浙江2020版高考数学大一轮复习《2.8函数与方程》夯基提能作业含答案

（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性、对称性练习（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性、对称性练习（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第3讲函数的奇偶性、对称性［基础达标］1．（2019·舟山市普陀三中高三期中）下列函数既是奇函数，又在（0，＋∞)上单调递增的是（）A．y＝－x2B．y＝x3C．y＝log2x D．y＝－3－x解析：选B。

A.函数y＝－x2为偶函数，不满足条件．B．函数y＝x3为奇函数，在（0，＋∞）上单调递增，满足条件．C．y＝log2x的定义域为（0,＋∞),为非奇非偶函数,不满足条件．D．函数y＝－3－x为非奇非偶函数，不满足条件．2．（2019·衢州高三年级统一考试）已知f（x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x）＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f（x）＝（)A．－x3－ln（1－x）B．x3＋ln(1－x）C．x3－ln(1－x）D．－x3＋ln（1－x）解析:选C。

当x<0时，－x>0，f(－x）＝（－x)3＋ln(1－x)，因为f（x)是R上的奇函数,所以当x＜0时，f(x)＝－f(－x）＝－[（－x）3＋ln（1－x)],所以f(x)＝x3－ln（1－x）．3．若f（x)＝（e x－e－x）(ax2＋bx＋c)是偶函数,则一定有（)A．b＝0 B．ac＝0C．a＝0且c＝0 D．a＝0,c＝0且b≠0解析：选C。

§ 4.6　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用A 组　基础题组1.(2017浙江名校协作体)为了得到函数y=sin 的图象,可以将函数(2x +π6)y=sin 的图象( )(2x +π3)A.向左平移个单位长度π6B.向右平移个单位长度π6C.向左平移个单位长度π12D.向右平移个单位长度π12答案　C 因为y=sin =sin ,所以仅需将函数y=sin(2x +π3)[2(x +π12)+π6]的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=sin 的图象,故(2x +π6)π12(2x +π3)选C.2.(2017浙江嘉兴基础测试)若函数g(x)的图象可由函数cos 32x的图象向右平移个单位长度得到,则g(x)的解析式是( )π6 A.g(x)=2sin 2xB.g(x)=2sin(2x +π6)C.g(x)=2sinD.g(x)=2sin (2x +π2)(2x +2π3)答案　A ∵f(x)=2sin ,∴g(x)=2sin =2sin 2x.(2x +π3)[2(x -π6)+π3]3.(2018温州十校联合体期初)函数y=f(x)在区间上的简图如图所[-π2,π]示,则函数y=f(x)的解析式可以是( )A.f(x)=sinB.f(x)=sin (2x +π3)(2x -2π3)C.f(x)=sinD.f(x)=sin (x +π3)(x -2π3)答案　B 由题中图象知A=1,因为=-=,T 2π3(-π6)π2所以T=π,所以ω=2,所以函数的解析式是f(x)=sin(2x+φ),因为函数的图象过点,(π3,0)所以0=sin ,(2×π3+φ)所以φ=kπ-,k∈Z,2π3所以当k=0时,φ=-,2π3所以函数的一个解析式是f(x)=sin ,故选B.(2x -2π3) 4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的可能取值是( )A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=-π3π3C.ω=,φ=D.ω=,φ=-12π612π6答案　C 由题图知函数f(x)的最小正周期T==4×=4π,2πω[2π3-(-π3)]解得ω=,所以f(x)=sin,12(x2+φ)又由题图得·+φ=2kπ+,k∈Z,122π3π2取k=0,则φ=.故选C.π65.(2017温州中学月考)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的图象与x 3轴的两个相邻交点的距离等于,若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位得到π2π6函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的一个减区间为( )A. B. C. D.(-π3,0)(-π4,π4)(0,π3)(π4,π3)答案　D f(x)=2sin ,由题意得=,得ω=2,∴f(x)=2sin .(ωx -π3)T 2π2(2x -π3)从而g(x)=2sin 2-=2sin 2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,得(x +π6)π3π232π4+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,故选D.346.已知函数f(x)=sin(x-π),g(x)=cos(x+π),则下列结论中正确的是( )A.函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2πB.函数y=f(x)·g(x)的最大值为2C.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=g(x)的图象π2D.将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后得到y=g(x)的图象π2答案　C ∵f(x)=sin(x-π)=-sin x,g(x)=cos(x+π)=-cos x,∴f(x)·g(x)=-sin x·(-cos x)=.sin2x2最小正周期为π,最大值为,故A,B 错误;12将f(x)的图象向左平移个单位后得到y=-sin =-cos x=g(x)的图象,故π2(x +π2)C 正确;将f(x)的图象向右平移个单位后得到y=-sin =cos x 的图象,故D 错π2(x -π2)误,故选C.7.(2018宁波十校联考模拟)将函数y=sin 的图象向左平移个单位长(2x -π3)π4度,所得函数图象的一条对称轴方程是( )A.x=π B.x=-π23112C.x=πD.x=π13512答案　A 将函数y=sin 的图象向左平移个单位长度,可得y=sin(2x -π3)π4=sin 的图象,令2x+=kπ+,k∈Z,求得x=+,k∈Z,可(2x +π2-π3)(2x +π6)π6π2kπ2π6得所得函数图象的对称轴方程为x=+,k∈Z,令k=1,可得所得函数图象的一kπ2π6条对称轴方程为x=,故选A.2π38.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则(ω>0,|φ|<π2)ω= ,φ= .答案　2;π6解析　由题图知,最小正周期T=π,又ω>0,故ω==2,当x=0时,2sin2πT φ=1,即sin φ=,因为|φ|<,所以φ=.12π2π69.(2018宁波模拟)已知函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,则函数f(x)的最小正周期为 ,振幅的最小值为 . 答案　π;22解析　函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,化简可得:f(x)=sin(2x+θ)a 2+(a +1)2=sin(2x+θ),其tan θ=.2(a +12)2+121+aa函数f(x)的最小正周期T==π.2π2振幅为,2(a +12)2+12当a=-时,可得振幅的最小值.122210.