-2016学年广西桂林市高一(下)期末数学试卷(解析版)

海淀区2023—2024学年第二学期期末练习高三数学2024.05本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1,2,{3}A B x a x =-=≤<∣.若A B ⊆，则a 的最大值为（）A.2 B.0C.1- D.-2【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系可得1a ≤-求解.【详解】由于A B ⊆，所以1a ≤-，故a 的最大值为1-，故选：C2.在52()x x-的展开式中，x 的系数为（）A.40B.10C.40-D.10-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52(x x-的通项1k T +，则()5115C 2k k k k T x x --+=-，化简得()5215C 2k kk k T x -+=⋅-⋅，令2k =，则x 的系数为()225C 240-=，即A 正确.故选：A3.函数()3,0,1,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩是（）A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当0x ≤时，0x ->，则1()(3()3xx f x f x --===，当0x >时，0x -<，则1()3()()3xx f x f x --===，所以函数()f x 是偶函数，由图可知函数()f x 有一个极大值点.故选：B.4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（）A.52B.72C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+=.故选：C.5.在ABC 中，34,5,cos 4AB AC C ===，则BC 的长为（）A.6或32B.6C.3+D.3【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BCBC+-+-===⋅,故22151806CB BC BC -+=⇒=或32，故选：A6.设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（）A.b a a b< B.2b a a b+>C.()sin a b a b -<- D.32a b>【答案】C 【解析】【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C.【详解】对于A ，取2,1a b ==-，则122b aa b=->=-，故A 错误，对于B ，1,1a b ==-，则2b aa b+=，故B 错误，对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=->-≤=，故sin y x x =-在()0,∞+单调递减，故sin 0x x -<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b ->，故()sin a b a b -<-，C 正确，对于D,3,4a b =-=-,则11322716a b =<=，故D 错误，故选：C7.在ABC 中，π,2C CA CB ∠===，点P 满足()1CP CA CB λλ=+- ，且4CP AB ⋅= ，则λ=（）A.14-B.14C.34-D.34【答案】B 【解析】【分析】用CB ，CA 表示AB ，根据0CA CB ⋅=，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.【详解】由题可知，0CA CB ⋅=，故CP AB ⋅()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦，故1684λ-+=，解得14λ=.故选：B.8.设{}n a 是公比为()1q q ≠-的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >.则“0q >”是“n S 存在最小值”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前n 项和公式判断即可【详解】若10a >且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以n S 单调递增，n S 存在最小值1S ，故充分条件成立.若10a >且12q =-时，11112211013212n nn a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，121132nn S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递减，故最大值为1n =时，11S a =，而123n S a <,当n 为偶数时，121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递增，故最小值为2n =，122aS =，所以n S 的最小值为112a ，即由10a >，n S 存在最小值得不到公比0q >,故必要性不成立.故10a >公比“0q >”是“n S 存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9.设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，若集合()(){}0,k k x x y f x x D ≤∈-+∀∈R∣只有1个元素，则称函数()f x 具有性质0x P .下列函数中具有性质1P 的是（）A.()1f x x =- B.()lg f x x=C.()3f x x = D.()πsin2f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据性质1P 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，要满足性质1P ，则()f x 的图象不能在过点()()1,1f 的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：()1f x x =-的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，过点()1,0的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：()lg f x x =的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,0的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：()3f x x =的图象，以及过点()1,1的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,1的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：()πsin2f x x =-的图象，以及过点()1,1-的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点()1,1-的直线1y =-，即0k =，满足题意，故D 正确.故选：D.10.设数列{}n a 的各项均为非零的整数，其前n 项和为n S .若()*,j i i j -∈N为正偶数，均有2ji aa ≥，且20S =，则10S 的最小值为（）A.0B.22C.26D.31【答案】B 【解析】【分析】因为2120S a a =+=，不妨设120,0a a ><，由题意求出3579,,,a a a a 的最小值，46810,,,a a a a 的最小值，10122S a =，令11a =时，10S 有最小值.【详解】因为2120S a a =+=，所以12,a a 互为相反数，不妨设120,0a a ><，为了10S 取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.由题意知：3a 满足312a a ≥，取3a 的最小值12a ；5a 满足51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为1110,42a a a >>，故取5a 的最小值14a ；7a 满足717317531224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，取7a 的最小值18a ；同理，取9a 的最小值116a ；所以135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=，4a 满足422a a ≥，取4a 的最小值22a ；6a 满足62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为20a <，所以2224a a >，取6a 的最小值12a ；8a 满足828418641224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，因为20a <，所以222482a a a >>，取8a 的最小值12a ；同理，取10a 的最小值12a ；所以24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=，所以101211131931922S a a a a a =+=-=，因为数列{}n a 的各项均为非零的整数，所以当11a =时，10S 有最小值22.故选：B【点睛】关键点点睛：10S 有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系2j i a a ≥分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得10S 的最小值.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()2(i)2i R x x +=∈，则x =__________.【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =.故答案为：1.12.已知双曲线22:14x C y -=，则C 的离心率为__________；以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）【答案】①.②.22(1x y ++=或（22(1x y +=）【解析】【分析】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.【详解】22:14x C y -==，又渐近线为12y x =，即20x y -=，故焦点)与()到20x y -=1=，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为22(1xy ++=或22(1x y -+=，故答案为：2；22(1xy ++=或（22(1x y +=）13.已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为__________.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a __________.【答案】①.π②.2-【解析】【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】当0a =时，()2cos 21cos 2x f x x +==,所以最小正周期为2ππ2T ==，()2222cos sin sin sin 1sin 124a a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，(]sin 0,1x ∈，且二次函数开口向下，要使得()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则需要1022a a-≥-，且当sin 1x =时取最小值，故112a -++=-，解得2a =-，故答案为：π，2-14.二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由()2*nn ∈N 个黑白方块构成的n n ⨯二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个n n ⨯二维码在1分钟内被破译的概率不高于1512，则n 的最小值为__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意可得21615260122n⨯≤，即可由不等式求解.【详解】由题意可知n n ⨯的二维码共有22n 个，由21615260122n⨯≤可得2216153126022602n n -⨯⨯≤⇒≤，故2231637n n -≥⇒≥，由于*n ∈N ，所以7n ≥，故答案为：715.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上的动点，DQ ⊥平面1,D PC Q 为垂足.给出下列四个结论：①1D Q CQ =；②线段DQ 的长随线段AP 的长增大而增大；③存在点P ，使得AQ BQ ⊥；④存在点P ，使得PQ //平面1D DA .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据给定条件，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1D PC 的法向量坐标，进而求出点Q 的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1AB =，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)AP t t =≤≤，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,,0)D C D P t ，1(0,1,1),(1,1,0)CD CP t =-=-，令平面1D PC 的法向量(,,)n x y z = ，则10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)n t =- ，由DQ ⊥平面1D PC 于Q ，得((1),,)DQ n t λλλλ==-，即((1),,)Q t λλλ-，((1),1,)CQ t λλλ=-- ，显然2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=，解得21(1)2t λ=-+，于是222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+，对于①，222222221||(1)(1)(1)(1)||D Q t t CQ λλλλλλ=-++--+-+，①正确；对于②，2221||(1)11(1)2(1)2DQ t t t =-++-+-+在[0,1]上单调递增，②正确；对于③，而(1,0,0),(1,1,0)A B ，((1)1,,),((1)1,1,)AQ t BQ t λλλλλλ=--=---，若2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=，显然22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<，即不存在[0,1]t ∈，使得0AQ BQ ⋅=，③错误；对于④，平面1D DA 的一个法向量(0,1,0)DC =，而((1)1,,)PQ t t λλλ=--- ，由0PQ DC t λ⋅=-=，得t λ=，即21(1)2t t =-+，整理得322310t t t -+-=，令32()231,[0,1]f t t t t t =-+-∈，显然函数()f t 在[0,1]上的图象连续不断，而(0)10,(1)10f f =-<=>，因此存在(0,1)t ∈，使得()0f t =，此时PQ ⊄平面1D DA ，因此存在点P ，使得//PQ 平面1D DA ，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=+>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.（1）求ω的值；（2）若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，2ω=；（2）π(,)3+∞.【解析】【分析】（1）选条件①，由ππ1cos()332ω-=的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出ω；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小问1详解】依题意，π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+，选条件①，由(2π)3f =，得ππ2cos()1233ω-+=，即ππ1cos()332ω-=，于是πππ2π,N 333k k ω-=+∈或πππ2π,N 333k k ω*-=-+∈，显然ω的值不唯一，因此函数()f x 不唯一，不符合题意.选条件②，()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，因此()y f x =的最小正周期为函数2cos2y x =的最小正周期π，而0ω>，则2ππω=，所以2ω=.选条件③，()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+，则ππ(()463f f --=，即函数()f x 分别在ππ,63x x ==-时取得最大值､最小值，于是()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≤⨯--=，由()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，得()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≥⨯--=，因此πT =，而0ω>，所以2π2Tω==.【小问2详解】由（1）知π()2cos(213f x x =-+，由(0,)x m ∈，得πππ2(,2)333x m -∈--，由不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解，则有ππ233m ->，解得π3m >，所以m 的取值范围是π(,)3+∞.17.