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力学复习选择：力系简化最后结果（平面，空间）牵连运动概念（运动参考系运动，牵连点运动） 平面运动刚体上的点的运动平面运动的动能计算（对瞬心，及柯里西算法） 质心运动定理（投影法x ，y ，z ，轨迹）惯性力系想一点简化计算：刚体系统平衡计算（多次取分能力体，一般为2次） 平面运动 速度的综合计算 动能定理应用动静法（其他方法不得分），已知运动求力（先用动能（动量）定理求运动，在用动静法求力）注意：1.功的单位是m WN ------∙2.注意检验fs N F f F ≤∙,判断是否是静摩擦，当为临界状态时max f s s N F F f F ==∙，纯滚动为静摩擦S F ,且只能根据平衡方程解出，与正压力无关。
动摩擦f NF f F =∙。
3. 动静法中惯性力简化()=-IC i i CIC c IC c F m a c F ma c M J α⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒⎨⎬=------⎪⎪⎩⎭∑质心过点到底惯性力绕点的惯性力偶二维刚体4.e c i i F ma m a ==∑∑， 22d ,d i i cc c m r r r a m t==∑eF ∑=0，则x v =常数=0（初始静止）则c x =常数=坐标系中所在位置，且c S 为直线。
（一直运动求力）5.平面运动刚体动能*222121122c c c J T mv J ωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭瞬心法：柯里希法： 6.平面运动速度分析方法：a,基点法：,BA BA BA v v v v AB ω=+=，以Bv为对角线的平行四边形b,速度投影法：cos cos B B A A v v θθ=,,B A θθ是以AB 为基准。
c,速度瞬心法：***,*,0,0AB c c v v BC v a ACωω==∙=≠ 7.平面运动加速度分析：A.基点法：nB A BA BA a a a a τ=++，其中，多数情况下n A A A a a a τ=+，n B B B a a a τ=+注：当牵连运动为转动时，有科氏加速度k a ，2kr av ω=⨯大小：2kr a v ω=，方向：r v 向ω方向转90即可。
理论力学讲义铜仁学院物理与电子科学系冯云光绪论一、理论力学研究对象和任务：1、研究对象；研究物体机械运动普遍遵循的基本规律并将其用严密的数学表述，使其完全可以用严格的分析方法来加以处理。
机械运动物体在空间的相对位置随时间而改变的现象。
2、任务：归纳机械运动的规律。
（借助严密的数学规律进行归纳）3、表达方式；（理论力学分为矢量力学和分析力学两大部分。
）（1）、矢量力学（牛顿力学）从物体之间的相互作用出发，借助矢量分析这一数学工具，运用形象思维方法，通过牛顿定律揭示物体受力与其运动状态之间的因果关系来确定物体的运动规律。
特点：形象直观，易于处理简单的力学问题，范围：仅能解决经典力学问题。
（在矢量力学中，涉及量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。
力是矢量力学中最关键的量。
）（2）、分析力学：从牛顿力学的基础上发展起来的，它借助数学分析这一工具，运用抽象思维方法，研究力学体系整体位形变化。
特点“从各种运动形态通用的物理量—能量出发，它的运用远远超出经典力学范围，也适用非力学体系。
（分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。
动能和势能是最关键的量。
）（分析力学是由拉格朗日、哈密顿等人建立并完善起来的经典力学理论，它的理论体系和处理问题方法，完全不同于牛顿力学，它代表经典力学的进一步发展，它揭示出支配宏观机械运动的更普遍的规律，以致能用比较统一的方法处理力学体系的运动问题，它揭示出力学规律与其他物理的过渡起了重要作用，分析力学已经成为学习后继课程的必要基础。
）二、理论力学的研究内容1、运动学：从几何的观点来研究物体位置随时间的变化规律，而未研究引起这种变化的物理原因。
2、动力学：研究物体运动和物体间相互作用的联系，阐明物体运动的原因。
3、静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。
（它可以看作动力学的一部分，质点、质点系，刚体）三、理论力学的研究方法1、理论力学的研究方法观察、实验，总结实验规律，建立物理模型，提出合理假设，数学演绎、逻辑推理，探讨规律，实验验证。
理论力学考研专业课资料理论力学是工程力学学科的基础课程之一，是为力学相关专业培养学生的核心学科。
