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1．2.2函数的表示法第一课时第一课时函数的表示方法[读教材·填要点][小问题·大思维]1．任何一个函数都能用解析式表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析式表示．2．已知函数f(x)如下表所示：x 123 4f(x)－3－2－4－1则f(x)的定义域是什么？值域是什么？提示：由表格可知定义域为{1,2,3,4}，值域为{－1，－2，－3，－4}．3．如何判断一个图形是否可以作为函数图象？提示：任作垂直于x轴的直线，如果图形与此直线至多有一个交点，则此图形可以作为函数图象；若图形与直线存在两个或两个以上的交点，则此图形不可作为函数的图象．如图，由上述判断方法可得，(1)可作为函数的图象，(2)不可作为函数的图象，因为存在垂直于x轴的直线与图形有两个交点．待定系数法求函数解析式[例1] 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )． [自主解答] ∵f (x )为二次函数， ∴可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝c ＝2. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋2.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2 ＝a (x 2＋2x ＋1)＋bx ＋b ＋2 f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b ＝x －1∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.若将例1中“f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1”改为“f (1)＝2，顶点坐标为(12，－3)”，求f (x )．解：设二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) ∵顶点坐标为(12，－3)则h ＝12，k ＝－3∴f (x )＝a (x －12)2－3又∵f (1)＝2， ∴2＝a (12)2－3.∴a4＝5. ∴a ＝20.∴f (x )＝20(x －12)2－3.——————————————————待定系数法求函数解析式的步骤如下：(1)设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，反比例函数解析式设为f (x )＝\f(k,x )(k ≠0)，二次函数解析式设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组； (3)解方程或方程组，得到待定系数的值；(4)将所求待定系数的值代回原式从而得到函数的解析式.————————————————————————————————————————1．如果一次函数f (x )，满足f (f (x ))＝2x －1，求一次函数f (x )的解析式． 解：∵f (x )为一次函数，设f (x )＝kx ＋b . ∴f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝2x －1.∴k 2＝2，kb ＋b ＝－1，k ＝±2. 当k ＝2时，(2＋1)b ＝－1，b ＝－12＋1＝1－2，f (x )＝2x ＋1－ 2. 当k ＝－2时，(1－2)b ＝－1，b ＝12－1＝2＋1，f (x )＝－2x ＋2＋1.利用换元法(或配凑法)求函数解析式[例2] 已知f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x，试求f (x )．[自主解答] 法一(换元法)：令t ＝1＋1x ，则t ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，于是x ＝1t －1，代入1＋x 2x 2＋1x中，可得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．法二(配凑法)：f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x ＝x 2＋2x ＋1x 2－2x x 2＋1x ＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1，因为1＋1x ≠1，所以函数解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．——————————————————已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，常用的有两种方法：(1)换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.(2)配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可.————————————————————————————————————————2．已知f (x －1)＝x ＋2x ，求f (x )． 解：令x －1＝t ，则x ＝(t ＋1)2 ∴f (t )＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)，(t ≥－1)， ＝t 2＋2t ＋1＋2t ＋2 ＝t 2＋4t ＋3.∴f (x )＝x 2＋4x ＋3.(x ≥－1)．函数图象的作法及应用[例3] 作出函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[0,4]的图象． [自主解答] y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2 在x ∈[0,4]上如下图．——————————————————1. 作函数图象的一般步骤：(1)列表：计算要正确，取值要具有代表性、典型性；(2)描点：点的位置要准确；(3)连线：用光滑曲线连接起来.2.作函数图象时应注意的问题：(1)在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)宜标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点. ————————————————————————————————————————3．作出下列函数的图象．(1)y＝x(－2≤x≤2，x∈Z且x≠0)；(2)y＝－2x2＋4x＋1(0<x≤3)；解：(1)由于函数定义域为大于等于－2，小于等于2且不等于0的整数组成的集合，所以函数图象为图中直线y＝x上孤立的点．(2)∵函数的定义域为(0,3]，这个函数的图象是二次函数y＝－2x2＋4x＋1在(0,3]上的部分．解题高手多解题不一样的旅程，不一样的风景，换个思维开拓视野！已知f(x－1)＝x3－3x2＋2x，求f(x)的解析式．[解]法一：(换元法)设u ＝x －1，则x ＝u ＋1，代入原函数式得， f (u )＝(u ＋1)3－3(u ＋1)2＋2(u ＋1)＝u 3－u ， ∴f (x )＝x 3－x .法二：(配凑法) ∵x 3－3x 2＋2x ＝x 3－x 2－2x 2＋2x ＝x 2(x －1)－2x (x －1)＝(x －1)(x 2－2x )＝(x －1)[(x －1)2－1]＝(x －1)3－(x －1)，∴f (x －1)＝(x －1)3－(x －1)．∴f (x )＝x 3－x .[点评] 法一中，u ＝x －1的前提是以x －1，u 为自变量的函数的定义域相同．法二中，将f (x －1)＝(x －1)3－(x －1)直接写成f (x )＝x 3－x 也是同样的道理．1．