高一下期末复习(一)教师版

2024北京通州高一（下）期末历史第一部分(选择题共60分)本部分共40小题，每小题1.5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1. 两河流域与埃及相距不远，从遥远的古代起，这两地的居民就有一些断断续续的接触，也有一些文化上的交流。

但这两地的文化基本上是各自独立发展起来的。

导致这种状况出现的根本因素是A. 生产力发展水平的制约B. 民族习俗的差异C. 宗教信仰和文字的不同D. 交通工具的限制2. 下图所示，反映了古代（）A. 埃及的法老制度B. 巴比伦的君主专制制度C. 印度的种姓制度D. 雅典的公民大会制度3. 下图所示历史事件（）A. 促进东西文化交流B. 扩大了罗马法的适用范围C. 传播了阿拉伯数字D. 加快了印刷术的西传进程4. 在中世纪的欧洲，如果附庸一方违背约定，领主可以抛弃附庸；同样，如果领主不履行诺言，附庸同样可以离弃领主，当时称之为“撤回忠诚”。

这反映了欧洲领主和附庸关系的特点是（）A. 以血缘关系为纽带B. 具有双向契约特征C. 带有严格等级性质D. 领主附庸地位平等5. 据史载，从公元630年起，日本派出的遣唐使团，多则五六百人，少则一二百人，除随从和水手外，还有大批留学生、学问僧和各种文化技术人员。

这一时期中日交流（）A. 推动了活字印刷术的外传B. 促进了中国唐朝社会的全面转型C. 造就了东南亚文化圈繁荣D. 推动日本中央集权制国家的建立6. 古代美洲的印第安人创造了灿烂的文明，为世界文明的发展作出了重要贡献。

以下属于古代美洲文明的是（）①玛雅文明②阿兹特克文明③印加文明④阿拉伯文明A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7. 某航海家在日志中写道：1492年8月3日，我从(西班牙)帕罗斯出发，向西“前往位于大西洋上的加那利群岛，然后从那里出发前往印度。

这次航海的任务是作为国王陛下的使节，完成国王陛下吩咐给我的任务，向彼岸的君主致以我们的问候。

2024北京一零一中高一（下）期末历史一、选择题：本大题共40题，共40分。

在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

1. 19世纪前，人们认为古希腊信史始于公元前776年即古代第一届奥林匹亚赛会。

19世纪后期以来，随着迈锡尼文明和克里特文明的发现，古希腊文明史被上推到公元前2000年以前。

古代西亚、古代埃及和古代印度文明的研究也经历过类似过程。

这说明（）A. 历史资料的多元性推动历史认知的进步B. 文字记载的主观性限定解读历史的边界C. 世界文明的多样性体现历史进程的样态D. 历史记忆的传承性塑造族群身份的认同2. 《十二铜表法》第五表规定，死者的财产需要按其遗嘱进行处理；第七表规定，如果私人土地遭受损失，土地所有者可依法提起诉讼，要求赔偿；第八表规定，月息不得超过百分之一、有钱人不可随意规定贷款的利率；第九表规定，“不得为任何个人的利益，制定特别的法律……任何人未经审判，不得处死刑”。

对《十二铜表法》理解正确的是（）①体现出保护私有财产的原则②法律意图缓和罗马社会矛盾③法律应顾及所有公民的权益④立法适应罗马帝国经济发展A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④3. 图所列为12世纪前期法兰西卡佩王朝路易六世在位期间的若干举措。

这些举措旨在（）A. 推动城市崛起B. 加强国王权力C. 建立民族国家D. 发展庄园经济4. 西班牙人本杰明在1165—1173年间的游记中记载，君士坦丁堡方圆18英里，形形色色的商人聚集在这里，他们来自美索不达米亚、波斯、埃及、巴勒斯坦、俄罗斯、匈牙利、意大利和西班牙。

据此能得出的结论是（）A. 罗马帝国境内商业贸易空前繁荣B. 经济发展导致西欧的城市兴起C. 拜占庭帝国是沟通东西方的桥梁D. 征收重税影响东西方之间贸易5. 12世纪，神圣罗马帝国入侵意大利北部城市。

16个城市结成联盟应战，迫使神圣罗马帝国签订条约，承认这些城市可以自行选举城市执政官。

这反映出（）A. 城市自治权得到了维护B. 宗教改革引起教派之间冲突C. 社会契约思想得以实践D. 意大利最终实现了国家统一6. 日本曾以“日本精神、中国知识”为口号，挑选中国文化中适合自己的某些内容。

2024北京延庆高一（下）期末英语2024.07第一部分知识运用（共两节，55分）一、完形填空 (共15小题; 每小题1分，共15分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

One bus driver for the North Elementary School can now add lifesaver to her experiences after a student started choking (窒息) on her bus last month.On Sept.29, bus driver Raquel Baker began her work just like any other drivers and was about to drop off students at the school gate when something went wrong. Video from the school bus showed 7-year-old Preston putting something in his 1 and then dropping down between the seats, clearly in 2 .It was hard for the boy to 3 a word but he managed to mention something about a coin. Baker 4 stood up, took hold of him and ran out of the 5 .“On my way to the sidewalk, I was actually performing the Heimlich maneuver (海姆利克氏操作法),” she said.Preston hardly 6 and Baker didn’t waste any time to jump into action. The whole time she was saying, “Baby, breathe, baby, breathe.”Preston was blue in the face. Baker saw a parent and asked her to call 911. “All I could think of was I had to 7 this boy,” Baker said. She had never performed the Heimlich before, but her 8 on the first aid given by the school one month ago worked. “I was 9 at the time, but I just couldn’t be scared,” she said. She didn’t even realize when the 10 flew out of Preston’s mouth until Preston said, “Miss Baker, I’m OK. I can breathe.”Preston’s mum was 11 for Baker’s help. The school’s headmaster was also touched and 12 her for her life-saving work. “As of today, I’m still in shock. I really can’t believe that this actually happened. I didn’t really realize what a big 13 I had,” Baker said.Until today Baker still doesn’t know how she got the 14 to do what she did that day, 15 she knows this, “If I wasn’t there, other drivers may have done it as well,” Bake r said.1. A. bag B. bottle C. mouth D. pocket2. A. danger B. peace C. surprise D. silence3. A. write B. say C. spell D. hear4. A. luckily B. formally C. quietly D. quickly5. A. bus B. room C. yard D. school6. A. slept B. breathed C. saw D. listened7. A. find B. feed C. save D. meet8. A. habit B. training C. belief D. income9. A. nervous B. glad C. disappointed D. curious10. A. eraser B. chalk C. key D. coin11. A. sorry B. sad C. anxious D. thankful12. A. corrected B. changed C. honored D. cured13. A. future B. impact C. dream D. mistake14. A. permit B. right C. method D. courage15. A. or B. so C. but D. for二、阅读理解 (共两节，40分)第一节：(共16小题;每小题2分，共32分)阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

