15第六章共形映射

105第6章 保角映射6.1 分式线性映射导数的几何意义是保角映射的理论基础.6-1 映射2w z =在i z =-处的伸缩率k 与旋转角α是（ ）. （A ）π1,2k α==（B ）π2,2k α==- （C ）π1,2k α==- （D ）π2,2k α== 解 i i π||2,Arg ()|.2z z k w f z α=-=-''====- 选（B ）.平移变换加伸缩反射得相似图形，相似比即||w '.6-2 在映射1w z=下，将|1|1z -<映射为（ ）.（A ）右半平面0u > （B ）下半平面0v < （C ）半平面12u > （D ）12v <- 解1 221i i x y w u v z x y -===++ 2222,xyu v x y x y -==++ 而 2|1|1z -<，即222x y x +<，故 221.2x u x y=>+ 选（C ）. 解2 1w z=是分式线性变换，具有保圆性.而|1|1z -=，将0z =变到,2w z =∞=变到1,1i 2w z ==+变到1i 2w +=，故1w z =将圆变为直线12u =，而圆心1z =变到112w =>，故1w z=将|1|1z -<变为半平面12u >. （C ）. 6-3 映射1w z=将Im()1z >的区域映射为（ ）.（A ）Im()1w < （B ）Re()1w < （C ）圆2211()22u v ++< （D ）2211()22u v ++>解 由1w z =的保圆性，知1w z=将1y =映射为直线或圆，由z =∞映射为0,1i z =+，映射为1i,1i 2w z -==-+映为1i2--知，将Im()1z =映射为w 平面上的圆： 2211()22u v ++=图6-1而2i z =映射为11i 2i 2=-.故1w z=将Im()1z >映射为圆内. 选（C ）1066-4 求将圆||2z <映射到右半平面，且(0)1,arg (0)π/2w w '==的分式线性映射.解 令ax b w z b +=+，则2()ab b w z b -'=+.由πarg (0)2w '=，可令 21(0)i ab b a w b b--'===，得1i a b =+，于是 (1i)b z bw z b++=+.由于圆||2z =应映射为虚轴，故又令(2)i w =得22i 2i i b b b ++=+，解得2(1i)2i 1+ib --== 于是 22i2iw z -+=+（这时圆上点2i z =-映射为∞点，故满足所求）. 6-5 求把上半平面Im()0z >映射成单位圆||1w <的分式线性映射，且满足条件（1）()0,(1)1w i w =-=； （2）1(0)1,().2w w i ==解 （1）令z iw cz d-=+ 1i(1)1w c d---==-+，即1i c d --=-+ 令z =∞时，i w =-，得i c =，1d =-，于是得到一个满足要求的映射ii 1z w z -=- （2）由(0)1w =，可令az bw z b+=+ 更令()1w ∞=-，得1a =-，更由1(i)2w =得2(i )i b b -+=+故3i b =-，从而3i3iz w z --=- 要求||1z =时||1w =，故取212z w z λ-=-时，||1,λλ=也可写作i e θ只要定θ即可. 6-6 求将上半平面映射为单位圆||1w <的分式线性变换.解 设az b w cz d +=+，将I m ()0z >映射为||1w <，则它将b z a =-映为圆心0w =.而将b z a -=-映为∞，记,b b a aαα-=-=-，而有d c α-=，故变换为.a z w c z αα-=- 由于0z =变到||1w =上一点，即||1a c =，记i e acθ=， 则 i e z w z θαα-=-（其中Im()0α>）. θ是待定实数.1076-7 求把上半平面Im()0z >映射成单位圆||1w <的分式线性映射，并满足条件：（1）(i)0;(1)1f f =-=； （2）(i)0,arg (i)0f f '==； （3）(1)1,(i)f f =解 （1）设i i e i z w z θ-=+，于是i 1i e 11i θ--=-+即i πe i()2θθ= 所求映射为 i i+iz w z -=. （2）设映射为i ie +iz w z θ-= i 22i()e (+i)w z z θ'=故πi()21π(i)e ,22w θθ-'=-=所求映射为 ii iz w z -=+ （3）设i e z w z θαα-=- 由(1)1w =得i i e (1)1(i )(i )θθαααα-=--=-令x iy α=+，上两式相比得)(1)()(1)i αααα--=-- （1）取共轭)(1)()(1)i αααα--=--上两式两边相乘得225|(1)i ||(1)i |x y x y -+-=-++解得 2231x y y +=- （2） 将（1）式乘开，比较实部与虚部可得1)(1)1)x y -= （3）及221)()1)1)x y x y +=+ （4） 将（2）代入（4），消去22x y +后解得：2,3y x ==， 于是i 21ie θ==12i)3=108 所求映射w =.6-8 求将单位圆||1z <映射为单位圆||1w <的分式线性映射.