在三棱锥-P ABC 中，2,AB PB M ==为AP 的中点.（1）如图1，若N 为棱PC 上一点，且MN AP ⊥，求证：平面BMN ⊥平面PAC ；（2）如图2，若O 为CA 延长线上一点，且PO ⊥平面,2ABC AC ==，直线PB 与平面ABC 所成角为π6，求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据BM AP ⊥和,MN AP ⊥可证线面垂直，即可求证面面垂直，（2）根据线面角的几何法可得π6PBO ∠=，建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接,,BM MN BN.因为,AB PB M =为AP 的中点，所以BM AP ⊥.又,MN AP ⊥,,MN BM M MN BM ⋂=⊂平面BMN ,所以AP ⊥平面BMN .因为AP ⊂平面,PAC 所以平面BMN ⊥平面PAC .【小问2详解】因为PO ⊥平面,ABC OB ⊂平面,ABC OC ⊂平面ABC ，所以,,PO OB PO OC PBO ∠⊥⊥为直线PB 与平面ABC 所成的角.因为直线PB 与平面ABC 所成角为π6，所以π6PBO ∠=.因为2PB =，所以1,PO OB ==.2=，所以1OA =.又2AB =，故222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -.则())0,1,0,A B，()()0,3,0,0,0,1C P ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()0,3,1PC =-，()BC = ，510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,330.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则)3,1,3n = .设CM 与平面PBC 所成角为θ，则2sin cos ,132511344MC n MC n MC nθ⋅====⋅+⋅.所以直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为213.18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望EX ；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为123,,p p p .试比较123,,p p p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）34（2）分布列见解析；()2116E X =（3）231p p p >>【解析】【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可（2）由题意知X 的所有可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得【小问1详解】根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为603804=.【小问2详解】设事件:A 输入男性照片且识别正确.根据题中数据，()P A 可估计为9031204=.由题意知X 的所有可能取值为1,2,3.()()()31331111,2,3444164416P X P X P X ====⨯===⨯=.所以X 的分布列为X123P34316116所以()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】231p p p >>.19.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点()2,0M 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点,A C ，与直线16x =交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形ABCD 是菱形.求证：直线PD 过定点.【答案】（1）22186x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得22a c +=且12c a =，即可求解,,a b c 得解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得2286,3434t N t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而根据菱形的性质可得BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，即可求解220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.进而根据点斜式求解直线PD 方程，即可求解.【小问1详解】由题意可设椭圆E 的方程为22222221(0),x y a b c a b a b+=>>=-.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以22a c +=且12c a =，所以a c ==.所以26b =.所以椭圆E 的方程为22186x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，令16x =，得14y t =，即1416,P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由223424,2x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得()223412120t y ty ++-=.设()()1122,,,A x y C x y ，则1212221212,3434t y y y y t t +=-=-++.设AC 的中点为()33,N x y ，则12326234y y ty t +==-+.所以3328234x ty t =+=+.因为四边形ABCD 为菱形，所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥.所以直线BD 的斜率为t -.所以直线BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭.令0x =得222862343434t t t y t t t =-=+++.所以220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.设点D 的坐标为()44,x y ，则4343222162142,2343434t t x x y y t t t ===-=-+++，即221614,3434t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭.所以直线PD 的方程为()221414143416161634tt t y x t t ++-=--+，即()746y x t =-.所以直线PD 过定点()4,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20.已知函数()()ln 0)f x x a a =-+>.（1）若1a =，①求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；②求证：函数()f x 恰有一个零点；（2）若()ln 2f x a a ≤+对(),3x a a ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①2y =；②证明见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，（2）求导后构造函数()()(),,3g x x a x a a =-∈，利用导数判断单调性，可得()f x 的最大值为()()()000ln 2f x x a x a =-+-，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()ln 1f x x =-+.①()11f x x =--'.所以()()22,20f f =='.所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为2y =.②由①知()()(]()1ln 11,3,1f x x x f x x =-=-'+∈，且()20f '=.当()1,2x ∈时，因为111x >>-()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，因为111x <<-，所以()0f x '<.所以()f x 在区间()1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减.因为()()()322,3ln20,1e 330f f f -==>+=-+<-+<.所以函数()f x 恰有一个零点.【小问2详解】由()()ln f x x a =-+得()f x -='.设()()(),,3g x x a x a a =-∈，则()10g x '=-<.所以()g x 是(),3a a 上的减函数.因为()()0,320g a g a a =>=-<，所以存在唯一()()()000,3,0x a a g x x a ∈=-=.所以()f x '与()f x 的情况如下：x()0,a x 0x ()0,3x a ()f x '+-()f x极大所以()f x 在区间(),3a a 上的最大值是()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-.当1a ≥时，因为()20g a a =-≤，所以02x a ≤.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+.所以()()0ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.当01a <<时，因为()20g a a =>，所以02x a >.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.设正整数2n ≥，*,i i a d ∈N ，(){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= ，这里1,2,,i n = .若*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，且()1i j A A i j n ⋂=∅≤<≤，则称12,,,n A A A 具有性质P .（1）当3n =时，若123,,A A A 具有性质P ，且11a =，22a =，33a =，令123m d d d =，写出m 的所有可能值；（2）若12,,,n A A A 具有性质P ：①求证：()1,2,,i i a d i n ≤= ；②求1nii ia d =∑的值.【答案】（1）27或32（2）①证明见解析②12n +【解析】【分析】（1）对题目中所给的12,,,n A A A ，我们先通过分析集合中的元素，证明()1,2,,i i a d i n ≤= ，111ni i d ==∑，以及112ni i i a n d =+=∑，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.【小问1详解】对集合S ，记其元素个数为S .先证明2个引理.引理1：若12,,,n A A A 具有性质P ，则()1,2,,i i a d i n ≤= .引理1的证明：假设结论()1,2,,i i a d i n ≤= 不成立.不妨设11a d >，则正整数111a d A -∉，但*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，故11a d -一定属于某个()2i A i n ≤≤，不妨设为2A .则由112a d A -∈知存在正整数k ，使得()11221a d a k d -=+-.这意味着对正整数1112c a d d d =-+，有()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈，()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈，但12A A =∅ ，矛盾.所以假设不成立，从而一定有()1,2,,i i a d i n ≤= ，从而引理1获证.引理2：若12,,,n A A A 具有性质P ，则111ni i d ==∑，且112ni i ia n d =+=∑.证明：取集合{}121,2,...,...n T d d d =.注意到关于正整数k 的不等式()1201...i i n a k d d d d <+-≤等价于12...11i i n i i ia a d d dk d d d -<≤-+，而由引理1有i i a d ≤，即011iia d ≤-<.结合12...n i d d d d 是正整数，知对于正整数k ，12...11i i n i i i a a d d d k d d d -<≤-+当且仅当12...n i iT d d dk d d ≤=，这意味着数列()()11,2,...k i i x a k d k =+-=恰有iT d 项落入集合T ，即i iT T A d ⋂=.而12,,,n A A A 两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个()1i A i n ≤≤，故12...n T A T A T A T ⋂+⋂++⋂=.所以1212......n nT T T T A T A T A T d d d +++=⋂+⋂++⋂=，从而12111...1nd d d +++=，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由{}121,2,...,...n T d d d =知T 中全体元素的和为()1212 (12)n n d d d d d d +，即()12T T +.另一方面，i T A ⋂的全部iT d 个元素可以排成一个首项为i a ，公差为i d 的等差数列.所以i T A ⋂的所有元素之和为11122i i i i i i i iTT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.最后，再将这n 个集合()1,2,...,i T A i n ⋂=的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为112ni i i i T Ta T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.这就得到()11122ni i i i T T T Ta T d d =⎛⎫+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，所以有()221111111222222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T TTn TTn T a a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.即1122ni i iT T na d =+-=+∑，从而112ni i i a n d =+=∑，这就证明了引理2的第二个结论.综上，引理2获证.回到原题.将123,,d d d 从小到大排列为123r r r ≤≤，则123123m d d d r r r ==，由引理2的第一个结论，有1231231111111r r r d d d ++=++=.若13r ≥，则1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤，所以每个不等号都取等，从而1233r r r ===，故12327m r r r ==；情况1：若11r =，则23111110r r r +=-=，矛盾；情况2：若12r =，则231111112r r r +=-=，所以232221111122r r r r r =+≤+=，得24r ≤.此时如果22r =，则3211102r r =-=，矛盾；如果24r =，则32111124r r =-=，从而34r =，故12332m r r r ==；如果23r =，由于12r =，设()()123123,,,,i i i r r r d d d =，{}{}123,,1,2,3i i i =，则12i d =，23i d =.故对于正整数对()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩，有2112231i i k k a a -=--，从而12121223i i i i a k a k A A +=+∈⋂，这与12i i A A ⋂=∅矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当()()123,,3,3,3d d d =时，27m =；当()()123,,4,2,4d d d =时，32m =.所以123m d d d =的所有可能取值是27和32.【小问2详解】①由引理1的结论，即知()1,2,,i i a d i n ≤= ；②由引理2的第二个结论，即知112nii ia n d=+=∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.。

