18.2 一元二次方程的解法(直接开平方法)

一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2
≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02
≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2
()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是
21,240)2b x b ac a
-±=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两
个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3．易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二
次方程一般形式中0≠a .
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.。

一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法3种题型）1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.2.运用开平方法解形如x 2=p 或（x+n) 2=p (p≥0)的方程.3.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程.4.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想.知识点1：直接开平方法形如x 2＝p 或（nx +m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得x ＝±；如果方程能化成（nx +m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么nx +m ＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．知识点2：配方法（1）将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点3：配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常题型1：用直接开平方法解一元二次方程例1．（2022秋•江都区校级期末）方程x 2＝4的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝﹣2C ．x 1＝2，x 2＝﹣2D ．x 1＝4，x 2＝﹣4【分析】根据直接开平方解方程即可．【解答】解：直接开平方得：x ＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C ．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．例2．（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x 2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x 2＝49，x 2＝， ∴，∴x 1＝，x 2＝﹣；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0，（2x ﹣1）2＝25，∴2x ﹣1＝±5，∴x 1＝3，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 例3.解关于x 的方程：251250x −=．【答案】15x =，25x =−．【解析】整理方程，即得225x =，直接开平方法解方程，得：x = 即方程两根为15x =，25x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例4.解关于x 的方程：290x =． 【答案】153x =，253x =−．【解析】整理方程，即得2259x ==，直接开平方法解方程，得：x =， 即方程两根为153x =，253x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例5.解关于x )225x −=【答案】14x =，21x =．【解析】整理方程，即得()2259x −==，直接开平方法解方程，得：253x −==±， 得253x −=或253x −=−，即方程两根为14x =，21x =．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b +=例6.解关于x 的方程：()()222332x x +=+．【答案】11x =，21x =−．【解析】直接开平方法解方程，即得()2332x x +=±+，得2332x x +=+或()2332x x +=−+， 即得方程两根为11x =，21x =−．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+．例7.解关于x 的方程： ()()22425931x x −=−． 【答案】1135x =，2713x =−． 【解析】整理方程，即为()()22225331x x −=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，直接开平方法解方程，即得()()225331x x +=±−，得()()225331x x +=−或()()225331x x +=−−，解得方程两根 分为1135x =，2713x =−． 【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+．例8.解关于x 的方程：()2222x a a ab b −=++．【答案】12x a b =+，2x b =−．【解析】整理方程，即为()()22x a a b −=+，直接开平方法解方程，即得()x a a b −=±+， 得：x a a b −=+或()x a a b −=−+，解得方程两根分为12x a b =+，2x b =−．【总结】直接开平方法解形如()22ax b c +=的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得ax b c +=±． 题型2：用配方法解一元二次方程例9．（2022秋•秦淮区期末）解方程：x 2﹣6x +4＝0（用配方法）【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x 2﹣6x ＝﹣4，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x 2﹣6x +9＝﹣4+9，即（x ﹣3）2＝5，∴x ＝±+3， ∴x 1＝+3，x 2＝﹣+3．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例10.用配方法解方程：22330x x −−=．【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴12x x ==． 【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成()()20x m n n +=≥的形式，然后用直接开平方法求解即可．例11.用配方法解方程：220130y −−=．【答案】145y =，245y =．【解析】由220130y −−=，得2122025y −+=，即2(2025y −=，所以45y −=±， 所以原方程的解为：145y =，245y =−． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例12.用配方法解方程：225200x x −−+=．【答案】154x =−+，254x =−． 