解 设所求的分式线性变换把||1z <内的点α映射为0w =，那么，它将1α即与α关于||1z =的对称点映射为∞，故所求的映射为1/1z z w z z ααλλααα--==-+-+ 设1z =对应于||1w =上某点，则有11||||1αλαλαα-==-，故i e θλα= 即 i e (||1,1z w zθααθα-=<-是实数） 这时 i 21()e (1)w z z θααα-'=-i 1()e 1w θααα'=-故θ是z α=点变换时的旋转角 同样，将z 平面上||1z <映射为w 平面上||1w >的分式线性变换是 i e (||1,1z w zθααθα-=>-是实数） 6-9 求将右半平面Re()0z >映射为单位圆||1w <的分式线性映射.解1 设z bw z dλ+=+，它将z b =-映为0w =点，而将z d =-映为w =∞点.记a b =-，则Re()0α>，由对称性，()d α-=-.因此，z w z αλα-=+，且|(0)|||||1w αλλα-===，故i e θλ=得 i e (Re()0,z w z θααθα-=>+是实数）. 解2 由6-13题，先作旋转i z ζ=，将右半平面旋转为上半平面，于是将Im()0ζ>变为||1w <的映射是（见6-13题）i e (Im()0)w θζββζβ-=>- 故 i i i i e e i i z z w z z θθββββ-+==-+ 记 i βα=-，则i (i )ββα=-=而Re()0α>i e z w z θαα-=+与解1的结果同. 利用0w =与w =∞两点是关于两个同心圆皆对称的点而有保对称性.从而知12,z z 皆是实数，及对二圆都有对称性，从而解出1z 和2z . 6-10 求一分式线性映射，把由||9z >与|8|16z -<所确定的区域映射为w 平面上的同心圆环：||1w <与||w r > (01).r <<解 本题关键在设12()0,()w z w z ==∞，由于0、∞关于两个同心圆||1w =与||w r =皆对称；故1z 与2z 应同时与|3|9z -=及|8|16z -=皆对称.从而知12,z z 应在此二圆圆心的联线上，109即1z 与2z 皆是实数，且有221212(3)(3)9,(8)(8)16z z z z --=--=即 212123()99z z z z -+=- 2212128()168z z z z -+=- 得121224,0z z z z +=-=，取120,24z z ==-.则 24zw z λ=+ 由于0z =在|3|9z -<内部，故此映射将|3|9z -=映为||w r =，而将|8|16z -=映为||1w =即 i i 2816e ,e 24zz w z ϕθ=+=+ 取1224,0z z =-=，则24z w zλ+= 这时，由124z =-在|8|16z ->内，而0w =在||w r <内，故此映射将|8|16z -=映为||w r =而将|3|9z -=映为||1w =，即令i 39e z ϕ=+便应有i i 279e |||| 1.3+9e w ϕϕλ+==故i 11||,e 33θλλ==所求映射为i 24e 3z w zθ+=. 6.2 几个初等函数所构成的映射按要求一步一步变，注意每一步的要求.6-11 试将由||1z <及|1|1z -<所确定的区域保角地映射为上半平面. 解 如图6.2，我们采取如下步骤作映射.图6.2(1)作分式线性映射，使12映射于原点，而12映射为w =∞点.110 即1ζ=（2）令321ζζ=，则映射成不含2ζ的负实半轴的全平面，22π4π.ϕ≤<（3）令1/232ζζ=，则映射为下半平面.（4）令3w ζ=-，则映射为上半平面，故此映射为3/2w =-6-12 试将由Im()1,||2z z ><所确定的区域保角地映射为上半平面. 解 如图6.3，分以下步骤： （1）将弓形域映射为角形域1ζ=（2）321ζζ=映射为下半平面. （3）2w ζ=-，即为所求也就是3w =-图6.36-13 求把单位圆外部||1z >，且沿虚轴1y >有割痕的域映射为上半平面的一个保角映射.解 分以下步骤：（1）作分式线性映射，将单位圆外部映射为半平面，并使割痕转到实轴，即1i+iz z ζ-=（2）平方且反射，使割痕到22i (1,0),i z z ζ-⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭（3）平移后开方得122(1)w ζ=+111即 1/22i 1i z w z ⎡⎤-⎛⎫=-⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦为所求映射.6-14 将图6.4z 平面中阴影部分所示区域，即由Re()1,||1z z >->所确定区域映射为上半平面.解 分以下步骤：（1）作分式线性映射111z z ζ-=+，则所给域映射为10Re()1ζ<<； （2）旋转伸长，即令21πi ζζ=，得条形域20Im()πζ<<；（3）作指数映射i e w ϕ=即得上半平面.