(2018温州中学高三模拟)已知函数f(x)=sin cos +cos 2.x 3x33x 3(1)求函数f(x)图象对称中心的坐标;(2)如果△ABC 的三边a,b,c 满足b 2=ac,且边b 所对的角为B,求f(B)的取值范围.解析　(1)f(x)=sin +122x332(1+cos 2x3)=sin +cos +=sin +,122x 3322x 332(2x 3+π3)32由sin =0,得+=kπ(k∈Z),得x=π,k∈Z,(2x 3+π3)2x 3π33k -12即对称中心坐标为,k∈Z.(3k -12,0)(2)已知b 2=ac,则cos B==≥=,所以≤cosa 2+c 2-b 22ac a 2+c 2-ac 2ac 2ac -ac 2ac 1212B<1,0<B≤,<+≤,π3π32B 3π35π9因为>,|π3-π2||5π9-π2|所以sin <sin ≤1,所以<sin +≤1+,π3(2B 3+π3)3(2B 3+π3)3232即f(B)的范围是.(3,1+32]11.(2017浙江湖州、衢州、丽水联考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y 轴交于点(ω>0,0<φ<π2)F(0,),与x 轴交于点B,C,且△MBC 的面积为π.2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f =,求cos 2α的值.(α-π4)255解析　(1)因为S △MBC =×2×BC=π,12所以T=2π=,所以ω=1,2πω由f(0)=2sin φ=,得sin φ=,222因为0<φ<,所以φ=,π2π4所以f(x)=2sin .(x +π4)(2)由f =2sin α=,得sin α=,(α-π4)25555所以cos 2α=1-2sin 2α=.3512.(2018宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)=sin(ωx +π3)(x∈R,ω>0)的图象如图,P 是图象的最高点,Q 是图象的最低点,且|PQ|=.13(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈[0,2]时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的最大值.解析　(1)过P 作x 轴的垂线,过Q 作y 轴的垂线两垂线交于点M,则由已知得|PM|=2,又|PQ|=,由勾股定理得|QM|=3,所以T=6,13又T=,所以ω=,2πωπ3所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=sin.(π3x +π3)(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,所以g(x)=sin x.π3函数h(x)=f(x)·g(x)=sin sin x(π3x +π3)π3=sin 2x+sin xcos x12π332π3π3=+sin x 14(1-cos 2π3x )342π3=sin +.12(2π3x -π6)14当x∈[0,2]时,x-∈,2π3π6[-π6,7π6]所以当x-=,即x=1时,h(x)max =.2π3π6π234B 组　提升题组1.函数y=sin 的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点(2x +π3)(-π12,0)中心对称( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度π12π12C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度π6π6答案　B 假设将函数y=sin 的图象向左平移ρ个单位长度得到(2x +π3)y=sin 的图象关于点中心对称,(2x +2ρ+π3)(-π12,0)所以将x=-代入得到sin =sin =0,π12(-π6+2ρ+π3)(π6+2ρ)所以+2ρ=kπ,k∈Z,π6所以ρ=-+,k∈Z,π12kπ2当k=0时,ρ=-.π122.(2018杭州高三期末检测)设A,B 是函数f(x)=sin |ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,若|AB|min =2π,则正实数ω=( ) A. B.1 C. D.21232答案　B 函数f(x)=sin |ωx|=ω为正数,所以f(x)的最{sin ωx ,x ≥0,-sin ωx ,x <0,小值是-1,如图所示:设A,B 是函数f(x)=sin |ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,且|AB|min =T=2πω=2π,解得ω=1.故选B.3.(2018杭州高级中学高三月考)将函数y=2sin (ω>0)的图象分别向(ωx -π4)左、向右各平移个单位后,所得的两个图象的对称轴重合,则ω的最小值为π4( )A. B.1C.2D.412答案　C 把函数y=2sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后,所(ωx -π4)π4得图象对应的函数解析式为y 1=2sin =2sin ,[ω(x +π4)-π4](ωx +ω-14π)向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y 2=2sinπ4=2sin .[ω(x -π4)-π4](ωx -ω+14π)因为所得的两个图象对称轴重合,所以ωx+π=ωx-π①,或ωx+π=ωx-π+kπ,k∈Z②.ω-14ω+14ω-14ω+14解①得ω=0,不合题意;解②得ω=2k,k∈Z.所以ω的最小值为2.故选C.4.(2018杭州七校联考)已知函数y=4sin ,x∈的图象与直线y=m (2x +π6)[0,7π6]有三个交点,其交点的横坐标分别为x 1,x 2,x 3(x 1<x 2<x 3),那么x 1+2x 2+x 3的值是( )A. B. C. D.3π44π35π33π2答案　C 由函数y=4sin的图象可得,当x=和x=时,(2x +π6)(x ∈[0,7π6])π62π3函数分别取得最大值和最小值,由正弦函数图象的对称性可得x 1+x 2=2×=,x 2+x 3=2×=.π6π32π34π3故x 1+2x 2+x 3=+=,故选C.π34π35π35.已知函数f(x)=msin ωxcos ωx+nsin 2ωx(ω>0)的图象关于点对称.(π12,1)(1)若m=4,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)的最小正周期是一个三角形的最大内角的值,又f(x)≤f对(π4)任意实数x 成立,求函数f(x)的解析式,并写出函数f(x)的单调递增区间.解析　(1)f(x)=msin ωxcos ωx+nsin 2ωx =sin(2ωx)+=+m2n [1-cos (2ωx )]2m sin (2ωx )-n cos (2ωx )2n2=sin(2ωx+θ)+.m 2+n 22n2其中cos θ=,sin θ=-.mm 2+n2n m 2+n2∵f(x)的图象关于点对称,(π12,1)∴=1,即n=2,∵m=4,∴f(x)=sin(2ωx+θ)+1,n25∴f(x)min =1-.5(2)由f(x)≤f对任意实数x 成立,(π4)得-=+k·,k∈Z,π4π12T 4T2其中T 为函数f(x)的最小正周期,且≤T<π,π3得k=0,T=.2π3∴2ω==3.2πT ∴f(x)=sin 3x-cos 3x+1,m2由f =sin -cos +1=1,得m=2.(π12)m2π4π4f(x)=sin 3x-cos 3x+1=sin +1.2(3x -π4)由-+2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,π2π4π2得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.π1223π423∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.[-π12+23kπ,π4+23kπ]。