2020北京高一数学下学期期末汇编：立体几何（填空题）一．填空题（共18小题）1．（2020春•海淀区校级期末）已知a，b是不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a⊥α，a∥β，则α⊥β；②a∥α且α∥β，则a∥β；③若a⊥α，b∥α，则a⊥b．所有正确命题的序号为．2．（2020春•顺义区期末）如图，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是．3．（2020春•海淀区校级期末）某正方体的体对角线长为，则这个正方体的表面积为．4．（2020春•朝阳区期末）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．5．（2020春•延庆区期末）如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体ABCD的表面积为F （x），则函数F（x）的定义域为；最大值为．6．（2020春•海淀区校级期末）已知正四棱锥的高为4，侧面积为4，则该棱锥的侧棱长为．7．（2020春•密云区期末）将底面直径为8，高为2的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为．8．（2020春•房山区期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为2，2，1，则它的体对角线的长为．9．（2020春•海淀区校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝，AA1＝AB＝AC＝1，CC1的中点为H，点N在棱A1B1上，HN∥平面A1BC，则的值为．10．（2020春•通州区期末）棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．11．（2020春•丰台区期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，DD1＝1，则异面直线AA1与BC1所成角的大小为．12．（2020春•海淀区校级期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为60，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．13．（2020春•东城区期末）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①l∥m，②α∥β，③m⊥α，④l⊥β．以其中的两个论断作为命题的条件，l⊥α作为命题的结论，写出一个真命题：．14．（2020春•延庆区期末）一个圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则圆锥底面半径为．15．（2020春•密云区期末）已知a，b是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①a⊥b；②a⊥α；③b∥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．16．（2020春•通州区期末）若空间中两直线a与b没有公共点，则a与b的位置关系是．17．（2020春•西城区期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是；球的表面积是．18．（2020春•大兴区期末）三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为．2020北京高一数学下学期期末汇编：立体几何（填空题）参考答案一．填空题（共18小题）1．【分析】对于①，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于②，a∥β或a⊂β；对于③，由线面垂直的性质得a⊥b．【解答】解：由a，b是不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，知：对于①，若a⊥α，a∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；对于②，若a∥α且α∥β，则a∥β或a⊂β，故②错误；对于③，若a⊥α，b∥α，则由线面垂直的性质得a⊥b，故③正确．故答案为：①③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．2．【分析】连接A1C1，证明四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，得到异面直线AC与A1B所成的角即为∠BA1C1，再说明△BA1C1为等边三角形，可得异面直线AC与A1B所成的角的大小是60°；由正方体的结构特征可得∠A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，再由等腰直角三角形得答案．【解答】解：如图，连接A1C1，∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，∴异面直线AC与A1B所成的角即为∠BA1C1，连接BC1，则△BA1C1为等边三角形，∴异面直线AC与A1B所成的角的大小是60°；∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴∠A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，大小为45°．故答案为：60°；45°．【点评】本题考查异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．3．【分析】设正方体的棱长为a，由体对角线长求出a2，即可求得正方体的表面积．【解答】解：设正方体的棱长为a，由体对角线长为，得3a2＝6，解得a2＝2，所以正方体的表面积为S＝6a2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了正方体的结构特征与表面积的计算问题，是基础题．4．【分析】由题意知截去的八个四面体，再加上6个正方形，该几何体共有14个面；由此计算该几何体的表面积．【解答】解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积＝8××25×25×sin60°+6×25×25＝（7500+2500）（cm2）．故答案为：14，7500+2500．【点评】本题考查了空间几何体的结构特征与计算问题，是基础题．5．【分析】设AD＝x，其余各棱为2；求出四面体ABCD的表面积F（x），利用三角函数求出F（x）的最大值和它的定义域．【解答】解：如图所示，四面体ABCD中，设AD＝x，其余各棱为2；则△ABC、△BCD是正三角形，所以四面体ABCD的表面积为F（x）＝2S△ABC+2S△ACD＝2××2×2×sin60°+2××2×2×sin∠ACD＝2+4sin∠ACD；当sin∠ACD＝1时，函数F（x）取得最大值为4+2；又x2＝22+22﹣2×2×2×cos∠ACD＝8（1﹣cos∠ACD），其中∠ACD∈（0，π），所以cos∠ACD∈（﹣，1），所以x2∈（0，12），解得x∈（0，2），所以F（x）的定义域为（0，2）．故答案为：（0，2）4+2．【点评】本题考查了空间四面体的表面积计算问题，是基础题．6．【分析】由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为a，由侧面积列式求得a值，进一步求得侧棱长．【解答】解：如图，设正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为a，底面中心为O，取BC的中点M，连接OM，PM，则OM＝，斜高PM＝＝．∴该棱锥的侧面积S＝，解得a2＝4．又OB＝，∴该棱锥的侧棱长为．故答案为：．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查正四棱锥侧面积的求法，是基础题．7．【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h，底面半径为r，用r表示h，从而求出圆柱侧面积的最大值．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h，底面半径为r，则＝，解得h＝2﹣r；所以S圆柱侧＝2πrh＝2πr（2﹣r）＝4π（r﹣r2）；当r＝2时，S圆柱侧取得最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了旋转体的侧面积最值问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．8．【分析】一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的体对角线的长为．【解答】解：一个长方体的长、宽、高分别为2，2，1，∴它的体对角线的长为：＝3．故答案为：3．【点评】本题考查长方体的体对角线长的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力，属于基础题．9．【分析】取A1C1的中点M，A1B1的中点N，连接HM，MN，证明平面MNH∥平面A1BC，得NH∥平面A1BC，由此可得的值．【解答】解：如图，取A1C1的中点M，A1B1的中点N，连接HM，MN，由H，M，N分别为CC1，A1C1，A1B1的中点，得MH∥A1C，MN∥B1C1∥BC．∵A1C⊂平面A1BC，MH⊄平面A1BC，∴MH∥平面A1BC；∵BC⊂平面A1BC，MN⊄平面A1BC，∴MN∥平面A1BC，又MH∩MN＝M，∴平面MNH∥平面A1BC，则NH∥平面A1BC．由N为A1B1的中点，可知的值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10．【分析】取BC中点E，连结AE、ED，可得∠AED是二面角的平面角，再由余弦定理求解．【解答】解：如图，三棱锥A﹣BCD的棱长都相等，取BC中点E，连结AE、ED，∵三棱锥A﹣BCD各棱长均相等，∴AE⊥BC，ED⊥BC，∴∠AED是二面角A﹣BC﹣D的平面角，设棱长AB＝2，则AE＝ED＝，∴cos∠AED＝．即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．故答案为：．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，熟练掌握正四面体的性质、二面角的定义、余弦定理的应用是解答此题的关键，是中档题．11．【分析】由于AA1∥BB1，所以∠B1BC1即为所求，在Rt△B1BC1中，根据三角函数的知识求出tan∠B1BC1即可得解．【解答】解：因为AA1∥BB1，所以∠B1BC1为异面直线AA1与BC1所成角，在Rt△B1BC1中，tan∠B1BC1＝，即∠B1BC1为45°，所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为45°．故答案为：45°．【点评】本题考查异面直线夹角的求法，采用平移的思想，将异面直线平移至一个平面内便于找出其平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12．【分析】设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得abc＝60，再由棱锥体积公式求得三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得，abc＝60，∵E为CC1的中点，∴．故答案为：5．【点评】本题考查棱柱与棱锥体积的求法，是基础的计算题．13．【分析】若l∥m，m⊥α，则l⊥α，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论．【解答】解：l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，可得若l∥m，m⊥α，则l⊥α，理由：在α内取两条相交直线a，b，由m⊥α可得m⊥a．m⊥b，又l∥m，可得l⊥a．l⊥b，而a，b为α内的两条相交直线，可得l⊥α．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．【分析】根据直角三角形的性质即可计算底面半径．【解答】解：设圆锥顶点为S，底面圆心为O，A为底面圆周上一点，则SO⊥OA，由题意可知：SA＝10，∠OSA＝30°，∴圆锥的底面半径为OA＝10sin30°＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，属于基础题．15．【分析】②③⇒①，可由线面平行的性质定理和线面垂直的性质，可得证明．【解答】解：若a⊥α，b∥α，则a⊥b．理由：过b画一个平面β，使得β∩α＝c，∵b∥α，b⊂β，β∩α＝c，∴b∥c，又a⊥α，c⊂α，可得a⊥c，又b∥c，可得a⊥b．故答案为：若a⊥α，b∥α，则a⊥b．【点评】本题考查空间线线和线面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题．16．【分析】可考虑无公共点的两直线a，b是否在同一个平面内，可得a，b的位置关系．【解答】解：空间中两直线a与b没有公共点，若a，b在同一个平面内，则a，b为平行直线；若a，b不同在任何一个平面内，则a，b为异面直线．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查空间两直线的位置关系，考查分类讨论思想，属于基础题．17．【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则：（2r）2＝22+22+22＝12，解得r＝，故球的直径为2．球的表面积为S＝．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：正方体和外接球的关系的应用，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．【分析】由已知画出图形，再由等体积法求三棱锥的体积．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，不妨设PA＝1，PB＝2，PC＝3．则，由PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，得PC⊥平面PAB．∴V P﹣ABC＝V C﹣PAB＝．故答案为：1．【点评】本题考查棱锥体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是基础题．。

2024北京房山高一（下）期末历史本试卷共10页，满分100分，考试时长90分钟。

考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第一部分选择题本部分共23题，每题2分，共46分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1.2019-2023年在广东英德岩山寨遗址的岩背地点，发现有墓葬、水稻遗存等重要遗迹，另有多处柱洞组（干栏式房屋建筑遗迹）构成的建筑遗址。

墓地呈现分区、分级规划，其中高等级墓规模大、随葬品丰富，包括玉琮、玉钺等玉石礼器。

以上考古发现①证实岭南稻作农业的发展②说明定居的聚落生活出现③体现贫富差距和等级差异④已建立了统一集权的国家A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④2.阅读以下《商、周形势图》，对图中信息解读正确的是A.商朝的统治区域比周朝范围大B.周天子可以直接任命地方长官C.异姓诸侯主要分布在王畿附近D.分封制加强对地方的政治统治3.汉武帝针对部分诸侯王国辖地仍然较广的现实，用主父偃之策，允许并鼓励诸侯王“推私恩”，即将王国再行分封给子弟为列侯，结果是“不行黜陟，而藩国自析”。