即映射为1i π1ez z w -+=图6.46-15 将如图6.5所示的z 平面区域，即由||2,|1|1z z <->所确定的区域，映射为上半平面.解 （1）作分式线性变换：12zz ζ=-，将|1|1z -=映射为1Re()0ζ=，而将||2z =映射为11Re()2ζ.由此，将已知域映射为带状域.（2）旋转伸缩：212πi ζζ=.映射为20Im()πζ<<（3）取指数函数的映射2e w ζ=便是本题所求，即2πi2ez z w -=.112图6.56-16 将沿虚轴有割痕从0z =至2i z =的上半平面，保角地映射为上半平面.解 （1）将上半平面映射为全平面后并平移，使割痕位于实轴的10ζ=至14ζ=处.214z ζ=+.（2）开方使割痕好似被展平在实轴的(2,2)-上：121w ζ=.即 21/2(4)w z =+.（见图6.7）图6.66-17 图6.7所示的z 平面上单位圆||1z <中有割痕：沿实轴从0z =至1z =的区域，试将其保角地映射为半平面.解（1）开方将圆映射为半圆，割痕仍在x 轴上：121z ζ=； （2）作分式线性映射，将半圆映射为1/4平面：12111ζζζ+=-+； （3）平方22w ζ=即2.w =113图6.76-18 将图6.8所示，由πRe()0,0Im()2z z ><<确定的z 平面上的区域，保角映射为上半平面.解 （1）将其旋转伸缩于第4象限：12z ζ=-（2）取指数函数：12e ζζ=将1ζ中的区域映射为半圆域：222||e 1,Arg 0x ζπζ-=<<< （3）作分式线性映射：23211ζζζ-=+ 将半圆映射为1/4平面.（4）令23w ζ=即为所求的映射，即22e 1e .e 1z z --⎛⎫-= ⎪+⎝⎭图6.86-19 求把实轴上有割痕：112x ≤<的单位圆||1z <映射为||1w <的一个映射.解 （1）令112112z z ζ-=-，使割痕在10Re()1ζ≤<上；114 （2）作2ζ （3）再作23211ζζζ+=-，将半圆映射为3()ζ的I 象限部分； （4）作243ζζ=，便将此映射为上半平面； （5）最后将上半平面映为单位圆：（见图6.9）44i i w ζζ-=+经归纳223422224322i i [(1)/(1)]i i i [(1)/(1)]i w ζζζζζζζζ--+--===+++-+==图6.96-20 求把半带形域ππRe(),Im()022z z -<<>，映为上半平面Im()0w >的映射()w f z =，使π()1,(0)0.2f f ±=±=解 （1）作旋转与平移：1πi i 2z ζ=+，使之映为1ζ平面的半带形域：110Im()π,Re()0.ζζ<<<（2）作指数映射：12e ζζ=，将之映为2ζ平面上的半圆域：22||1,Im()0;ζζ<>（3）作分式线性映射：23211ζζζ+=-，将半圆域映为3ζ平面第1象限；（4）243ζζ=，将之映为4ζ的上半平面，只是未满足π()12f ±=±及(0)0f =的条件；（5）由上半平面映为上半平面，且∞映为1,0-点映为1及1-映为0.即得：4411w ζζ+=-（见图6.10）归纳222223222232211111121111wζζζζζζζζ⎛⎫++ ⎪-++⎝⎭===--⎛⎫+- ⎪-⎝⎭1111ππ(i i)i i22211e e e e e222ez zζζζ-++-+++=-=-=-i ie esin2z zz-+==，为所求的映射.图6.10115。

第六章 共形映射这一章我们将研究解析函数映射的几何性质.我们知道，在几何上复变函数w =f (z )可以看成是把z 平面上的点集D 变到w 平面上的点集D *的映射.本章我们将介绍解析函数映射的共形性，它具有很重要的性质.比如，借助共形映射，可以把在复杂区域上所讨论的问题转到比较简单的区域去完成.另外，共形映射在流体力学和电学等实际问题的研究中也发挥了重要作用.本章还将介绍几个具体的初等函数所确定的共形映射，特别是分式线性映射.§6.1 共形映射1. 共形映射的概念设w =f (z )为z 平面上区域D 内的连续函数，作为映射，它把z 平面上的点z 0映射到w 平面上的点w 0=f (z 0)，把曲线C :z =z (t )映射到曲线C ':w =f (z (t )).现在我们研究映射所带来的几何形变，比如两条曲线夹角的大小变化，曲线弧长的伸缩变化等.如图6.1所示，过z 0点的两条曲线C 1,C 2，它们在交点z 0处的切线分别为T 1，T 2，我们把从T 1到T 2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z 0处 从C 1到C 2的夹角.对于两条曲线的夹角不仅要指出角度的大小，还要指出角的旋转方向.因此在z 0处从C 2到C 1的夹角不等于从C 1到C 2的夹角.图6.11°若在映射w =f (z )的作用下，过点z 0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z 0处是保角的.