【解析】由225200x x −−+=，得225200x x +−=，即251002x x +−=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =−±所以原方程的解为：154x =−+，254x =−． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方． 例13.用配方法解方程：210.30.2030x x −+=． 【答案】1213x x ==． 【解析】由210.30.2030x x −+=，得213203x x −+=，即221039x x −+=， 所以21()03x −=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方． 题型3：配方法的应用例14．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a 2﹣12a +22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a 2﹣6a ）+22＝2（a 2﹣6a +9）﹣18+22＝2（a ﹣3）2+4，∵无论a 取何值，2（a ﹣3）2≥0，∴代数式2（a ﹣3）2+4≥4，即当a ＝3时，代数式2a 2﹣12a +22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a 2+6a ﹣8的最值为（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣8C ．最大值﹣11D ．最小值﹣5【分析】根据题意把代数式﹣3a 2+6a ﹣8配成﹣3（a ﹣1）2﹣5的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值．【解答】解：由题意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8＝﹣3（a﹣1）2﹣5，∵无论a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，∴代数式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即当a＝1时，代数式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，故选：A．【点评】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式．例15．（2023春•吴江区期中）我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值．【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出即可．【解答】解：已知等式变形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+1）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣1，b＝2，则a+b＝﹣1+2＝1．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．例16．（2023春•吴中区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．【分析】（1）根据x2+4xy+5y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y计算即可；（2）根据a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b 的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可．【解答】解：（1）∵x 2+4xy +5y 2+6y +9＝0，∴（x 2+4xy +4y 2）+（y 2+6y +9）＝0，∴（x +2y ）2+（y +3）2＝0，∴x +2y ＝0，y +3＝0，∴x ＝6，y ＝﹣3，∴x ﹣y ＝6﹣（﹣3）＝9．（2）∵a 2﹣4a +2b 2﹣4b +6＝0，∴（a 2﹣4a +4）+（2b 2﹣4b +2）＝0，∴（a ﹣2）2+2（b ﹣1）2＝0，∴a ﹣2＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝2，b ＝1，∵2﹣1＜c ＜2+1，∴1＜c ＜3，∵c 为正整数，∴c ＝2．【点评】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．例17.已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程22320x kx k −+=的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【答案】2k =．【解析】由22320x kx k −+=，得(2)()0x k x k −−=，所以x k =或者2x k =．当2k =时，2x =和4x =，满足三角形三边关系，当4k =时，4x =和8x =，不满足三角形三边关系． 所以2k =时，△ABC 是等腰三角形【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题．一、单选题【答案】D【分析】根据直接开方法求解即可．【详解】解：290x -=， 29x =直接开方得：13x =，23x =−，故选：D ．【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握此方法是解题关键．2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）一元二次方程2680x x −−=，经过配方可变形为（ ） A ．2(3)17x −=B ．2(3)1x −=C ．2(3)17x +=D ．2(6)44x −=【答案】A【详解】解：方程移项得：268x x −=， 配方得：26989x x −+=+，即2(3)17x −=．故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）已知实数a b ，满足21a b +=，则代数式22241a b a +−−的最小值等于（ ）A ．1B ．4−C ．8−D ．无法确定【答案】C【分析】由已知得21b a =−，代入代数式即得22241a b a +−−变形为()22141a a a +−−−，再配方，即可求解．【详解】解：∵21a b +=，∴21b a =−，代入代数式即得22241a b a +−−，得()22141a a a +−−−，261a a =−+， ()238a =−−，∵()230a −≥，∴()2388a −−≥−， ∴22241ab a +−−的最小值等于8−，故选：C【点睛】本题考查配方法的应用，通过变形将代数式化成()238a −−是解题的关键． 4．（2023·江苏苏州·一模）已知关于x 的一元二次方程()20m x h k −−=（m ，h ，k 均为常数且0m ≠）的解是12x =，25x =，则关于x 的一元二次方程()21m x h k −+=的解是（ ）A ．12x =−，25x =−B ．14x =−，21x =−C ．11x =，24x =D ．13x =−，26x =− 【答案】C【分析】把()21m x h k −+=看作关于(1)x +的一元二次方程，则12x +=或15x +=，然后解两个一次方程即可．【详解】解：方程2()0(m x h k m −−=、h ，k 均为常数且0)m ≠的解是12x =，25x =， ∴对于关于(1)x +的一元二次方程()21m x h k −+=的解，即12x +=或15x +=，即11x =，24x =，∴关于x 的一元二次方程2(3)m x h k −+=的解是11x =，24x =．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如2x p =或2()(0)nx m p p +=≥的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【答案】A【分析】勾股定理可得：()2222OP x x =++ ，再利用配方法求解2OP 的最小值，再求解OP 的最小值，从而可得答案．