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初中数学什么是垂径定理
垂径定理是指在一个圆中，如果一条直径与另一条线相交，且相交点在圆上，那么这两条线段所夹的角一定是直角。
垂径定理也被称为圆的垂直性质。
下面我将详细介绍垂径定理的性质和证明过程：
性质：
1. 如果一条直径AB与另一条线段CD相交，且相交点E在圆上，那么角CED是一个直角。
证明过程：
我们将证明CED是一个直角。
首先，连接AE和BE，我们可以得到三角形AEC和BEC。
由于AE是半径，所以AE = BE，所以三角形AEC和BEC是等腰三角形。
由于等腰三角形的底角相等，所以∠CAE = ∠CBE。
另一方面，由于AB是直径，所以∠CAE和∠CBE是半圆对应的角，它们之和等于180°，即∠CAE + ∠CBE = 180°。
将上述两个等式结合起来，我们有∠CAE = ∠CBE = 90°/2 = 90°。
因此，我们得出结论，角CED是一个直角。
这就证明了垂径定理。
垂径定理的应用：
垂径定理在几何问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用情况：
1. 判断一个线段是否与圆相切垂直：如果一条线段与圆相交于圆上的点，且与圆的直径垂直相交，那么可以利用垂径定理判断这条线段与圆的关系。
2. 求解圆的切线问题：当我们需要求解一个圆上某点的切线时，可以利用垂径定理来确定切线与半径的关系，从而求解切线的斜率和方程。
3. 判断三角形的特性：当三角形的一个顶点位于圆上，且三角形的另外两个顶点与圆的直径相连，根据垂径定理，我们可以判断这个三角形是否为直角三角形。
希望以上内容能够满足你对垂径定理的了解。
垂径定理
∴⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD
三、 学生活动（证明垂径定理的逆定理）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知：直径CD 、弦AB （除直径） 且 AM=BM 求证：（1）CD ⊥AB （2）⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD 四、 例题讲解
1．如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若AB=25cm ，OC=1cm ，则⊙O 的半径长为______cm 。
2．在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离。
解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm
由垂径定理得BM=12AB=1
2×40=20cm ，
∴OM=2222
2520OB BM -=-=15cm 。
同理可求ON=2222
2524OC CN -=-=7cm ，
所以MN=OM-ON=15-7=8cm 。
以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上 五、拓展训练
例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中⌒CD ，点O 是⌒BD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为⌒BD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。
分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握。
垂径定理重难点教学设计
A
B
O E C
D
弦（a ）半径（r ）弦心距（d ），弓高（h ） 四个量关系1、 2、 探究三：
垂径定理推论：平分非直径弦的直径_______，并且__________________。
数学语言：∵CD 是平分_____， CD 是⊙O______，
∴____=____,____=____，_____=______。
例4、已知: 在⊙O 中，弦AB 的长为24 cm ，C 为AB 中点，OC=5 cm ，求⊙O 的半径。
三、当堂训练：
1、已知圆的两条平行弦AB 、CD 长分别是 6cm 和8cm ，圆的半径为5cm ，求两条平行弦之间的距离。
2、
教师引导学生添加辅助线并分析使用方程思想，后学生到前展示答案，并简单讲解
学生复述推论内容，并总结学语言
巩固提高对定理的认
识。
直观引入定理，并上升到理论上。
能够应用。
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系一.教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系［学习目标］1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。
（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。
已知其中两项，可推出其余三项。
注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。
”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。
2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。
（M点是两点重合的一点，代表两层意义）COA BMD3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。
无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。
4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。
四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。
源于圆的旋转不变性。
即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。
()()()()1234⇔⇔⇔O B'M'A' BM A6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。
二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。
【典型例题】例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。
点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。
