1.2.2_第一课时(函数的表示法)

1.2. 2函数的表示法第1课时函数的表示法【即时小测】1 •思考下列问题: ⑴所有的函数都能用列表法来表示吗?提示:并不是所有的函数都能用列表法来表示,如函数y二2x+l f xe R.因为自变量X w R不能一一列出，所以不能用列表法来表示•(2)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?提示:函数的走义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候L般要写出函数的定义域.2・已知函数f(x)由下表给出:则f(f(2))= ____________【解析】由表格可知十⑵二4所以f(f⑵)=f⑴二0・答案：03・CU咨 f (x —l)"(x —l)2』=f(X)3晝聖【sm ffiXIlHbpMIXHt+l、s u w (t T t 2・0H (x T x 2・嘯4.已知函数y=f (x)的图象如图所示,则其定义域是3~~03^【解析】因为函数y二f(x)图象上所有点的横坐标的取值范围是[23]，所以其定义域为[么3]・答案:[23]5.已知f (n) =2f (n+1), f (1) =2,则f (3)= 【解析】f(n) = 2f(n + l),f(l) = 2, 所以俭)= 2f(2)=4f⑶，故f⑶二( 答案：2 2【知识探究】知识点函数的三种表示方法观察如图所示内容，回答下列问题：（函数的表示方法）——（图象法）问题1 ：应用三种方法表示函数时应注意什么问题?问题2:函数的三种表示方法各有什么优缺点?【总结提升】1 •对函数三种表示法的说明列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示•在应用三种方法表示函数时要注意：⑴解析法:必须注明函数的定义域(2)列表法:选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.⑶图象法:是否连线.2.函数三种表示方法优缺点比较"能形象、直观地表示壓函数的变化情况点 小、 只能近似求出自变量所对应的函数值，而 R 有时误差较大 K ____________ /【题型探究】类型一待定系数法求函数解析式【典例】1.已知f(X)是一次函数，且f (f (x)) =4x+3,则函数f(X)的解析式为_____________ ■2.已知二次函数y=f (x)的最大值为13,且f(3)=f(-l)=5,求f (x)的解析式.【解题探究】1•典例1中一次函数解析式的形式是什么? 提示:一次函数解析式的形式为f(x)二ax+b (a工0) •2.典例2中二次函数的一般形式是什么?提示:二次函数的一般形式是f(x)二ax?+bx+c (a H 0) •【s s】l ・ffi f (x T ax +b (a H O )・ m=f (fH +b T爾糊f s H 2X +一烘f (X)H —w x —w2•方法一:利用二次函数的一般式求解.设f(x)=ax2+bx+c(a^0).由条件知，点⑶5),(也5),("3)在f(x)的图象上9a+3b+c = 5, fa = -2所以a — b+c = 5,所以f的斤邂时x+lg = ii方法二:利用二次函数的顶点式求解.由f(3)=f(・l),可知:对称轴为x“，又最大值为D故可设f(x)二a(x・l)2+13.将f⑶=5代入得a=2・所以f(x) = -2(x-l)2+13jpf(x) = -2x2+4x+ll.【方法技巧】待定系数法求函数解析式(1)适用范围：已知所要求的解析式f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数.(2)待定系数法求函数解析式的步骤:①设出所求函数含有待定系数的解析式;③解方程或方程组,得到待定系数的值；④将所求待定系数的值代回所设解析式.【变式训练】已知二次函数f (X )的图象过点A(0, -5), B (5, 0),其对称 轴为x=2,求其解析式.【解析】因为抛物线的对称轴为x=2, 所以设二次函数的解析式为f(x)=a(x-2)2+k(a^O).把(0,-5),(5,0)分别代入上式得丽劇嗨斛*9・ 龈敲MX 』"，类型二换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【典例】求满足下列条件的函数f(x)的解析式.(1)函数f(X)满足f ( +l)=x+2 .(2)函数f (x)满足2f 占)+f (x) =x《HO).1X【解题探究】1.典例⑴中的5 +1)中的低+1与x+2低能否建立联系?提示:典例⑴中的X+2 =( +1)2-1.2 •典例(2)中x和有越关爲1提示:互为倒数关黍・(1£)「益(3欝“人1:埠只Ig lx V ^.J (T :+r (T +)J M £ V0+x只因：(+s2e H +s g(一丄jpex) J XH (X )J E5£ rH」u z +z(I £H e 4M £"(IeHxliio 存g芥企 叟+W IK ®l 4W 运(I⑵由题意知f(x) + 2f( i=x f令X二(tHO) fx t则i=t f则f(卅2f(t)二a即班？+2f(x)・(于是得剧关于f(肯f(x)的方程自—i ■x X Xf(x) + 2f』) =xf(-) + 2f(x) = I 2 x1解得f(x)拄-°)・XXX【延伸探究】1.(变换条件)典例(1)中若将条件“f(+l)=x+2 “f(2x-l)p2+x+l”，则f(x)的解析式是什么？【解析】设2x-l=t f则X二t+1所以f(t)二亍Q nX/、t+1 ° t+1 7即f(x)二一r+一+i 二一+t+—.2 2 4 41 97一x~+x -一・4 42.(变换条件)典例(1)中若将条件“f (低+ l)=x+2低”变为“f(l+ 1 )=i+x21 ”，则f(x)的解析式是什么？【解析】平(1 + * X1+?]因為寻岂占诫溜胡析幽)+hf(x)=x24c+ 1 , XG(-OO f 1) U (1 , +8).X【方法技巧】换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式的思路⑴已知f (g (x)) =h (x),求f (x),常用的有两种方法：①换元法，即令t=g (x),解出禺代Ah(x)中,得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意:换元后新元的范围②配凑法，即从f (g(X))的解析式中配凑出即用g(x)来表示h (x),然后将解析式中的g (x)用x代替即可.(2)方程组法:当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.【补偿训练】已知f(x-l)=xMx-5,则f(x)的解析式是()【解析】选A.方法一:设t 二则x=t+l,因为f(x-l)=x2+4x ・5, 所以 f(t) = (t+l)2+4(t+l)-5=t 2+6t ff (x)的解析式是f (x)=x 2+6x.