华南农业大学2011-2012数学分析IIIA试卷

华南农业大学期末考试答案（A 卷）2011-2012学年第 1 学期 考试科目： 数据结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟一、选择题（本大题共 10 小题，每小题2分，共20分）二、应用题（本大题共 5 小题，每小题6分，共30分）1、参考答案：2、参考答案：（在队列的一端进入插入时，TOP 值会增加，在另一端删除，当判断TOP==MAX-1为“是”，这说明队已满。

但实际在队列的另一端还是有存储空间的，这就是“假溢出”。

）当front 0，rear=M 时，再有元素入队发生溢出，称之为“假溢出”，存储空间还有剩余。

为了改进这种状况，可以将顺序队列想象为一个首尾相接的环状空间，称之为循环队列。

“假溢出”现象和循环队列的数据结构基本上描述清楚就可以。

其中：循环队列的队空条件：front == rear队满条件：(Q.rear+1) % MAXQSIZE == Q.front 。

3、参考答案：哈夫曼树HT 的存储结构的初态 哈夫曼树HT 的存储结构的终态 I二叉树AD EB F CG H4、参考答案：ASL=(1*6+2*4+3+4)/12=1.755、参考答案：(1)一趟希尔排序：12,2,10,20,6,18,4,16,30,8,28（D=5）；(2)一趟快速排序：6,2,10,4,8,12,28,30,20,16,18。

三、程序填空题（本大题5小题，共15个空白处，每空2分，共30分，注意：每空只填一个语句）(1) L=L->next(2) q=L(3) L=p(4) low <= high(5) key==ST[mid](6) high=mid-1(7) a[i]=t(8) (i=2;i<n;i+=2)(9) (flag)(10) FALSE(11) EnQueue(Q, v)(12) DeQueue(Q, u)(13) !visited[w](14) p=p->lchild(15) p=p->rchild2四、程序设计题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz. ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分）243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z z z z F F z z y x F e y F e ∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1zz z dz dx dy dx ydy x y e ∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =及y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分） 212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定． 解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分） 而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。