课时跟踪检测（八）函数及其表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·杭州调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是()A．(2,3)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选Dx －4＞0，－3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)．2．已知x －5，且f (a )＝6，则a 等于()A．－74B．74C．43D．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．(2018·萧山质检)已知函数f (x ＋1x －2，x ＞2，2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝()A．－12B．2C．4D．11解析：选C∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.4．已知f (x )满足f x ，则解析：令3x －1＝－710，得x ＝10，∴f10＝1.答案：15．(2018·绍兴模拟)设函数f (x x，x ≤0，x ，x ＞0，则f (f (x ))＝1的解集为____________．解析：∵f ＝ln 12＜0，∴f f1ln 2＝12.∵x ＜0时，0＜e x ＜1，x ＝0时，e x＝1，∴当f (x )≤0时，由方程f (f (x ))＝1，可得f (x )＝0，即ln x ＝0，解得x ＝1.当f (x )＞0时，由方程f (f (x ))＝1，可得ln f (x )＝1，f (x )＝e，即ln x ＝e，解得x ＝e e .答案：12{1，e e}二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为()A．－2B．2C．－2或2D．2解析：选B当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2，故选B.2．(2019·台州模拟)已知f (x 3x ，x ＞0，x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3解析：选B由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x 3x ，x ＞0，＋1，x ≤0，则f＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.3．(2018·金华模拟)函数f(x)＝4－|x|＋lg x2－5x＋6x－3的定义域为()A．(2,3)B．(2,4] C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6]解析：选Cx≤4，＞2且x≠3，∴3＜x≤4或2＜x＜3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．4．(2018·金华联考)若函数f(x)的定义域是[1,2019]，则函数g(x)＝f x＋1x－1的定义域是()A．[0,2018]B．[0,1)∪(1,2018]C．(1,2019]D．[－1,1)∪(1,2018]解析：选B由题知，1≤x＋1≤2019，解得0≤x≤2018，又x≠1，所以函数g(x)＝f x＋1x－1的定义域是[0,1)∪(1，2018]．5．(2019·义乌质检)已知函数f(x1－2a x＋3a，x＜1，x，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]C.－1，解析：选C由题意知y＝ln x(x≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f(x)的值域为R，则必有y＝(1－2a)x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a＞0，且a≥－1，解得－1≤a ＜12，故选C.6．(2018·湖州月考)定义在R上的函数g(x)满足：g(x)＋2g(－x)＝e x＋2e x－9，则g(x)＝________.解析：∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2e x －9，①∴g (－x )＋2g (x )＝e －x＋2e －x －9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x＋1e x －9，②由①②联立解得g (x )＝e x －3.答案：e x－37．(2018·嘉兴高三测试)已知a 为实数，设函数f (x－2a ，x ＜2，2x －2，x ≥2，则f (2a ＋2)的值为________．解析：∵函数f (x－2a ，x ＜2，2x －2，x ≥2，而2a ＋2＞2，∴f (2a＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a .答案：a8．(2018·稽阳联考)已知f (x )＝＋1，x ≤0，＋4x－a ，x ＞0，若12，则a ＝________；若f (x )的值域为R，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x ＋1，x ≤0，＋4x －a ，x ＞0，∴＝－12＋1＝12，则＝12＋412－a ＝12＋8－a ＝12，得a ＝8.由y ＝x ＋1，x ≤0，得y ≤1；由y ＝x ＋4x －a ，x ＞0，得y ≥4－a ，∵f (x )的值域为R，∴4－a ≤1，解得a ≥3.答案：8[3，＋∞)9．记[x]为不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f (x )＝x ]－1，x ≥1，2＋1，x ＜1，则f (f (－1.2))＝________，f (x )≤3的解集为________．解析：根据[x ]的定义，得f (f (－1.2))＝f (2.44)＝2[2.44]－1＝3.当x ≥1时，由f (x )＝2[x ]－1≤3，得[x ]≤2，所以x ∈[1,3)；当x ＜1时，由f (x )＝x 2＋1≤3，得－2≤x ＜1.故原不等式的解集为[－2，3)．答案：3[－2，3)10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝mx上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组k ＋b ＝－2，＋b ＝4，＝2，＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x x ＋a ，x ＜1，x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为()A．－32B．－34C．－32或－34D．32或－34解析：选B当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a的值为－34，故选B.2．设函数f(x－x，x＜0，x，x＞0，若f(m)＞f(－m)，则实数m的取值范围是________．解析：函数f(x－x，x＜0，x，x＞0，当m＞0时，f(m)＞f(－m)，即－ln m＞ln m，即ln m＜0，解得0＜m＜1；当m＜0时，f(m)＞f(－m)，即ln(－m)＞－ln(－m)，即ln(－m)＞0，解得m＜－1.