方法二:因为 f (x-1)=x 2+4x- 5=(x-1)2+6 (x-1),所以 f(x)=x 2+6x. 所以f (X )的解析式是f (X )二x2+6x.A. f (x) =x 2+6xC. f (x) =x 2+2x-3 B. f (x) =x 2+8x+7 D. f (x) =x 2+6x-10类型三函数的图象及其应用【典例】作出下列函数的图象:(1)y=2x+l, x G [0, 2]・(2)y=x2-2x, x E [0, 3) •(3)y=.【解题探究】典例中可以使用什么方法来画函数图象? 提示:典例中函数的图象可通过描点法来画.1X【解析】⑴当x=0时"二1;当x=2时"二5・所画图象如图(1)所示.⑵因为0<x<3f所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0«xv3 之间的一部分，如图(2)所示.⑶函数图象如图⑶所示・图(1)----------- i―I——>0 2 X图⑵图⑶【方法技巧】描点法作函数图象的步骤及关注点(1)步骤：①列表:取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列表表示;②描点:在平面直角坐标系中描出表中相应的点;③连线:用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象・(2)关注点:①画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等•要分清这些关键点是实心点还是空心点.【变式训练】作出函数尸x2-2x-2, xG [0, 3]的图象并求其值域.【解析】因为y=（x-l）2-3f所以函数y二x^2x・2的对称轴为x=4顶点为（1厂3）涵数过点（0厂2）®）,具图象如图所示.由图象知函数的值域为[乜1]・• -1 - •【补偿训练】画出函数图象:y=x2-2, xWZ且|x| W2・【解析】因为y=x2・2,xwZ且|x|s2,所以x二・2厂:L,0丄2;对应y的值为2・—2厂12图象如图:\y■-2 -1 0 1 2*■2r • -1 - •易错案例换元法求函数解析式【典例】已知f (x 2+2) =x 4+4x 2,则f (x)的解析式为_严识$【失误案例】 【错解分析】分析解题过程，你知道错哪里吗?)专牛十44，d'化力十？ mt"提示:错误的根本原因是忽略了函数f(x)的走义域上面的解法看上去似乎是无懈可击撚而从具结论间f(x)二x?・4来看，并未注明f(x)的走义域，那么按一般理解，就应认为直走义域是全体实数.但是f(x)=x2・4 的定义域不是全体实数.【自我矫正】因为f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2・4, 令t=x2+2(tn2),则f (t)=t2-4(t>2)f所以f(x)=x2・4(xn2).答案:f(x)=x2-4(x>2)【防范措施】关注换元法求函数解析式时对定义域的要求任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成•所以, 当函数f (g (x)) 一旦给出,则其对应关系f就已确定并且不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定•因此，我们由f (g (x))求f (x)时,求得的f (x)的定义域就理应与f (g (x))中的f的“管辖范一致才妥. 围”课时撮井作此/点击进入Word版可编辑套题。

1.2.2函数的表示法（第一课时）学习目标：1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)2.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想. 学习重点:函数的三种表示方法学习难点：对函数解析法的理解学习过程：（一）导入新课我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（二）师生互动，新课讲解(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).分析：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.例3.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去. 解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a).由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2, 如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.图1-2-2-4例4.已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________.分析:由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x f(x)2f(-x)2,3x f(-x)2f(x)把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得. (三)课堂练习1.向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是( )图1-2-2-5 图1-2-2-6答案：B2.2007宁夏银川一模,理14已知f(x x +-11)=2211x x +-,则f(x)=________.分析:可设x x +-11=t,则有x=tt+-11, 所以f(t)=22)11(1)11(1t t t t +-++--=212t t +, 所以f(x)=212x x+.答案：212xx+ 3.已知函数f(x)=273++x x ，写出函数的定义域和值域.（换元法）注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域，换元后马上写出新元的取值范围 （四）课堂小结：本节课学习了函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数. （五）作业：1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y 元,试写出y 关于x 的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.2.水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断: ①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③3.求值域y=x4+ x2-2(六)教学反思：。