上述做法A.实现了开疆拓土B.加强了中央集权C.确立了思想统一D.有利于民族交融4.制度建设是巩固统治的重要手段之一。

下列材料中描述的制度属于同一朝代的是①“今台阁选举，涂塞耳目，九品访人，唯问中正。

”②“中书出令，门下封驳，分为两省，而尚书守成，颁之有司。

”③“户无主客，以现居为簿，人无丁中，以贫富为差……居人之税，秋夏两征之。

”④“今我朝罢封目，逓府、六部、者嚓院、通政司、超寺等衙门，分馭下庶务。

”A.①②B.①④C.②③D.③④5.下列选项中史实与结论相符的是B.大分裂的十六国和南北朝汉唐典章与统一C.称臣纳贡与天下一统统一疆域的最终形成D.大分裂的十六国和南北朝统一疆域的最终形成7.据《广东军务记》记载：“初九、初十日，逆夷又往三元里及萧冈各乡，复行扰害。

2024北京一零一中高一（下）期末地理一、选择题：本大题共40 小题，共60分。

1. “北京居然拍到极光了！”2023年12月1 日晚北京极光登上热搜榜高位。

此次极光现象（）A. 发生在大气的平流层B. 可在南极点附近目睹C. 由于太阳风强劲导致D. 会直接干扰短波通讯2. 2021年，我国科学家在天山周边发现大型恐龙化石，命名为“中国丝路巨龙”。

下表为该类恐龙生存的地质年代特征。

据此完成问题。

A. 温暖海水中出现三叶虫B. 是地质历史上的成煤时期C. 被子植物已经基本灭绝D. 已形成现代海陆分布格局下图为长江经济带及部分主体功能区示意图。

读图，完成下面小题。

3. 图中主体功能区（）A. 甲是优化开发区域B. 乙是重点生态功能区C. 丙是重点开发区域D. 丁是农产品主产区4. 长江经济带中上游地区适宜承接长三角地区产业转移的类型是（）①劳动密集型②技术密集型③资源密集型④资金密集型A. ①③B. ①④C. ②④D. ③④过去几十年北极地表气温升高剧烈，是全球平均增温幅度的2倍以上，被称为“北极放大”。

下图为“北极放大”大气驱动机制示意图。

读图，完成下面小题。

5. “北极放大”发生过程中，中高纬近地面气压梯度（）A. 变大B. 变小C. 消失D. 方向逆转6. ①的含义最可能为（）A. 太阳辐射增强B. 地面辐射增强C. 大气逆辐射增强D. 降水量增加7. 下垫面加热作用增强的主要原因是（）A. 反射率减小B. 蒸发量减少C. 云量增多D. 日照时间变长下图为北京时间 2021 年 9 月 16日 0 时亚洲局部地区海平面气压分布图(单位:百帕)。

读图,完成下面小题。

8. 此时（）A. 东北平原艳阳高照B. 渤海海域风大浪高C. 钓鱼岛上海雾弥漫D. 四川盆地出现阴天9. 图中台风（）A. 生成于东海辽阔海面B. 直径可达到100千米C. 最强烈降水在台风眼D. 西北侧风向为偏北风北川河流域位于黄河上游半干旱区，蒸发（腾）总量较大。