【详解】由勾股定理可得： ()()222222244212OP x x x x x =++=++=++当1x =−时， 2OP 有最小值2∴OP 的最小值为 1>所以A 不符合题意，B ，C ，D 都有可能，符合题意故选A【点睛】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．【答案】D【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果【详解】解：方程整理得：285x x −=−，配方得：281611x x −+=，即2411x −=（）． 故选：D ．【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式．二、填空题7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）一元二次方程2430x x −+=配方为()22x k −=，则k 的值是______．【答案】１【分析】将原方程2430x x −+=变形成与()22x k −=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430x x −+=243101x x −++=+2441x x −+=()221x −=∴1k =故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 8．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）用配方法解方程21070x x +−=，方程可变形为()2x m n +=，则m =_________，n =__________．【答案】 5 34【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：21070x x +−=，∴2107x x +=，∴2102534x x ++=，即()2534x +=，∴5m =，34n =．故答案为：5，34【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 9．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：2()0m x a b −+=与2()0n x a b −+=，称为“同类方程”．如22(1)30x −+=与26(1)30x −+=是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”．那么代数式22022ax bx ++能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”，∴22(6)(8)6(6)(1)1a x b x a x +−++=+−+，∴22(6)(8)6(6)(6)72a x b x a x a x a +−++=++−++， ∴()82667b a a ⎧+=+⎨=+⎩，解得：12a b =−⎧⎨=⎩，∴22022ax bx ++222022x x =−++()212023x =−−+∴当1x =时，22022ax bx ++取得最大值为2023．故答案为：2023．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）已知实数x 、y 、z 满足224422018x x y y xy z −++−+=，则实数z 的最大值为 __．【答案】2022【分析】仔细观察等式左侧，先将多项式进行分组，再利用配方法化简其形式，最后根据平方的非负性确定z 的最大值.【详解】解：224422018x x y y xy z −++−+=，222442018x xy y x y z ∴−+−++=，2()4()2018x y x y z ∴−−−+=，2()4()442018x y x y z −−−+−+=，2(2)42018x y z −−+−=，2(2)0x y −−…，∴当2(2)0x y −−=时，4z −的值最大，42018z ∴−=，2022z ∴=，∴实数z 的最大值为2022，故答案为：2022．【点睛】本题考查了配方法与平方的非负性，能够识别多种情况下的配方条件，正确的配方是解题关键.三、解答题 11．（2023·江苏常州·统考一模）解方程：(1)2(1)40x +-=；(2)2260x x −−=．【答案】(1)121,3x x ==(2)1211x x ==【分析】（1）直接开方法解方程即可．（2）配方法即解方程即可．【详解】（1）2(1)40x +-= 2(1)4x +=12x +=±121,3x x ∴==（2）2260x x −−=22161x x −+=+()217x −=1x −=1211x x ∴==【点睛】此题考查一元二次方程的解法，有直接开方法，配方法，因式分解法，公式法等，解题关键是根据方程的特点挑选合适的解法．12．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）解方程：210110x x +-=．【答案】11x =，211x =−【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：210110x x +-=21011x x +=，210251125x x ++=+，()2536x +=，56x +=±，11x =，211x =−【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 13．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）解方程：(1)()21250x −−=；(2)2410x x −−=．【答案】(1)16x =，24x =−(2)12x =12x =【分析】(1)利用直接开平方法解此方程，即可求解；(2)利用配方法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：由原方程得：()2125x −= 得15x −=±，解得16x =，24x =−，所以，原方程的解为16x =，24x =−；（2）解：由原方程得：241x x −=，得24414x x −+=+，()225x −=，得2x −=12x =12x =所以，原方程的解为12x =12x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．，AOB 、COD 的面积分别为【答案】（1）①0x ≠；②一、三；③当0x <时，x x +的最大值为2−；（2）最小值为11；（3）25【分析】（1）①根据分母不为0即可求解；②根据当0x >时，0y >；当0x <时，0y <即可判断；③模仿求解过程，利用配方法即可求解；（2）将2316x x y x ++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设BOC S x =△，已知4AOB S =△，9COD S =△，则由等高三角形可知：::BOC COD AOB AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出AOD S ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）①函数1y x x =+的自变量x 的取值范围为：0x ≠；②容易发现，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <．由此可见，图像在第一、三象限；③当0x >时，112x x x x +≥=； 当0x <时，11()x x x x +=−−−12x x −−≥=1()2x x ∴−−−≤−∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x +的最大值为2−．故答案为：①0x ≠；②一、三；③当0x <时，1x x +的最大值为2−；（2）由2316163x x y x x x ++==++， 0x >，∴163311y x x =++≥=， 当16x x =时，最小值为11．