考研是理论力学学科的重要考试内容之一，对学生来说，准备充足的考研专业课资料至关重要。
在本文中，将为大家提供一些理论力学考研专业课资料，以供参考。
第一部分：基础理论1. 力学基本概念和基本法则- 定义力、质点、刚体等基本概念；- 探讨力、力矩、力的合成与分解等基本法则。
2. 力学基本原理- 牛顿三定律及其应用；- 动量与动量守恒定律；- 力学能量守恒定律；- 力学功与功率。
3. 力学基本方程- 牛顿第二定律及其应用；- 刚体平衡条件和平衡方程；- 动力学基本方程。
第二部分：静力学1. 质点和刚体的平衡- 质点的平衡条件；- 杆的平衡条件；- 平面刚体平衡条件；- 空间刚体平衡条件。
2. 受力分析- 力的合成与分解；- 导线受力分析；- 框架结构受力分析。
第三部分：动力学1. 质点运动学- 位置、位移、速度、加速度等基本概念；- 直线运动和曲线运动的描述方法；- 速度和加速度的关系。
2. 质点动力学- 牛顿第二定律的应用；- 矩形坐标系和极坐标系下质点运动方程的推导；- 受阻运动和无阻运动。
3. 刚体运动学- 刚体的平面运动和空间运动描述方法；- 刚体的平动和转动。
第四部分：能量方法1. 动能和势能- 动能与动能定理；- 弹性势能、引力势能和位能；- 机械能守恒定律。
2. 功能原理- 功能描述及其应用；- 功能守恒定律。
第五部分：振动和波动1. 振动- 单自由度系统的振动；- 多自由度系统的振动。
2. 波动- 机械波的传播；- 声波的特性。
总结：以上是对理论力学考研专业课资料的简要介绍，其中包括了基础理论、静力学、动力学、能量方法以及振动和波动的内容。
在备考过程中，建议学生注重对基础理论和基本概念的理解，加强解题思维能力和实际应用能力的培养。
此外，多做习题、参加模拟考试和自主学习也是非常重要的。
希望以上资料能对考生备考理论力学这门课程有所帮助。
理论力学教案完整版第一章：引言1.1 课程介绍理解理论力学的基本概念和重要性。
了解理论力学与其他相关学科的联系和区别。
1.2 理论力学的应用领域讨论理论力学在工程、物理等领域的应用。
举例说明理论力学在其他学科中的重要性。
1.3 力学的基本量度和单位介绍力学中常用的基本量度，如长度、质量和时间。
解释国际单位制（SI）及其在力学中的应用。
第二章：牛顿运动定律2.1 第一定律：惯性定律解释牛顿第一定律的定义和含义。
讨论惯性参考系的概念。
2.2 第二定律：加速度定律推导牛顿第二定律的数学表达式。
讨论力、质量和加速度之间的关系。
2.3 第三定律：作用与反作用定律解释牛顿第三定律的定义和含义。
讨论作用力和反作用力的概念。
第三章：运动的描述3.1 位置、位移和速度定义位置、位移和速度的概念。
解释这些物理量的关系和应用。
3.2 角速度和转速引入角速度和转速的概念。
讨论这些物理量在旋转物体中的应用。
3.3 加速度和角加速度定义加速度和角加速度的概念。
解释这些物理量与速度和角速度之间的关系。
第四章：牛顿力学的基本方程4.1 牛顿第二定律的积分形式推导牛顿第二定律的积分形式。
解释力和加速度之间的关系。
4.2 牛顿力学中的能量守恒解释能量守恒定律在牛顿力学中的应用。
讨论动能和势能的概念及其转化。
4.3 牛顿力学中的动量守恒解释动量守恒定律在牛顿力学中的应用。
讨论封闭系统和不受外力的条件。
第五章：静力学5.1 力的合成和分解解释力的合成和分解的概念。
推导力的合成和分解的数学表达式。
5.2 平衡条件解释平衡条件的定义和含义。
推导物体在平衡状态下的受力分析。
5.3 静力学的应用讨论静力学在工程和物理中的应用。
举例说明静力学在实际问题中的解决方法。
第六章：动力学方程6.1 牛顿第二定律的微分形式推导牛顿第二定律的微分形式。
解释力和加速度之间的关系。
6.2 动力学方程的建立讨论动力学方程的建立过程。
推导动力学方程的一般形式。
6.3 动力学方程的应用讨论动力学方程在实际问题中的应用。
一、选择题1、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果是 。
①主矢等于零，主矩不等于零； ②主矢不等于零，主矩也不等于零； ③主矢不等于零，主矩等于零； ④主矢等于零，主矩也等于零。
2、重P 的均质圆柱放在V 型槽里，考虑摩擦柱上作用一力偶，其矩为M 时（如图），圆柱处于极限平衡状态。
此时按触点处的法向约束力N A 与N B 的关系为 。
①N A = N B ； ②N A > N B ； ③N A < N B 。
3、在图示机构中，杆O 1 A //O 2 B ，杆O 2 C //O 3 D ，且O 1 A = 200mm ，O 2 C = 400mm ，CM = MD = 300mm ，若杆AO 1 以角速度 ω= 3 rad / s 匀速转动，则D 点的速度的大小为 cm/s ，M 点的加速度的大小为 cm/s 2。