综上可得，m＜－1或0＜m＜1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝x2200＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．(1)求出y关于x的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．m＋n＝8.4，m＋n＝18.6，解得m＝1100，n＝0，∴y＝x2200＋x100(x≥0)．(2)令x2200＋x100≤25.2，得－72≤x≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章函数第08讲函数与方程 ---讲1. 理解函数零点的概念.2. 高考预测：（1）分段函数与函数方程结合；（2）二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.（3）常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.3.备考重点：（1）函数方程的概念（2）基本初等函数的图象和性质.知识点1．函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.【典例1】（2019·四川高考模拟（理））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（）A．B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】∵是定义在R上的奇函数，且当时，∴当时，则即则作出的图象如图：∵的图象与的图象关于对称 ∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a ，b 关于对称即则所有解的和为故选：C ． 【思路点拨】根据函数奇偶性，求出函数的解析式，结合的图象与的图象关于对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程的所有解的和．【变式1】（2019·安徽高考模拟（文））函数的所有零点之和等于______．【答案】2 【解析】 令，则.设，则，解得1t =-(舍去)或2t =.所以，解得1x =-或3x =.所以函数()f x 有两个零点1,3-，它们之和等于13 2.-+=知识点2．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )满足：①在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )<0；则函数y ＝f (x )在(a ，b )上存在零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根. 特别提醒两个易错点：(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.【典例2】（2019·云南省玉溪第一中学高考模拟（文））函数的零点所在的一个区间是（）A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）【答案】B【解析】由题，函数在定义域上单调递增且连续，，，f(0)=1>0，由零点定理得，零点所在区间是（-1,0），故选B.【重点总结】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【变式2】【2018届北京市十一学校3月零模】已知函数那么在下列区间中含有函数()f x零点的是（）A.10,3⎛⎫⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫⎪⎝⎭C.12,23⎛⎫⎪⎝⎭D.2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】,所以函数f(x)在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭必有零点，选B.考点1 判断函数零点所在区间【典例3】(2019·浙江省温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】B【解析】方法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的区间．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．方法二易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．【规律方法】判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．【变式3】【2018届北京市十一学校3月零模】已知函数那么在下列区间中含有函数()f x零点的是（）A.10,3⎛⎫⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫⎪⎝⎭C.12,23⎛⎫⎪⎝⎭D.2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】,所以函数f(x)在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭必有零点，选B.考点2 判断函数零点的个数【典例4】（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】当时,所以,,此时函数的小于零的零点为;当时, ,函数无零点;当时,,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A. 【总结提升】判断函数零点个数的方法：1.直接法：即直接求零点，令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数.4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.【变式4】（2019·四川高考模拟（文））函数的零点个数为______．【答案】2 【解析】 函数的定义域为()0+∞，， 画出两个函数()22y x =-，ln y x =的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2． 故答案为：2．考点3 函数零点的应用【典例5】（2019·新疆高考模拟（文））关于x 的方程有两个解，则a 的取值范围是（ ）A ．()1+∞， B ．()01， C ．()0+∞，D ．ϕ【答案】A 【解析】 由得：x a x a =+，当01a <<时，分别作出函数xy a =及y x a =+的图象如下：显然，两个函数图象只交于一点，故只有一解.当1a >时，分别作出函数xy a =及y x a =+的图象如下：显然，两个函数图象交于两点，故有两个解.所以实数a 的取值范围是1a >. 故选：A 【思路点拨】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【变式5】（2019·江西高考模拟（文））已知函数若函数的图像与x 轴的交点个数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】B 【解析】 由题可知函数的图像与x 轴的交点恰有3个，即为函数()y=f x 的图像与函数的图像的交点恰有3个， 函数的图像过定点()1,0P -，且斜率m ，当动直线过点()1,1A 时有2个交点，此时直线的斜率1.2m m =增大即有3个交点，故21>m 当动直线与直线2+=x y 平行时有2个交点，故1m <，综上：112m << 【典例6】(2019·河北保定一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1| (－1≤x ≤3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】A【解析】∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， ∴f (x )的周期为2.