2023年深圳市普通高中高一年级调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{}03B x x =<<，则A B = （）A.{1,1}-B.{1,2}C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.【详解】由集合{}1,0,1,2,{|03}A B x x =-=<<，根据集合交集的概念与运算，可得{}1,2A B = .故选：B.2.设复数z 满足i 1i z =+（i 是虚数单位），则||z =（）A.12B.2C.2D.【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的除法法则求出复数z ，然后由复数的求模公式计算出z .【详解】因为i 1i z =+，所以1+i (1+i)(i)1i i i (i)z ⨯-===-⨯-，所以z =故选：D .3.已知tan 2α=，则cos 2=α（）A.35- B.35 C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式，结合平方关系转化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α，代入求值.【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125ααααααααα---=-====-+++.故选：A ．4.某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A.平均数B.中位数C.极差D.标准差【答案】B 【解析】【分析】根据平均数、中位数、极差的计算公式计算平均数、中位数、极差，再结合标准差的定义即可判断.【详解】实际数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均数为：4.05.97.79.09.614.98.526+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：14.9 4.010.9-=，录错数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均数为：4.05.97.79.014.99622.926+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：96 4.092-=，根据标准差的含义，标准差反映数据的离散程度可知，错误的录入一个非常大的数据会导致数据的标准差变化，所以这组数据中没有发生变化的量是中位数.故选：B5.已知m ，n 是空间两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题错误．．的是（）A.//m α，m β⊂，n αβ= ，则//m nB.//m n ，//m α，n α⊂/，则//n αC.αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D.αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥【答案】C 【解析】【分析】对于A,由线面平行的性质定理即可判定；对于B ,可利用排除的思想；对于C ,根据条件可直接判定//,m n 或者m 与n 相交，C 错误；对于D ，通过构造平面γ，利用平面与平面所成角的大小即可判定.【详解】对于A,由线面平行的性质定理可知A 正确；对于B ,//m n ，//m α，//n α∴或者n ⊂α，又n α⊂/则//n α，故B 正确；对于C ,由αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则//,m n 或者m 与n 相交或者异面，则m n ⊥不一定成立，故C 错误；对于D ,若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m 与n 一定不平行，否则有//αβ，与已知矛盾，通过平移使m 与n 相交，设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α和β所成的角，又αβ⊥，所以m 与n 所成的角为90︒，故D 正确.故选:D .6.在梯形ABCD 中，若2AB DC =，且ACxAB y AD =+，则x y +=（）A.32B.2C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.【详解】由题意，222AB DC AC AD ==-，化简得12AC AB AD =+ ，即1,12x y ==，则32x y +=，故选：A.7.已知正实数m ，n 满足2m n +=，则下列不等式恒成立的为（）A.ln ln 0m n +≥B.222m n +≤C.112m n+≥ D.+≤【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式逐一分析判断即可.【详解】对于A ，2ln ln ln ln ln102m n m n mn +⎛⎫+=≤== ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，取等号，所以ln ln 0m n +≤，故A 错误；对于B ，因为222m n mn +≥，所以()()2222222m nmn mn m n +≥+++=，所以()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时，取等号，所以222m n +≥，故B 错误；对于C ，()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当n mm n =，即1m n ==时，取等号，所以112m n+≥，故C 正确；对于D ，因为m n +≥()22m n m n +≥++，2≤=，当且仅当1m n ==2≤，故D 错误.故选：C.8.已知函数()e elg xxf x x -=++，则不等式()()121f x f x +>-的解集为（）A.()0,2 B.110,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.()0,3 D.110,,322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】判断出函数()f x 的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.【详解】函数()e elg xxf x x -=++的定义域为{}0x x ≠，且()()ee lg e e lg xx x x f x x x f x ---=++-=++=，即()f x 是偶函数，当0x >时，()e e lg xxf x x -=++，构造e e x x y -=+，()0,x ∈+∞，令e 1x t =>，则1y t t=+在()1,+∞上单调递增，又e x t =也是增函数，则e e x x y -=+在()0,∞+上单调递增，又lg y x =是定义域内的增函数，故()e elg xxf x x -=++在()0,∞+上单调递增，不等式()()121f x f x +>-等价于()()121fx f x +>-，即12110210x x x x ⎧+>-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，平方得：222144110210x x x x x x ⎧++>-+⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得02x <<且12x ≠，则不等式()()121f x f x +>-的解集为110,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()f x 的图象关于5π12x =对称 D.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】AC 【解析】【分析】通过分析函数的周期，对称性和单调区间即可得出结论.【详解】由题意，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，2π2,πT ωω===，A 正确；B 项，∵函数cos y x =关于()ππ,0Z 2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，∴在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，()ππ2πZ 62x k k +=+∈，解得：()ππZ 26k x k =+∈，当π12x =-时，Z k ∉，故B 错误.C 项，在函数cos y x =中，函数关于()πZ x k k =∈对称，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，()π2πZ 6x k k +=∈，解得：()1ππZ 212x k k =-∈当1k =时，5π12x =，C 正确；D 项，在函数cos y x =中，函数在()()2π,2ππZ k k k +∈上单调递减，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，当函数单调递减时，()π2π<2+<2ππZ 6k x k k +∈，解得：()π5ππ<2<π+Z 1212k x k k -∈，∴()f x 在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()f x 在5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 错误.故选：AC .10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A =“第一次出现奇数点”，事件B =“两次点数之积为偶数”，事件C =“两次点数之和为5”，则（）A.事件A B ⋃是必然事件B.事件A 与事件B 是互斥事件C.事件B 包含事件CD.事件A 与事件C 是相互独立事件【答案】ACD 【解析】【分析】列出事件A ，B ，C ，AC 的基本事件，再利用事件的基本关系判断.【详解】解：事件A 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，事件B 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,2,3,4,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，事件C 的基本事件有：()()()()1,4,4,1,2,3,3,2，事件AC 的基本事件有：()()1,4,3,2，A.事件A B ⋃是必然事件，故正确；B.因为A B ⋂≠∅，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故错误；C.因为C B ⊆，所以事件B 包含事件C ，故正确；D.因为()()()1814121,,6626696618P A P C P AC ======⨯⨯⨯，所以()()()P A P C P AC ⋅=，所以事件A 与事件C 是相互独立事件，故正确；故选：ACD11.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如， 1.22[]-=-，[1.5]1=.已知()[]f x x x =+，则（）A.11(22f =B.()f x 为奇函数C.12x x ∃>，使得()()12f x f x <D.方程()31f x x =-所有根的和为32【答案】AD 【解析】【分析】代入计算判断A ，根据奇函数性质判断B ，根据[]x 的定义对函数作差判断C ，根据[]1x x x -<≤求出根的范围，然后化简方程求解方程的根判断D .【详解】对于A ，1111()2222f =+=，正确；对于B ，举反例，当 1.3x =时，(1.3) 1.3 1.3 2.3f =+=，而( 1.3) 1.3 1.3 1.32 3.3f -=-+-=--=-，所以(1.3)( 1.3)f f ≠-，故函数()f x 不是奇函数，错误；对于C ，根据[]x 的定义，可知对12x x ∀>，有12[][]x x ≥，所以()()1211221212[][][][]0f x f x x x x x x x x x -=+--=-+->，所以()()12f x f x >，错误；对于D ，()31f x x =-即[]31x x x +=-，所以2[]10x x --=，即[]21x x =-，又[]1x x x -<≤，所以121x x x -<-≤，解得01x <≤，当1x =时，满足方程，即1x =是方程()31f x x =-的根，当01x <<时，[]x x x +=，方程()31f x x =-化为31x x =-，解得12x =，故方程()31f x x =-所有根的和为13122+=，正确.故选：AD12.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，且12AB BC CC ===，M 为线段BC 上的动点，则（）A.11AB A M⊥B.三棱锥11C AMB -的体积不变C.11A M C M +的最小值为3+D.当M 是BC 的中点时，过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -外接球所得的截面面积为26π9【答案】ABD 【解析】【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A ；1111C AMB A B C M V V --=，由底面积和高判断体积验证选项B ；11A M C M +转化为点()和点()2,2到点()0,t 的距离之和，计算验证选项C ；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D.【详解】连接1A B ，如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，11ABA B 为正方形，11AB A B ⊥，90ABC ∠=︒，BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ⊥，1,A B BC ⊂平面1A BC ，1A B BC B =I ，1AB ⊥平面1A BC ，1A M ⊂平面1A BC ，11AB A M ⊥，A 选项正确；由直三棱柱的结构特征，11111111111143323C AMB A B C M B C M V V S AB B C CC AB --==⋅=⨯⨯⋅⋅= ，故三棱锥11C AMB -的体积为定值，B 选项正确；设BM t =，02t ≤≤，2MC t =-，22222221118A M A A AM A A AB BM t =+=++=+，()222221122C M C C MC t =+=+-，11A M M C +=()和点()2,2到点()0,t的距离之和，最小值为点()-到点()2,2，C 选项错误；当M 是BC 的中点时，13A M=，11AC =1C M =，2221111111112cos 22A M A C C M MA C A M A C +-∠===⋅⋅，11sin 2MA C ∠=，111111111sin 33222MA C S A C A M MA C =⋅⋅∠=⨯⨯= ，112112CC M S =⨯⨯= ，设点C 到平面11MA C 的距离为c h ，由1111C A MC A CC M V V --=，得321c h =⨯，23c h =，直三棱柱111ABC A B C -是正方体的一半，外接球的球心为1AC 的中点O，外接球的半径1112A O A C ==，点O 到平面11MA C 的距离为1123O c h h ==，则过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -263=，截面面积为26π9，D 选项正确.故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.0lg 2lg 5π+-=______.【答案】0【解析】【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解.【详解】0lg 2lg 5πlg101110+-=-=-=.故答案为：014.母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为_____________.【答案】3【解析】【分析】由已知求出底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意，圆锥的母线长为3，且其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则底面周长为2π32π3r ⨯=，解得1r =，则该圆锥的体积为21π133⨯⨯=.故答案为：22π3.15.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，在点C 测得大厦顶A 的仰角60ACB ∠=︒，则该大厦高度AB =_____________米（精确到1米）.1.414≈ 1.732≈.【答案】212【解析】【分析】在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再解Rt ABC △即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，则45CBD ∠=︒，因为sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以3100222BC ⨯==米，在Rt ABC △中，60ACB ∠=︒，则tan ABACB BC∠==所以1501.414212AB ==≈⨯≈米.故答案为：212.16.四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，2AB =，CD =，1EF =，点P 满足0PA PB ⋅=，则PC PD ⋅的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】利用向量加法运算及数量积定义得22PC PD PF ⋅=- ，然后利用数量积的运算律得22PF PF PE=⋅，设出向量夹角，从而2cos 2PC PD θ⋅= ，利用余弦函数求解最值即可.