① 60； ②120； ③150； ④360。
4、曲柄OA 以匀角速度转动，当系统运动到图示位置（OA //O 1 B ，AB OA ）时，有A vB v ，A a B a ，AB ω 0，αAB 0。
①等于； ②不等于。
5.图示，已知1F 、2F 、α，则1F 和2F 在x 轴上的投影为 （ ） 。
（A ）αcos 11F F x =，02=x F ； （B ）αcos 11F F x -=，02=x F ； （C ）αcos 11F F x =，22F F x =； （D ）αcos 11F F x -=，22F F x -=6.曲柄连杆机构以等角速度ω转动，已知OA=OB=R ，OA 垂直于OB 。
均质杆OA 及AB 的质量分别为2m 和3m ，则4所图示系统的动量为（ ）。
A.mRωB.2mRωC. 4mRωD. 6mRω7、若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直线但方向相反。
则其合力可以表示为 。
①12F F -； ②21F F -； ③12F F +。
第一章静力学公理和物体的受力分析本章的主要内容：*静力学的基本概念和公理；*物体的受力分析。
具体内容：*刚体和力的概念*静力学公理*约束和约束反力*物体的受力分析和受力图重点：熟练掌握约束分析、物体的受力分析、受力图§1-1 刚体和力的概念1 刚体的概念受力时不变形的物体-----刚体内任意两点之间的距离保持不变。
刚体是理想模型。
能否作为刚体取决于所研究问题的性质。
理论力学研究刚体；材料力学研究变形体。
2 质点、质点系质点：具有质量，其大小和形状可忽略不计的物体。
质点也是理想模型。
能否作为质点取决于所研究问题的性质质点系：具有一定联系的一群质点。
不变质点系：各质点间的距离保持不变的质点系(刚体)。
可变质点系：质点间的距离可变的质点系。
3 平衡是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态4 力力是物体间相互的机械作用。
这种作用有两种效应：使物体的运动状态或/和形状发生变化。
力的三要素：大小，方向，作用点。
力是定位矢量,用有向线段表示5 力系有一定联系的一群力。
平衡力系：如果物体在一力系作用下保持平衡，则称这个力系为平衡力系。
等效力系：如果两个力系的作用效果完全相同，则称这两个力系为等效力系。
合力：如果一个力与一个力系等效，则这个力称为这个力系的合力；而力系中的力称为此合力的分力。
§1-2 静力学公理公理 1： 力的平行四边形法则：作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以这两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示。
是力系简化的基础，适于刚体、变形体。
公理 2 ：二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的充分必要条件是：这两个力的大小相等、方向相反、作用在同一直线上。
对刚体，上面的条件是充分必要条件。
对变形体是必要条件，而非充分条件 表明了作用于刚体上最简单力系平衡时必须满足的条件；对刚体有些平衡问题可归结为二力平衡的问题。
五、达朗伯原理达朗伯原理是一种解决非自由质点系动力知识题的普遍主意。
这种主意将质点系的惯性力虚加在质点系上，使动力知识题可以应用静力学写平衡方程的主意来求解，故称为动静法，动静法在工程技术中得到广泛的应用。
（一）惯性力当质点受到其他物体的作用而改变其本来运动状态时，因为质点的惯性产生对施力物体的反作使劲，称为质点的惯性力。
惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。
惯性力的表达式为（二）达朗伯原理在非自由质点M运动中的每一瞬时，作用于质点的主动力F、约束反力N和该质点的惯性力FI构成一假想的平衡力系。
这就是质点达朗伯原理，其表达式为在非自由质点系运动中的每一瞬时，作用于质点系内每一质点的主动力Fi、约束反力N，和该质点的惯性力FiI构成一假想的平衡力系。
这就是质点系达朗伯原理。
即（三）刚体运动时惯性力系的简化对刚体动力知识题，可以将刚体上每个质点惯性力组成惯性力系，使劲系简化的主意，得出简化结果。
这些简化结果与刚体的运动形式有关。
详细结果见表4-3-9。
（四）动静法按照达朗伯原理，在质点或质点系所受的主动力、约束反力以外，假想地加上惯性力或惯第1 页/共7 页性力系的简化结果，则可用静力学建立平衡方程的主意求解动力知识题，这种求解动力知识题的主意称为动静法。
