立.4、设数列}{n x 有界，且 0lim ，=∞→n n y 证明： .0lim =∞→n n n y x第三节 函数的极限数列是定义在正整数集合上的函数)(n f x n =，数列}{n x 的极限为a ，即为当自变量n 取正整数且无限增大时(∞→n )时，对应的函数值)(n f 无限接近数a . 如果把数列极限概念中的自变量n 和函数值)(n f 的特殊性撇开，就可以引出函数极限的概念：在自变量x 的某个变化过程中，如果对应的函数值)(x f 无限接近于确定的常数A ，则A 称为x 在该变化过程中函数)(x f 的极限. 极限A 是与自变量x 的变化过程密切相关的，自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式. 下面分两种情形进行讨论函数的极限：(1)自变量趋于无穷大时函数的极限； (2)自变量趋于有限值时函数的极限. 一、自变量趋于无穷大时函数的极限观察函数xx f 1)(=当∞→x 时的变化趋势，因为xx f 10)(=- 易见，当x 越来越大时，x1越来越小，从而)(x f 就越来越接近0. 因为只要x 足够大，xx f 10)(即-就可以小于任意给定的正数，所以当x 无限增大时，)(x f 无限接近0.定义1 设)(x f 当x 大于某一正数时有定义及有常数A . 若对任意给定0>ε(不论ε多么小)，总存在正数X ，使得对于满足不等式X x >的一切x ，对应的函数值都满足不等式ε<-A x f )(则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为A x f x =∞→)(lim 或 )( )(∞→→x A x f定义中ε刻画了)(x f 与A 的接近程度，X 刻画了x 充分大的程度，X 是随ε而确定的.为方便起见，定义1表述为：0)(lim >∀⇔=∞→εA x f x ，0>∃X ，当X x >时，有ε<-A x f )(.如果0>x 且无限增大(记作+∞→x )，那么只要把上面定义中的X x >改为X x >，就得到A x f x =+∞→)(lim 的定义. 同样，如果0<x 且x 无限增大(记作-∞→x )，那么只要把X x >改为X x -<，就得到A x f x =-∞→)(lim 的定义.定理1 A x f x =∞→)(lim ⇔A x f x =-∞→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim .极限A x f x =∞→)(lim 的几何意义：作直线ε-=A y 和ε+=A y ，则存在0>X ，使得当X x -<或X x >时，函数)(x f 的图形位于这两条直线之间(图1-29)例1、证明C C x =+∞→lim (C 为常数).证 0>∀ε，取1=X ，当X x >时，有ε<=-0C C ， 故 C C x =+∞→lim (C 为常数).例2、 证明0sin lim=∞→xxx .证: 0>∀ε，要使ε<≤-xx x 10sin ， 只要ε1>x ，取01>=εX所以0>∀ε，01>=∃εX ，当X x >时，有ε<-0sin xx， 故 0sin lim=∞→xxx二、自变量趋于有限值时函数的极限观察函数11)(2--=x x x f 当1→x 时的变化趋势，因为12)(-=-x x f易见，当1-x 越来越小且不为0时，)(x f 就越来越接近2. 因为只要1-x 足够小且不为0时，12)(--x x f 即就可以小于任意给定的正数，所以当x 无限趋于1时，)(x f 无限接近2.定义2 设)(x f 在0x 的某一去心邻域内有定义及有常数A . 若对任意给定0>ε(不论ε多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式δ<-<00x x 的一切x ，对应的函数值都满足不等式ε<-A x f )(则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f x x =→)(lim 0或 )( )(0x x A x f →→定义中的00x x -<表示0x x ≠，所以0x x →时)(x f 有没有极限与)(x f 在点0x 处是否有定义并无关系；δ与任意给定的正数ε有关.为方便起见，定义2表述为：0)(lim 0>∀⇔=→εA x f x x ，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(.极限A x f x x =→)(lim 0的几何意义：作直线ε-=A y 和ε+=A y ，则存在0>δ，使得当00<<-x x δ或δ+<<00x x 时，函数)(x f 的图形位于这两条直线之间 例3、证明C C x x =→0lim (C 为常数).证 0>∀ε，取1=δ，当δ<-<00x x 时，有ε<=-0C C ， 故 C C x =+∞→lim (C 为常数).例4、证明00lim x x x x =→.