集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}．给出下列4个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )解析：A 项中的定义域为[－2,0]≠M ；C 项中对x 的值如x ＝－2时有两个y (y ＝0,2)值与之对应，不是函数；D 项中的值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．答案：B2．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x －2 C ．f (x )＝2x ＋3 D ．f (x )＝2x －3解析：可设f (x )＝kx ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b )－3(k ＋b )＝52(0k ＋b )－(－k ＋b )＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2故f (x )＝3x －2. 答案：B3．已知f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1，则p ＝{x |f (x )＝g (x )}为( ) A ．{1，－2} B ．{－1,2} C ．{－1，－2}D ．{2}解析：∵f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1， ∴f (x )＝g (x )有x 2－x －2＝0. x ＝2或x ＝－1. 答案：B4．某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如下表所示，在这个函数中，定义域是________________________________________________________________________，值域是________.答案：{1,2,3,4,5} {93,95,97,99}5．已知f (2x ＋1)＝3x －2，且f (a )＝4，则a 的值为________． 解析：∵f (2x ＋1)＝3x －2 ∴令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝3(t －1)2－2＝32t －72.∴f (a )＝32a －72＝4，32a ＝152. ∴a ＝5. 答案：56．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，求f (x )； (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )． 解：(1)令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x 1＋x.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.一、选择题1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x解析：设y ＝k x ，由1＝k2得，k ＝2.因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x .答案：C2．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1D ．0解析：∵f (x －1)＝x 2－3令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2－3. f (2)＝9－3＝6. 答案：B3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3D ．g (x )＝2x ＋7解析：∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3， ∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2， g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1. ∴g (x )＝2x －1. 答案：B4．垂直于x 轴的直线与函数y ＝x ＋1x 图象的交点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或0个解析：当x >0时，垂直于x 轴的直线与函数的图象有一个交点，当x ≤0时垂直于x 轴的直线与函数的图象无交点．答案：D 二、填空题5．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为________． 解析：∵正方形的周长为x .∴正方形的边长为x 4.∴正方形的对角线长为24x ∴y ＝28x (x ＞0)． 答案：y ＝28x (x ＞0) 6．下列关于函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象与直线x ＝a (a ∈R )的交点，说法正确的有________．①至多有一个；②至少有一个；③有且仅有一个；④有一个或两个；⑤与a 的值有关，不能确定．解析：直线x ＝a (a ∈R )是与x 轴垂直的一条直线，与定义域为R 的函数y ＝f (x )的图象有且仅有一个交点．答案：③7．若2f (x )＋f (1x )＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________.解析：令x ＝2得2f (2)＋f (12)＝92，令x ＝12得2f (12)＋f (2)＝32，消去f (12)得f (2)＝52.答案：528．若f (2x )＝4x 2＋2，则f (x )的解析式为________． 解析：∵f (2x )＝4x 2＋2.令2x＝t，则x＝t，2∴f(t)＝4(t22＋2，4)＋2＝t∴f(x)＝x2＋2.答案：f(x)＝x2＋2三、解答题9．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．解：∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．于是，设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，则由f(0)＝3，可得k＝3－4a，∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.∵ax2－4ax＋3＝0的两实数根的平方和为10，∴10＝x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－6，a∴a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋3.10．2013年4月1日，王兵买了一辆别克新凯越1.6 L手动挡的家庭轿车，该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：10．40 L/100 km；市郊工况：6.60 L/100 km；综合工况：8.00 L/100 km.王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为10 000 km，汽油价格按平均价格7.50元/L来计算，当年行驶里程为x km时燃油费为y元．(1)判断y是否是关于x的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式．(2)王兵一年的燃油费估计是多少？解：(1)y是关于x的函数．函数的定义域是[0,10 000]，函数解析式为y＝8×x100×7.50＝0.60x.(2)当x＝10 000时，y＝0.60×10 000＝6 000，所以王兵一年的燃油费估计是6 000元．打印版高中数学。