2011-2012学年第2学期 高等代数II 期末考试试卷（A 卷） 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 数域P 上n 维线性空间V 的零变换O 的值域及核的维数分别是( B ). A. 0,0 B. 0,n C. ,0n D. ,n n 分析：显然，零变换O 的值域为零子空间，维数为0；因此，核的维数为n. 2. 下列数域P 上的线性空间，与23P ⨯同构的有( D )个. (1) 32P ⨯ (2) 6[]P x (3) 数域P 上全体3级对称矩阵构成线性空间 (4) 数域P 上全体6级对角形矩阵构成线性空间 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列论断不正确的是( A ). A. 线性空间中同一个向量在不同基下的坐标一定不同； B. 线性空间中不同的向量在同一基下的坐标一定不同；C. 若线性空间V 的线性变换A 以0为一特征值，则A 不可逆；D. 有限维欧氏空间的不同基的度量矩阵是合同的.4. 下面命题正确的是( C )A. A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 唯一确定一个n 级矩阵;B. A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 关于任意基的矩阵是可逆的;C. 两个不同的矩阵可能是同一线性变换在不同基下的矩阵;D. 两个n 级矩阵相似当且仅当它们的秩相等.注意： 选项A,A 在一组基下唯一确定一个n 级矩阵;选项B,可逆线性变换在任一组基下的矩阵是可逆的；选项D,秩相等是相似的必要而不充分条件.5. 设12,αα是方阵A 的属于特征值0λ的两个不同的特征向量，则如下为A 的特征向量的是( D )A. 1k αB. 2k αC. 12αα+D. 12αα-注意：特征向量非零，选项A,B 如果k=0为零向量，C 也可能为零向量.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知123(1,2,1,2),(1,1,0,2),(1,3,2,6)ααα=-==-, 则由123,,ααα生成的子空间123(,,)L ααα注意：123(,,)L ααα的基就是生成元123,,ααα的极大无关组.2. 在线性空间22R ⨯中，1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭在基11000ε⎛⎫= ⎪⎝⎭，20100ε⎛⎫= ⎪⎝⎭， 30010ε⎛⎫= ⎪⎝⎭，40001ε⎛⎫= ⎪⎝⎭下的坐标为_____(1234)T ___. 3. 3P 中的线性变换12312231(,,)(2,,)A =-+x x x x x x x x , 那么A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵为______210011100-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭__________.4. 已知2B A A E =-+, 其中A 与1302⎛⎫ ⎪⎝⎭相似，则B =____3__. 5. 设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为212121212-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭,则向量12ξαα=+的长度ξ注意：向量12ξαα=+在这组基下的坐标为110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，ξ=三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”）1. ( ⨯ )平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间.2. ( ⨯ )设A 是线性空间V 上的一个线性变换, 则A 的值域V A 的一组基与A 的核1(0)-A 的一组基合起来是V 的一组基.注意：dim(V A )+dim(1(0)-A )=n,但是两个空间的和V A +1(0)-A 不一定是空间v.3.( ⨯ )(1)n n >维欧氏空间V 可能有标准正交基，也可能没有标准正交基. 注意：欧氏空间一定存在标准正交基，而且(1)n n >时标准正交基不唯一.4. ( √ )n 维欧氏空间V 中的向量组121,,,,n n αααα+ 不是正交向量组.注意：n 维线性空间至多有n 个线性无关的向量； 同样，n 维欧氏空间至多有n 个线性无关的向量；也至多有n 个正交向量. 5. ( √ )对称变换在任意一组标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵. 四 、计算题（本大题共2小题，共33分） 1. (本题15分)已知3P 中线性变换A 在基)1,1,1(1-=η，)1,0,1(2-=η，)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭, 基)0,0,1(1=ε，)0,1,0(2=ε，)1,0,0(3=ε. 求: (1) 由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵; (2) A 在基321,,εεε下的矩阵; (3) 若向量α在基321,,ηηη下的坐标为(1,1,2)T -, 求α在基321,,εεε下的坐标. 解 (1) 因为()()123123110,,,,101111ηηηεεε-⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭，即由基321,,εεε到基321,,ηηη的过渡矩阵为110101111X -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭， (3分)从而由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵为11110111101011111101Y X -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5分)(2) 设A 在基321,,εεε下的矩阵为B ，则A 与B 相似, 且1B Y A Y -=1XAX -=， (8分)即110101111112101110011220111121101302B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (10分)(3) ()()123123123111012(,,)1,,1011,,1211120αηηηεεεεεε---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即向量α在基321,,εεε下的坐标为(2,1,0)T . (15分) 注意：上述解题过程可以用图分析2. (本题18分)已知二次型222123123121323(,,)22222f x x x x x ax x x x x x x =+++++，通过某个正交线性替换可化为标准形2221234f y y y =++. (1) 写出二次型f 的矩阵A ，并确定a 的值；(2) 求所用的正交线性替换.解 (1) 此二次型的矩阵21112111A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (2分)由已知，A 的特征值为1231,4λλλ=== (5分) 由112233123a a a λλλ++=++，即22114a ++=++得，2a =. (8分) 注意：这里也可以用114=42A a =⋅⋅⇒=(2) 当121λλ==时，解方程组()0E A x -=得其基础解系()()121,0,1,0,1,1T T αα=-=-. (10分)正交化得()()211122111(,)11,0,1,1,2,1.(,)2T T αββαβαβββ==-=-=-- (12分) 再在单位化得1212110,.T T ηηββ⎛==== ⎝(14分) 当34λ=时，解方程组(4)0E A x -=得其基础解系()31,1,1T α=，(15分)单位化得 331.Tηα== (16分) 令()1230T ηηη⎛ == ⎝，则T 是正交矩阵, 正交变换X TY =化二次型为标准型2221234.f y y y =++ (18分) 五、证明题（本大题共3小题，共27分） 1. (本题7分) 证明：如果21V V V ⊕=，12111V V V ⊕=，那么21211V V V V ⊕⊕=. 证明 显然，21211V V V V ++=. (2分)由21V V V ⊕=可得12dim dim dim V V V =+ (4分)同理，12111dim dim dim V V V += (5分)所以21211dim dim dim dim V V V V ++= (6分) 故21211V V V V ⊕⊕=. (7分)2. (本题7分)设V 是复数域C 上的n 维线性空间，A , B 是V 的线性变换，并且AB =BA .证明：如果0λ是A 的一个特征值，那么特征子空间0V λ是B 的不变子空间.证明 00{}V V λααλα=∈=A . (2分)0,V λξ∀∈有0ξλξ=A . (3分) 于是00()()()()()()ξξξξλξλξ=====A B AB BA B A B B (6分)可见0V λξ∈B ，故0V λ是B 的不变子空间. (7分)3. (本题13分) 设A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意V ξ∈, 有 ()(,). ,1V ξξλξαααα=-∈=A(1) 证明: A 是V 的一个线性变换.(2) 当λ取何值时, A 是V 的一个正交变换?解 (1) 对于,,,V k R ξη∀∈∀∈ 由()()(,)()(,)(,) [(,)][(,)]()(),ξηξηλξηααξηλξααληααξλξααηληααξη+=+-+=+--=-+-=+A A A (3分)以及()(,)[(,)](k k k k k ξξλξααξλξααξ=-=-=A A (5分) 所以A 是V 的一个线性变换. (6分)(2) 对于任意的,,V ξη∈如果A 是V 的一个正交变换，即有22((),())((,),(,))(,)(,(,))((,),)(,)(,)(,) (,)2(,)(,) (,)(,)(,)(,),ξηξλξααηληααξηλξηααλξααηλξαηαααξηληαξαλξαηαααξη=--=--+=-+=A A (9分) 那么由1α=，即(,)1αα=得2(2)(,)(,)0λλξαηα-= (10分) 于是由,V ξη∈的任意性(这当然包括ξηα==的情况)，所以220,λλ-= (12分) 所以2λ=或0λ=. (13分)。