比如平移变换w =z +α就是一个很简单的保角映射. 函数w z =不是保角映射.事实上，前面我们介绍过它是关于实轴的对称映射（如图6.2），在图中我们把z 平面与w 平面重合在一起，映射把点z 0映射到关于实轴对称的点0z . 过z 0的两条曲线C 1,C 2，从C 1到C 2的夹角为θ，经映射后分别对应为过点0z 的两条曲线1C '和2C '，从1C '到2C '夹角为-θ.虽然它保持夹角的大小，但是改变了它的旋转方向. 我们关心的另一个问题就是映射后原象的伸缩性.常常用象点之间距离与原象点之间距离的比值00w w z z --来近似描述它.图6.2 2°若极限0 0lim z z w w z z→--0limz zw wz z→--存在且不等于零，则这个极限称为映射w=f(z)在z0处的伸缩率.并称w=f(z)在z0具有伸缩率的不变性.显然w=5z在任何非零点处都具有伸缩率的不变性，它把原象都放大了5倍.综合上述两种特征，我们引入共形映射的概念.定义6.1 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的，在z0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w=f(z)在z0是共形的，或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形的，那么称w=f(z)是区域D内的共形映射.共形映射有很明显的几何特征.事实上，设z0z1z2为点z0的一个小邻域内的三角形，在z0处的伸缩率记为A. 经过w=f(z)后变成了曲边三角形w0w1w2（如图6.3）.由于w=f(z)在z0是共形的，故这两个小三角形与z0的对应角相等，对应边长度比近似地等于伸缩率A.所以这两个小三角形近似地相似.图6.3又对以z0为中心半径充分小的圆|z-z0|=δ，由于伸缩率A仅依赖于z0而不随方向变化，因而在变换w=f(z)下，该小圆近似对应w平面的以w0为中心半径为Aδ的圆（如图6.4）.图6.42. 解析函数与共形映射设f(z)在z0处解析，且f'(z0)≠0，我们来讨论映射w=f(z)的特征.过z 0作一条光滑曲线C ，它的方程为z =z (t ), t 0≤t ≤T 0,并设z 0=z (t 0)，且z '(t 0)≠0.则Arg z '(t 0)为z 平面上的正实轴到C 在点z 0的切线的夹角（如图6.5(a)）.图6.5经过w =f (z )把C 映射为w 平面上光滑曲线C '（如图6.5(b)），其方程为w =w (t )=f [z (t )], t 0≤t ≤T 0.且w 0=f [z (t 0)]. 由于w '(t 0)=f '(z 0)z '(t 0)≠0，所以在w 平面上，正实轴到C '在w 0处的切线的夹角为Arg w '(t 0)=Arg f '(z 0)+Arg z '(t 0)或Arg w '(t 0)-Arg z '(t 0)=Arg f '(z 0). (6.1)(6.1)式说明像曲线C '在w 0处的切线与正实轴的夹角与原象曲线C 在z 0处的切线与正实轴的夹角之差总是Arg f '(z 0)，而与曲线C 无关. Arg f '(z 0)就称为映射w =f (z )在点z 0处的转动角.这一结果可以说明w =f (z )在z 0处为保角的.事实上，过z 0点作两条光滑曲线C 1,C 2，它们的方程分别为C 1: z =z 1(t ) t 0≤t ≤T ,C 2: z =z 2(t ) t 0≤t ≤T .且z 1(t 0)=z 2(t 0)=z 0（如图6.1(a)所示）.映射w =f (z )把它们分别映为过w 0点的两点光滑曲线C '1和C '2.（如图6.1(b)），它们的方程分别为C '1: w =w 1(t )=f [z 1(t )], t 0≤t ≤T 0,C '2: w =w 2(t )=f [z 2(t )], t 0≤t ≤T 0.由(6.1)式可得Arg w '1(t 0)-Arg z '1(t 0)=Arg f '(z 0)=Arg w '2(t 0)-Arg z '2(t 0),即Arg z '2(t 0)-Arg z '1(t 0)=Arg w '2(t 0)-Arg w '1(t 0).上式的左端是曲线C 1和C 2在z 0处的夹角，右端是曲线C '1和C '2在w 0处的夹角，而这个式子说明了w =f (z )在z 0处是保角的.另外，因为f '(z 0)存在，且不等于零，则0000000()()lim lim ()(0).z z z z w w f z f z f z z z z z →→--'==≠--这个极限与曲线C 无关.故w =f (z )在z 0处的伸缩率具有不变性.又w =f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).因为w =f (z )在z 0处解析，则在该点满足柯西－黎曼方程, u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂于是在该点的雅各比式有220(,)()0.