【详解】因为PC PF FC =+ ，PD PF FD =+，又点F 分别是CD 的中点，所以FD FC =- ，所以PD PF FC =- ，222221()()22PC PD PF FC PF FC PF FC PF CD PF ⎛⎫⋅=+⋅-=-=-=- ⎪⎝⎭，又0PA PB ⋅= ，所以PA PB ⊥，又点E 分别是AB 的中点，所以112PE AB ==，因为EF PF PE =- ，所以2222()2EF PF PE PF PF PE PE =-=-⋅+ ，即22PF PF PE =⋅，设,PF PE θ= ，PF x = ，则221cos x x θ=⨯⨯⨯，所以2cos x θ=，所以2224cos 22cos 2PC PD x θθ⋅=-=-=，所以当20θ=即0θ=时，cos 2θ有最大值1，即PC PD ⋅有最大值为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin(2)f x x θ=+，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求θ；（2）若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.【答案】（1）π6θ=（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）代入π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求θ的值；（2）根据（1）的结果，首先求的范围，再结合三角函数的性质，求函数的值域.【小问1详解】ππsin 163f θ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π6θ=；【小问2详解】()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ266x +=时，即0x =，函数取得最小值12，当ππ262x +=时，即π6x =，函数取得最大值1，所以函数的值域是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且22cos b c a B =-.（1）求A ；（2）若a =，2c b =，求ABC 的面积S .【答案】（1）π3（2）2【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角A ；（2）根据条件结合余弦定理计算边,b c ，再代入面积公式计算即可.【小问1详解】因为ABC 中，22cos b c a B =-，由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos B C A B =-，得sin 2sin()2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin B A B A B A B A B A B A B =+-=+-=，因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为a =，2c b =，所以222227423b b b b =+-=，所以3b =±，因为0b >，所以3b =，6c =，所以ABC 的面积为11393sin 362222bc A =⨯⨯⨯=.19.已知函数lo ()g a f x x =（0a >且1a ≠）在[]1,8上的最大值为3.（1）求a 的值；（2）当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）238t ≥.【解析】【分析】（1）分1a >和01a <<两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出a 的值；（2）将2()log f x x =代入不等式，参变分离化简，并求出()21log x xg x =-的最大值，可得实数t 的取值范围.【小问1详解】当1a >时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递增，则()()max 8log 83a f x f ===，解得2a =；当01a <<时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递减，则()()max 1log 103a f x f ===≠，舍去；综上可知，2a =；【小问2详解】由（1）得，2()log f x x =，当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，即2log 22log 0xx t --+≥，化简得2max 1log t x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，[]1,8x ∈构造()21log x x g x =-，[]1,8x ∈ 2log y x =和1y x=-分别在[]1,8上单调递增，()g x ∴在[]1,8上单调递增，()()2max1238log 888g x g ==-=，故实数t 的取值范围是238t ≥.20.某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40)50，，[50)60，，[60)70，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A =“这3件产品中技术参数位于区间[40)50，内的产品至多1件”，事件B =“这3件产品中技术参数位于区间[50)60，内的产品至少1件”，求事件A B ⋂的概率.【答案】（1）37.5，46.7（2）12【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和百分位数的计算法则计算即可；（2）先利用分层抽样确定各组的抽取产品数，然后列举试验的总的基本事件个数和事件A B ⋂包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数0.01010150.02510250.03010350.0151045⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010550.00510650.005107537.5+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为前三组的频率之和为0.010100.025100.030100.65⨯+⨯+⨯=，第四组的频率为0.015100.15⨯=，0.650.150.80.75+=>，所以第75百分位数一定在第四组，设第75百分数为x ，则0.65(40)0.0150.75x +-⨯=，解得46.7x ≈，所以第75百分数约为46.7.【小问2详解】采用分层抽样的方法，从技术参数唯一区间[)40,50，[)50,60，[)60,70三组的产品中抽取6件产品，则从技术参数位于区间[)40,50的产品应抽取0.010620.0150.0100.005⨯=++件，记为123,,a a a ，从技术参数位于区间[)50,60的产品应抽取0.015630.0150.0100.005⨯=++件，记为12,b b ，从技术参数位于区间[)60,70的产品应抽取0.005610.0150.0100.005⨯=++件，记为c ，从这6件产品中任选3件产品，样本空间12312112212Ω{(,,),(,,),(,,),(,,),a a a a ab a a b a ac =13113213231232231121112(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a c a a b a a b a a c a b b a b c a b c 2122122312313212(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}a b b a b c a b c a b b a b c a b c b b c ，则()20n Ω=，事件A B ⋂包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件，1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件.则11122122313212{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),A B a b c a b c a b c a b c a b c a b c b b c ⋂=112212312(,,),(,,),(,,)}a b b a b b a b b ，()10n A B ⋂=，所以()101()(Ω)202n A B P A B n ⋂⋂===.21.如图，三棱锥-P ABC 的三个顶点A B C ，，在圆O 上，AB 为圆O 的直径，且6AB =，PA PC ==BC =，平面PAC ⊥平面PCB ，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点F 是圆O 上的一点，且点F 与点C 位于直径AB 的两侧.当//EF 平面PAC 时，画出二面角E BF A --的平面角，并求出它的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）详见解析，4.【解析】【分析】（1）要证明平面PAC ⊥平面ABC ，只需利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC 即可；（2）解法一：建立空间坐标系，运用空间向量求解.解法二：作出二面角E BF A --的平面角，利用正切值的定义即可求得二面角的正切值.【小问1详解】因为点C 在圆O 上，AC CB ⊥,因此4AC ==，又222PA PC AC +=，即AP PC ⊥，所以PAC △是等腰直角三角形，由平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，所以AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以可得BCPA ⊥，又BC AC ⊥，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，,PA AC A BC =∴⊥ 平面PAC ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ；【小问2详解】解法一：取AC 的中点M ，连接PM ，则PM AC ⊥，由（1）可知平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PM ∴⊥平面ABC ，连接OM ，OE ，OF ，则OM 是ABC 中BC 边的中位线，OM AC ∴⊥，OM ⊂平面ABC ，PM OM ∴⊥，即PM ，AC ，OM 两两垂直，以M 为原点，AC ，OM ，PM 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系如下图：由于O ，E 分别是AB ，PB 的中点，连接BM ，取BM 的中点N ，连接EN ，则有//EN PM ，PM ⊥ 平面ABC ，EN ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，BF EN ∴⊥，过N 点作FB 的垂线，得垂足S ，,,BF NS EN NS N BF ⊥=∴⊥ 平面ENS ，ES ⊂平面ENS ，ES BF ∴⊥，ESN ∴∠就是二面角E BF A --的平面角；//,OE PA OE ∴⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，//OE ∴平面PAC ，又,,OE FE E OE FE =⊂ 平面EFO ，∴平面//EFO 平面PAC ，又OF ⊂平面EFO ，//FO ∴平面PAC ，又平面PAC 平面ABC AC =，FO ⊂平面ABC ，//AC FO ∴，其中12OF AB =，()()()()()2,0,0,2,,0,0,2,1,,3,A B P E F ∴--，()()4,0,1,5,FE FB =-=- ，设平面EFB 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m FE m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4050x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得4y z ==，可得()4m = ；显然平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =，设平面ABC 与平面EFB 的二面角为α，则222cos 11m n m nα⋅==⋅ ，综上，二面角E BF A --的余弦值为11，正切值为4.解法二：取BC 的中点M ，连接,,EM OM OE ，如下图所示：又点E 是PB 的中点，所以//EM PC ，EM ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以//EM 平面PAC ；又O 是AB 的中点，所以//OM AC ，OM ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//OM 平面PAC ；,,EM OM M EM OM =⊂ 平面EOM ，所以可知平面//E O M 平面PAC ，又平面EOM ⋂平面ABC OM =，平面PAC 平面ABC AC =，所以//AC OM ，又//EF 平面PAC ，所以EF ⊂平面EOM ，又F 在平面ABC 内，所以,,F O M 三点共线，即//AC FM ；所以四边形ACMF 为直角梯形，易知4,5AC CM MF OF OM ===+=，作AT MF ⊥于点T ，如下图所示：则1FT =，AT =，所以AF =取AC 的中点为Q ，连接PQ ，作//QN AF 交BF 于点N ，连接PN 由（1）可知PQ ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以PQ BF ⊥，又AF BF ⊥，所以QNBF ⊥，且QN PQ Q ⋂=，,QN PQ ⊂平面PQN ，所以BF ⊥平面PQN ，PN ⊂平面PQN ，所以BF PN ⊥；所以PNQ Ð即为二面角P BF A --的平面角，也即E BF A --的平面角；在四边形ACBF 中，QN 交FM 于点S ，如下图所示：易知6QS AF ==2AQ FS ==，5sin 230MBNSMFB BF∠==，可得63NS =，所以463QN QS SN =+=；又2PQ =，所以26tan 4463PQ PNQ QN ∠==；即二面角E BF A --的正切值为64.22.已知函数21()4f x x x =-，()g x kx =，()f x 与g()x 的图象恰有三个交点.（1）求实数k 的取值范围；（2）用max{,}αβ表示,αβ中的最大值，设函数{}()max (),()x f x g x ϕ=(16)x ≤≤，用M ，m 分别表示()ϕx 的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M m -的取值范围.【答案】（1）()0,1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数的性质，并得到()0,0是两函数的一个交点，考虑0k ≤时，不满足要求，再考虑0k >时，结合两函数的交点横坐标，列出不等式组，求出需要满足的条件；（2）在（1）的基础上，分3k 14≤<，1324k ≤<，1412k <<和104k <≤，求出相应的M ，m ，和M m -的取值范围.【小问1详解】由题意得()2221,041,0441,44x x x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()0f x ≥，且()0,0是函数()f x 与g()x 的图象的一个交点，当0k <时，()0g x <在()0,∞+上恒成立，与()f x 的图象无交点，在(),0∞-上，()g x 与()f x 的图象至多有1个交点，不合要求，舍去；当0k =时，()g x 与()f x 的图象有且仅有2个交点()()0,0,4,0，不合要求，舍去；当0k >时，若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则方程2211,44x x kx x x kx -+=-=均有正根，解得1244,44x k x k =-=+，由0440440k k k >⎧⎪->⎨⎪+>⎩，可得01k <<，所以实数k 的取值范围是()0,1；【小问2详解】由（1）可知，当()0,1k ∈时，()f x 与()g x 的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为1244,44x k x k =-=+，当()10,x x ∈时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当[]12,x x x ∈时，()()f x g x ≤，()(){}()max ,f x g x g x =，当()2,x x ∈+∞时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当3k 14≤<时，121,6x x <>，()()()16x g x x ϕ=≤≤，()66M k ϕ==，()1m k ϕ==，155,54M m k ⎡⎫-=∈⎪⎢⎣⎭，当1324k ≤<时，1212,6x x <≤≥，()()()11,1,6f x x x x g x x x ϕ⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，()f x 在[)11,x 上为增函数，且()g x 为增函数，故()x ϕ在[]1,6上为增函数，()66M k ϕ==，()314m f ==，39156,444M m k ⎡⎫-=-∈⎪⎢⎣⎭.当1412k <<时，1223,56x x <<<<，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===>，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()314m f ==，94M m -=；当104k <≤时，1234,45x x ≤<<≤，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===≤，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()()214444m f x f k k k ==-=-+，29443,34M m k k ⎡⎫-=-+∈⎪⎢⎣⎭；综上，当3k 14≤<时，6,M k m k ==；当1324k ≤<时，36,4M k m ==；当1412k <<时，33,4M m ==；当104k <≤时，23,44M m k k ==-+，M m -的取值范围为9,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