必须指出，动静法只是解决动力知识题的一种主意，它并不改变动力知识题的性质，因为惯性力并不作用在质点或质点系上，质点或质点系也不处于平衡状态。
动静法中“平衡”只是形式上的平衡，并没有实际意义。
应用动静法列出的平衡方程，实质上就是运动微分方程。
（五）例题[例4—3—13] 长方形匀质薄板重W，以两根等长的软绳支持如图4—3—37所示。
设薄板在图示位无初速地开始运动，图中α=30°。
求此时绳子中的拉力。
[解](1)对象以平板的为研究对象。
(2)受力分析运动开始时板受重力w、软绳约束反力T1、T2。
复习资料一、判断题 1．在自然坐标系中，如果速度的大小v =常数，则加速度a =0。
（错） 2.不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理v a=v e+v r 皆成立。
（对）3.某一力偶系，若其力偶矩矢构成的多边形是封闭的，则该力偶系向一点简化 4．刚体处于瞬时平动时，刚体上各点的加速度相同。
（错） 5.某力系在任意轴上的投影都等于零，则该力系一定是平衡力系。
（错） 6．已知质点的质量和作用于质点的力，其运动规律就完全确定。
（错） 7．两个半径相同，均质等厚的铁圆盘和木圆盘，它们对通过质心且垂直于圆面的回转半径相同。
（错） 8．质心的加速度只与质点系所受外力的大小和方向有关，而与这些外力的作用位置无关。
（对） 9．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。
（错） 10.在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平移。
（错）11.在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
（错）时，主矢一定等于零，主矩也一定等于零。
（对）12.某空间力系由两个力构成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最后结果必为力螺旋。
（对）13.已知直角坐标描述的点的运动方程为X=f1（t ），y=f2（t ），z=f3（t ），则任一瞬时点的速度、加速度即可确定。
（对）14.一动点如果在某瞬时的法向加速度等于零，而其切向加速度不等于零，尚不能决定该点是作直线运动还是作曲线运动。
（对）15.刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。
（错） 16某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理[][]A AB B ABv v =永远成立。
（对）二、填空题1. 杆AB 绕A 轴以ϕ=5t （ϕ以rad 计，t 以s 计） 的规律转动，其上一小环M 将杆AB 和半径为R （以m 计）的固定大圆环连在一起，若以O 1为原点，逆时针为正向，则用自然法表示的点M 的运动方程为_Rt Rs 102π+=。
1.10 解：由题意可知质点运动轨迹如题1.10.1图所示，∙⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p ,2xyO题1.10.1图则质点切向加速度分量dv a dt τ=，法向加速度分量2n v a ρ=，而且有关系式：22dv v k dt ρ=-①，其中23/21(1)y y ρ''='+②。
由抛物线方程22y px =得：22ydy pdx =，⇒dy p dx y =③，22223d y p dy p dx y dx y=-=-④，联立①②③④得： 232222223/23/2222()(1)p y dvp kv kv p dtp y y=-=-++⑤。
又dv dv dy dv y dt dy dt dy=⋅= ⑥，把22y px =两边对时间t 求导得yy x p = ，又因为222v x y =+ ，所以22221v y y p =+ ，即2201v y yp =-<+ ⑦（注意其中负号）。
将⑥⑦代入⑤得22223/2222()1v dv p kvdy p y y p-=-++，整理得 222dv kp dy v p y=+⑧， 对等式两边积分：222v p up dv kpdy v p y -=+⎰⎰⇒ ln 22()44ppv yk arctgk k u pπππ-=⋅=--=-,即得k v ue π-=。
另解：沿质点运动方向建立自然坐标轴（如下图），在该自然坐标系中，质点切向加速度分量dv a dt τ=，法向加速度分量2n v a ρ=，根据题意两者关系式为：22dv v k dt ρ=-①，其中0ds d ρθ=>②，在这里，当质点沿自然坐标轴正方向运动时，θ也不断变大。
