全国名校优秀高考数学复习课时作业(附详解)课时作业8 指数与指数函数

课时作业(八)第8讲指数与指数函数时间/ 30分钟分值/ 75分基础热身1.[2018·青岛二模]已知方程x2-3x+1=0的两个根为x1,x2,则2x1·2x2=()A.3B.6C.8D.22.已知函数f(x)=a x-1+4的图像恒过定点P,则点P的坐标是 ()A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)3.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a4.函数f(x)=a x与g(x)=-x+a在同一坐标系中的图像可能是()A B C D图K8-1)x+4的解集为.5.不等式3-x2+2x>(13能力提升,则函数y=3·a2x-1在[0,1]上的最大值为6.函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为54()A.16B.15C.12D.347.[2018·三明5月质检]若a=π-2,b=a a,c=x x x,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c8.若对于任意x∈(-∞,-1],都有(3m-1)2x<1成立,则m的取值范围是()A .(-∞,13)B .(-∞,13] C .(-∞,1) D .(-∞,1]9.已知函数y=f (x )的图像关于直线x=1对称,当x<1时,f (x )=|(12)x-1|,那么当x>1时,函数f (x )的单调递增区间是( )A .(-∞,0)B .(1,2)C .(2,+∞)D .(2,5)10.已知实数a ≠1,函数f (x )={4x ,x ≥0,2x -x ,x <0,若f (1-a )=f (a-1),则a 的值为 .11.[2018·湖南八校联考] 对于给定的函数f (x )=a x-a -x(x ∈R,a>0,且a ≠1),下面五个结论中正确的是 .(填序号)①函数f (x )的图像关于原点对称; ②函数f (x )在R 上不具有单调性; ③函数f (|x|)的图像关于y 轴对称; ④当0<a<1时,函数f (|x|)的最大值是0; ⑤当a>1时,函数f (|x|)的最大值是0.12.(10分)已知函数f (x )=a ·4x-a ·2x+1+1-b (a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1. (1)求a ,b 的值;(2)若不等式f (x )-k ·4x≥0在x ∈[-1,1]时有解,求实数k 的取值范围.难点突破13.(5分)已知函数f (x )=e x -e -x2,x 1,x 2,x 3∈R,且x 1+x 2>0,x 2+x 3>0,x 3+x 1>0,则f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)的值( )A .一定等于零B .一定大于零C .一定小于零D .正负都有可能14.(5分)已知函数f (x )=2-x ,给出下列结论:①若x>0,则f (x )>1;②对于任意的x 1,x 2∈R,x 1-x 2≠0,必有(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0; ③若0<x 1<x 2,则x 2f (x 1)<x 1f (x 2); ④对于任意的x 1,x 2∈R,x 1-x 2≠0,必有x (x 1)+x (x 2)2>f (x 1+x 22).其中所有正确结论的序号是 .课时作业(八)1.C [解析] 由题得x 1+x 2=3,∴2x 1·2x 2=2x 1+x 2=23=8.故选C .2.A [解析] 令x-1=0⇒x=1,又f (1)=5,故图像恒过定点P (1,5).3.B [解析] 易知b=0.80.9<0.80.7=a<1<1.20.8=c ,故选B .4.A [解析] 因为函数g (x )单调递减,所以排除选项C,D,又因为函数f (x )=a x单调递增时,a>1,所以当x=0时,g (0)=a>1=f (0),所以排除选项B,故选A . 5.(-1,4) [解析] 由3-x2+2x>(13)x +4可得3-x2+2x>3-x-4,∴-x 2+2x>-x-4,即x 2-3x-4<0, ∴不等式3-x 2+2x>(13)x +4的解集为(-1,4).6.C [解析] ∵函数y=a x在定义域上是单调函数,且y=a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为54,∴1+a=54,解得a=14,∴函数y=3·a2x-1=3·(14)2x -1=12·(116)x .∵函数y=12·(116)x在定义域上为减函数,∴当x=0时,函数y=3·a 2x-1在[0,1]上取得最大值,且最大值是12,故选C .7.B [解析] 由题意可知a=π-2=1π2∈(0,1),即a<1,则函数f (x )=a x单调递减,则a a >a 1,即a a>a.由于a a>a ,所以结合函数的单调性可得x x x<a a,即b>c ,由于0<a<1,故a a<1,结合函数的单调性可得x x x>a 1,即c>a.综上可得,a ,b ,c 的大小关系为b>c>a.8.C[解析] ∵2x>0,∴不等式(3m-1)2x<1对于任意x∈(-∞,-1]恒成立等价于3m-1<12x =(12)x对于任意x∈(-∞,-1]恒成立.∵x≤-1,∴(12)x≥(12)-1=2,∴3m-1<2,解得m<1,∴m的取值范围是(-∞,1).故选C.9.C[解析] 如图,画出函数y=f(x)的图像,可知当x>1时,函数f(x)的单调递增区间为(2,+∞),故选C.10.12[解析] 当a<1时,41-a=21,所以a=12;当a>1时,22a-1=4a-1,无解.所以a的值为12.11.①③④[解析] ∵f(-x)=-f(x),x∈R,∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图像关于原点对称,①正确;当a>1时,f(x)在R上为增函数,当0<a<1时,f(x)在R上为减函数,②错误;y=f(|x|)是偶函数,其图像关于y轴对称,③正确;当0<a<1时,y=f(|x|)在(-∞,0)上为增函数,在[0,+∞)上为减函数,∴当x=0时,y=f(|x|)取得最大值,为0,④正确;当a>1时,y=f(|x|)在(-∞,0)上为减函数,在[0,+∞)上为增函数,∴当x=0时,y=f(|x|)取得最小值,为0,⑤错误.综上,正确结论是①③④.12.解:(1)令n=2x∈[2,4],则y=an2-2an+1-b(a>0),n∈[2,4]有最大值9和最小值1,易知函数y=an2-2an+1-b的图像的对称轴为直线n=1,∴当n=2时,y min=4a-4a+1-b=1,当n=4时,y max=16a-8a+1-b=9,∴a=1,b=0.(2)由(1)知,4x-2·2x+1-k·4x≥0在x∈[-1,1]时有解.设2x=t,∵x∈[-1,1],∴t∈[12,2],∴t2-2t+1-kt2≥0在t∈[12,2]时有解,∴k ≤x 2-2x +1x 2=1-2x +1x 2,t ∈[12,2]. 再令1x =m ,则m ∈[12,2],∴k ≤m 2-2m+1=(m-1)2≤1,即k ≤1,故实数k 的取值范围是(-∞,1].13.B [解析] 由已知可得f (x )为奇函数,且f (x )在R 上是增函数.由x 1+x 2>0⇒x 1>-x 2⇒f (x 1)>f (-x 2)=-f (x 2),同理可得f (x 2)>-f (x 3),f (x 3)>-f (x 1),故f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>-[f (x 2)+f (x 3)+f (x 1)]⇒f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>0.14.②④ [解析] f (x )=2-x=(12)x. 对于①,当x>0时,(12)x∈(0,1),故①错误.对于②,f (x )=(12)x在R 上单调递减,所以(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0,故②正确. 对于③,x (x )x表示f (x )图像上的点与原点连线的斜率,由f (x )=(12)x的图像可知,当0<x 1<x 2时,x (x 1)x 1>x (x 2)x 2,即x 2f (x 1)>x 1f (x 2),故③错误.对于④,由f (x )的图像可知,x (x 1)+x (x 2)2>f (x 1+x 22),故④正确.综上所述,所有正确结论的序号是②④.。