2011-2012学年第 2 学期 大学数学Ⅱ 华南农业大学期末考试试卷（A 卷）-参考答案 一、1. 0.8； 2. 31e --； 3. 518； 4. 416 ； 5. )1(t ； 6. (4.412，5.588) 二、1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 三、1. 解 设A =“任取一产品，经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分） 则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（5分）（2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===. （8分） 2. 解 (1) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- (3分) (2) X 的分布律为 (5分) (3) X 的分布函数为 0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (8分)3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e ---<=-<<===-⎰⎰. (3分)（2）当0y ≤时，()()()20F y P Y y P X y =<=<=； (5分) 当0y >时，()()(20x x F y P X y P X dx dx --=<=<== (8分)所以2Y X =的密度函数为0,0()()0y f y F y y ≤⎧⎪'==>. (10分)4. 解 （1）因为随机变量X 与Y 相互独立， ( 1分)所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他(3分)（2）{}(,)y x P Y X f x y dxdy <<=⎰⎰3300[]x y edy dx -=⎰⎰ (6分) 330(1)x e dx -=-⎰3390181()333xx e e --=+=+()9183e -=+ (8分)（3）解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分) 所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (12分) 由X 与Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+= (14分) 四、1. 解 检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （1分） 依题意，取统计量：222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分） 查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==，220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, （5分） 计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分） 因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差与规定的方差无显著差异. （8分） 2. 解 (1)(2) 解 因为F =5.6681>0.01(3,16) 5.29F =，所以拒绝0H ，即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3. 解 2.10=x ，239=y (2分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈；01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分) 因此所求回归直线方程为 ˆ24.7725.86y x =-+ (8分)。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim2x xx→= 。