将②代入①并整理得22ds dv dvkd dt v vθ==-。
③y(,)2p p θ x(,)2pp - s另外，根据数学知识θ应满足1()dy dx p tg dx dy y θ-===，其中在起点(,)2p p ，1,4tg πθθ=⇒=；而在终点(,)2p p -，31,4tg θθπ=-⇒=。
对③式两边定积分得3/4/42v udv kd vππθ=-⎰⎰，⇒k v ue π-= 。
（说明：相比较第二种解法更简单，推荐！） 1.11解：由题设可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示，因此有vαr a题1.11.1图2cos sin n dv a a dt v a a r ταα⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，两式相除得：2c dv v tg dt r α=，进而⇒ 020c v t v dv tg dt v r α=⎰⎰，⇒011c tg t v v r α=-，此即质点速度随时间变化的规律。
1.19 解：质点从抛出到落回抛出点可分为上升和下降两阶段。
取向上为正方向，各力示意如题1.19.1图，ymgv vRRmg上升时 下降时题1.19.1图则两个过程的运动微分方程为：上升：2222(1)mymg mgk v mg k v =--=-+ ①； 下降：2222(1)mymg mgk v mg k v =-+=-- ②； 对于上升阶段: 22(1)yy dv g k v dt =-+，两边同时乘以dy 得：22(1)y y y y dvdy v dv g k v dy dt ==-+，经分离变量后得：221y y y v dv gdy k v =-+，再对两边定积分：002201hy y v yv dv gdy k v =-+⎰⎰，其中设质点从y 轴原点处抛出，最高上升高度为h ，积分后得 22021ln(1)2k v gh k -+=-，⇒2202ln(1)2k v h gk +=。
③ 而对于下降阶段：22(1)yy dv g k v dt =--，与上面类似可得221y y yv dv gdy k v =--，两边定积分：02201y v y y h y v dv gdy k v =--⎰⎰，⇒022201ln(1)2yv y h k v gy k --=-，⇒2221ln(1)2y k v gh k--=。
④（注意：这里22ln(1)0y k v -<）将③代入④消去h 得：22220ln(1)ln(1)y k v k v --=+，⇒22220111y k v k v -=+，⇒2202201y v v k v =+，⇒落回原点时质点速度02201y v v k v =-+，其中负号表示速度方向向下。
说明：（1）在计算下降过程时，可以重新设向下为y 轴正方向，②式变为2222(1)dv m mg mgk v mg k v dt =-=-，⇒221vdv gdy k v =-，⇒22001v h vdvgdy k v=-⎰⎰，⇒2221ln(1)2k v gh k--=，与④式结论一致！这么做的好处是不容易出错！（2）本题中阻力2R v ∝，因此必须分上下两阶段分别计算，①②两式不能合并为一个式子！倘若阻力R v ∝，即阻力2R mgk v =-，则上下两阶段可统一表示为一个方程：2ma mg mg k v =- ，分量方程为22(1)y y y dv g gk v g k v dt=--=-+，⇒00201y v y y v yv dv gdy k v =-+⎰⎰，⇒02211(1)01y v y v y dv k k v -=+⎰，⇒2022011ln 1y y k v v v k k v +-=+， ⇒222200ln(1)ln(1)y y k v k v k v k v -+=-+，(注意：末速0y v <)，图解如下：1.28 解：建立如题1.28.1图所示直角坐标系。
椭圆方程为22221x y a b+=①，静止ab A BOx y 题1.28.1图小球从A 滑到最低点B ，只有重力做功，根据机械能守恒定律有212mgb mv =②；设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为N ，则有：2v N mg m ρ-=③，其中ρ为轨道在B 点的曲率半径。
由A B →的轨迹方程：2210x y b a=--<得：22201/dy b x y dx a x a '==>-、23/222(1)0b x y a a-''=->；根据曲率公式有：3322222221(1)[(1)]y ab k b y a x aρ''==='+--，而在最低点0x =，代入上式得B 点曲率半径2a bρ=；再将②及ρ代入③得：22222()(1)/gb b N m g mg a b a=+=+，根据作用力与反作用力的关系知，小球到达椭圆最低点时对椭圆轨道压力为222(1)b W a +，方向垂直轨道向下。