2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3B ．2√5C ．4D ．52．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5B ．7C ．7.5D ．83．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣24．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．811258．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112] C ．[3−2√3，3+2√3] D ．[3−√3，3+√3]二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知z 1，z 2为复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若z 1=z 2，则z 1=z 2B ．若z 1+z 2∈R ，则z 1与z 2的虚部相等C ．若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0D ．若z 12+z 22=0，则z 1＝z 2＝010．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中x ＝0.1B ．估计样本数据的第60百分位数约为85C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D ．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 ．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是 ．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 ．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ；（2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？22．（12分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A餐厅评分的频率分布直方图，以及B餐厅评分的频数分布表如下：B餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3 B ．2√5C ．4D ．5解：z =4−2ii=−2−4i ，所以|z|=√(−2)2+(−4)2=2√5． 故选：B ．2．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5 B ．7C ．7.5D ．8解：由题意得a+5+6+7+7+8+11+128=8，解得a ＝8，故这组数据的中位数为7+82=7.5．故选：C ．3．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2解：因为a →=(2，4)，b →=(2，λ)，所以a →+2b →=(6，2λ+4)，2a →+b →=(6，λ+8)，又(a →+2b →)∥(2a →+b →)，∴6×（λ+8）﹣（2λ+4）×6＝0，解得λ＝4． 故选：A ．4．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③解：对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确； 对于②，若m ⊥β，α⊥β，则m ⊂α或m ∥α，所以②错误； 对于③，由l ∥β，得β∥α或β与α相交，故③错误；对于④，α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行，故④正确． 故选：C ．5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i解：由题意可知，(√22+√22i)4=(cos π4+isin π4)4=(e π4i )4=e πi =cosπ+isinπ=−1．故选：A ．6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ， 则2πr =12×2π×2，2πR =12×2π×6， 所以r ＝1，R ＝3，且圆台的母线长为6﹣2＝4， 则圆台的高为ℎ=√42−(3−1)2=2√3，所以圆台的体积为V =13(π⋅12+π⋅32+√π⋅12⋅π⋅32)×2√3=26√33π． 故选：B ．7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．81125解：甲班最终获胜有三种情况： ①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输； ③甲班第1场输，第2场和第3场获胜．故甲班最终获胜的概率为(35)2+35×(1−35)×35+(1−35)×(35)2=81125．故选：D ．8．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A ＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[3−2√3，3+2√3]D ．[3−√3，3+√3]解：∵A ，B ，C ∈（0，π），∴A ﹣B ∈（﹣π，π），B ﹣C ∈（﹣π，π），C ﹣A ∈（﹣π，π），可得cos （A ﹣B ）∈（﹣1，1]，cos （B ﹣C ）∈（﹣1，1]，cos （C ﹣A ）∈（﹣1，1]， 若cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，则cos （A ﹣B ）＝1，cos （B ﹣C ）＝1，cos （C ﹣A ）＝1， 可得A ﹣B ＝0，B ﹣C ＝0，C ﹣A ＝0， 所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形． 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB ＝2，∴B （2，0），C(1，√3)．由题意设P （cos θ，sin θ）（0≤θ＜2π），则PB →=(2−cosθ，−sinθ)，PC →=(1−cosθ，√3−sinθ)，∴PB →⋅PC →=(2−cosθ)(1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=3−2√3cos(θ−π6)． 因为cos(π6−θ)∈[−1，1]，所以3−2√3cos(θ−π6)∈[3−2√3，3+2√3]． 故选：C ．二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=z2，则z1=z2B．若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部相等C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0解：对于A，若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2，故A正确；对于B，若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部互为相反数，故B错误；对于C，若z1z2＝0，则|z1z2|＝|z1|•|z2|＝0，所以|z1|＝0或|z2|＝0，可得z1＝0或z2＝0，故C正确；对于D，取z1＝1，z2＝i，可得z12+z22=1−1=0，故D错误．故选：AC．10．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．图中x＝0.1B．估计样本数据的第60百分位数约为85C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人解：对于A，由图知10×（x+0.015+0.02+0.03+0.025）＝1，解得x＝0.01，A错误；对于B，成绩在[50，80）内对应的频率为0.1+0.15+0.2＝0.45＜0.6，成绩在[50，90）内对应的频率为0.1+0.15+0.2+0.3＝0.75＞0.6，因此第60百分位数m位于区间[80，90）内，m=80+0.6−0.450.3×(90−80)=85，所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确；对于C，平均数约为x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5，C正确；对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为0.1：0.15：0.2＝2：3：4，则应选取成绩在[60，70）内的学生人数为30×32+3+4=10，D 正确． 故选：BCD ．11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →解：对于A ，由已知可得b →=2a →+BC →=AB →+BC →=AC →， 在正方形ABCD 中可得|AC →|=2√2，故A 错误；对于B ，a →⋅b →=12AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|cos45°=12×2×2√2×√22=2，故B 正确；对于C ，a →在b →上的投影向量的模为|a →⋅b →||b →|=2√2=√22，故C 错误；对于D ，(b →−4a →)⋅b →=b →2−4a →⋅b →=0， 又b →−4a →与b →均不是零向量， 所以(b →−4a →)⊥b →，故D 正确． 故选：BD ．12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32解：对于A ，由已知得AA 1⊥平面ABP ，PB ⊂平面APB ，所以AA 1⊥PB ， 又因为AB 是底面圆的直径，P 在圆周上且异于A 、B 两点，所以BP ⊥AP ， 又A 1A ∩AP ＝A ，AA 1、AP ⊂平面A 1AP ，所以PB ⊥平面A 1AP ，故A 正确； 对于B ，因为AA 1⊥平面ABP ，所以直线A 1P 与平面ABP 所成的角为∠A 1P A ， 因为∠BOP ＝60°，则∠PAO =12∠BOP =12×60°=30°， 所以PB =12AB =12×2=1，PA =√AB 2−PB 2=√22−12=√3，AA 1＝3，故tan ∠APA 1=AA 1AP =33=√3，故直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√3，故B 错误； 对于C ，连接B 1P ，因为AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1，故四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以AB ∥A 1B 1，所以直线A 1P 与直线AB 所成的角为∠B 1A 1P 或其补角， 在△A 1B 1P 中，A 1P =√AP 2+A 1A 2=√(√3)2+32=2√3， B 1P =√BP 2+B 1B 2=√12+32=√10，所以cos ∠B 1A 1P =A 1B 12+A 1P 2−B 1P 22A 1B 1⋅A 1P =22+(2√3)2−(√10)22×2×2√3=√34，故C 正确； 对于D ，设点A 到平面A 1PB 的距离为h ， 则V A−A 1PB =V A 1−APB ，即13⋅S △A 1PB ⋅ℎ=13⋅S △APB ⋅AA 1，又S △APB =12AP ⋅BP =12×√3×1=√32，S △A 1PB =12A 1P ⋅PB =12×2√3×1=√3， 所以13×√3×ℎ=13×√32×3，解得ℎ=32，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 √2 ．解：根据题意可得O ′A ′=√2， 在△ABO 中，OB ＝O ′B ′＝1， OA =2O ′A ′=2√2， 所以△ABO 的面积为S =12×1×2√2=√2 故答案为：√2．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是310．解：总的样本点的个数为A 52=20，事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有A 32=6个，故所求概率为620=310．故答案为：310．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 (−1，13) ．解：∵DC →=2AD →，∴AC →=3AD →，∴AP →=xAB →+3yAD →． ∵B ，P ，D 三点共线，∴x +3y ＝1，∵x ＞0，∴y =13(1−x)＜13，∴0＜y ＜13， ∴y −x =y −(1−3y)=4y −1∈(−1，13)．故答案为：(−1，13)．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为π3a 2 ．解：如图所示，设O 为大球的球心，大球的半径为R ，大正四面体的底面中心为E ，棱长为a ，高为h ，CD 的中点为F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，BF ， 则BE =23BF =√33a ，正四面体的高ℎ=AE =√AB 2−BE 2=√63a ， 因为V 正四面体＝4V O ﹣ABC ，所以13×S △ABC ℎ=4×13×S △ABC ×R ，所以R =14ℎ=√612a ，设小球的半径为r ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高ℎ小=ℎ−2R =√66a ，所以r =14ℎ小=√624a =R2，故该模型中5个球的表面积之和为4πR 2+4×4πr 2=8πR 2=8π×6144a 2=π3a 2． 故答案为：π3a 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围． 解：（1）由z +5i ＝m +（9﹣m 2）i 为实数，可得9﹣m 2＝0， 解得m ＝±3，因为m ＞0，所以m ＝3， 所以z ＝3﹣5i ；（2）由（1）可知z =3+5i ，所以z 1=z(a +i)=(3+5i)(a +i)=(3a −5)+(5a +3)i ， 因为z 1在复平面内对应的点在第二象限， 所以{3a −5＜05a +3＞0，解得−35＜a ＜53，故实数a 的取值范围为(−35，53)．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．解：（1）证明：因为EF ∥AD ，EF =12AD =2，M 是AD 的中点， 所以EF ∥DM ，且EF ＝DM ， 所以四边形DEFM 是平行四边形， 从而MF ∥DE ．因为MF ⊄平面ECD ，DE ⊂平面ECD ， 所以MF ∥平面ECD ． 同理NF ∥平面ECD ， 又MF ∩NF ＝F ，所以平面NMF ∥平面ECD ．（2）设AB 的中点为H ，连接FH ，则FH ⊥AB ．因为平面ABF ⊥平面ABCD ， 平面ABF ∩平面ABCD ＝AB ， FH ⊂平面ABF ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ，所以E 到平面ABCD 的距离为FH =2√3， 所以V E−ABCD =13×(4×4)×2√3=32√33． 19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 解：（1）由题意知15(90+110+x +y +150)=110，则x +y ＝200．因为x ＜y ，所以x ＜100＜y ．从这5天中任选2天，所有的结果为：（90，110），（90，x ），（90，y ），（90，150），（110，x ），（110，y ），（110，150），（x ，y ），（x ，150），（y ，150），共10种， 这2天的空气质量均为优良的结果为（90，x ），只有1种， 故所求的概率为P =110． （2）方差s 2=15×[(90−110)2+(110−110)2+(x −110)2+(y −110)2+(150−110)2] =15[2000+(x −110)2+(90−x)2]=25(x −100)2+440，因为90＜x ＜150，所以当x ＝100时，s 2的值最小，最小值为440． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ； （2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：（1）∵a−b+c c=b a+b−c，∴bc ＝b 2+c 2﹣a 2，由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12， 又0＜A ＜π，∴A =π3； （2）证明：∵b −c =√33a ， 由正弦定理得sinB −sinC =√33sinA =12，∴sinB −sin(2π3−B)=sinB −√32cosB −12sinB =12sinB −√32cosB =sin(B −π3)=12， ∵B ∈(0，2π3)， ∴B −π3∈(−π3，π3)， ∴B −π3=π6，即B =π2， 故△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？解：（1）（1）∵OO 1＝5dm ，∴PO 1＝2dm ．∴玻璃罩的容积V =13×62×2+62×5=24+180=204(dm 3)=204(L)． （2）连接A 1O 1，设PO 1＝xdm （0＜x ＜4），则O 1O =52xdm ，A 1O 1=√16−x 2dm ，A 1B 1=√2√16−x 2dm ， ∴正四棱柱的侧面积S =4⋅52x ⋅√2√16−x 2=10√2√(16−x 2)x 2．∵S ≤10√2×x 2+16−x 22=80√2，当且仅当x =√16−x 2，即x =2√2时，取等号．∴当PO 1=2√2dm 时，正四棱柱侧面积最大，最大为80√2dm 2．22．（12分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A 餐厅评分的频率分布直方图，以及B 餐厅评分的频数分布表如下： B 餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A 餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．解：（1）学生对A餐厅的评分在[30，50）的频率为（0.02+0.02）×10＝0.4，即学生对A餐厅的满意度指数为2的频率为0.4，所以对A餐厅的满意度指数为2的人数为200×0.4＝80；（2）设“对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低”为事件M，记“对A餐厅的满意度指数为1”为事件A1，“对A餐厅的满意度指数为2”为事件A2，“对B餐厅的满意度指数为2”为事件B2，“对B餐厅的满意度指数为3”为事件B3，则P（A1）＝（0.003+0.005+0.012）×10＝0.2，P（A2）＝0.4，P(B2)=30+80200=0.55，P(B3)=70200=0.35，所以P（M）＝P（A1B2+A1B3+A2B3）＝P（A1）P（B2）+P（A1）P（B3）+P（A2）P（B3）＝0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35＝0.32．。