证 0>∀ε，要使ε<-0x x ， 只要ε<-0x x ，取0>=εδ，所以0>∀ε，0>=∃εδ，当δ<-<00x x 时，有ε<-0x x ， 故 00lim x x x x =→.例5、证明7)32(lim 2=+→x x .证 0>∀ε，要使ε<-=-+227)32(x x ， 只要20ε<-x x ，取02>=εδ，所以0>∀ε，02>=∃εδ，当δ<-<20x 时，有ε<-+7)32(x ，故 7)32(lim 2=+→x x .例6、证明当00>x 时00lim x x x x =→.证 0>∀ε，要使ε<-<+-=-000x x x x x x x x x ，只要ε00x x x <-，取0} min{00>=εδx x ，， 所以0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有ε<-0x x ，故当00>x 时00limx x x x =→.二、左、右极限定义2中0x x →时)(x f 极限概念中，x 是既从0x 的左测也从0x 的右测趋于0x 的，但有时我们只需考虑x 仅从0x 的左测趋于0x (记作-→0x x )的情形或x 仅从0x 的右测趋于0x (记作+→0x x )的情形，这就是左右极限的概念.定义3 设)(x f 在0x 的左测某范围内有定义及有常数A . 若对任意给定0>ε(不论ε多么小)，总存在正数δ，使得对于满足00<-<-x x δ的一切x ，对应的函数值都满足不等式ε<-A x f )(则称常数A 为函数)(x f 在0x 处的左极限，记为A x f x x =-→)(lim 0或 A x f =-)(0.定义4 设)(x f 在0x 的右测某范围内有定义及有常数A . 若对任意给定0>ε(不论ε多么小)，总存在正数δ，使得对于满足δ<-<00x x 的一切x ，对应的函数值都满足不等式ε<-A x f )(则称常数A 为函数)(x f 在0x 处的右极限，记为A x f x x =+→)(lim 0或 A x f =+)(0.左、右极限也简单地表述为：0)(lim 0>∀⇔=-→εA x f x x ，0>∃δ，当00<-<-x x δ时，有ε<-A x f )(. 0)(lim 0>∀⇔=+→εA x f x x ，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(.例7、证明1)1(lim 0-=--→x x解 0>∀ε，要使ε<-=---x x )1()1(， 只要ε->x ，取0>=εδ，所以0>∀ε，0>=∃εδ，当00<-<-x δ时，有ε<---)1()1(x ，故 1)1(lim 0-=--→x x .例8、证明1)1(lim 0=++→x x解 0>∀ε，要使ε<=-+x x 1)1(， 只要ε<x ，取0>=εδ，所以0>∀ε，0>=∃εδ，当δ<-<00x 时，有ε<---)1()1(x ， 故 1)1(lim 0=++→x x .下面给出左、右极限与极限的关系定理2 A x f x x =→)(lim 0⇔A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.利用左、右极限及极限的定义很容易证明. 左、右极限也称为单侧极限. 推论 若A x f x x =-→)(lim 0，B x f x x =+→)(lim 0且B A ≠，则)(lim 0x f x x →不存在.例9 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0 10 00 1)(x x x x x x f ，，，当0→x 时的极限不存在. 证 由例7、例8得1)1(lim )(lim 0-=-=--→→x x f x x ,1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ,)(l i m )(l i m 0x f x f x x +-→→≠. 故⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0 10 00 1)(x x x x x x f ，，，当0→x 时的极限不存在(如图1-30). 图1-30 三、函数极限的性质与收敛数列的性质类似，函数极限也有相应的性质，它们都可以根据函数极限的定义，采用与收敛数列性质的证明方法进行证明，这里就不重复. 下面仅以0x x →的极限形式为代表给出这些性质，而其它形式的极限性质，只需稍作一些修改即可得到.定理3(唯一性) 若极限)(lim 0x f x x →存在，则其极限唯一.定理4(局部有界性) 若A x f x x =→)(lim 0，则存在0>δ和常数0>M ，使得当δ<-<00x x 时，有M x f ≤)(.定理5(局部保号性) 若A x f x x =→)(lim 0，且0>A (或0<A )，则存在0>δ，使得当δ<-<00x x 时，有0)(>x f (或0)(<x f ).推论 若A x f x x =→)(lim 0且在0x 的某个去心邻域内0)(≥x f (或0)(≤x f )，则0≥A (或0≤A ).。