(,)u v u v f z x y x y ⎛⎫∂∂∂⎛⎫'=+=≠ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭根据微积分的结果，可以证明映射w =f (z )在z 0的邻域内是一一对应的.综上所述，我们有如下定理：定理6.1 如果函数w =f (z )在z 0解析，且f '(z 0)≠0，那么映射w =f (z )在z 0是共形的，而且Arg f '(z 0)表示这个映射在z 0的转动角，|f '(z 0)|表示伸缩率.如果解析函数w =f (z )在区域D 内处处有f '(z )≠0,那么 映射w =f (z )是D 内的共形映射.定理6.1指出了解析函数的几何意义，根据该定理，我们可以通过计算导数来检验映射w =f (z )是否具有共形性.要注意的是，定理6.1中的条件f '(z 0)≠0是很重要的.事实上，考察函数w =z 2，它在z =0处解析，但导数00d 20d z z w z z ====.如果令i z re θ=，则22i w r e θ=.可以看出，映射w =z 2把过原点的射线Arg z =θ映射到射线Arg w =2θ.这就意味着这个映射在z =0 处不具有保角性.§6.2 分式线性变换在所有的解析函数中，分式线性变换具有最简单的映射性质，它是共形的，同时还有非常奇特的几何性. 我们介绍它不仅为共形映射提供简单的例子，还可以获得一些非常有价值的技巧.1.分式线性变换的结构形如, (0).az b w ad bc cz d+=-≠+ (6.3) 的映射称为分式线性变换，其中a ,b ,c ,d 为复常数.ad -bc ≠0的限制是必要的，否则w ≡常数或无意义，我们排除这两种情况.从(6.3)式中把z 解出来，得d , (()()0),w b z a d cb cw a-+=---≠- (6.5) 称(6.4)是(6.3)的逆变换，它仍然是一个分式线性变换.由此可知，分式线性变换是一一的.容易知道，两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换.事实上，(0),(0).z w z αξβαβαδγβξαδβγγξδγδ''++''''=-≠=-≠''++ 把后式代入前式得az b w cz d+=+ 其中()()0.ad bc αδγβαδβγ''''-=--≠ 根据这个事实，我们可以把一个一般形式的分式线性变换分解成一些简单映射的复合.不妨设c ≠0，于是.()az b a bc ad w cz d c c cz d +-==+++ 令,a bc ad A B c c-==则上式变为 .B w A cz d=++ 它由下列三个变换复合而成 ;1;,z cz d z zw A Bz '=+''='''=+ (6.5) 其中(6.5)中的第一和第三式为整线性变换.2.分式线性变换的性质我们根据分式线性变换的结构，可以得出许多重要性质.1° 共形性 在扩充复平面上，函数az b w cz d +=+的导数除点d z c=-和z =∞以外处处存在，而且2d 0d ()w ad bc z cz d -=≠+，由定理6.1，映射az b w cz d +=+除那两个点以外是共形的.至于在d z c =-（其象为w =∞）和z =∞（其象为a w c=-）处是否共形的问题，就关系到如何理解两条曲线在无穷远点∞处夹角的定义，在这里就不作讨论了.我们有定理6.2 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，且是共形的.2°保圆性上一节我们知道，z 平面上半径充分小的圆在共形映射下的象为w 平面上的一个近似圆.对于分式线性变换，我们有：定理6.3 分式线性变换将扩充z 平面上的圆映射成扩充w 平面上的圆，即具有保圆性. 在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周.我们先指出整式线性变换w =az +b 和1w z=都具有保圆性. 事实上，变换w =az +b 是由ξ=az （旋转与伸长）和w =ξ+b （平移）复合而成的.而这个映射将原象平面内的圆或直线映射到象平面内的圆或直线，从而w =az +b 在扩充复平面上具有保圆性. 下面来阐明映射1w z=也具有保圆性.z 平面上的圆的一般方程为 22()0A x y Bx Cy D ++++=,经过代换, 22z z z z x y i +-== 后，上式可写成 0,Azz z z D αα+++=其中1()2B Ci α=-.当A =0时，方程表示直线（在扩充平面上，上式表示包括直线在内的圆的方程）.经过映射1w z=后，上面的方程变为 0.A w w Dww αα+++=在扩充复w 平面上它仍是圆的方程.这说明1w z =具有保圆性. 最后，由于(6.3)和(6.5)之间的关系，知定理6.3成立.定理6.3指出了分式线性变换具有保圆性，现在要问：圆内部（或外部）将映射成什么？我们有：推论6.1 在分式线性变换下，圆C 映射成圆C '.如果在C 内任取一点z 0，而点z 0的象在C '的内部，那么C 的内部就是映射到C '的内部；如果z 0的象在C '的外部，那么C 的内部就映射成C '的外部.