桂林市2019~2020学年度下学期期末质量检测高二年级 数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1. 23A =（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】直接根据排列数公式计算即可得答案.【详解】解：根据排列数公式()()()121mn A n n n n m =---+得：23326A =⨯=.故选：B.【点睛】本题考查排列数公式的计算，是基础题. 2. i （1+i ）=（ ） A. 1i -+ B. 1i -- C. 1i + D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到：原式i （1+i ）=i-1． 故选A ．【点睛】这个题目考查了复数的乘法运算，题目简单基础. 3. 函数()ln f x x =的导数是（ ） A. x B.1xC. ln xD. x e【答案】B 【解析】 【分析】根据导数公式直接计算即可得答案. 【详解】解：因为()1ln 'x x=， 所以()1'f x x=. 故选：B.【点睛】本题考查导数的公式，是基础题. 4.212xdx =⎰（ ）A. 3B. 2C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】直接利用微积分基本定理求解即可．【详解】222112|413xdx x ==-=⎰． 故选：A ．【点睛】本题考查微积分基本定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 5. 5(12)x +的展开式中的常数项为（ ） A. -1 B. 1C. 92D. 93【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r ，可得展开式的常数项．【详解】5(12)x +的展开式的通项为155(2)2r r r r rr T C x C x +==， 当0r =时，可得5(12)x +的展开式中的常数项为00521C =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其通项，属于基础试题6. 用反证法证明命题“在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”时，应假设（ ）A. a b <B. a b ≤C. a b >D. a b ≥【答案】B 【解析】 【分析】直接利用命题的否定，写出假设即可．【详解】用反证法证明命题“在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”时， 假设就是命题“ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”的结论的否定， 命题“ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”的结论的否定是：a b ． 故选：B ．【点睛】本题考查反证法的定义以及命题的否定，基本知识的考查． 7. 关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A. 没有最小值，有最大值 B. 有最小值，没有最大值 C. 有最小值，有最大值 D. 没有最小值，也没有最大值【答案】D 【解析】 【分析】 利用()'fx 研究函数()f x 的最值.【详解】依题意()'2310f x x =+>，所以()f x 在R 上递增，没有最小值，也没有最大值.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题. 8. 已知随机变量X 的分布列是则a b +=（ ） A.23B.32C. 1D.34【解析】 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.【详解】解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=. 故选：A.【点睛】本题考查分布列的性质，是基础题. 9. 已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，且(4)0.68P ξ≤=，则(2)P ξ≤=（ ）A. 0.84B. 0.68C. 0.32D. 0.16【答案】C 【解析】 【分析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，所以密度曲线关于直线3x =对称， 由于()40.68P ξ≤=，所以()410.680.32P ξ≥=-=， 所以()20.32P ξ≤=． 故选：C.【点睛】本题考查正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10. 在正方体ABCD ­-A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( )A 5-B.5C. 5- D.5【解析】 【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【详解】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，设平面1B BD 的法向量为(),,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1 n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则()110n =-，，， ∴10cos ,5n BE n BE n BE⋅==⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ， 则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ． 【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．11. 根据上级扶贫工作要求，某单位计划从5名男干部和6名女干部中选出1名男干部和2名女干部组成一个扶贫小组，派到某村开展“精准扶贫”工作，那么不同的选法有（ ）A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先在5名男干部中任选1人，再从6名女干部中选出2人，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，先在5名男干部中任选1人，有155C =种选法， 再从6名女干部中选出2人，有2615C =种选法，则有51575⨯=种不同的选法； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．12. 定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2xf x e <的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【详解】构造函数()()x f x g x e=，根据()()f x f x '>可知()0g x '<，得到()g x 在R 上单调递减；根据()()002f g e==，可将所求不等式转化为()()0g x g <，根据函数单调性可得到解集.【解答】令()()x f x g x e =，则()()()()()20x x x xf x e f x e f x f xg x e e ''--'==< ()g x ∴在R 上单调递减 ()02f = ()()002f g e∴== 则不等式()2xf x e >可化为()2xf x e<等价于()2g x <，即()()0g x g < 0x ∴> 即所求不等式的解集为：()0,∞+ 本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，关键是能够构造函数()()xf xg x e =，将所求不等式转变为函数值的比较，从而利用其单调性得到自变量的关系． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知i 是虚数单位，复数2z i =+，则z =__________.【解析】 【分析】直接根据复数的模的计算公式计算即可得答案.【详解】解：根据复数模的计算公式得：z =【点睛】本题考查复数模的计算，是基础题. 14. 已知()12P B A =，3()10P AB =，则()P A =__________. 【答案】35【解析】 【分析】直接根据条件概率公式计算即可得答案. 【详解】解：根据条件概率公式()()()P AB P B A P A =和已知条件()12P B A =，3()10P AB =， 所以()()()3310152P AB P A P B A ===. 故答案为：35【点睛】本题考查条件概率公式的应用，是基础题.15. 经过圆221x y +=上一点()00,x y 的切线方程为001x x y y +=，则由此类比可知：经过椭圆22221x y a b+=上一点()00,x y 的切线方程为______. 【答案】00221x x y ya b+= 【解析】 【分析】根据圆的切线方程形式，类比推理出椭圆的切线方程．【详解】解：圆的性质中，经过圆上一点()00,M x y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 和y 分别用()00,M x y 的横坐标与纵坐标替换，故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b +=上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y ya b+=. 故答案为:00221x x y ya b+=.【点睛】考查了类比推理的数学思想，是基础题．16. 函数()cos f x x x =-在区间[0,]π上的最大值为__________. 【答案】1π+ 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，[0x ∈，]π，利用导数研究函数()f x 的单调性，根据单调性可得结果． 【详解】数()cos f x x x =-， ()1sin f x x '=+， [0x ∈，]π，()0f x ∴'>，当[0x ∈，]π时，函数()f x 单调递增；∴函数()f x 在区间[0，]π上的最大值为：()1f ππ=+．故答案为：1π+．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说眀、证明过程及演算步骤.17. 在91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，求： （1）含x 的项； （2）含3x 的项的系数.【答案】（1）126x ；（2）84-. 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项，令x 的指数为1，求得参数的值，代入通项可求得结果；（2）写出二项展开式的通项，令x 的指数为3，求得参数的值，进而可求得展开式中含3x 的项的系数.【详解】（1）91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()99219911rr r rr r r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎝⋅⋅⋅⋅⎪⎭， 令921r -=，得4r =，所以含x 的项为()4491126C x x -=⋅；（2）由（1），令923r -=，得3r =，所以含3x 的项的系数为()339184C ⋅-=-.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项或指定项的系数，考查计算能力，属于基础题. 18. 已知函数1()ln 2f x x x ax =++在(1, (1))f 处的切线方程为2210x y --=. （1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）0a =；（2）减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）求导得()1f x lnx a '=++，利用f '（1）1=，列出关于a 的方程，解之即可． （2）由（1）可知，()1(0)f x lnx x '=+>，令()0f x '=，则1=x e，然后根据原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系判断即可得解．【详解】（1）1()2f x xlnx ax =++，()1f x lnx a '∴=++， ()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程为2210x y --=，f '∴（1）1=，即011a ++=，解得0a =．（2）由（1）可知，1()2f x xlnx =+，()1(0)f x lnx x '∴=+>， 当1(0,)∈x e时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1(x e ∈,)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(e ,)+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 19. 在数列{}n a 中，已知11a =，112nn na a a +=+.（1）计算2a ，3 a ，4a ；（2）根据计算结果猜想出{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明你的结论. 【答案】（1）213a =，315a =，417a =；（2）121n a n =-，证明见解析.【解析】 【分析】（1）利用()*11112nn na a a n N a +==∈+，，n 分别取234，，可求出234,,a a a ，并由此猜想数列{}n a 的通项公式n a 的表达式；（2）根据计算结果猜想数列{}n a 的通项公式n a 的表达式，用数学归纳法证明①当1n =时，111211a ==⨯-，猜想成立；②假设n k =成立，利用()*112n n n a a n N a +=∈+，可证得当1n k =+时猜想也成立，故可得结论.【详解】（1）∵111,(1,2,3,)12nn a a a n a+===⋅⋅⋅+， ∴1211123a a a ==+，同理可得：315a =，417a =. （2）由（1）计算结果猜想121n a n =-， 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，111211a ==⨯-，猜想成立，②假设当()*1n k k N=+∈时，猜想成立，即：121kak =-. 则当()*1n k k N =+∈时，111121212212(1)1121k k k a k a a k k k +-====+++-+-，所以，当1n k =+时，猜想成立. 根据①②可知猜想对任何*n N ∈都成立.【点睛】本题主要考查了以数列递推式为载体，考查了数列的通项的猜想与证明，解题的关键是利用数学归纳法证明，尤其第二步的证明.属于中档题． 20. 在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，E 为PD 中点.（1）求证：//PB 平面ACE ； （2）求二面角A BE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）105- 【解析】 【分析】(1)由中位线可知//OE BP ，结合线面平行判定即可证明//PB 平面ACE ；(2)以A 为原点构建空间直角坐标系，写出对应点的坐标并求出面ABE 、面BCE 的法向量，根据法向量夹角与二面角的关系求它们的夹角的余弦值【详解】（1）证明:连接AC 、BD ，AC BD O = ，连接EO∵在BPD △中，BO OD =，PE ED = ∴//OE BP又∵BP ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ∴//BP 平面ACE（2）由题，易知PA ，AD ，AB 两两互相垂直，2PA AD == 故可建立如图的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B ，有(0,1,1)AE =，(2,0,0)AB =，(0,2,0)CB =-，(2,1,1)CE =--设(,,)m x y z =为平面ABE 的一个法向量，有020y z x +=⎧⎨=⎩令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =-同理若(,,)n x y z =是平面BCE 的一个法向量，有2020y x y z -=⎧⎨--+=⎩令1x =，2z =，得(1,0,2)n = 则10cos ,||5|,|25m n m n m n ⋅〈〉===⨯∴由图知，二面角A BE C --(钝角)的余弦值为10-【点睛】本题考查了线面平行的判定证明平行，利用空间向量求二面角的余弦值，由题意构建空间坐标系并根据二面角所在的两个面确定各点坐标，可得面的法向量，进而求二面角的余弦值21. 东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得ξ的取值为30,31,32,33,34,35,36，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策. 【详解】（1）根据题意可得()111305525P ξ==⨯=，()13331251025P ξ==⨯⨯=，()123313225510104P ξ==⨯⨯+⨯=，()11327332251010525P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，()31221134210105550P ξ==⨯⨯+⨯=， ()21235251025P ξ==⨯⨯=，()111361010100P ξ==⨯=，ξ的分布列如下：()131711213031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）当购进32份时，利润()()2131324314830416252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 107.5213.92 4.16125.6=++=， 当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042410042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 77.883012.96 3.84124.68=+++=， 125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22. 