2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。

3．设()0f x >，且可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。

4．不定积分⎰=。

5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （ ） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导 2．曲线y =在点4x =处的切线方程是 （ ）A ．114y x =- B ．112y x =+C ．114y x =+D ．124y x =+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A ．21x B ．3x C ．xD ．211x + 4．设()f x 为可导函数，则下列等式中正确的是 （ ） A ．()()f x dx f x '=⎰ B ．()()df x dx f x C dx =+⎰C ．()()d f x dx f x =⎰D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．已知()0232ax x dx -=⎰，则a = （ ）A ．1-B ．0C ．12D ．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。

2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。

3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t=-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。

装订线《数学分析III》期末考试试卷参考答案及评分标准2011-2012学年第1学期一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、2π；2、12；3、0000000000()()(,)(,)0,0,(,)0()()xx xyx y xxxy yyf P f Pf x y f x y D f x yf P f P===>≠；4、()d d()d d()d dR Q P R Q Py z z x x yy z z x x yS∂∂∂∂∂∂-+-+-⎰⎰∂∂∂∂∂∂；5、1lny yyx dx x xdy-+；67、1102(,)ydy f x y dx-⎰⎰；8、2π。

二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）9、解：2221,,z u zu u v v u v∂∂==∂+∂+……………………………2分2e,2x yu vxx x+∂∂==∂∂……………………………4分z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂222212x yue xu v u v+=⋅+⋅++……5分()()222222222()x yx yx ye xu e xu v e x y+++⎛⎫+⎪⎝⎭=⋅+=+++………………7分10、解：由奇偶对称性可知20,Lxyds=⎰…………………3分所以22(234)(212)L Lxy x y ds xy ds++=+⎰⎰………………5分21201212L Lxyds ds a a=+=+=⎰⎰…………………7分11、解：在柱面坐标下2:2, 02, 022rz rθπΩ≤≤≤≤≤≤…………………3分装订线22()x y dvΩ+⎰⎰⎰22 2 220 02rd dr r rdzπθ=⋅⎰⎰⎰…………………5分2232(2)2rr drπ=-⎰2461()6r rπ=-163π=…………………7分12、解：补平面()221:11z x y∑=+≤取上侧，…………………2分()()1122I x z dydz zdxdy x z dydz zdxdy∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰…………3分()1201dv zdxdyΩ∑=++-⎰⎰⎰⎰⎰…………………5分212110031rd rdr dz dxdyπθ∑=-⎰⎰⎰⎰⎰12π=…………………7分三、解答题（本大题共4小题，共26分）13、解：（1）4/33410,xx<<=…………………1分且41,3p=>…………………2分所以1+∞⎰收敛。