又f (x )为偶函数，∴f (1－x )＝f (x －1)＝f (x ＋1)， 故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－1≤x ≤3)的图象关于直线x ＝1对称，作出f (x )和g (x )的图象如图所示．【总结提升】函数零点的应用主要体现在三类问题：一是函数中不含参数，零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题；二是函数中含有参数，根据零点情况求函数中参数的范围；三是函数中有参数，但不求参数，仍是考查零点的范围问题．这三类问题最终都是通过数形结合转化为两函数图象的交点进行解决． 【变式6】【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺（二）】定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，又是奇函数，画出函数的图象，由函数图象可知：，有个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线与函数，交点的横坐标，即方程的解，，故选C.【典例7】已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－log12x，h(x)＝log2x－x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )A．x1＞x2＞x3B．x2＞x1＞x3C．x1＞x3＞x2D．x3＞x2＞x1【答案】D【解析】由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－log12x＝0，h(x)＝log2x－x＝0得2x＝－x，x＝log12x，log2x＝x.在坐标系中分别作出y＝2x，y＝－x；y＝x，y＝log12x；y＝log2x，y＝x的图象，由图象可知－1＜x1＜0,0＜x2＜1，x3＞1，所以x3＞x2＞x1.【变式7】已知e是自然对数的底数,函数的零点为a,函数的零点为b,则的大小关系为________.【答案】【解析】由题意,知恒成立,所以函数f(x)在R上是单调递增的,而所以函数f(x)的零点a∈(0,1);由题意,知g′(x)= 1x+1>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上是单调递增的,又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0, 所以函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以.。

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章 函 数第08讲 函数与方程---练1．（2019·新疆高考模拟（文））在下列区间中，函数的零点所在的区间为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，为上的增函数，，因为，所以，所以，但，所以的零点在区间，故选C.2．（2019·安徽高考模拟（文））设函数，则函数的零点个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】，由得，作出()f x 与31y x =+的图象，由图象知两个函数共有3个交点， 则函数()g x 的零点个数为3个，3．（2019·河南高考模拟（理））已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，，则函数的零点所在的区间为（ ） A ．(1,2) B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C 【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞，都有，又由()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，则为定值，设，则，又由()3f t =，∴，所以2t =，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）.4．（2019·天津高考模拟（文））已知函数若存在实数,,a b c 满足，其中c b a >>，则的取值范围是（ ）A ．24,36（）B ．48,54（）C ．24,27（）D ．()48,+∞【答案】B 【解析】画出图象，如图，a b c <<，∴由二次函数的性质可得6a b +=，由图可知，，，，，，即的取值范围是()48,54，故选B.5．（2019·北京高考模拟（文））已知函数若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,∞+ C ．(),1-∞ D ．()1,+∞【答案】B 【解析】指数函数20xy =>，没有零点，y x =-有唯一的零点0x ＝，所以若函数()f x 存在零点， 须有零点，即()0,a ∈-∞，则0a >， 故选：B.6.（2019·河南高考模拟（文））已知函数则函数的零点个数为（ ）. A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 由题意，令，得，令()f x t =,由()1f t =，得1t =-或22t =， 作出函数()f x 的图象，如图所示，结合函数()f x 的图象可知，()1f x =-有1个解，()2f x =有2个解，故的零点个数为3，故选B.7．（2019·陕西高考模拟（理））已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】 ∵当时，， 令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.8.（2015·湖南高考真题（文））若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】 画出的图像，和如图，要有两个交点，那么9.（2015·安徽高考真题（文））在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 . 【答案】12- 【解析】试题分析：x a =时取得最小值1-．即函数的图像的最低点为(),1a -．当0a ≥时，由数形结合可知此时直线2y a =与的图像必有两个交点，故舍；当0a <时，要使直线2y a =与的图像只有一个交点，则有直线2y a =必过点(),1a -，即21a =-，解得12a =-． 综上可得12a =-． 10. （2019·北京高考模拟（理））能说明“若函数()f x 满足，则()f x 在()0,2内不存在零点”为假命题的一个函数是______． 【答案】【解析】 可举函数，可得，即有f(0)f(1)>0⋅，但f(x)在(0,2)内存在零点1，可说明“若定义在R 上的函数()f x 满足f(0)f(2)>0⋅， 则f(x)在区间(0,2)上不存在零点”为假命题， 故答案为:1. 【2018届广东省揭阳市二模】函数的零点所在的区间为（ ） A. B.C.D.【答案】D 【解析】 函数的图像是连续的，且：，，，，，由函数零点存在定理可得函数点所在的区间为.本题选择D 选项.2.（2018·山东高三期中（文））已知函数，若函数有两个不同的零点，则的取值范围 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）-m有2不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有2交点，由图象可得m的取值范围为（-1，1）．故选A3.【2018届四川省成都市第七中学三诊】定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，故函数的零点即为函数和函数图象交点的横坐标．