已知函数()ln 2()f x m x x m =-∈R . （1）当6m =时，试确定()f x 的零点的个数；（2）若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求证：2m ≤. 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导函数的符号得到()f x 的单调性和极大值、计算1()f e，2()f e 的符号，由零点存在定理，即可判断零点个数；（2）由题意可得[(1)]2(1)x m ln x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，设(1)y ln x x =+-，求得导数和单调性，得到2(1)(1)x x e m ln x x+-<+-对任意的0x >恒成立，再由此不等式的右边与2作差比较，再求出m 的范围．【详解】（1）当6m =时，知()6ln 2(0)f x x x x =->，则62(3)()2x f x x x-'=-=， ∵当03x <<时，()0f x '>；当3x >，则62(3)()2x f x x x-'=-=， ∴()f x 在区间()0,3是单调递增，在区间(3,)+∞单调递减. ∴max ()(3)6ln 360f x f ==->. 又∵1260f e e⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()221220f e e =-<. ∵()f x 在区间1,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在区间()23,e 各有1个零点.综上，函数()f x 零点的个数为2.（2）函数()ln 2f x m x x =-，若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即为ln(1)2(1)2xm x x mx e +-+>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立 即有()(ln(1))21xm x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，设ln(1)y x x =+-，1111x y x x -'=-=++，0x >时，0y '<，函数y 递减， 可得ln(1)0y x x =+-<，则()21ln(1)x x e m x x+-<+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立.由()211ln(1)22ln(1)ln(1)x x x e x e x xx x x x+-+--++-=⋅+-+-， 设()1ln(1)(0)xg x x e x x x =+--++>，1()21xg x e x '=--+，21()(1)x g x e x ''=-+，由()y g x ''=在0x >递减，即有()0g x ''<，可得()y g x '=在0x >递减，即有()0g x '<，可得()g x 在0x >递减，可得()0g x <，而ln(1)0x x +-<，可得1ln(1)20ln(1)x x e x xx x+--++⋅>+-. 则由()212ln(1)x x e x x+->+-，所以2m ≤.【点睛】本题考查函数的零点个数和函数恒成立问题解法，零点存在定理和分离参数法、以及构造函数法，考查化简运算能力、推理能力，属于难题．。

2023～2024学年度上学期学情调研题七年级 数学（考试用时120分钟，满分120分）注意事项：1．试卷分为选择题和非选择题两部分，在本试题卷上作答无效．2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分，请将答案填在答题卡上）1. 有理数，，0，1中最小的一个数是（ ）A. 1B. 0C.D. 【答案】C【解析】【分析】运用有理数大小比较法则找出有理数中最小的数即可．【详解】解：在实数，，0，1中，负数最小根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小所以最小的数是．故选：．【点睛】此题考查了实数大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键．2. 如果水位上升3米记作米，那么米表示水位（ ）A. 上升5米B. 下降5米C. 上升2米D. 下降3米【答案】B【解析】【分析】本题考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．【详解】解：米表示上升3米，那么米表示水位下降5米，故选：B ．3. 如图，数轴上有，，，四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（ ）13-2-2-13-13-2-2-C 3+5-3+5-A B C DA. 点B. 点C. 点D. 点【答案】B【解析】【分析】根据图示，可得：哪个点离原点越近，则哪个点所对应的数的绝对值就越小，据此判断出绝对值最小的数对应的点是哪个即可．【详解】解：∵，，，四个点中，点离原点最近，∴绝对值最小的数对应的点是．故选：B ．【点睛】本题考查绝对值的意义，有理数大小比较的方法，解题的关键是要明确：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．4. 下列调查中，你认为适合采用全面调查是（ ）A. 《新闻联播》电视栏目的收视率B. 一批灯泡的使用寿命C. 一个班级学生的体重D. 我国中小学生喜欢上数学课的人数【答案】C【解析】【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．【详解】解：A 、调查范围广，无法普查，故不符合题意；B 、调查具有破坏性，无法普查，故不符合题意；C 、一个班级学生的体重，适合普查，符合题意；D 、调查范围广，无法普查，故不符合题意；故选：C ．5. 桂林以其独特的山水风光而闻名于世．这里的自然美景如诗如画，仿佛置身于一幅巨大的画卷之中，深受国内外游客的喜爱．据统计，2023年暑假期间，漓江游船和排筏累计接待游客1970000人次．将1970000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】的AB C DA B C D B B 0061.9710⨯519.710⨯71.9710⨯51.9710⨯【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：．故选：A ．6. 单项式的次数是（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】本题考查单项式的次数，根据单项式的次数就是所有字母指数之和，即可解题．【详解】解：单项式的次数是，故选：D ．7. 如果与是同类项，那么m ，n 的值是（ ）A ， B. ， C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，得出关于 的方程，求得 的值；【详解】∵与是同类项，故选A【点睛】本题考查了同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同8. 如图，点A 、B 在直线l 上，点C 是直线l 外一点，可知，其依据是（ ）.10n a ⨯1||10a ≤<n n a n 10≥n 1<n 61970000 1.9710=⨯223xy -23-223xy -123+=232n x y +3213m x y --2m =1n =0m =1n =2m =2n =1m =2n =,m n ,m n 232n x y +3213m x y --23,213,n m ∴+=-=2,1,m n ∴==CA CB AB +>A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线C. 两点之间，直线最短D. 直线比线段长【答案】A【解析】【分析】根据线段公理：两点之间，线段最短，即可得解.【详解】根据题意，得两点之间，线段最短故答案为A .【点睛】此题主要考查对两点之间距离的理解，熟练掌握，即可解题.9. 《诗经》是中国古代诗歌的开端，最早的一部诗歌总集，共有311篇，其中6篇为笙诗，只有标题，没有内容，余下的诗篇可分为《风》、《雅》、《颂》三个部分．其中，《风》的篇数是《颂》的4倍，《雅》的篇数比《颂》的3倍少15篇．若设《颂》有篇，下列根据题意列出的方程正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，需要掌握列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．设《颂》有篇，根据共有311篇，其中6篇为笙诗，只有标题，没有内容，余下的诗篇可分为《风》、《雅》、《颂》三个部分．其中，《风》的篇数是《颂》的倍，《雅》的篇数．【详解】解：设《颂》有篇，由题意得．故选：C ．10. 下面说法与所示的几何图形相符的是（）x 43156311x x x ++++=1115631143x x x +-++=43156311x x x +-++=1115631143x x x ++++=x 4x 315-x x 43156311x x x +-++=A. 点在直线上B. 直线和直线表示同一条直线C. 点在射线上D. 直线与直线都经过点【答案】D【解析】【分析】本题考查了点和直线的关系，直线的性质，注意仔细观察图形，掌握角的概念是关键；利用点和直线的关系，结合图形，对选项一一分析，选出正确答案．【详解】解：A 、点不在直线上，故错误，不合题意；B 、直线和直线表示同一条直线，故原说法错误，不合题意．C 、点不在射线上，故原说法错误，不合题意．D 、直线与都经过点，故正确，符合题意；故选：D ．11. 如图，已知直线上A ，B 两点相距，点是线段的中点，点在直线上且与点相距，则的长度是（ ）A. 2cmB. 14cmC. 14cm 或8cmD. 14cm 或2cm【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了线段的中点，理解线段中点的定义是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的难点，．首先根据线段，是的中点求出，然后分两种情况进行讨论：①当点在点的左侧时，；②当点在点的右侧时，；据此可得出答案．【详解】解：线段，是的中点，，点在直线上，有以下两种情况：①当点在点的左侧时，；P n OA m P OB OA PB OP n OA n P OB OA PB O 12cm C AB D AB B 8cm CD 12cm AB =C AB 6cm BC =D B CD BD BC =-D B CD BC CD =+ 12cm AB =C AB ()16cm 2BC AB ∴== D AB ∴D B ()862cm CD BD BC ∴=-=-=②当点在点右侧时，．综上所述：线段的长是或．故选：D ．12. 如图是一个运算程序，若第1次输入的值为16，则第2024次输出的结果是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了代数式求值问题，解题的关键是通过计算特殊结果发现一般规律，根据数据运算程序，从第1次开始往后逐个计算输出结果，直到找出规律即可求解．【详解】解：由数据运算程序得，如果开始输入的的值为16，那么：第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，第3次输出的结果是2，第4次输出的结果是1，第5次输出的结果是4，第6次输出的结果是2，第7次输出的结果是1，第8次输出的结果是4，第9次输出的结果是2，第10次输出结果是1，第11次输出结果是4，综上可得，从第4次开始，每三个一循环，由可得第2024次输出的结果与第5次输出的结果相等，为4．故选：C ．的的的D B ()6814cm CD BC BD ∴=+=+=CD 2cm 14cm a a ⋯⋯(20243)36732-÷=⋅⋅⋅二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）13. -5的倒数是_______【答案】##-0.2【解析】【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【详解】解：的倒数是；故答案为：．【点睛】本题主要考查了倒数的定义．解题的关键是掌握若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．14. 计算： _______．【答案】【解析】【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则：两数相乘．同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，即可得到答案．【详解】解：．故答案为：．15. 某校为了了解初一年级300名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对20名学生每天完成作业所用时间进行了抽查，这个问题中的样本容量是_______.【答案】20【解析】【详解】因为某校为了了解初一年级300名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对20名学生每天完成作业所用的时间进行了抽查，所以这个问题中的样本容量是20．故答案为：2016. 钟表3时30分时，时针与分针所成的角的度数为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了钟面角，角的和差运算；根据分针每分钟转，时针每分钟转，分针与时针从3时到3时30分所转过的角度，利用角的和差关系即可求解．【详解】解：分针从3时到3时30分转过，时针从3时到3时30分转过，15-5-15-15-()23⨯-=6-()()23236⨯-=-⨯=-6-75︒6︒0.5︒306180⨯︒=︒300.515⨯︒=︒则钟表3时30分时，时针与分针所成的角的度数为；故答案为：．17. 若代数式的值是6，那么代数式的值是______．【答案】22【解析】【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键，根据已知得出，然后对所求式子变形，整体代入计算即可．【详解】解：，，，故答案为：22．18. 三个面积均是的多边形如图叠放，其中，正方形阴影部分外的面积是，六边形阴影部分外的面积是，若两块阴影部分的面积之和正好是五边形面积的一半，则a 、b 、m 三者之间的数量关系是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组，设正方形与五边形阴影部分的面积是，六边形与五边形阴影部分的面积是，根据题意列出相应的方程组，再消元即可．【详解】解：设正方形与五边形阴影部分的面积是，六边形与五边形阴影部分的面积是，根据题意得：，整理得到：，180(9015)75︒-︒+︒=︒75︒2231a a ++2697a a ++2235a a +=22316a a ++= 2235a a ∴+=226973(23)735722a a a a ∴++=++=⨯+=m a b 302m a b --=1S 2S 1S 2S 121212a S m b S m S S m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩302m a b --=故答案为：．三、解答题（本大题共8题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）19. 计算：（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键；（1）去括号，利用减法法则，计算即可求出值；（2）先计算乘方运算，再计算乘除运算．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．20. 将有理数分别填在相应的大括号里．整数：{ …}；负数：{ …}；正分数：{ …}【答案】0，2023；，；，．【解析】【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据有理数的概念分类即可．302m a b --=()735--+41122-⨯÷154-()735--+735=++15=41122-⨯÷22=-⨯4=-12.5,0,2,2023,35%,0.62--2.5-35%-1220.6【详解】解：整数：0，2023；负数：，；正分数：，．故答案为：0，2023；，；，．21. 解方程：（1）；（2）．【答案】（1）； （2）．【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解答关键是按照相关解法逐步运算．（1）先去括号，再移项合并同类项，未知项系数化为1，求解；（2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，未知项系数化为1，求解；【小问1详解】解：去括号，得，，移项，得，合并同类项，得，，∴；【小问2详解】解：去分母，得，去括号，得，移项，得2.5-35%-1220.6 2.5-35%-1220.67(33)1x x --=1231332x x -+=-12x =-1713x =7331x x -+=7313x x -=-42x =-12x =-()()21233118x x -=+-249318x x -=+-合并同类项，得，∴22. 先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，将原式去括号，合并同类项后代入已知数值计算即可．【详解】解：原式，当时，原式．23. 2023年在杭州举办的第十九届亚运会，共有45个国家和地区的代表队、12000多名运动员参加，共颁发金牌482枚．某校新闻社团的同学根据图1金牌榜前四名的金牌数绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，字母A 、B 所代表的国家名称分别是A ：______；B ：______；（2）除前四名外，其他国家和地区在第十九届亚运会上共夺得金牌多少枚？（3）在扇形统计图中，求中国代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数．