高一下期末考试文学常识复习1、下列有关文学常识的表述，错误的一项是( )A.《祖国山川颂》黄药眠（1903—1987），广东梅县人，中国现代作家、文艺理论家。

作品有《面向着生活的海洋》《深思集》等。

B.《指南录后序》文天祥（1236—1283），字履善，一字宋瑞，号文山，南宋著名的爱国诗人。

遗著有《文山先生全集》。

《指南录后序》是文天祥为自己的诗集《指南录》写的序文。

诗集命名为《指南录》，取“臣心一片磁针石，不指南方不肯休”诗意。

C.《长江三峡》刘白羽（1916—2005）北京人，中国现代作家。

作品有《第二个太阳》《红玛瑙集》等。

与杨朔、秦牧并称“当代散文三大家”。

D.《肖邦故园》肖邦（1810—1849）波兰音乐家。

雅—伊瓦什凯维奇（1894—1980），波兰作家。

作品有《红色的盾牌》《荣誉和赞扬》等。

2、下列有关文学常识的表述，错误的一项是( )A.《发现》闻一多（1899—1946）原名闻家骅，号友三。

湖北浠水人，中国现代作家，作品有《死水》《红烛》等。

与徐志摩同属讲究格律的“新月派”，提出诗歌的“三美”理论：绘画美、音乐美、建筑美。

B.《北方》艾青（1910—1996）原名蒋海澄。

浙江金华人，中国现代作家。

作品有《大堰河——我的保姆》《在浪尖上》等。

C.《五人墓碑记》张溥（1602—1641），字天如，号西铭，江苏太仓人，明代文学家。

他自幼勤学，所读之书必手抄六七遍，因此他命名自己的书房为“七录斋”。

他组织了爱国社团复社，成为其领袖。

在文学上，他提出“兴复古学”的主张。

著有《七录斋集》。

碑记，又称碑志。

“碑”指碑铭，“志”指墓志铭。

前者刻石立于地上，后者则埋于地下。

碑铭又分为三类，即宫室庙宇碑，墓碑和功德碑。

用于叙述死者生前的事迹和高尚的品质。

D.《祖国呵，我亲爱的祖国》舒婷原名龚佩瑜，生于1952年，福建泉州人，中国现代作家。

作品有《双桅船》《致橡树》等。

与北岛、顾城同属朦胧诗派。

3、下列有关文学常识的表述，错误的一项是( )A.《祖国土》阿赫马托娃（1889—1966），俄国文学史上著名的女诗人之一，人称“俄罗斯诗歌天空的月亮”。

高一第二学期期末试卷数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知a =(1，2)，b=(4，2-)，下列说法正确的是（）A.a =B.a ⊥bC.//a bD.(3,4)b a -=【答案】B 【解析】【分析】根据向量的模的计算公式，两个向量的差与数量积的坐标运算，两个向量垂直、平行的条件逐一检验各个选项是否正确，从而得到答案.【详解】(1,2),a a =∴==A 错误；(1,2),(4,2)142(2)0,a b a b ==-∴⋅=⨯+⨯-=故a b ⊥ ，B 正确；(1,2),(4,2),1(2)42100,a b ==-∴⨯--⨯=-≠故a 与b 不平行，C 错误；(41,22)(3,4)b a -=---=-，D 错误.故选：B.2.已知集合(){}10A x x x =-≤，{}ln B x x a =≤，为使得A B A ⋃=，则实数a 可以是（）A.0B.1C.2D.e【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,A B ，再根据已知得到e 1a ≤，解不等式即得解.【详解】由题得[0,1]A =，(0,e ]a B =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.所以0e 1e ,0a a ≤=∴≤.故选：A3.在复平面内，复数35i1i--对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行化简，根据复数的几何意义即可.【详解】35i (35i)(1i)82i4i,1i (1i)(1i)2--+-===---+∴对应的点为(4,)1-，在第四象限，故选：D.4.在ABC 中，5AB =，6BC =，3cos 5B =，则ABC 的面积为（）A.24 B.18C.12D.9【答案】C 【解析】【分析】根据平方关系求出sin B ，再由面积公式计算可得.【详解】3cos 5B =Q ，0πB <<，4sin 5B ∴=，又5AB c ==，6BC a ==，114sin 5612225ABC S ac B ∴==⨯⨯⨯= ．故选：C ．5.已知等差数列{}n a 中，119a =，2826+=a a ，则数列{}n a 的前5项和为（）A.35B.40C.45D.80【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的定义，利用首项和公差，结合题意，建立方程，解得公差，利用前n 项和的计算公式，可得答案.【详解】由等差数列{}n a ，可设其公差为d ，2811738826a a a d a d d +=+++=+=，解得32d =-，数列{}n a 的前5项和()()()1511555451919680222a a a a d S +⨯++⨯+-====.故选：D6.已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（）A.48πB.24πC.12πD.6π【答案】C 【解析】【分析】将正三棱锥-P ABC 放到棱长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算可得.【详解】如图可将正三棱锥-P ABC 放到棱长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球且正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，设外接球的半径为R ，则()2222222212R =++=，即2412R =，即R （负值舍去），所以外接球的表面积24π12πS R ==.故选：C7.已知函数1()213xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()0f x <的解集为（）A.()0,1 B.()1,0- C.()(),10,-∞-⋃+∞ D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】()0f x <的解集即为1123x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭的解集，画出13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =-的图象即可求解.【详解】令1()2103xf x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭,可得1123xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,在同一直角坐标系中画出13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =-的图象：由图可得，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =-的图象有两个交点，又()1112103f -⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，()0100103f ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，由图可得1123xx ⎛⎫<- ⎪⎝⎭的解集为()1,0-,即()0f x <的解集为()1,0-.故选:B.8.已知1AB =，2CD = ，2AD AC AC ⋅= ，则CB CD ⋅的最大值为（）A.1 B.2C.22D.4【答案】B 【解析】【分析】根据数量积的运算律得到0CD AC ⋅=，则2cos ,CB CD AB CD ⋅= ，结合余弦函数的性质计算可得.【详解】因为2AD AC AC ⋅= ，即()2AC CD AC AC +⋅=，即22AC CD AC AC +⋅= ，即22AC CD AC AC +⋅= ，所以0CD AC ⋅=，所以()CB CD CA AB CD CA CD AB CD⋅=+⋅=⋅+⋅ cos ,2cos ,AB CD AB CD AB CD AB CD =⋅=⋅= ，因为1cos ,1AB CD -≤≤，所以当cos ,1AB CD = 时CB CD ⋅ 取最大值，最大值为2.故选：B9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中10a >，则“31a a >”是“n S 无最大值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由等比数列{}n a 中31a a >等价于公比1q <-或1q >，结合前n 项和公式单调性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现n S 无最大值不一定推得31a a >,继而选项可定.【详解】充分性：设等比数列{}n a 的公比为q ，31a a >，10a >，∴211a q a >，21q ∴>可得1q <-或1q >，又()()111111n n n a q a S q qq -==---，当1q <-时，若n 为奇数，()()1111111n nn a a a S q q q q q=-=-+---，101a q>-，()1q ->，∴当n 为奇数时n S 单调增，则n S 无最大值，当1q >时()111n n a S q q =--，101a q >-，1q >,∴n S 单调增,则n S 无最大值；必要性：当1q =时，1n S na =，又10a >，则n S 无最大值.可得“31a a >”不是“n S 无最大值”的必要条件；由此可知“31a a >”是“n S 无最大值”的充分不必要条件.故选：A.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 、H 分别为棱1111,,,BC CD C D B C 的中点，点M 为棱1CC 上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM 与1BB 异面；②1//A H 平面AEM ；③平面AEM 截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面AEM ⊥平面1BB GF .A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】【分析】根据正方体的几何性质逐项分析.【详解】对于①，连接11,A C AC ，1111,//,AA CC AA CC =∴ 四边形11AA C C 是平行四边形，AM ⊂平面11AA C C ，111//,BB CC CC ⊂平面11AA C C ，1BB ⊄平面11AA C C ，1//BB ∴平面11AA C C ，又1CC AM M = ，所以1BB 与AM 是异面直线，正确；对于②，连接EH ，则11//,,EH AA EH AA =∴四边形1AA HE 是平行四边形，1//A H AE ，又AE ⊂平面AEM ，1A H ⊄平面AEM ，1//A H ∴平面AEM ，正确；对于③，取1CC 的中点T ，当M 与T 重合时，连接1AD ，则有11//,,,,ET AD E T A D 四点共面，即平面AEM 截正方体的图形是四边形1AD TE ，如下图：当M 点在线段1C T 上时，在平面11AA D D 内作直线//AU EM ，交1DD 的延长线于U ，交11A D 于V ，连接UM ，111//,,,,DD CC D U C C ∴ 四点共面，UM ⊂平面11DD C C ，11UM D C W ∴= ，即平面AEM 截正方体的图形是五边形AEMWV ，如下图：错误；对于④，在正方形ABCD 内，πR R ,,,2t ABE t BCF EAB FBC FBC BEA ≅∠=∠∴∠+∠= 所以AE BF ⊥，又1BB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，1AE BB ∴⊥，1,BB BF ⊂平面11,BB GF BB BF B = ，AE ∴⊥平面1BB GF ，AE ⊂平面AEM ，∴平面AEM ⊥平面1BB GF ，正确；故选：C.【点睛】难点点睛：本题的难点在于当M 点移动时，平面AEM 与正方体的交面需要在平面11AA D D 内寻找到与直线EM 平行的直线AV ，从而确定交面的形状.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知复数3i(0)z a a =+<的模为5，则=a __________.