由可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的．从而先作出函数在区间上的图象，再依次作出在上的图象（如图）．然后再作出函数的图象，结合图象可得两图象的交点在函数的极大值的位置，由此可得函数在区间上的零点为，故所有零点之和为．故选D．4.（2019·广西高考模拟（文））已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是___.【答案】【解析】由题意得方程有三个不同的实数根，即方程有三个不同的实数根，所以函数和函数的图象有三个不同的交点．画出函数的图象如下图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个不同的交点，则需满足，解得或，所以实数的取值范围是．故答案为：．5.（2019·浙江高考模拟）已知函数，则__________，若实数a b c <<，且，则a b c ++的取值范围是__________．【答案】4 (]2,4 【解析】),因为a b c <<，且，所以, 4b c +=,因此.6．（2019·河南高考模拟（理））已知函数，则方程1()12f x x =+的实根个数为__________． 【答案】2 【解析】 当0x ≥时，将112y x =+代入，得，因为，所以112y x =+与相切.又易知xy e =,',xy e = 在()0,1处的切线的斜率为01e =.直线112y x =+在切线的上方， 所以112y x =+与有一个交点，故题中方程的根的个数为2.故答案为：2.1.（2018·全国高考真题（理））已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞） 【答案】C 【解析】 画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C.2.（2019·浙江高考真题）已知,a b ∈R ，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 当0x <时，，得1b x a=-；最多一个零点；当0x …时，，，当10a +…，即1a -…时，0y '…，在[0，)+∞上递增，最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点； 根据题意函数恰有3个零点⇔函数在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01ba<-且，解得0b <，10a ->，．故选：C ．3.【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–34.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4)【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.5.（2018·天津高考真题（理））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.6.（2019·江苏高考真题）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，，，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎢⎣⎭. 【解析】 当(]0,2x ∈时，即又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线的距离为12211k k k+=+，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎢⎣⎭，.。

第八节函数与方程【最新考纲】结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.©I基础梳理(1)定义：对于函数y=f(x)(xWD),把使f(x)=O成立的实数x 叫做函数y=f(x)(xWD)的零点.(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)=O有实根0函数y=f(x) 的图象与X轴有交点O函数V=f(x)有零点・(3)零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)・f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在x o e(a, b),使得f(Xg) = O・2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系A =b2—4ac A>0 A = 0 A<0二次函数y=ax +bx + c (a>0)的图象Al y\1J.y\1J0X0X\=X2X与x轴的交点(墅，0)，(X2，0)(xp 0) 无交点函数的零点•夯实双基1©I学情自测1・（质疑夯基）判断下列结论的正误.（正确的打，错误的打“X”）（1）函数f（x） = lgx 的零点是（1, 0）.（）（2）图象连续的函数= 在区间内有零点，则fCa）• /（6X0. （）⑶二次函数y = a/+bx+c在b2—4acv0时没有零点.（）（4）若连续函数y = fCx）在［%］上满足/（G）• f（6）＜0,则函数在［a,刃上只有一个零点. （）答案：（l）x ⑵X ⑶丿⑷X2.若函数/（刃唯一的一个零点同时在区间（0,16）,（0,8）,（0,4）,（0,2）内，则下列命题中正确的是（）A.函数/（工）在区间（0,1）内有零点B.函数/（工）在区间（0,1）或（1,2）内有零点C.函数*工）在区间［2,16）上无零点D.函数/（工）在区间（1,16）内无零点解析：由题意知，函数/（工）在区间［2,16）上无零点. 答案：C3・(2015 -安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.3； = cos JCB. 3/= sin JCC. y = ln xD. y = jc2 +1解析：由函数是偶函数，排除选项又选项D中函数没有零点，排除D，故选A.答案：A4.(2016 • L1J东实验中学模拟)函数/Q) = Q+l)ln工的零点有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：函数/(久)的定义域为(0,+oo),由0+1)In ^ = 0 得In工=0,解得工=1，即函数/(工)的零点只有1个. 答案：E5.(2014-北京卷)已知函数f(x)=^-log2x,在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A. (0, 1) B・(1, 2)C・(2, 4) D・(4, +8)解析：由题意f(l)=j—log2l =6>0, f(2) —log22 = 3 — 1= 2>0,f(4)=才一10宙4=]—2= —j<0.故f(2) f(4)<0.由零点存在性定理可知，包含f(x)零点的区间为(2, 4).答案:C•［名师微博•通法领悟｝—种思想转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数 问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.两点注意1・函数的零点不是点，是方程f(x) = 0的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点 处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.三种方法判断函数零点个数的常用方法 1・通过解方程来判断.2.