补充说明：在A 点曲率半径2b a ρ=，它与B 点曲率半径2a bρ=是对称的！1.38 解：要满足势能的存在，即力场必须是无旋场（0F ∇⨯=），亦即力为保守力。
ˆˆˆ()()()0y y x x z z F F F F F F F i j k y z z x x y∂∂∂∂∂∂∇⨯=-+-+-=∂∂∂∂∂∂ ，⇒,,y y x x z z F F F F F F y z z x x y ∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂，得322331131221a a a a a a=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(,1,2,3)ij a i j =满足上式关系时，才有势能存在。
势能为111213212223313233222112233121323222112233121323()()()1[(222)]21(222).2x y z V F dr F dx F dy F dza x a y a z dx a x a y a z dy a x a y a z dz d a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a xy a xz a yz C =-⋅=-++=-++++++++=-+++++=-++++++⎰⎰⎰⎰1.42 证明：()a 依据上题结论，我们仍然取极坐标如下图。
Op vθr θ θxa质点运动轨迹为一圆周，则其极坐标方程为2cos r a θ=。
由图示可见：2cos r a θ=，22cos p a θ=，⇒22r p a =，故222225()182()02r d a mh a F r mh dr r-==-<（引力）。
即力与距离5次方成反比，负号表示力的方向与径向相反。
1.48 解：由§1.9给出的条件：人造地球卫星近、远地点距离12,r r 分别为12439,2384r km r km ==，地球半径6370R km ≈。
卫星作椭圆运动存在两个守恒量：机械能和角动量，因此可列出以下两个守恒方程：22121211221122()() GMm GMm mv mv r R r R mv r R mv r R ⎧-=-⎪++⎨⎪+=+⎩①②，另外有2GM g R ≈③， 联立①②③得222112122121222()(2)()2()(2)()gR r R v r r R r R gR r R v r r R r R ⎧+=⎪+++⎪⎨+⎪=⎪+++⎩④⑤，将具体数据代入得 18106/v m s ≈，26305/v m s ≈。
另解：根据机械能守恒及椭圆运动机械能表达式有：22121212112222GMm GMm GMm GMmmv mv r R r R a R r r -=---++++==①，结合2GM g R ≈②得：222112122121222()(2)()2()(2)()gR r R v r r R r R gR r R v r r R r R ⎧+=⎪+++⎪⎨+⎪=⎪+++⎩④⑤，相比较此方法更简单！ 另外，椭圆运动周期3/23/23/21/2222/2/ba ab a a a T h h k h pππππ⨯====，其中a 为椭圆轨道长半轴，121(2)7781.52a r r R km =++=，73/21.99410(/)k GM gR m s =≈=⨯，因此，63/272 3.1416(7.78210)6841()114(min)1.99410T s ⨯⨯⨯===⨯。
2.7 解：建立如题2.7.1图所示的直角坐标系。
OxyMmVθ题2.7.1图设质点m 相对于光滑半球M 的相对速度大小为r v ，显然0r v a θ=> ，光滑半球M反冲速度为V ，如图中所示，这样m 的绝对速度ˆˆ(cos )sin v l V i l j θθθθ=-- 绝对。
由于水平面光滑，所以系统在水平方向动量守恒：(cos )0m l V MV θθ--= ①；另外，这里系统的机械能显然是守恒的，因此有211(cos cos )22mv MV mga αθ+=-2绝对， 将v 绝对代入得22211[(cos )(sin )](cos cos )22m l V l MV mga θθθθαθ-++=- ， 整理得222()(2cos )2(cos cos )M m V m l l V mga θθθαθ++-=- ②。