2012学年第1学期数学分析III （A ）参考答案一、选择题（本大题共4小题，每小题 3分，共12分）（1）A （2）C （3）B （4）C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）（1）1 （2）12- （3）5， （4）2553dy z x dx y z-=+ （5）sin y y x e +（6）3三、计算题（本大题共6小题，共61分）1、解：22(),z x xf xy y x y∂'=+∂+．．．．…．．．．（5分） 222222()()()z y x xyf xy f xy y x x y ∂-'''=++∂∂+．．．．．．．．（10分） 2. 解：21200y y I dy x e dx -=⎰⎰．．．．．．．．．．（3分） 21132001136y t y e dy t e dt --==⎰⎰．．．．．．．．．．．．（5分） 11001[]6t t te e dt --=-+⎰．．．．．．（8分） 12[1]6e =-．．．．．．．．．（10分） 3. 解：设1L 为从点()4,0A -到()4,0B 的直线段， 2(,)P x y xy x =+, 23(,)Q x y yx y =+, 则Q P x y∂∂=∂∂. -------------------（4分） 所以()()1223223()d d ()d d L L I xy x x x y y y xy x x x y y y =+++=+++⎰⎰-------------------（7分） 440xdx -==⎰-------------------------------------（9分） 4. 解：2:4,02,0 2.V z ρθπρ≤≤≤≤≤≤22()VI x y dxdydz =+⎰⎰⎰2224300d d dz πρθρρ=⎰⎰⎰-----------------------------------（5分） 23202(4)d πρρρ=-⎰--------------------------------（8分） 32.3π=--------------------------------（10分） 5. 解：补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分）由高斯公式得1333I x dydz y dzdx z dxdy ∑+∑=++⎰⎰＝2223()x y z dv Ω++⎰⎰⎰ 5242000635a a d d r dr πππθϕ==⎰⎰⎰．．………..（6分） 而13330x dydz y dzdx z dxdy ∑++=⎰⎰．．．．．（8分） 故533365a I x dydz y dzdx z dxdy π∑=++=⎰⎰．．．．．．．（10分） 6. 解：设切点为000(,,)x y z ，则法向量为000(,,)49y z n x =。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011-2012学年第 1 学期 考试科目： 大学数学Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 当0x →时，与x 是等价无穷小的是( ).A .B . 2(1)x x + C . ln(1)x + D .1-2．10sin lim (1)limxx x x x x-→→∞++=( ).A . 11e -+B . 1e +C . eD . 1e -3．已知方阵33()ij A a ⨯=的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ，且知A 的伴随矩阵*732537425A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A =（ ）. A . 0 B . -1 C . 1 D . 以上答案都不对4. 设,,A B C 都是n 阶方阵，且0A ≠，则下列命题中不正确的是（ ）A . 若AB =0，则B =0. B . 若BA =CA ，则B =CC . 若A B C A =，则B C =. D . 若0AB =，则0B = 5. 若方阵A 的行列式0=A ，则（ ） A . A 的行向量组和列向量组均线性相关B . A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关C . A 的行向量组和列向量组均线性无关A二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1. 函数()y y x =由参数表达式sin ,cos t t x udu y udu==⎰⎰确定，则一阶导数dy dx=________ ___.2. 设2()231f x x x =+-在[1,5]上满足拉格朗日中值定理的条件，则其中使该定理成立时的ξ= ___.3. 微分方程23x yy e +'=的通解为__________________________.4. 设arctany z x=，则dz =__________________________.5. 若()110,,I dx f x y dy -=⎰⎰则交换积分次序后得I =__________________.6. 若矩阵X 满足21125324X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则X= .三、 解答题（本大题共 8 小题，第1~6小题每小题 6 分，第7, 8小题每小题 7分，共50分）1.求极限1ln 1lim .arc cot x x x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭2. 求隐函数1yy xe=+的二阶导数.y ''3. 求不定积分2223x dxxx +++⎰.4. 求广义积分20xxedx+∞-⎰.5. 设()21,yz xy =+求,zz xy ∂∂∂∂.6. 计算二重积分22Dx d yσ⎰⎰，其中D 是由2,x y x ==和1xy =所围成的区域.7. 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求2T A B A -.8. 已知()03,3,1η'=-是线性方程组123123123441624x x x x kx x x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩的一个特解，求该方程组的通解（用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示）.四、应用题（本大题共2小题，其中第1小题9分， 第2小题8分，共17分）1. 已知曲线2y x =，求（1） 曲线上当1x =时的切线方程；（2） 求曲线2y x =与此切线及x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积x V .2. 试确定,,a b c 的值， 使32y x ax bx c =+++在点(1,1)-处有拐点，且在0x =处有极大值1，并求此函数的极小值.华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010-2011学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 设A 、B 、C 为三个随机事件，则A 、B 、C 都不发生可表示为 ， A 、B 、C 中至少有一个发生可表示为 。