根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.3•将函数y=f(x)—g(x)的零点个数转化为函数y=f(x)与y=g(x)图象公共点的个数来判断.32・设函数 f(x)=logn x,函数 g(x)=gSin 2x,则 f(x)与 g(x)的图象的交效提能一、选择题点个数为()A. 1 B ・ 2 C ・3D ・0解析：作出f(x), g(x)的图象，如图所示，可知有1个交点，故 选A ・3・(2015-陕西卷)设 f(x)=x —sin x,则 f(x)( )A ・既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数 C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数解析：因为r (x)=l —cos x^O,所以函数为增函数，排除选项A 和C;又因为f(0)=0-sin0 = 0,所以函数存在零点且f(x)为奇函数, 排除选项D.答案:B4.若函数f(x)=3ax+l-2a 在区间(T, 1)内存在一个零点,）fl .B ・（一8,4-00D ・（一8, —1）则a 的取值范围是(9解析：当a=0时，f(x)=l 与x 轴无交点，不合题意,所以aHO; 函数f(x) = 3ax +1 — 2a 在区间(一1, 1)内是单调函数，所以f (― l) f(l)<0,即(5a-l)(a+l)>0,解得 av-l 或 a>£・答案:B⑴X 1 A5.已知xo 是f(x)=|jJ +［的一个零点，xje (—0),贝！1() A. f(x0<0, f(X2)<B. f(Xi)>0, f(x 2)>0C ・f(x0>0, f(X 2)<0 D ・f(x0<0, f(x 2)>0丫1、X解析：在同一坐标系下作出函数f(x)=|j 丿所以当 X1e (-oo,勿)，x 2e (x 0, 0)时，有f(X1)>0, f(x 2)<0.答案：c 二、填空题8, X O ), x 2e (x 0,,f(x)= 的图象, XW(— 8亠⑴X 1Xo)时，⑸ >—° xG(x 0,0)时,6.若函数f(x)=log2x+x-k(kez)在区间(2, 3)上有零点，贝!J k 解析：函数f(x)在(2, 3)上单调递增，则有f (2) =log 22+2-k<0, f ⑶=log 23+3-k>0.解得 3<k<log 23+3.又 4<10中3+3<5, kW 乙 所以k=4.答案：4f(x)=sgn(ln x)—In x 的零点个数为 ________ fl, x>l, 解析:sgn(ln x)=5 0, x=l,、—1, 0<x<l,故函数f(x)=sgn(ln x)—In x 的零点有3个，分别为e, 1, -. e答案：3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是解析：函数g(x)=f(x)—m 的零点个数也就是函数f(x)的图象与 直线y=m 的交点个数，函数f(x)的图象如图所示，由图象知，fy7. 已知符号函数sgn(x)=5 0, x=0, 则函数8・已知函数f(x)=10g 2(X —1) (X>1), —x 2—2x (xWO),若函数 g(x) = f(x) —mG [0, 1).答案：|0, 1)三、解答题9.已知二次函数f(x) = ax2—(a+2)x+1,若a为整数，且函数f(x)在(一2, —1)上恰有一个零点，求a的值.解:I f(x) = ax2— (a+2)x+1,・・.△ =(a+2)2-4a=a2+4>0.函数f(x)=ax2—(a+2)x +1必有两个不同的零点.又函数f(x)在(一2, — 1)上恰有一个零点, ••• f(-2)f(-l)<0,即(6a+5)(2a+3)<0.3 5解之，得一㊁<av—$・又aez, Aa= —1.10.已知函数f(x)=4x+m-2x+l有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点.解:Vf(x)=4x+m-2x4-1有且仅有一个零点，即方程(2x)2+m-2x+l=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+l=0.当A=0,即m2-4=0,/.m=—2时，t=l; m=2时，t= —1(不合题意，舍去)，A2X = 1, x = 0符合题意.当A>0,即m>2或mv—2时，t2+mt+l = 0有两正根或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点.•••这种情况不符合题意.综上可知，m=—2时，f(x)有唯一零点，该零点为x=0.1. (2016-德州期末)函数f(x) = e x + x-2的零点所在的区间为()A. (一2, -1)B. (一1, 0)C・(0, 1) D・(1, 2)解析：因为f(0)=e°+0-2=-l<0, f(l)=e1 + l-2=e-l>0, 故f(0) f(l)<0,则f(x)在(0, 1)内有零点.答案：c。

§ 2.8函数与方程1.函数零点的定义教材研读2.函数零点的判定(零点存在性定理)3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)零点的分布考点突破考点一函数零点所在区间的判断考点二函数零点个数的判断考点三函数零点应用1.函数零点的定义(1)对于函数y =f (x ),把使①f(x )=0的实数x 叫做函数y =f (x )的零点.(2)方程f (x )=0有实根⇔函数y =f (x )的图象与②x 轴有交点⇔函数y =f (x )有③零点.教材研读2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有④f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间⑤(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得⑥f(c)=0,这个⑦c也就是方程f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点⑧(x1,0),(x2,0)⑨(x1,0)无交点零点个数⑩两个一个无4.二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)零点的分布零点的分布(m ,n ,p 为常数)图象满足条件x 1<x 2<m m <x 1<x 2x 1<m <x 2f (m )<0m <x 1<x 2<nm <x 1<n <x 2<p 只有一个零点在(m ,n )上或f (m )·f (n )<00b 2a f (m)0m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩0b 2a f (m)0m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩0b m 2a f (m)0f (n)0n ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩f (m)0f (n)0f (p)0>⎧⎪<⎨⎪>⎩0b m 2a n ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩说明f(x)在(m,n)上一定只有一个零点,除了“f(m)f(n)<0”这个情形以外,还得考虑三种可能的特殊情况(这里是说可能,而不是一定):(1)Δ= 0;(2)f(m)=0;(3)f(n)=0.对这三种情况的处理办法:先依上述条件求出参数,然后求出具体零点,再检验是否符合题意,决定取舍.1.函数f(x)在[0,4]上的图象是连续不断的曲线,则函数f(x)在(0,4)上有且仅有一个零点是f(0)·f(4)<0的(D)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.设函数f (x )=log 3-a 在区间(1,2)内有零点,则实数a 的取值范围是(C )A.(-1,-log 32)B.(0,log 32)C.