【答案】4-【解析】【分析】根据复数的模长公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意，可得5a ==，且0a <，解得4a =-.故答案为：4-.12.已知函数()sin cos (0)f x x a x a =+<的最大值为2，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭=__________.【答案】1-【解析】【分析】利用辅助角公式可得a ，再求函数值即可.【详解】函数()()sin cos ϕ=+=+f x x a x x ，tan a ϕ=，故函数()f x 2=，解得a =所以()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以πππ12sin 216632f ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-.13.在正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧棱长为，点E 是PA 的中点，则三棱锥E ABD -的体积为___________.【答案】23【解析】【分析】设底面AC BD O = ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，再利用勾股定理求出PO ，最后根据锥体的体积公式计算可得.【详解】设底面AC BD O = ，连接PO ，由正四棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，又底面边长为2，侧棱长为6，所以221122222AO AC ==+=，则()()22622PO =-=，因为点E 是PA 的中点，所以点E 到平面ABCD 的距离112h PO ==，所以11122213323E ABD ABD V S h -==⨯⨯⨯⨯= .故答案为：2314.已知函数2cos ,0()1e ,02x x x f x ax x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩在区间[)π,-+∞上是单调函数，则正数a 的一个取值为___________.【答案】1（答案不唯一，只要满足0e a <≤即可）【解析】【分析】首先分析函数在[]π,0-上单调递增，则()f x 在()0,∞+上单调递增且函数值大于等于1，当0x >时求出函数的导函数，则()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离可得exa x≤在()0,x ∈+∞上恒成立，再利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】因为cos y x =在[]π,0-上单调递增，且当0x =时1y =，又函数2cos ,0()1e ,02x x x f x ax x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩在区间[)π,-+∞上是单调函数，则()f x 在()0,∞+上单调递增且函数值大于等于1，当0x >时()21e 2xf x ax =-，且2011e 02a -⨯=，则()e xf x ax '=-，则()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，所以e xa x≤在()0,x ∈+∞上恒成立，令()e xg x x =，()0,x ∈+∞，则()()2e 1x x g x x-'=，所以当01x <<时()0g x '<，当1x >时()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 1e g x g ==，所以e a ≤，又0a >，所以0e a <≤.故答案为：1（答案不唯一，只要满足0e a <≤即可）15.已知函数()ln f x x =，取点()1111,()(0)A a f a a >，过1A 作曲线()ln f x x =的切线交y 轴于()220,(0)a a >，取点()222,()A a f a ，过2A 作曲线()ln f x x =的切线交y 轴于()30,a ......依此类推，直到当0(3)n a n ≤≥时停止操作，此时得到数列{}n a .给出下列四个结论：①10e a <<；②当*2N n n ≥∈，时，1ln 1n n a a -=-；③当*2N n n ≥∈，时，12n n a a -≤-恒成立；④若存在k ∈N*，使得1a ，2a ，…，k a 成等差数列，则k 的取值只能为3.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】②③④【解析】【分析】对函数()f x 进行求导之后，利用导数的几何意义可以利用直线的点斜式方程写出切线方程1111ln ()n n n y a x a a ----=-，令0x =，即可求出n a ，判断出②正确；利用1ln 1,2n n a a n -=-≥，求出2a ，利用20a >，可以判断出①错误；利用111(2)ln 1n n n n a a a a -----=-+，构造函数，利用函数的单调性求出最大值，即可判断出③正确；假设存在正整数3,k >满足条件，利用等差数列的定义得到数列也为等比数列，公差为零，得出矛盾,再验证3k =满足条件，从而④正确.【详解】因为()ln f x x =，所以1(),f x x'=则111(),2n n f a n a --'=≥，所以()ln f x x =在点1n x a -=处的切线方程为1111ln ()n n n y a x a a ----=-，令0x =，得1ln 1n y a -=-，所以1ln 1,2n n a a n -=-≥，所以②正确；根据上式，令2n =，则21ln 10a a =->，解得1e a >，故①错误；又当*2N n n ≥∈，时，111(2)ln 1n n n n a a a a -----=-+，设()ln 1,0g x x x x =-+>，则11()1x g x x x-'=-=，令()0g x '>，得01;x <<令()0g x '<，得1,x >则()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()(1)ln1110,g x g ≤=-+=所以当*2N n n ≥∈，时，12n n a a -≤-，故③正确；假设存在正整数3,k >使得1a ，2a ，…，k a 成等差数列，设公差为d ，则11112ln 1ln ln ,k k k k k k a a a a a a d ------=--=-=所以12e d k k a a --=，可知该数列既是等差数列又是等比数列，故0,d =但与12n n a a -≤-矛盾，故该数列不是等差数列，故不存在正整数3,k >使得1a ，2a ，…，k a 成等差数列.当3k =时，2121132ln 1,e ,ln 1,a a a a a a +=-==-又由1322,a a a +=得2122e ln 12a a a ++-=，令1()e ln 12,0x h x x x x +=+-->，其中21010110(1)e 120,(e )e 1012e 0,h h --+-=-->=---<故存在100(e ,1)x -∈，使得0()0,h x =即1322,a a a +=所以存在3k =，使得1a ，2a ，…，k a 成等差数列，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知在ABC 中，22cos c b A a =-.（1）求B ；（2）若8,7a c b +==，且C A >，求BC 边上的高.【答案】（1）2π3；（2）532.【解析】【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，根据两角和的正弦公式可求cos B 的值，由B 的范围即可求解；（2）由余弦定理求出,a c ,过A 作CB 延长线的垂线，垂足为D ，在Rt △ABD 中求AD 即可.【小问1详解】由22cos c b A a =-及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C B A A =-，即()2sin 2sin cos sin A B B A A +=-，即2sin cos 2cos sin 2sin cos sin A B A B B A A +=-，所以2sin cos sin A B A =-.因为()0,πA ∈,所以sin 0A ≠,所以1cos 2B =-.因为()0,πB ∈，所以2π3B =.【小问2详解】因为8,7a c b +==，2π3B =，所以由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，所以2249a c ac +-=-，即()249a c ac +-=，所以644915ac =-=.因为C A >，所以c a >.因为8a c +=，所以3,5a c ==.过A 作CB 延长线的垂线，垂足为D ，则BC 边上的高π53sin 5sin 32AD AB ABD =⋅∠=⨯=.17.已知首项为0的无穷等差数列{}n a 中，2a ，3a ，41a +成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记12,n n n a a n b n +⎧=⎨⎩，为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）1n a n =-；（2）2221223n n T n +-=+.【解析】【分析】（1）等差数列{}n a 的公差为d ，由等比数列的性质列式可得0d =或1d =，验证可得1d =，根据等差数列的通项公式即可求解；（2）12,n n n n b n -⎧=⎨⎩，为奇数为偶数，由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2a ，3a ，41a +成等比数列，所以()22431a a a +=，即()()2312d d d +=，即2d d =，解得0d =或1d =.若0d =，则0n a =，则2a ，3a 不能是等比数列中的项，故0d =不符合题意.所以1d =，()0111n a n n =+-⨯=-,可得231,2a a ==，414a +=，符合2a ，3a ，41a +成等比数列，所以1n a n =-.【小问2详解】112,2,n n n a n a n n n b n n -+⎧⎧==⎨⎨⎩⎩，为奇数，为奇数为偶数为偶数，所以21234212n n nT b b b b b b -=++++++ ()()135212462n n b b b b b b b b -=+++++++++ ()()13521135212222n n -=++++-+++++ ()()214121214n n n ⨯-+-⎡⎤⎣⎦=+-212223n n +-=+.所以2221223n n T n +-=+.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA=，2AB AD ==，点M 和点N 在棱1CC 上，且22CM CN ==.（1）求证：//AM 平面BDN ；（2）求证：1A C DN ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC 、BD ，设AC BD O = ，连接ON ，即可得到//ON AM ，从而得证；（2）首先证明BD ⊥平面11AA C C ，得到1A C BD ⊥，再证1A C ON ⊥，即可得到1A C ⊥平面BDN ，从而得证.【小问1详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，点M 和点N 在棱1CC 上，且22CM CN ==，连接AC 、BD ，设AC BD O = ，连接ON ，则O 为AC 的中点，又N 为CM 的中点，所以//ON AM ，又AM ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ，所以//AM 平面BDN .【小问2详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，则ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以BD ⊥平面11AA C C ，1AC ⊂平面11AA C C ，所以1A C BD ⊥，又AC =OC=1CN =，14AA =，所以1AA AC AC CN=，所以1A AC OCN ∽，所以1A CA ONC ∠=∠，又1190A CA A CN ∠+∠=︒，所以190A CN ONC ∠+∠=︒，所以1A C ON ⊥，又BD ON O = ，,BD ON ⊂平面BDN ，所以1A C ⊥平面BDN ，又DN ⊂平面BDN ，所以1A C DN ⊥.19.