课时作业(八) 指数与指数函数A 级1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x2．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<1 C ．|a |> 2D ．|a |< 23．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．114．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定5．函数y ＝的值域为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]6．当x ∈[－2,0]时，函数y ＝3x ＋1－2的值域是________．7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．8．函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.9．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是________． 10．化简下列各式(其中各字母均为正数)．11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．B 级1．(2011·湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174D ．a 22．若函数y ＝2|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．3．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．答案课时作业(八) A 级1．B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．2．C ∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1， ∴a 2－1>1，∴a 2>2，∴|a |> 2. 3．B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9， 即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7，选B.4．A 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2， ∴f (－4)>f (1)，故选A.5．A ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 又y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上为减函数， ∴y ＝≥⎝⎛⎭⎫121＝12，即值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 6．解析： ∵x ∈[－2,0]时y ＝3x ＋1－2为增函数， ∴3－2＋1－2≤y ≤30＋1－2，即－53≤y ≤1.答案： ⎣⎡⎦⎤－53，1 7．解析： ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )得m >n . 答案： m >n8．解析： f (x )＝ax 2＋2x －3＋m ，在x 2＋2x －3＝0时，过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9.答案： 99．解析： 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案： (－1,1)10．解析： (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .11．解析： (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)；(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2.B 级1．B ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2① 得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②得f (x )＝a x －a －x ，又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ， ∴f (2)＝22－2－2＝154.2．解析： 由y ＝2|1－x |与y ＝－m 的图像知m ≤－1.答案：(－∞，－1]．3．解析：方法一：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，设0≤x1<x2≤1，因为g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．由于2x2＋2x1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′(x)＝λln 2·2x－ln 4·4x＝2x ln 2·(－2·2x＋λ)≤0成立，所以只需要λ≤2·2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.。

课时作业(八)A　[第8讲　指数与指数函数] [时间：35分钟 分值：80分] 1．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( ) A．－9 B．7 C．－10 D．9 2．下列函数中，值域为{y|y>0}的是( ) A．y＝－5x B．y＝1－x C．y＝ D．y＝ 3．下列等式成立的是( )A.7＝mn7B.＝ C＝(x＋y) D.＝ 4．若a＝50.2，b＝0.50.2，c＝0.52，则( ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( ) A．5 B．7 C．9 D．11 6．定义一种运算：ab＝已知函数f(x)＝2x(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图像是( ) 图K8－1 7．函数y＝(00且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1)的大小关系是________． 10．已知集合P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝ax＋1，a>0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是________． 11．函数y＝ax＋2012＋2011(a>0且a≠1)的图像恒过定点________． 12．(13分)函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当xM时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值． 13．(12分)(1)已知f(x)＝＋m是奇函数，求常数m的值； (2)画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？课时作业(八)A 【基础热身】 1．B　[解析] －(－1)0＝8－1＝7. 2．B　[解析] y＝x的值域是正实数，而1－xR，y＝1－x的值域是正实数． 3．D　[解析] 7＝n7·m－7，＝，＝(x3＋y3)≠(x＋y). 4．A　[解析] a＝50.2>50＝1,0.52<0.50.20时，y＝ax；x<0时，y＝－ax.