（精确到）（4）你还能从图中得到什么信息？（写一条即可）【答案】（1）印度，日本；（2）枚493182x x --=--1317x -=-1713x =(32)(32)xy x xy xy x --+-1,2x y =-=65xy x -7-3232xy x xy xy x=-++-65xy x =-1,2x y =-=6(1)25(1)1257=⨯-⨯-⨯-=-+=-1︒159（3）（4）见解析【解析】【分析】本题考查了统计图、求扇形的圆心角度数，解题的关键是读得懂图表；（1）求出相应频率即可判断；（2）用总数减去前四名即可得到；（3）利用频率乘上即可；（4）通过图表进行分析，分析合理即可，答案不唯一．【小问1详解】解：，故A 表示印度；，故B 表示日本，故答案为：印度，日本；【小问2详解】解： ，故其他国家和地区在第十九届亚运会上共夺得金牌枚；【小问3详解】解：；【小问4详解】解：从图中得到中国获得金牌数目第一，国家对运动的重视程度较高．24. 某水利工程，甲工程队单独施工需要40天可以完成，乙工程队单独施工需要60天可以完成．（1）现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水利工程一共用了多少天？（2）完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元，如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲工程队可以得到多少万元？【答案】（1）30，（2）34．【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出程；（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，根据甲队完成的工作量＋乙队完成的工作量＝总工作量1，列方程即可；150︒360︒280.0581482≈ 520.108482≈ 482201524228159----=159201360150482⨯︒≈︒（2）根据甲的工作效率和工作时间，计算甲完成工程的几分之几，再乘以施工费即可．【小问1详解】解：设完成此项水利工程一共用了x 天，根据题意得，，解得，，答：完成此项水利工程一共用了30天．【小问2详解】，∴甲工程队可以得到34万元25. 综合与实践：【问题情境】七年级（1）班的同学在劳动实践课上采挖红薯，通过对红薯的称重感受“正数与负数”在生活中的应用．【实践探究】同学们一共挖了10筐红薯，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：筐号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩重量/千克10412【问题解决】（1）求这10筐红薯的总重量是多少千克？（2）为了让更多的人分享劳动成果，该班同学每人分得2千克后，决定将剩余的红薯赠送给敬老院的爷爷奶奶们．已知敬老院共有138名老人，平均每位老人分得千克的红薯，求七年级（1）班的学生人数．【答案】（1）总重量是千克；（2）七年级（1）班的学生人数为人．【解析】1014060x x -+=30x =3010683440-⨯=30kg 3- 2.50.5- 1.5- 2.5-1.530348【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键．（1）根据题意列出算式求解即可；（2）设七年级（1）班的学生人数为，列出，求解即可．【小问1详解】解：这10筐红薯的总重量是：，答：总重量是千克；【小问2详解】解：设七年级（1）班的学生人数为，由题意得：，解得：，答：七年级（1）班的学生人数为人．26. 综合与探究【提出问题】小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，请作一个，使与互余（），即．【动手操作】小明是这样思考的：如图2所示，若射线在的内部，则，所以射线在的外部；然后通过构造直角，找到的余角，如图3所示；进而分析要使与互余，只需．因此，小明找到了解决问题的方法：过点O 作射线的垂线，利用量角器作出的平分线，这样就得到与互余．请你帮助小明完成下列推理说明：（1）已知：如图3，，射线平分．请说明与互余．解：理由：因为射线平分（已知），x 3032138 1.5x -=⨯()10303 2.510.5041 1.5 2.52303⨯+-++-+++--+=303x 3032138 1.5x -=⨯48x =48090AOB αα∠=︒<<︒（）AOC ∠AOC ∠BOC ∠AOC BOC ∠>∠90AOC BOC Ð+Ð=°OC AOB ∠90AOC BOC ∠+∠<︒OC AOB ∠AOD ∠AOC ∠AOC ∠BOC ∠BOC COD ∠=∠OA OD BOD ∠OC AOC ∠BOC ∠90AOD ∠=︒OC BOD ∠AOC ∠BOC ∠OC BOD ∠所以______（角平分线的定义），由于，即______，所以（______），即与互余．（2）【类比操作】如图4，若，参考小明的画法，请在图4中作出一个，使与互补（），并直接写出的度数．（3）【拓展延伸】如图5，已知，若与互补，射线平分，射线平分．请根据题意，补全图形，并求的度数．【答案】（1），90，等量代换；（2）作图见解析，；（3）补全图形见解析，的度数为或【解析】【分析】本题主要考查角平分线的定义，余角和补角，灵活运用角平分线的定义求解角度之间的关系是解题的关键．（1）根据角平分线的性质得到，利用垂直的定义得到，根据等量代换推出，即可证明；（2）若构造平角（），所以通过构造平角，如图，作的延长线线，利用量角器作出的平分线，根据，，即可求出；（3）分射线在的内部，射线在的外部；两种情况讨论．【详解】（1）证明： 射线平分（已知），（角平分线的定义），BOC ∠=90AOD ∠=︒AOC COD ∠+∠=︒90AOC BOC Ð+Ð=°AOC ∠BOC ∠40AOB ∠=︒AOE ∠AOE ∠∠BOE AOE BOE ∠>∠AOE ∠90180AOB ββ∠=︒<<︒（）AOB ∠BOC ∠OM AOB ∠ON BOC ∠MON ∠COD ∠110AOE ∠=︒MON ∠90︒90β-︒BOC COD ∠=∠90AOC COD Ð+Ð=°90AOC BOC Ð+Ð=°BOD ∠AOE BOE ∠<∠AOD ∠AO OD BOD ∠OE 180140BOD AOB ∠=︒-∠=︒1702BOE EOD BOD ︒∠=∠=∠=AOE ∠OC AOB ∠OC AOB ∠ OC BOD ∠∴BOC COD ∠=∠，即，（等量代换），即与互余，故答案为：，90，等量代换；（2）若构造平角（），所以通过构造平角，如图，作的延长线线，利用量角器作出的平分线，射线平分（已知），（角平分线的定义），，（等量代换），即与互补，，，，；（3）如图5，当射线在的外部时，延长到点C ，利用量角器作出的平分线，利用量角器作出的平分线，，，平分，平分，90AOD ∠=︒90AOC COD Ð+Ð=°∴90AOC BOC Ð+Ð=°AOC ∠BOC ∠COD ∠BOD ∠AOE BOE ∠<∠AOD ∠AO OD BOD ∠OE OE BOD ∠∴BOE EOD ∠=∠ 180AOE EOD ∠+∠=︒∴180AOE BOE ∠+∠=︒AOE ∠∠BOE 40AOB ∠=︒180140BOD AOB ∴∠=︒-∠=︒∴1702BOE EOD BOD ︒∠=∠=∠=∴110AOE AOB BOE ∠=∠+∠=︒OC AOB ∠AO BOC ∠ON AOB ∠OM 180AOB BOC ∠+∠=︒ 180BOC β∴∠=︒- OM AOB ∠ON BOC ∠，，；如图6，当射线在的内部时，延长到点D ，利用量角器作出，利用量角器作出的平分线，利用量角器作出的平分线，，，，，平分，平分，，，；综上，的度数为或．1122MOB AOB β∴∠=∠=119022BON BOC β∠=∠=︒-90MON MOB BON ∴∠=∠+∠=︒OC AOB ∠AO BOC BOD ∠=∠BOC ∠ON AOB ∠OM BOC BOD ∠=∠180AOB BOD ∠+∠=︒∴180AOB BOC ∠+∠=︒180BOC β∴∠=︒- OM AOB ∠ON BOC ∠1122MOB AOB β∴∠=∠=119022BON BOC β∠=∠=︒-90MON MOB BON β∴∠=∠-∠=-︒MON ∠90︒90β-︒。

桂林市2017-2018学年度下学期期末质量检测高一年级数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）AC2）A．2 C．43．已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为（）A．11 B．22 C．33 D．444．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（）A．1 B．2 C．3 D．451坐标为（）A 1⎛⎫6 ）AC7 ）A84 ）A ．8B ．5C ．3D ．29120 ）A．2 C．410）A11其中正确的判断是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12取值范围是（）A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1314．生物兴趣小组的同学到课外调查某种植物的生长情况，共测量了30株该植物的高度（单位：厘米），并画出样本频率分布直方图如图，则高度不低于25厘米的有株．e的方程是2x15．已知O的轨迹方程是．1612，则三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（1（218．在桂林市某中学高中数学联赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图.分数在85分或85分以上的记为优秀.（1）根据茎叶图读取出乙学生6次成绩的众数，并求出乙学生的平均成绩以及成绩的中位数；（2）若在甲学生的6次模拟测试成绩中去掉成绩最低的一次，在剩下5次中随机选择2次成绩作为研究对象，求在选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的概率.19． 已知角,αβ的顶点在（1（2.20．（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，并估.21． 已知函数()24sin 4f x π⎛=⎝（1（2（32，求.22． 半径为2右上方.（1（2），不存在，请说明理由.桂林市2017—2018学年度下学期期末质量检测高一年级数学参考答案一、选择题1-5:CACBA 6-10:DACBB 11、12：CD二、填空题13．15 15三、解答题17．解：（1（218．解：（1）由茎叶图可以得出：乙六次成绩中的众数为94.（2）将甲六次中最低分64去掉，得五次成绩分别为78,79,83,88,95.从五次成绩中随机选择两次有以下10其中满足选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的有7种.19．解：（1（220．解：（1）根据表中数据，绘制散点图如图所示（2）依题意，计算21．解：（1（2（3)...22．解：（1（2所以。

桂林市2008～2009学年度高一下学期期末质量检测(数学)说明：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分 2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效） 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．已知半径为120mm 的圆上，有一段弧的长是144mm ，此弧所对的圆心角的弧度数为A ．1.44B ．1.2C ．3πD ．2π2．若43sin(),sin()525ππθθ+=-=，则θ角的终边在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若向量(4,2)a =，向量(6,)()b k k R =∈，且//a b ，则k 的值为 A ．12 B ．12- C ．3 D ．3-4．已知||2,||3,||a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒5．已知1sin ()42x x ππ=<<，则x 等于A ．1arcsin4 B ．1arcsin 4π- C ．1arcsin 4π+ D ．1arcsin24π+6．已知(2,7)M -、(10,2)N -，点P 是线段MN 上的点，且2PN PM =-，则P 点的坐标为A ．(14,16)-B ．(22,11)-C ．(6,1)D ．(2,4)7．函数3()tan(),()510f x x x k k z πππ=+≠+∈的单调区间是A ．(,),22k k k zππππ-++∈ B ．37(,),1010k k k z ππππ-++∈C ．73(,),1010k k k z ππππ-++∈ D ．(,),55k k k z ππππ-++∈8．函数sin(2)3y x π=+的图像是 A ．关于原点成中心对称图形 B ．关于y 轴成轴对称图形C ．关于点(,0)12π成中心对称图形 D ．关于直线12x π=成轴对称图形9．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则2()3f π的值为A． B．-C ．12D ．12-10．在ABC ∆中，已知||4,||2,AB AC ABC ==∆的面积ABC S ∆=则A B A C ⋅的值为A ．2-B ．2C ．4-或4D ．2-或211．在ABC ∆中，已知三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c若10,30a c A ︒===，则B 等于A ．105︒B ．45︒C ．15︒D ．105︒或15︒12．如右图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列向量中终点落在阴影区域内的向量有①2OA OB +； ②3143OA OB +； ③1123OA OB +； ④3145OA OB-A ．①②B ．①②④C ．①②③④D ．③④第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年广西桂林市田家炳中学高一上学期11月期中测试数学试题一、单选题1．已知集合{}|1A x x =>-，则下列结论正确的是（ ）A ．0A ⊆B ．A ∅∈C ．{}0A ∈D ．0A ∈【答案】D【分析】元素和集合之间的关系为属于或不属于，而两集合之间的关系为包含或不包含，故ABC 均表示方法错误，D 正确.【详解】0A ∈，A ∅⊆，{}0A ⊆，故ABC 错误，D 正确.故选：D2．命题“x ∃∈R ，21x x ≥+”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，21x x ≥+B ．x ∀∈R ，21x x <+C ．x ∃∈R ，21x x <+D ．x ∃∈R ，21x x >+ 【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可的解.【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“x ∃∈R ，21x x ≥+”的否定是x ∀∈R ，21x x <+.故选：B.3．“4ab >”是“2a >且2b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据a 、b 的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】解：取5a =-，=5b -满足4ab >，但不满足2a >且2b >，即“4ab >”推不出“2a >且2b >”；由2a >且2b >时，可推得4ab >.∴“4ab >”是“2a >且2b >”的必要不充分条件，故选：B ．4．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭x x ，则a b +的值为（ ）A ．-10B ．-14C ．10D ．14【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a 、b ，即可得结果.【详解】由题意，12-和13是方程220ax bx ++=的两个根， 由韦达定理得：1123b a -+=-且11223a -⨯=，解得：12a =-，2b =-，所以14a b +=-.故选：B5．函数()f x = ）A ．{}|01x x ≤<B ．{}|1x x ≠C ．{|02x x ≤<且}1x ≠D ．以上都不对【答案】D【分析】要使函数()f x =,列不等式求解即可.【详解】由题意知, 220x x -≥且10x -≠,即220x x -≤且10x -≠,解得02x ≤≤且1x ≠,故()f x ={02x x ≤≤且}1x ≠.故选:D .6．定义在R 上的函数()f x x x =，则f （x ）是（ ）A ．既是奇函数，又是增函数B ．既是奇函数，又是减函数C ．既是偶函数，又是增函数D ．既是偶函数，又是减函数【答案】A【分析】利用奇函数与函数单调性的定义，可判断函数既是奇函数，又是增函数．【详解】∵函数定义域为R ，且()()f x x x f x -=-=-，所以函数为奇函数，又∵当0x ≥时()2f x x =为增函数，所以f （x ）在R 上为增函数故选A ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生的探究能力，属于基础题．7．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】根据二次函数的单调性列式可求出结果.【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上单调递减，所以(1)4a --≥，解得3a ≤-.故选：A8．设a 为常数，对于x ∀∈R ，210ax ax ++>，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,∞+D ．(),4-∞【答案】B【分析】对参数a 的取值分类讨论，结合二次函数在R 上恒成立问题的处理方法，求解即可.【详解】当0a =时，原不等式等价于10>，满足题意；当0a ≠时，若要满足题意，需0a >且240a a ∆=-<，解得()0,4a ∈，综上所述：[)0,4a ∈.故选：B.二、多选题9．下列各函数不是同一函数的是（ ）A ．y x =与yB ．x y x =与0y x =C ．2y =与y x =D ．y =与y =【答案】ACD【分析】分别分析各个选项中函数的定义域,对应关系及值域，即可选出正确答案.