证明： 如图6.6所示.设z 1,z 2为C 内的任意两点，用直线段把这两点连接起来.如果线段z 1z 2的象为圆弧w 1w 2（或直线段），且w 1在C '之外，w 2在C '之内，那么弧w 1w 2必与C '交于一点w *，于是w *必是C 上某一点的象.但w *又是线段z 1z 2上某一点的象，因而就有两个不同的点（一个在C 上，另一个在z 1z 2上）被映射为同一点.这就与分式线性映射的一一对应性相矛盾.故推论成立.图6.63° 保对称性先引进对称点的概念.定义6.2 设C 为以z 0点为中心，R 为半径的圆周.如果点z ,z *在从z 0出发的射线上，且满足|z -z 0|·|z *-z 0|=R 2, (6.6)则称z ,z *关于圆周C 是对称的.如果C 是直线，则当以z 和z *为端点的线段被C 平分时，称z ,z *关于直线C 为对称的.我们规定： 无穷远点关于圆周的对称点是圆心.大家知道z 及是关于实轴对称的，显然实系数分式线性变换az b w cz d+=+（即a ,b ,c ,d 均为实数）把实轴变实轴，把z ,z 仍变为对称点w ,w .这个结果能推广到更一般的情形吗？为了证明这个结论，我们先来阐述对称点的一个重要性质：即z ,z *是关于圆周C 的对称点的充要条件是经过z ,z *的任何圆周Γ与C 正交（如图6.7所示）.图6.7事实上，过z 0引圆周Γ的切线，切点为z ′，如图6.7.由初等几何著名的定理，z 0,z '的长的平方|z 0-z '|2等于|z 0-z *|和|z 0-z |的乘积，而由(6.6)有|z 0-z *||z 0-z |=R 2,即有|z 0-z '|2=R 2,这表明z '在C 上，而Γ的切线就是C 的半径，故Γ与C 正交.反过来，设Γ是经过z 和z *且与C 正交的任一圆周，作为特殊情形连接z 与z *的直线（半径为无穷大的圆）必与C 正交，因而必过z 0，又因Γ与C 于交点z '处正交，因此C 的半径z 0z '就是Γ的切线.所以有|z -z 0||z *-z 0|=R 2.即z 与z *关于C 为对称点.（当圆周退化为直线时，请读者自己完成证明）.定理6.4 设点z ,z *是关于圆周C 的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w 及w *也是关于C 的像曲线C '的一对对称点.证明：设经过w 与w *的任何一圆周Γ'是经过z 与z *的圆周Γ由分式线性变换映射过来的.由于Γ与C 正交，由保角性，所以Γ'与C '也正交.因此w 与w *是一对关于C '的对称点.§6.3 确定分式线性变换的条件根据本章6.2节分式线性变换(6.3)的条件ad -bc ≠0知a ,b ,c ,d 中必有不为零者.将其中不为零的常数与其余三个常数的比值视作参数，于是(6.3)式中实际上只有三个独立的常数，因此，只需给定三个条件，就能决定一个分式线性变换.定理6.5 在z 平面上任意给定三个不同点z 1,z 2,z 3，在w 平面上也任意给定三个不同点w 1,w 2,w 3，那么就存在分式线性变换，将z k 依次映射成w k (k =1,2,3)，且这种变换是唯一的.证明： 设(0),az b w ad bc cz d+=-≠+ 且 ,1,2,3.k k k az b w k cz d+==+ 于是有 ()(),1,2,()()k k k z z ad bc w w k cz d cz d ---==++ 及333()(),1,2.()()k k k z z ad bc w w k cz d cz d ---==++ 从而得 323211231231.w w z z w w z z w w w w z z z z ----⋅=⋅---- (6.7) 从(6.7)式中求出w ，即得所求分式线性变换.从上述的求法及结果来看这种分式线性变换是唯一的.在定理6.5的条件下，我们进一步有 推论6.2 z 1,z 2,z 3所在的圆C 的象C ′是w 1,w 2,w 3所在的圆.且如果C 依z 1→z 2→z 3 的绕向与C ′依w 1→w 2→w 3的绕向相同时，则C 的内部就映射成C ′的内部（相反时，C 的内部就映射成C ′的外部）（如图6.8）.图6.8证明：推论中的第一个结论，根据定理6.5和保圆性易得.对于推论第二个结论，根据推论6.1，只要能证明C 的一个内点的象是C 的一个内点即可.事实上，在过z 1的半径上取一内点z ，线段z 1z 的象必为正交于C ′的圆弧w 1w .根据保角性，当绕向相同时，w 必在C ′内.（当绕向相反时，w 必在C ′外.）下面举几个例子.例6.1 求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z 0映射为圆心w =0的分式线性变换.解:由定理6.4，z 0关于实轴的对称点0z 的像应变为点w =∞.所以，所求分式线性变换有形式00z z w k z z -=-, 其中k 为常数.