即把函数y＝ax(00时不变，在x－1，g(x)＝－x2＋4x－3≤1，要有f(a)＝g(b)，则一定要有－1＜－x2＋4x－3≤1，解之得：有2－＜x＜2＋，即2－＜b＜2＋，故选B. 9．f(－2)>f(1)　[解析] 由f(2)＝a－2＝4，解得a＝， f(x)＝2|x|，f(－2)＝4>2＝f(1)． 10．(1，＋∞)　[解析] 如果P∩Q有且只有一个元素，即函数y＝m与y＝ax＋1(a>0，且a≠1)的图像只有一个公共点．y＝ax＋1>1，且单调，m>1.∴m的取值范围是(1，＋∞)． 11．(－2012,2012)　[解析] y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点(0,1)，y＝ax＋2012＋2011恒过定点(－2012,2012)． 12．[解答] 由3－4x＋x2＞0，得x＞3或x＜1， M＝{x|x＞3或x＜1}， f(x)＝－3×(2x)2＋2x＋2＝－32＋. x＞3或x＜1，2x＞8或0＜2x＜2， 当2x＝，即x＝log2时，f(x)最大，最大值为，f(x)没有最小值． 【难点突破】 13．[解答] (1)常数m＝1. (2)y＝|3x－1|的图像如下． 当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程无解； 当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解； 当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解． 。

课时作业8 指数与指数函数一、选择题(每小题5分，共40分) 1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x解析：∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数集，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数集．答案：B2．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )A ．1<|a |<2B ．|a |<1C ．|a |> 2D ．|a |< 2解析：∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，∴a 2－1>1，∴a 2>2，∴|a |> 2.答案：C3．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N ＋，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若2x＝16,3y＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：∵a <0时，(a 2) 32>0，a 3<0，∴①错；②显然正确；解⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥03x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③正确， ∵2x ＝16，∴x ＝4， ∵3y＝127＝3－3，∴y ＝－3，∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错． 答案：B4．(2014·新余模拟)不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12B.⎝⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析：y ＝(a －1)2x－a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x－12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.答案：C5．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1]( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：f (x )＝2x*2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，2－x ，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1.答案：C6．(2014·长春高三调研)若x ∈(1,4)，设a ＝x 12，b ＝x 23，c ＝ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a解析：由于x >1，根据指数函数的性质得x 23>x 12 >1，即b >a >1. 又1<x <4，所以1<x <2， 所以0<ln x <1，即c <1， 所以b >a >c ，故选B. 答案：B7．(2014·福州一模)函数y ＝2x 2－2x ＋3的值域是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)D ．(－∞，4]解析：令x 2－2x ＋3＝t ，则y ＝2t . ∵t ＝(x －1)2＋2≥2，∴y ＝2t ≥22＝4. ∴函数的值域为[4，＋∞)． 答案：A8．(2014·丽水一模)当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) D ．(0,1)∪(1，2)解析：x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，当a >1时，y ＝a x 是一个增函数，则有a 2<2，可得a <2，故有1<a <2；当0<a <1时，y ＝a x是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22，故有22<a <1，综上得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)． 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )得m >n . 答案：m >n10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________．解析：当x >0时，有f (x )<0；当x <0时，有f (x )>0.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2f (x )，f (x )<0，－2－f (x )，f (x )>0＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2－x ，x >0，－2－2x，x <0.而当x >0时，－1<－2－x <0，则12<2－2－x <1. 而当x <0时，－1<－2x <0，则－1<－2－2x <－12.则函数y ＝f (f (x ))的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14.答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，14 三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．(1)设f (x )＝⎩⎨⎧f (x ＋2) (x <4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥4)，求f (1＋log 23)的值；(2)已知g (x )＝ln[(m 2－1)x 2－(1－m )x ＋1]的定义域为R ，求实数m的取值范围．解：(2)由题设得(m 2－1)x 2－(1－m )x ＋1>0(*)在x ∈R 时恒成立，若m 2－1＝0⇒m ＝±1，当m ＝1时，(*)为1>0恒成立；当m ＝－1时，(*)为－2x ＋1>0不恒成立．∴m ＝1； 若m 2－1≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1>0，Δ＝[－(1－m )]2－4(m 2－1)<0 ⇒⎩⎨⎧m <－1或m >1，m <－53或m >1⇒m <－53或m >1.