【详解】对于A ：y x =值域为R ，||y x =值域为[)0+∞，,故A 两个函数不是同一函数; 对于B ：01y x ==，1x y x==，定义域均为{|0}x x ≠,对应关系相同，故B 两个函数是同一函数;对于C ：y x =定义域为R ，2y =定义域为[)0,∞+，故C 两个函数不是同一函数;对于D ：y =[)1,+∞，对于y ()()110x x +-≥， 则定义域为(][),11,-∞-⋃+∞，故D 两个函数不是同一函数;故选：ACD .10．设0a b >>，0c ≠，则（ ）A ．ac bc >B ．22a b c c >C ．110a b <<D ．a c b c +>+ 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质可以判断每一个选项的真假，即得解.【详解】解：A. ac bc >，当0c <时，不等式不成立，所以该选项错误；B. 22a b c c >，根据不等式的性质可判断该选项正确； C. 根据不等式的性质得到110a b <<，所以该选项正确；D. 根据不等式的性质得到a c b c +>+，所以该选项正确.故选：BCD11．下列各图中是函数图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【分析】根据函数的概念进行判断【详解】根据函数的定义:任意垂直于x 轴的直线与函数图像至多有一个交点.故BD 满足要求. 故选：BD .12．下列说法中正确的有（ ）A ．对任意的,a b R ∈，都有2a b ab +≥B ．若a b >，c d >，则a d b c ->-C ．若,(0,)a b ∈+∞，则2b a a b+≥ D ．若正实数,x y 满足21x y +=，则218x y+≥ 【答案】BCD【分析】结合基本不等式、不等式的知识确定正确选项.【详解】A ，当,a b 为负数时，a b +≥A 错误.B ，,,a b c d d c a d b c >>->-⇒->-，所以B 正确.C ，,(0,)a b ∈+∞，则2b a a b +≥=，当且仅当a b =时等号成立，所以C 正确.D ，()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当41,22y x x y x y ===时等号成立，所以D 正确.故选：BCD三、填空题13．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．【答案】3【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()a y f x x ==，由于图象过点(,12,2a a =， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14．学校运动会上，某班所有同学都参加了篮球或排球比赛．已知该班共有22人参加了排球赛，共有26人参加了篮球赛，既参加排球又参加篮球赛的有4人．则该班的学生人数是______．【答案】44【分析】设该班参加排球赛的同学所组成的集合为A ，参加排球赛的同学所组成的集合为B ，根据集合的运算结合条件求出该班的学生人数.【详解】设该班参加排球赛的同学所组成的集合为A ，参加排球赛的同学所组成的集合为B ，则既参加排球又参加篮球赛的的同学的所组成的集合为A B ⋂，由条件可得集合A 中的元素个数为22，集合B 中的元素个数为26，集合A B ⋂中的元素个数为4，所以集合A B ⋃中的元素个数为26+22-4，即44，又该班所有同学都参加了篮球或排球比赛，所以该班的学生人数是44.故答案为：44.15．函数22y x x =+，[]2,2x ∈-的值域是_________.【答案】[]1,8-【分析】配方得()211y x =+-，根据二次函数的性质即可求解.【详解】()22211y x x x =+=+-，故当=1x -时，min 1y =-；当2x =时，()2max 2118y =+-=.故函数22y x x =+，[]2,2x ∈-的值域是[]1,8-.故答案为:[]1,8-.16．将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为_________元.【答案】70【分析】根据总利润=销售量⨯每个利润．设售价为x 元，总利润为W 元，则销售量为50010(50)x --，每个利润为(40)x -，表示总利润，然后根据函数性质求最大值．【详解】设售价为x 元，总利润为W 元，则()22(40)[50010(50)]1014004000010709000W x x x x x =---=-+-=--+，当70x =时，W 最大，最大的利润max 9000W =元；即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元．故答案为: 70.四、解答题17．求下列不等式的解集：(1)2230x x -->(2)290x -+≥【答案】(1)()(),13,-∞-+∞(2)[]3,3-【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）将原不等式转化为290x -≤，再由一元二次不等式的解法即可求解；【详解】（1）由2230x x -->可得()()310x x -+>，所以原不等式的解集为：()(),13,-∞-+∞（2）由290x -+≥可得290x -≤，解得：33x -≤≤，所以原不等式的解集为：[]3,3-.18．解关于x 的不等式21()0x a x a -++．【答案】答案见解析.【分析】原不等式可化为()(1)0x a x --．通过对a 与1的大小关系分类讨论即可得出．【详解】原不等式可化为()(1)0x a x --．（1）当1a >时，1x a ，（2）当1a =时，1x =，（3）当1a <时，1a x ．综上所述，当1a >时，不等式的解集为{|1}x x a ；当1a =时，不等式的解集为{|1}x x ；当1a <时，不等式的解集为{|1}x a x ．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．19．设函数()22,1,122,2x x f x x x x x +<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩. (1)求()3f -，32f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； (2)若()12f a =，求a 的值. 【答案】(1)()31f -=-，3922f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (2)32-或【分析】（1）根据函数的解析式，求得()3f -，32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得到32f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. （2）根据函数的解析式，分1a <-，12a -≤<和2a ≥三种情况讨论，即可求解.【详解】（1）()3321f -=-+=-； 又2339224f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以399242f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. （2）①当1a <-时，()13222f a a a =+=⇒=-，满足题意； ②当12a -≤<时，()212f a a a ==⇒= ③当2a ≥时，()112224f a a a ==⇒=<，不满足题意. 综上①②③：a 的值为32-或20．证明函数()11f x x=+在()0,∞+上单调递减. 【答案】证明见解析.【分析】根据函数单调性的定义法证明即可.【详解】证明：设()12,0,x x ∀∈+∞，且120x x <<，则()()211212121111x x f x f x x x x x --=+--= 因为120x x <<，所以：12210,0x x x x >->，所以()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>即函数()11f x x=+在()0,∞+上单调递减. 21．已知集合{}|18A x x =<<，{}|12B x m x m =-≤<.(1)当1m =时，求,A B A B ；(2)若B 是A 的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}|12x x <<；{}|08x x ≤<(2)(](],12,4-∞-【分析】（1）先代入m 值化简集合B ，再利用集合的交并运算即可得解；（2）由充分条件的性质得到B A ⊆，再分类讨论B =∅与B ≠∅两种情况，给合数轴法即可得解.【详解】（1）当1m =时，集合{}{}|12|02B x m x m x x =-≤<=≤<，又因为{}|18A x x =<<，所以{}{}|12|08A B x x A B x x =<<=≤<，.（2）因为B 是A 的充分条件，所以B A ⊆，因为{}|18A x x =<<，{}|12B x m x m =-≤<，当B =∅时，B A ⊆，此时12m m -≥，则1m ≤-；当B ≠∅时，1m >-，此时1128m m ->⎧⎨≤⎩，得24m <≤，故24m <≤； 综上：1m ≤-或24m <≤，故实数m 的取值范围为(](],12,4-∞-.22．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22f x x x =--.(1)求函数()f x 的解析式，并画出函数图像；(2)解不等式()()2220f x f x x -+->.【答案】(1)()222,02,0x x x f x x x x ⎧-->=⎨-≤⎩，图像见解析 (2)1,2【分析】（1）由奇偶性求出函数解析式，画出函数图像；（2）利用奇偶性对不等式化简，数形结合求不等式解集.【详解】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22f x x x =--， 所以当0x =时()00f =；设0x <时，则0x ->可得()()()2222f x x x f x f x x x -=-+=-⇒=-所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧-->=⎨-≤⎩.（2）由（1）可得：()f x 在定义域内单调递减，不等式()()()()()22220222f x f x x f x x f x f x -+->⇒->--=-，即222220x x x x x -<-⇒--<，解得：12x -<<.所以，解集为1,2。

2018-2019学年广西南宁市第二中学高一下学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（ ） A ．3|2A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．3|2A B x x ⎧⎫⋃=<⎨⎬⎩⎭D ．A B R =【答案】A【解析】先化简集合B ，根据交集与并集的概念，即可得出结果。

【详解】因为3{|320}{|}2=->=<B x x x x ，{|2}A x x =<， 所以3|2A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{|2}A B x x ⋃=<. 故选A 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．设12,0,,22α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．0，2 B ．0，-2 C ．12D ．2【答案】D【解析】根据幂函数的性质，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】若函数y x α=的定义域是R ，则0α>；又函数y x α=为偶函数，所以α只能使偶数；因为12,0,,22α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，所以α能取的值为2.故选D 【点睛】本题主要考查幂函数性质的应用，熟记幂函数的性质即可，属于常考题型. 3．下列函数的最小值为2的是（ ）A ．1lg lg y x x=+B ．224y x =+C ．22x x y -=+D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭【答案】C【解析】分析：利用基本不等式的性质即可判断出正误，注意“一正二定三相等”的使用法则．详解：A.lg 0x <时显然不满足条件； B .2222142,244y x x x ==++≥+++其最小值大于2．D .(0)012x sinnx ，，（，），π∈∴∈ 令110122sinx t y t t t t =∈∴=+⋅=（，），＞， 因此不正确． 故选C.点睛：本题考查基本不等式，考查通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．4．某空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】先由三视图还原几何体，再由题中数据，结合棱锥的体积公式，即可得出结果. 【详解】由三视图可得，该几何体为底面是直角梯形，侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示：由题意可得其体积为：111(12)222332梯形=⋅=⋅⋅+⋅⋅=ABCD V S PA故选B 【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积，熟记棱锥的结构特征以及体积公式即可，属于常考题型. 5．已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．45【答案】A 【解析】∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11tan α3tan α12-==+，.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选：A6．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，77a =，则4a =( ) A ．4 B ．4-C ．5D ．5-【答案】C【解析】试题分析：()()1101047410560,52a a S a a a ⋅+==+==.【考点】等差数列的基本概念.7．已知函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A ．sin(22)y x π=+ B ．sin(2)4y x π=+ C ．sin(4)2y x π=+D ．sin(4)4y x π=+【答案】B【解析】【详解】 由图象可知732()88T πππ=-=,所以22T πω==,又因为32,84ππϕπϕ⨯+=∴=, 所以所求函数的解析式为sin(2)4y x π=+.8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥ D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥【答案】D【解析】根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行、相交、或异面；故A 错；B 选项，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可能平行或异面；故B 错；C 选项，若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，如果再满足αβ⊥，才会有则n 与β垂直，所以n 与β不一定垂直；故C 错；D 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故D 正确. 故选D 【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.9．已知函数()y f x =在区间(－∞,0)内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】A【解析】根据函数为偶函数化简,,a b c ，然后根据单调性求得,,a b c 的大小. 【详解】由于()()f x f x -=，所以函数为偶函数，且在()0,∞+上递减.()122log 3log 3a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，注意到 1.22 1.211log 312022->>>=>，所以根据单调性有b c a >>，故选A. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10．函数cos tan y x x =⋅ ()22x ππ-<<的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状． 【详解】由题意得sin ,02sin ,02x x y cosx tanx x x ππ⎧≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪--<<⎪⎩，所以其图象的大体形状如选项C 所示． 故选C ． 【点睛】解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题． 11．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A.()f x 在（0，2）单调递增 B.()f x 在（0，2）单调递减C.()y =f x 的图像关于直线x=1对称D.()y =f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 12．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A．B．C．D．【答案】B 【解析】【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得。