因为00z z w k z z -=-，而实轴上的点z 对应着|w |=1上的点，这时001z z z z -=-，所以|k |=1，即i k e θ=，这里θ是实数，即所求的分式线性变换的一般形式为 000, Im 0.i z z w e z z z θ-=>- (6.8)例6.2 求将单位圆|z |<1映射为单位圆|w |<1的分式线性变换.解：不妨设将第一个单位圆内的点z 0映射到第二个单位圆的中心w =0.由于01z 关于|z |=1与z 0对称，因此01z 的象为∞.故所求映射有形式 00100.11z z z z w k k z z z z --==-- 由条件当|z |=1时，|w |=1故将z =1代入上式，有0011,1z w kz -==- 从而，|k |=1，即i k e θ=，于是，所求映射的一般形式为000 (1)1i z z w e z z zθ-=<-. 读者很容易从公式(6.9)得到将圆|z |<R 映射到|w |<1的分式线性变换 例6.3 求将Im z >0映为|w |<1，且满足π()0,arg ()2w i w i '==的分式线性变换. 解：公式(6.8)给出了从Im z >0到|w |<1的一般形式.本题就是要根据条件具体确定公式中的z 0和θ.显然，z 0=i ，因此我们进一步确定i z i w ez i θ-=+中θ的取值.因为 π()22()()1().()22i i i z iz i z i i w i e e e z i θθθ-=+--'==-=+ 所以πarg ()2w i θ'=-,由于πarg ()2w i '=，知πθ=,于是 ,(1)i i z w e i zπ-==-+ . §6.4 几个初等函数所构成的映射1. 幂函数考虑幂函数w =z n (n ≥2)，求导得1d d n w nz z -=.我们来讨论映射w =z n 在复平面上各点处的共形的性.当z =z 0≠0时. 设000i z r e θ=，则00(1)10d,d in n z z w nr e z θ--== 所以映射w =z n 在z =z 0的转动角为(n -1)0θ，伸缩率为10n nr -. 即映射w =z n 在z 0点是共形的.在z 0=0处，设i z re θ=和i w e ϕρ=，由w =z n 得 n r ρ= 和 n ϕθ=.因此在w =z n 的映射下，圆|z |=r 映射成|w |=r n ，特别地，|z |=1映射成|w |=1.即在以原点为中心的圆有保圆性.射线0θθ=映射成射线0n ϕθ=；正实轴θ=0映成正实轴ϕ=0；角形域02π0()nθθ<<<映射成角形域00n ϕθ<<.从这里看出，当n ≥2时，映射w =z n 在z =0处没有保角性(图6.9(a)).(a)(b)图6.9特别地，角形域2π0nθ<<映成沿正实轴剪开的w 平面的域02πϕ<<，它的一边0θ=映成正实轴的上沿0ϕ=；另一边2πn θ=映成正实轴的下沿2πϕ=.这两个区域之间的映射是一一的(如图6.9(b)).例6.4 求把角形域π0arg 8z <<映成单位圆|w |<1的一个映射. 解：如图6.10所示，8z ξ=将角形域π0arg 8z <<映成上半平面Im 0ξ>；又由上一节公式(6.8)知，i w i ξξ-=+将上半平面映射单位圆|w |<1.故88z i w z i -=+ 为所求变换.图6.10例6.5 求将|z |<1,Im z >0映为|w |>1的一个共形映射.解：先将上半单位圆域映为第一象限.此时考虑将1,i ,-1依次映射为∞,i ,0的分式线性变换11z z ξ+=-.该映射还把-1,0,+1依次映为0,1,∞.由推论6.2知，11z zξ+=-为所求映射.（如图6.11(a)）再用2ξξ'=将第一象限映为上半平面Im()0ξ'>（如图6.11(b)）.最后又选择分式线性变换i w iξξ'+='-，参照例6.1的讨论并利用推论6.1知，该映射将映Im()0ξ'>映到|w |>1.（如图6.10(c)）.于是，有222222(1)(1).(1)(1)i i z i z w i i z i z ξξξξ'++++-==='-----图6.112.指数函数在z 平面上，由于指数函数w =e z 的导数w '=e z ≠0，所以，由w =e z 所构成的映射是一个全平面上的共形映射.令,i z x iy w e ϕρ=+=，那么 ,.x e y ρϕ==于是有1° 平面上的直线x =常数，被映射成w 平面上的圆周ρ=常数；而y =常数，被映射成射线ϕ=常数.2° 把水平带形域0Im (2π)z a a <<≤映射成角形域0arg w a <<.（如图6.12(a)）3° 带形域0Im 2πz <<映射成沿正实轴剪开的w 平面：0arg 2πw <<(如图6.12(b)).图6.12例6.6 求把带形域a <Re(z )<b 映射成上半平面Im(w )>0的一个映射.解：如图6.13所示. 于是，所求的映射为 π()i z a b a w e --=.图6.13小 结共形映射的两个主要特征：(1)保角性；(2)伸缩性.在映射w =f (z )的作用下，过点z 0的任意两条光滑的曲线的夹角的大小与方向保持不变；过点z 0的任何一条曲线C 在z 0处的伸缩率都相同.解析函数的共形性：若w =f (z )在z 0点解析，且f ′(z 0)≠0，那么映射w =f (z )在z 0点是共形的.