综上，实数m 的取值范围是m <－53或m ≥1.13．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．解：方法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1， 因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二：(1)由已知得 3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数， 所以有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x ＝2x ln2·(－2·2x ＋λ)≤0成立，所以只需要λ≤2·2x 恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.14．定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.所以a ＝2，b＝1.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ， 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.。

课时作业8　指数与指数函数一、选择题1．化简4a ·b ÷的结果为(　C )－(－23ab )A ．－B ．－2a 3b 8a b C ．－D ．－6ab6ab 2．设函数f (x )＝Error!若f (a )<1，则实数a 的取值范围是(　C )A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：当a <0时，不等式f (a )<1为a－7<1，(12)即a <8，即a <－3，(12)(12)(12)因为0<<1，所以a >－3，12此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为<1，所以0≤a <1.a 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.3．(2019·湖南永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是(　B )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝xD ．y ＝log 2x(12)解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝x 是非奇非偶(12)函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意．故选B.4．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝x的图象的交(12)点个数是(　C )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝x＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2(12)－4x (x >－2)与y ＝x的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象(12)的交点个数是1，故选C.5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝0.3，b ＝log 0.3，c ＝a b ，则a ，b ，c(12)12的大小关系是(　B )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a解析：b ＝log 0.3>log ＝1>a ＝0.3，c ＝a b <a .∴c <a <b .故选B.121212(12)6．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则(　C )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b解析：∵当x >0时，1<b x ，∴b >1.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，x>1.(a b)∴>1，∴a >b .∴1<b <a ，故选C.ab7.如图，在面积为8的平行四边形OABC 中，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)经过点E ，B ，则a 的值为(　A )A. B.23C ．2D ．3解析：设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t )．因为2a t ＝a 2t ，所以a t ＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝.2故选A.二、填空题8．不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．解析：∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是.(0，12)解析：(数形结合法)当0<a <1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图象，由图象可知0<2a <1，∴0<a <；12同理，当a >1时，解得0<a <，与a >1矛盾．12综上，a 的取值范围是.(0，12)10．已知函数f (x )＝2x －，函数g (x )＝Error!则函数g (x )的最小12x 值是0.解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －为单调增函数，所以g (x )≥g (0)12x ＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －为单调减函数，所以g (x )>g (0)12－x ＝0，所以函数g (x )的最小值是0.11．(2019·湖南益阳调研)已知函数f (x )＝(a ∈R )的图象关2x1＋a ·2x 于点对称，则a ＝1.(0，12)解析：由已知，得f (x )＋f (－x )＝1，即＋＝1，2x 1＋a ·2x 2－x1＋a ·2－x 整理得(a －1)[22x ＋(a －1)·2x ＋1]＝0，所以当a －1＝0，即a ＝1时，等式成立．三、解答题12．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈，此时f (t )在上为[a ，1a ][a ，1a]增函数．所以f (t )max ＝f ＝2－2＝14.所以2＝16，解得a ＝(1a )(1a ＋1)(1a＋1)－15(舍去)或a ＝.13②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈，此时f (t )在上是增[1a ，a ][1a，a ]函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝或3.1313．(2019·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝0.1的大小关系是(　D )(1a)A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝0.1<1，所(1a)以M >N ，故选D.14．已知函数f (x )＝1－(a >0，a ≠1)且f (0)＝0.42a x ＋a (1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围；(3)当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)对于函数f (x )＝1－(a >0，a ≠1)，由f (0)＝1－＝42a x ＋a 42＋a 0，得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－＝1－.42·2x ＋222x ＋1因为函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k ＝2x ＋1－2＋k ＝2x －1＋k 有零点，所以函数y ＝2x 的图象和直线y ＝1－k 有交点，∴1－k >0，即k <1.