（3）设BOC S x =△，已知4AOB S =△，9COD S =△则由等高三角形可知：::BOC AOB AOD S S S S =△△△△ :94:AOD x S ∴=36:AOD S x ∴=∴四边形ABCD 面积36491325x x =+++≥+=当且仅当6x =时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．一、单选题 1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）把方程2430x x +−＝化为2x m n =+（）的形式后，m 的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵2430x x +−＝，∴243x x −＝-，则24434x x ++−＝-，即221x −（）＝， ∴2m =﹣，n ＝1，故B 正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握一元二次方程配方法，是解题的关键． 【分析】利用配方法将29x mx −+进行配方，即可得出答案.． 【详解】解：原式22924m m x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭， 当x-2m =0，即x=2m 时，原式取得最小值9-24m =8，整理得：24m =， 解得：m=±2，则m 的值可能为2，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键．3．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若226A x xy +＝﹣，2411B y x +＝﹣﹣，则A 、B 的大小关系为（ ）A ．A ＞BB ．A ＜BC ．A ≥BD ．A ＝B 【答案】A【分析】利用做差法求出A B −=()()22131x y −+−+，然后利用偶数次幂的非负性即可得出()()2213110x y −+−+≥＞，即可得出0A B −＞，从而得出正确选项． 【详解】解：()2226411A B x x y y x −+−−+−＝﹣ 2222264112611x x y y x x x y y =+−+−+=−+−+()()()()222221691131x x y y x y =−++−++=−+−+∵()210x −≥，()230y −≥，∴()()2213110x y −+−+≥＞， ∴0A B −＞，即A B ＞，故选：A ．【点睛】本题考查了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所在．二、填空题【答案】2k ≤【分析】根据配方法可进行求解．【详解】解：∵A ＝x2﹣x+（32k −）＝x2﹣x 1144+−+（32k −）＝（x 12−）214−+（32k −）， 若x 取任何实数，A 的值都不是负数，∴14−+（32k −）≥0，解得：112k ≤； 故答案为：112k ≤． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．5．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）方程()219x +=的根是_____．【答案】1224x x ==−，【分析】两边开方，然后解关于x 的一元一次方程．【详解】解：由原方程，得13x +=±．解得122,4x x ==−．故答案是：122,4x x ==−．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：2(0)x a a =≥；2(ax b a =，b 同号且0)a ≠；2()(0)x a b b +=≥；2()(a x b c a +=，c 同号且0)a ≠．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）．【答案】<【分析】先求A-B 的差，再将差用配方法变形为A ﹣B ＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A ﹣B ＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x ﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A ﹣B<0，∴A<B ，故答案为：<．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．7．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）若实数x ，y 满足条件2x 2﹣6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____．【答案】15【分析】先将2x2﹣6x+y2＝0，变形为y2＝﹣2x2+6x ，代入所求代数式并化简为x2+y2+2x ＝﹣（x ﹣4）2+16，利用非负数性质可得x2+y2+2x≤16，再因为y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．【详解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x ，∴x2+y2+2x ＝x2﹣2x2+6x+2x ＝﹣x2+8x ＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x ﹣4）2+16，∵（x ﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，当x ＝3时，x2+y2+2x 取得最大值为15，故答案为：15．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键． 8．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如20x x +=是“差1方程”．若关于x 的方程210ax bx ++=(a ，b 是常数，0a >)是“差1方程”设210t a b =−，t 的最大值为__________．【答案】9【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a 与b 的关系式，再由210t a b =−，得t 与a 的关系，从而得出最后结果．【详解】解：由题可得：224140b a b a ∆=−⨯=−≥∴解方程得x =，关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“差1方程”，∴1=，224b a a ∴=+，210t a b =−，226(3)9t a a a ∴=−=−−+，()30a −≥，3a ∴=时，t 的最大值为9．故答案为：9【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．9．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）已知实数a 、b ，满足1b a −=，则代数式2267a b a +−+的最小值等于______．【答案】5【分析】由题意得1b a =+，代入代数式2267a b a +−+可得2(2)5a −+，故此题的最小值是5． 【详解】1b a −=，1b a ∴=+，2267a b a ∴+−+22(1)67a a a =++−+22267a a a =++−+2445a a =−++2(2)5a =−+，∴代数式2267a b a +−+的最小值等于5，故答案为：5．【点睛】此题考查了代数式的变形及配方法的应用，关键是掌握完全平方公式并正确变形、计算．三、解答题(2)求代数式226410a b a b −−−+−的最大值．【答案】(1)﹣3(2)当a ＝﹣3，b ＝2时，代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3【分析】（1）通过配方可求出完全平方形式，根据平方式的非负性可得结果；（2）把226410a b a b −−−+−配方成完全平方的形式可得结果．