导数f ′(z 0)≠0的幅角arg f ′(z 0)是曲线C 经w =f (z )映射后在z 0处的转动角，它的大小与方向与曲线C 的形状和方向无关.| f ′(z 0)|是经过w =f (z )映射后，过z 0的任何曲线C 在z 0的伸缩率.分式线性映射的性质：(0)az b w ad bc cz d+=-≠+ 是分式线性映射.它是可逆的，其逆映射也是分式线性映射.分式线性映射具有(1)共形性；(2)保圆性；(3)保对称性；(4)在扩充复平面上的一一对应性.在z 平面和w 平面上分别任意给定三个相异点z 1，z 2，z 3，w 1，w 2，w 3，则存在唯一的将z 1，z 2，z 3分别映射为w 1，w 2，w 3分式线性映射323211231231::w w z z w w z z w w w w z z z z ----=----.几个典型的分式线性映射如下：(1)将上（下）半平面映射为上（下）半平面,,,,az b w a b c d cz d+=+为实常数,且0ad bc ->. (2)将上半平面映射为单位圆内部00,i z z w e z z θθ-=-为实数. (3)单位圆映射到单位圆 000,1,1i z z w e z z zϕϕ-=<-为实数. 几个初等解析函数的映射性质： (1)幂函数n w z =(n ≥2的自然数)的映射特点：1)除原点外处处是共形的；2)把以原点为顶点、张角为ϕ的角形区域映射为以原点为顶点、张角为n ϕ的角形区域.(2)指数函数z w e =的映射特点：1)是全平面上的共形映射；2)把Re()z =常数的直线映射为圆周w =常数，把Im()z =常数的直线映射为射线arg()w =常数；3)把水平的带形区域0Im()(2π)z a α<<≤映射为角形区域0arg w α<<.重要术语及主题保角映射 伸缩率 共形映射分式线性映射 幂函数 指数函数习题六 1.求在映射1w z=下，下列曲线的像. (1) 22x y ax +=(0a ≠，为实数);(2) y kx =(k 为实数).2.下列区域在指定的映射下映成什么？(1) Im()0,(1)z w i z >=+;(2) Re()0,0Im()1,i z z w z ><<=. 3.求2w z =在z =i 处的伸缩率和旋转角，问：2w z =将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面 上哪一个方向？并作图.4.一个解析函数所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射2w z =在z 平面上每一点都具有这个 性质吗？5.*求将区域01x <<变为本身的整线性变换w z αβ=+的一般形式.6.试求所有使点± 1不动(即将点± 1映射为点± 1)的分式线性映射.7. 若分式线性映射az b w cz d+=+ 将圆周|z |=1映射为直线，则其系数应满足什么条件？8.试确定在映射11z w z -=+ 作用下，下列集合的象.(1) Re()0z =; (2) 2z =; (3) Im()0z >.9.求出一个将右半平面Re()0z >映射成单位圆|w |<1的分式线性映射.10.映射1i z w e zϕαα-=- 将|z |<1映射为|w |<1，实数ϕ的几何意义是什么？11.求将上半平面Im()0z >映射成单位圆|w |<1的分式线性映射w =f (z )，并满足条件：(1)()0,arg ()0f i f i '==; (2) (1)1,()f f i ==12.求将|z |<1映射成|w |<1的分式线性映射w =f (z )，并满足条件： (1) 1()0,(1)12f f =-=; (2) 11π()0,arg ()222f f '==; (3) (),arg ()f a a f a ϕ'==;13.求将顶点在0,1,i 的三角形的内部映射为顶点依次为0,2,1+i 的三角形的内部的分式线性映射.*14.求出将圆环域2<|z |<5映射为圆环域4<|w |<10，且使得f (5)=-4的分式线性映射.15.映射2w z =将z 平面上的曲线221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭映射到w 平面上的什么曲线？ 16.映射z w e =将下列区域映为什么图形：(1)直线网Re(z )=C 1，Im(z )=C 2;(2)带形区域α<Im (z )<β,0≤α<β≤ 2π;(3)~半带形区域Re (z )>0，0<Im (z )<α，0≤α≤ 2π.*17.求将单位圆的外部|z|>1保形映射为全平面除去线段-1<Re(w)<1，Im(w)=0的映射.18*.求出将割去负实轴-∞<Re(z)≤0，Im(z)=0的带形区域-π2<Im(z)<π2映射为半带形区域-π<Im(w)<π，Re(w)>0的映射.19.求将Im(z)<1去掉单位圆|z|<1保形映射为上半平面Im(w)>0的映射.20*.映射w=cos z将半带形区域0<Re(z)<π，Im(z)>0保形映射为w平面上的什么区域？。