(3)∵当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，即1－>m ·2x －222x ＋1恒成立，亦即m <－恒成立，32x 22x (2x ＋1)令t ＝2x ，则t ∈(1,2)，且m <－＝＝＋.3t 2t (t ＋1)3t ＋1t (t ＋1)1t 2t ＋1由于y ＝＋在t ∈(1,2)上单调递减，1t 2t ＋1∴＋>＋＝，∴m ≤.1t 2t ＋11222＋17676尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．已知实数a ，b 满足>a >b >，则(　B )12(12)(22)14A ．b <2B ．b >2b －a b －aC ．a <D ．a >b －a b －a解析：由>a ，得a >1，由a >b，得2a >b ，故2a <b ，12(12)(12)(22)(22)(22)由b >，得b >4，得b <4.由2a <b ，得b >2a >2，a <<2，(22)14(22)(22)b2∴1<a <2,2<b <4.对于选项A ，B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)>0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝a ＋2－，12(b ＋14)由于1<a <2,2<b <4，故该式的符号不确定，故C ，D 错误．故选B.16．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max(e |x |，e |x －2|)，则f (x )的最小值为e.解析：由题意得，f (x )＝Error!当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(当x ＝1时取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.。

【课时训练】指数与指数函数一、选择题1．(2019某某某某调研)函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )A B C D 【答案】B【解析】由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．故选B.2．(2018某某某某一中月考)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A【解析】由题意可知a >1, f (－4)＝a 3,f (1)＝a 2，由y ＝a t(a >1)的单调性知a 3>a 2，所以 f (－4)>f (1)．3．(2018某某某某调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．4．(2018某某某某一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x【答案】D【解析】由题图可知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x.故选D.5．(2018某某省实验中学分校月考)函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C【解析】函数y ＝16－2x中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝∈[0,4)．故选C.6．(2018某某某某第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )·(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4【答案】D【解析】由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．(2018某某某某联考)已知函数f (x )＝e x，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则下列关于f (x )的性质：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②y ＝f (x )不存在反函数；③f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22；④方程f (x )＝x 2在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④【答案】B8．(2018某某某某联考)若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1【答案】B【解析】∵函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a ，∴函数f (x )的定义域为[a ，＋∞)． ∵函数f (x )的定义域与值域相同， ∴函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又∵函数f (x )在[a ，＋∞)上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.故选B.二、填空题9．(2018某某某某一模)已知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________. 【答案】12【解析】∵f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 10．(2018某某一中月考)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.【答案】 3【解析】当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.11．(2018某某十校联考)已知max (a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max {e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．【答案】e【解析】由于f (x )＝max {e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.12．(2018某某某某海阳一中期中)已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值X 围为________．【答案】[2,4] 【解析】函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．三、解答题13．(2018某某余姚中学月考)已知定义在R 上的函数 f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，某某数m 的取值X 围． 【解】(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值X 围是[－5，＋∞)．。