已知函数()213cos cos 2f x x x x ωωω=+-，其中02ω<<，有如下三个条件：条件①：π132f =；条件②：()()πf x f x +=；条件③：ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.从以上三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为1，求实数m 的最小值.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）π6.【解析】【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()πsin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，再根据正弦函数的单调性求解即可；（2）令πππ2,2666t x m ⎡⎤=+∈+⎢⎣⎦，画出图象，数形结合即可求解.【小问1详解】()213cos cos 2f x x x x ωωω=+-31πsin 2cos 2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.若选①，π2ππ1sin 3362f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为02ω<<，所以2πππ3π,3662ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ5π366ω+=，解得1ω=.若选②，()()πf x f x +=，所以π是()f x 的一个周期.所以()()ππ22f f =-，即ππsin πsin π66ωω⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()()3131sin πcos πsin πcos π2222ωωωω+=-+，即()sin π0ω=.因为02ω<<，所以()π0,2πω∈，所以ππω=，解得1ω=.若选③，因为ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π6x =为函数()f x 的对称轴，所以πππsin 1636f ω⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()ππππ362k k ω+=+∈Z ，所以()13πk k ω=+∈Z .因为02ω<<，所以1ω=.综上，1ω=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.令()πππ2π22π262k x k k -+≤+≤+∈Z ，解得()ππππ36k x k k -+≤≤+∈Z .所以()f x 的单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】[]0,x m ∈时，πππ2,2666x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令πππ2,2666t x m ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，则sin y t =在ππ,266t m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，画出sin y t =在π,3π6t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦图象如图所示：当π2t =，πsin sin 12y t ===,由图可知，要sin y t =在ππ,266t m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则ππ262m +≥，解得π6m ≥,所以实数m 的最小值为π6.20.已知函数()2=+b f x ax x，若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为3y =.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）当0x >时，若存在常数0t >，使得方程()f x t =有两个不同的实数解1x ，2x ，求证：122x x +>.【答案】（1）1a =、2b =（2）单调递减区间为(),0∞-，()0,1，单调递增区间为()1,+∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()()1310f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得()22f x x x=+，求出函数的定义域与导函数，再解得关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（3）由（2）不妨设12x x <，则1201x x <<<，则只需证明()()212f x f x >-，即证()()112f x f x >-，令()()()2g x f x f x =--()01x <<，利用导数说明函数的单调性，即可得证.【小问1详解】因为()2=+b f x ax x ，所以()22b f x ax x'=-，因为函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为3y =，所以()()1310f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即320a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可得()22f x x x=+定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()()()232222112222x x x x f x x x x x-++-'=-==，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以当0x <或01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(),0∞-，()0,1，单调递增区间为()1,+∞.【小问3详解】由（1）可得当0x >时()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，则()f x 在1x =处取得极小值()13f =，因为当0x >时，存在常数0t >，使得方程()f x t =有两个不同的实数解1x ，2x ，即()y f x =()0x >与y t =有两个交点，则3t >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证122x x +>，即证212x x >-，又101x <<，所以1122x <-<，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以只需证明()()212f x f x >-，又()()12f x f x =，则只需证明()()112f x f x >-，令()()()()2222222g xx f x f x x x x +----==--()01x <<，则()()()()()()2222222222222222222x x x x x x x x g x x x '⎡⎤----⎣⎦-=+--=--()()()()()()3232222221264413222x x x x x x x x x x --+--+==--，令()3232h x x x =-+，()01x <<，则()()236320h x x x x x '=-=-<，则()h x 在()0,1上单调递减，且()10h =，所以()0h x >，所以()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减，所以()()10g x g >=，即()()20f x f x -->在()0,1上恒成立，所以()()2f x f x >-在()0,1上恒成立，即()()112f x f x >-在()10,1x ∈上恒成立，则122x x +>.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.给定正整数n ，记S (n )为所有由2n 个非负实数组成的2行n 列的数表构成的集合.对于A ∈S (n )，用()i R A ，()j C A 分别表示的第i 行，第j 列各数之和(i =1，2；j =1，2，...，n ).将A 的每列的两个数中任选一个变为0(可以将0变为0)而另一个数不变，得到的数表称为A 的一个残表.（1）对如下数表A ，写出A 的所有残表A '，使得12()()R A R A ''=；0.10.11000.1（2）已知A ∈S (2)且()1j C A =(j =1，2)，求证：一定存在A 的某个残表A '使得1()R A '，2()R A '均不超过23；（3）已知A ∈S (23)且()1j C A =(j =1，2，...，23)，求证：一定存在A 的某个残表A '使得1()R A '，2()R A '均不超过6.【答案】（1）见详解（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）由题意，注意对残表的理解，可得出答案；（2）由A ∈S (2)且()1j C A =(j =1，2)，可知，数表A 中每列两数的和为1，设为m ，1m -；n ，1n -，易发现1()R A '，2()R A '取值情况，分析可得证.（3）用反证法，可得证.【小问1详解】解：根据残表的定义，数表A 的所有残表A '，且满足12()()R A R A ''=如下：00.10000.10.100000.1【小问2详解】证明：由A ∈S (2)且()1j C A =(j =1，2)，可知，不妨设数表A 如下：mn 1m -1n-显然，01m ≤≤，01n ≤≤.不难发现其残表A '满足：()()120R A m n R A ''⎧=+⎪⎨=⎪⎩，或()()121R A m R A n ⎧='-'⎪⎨=⎪⎩，或()()121R A n R A m ⎧='-'⎪⎨=⎪⎩，或()()()1202R A R A m n ⎧=⎪⎨=-+''⎪⎩当103m ≤≤，103n ≤≤时，A 的残表：m n 00使得1()R A '，2()R A '均不超过23.当103m ≤≤，113n ≤≤时，A 的残表：m01n-使得1()R A '，2()R A '均不超过23.当1233m ≤≤，203n ≤≤时，A 的残表：0n1m-0当1233m ≤≤，213n ≤≤时，A 的残表：m001n -使得1()R A '，2()R A '均不超过23.当213m ≤≤，203n ≤≤时，A 的残表：0n1m -0使得1()R A '，2()R A '均不超过23.当213m ≤≤，213n ≤≤时，A 的残表：001m -1n-使得1()R A '，2()R A '均不超过23.综上，一定存在A 的某个残表A '使得1()R A '，2()R A '均不超过23.【小问3详解】设A 为1a 2a …23a 1b 2b …23b则1(1,2,,23)j j a b j +== 不妨设1223a a a ≤≤≤ ，则1223b b b ≥≥≥ 若12236a a a +++≤ ，则可取A 的残表A '1a 2a ...23a 00 0（则每列都将第二个数变为0），即有()11223R a a a A =++'+ 而()20R A '=，均不超过6．若12236a a a +++> ，则可设正整数22k ≤满足1116k k k a a a a a +++≤<+++ （即123,,a a 中至多取前k 个数之和不超过6）由于12116(1)k k a a a k a ++<+++≤+ ，知161k a k +>+于是122316(23)(23)1k k k k a a a k a k ++--+++≥->+ 有()()122312311k k k b b b a a ++++++=-++- ()123=(23)k k a a +--++ 6(23)164(23)2911k k k k k -≤--=--++14430(1)3061=k k ⎡⎤-++≤-=⎢⎥+⎣⎦故可取A 的残表A '为1a 2a …k a 0…000…01kb +…23b （即前k 列都将第二个数变为0，而后23k -列都将第一个数变为0），即有()112k R a a A a =+'++ ，()2123k A R b b +'=++ ，均不超过6．【点睛】思路点睛：本题是新概念题，要准确理解数表以及残表的概念，采取从特殊到一般的方法，逐层突破.。