2015-2016学年某某某某市高一（上）期末数学试卷一、选择题（12*5=60’）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}2．已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（）A．10 B．20 C．30 D．403．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．f（x）=3x B．C．D．4．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或 26．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．7．若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）8．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．9．空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（）A．10 B．6 C．8 D．510．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．11212．已知函数f（x）=log2（a2x﹣4a x+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值X 围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2log a2）D．（2log a2，+∞）二、填空题（4*5=20’）.13．计算： =．14．直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是．15．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．16．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF==a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为．三、解答题（共6题，70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.）17．求下列函数的定义域：（1）f（x）=log2（2）f（x）=．18．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．（1）求直线BC的方程；（2）求边BC上高AD所在的直线方程．19．已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．20．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．22．已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，某某数k的取值X围．2015-2016学年某某某某市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12*5=60’）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，C U B={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，又∵∁U B={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}，故选：A．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】利用两点间距离公式求解．【解答】解：∵平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），∴|AB|==10．故选：A．【点评】本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．3．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．f（x）=3x B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数 f（x）=3x，f（x）=，f（x）=﹣在（0，+∞）上为增函数，故排除．利用对数函数的性质可得在（0，+∞）上为减函数，满足条件，从而得出结论．【解答】解：由于函数 f（x）=3x，f（x）=，f（x）=﹣在（0，+∞）上为增函数，故排除．由对数函数的性质可得在（0，+∞）上为减函数，满足条件，故选B．【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．4．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．【解答】解：f（x）=，则f（f（﹣2））=f（2﹣2）=f（）=1﹣=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或 2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用幂函数的定义与性质求解即可．【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，所以m2﹣m﹣1=1，并且m＞0，解得m=2．【点评】本题考查幂函数的断断续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查．6．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题；分类讨论．【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．7．若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性及奇偶性，即可得出结论．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），∵函数是偶函数，∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．9．空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（）A．10 B．6 C．8 D．5【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】取AD中点P，连结MP、NP，则MP∥BD，NP∥AC，从而∠MPN=90°，MP=3，PN=4，由此能求出MN．【解答】解：∵空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，∴取AD中点P，连结MP、NP，则MP∥BD，NP∥AC，∴∠MPN=90°，MP=3，PN=4，∴MN==5．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】常规题型；数形结合．【分析】由条件ab=1化简g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案【解答】解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选B【点评】本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，故该几何体的体积是64+8=72．故选B．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．12．已知函数f（x）=log2（a2x﹣4a x+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值X 围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2log a2）D．（2log a2，+∞）【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】首先利用对数函数的单调性得到a2x﹣4a x+1＞1，然后整理，利用指数函数的单调性求xX围．【解答】解：由题意，使f（x）＞0成立即log2（a2x﹣4a x+1）＞0，所以a2x﹣4a x+1＞1，整理得a x＞4，且0＜a＜1，所以x＞log a4=2log a2；故选D．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的性质运用；注意底数与1的关系．二、填空题（4*5=20’）.13．计算： =．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】利用对数的运算性质=mlog a b即可得到答案．【解答】解：∵ +20=+20=+1=．故答案为：．【点评】本题考查对数与指数的运算性质，属于基础题．14．直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是 4 ．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用两条平行线间的距离公式，可得结论．【解答】解：∵直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+15=0平行，∴利用两条平行线间的距离公式，可得=4故答案为：4【点评】本题考查两条平行线间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．15．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题．【分析】根据已知中AD⊥BC于D，易得沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，∠BDC即为二面角B ﹣AD﹣C的平面角，解三角形BDC即可求出二面角B﹣AD﹣C的大小．【解答】解：∵AD⊥BC∴沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，AD⊥BD，AD⊥CD故∠BDC即为二面角B﹣AD﹣C的平面角又∵BD=CD=，∴∠BDC=60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，解答的关键是求出二面角的平面角，将问题转化为一个解三角形问题．16．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF==a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为．【考点】平面与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由面面垂直的性质证明CB⊥AG，用勾股定理证明AG⊥BG，得到AG⊥平面CBG，从而面AGC⊥面BGC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，故∠BGH是GB与平面AGC所成的角，解Rt△CBG，可得GB与平面AGC所成角的正弦值．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴A G=BG=a，AB=2a，∴AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG，∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．在Rt△CBG中，BH==，BG=a，∴sin∠BGH==．故答案为：．【点评】本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（共6题，70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.）17．求下列函数的定义域：（1）f（x）=log2（2）f（x）=．【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．【解答】解：（1）要使函数有意义，则3x﹣2＞0，即x＞，即函数的定义域为（，+∞）．（2）要使函数有意义，则4﹣2x≥0，即2x≤4，得x≤2，即函数的定义域为（﹣∞，2]．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．18．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．（1）求直线BC的方程；（2）求边BC上高AD所在的直线方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用两点式求直线BC方程；（2）由（1）可求AD的斜率，利用点斜式求AD方程．【解答】解：（1）因为B（1，﹣2），C（﹣2，3）．所以直线BC的方程：整理得5x+3y+1=0；（2）因为边BC上高AD，所以AD 的斜率为，又A（2，4），所以AD的方程为y﹣4=（x ﹣2），整理得所求方程：3x﹣5y+14=0．【点评】本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点斜式求直线方程．19．已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的解析式画出函数的图象．（2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点．【解答】解：（1）函数草图，如图所示：f（x）=x2﹣1（x＜1）过点（0，﹣1），（﹣1，0），显然f（x）=x2﹣1（x＜1）与都过点（1，0），且过点（2，﹣1）．（2）y=f（x）的值域为R，y=f（x）的单调增区间：[0，1]，y=f（x）的零点为x1=﹣1，x2=1．【点评】本题主要考查函数的图象和性质的综合应用，分段函数的应用，属于基础题．20．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．【专题】应用题．【分析】（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．由题意设f（x）=k1x，．由图知，∴又g（4）=1.6，∴．从而，（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．（0≤x≤10）令，则=当t=2时，，此时x=10﹣4=6答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB 的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．【点评】本题考查直线与平面的平行与垂直，着重考查直线与平面平行的判定定理与直线与平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．22．已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，某某数k的取值X围．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数便有，这样即可求出a，b，从而得出；（2）分离常数得到，可看出f（x）在R上单调递减，根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，证明f（x1）＞f（x2），这样便可得出f（x）在R上单调递减；（3）根据f（x）为奇函数且为减函数便可得到kx2＜1﹣2x对任意恒成立，从而有对任意恒成立，可设，求导数g′（x），根据导数符号便可得出x=1时，g（x）取最小值﹣1，从而得出k的取值X围．【解答】解：（1）f（x）为R上的奇函数；∴；解得a=2，b=1；∴；（2）；x增大时，f（x）减小，f（x）在R上为减函数，证明如下：设x1＜x2，则：=；∵x1＜x2；∴，；又；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在R上单调递减；（3）f（x）为R上的奇函数，∴由f（kx2）+f（2x﹣1）＞0得：f（kx2）＞f（1﹣2x）；又f（x）单调递减；word∴kx 2＜1﹣2x对任意恒成立；∴对任意x恒成立；设g（x）=，；∴时，g′（x）＜0，x∈（1，3]时，g′（x）＞0；∴x=1时，g（x）取到最小值﹣1；∴k＜﹣1；∴实数k的取值X围为（﹣∞，﹣1）．【点评】考查奇函数、减函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，分离常数法的运用，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，根据导数符号求函数的最值的方法．21 / 21。

2014-2015学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．=（）A．B．C．D．2．若三点A（2，3），B（3，4），C（a，b）共线，则有（）A． a=3，b=﹣5 B． a﹣b+1=0 C． 2a﹣b=3 D． a﹣2b=03．圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含4．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是（）A．B．πC． 2πD． 3π5．将两个数a=2，b=﹣1交换，使a=﹣1，b=2，下列语句正确的是（）A．B．C．D．6．根据甲、乙两名篮球运动员某赛季9场比赛得分的茎叶图，可知（）A．甲运动员的成绩好，乙运动员发挥稳定B．乙运动员的成绩好，甲运动员发挥稳定C．甲运动员的成绩好，且发挥更稳定D．乙运动员的成绩好，且发挥更稳定7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．如图所示的程序框图，其运行结果（即输出的S值）是（）A． 5 B． 20 C． 30 D． 429．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”10．在△ABC中，已知=（cos18°，cos72°），=（2cos63°，2cos27°），则cos∠B 等于（）A．﹣B．C．﹣D．11．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（1，0），M（2，﹣2）为线段QR的中点，则A=（）A． 2B．C．D． 412．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．B． [2，4] C． [3，6] D． [4，6]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。