课时作业(八)B [第8讲 指数与指数函数][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＞0且a ≠12．函数y ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的定义域是( )A ．[1，＋∞) B．[－1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，－1]3．已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．给出下列结论：①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2且x ≠73；④若2x ＝16,3y ＝127，则x＋y ＝7.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 能力提升5．若函数y ＝a x＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( ) A ．0<a <1，且b >0 B ．a >1，且b >0 C ．0<a <1，且b <0 D ．a >1，且b <06．函数y ＝e x ＋e－x e x －e－x 的图象大致为( )图K8－37．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a >b ，如1]( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)8．若x 1满足2x ＋2x＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.52 B ．3 C.72D ．4 9．计算：log 252－4log 25＋4＋log 215＝________.10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．11．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋x －2x 2的单调增区间为________________________________________________________________________． 12．(13分)已知f (x )＝aa 2－1(a x－a －x)(a ＞0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．难点突破13．(12分)已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)若函数f (x )为奇函数，求a 的值；(2)若a ＝2，则是否存在实数m ，n (m ＜n ＜0)，使得函数y ＝f (x )的定义域和值域都为[m ，n ]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．课时作业(八)B【基础热身】1．C [解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1，得a ＝2.2．B [解析] 由4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≥0，即4≥21－x ，得22≥21－x，∴2≥1－x ，∴x ≥－1.故选B.3．B [解析] 当a <b <0，a ＝b ＝0，a >b >0时，都存在a 、b 使⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b成立，故①②⑤正确，③④不正确，因此选B.4．B [解析] ∵a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，∴①错；②显然正确；解⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③正确；∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127＝3－3，∴y ＝－3，∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确． 【能力提升】5．C [解析] 如图所示，图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上(纵截距小于零)，即a 0＋b －1<0，且0<a <1，∴0<a <1，且b <0.故选C.6．A [解析] {x |x ≠0}，又因为y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x－1＝1＋2e 2x －1，所以当x >0时函数为减函数，故选A. 7．C [解析] 由定义知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥0，2x，x <0，而x ≥0时，2－x ∈(0,1]；x <0时，2x∈(0,1)，∴函数f (x )的值域为(0,1]． 8．C [解析] 依题意：2x 1－1＝52－x 1，log 2(x 2－1)＝52－x 2，∴2x 1－1＝32－(x 1－1)，log 2(x 2－1)＝32－(x 2－1)．又函数y 1＝2x与y 2＝log 2x 互为反函数，∴x 1－1＋x 2－1＝32，即x 1＋x 2＝32＋2＝72.故选C.9．－2 [解析] 原式＝log 25－22－log 25＝log 25－2－log 25＝－2. 10.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 数形结合．当a >1时，如图①，只有一个公共点，不符合题意．当0<a <1时，如图②，由图象知0<2a <1，∴0＜a ＜12.11.14，＋∞ [解析] 设u ＝6＋x －2x 2，则u ＝－2x －42＋8，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞上为减函数，又0<12<1， ∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋x －2x 2的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.12．[解答] (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)当a ＞1时，a 2－1＞0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数， ∴f (x )为增函数．故当a ＞0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数． ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)．∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]．【难点突破】13．[解答] (1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝1.(2)法一：不存在实数m 、n 满足题意．f (x )＝2－22x ＋1，∵y ＝2x在R 上是增函数，∴f (x )在R 上是增函数． 假设存在实数m 、n (m ＜n ＜0)满足题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－22m ＋1＝m ，①2－22n＋1＝n ，②∵m ＜0，∴0＜2m＜1，∴0＜2－22m ＋1＜1.而①式左边＞0，右边＜0，故①式无解． 同理②式无解．故不存在实数m 、n 满足题意． 法二：不存在实数m 、n 满足题意．易知f (x )＝2－22x ＋1，∵y ＝2x在R 上是增函数，∴f (x )在R 上是增函数．假设存在实数m 、n (m ＜n ＜0)满足题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝m ，fn ＝n ，即m 、n 是方程f (x )＝x 的两个不等负根．由2－22x＋1＝x，得2x＋1＝－2x－2.令h(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x－2.∵函数g(x)在(－∞，0]上单调递增，∴当x＜0时，g(x)＜g(0)＝1.而h(x)＞1，∴h(x)＞g(x)，∴方程2x＋1＝－2x－2在(－∞，0)上无解．故不存在实数m、n满足题意．。