（1）解：2x ﹣4x+1＝2(44)3x x −+−＝2(2)3x −−， ∵2(2)0x −≥，∴2241(2)33x x x −+=−−≥−，∴当x ＝2时，这个代数式2x ﹣4x+1的最小值为﹣3．故答案为：﹣3；（2）226410a b a b −−−+− ＝﹣2a ﹣6a ﹣9﹣2b +4b ﹣4+3＝﹣2(3)a +﹣2(2)b −+3， ∵2(3)a +≥0，2(2)b −≥0， ∴﹣2(3)a +0≤，﹣2(2)b −0≤， ∴226410a b a b −−−+−＝﹣2(3)a +﹣2(2)b −+33≤， ∴当a ＝﹣3，b ＝2时，代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3．【点睛】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答． 11．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；2(2)x +≥【答案】(1)3(2)7(3)有最大值，最大值为8(4)2【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据27110x x y −+−=，用x 表示出y ，写出x y +，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．【详解】（1）解：2(1)3x −+的最小值为3．故答案为：3；（2）21032x x ++222105532x x =++−+2(5)7x =++，2(5)0x +≥，2(5)77x ∴++≥，∴当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值为7，21032x x ∴++的最小值为7；（3）22211125(69)8(3)8333x x x x x −++=−−++=−−+，21(3)03x −−≤，21(3)883x ∴−−+≤，∴代数式21253x x −++有最大值，最大值为8；（4）27110x x y −+−=，2711y x x ∴=−+，22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x ∴+=−++=−+=−+−+=−+，2(3)0x −≥，2(3)22x ∴−+≥，当2(3)0x −=时，2(3)2x −+的值最小，最小值为2，x y ∴+的最小值为2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)当x =___________时，代数式221x x −−有最小值，最小值为 ___________．(2)当x 取何值时，代数式22812x x ++有最小值？最小值是多少？【拓展提高】(3)当x ，y 何值时，代数式2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为多少？(4)如图所示的第一个长方形边长分别是25a +、32a +，面积为1S ；如图所示的第二个长方形边长分别是5a 、5a +，面积为2S ，试比较1S 与2S 的大小，并说明理由．【答案】(1)1，2− ；(2)2x =−时，4；(3)3x =−，y =−6，16；(4)12S S >，见解析．【分析】（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；（3）将2254625x xy y x −+++配方成()()222316x y x −+++，即可解答； （4）求出()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+，利用()230a −≥，得到1210＞S S −≥，即12S S ＞． 【详解】（1）解： ()22221=2111=12x x x x x −−−+−−−− 因为()210x −≥，所以2221x x −−≥−，因此，当=1x 时，代数式221x x −−有最小值，最小值是2−．故答案为：1；2−（2）解：()()()22222812=246=24442=22x x x x x x x +++++++++， 因为()220x +≥，所以212428x x ++≥，因此，当=2x −时，代数式22812x x ++有最小值，最小值是4．（3）解：()()222222254625=446916=2316x xy y x x xy y x x y x x −+++−++++−++++因为()220x y −≥，()230x +≥，所以225462516x xy y x −+++≥，因此，当2=x y ，3x =−时，即3x =−，y =−6时，代数式2254625x xy y x −+++有最小值，最小值是16．（4）解：()()21253261910S a a a a =++=++，()2255525S a a a a =+=+， ∴()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+， ∵()230a −≥，∴1210＞S S −≥，即12S S ＞．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是理解题意，掌握配方法的原则．【答案】(1)见解析(2)()6y x −=(3)当3x =−，y =−6时，2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为16【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；（2）首先根据配方法把2246130x y x y ++−+=变形为()()22230x y ++−=，再根据偶次方的非负性，得出20x +=，30y −=，解出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入代数式()y x −，计算即可得出结果；（3）首先根据配方法把代数式2254625x xy y x −+++变形为()()222316x y x −+++，再根据偶次方的非负性，得出()()22231616x y x −+++≥，进而得出当20x y −=，30x +=时，2254625x xy y x −+++取得最小值，再进行计算即可得出结果．【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，249x x −+24449x x =−+−+()225x =−+；第二种形式：选取二次项和常数项配方，249x x −+26964x x x x =++−−()2310x x=+−；或249x x −+ 26964x x x x =−++−()232x x =−+；第三种形式：选取一次项和常数项配方，249x x −+222444999x x x x =−+−+2225339x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭；（2）解：2246130x y x y ++−+=，配方，得：22446949130x x y y +++−+−−+=， 即()()22230x y ++−=， ∵()220x +≥，()230y −≥，∴20x +=，30y −=，解得：2x =−，3y =，∴()()()326y x −=−⨯−=；（3）解：2254625x xy y x −+++222446916x xy y x x =−+++++()()222316x y x =−+++，∵()()22230x y x −++≥，∴()()22231616x y x −+++≥， 当20x y −=，30x +=时，2254625x xy y x −+++取得最小值，即当3x =−，y =−6时，2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为16． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．。