解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示：∴==⨯=OE AB cm 1212126() 由垂径定理知：AE BE cm ==6 ∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形 ∴∠AOB ＝90°由△AOE 是等腰直角三角形∴==OA AE 626， 即⊙O 的半径为62cm点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。
例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。
求证：AD BD a b ·=-22证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==，在Rt AOE ∆中，AE OA OE 222=- 在Rt COE ∆中，CE OC OE 222=- ()()∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222=-=-OA OC a b2222即()()AE CE AE CE a b +-=-22BD AC ED CE ==, AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==-即22b a BD AD -=⋅点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。
例3. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ，矩形EFGH 的两顶点E 、F在弦AB 上，H 、G 在AB ⋂上，且EF ＝4HE ，求HE 的长。
DBO解：连结AD 、OG∠=∠=⨯︒=︒AOD AOB 121212060OA ＝OD∴△AOD 为等边三角形 ∵OD ⊥AN∴NO ＝ND ＝4cm ∵OD ＝OG ＝8cm设HE x =，则()MG x MO x cm ==+24，在Rt OMG ∆中，由MG OM OG 222+=得： ()()x x ++=42822解得：x x 121254==-，（舍去） ∴HE 的长为125cm点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。
例4. 已知⊙O 的半径是10cm ，AB ⋂是120°，那么弦AB 的弦心距是（ ）A. 5cmB. 53cmC. 103cmD.523cmA BOC解：如图所示，OA cm =10，∠AOB ＝120°∴∠=∠=︒AOC AOB 1260在Rt △ACO 中，CO AO AOC cm =∠=⨯=·cos ()10125故选A 。
点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。
例5. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解：如图所示，连结OA 、OBA∵AB ＝AC ＝10∴⋂=⋂AB AC由垂径定理的推论，得OA垂直平分BC，垂足为D又∵∠BAC＝120°∴∠ABC＝∠ACB＝30°∴∠BAO＝60°又∵OA＝OB∴△AOB是等边三角形∴半径OA＝OB＝AB＝10故选C。
点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。
垂径定理练习一. 选择题。
1. 下列命题中，正确的命题是（ ）A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C. 在⊙O 中，AB 、CD 是弦，若AC BD ⌒⌒=，则AB ∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径2. 已知P 为⊙O 内一点，且OP ＝3cm ，如果⊙O 的半径是4cm ，那么过P 点的最短弦等于（ ） A. 2cmB. 3cmC. 7cmD. 27cm3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10 B. 26 C. 13 D. 54. 在直径是10cm 的⊙O 中，AB ⋂为60°，则弦AB 的弦心距是（ ）A. 103cmB. 1523cmC. 53cmD. 523cm 5. AB 、CD 分别为大小不同圆的弦，共AB ＝CD ，那么AB CD ⋂⋂、的关系是（ ） A. AB CD ⋂=⋂B. AB CD ⋂>⋂C. AB CD ⋂<⋂D. 不确定二. 填空题。
6. 已知AB 为⊙O 直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，AC ＝6cm ，则DC ＝____________。
7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。
8. 若一个圆经梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是___________梯形。
9. 弦AB 把⊙O 分3：7，则∠AOB ＝___________。
10. 若⊙O 半径是4，P 在⊙O 内，PO ＝2，则过P 点的最短的弦所对劣弧是___________度。
11. ⊙O 中，弦AB 垂直直径CD 于点P ，半径OA ＝4cm ，OP ＝2cm ，则∠AOB ＝__________，∠ADC ＝__________，BD ⋂度数为__________，△ADC 周长为__________ cm 。
三. 解答题。
12. 如图，⊙O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径。
CA H BOD13. 已知：如图，C 为⊙O 直径AB 上一点，过C 点作弦DE ，使CD ＝CO ，若AD ⋂度数为50°，求BE ⋂的度数。
DB OC A[参考答案]一. 选择题。
1. A2. D3. B4. D5. D二. 填空题。
6. 3cm7. 斜边中点，斜边长 8. 等腰 9. 108° 10. 120°11. 120°，30°或60°，60°或120°，1243+ 三. 解答题。
12. 过O 分别作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，则得到矩形MHNO ()∴==-=-=+-=MO HN CN CH CD CH CH HD CH 121252又() MB AB AH BH ==+=12125 ∴Rt △BOM 中，BO MO MB =+=22525 13. 连结OD 、AE则∠DOA ＝50°，∠DEA ＝25° 由OC ＝CD ，有∠D ＝∠DOA ＝50° ∴∠BCE ＝∠D ＋∠DOA ＝100°∴∠A ＝∠BCE －∠AED ＝100°－25°＝75°则BE ⋂度数为75°。