课时作业8 指数与指数函数一、选择题 1．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( C )解析：( C )A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：＝－6ab －1＝－6a b，故选C.3．已知函数f (x )＝a x －1＋4的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( A ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)解析：令x －1＝0⇒x ＝1，又f (1)＝5，故图象恒过定点P (1,5)． 4．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( A )解析：因为函数g (x )单调递减，所以排除选项C ，D ，又因为函数f (x )＝a x 单调递增时，a >1，所以当x ＝0时，g (0)＝a >1＝f (0)，所以排除选项B ，故选A.5．(2019·全国卷Ⅱ)若a >b ，则( C ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |解析：解法1：由函数y ＝ln x 的图象知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确．故选C.解法2：当a ＝0.3，b ＝－0.4时，ln(a －b )<0,3a >3b ， |a |<|b |，故排除A ，B ，D.故选C.6．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为54，则函数y ＝3·a 2x －1在[0,1]上的最大值为( C )A ．16B ．15C ．12D.34解析：∵函数y ＝a x 在定义域上是单调函数，且y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为54，∴1＋a ＝54，解得a ＝14，∴函数y ＝3·a 2x －1＝3·⎝⎛⎭⎫142x －1＝12·⎝⎛⎭⎫116x .∵函数y ＝12·⎝⎛⎭⎫116x 在定义域上为减函数，∴当x ＝0时，函数y ＝3·a 2x －1在[0,1]上取得最大值，且最大值是12，故选C.7．(多选题)已知0<b <a <1，c >1，则下列各式中成立的是( AD ) A ．a b >b a B ．c b >c a C ．log a c >log b cD ．b log c a >a log c b解析：由于0<b <a <1，c >1，根据指数函数与幂函数的图象与性质有a b >a a >b a ，故选项A 正确；根据指数函数的图象与性质有c b <c a ，故选项B 错误；根据对数函数的图象与性质有log a c <log b c ，故选项C 错误；因为a b >b a ，c >1，则log c a b >log c b a ，即b log c a >a log c b ，故选项D 正确，故选AD.8．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x <1时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －1，那么当x >1时，函数f (x )的单调递增区间是( C )A ．(－∞，0)B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(2,5)解析：如图所示，画出函数y ＝f (x )的图象，可知当x >1时，函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，故选C.二、填空题9．已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为12.解析：当a <1时，41－a ＝21，所以a ＝12；当a >1时，22a －1＝4a －1，无解．所以a 的值为12.10．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是0.解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.11．对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a >0，且a ≠1)，下面五个结论中正确的是①③④.(填序号)①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0<a <1时，函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a >1时，函数f (|x |)的最大值是0.解析：∵f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，∴f (x )为奇函数， ∴f (x )的图象关于原点对称，①正确；当a >1时，f (x )在R 上为增函数，当0<a <1时， f (x )在R 上为减函数，②错误；y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称；③正确；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)取得最大值，为0，④正确；当a >1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)取得最小值，为0，⑤错误．综上，正确结论是①③④.三、解答题12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0， 则⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0， 即a x ＋12(a x －1)>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.13．已知函数f (x )＝a ·4x －a ·2x ＋1＋1－b (a >0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1. (1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (x )－k ·4x ≥0在x ∈[－1,1]时有解，求实数k 的取值范围．解：(1)令n ＝2x ∈[2,4]，则y ＝an 2－2an ＋1－b (a >0)，n ∈[2,4]有最大值9和最小值1，易知函数y ＝an 2－2an ＋1－b 的图象的对称轴为直线n ＝1，∴当n ＝2时，y min ＝4a －4a ＋1－b ＝1，当n ＝4时，y max ＝16a －8a ＋1－b ＝9，∴a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知，4x －2·2x ＋1－k ·4x ≥0在x ∈[－1,1]时有解．设2x ＝t ，∵x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤12，2. ∴t 2－2t ＋1－kt 2≥0在t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时有解， ∴k ≤t 2－2t ＋1t 2＝1－2t ＋1t 2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2. 再令1t＝m ，则m ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴k ≤m 2－2m ＋1＝(m －1)2≤1，即k ≤1， 故实数k 的取值范围是(－∞，1]．14．(多选题)若函数f (x )＝2x －2－x ，则下列说法正确的是( AC ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上是减函数 C ．f (x )无极值D ．f (－1)＝32解析：f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，则f (x )是奇函数，A 正确；f ′(x )＝2x ln2＋2－x ln2>0，则f (x )在R 上是增函数，且f (x )无极值，故B 错误，C 正确；f (－1)＝2－1－2＝－32，故D 错误，故选AC.15．