开平方法解一元二次方程步骤一、引言一元二次方程是高中数学中的重要内容，解一元二次方程是解决实际问题中常用的方法之一。

本文将介绍一种常用的解一元二次方程的方法——开平方法，并详细阐述解题的步骤。

二、开平方法解一元二次方程的步骤1. 根据给定的一元二次方程，将其变形为完全平方形式。

开平方法的核心就是将一元二次方程变形为完全平方形式，即将方程写成(a±b)²=c的形式。

2. 利用完全平方公式进行变形和等式的转化。

根据完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²，将方程中的二次项、一次项进行变形和整理，使方程转化为(a±b)²=c的形式。

3. 根据一元二次方程的性质，得出解的形式。

一元二次方程的解的形式是x=a±√c，根据方程变形后的形式(a±b)²=c，可以得出解的形式为x=a±√c。

4. 求解一元二次方程的解。

将方程中的参数带入解的形式x=a±√c中，计算得出方程的解。

5. 验证解的正确性。

将方程的解代入原方程，验证等式是否成立。

若成立，则解正确；若不成立，则重新检查计算过程。

三、示例分析为了更好地理解开平方法解一元二次方程的步骤，我们以一个具体的例子进行分析。

假设有一元二次方程x²+6x+9=0，我们可以按照以下步骤进行解题。

1. 将方程变形为完全平方形式。

将方程中的二次项、一次项进行变形和整理，得到(x+3)²=0。

2. 根据完全平方公式进行变形和等式的转化。

将(x+3)²=0进行展开，得到x²+6x+9=0。

3. 根据一元二次方程的性质，得出解的形式。

方程变形后的形式为(x+3)²=0，根据方程的形式，我们可以得出解的形式为x=-3。

4. 求解一元二次方程的解。

将x=-3带入原方程，验证等式是否成立。

在本例中，将-3代入方程x²+6x+9=0，计算得到9-18+9=0，等式成立。

一元二次方程是中考的重点内容，也是初中数学学习的重点，解一元二次方程是重要的应用，不管是直接开平方，还是配方法、公式法、因式分解法等等方法解方程，四种解法各有不同，不同的依据，不同的适用范围，都需要同学们重点掌握的，然后根据题目的实际情况，选择最佳的解题方法。

下面我们通过实例讲解一元二次方程的四种解法，让同学们在考试中得心应手，同时也希望同学们谨记各部分的注意事项，记住各种方法的适用方位，在考试中灵活运用，避免出现错误。

一、直接开平方法：依据的是平方根的意义，步骤是：①将方程转化为x=p或（mx+n)=p 的形式；②分三种情况降次求解：①当p>0时；②当p=0时；③当p<0时，方程无实数根。

需要注意的是：直接开平方法只适用于部分的一元二次方程，它适用的方程能转化为x=p或（mx+n)=p的形式，其中p为常数，当p≥0时，开方时要取“正、负。

二、配方法：把一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≥0)左端配成一个含有未知数的完全平方式，右端是一个非负常数，进而可用直接开平方法来求解。

一般步骤：移项、二次项系数化成1，配方，开平方根。

配方法适用于解所有一元二次方程。

三、公式法：利用求根公式，直接求解。

把一元二次方程的各系数代入求根公式，直接求出方程的解。

一般步骤为：(1)把方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b-4ac的值；(4)当b-4ac≥0时，把a、b、c及b-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b-4ac<0时，方程没有实数根。

需要注意的是：公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫万能方法，对于任意一个一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来。

求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免繁杂的配方过程。

因此没有特别要求，一般不会用配方法解方程。

四、因式分解法：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。

一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。

4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。