已知g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且满足g (x )－h (x )＝2x .若存在x ∈[－1,1]，使得不等式m ·g (x )＋h (x )≤0有解，则实数m 的最大值为( B )A ．－1 B.35 C ．1D ．－35解析：解法1：因为g (x )－h (x )＝2x ①， 所以g (－x )－h (－x )＝2－x ， 又g (x )为偶函数，h (x )为奇函数， 所以g (x )＋h (x )＝2－x ②，联立①②，得g (x )＝2x ＋2－x 2，h (x )＝2－x －2x2.由m ·g (x )＋h (x )≤0得m ≤2x －2－x 2x ＋2－x ＝4x －14x＋1＝1－24x ＋1，因为y ＝1－24x ＋1为增函数，所以当x ∈[－1,1]时，(1－24x ＋1)max ＝1－24＋1＝35，故选B.解法2：由解法1知g (x )＝2x ＋2－x 2，h (x )＝2－x －2x2.观察选项，若m ＝1，则g (x )＋h (x )≤0，所以2x ＋2－x 2＋2－x －2x 2≤0，即2－x ≤0，这与2－x>0矛盾，所以m ≠1；若m ＝35，则35g (x )＋h (x )≤0，所以35·2x ＋2－x 2＋2－x －2x 2≤0，即22－x ≤2x ，当x ＝1时，不等式22－x ≤2x 成立，所以m ＝35满足题意，故选B.16．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数， 由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13.。

课时作业8 指数与指数函数[基础达标]一、选择题1．[2020·河北八所重点中学模拟]设a >0，将a2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a322．[2020·福建漳州模拟]已知函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝c x的图象如图所示，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c3．[2020·山东德州模拟]已知a ＝3525，b ＝2535，c ＝2525，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a4．[2019·四川宜宾第二次诊断性考试]若函数f (x )＝2×a x ＋m－n (a >0，a ≠1，m ，n ∈R )的图象恒过点(－1,4)，则m ＋n ＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－25．[2020·辽宁模拟]若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]6．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412-－(0.01)0.5＝________.7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12221x x －＋＋的单调减区间为________．8．不等式222x x－＋>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 三、解答题 9．化简下列各式：10．[2020·广东深圳三校联考]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．[能力挑战]11．[2020·河南濮阳检测]若“m >a ”是“函数f (x )＝13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为( )A ．－2B ．－112．[2020·河南八市第一次测评]设函数f (x )＝x2－a与g (x )＝a x在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，其中a >1且a ≠2，则M ＝(a －1)0.2与N ＝1a0.1的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N13．[2020·河南郑州开发区模拟]已知函数y ＝9x＋m ·3x－3在区间[－2,2]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．课时作业82．解析：由题中图象可知a >1，b ＝12，c <12，故选B.答案：B3．解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，∴b <c ，又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，∴a >c ，∴b <c <a ，故选D.答案：D4．解析：由题意，函数f (x )＝2×a x ＋m－n (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－1,4)，所以m－1＝0，且2·am －1－n ＝4，解得m ＝1，n ＝－2，所以m ＋n ＝－1.故选C 项．答案：C5．解析：由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝13|2x －4|.因为y ＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B 项．答案：B6．解析：原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.答案：16157．解析：设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12221x x －＋＋的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 答案：(－∞，1] 8．解析：不等式222x x－＋>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1222x x － >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4.答案：{x |－1<x <4}9．解析：(1)原式＝25912＋10.12＋642723-－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.10．解析：(1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.11．解析：因为f (0)＝m ＋23，且函数f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23，所以“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，所以a <－23，则实数a 能取的最大整数为－1.故选B 项．答案：B12．解析：由题意，因为f (x )＝x2－a与g (x )＝a x在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以易知a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝1a0.1<1，所以M >N .故选D 项．答案：D13．解析：设t ＝3x ，则y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mt －3.因为x ∈[－2,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9.又函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2,2]上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9上单调递减，所以－m2≥9，解得m ≤－18.所以实数m 的取值范围为(－∞，－18]．答案：(－∞，－18]赠送：初中英语代词Ⅰ.词汇运用。