(log 32,1)D.(1,log 34)2x x3.若关于x 的方程=kx +2只有一个实数根,则k 的取值范围是(D)A.k =0 B.k =0或k >1C.k >1或k <-1D.k =0或k >1或k <-124x4.若方程|x2+4x|=m有实数根,则所有实数根的和可能是( D )A.-2,-4,-6B.-4,-5,-6C.-3,-4,-5D.-4,-6,-8解析函数y=|x2+4x|的图象如图所示.易知函数y=|x2+4x|的图象关于直线x=-2对称.当m<0时,方程|x2+4x|=m无实根;当m=0或m>4时,方程|x2+4x|=m有两个实根,它们的和为-4;当0<m<4时,方程|x2+4x|=m有四个实根,它们的和为-8;当m=4时,方程|x2+4x|=m有三个实根,它们的和为-6.函数零点所在区间的判断典例1(1)已知函数f (x )=ln x -的零点为x 0,则x 0所在的区间是(C )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)(2)若x 0是方程=的解,则x 0属于区间( C ) A. B.212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭13x 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. D.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭考点突破解析(1)易知f (x )=ln x -在(0,+∞)上是增函数,212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭又f (1)=ln 1-=ln 1-2<0, f (2)=ln 2-<0,f (3)=ln 3->0,∴x 0∈(2,3),故选C.(2)令g (x )=, f (x )=,则g (0)=1>f (0)=0,g =<f =,g =>f =,112-⎛⎫ ⎪⎝⎭012⎛⎫ ⎪⎝⎭112⎛⎫ ⎪⎝⎭12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭13x 12⎛⎫ ⎪⎝⎭1212⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫ ⎪⎝⎭13⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫ ⎪⎝⎭13⎛⎫ ⎪⎝⎭1313⎛⎫ ⎪⎝⎭所以由图象关系可得<x 0<.1312方法技巧判断函数零点所在区间的三种常用方法(1)方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.(2)定义法:利用零点存在性定理,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.1-1函数f (x )=ln x -的零点所在的区间是(B )A.(1,2)B.(2,3)C.和(3,4)D.(e,+∞)2x ()1,e 解析易知f (x )为增函数,由f (2)=ln 2-1<0, f (3)=ln 3->0,得f (2)·f (3)<0.故选B.23典例2已知函数f (x )=|ln x |,g (x )=则方程|f (x )-g (x )|=2的实根个数为(D )A.1 B.2 C. 3 D.420,01,|4|2,1,x x x <≤⎧⎨-->⎩函数零点个数的判断解析|f(x)-g(x)|=2等价于f(x)=g(x)±2.由函数与方程的关系知,方程|f (x)-g(x)|=2的实根个数等价于函数y=f(x)和y=g(x)+2的图象的公共点个数与函数y=f(x)和函数y=g(x)-2的图象的公共点个数之和.在同一坐标系中作出函数y=f(x),y=g(x)+2和y=g(x)-2的图象(如图所示),由图象可知,共有4个公共点,所以方程|f(x)-g(x)|=2有4个实根,故选D.方法指导函数零点个数的判断方法(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:将原问题转化为求两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,交点的个数就是函数零点的个数.2-1(2019效实中学月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)+f(x) +f(2)=0,则y=f(x)在[-3,3]上的零点至少有(D)A.1个B.3个C.5个D.7个解析因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0.因为f (x +3)+f (x )+f (2)=0,所以f (x +6)+f (x +3)+f (2)=0,所以f (x +6)=f (x ),令x =-3,得f (-3)=f (3),又f (-3)=-f (3),故f (3)=f (-3)=0.在f (x +3)+f (x )+f (2)=0中,取x =-,则f +f +f (2)=0,所以f (2)=0,故f (-2)=0,再取x =-2,则f (1)+f (-2)+f (2)=0,所以f (1)=0,故f (-1)=0.综上,-3,-2,-1,0,1,2,3都是y =f (x )的零点,所以y =f (x )在[-3,3]上的零点至少有7个,故选D.3232⎛⎫ ⎪⎝⎭32⎛⎫- ⎪⎝⎭函数零点应用命题方向一利用函数零点比较大小典例3(2019浙江台州模拟)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是(A)A.f(a)<f(1)<f(b)B.f(a)<f(b)<f(1)C.f(1)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(1)<f(a)解析由题意,知f '(x )=e x+1>0恒成立,所以函数f (x )在R 上是单调递增的,而f (0)=e 0+0-2=-1<0, f (1)=e 1+1-2=e-1>0,所以函数f (x )的零点a ∈(0,1);由题意,知g '(x )=+1>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上是单调递增的,又g (1)=ln 1+1-2=-1<0,g (2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以函数g (x )的零点b ∈(1,2).综上,可得0<a <1<b <2.因为f (x )在R 上是单调递增的,所以f (a )<f (1)<f (b ).故选A.1x典例4(2017浙江模拟)已知函数f (x )满足f (x )=3f ,当x ∈[1,4]时, f (x )=ln x ,若在区间内,函数g (x )=f (x )-mx 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围是(A )A. B. C. D.1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ln 21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ln 22,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析当≤x <1时,有1<≤4,则f (x )=3f =3ln =-3ln x .∴f (x )=令f (x )-mx =0,得m =141x 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x ln ,14,13ln , 1.4x x x x ≤≤⎧⎪⎨-≤<⎪⎩ln ,14,3ln 1,1,4x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤<⎪⎩设h (x )=当1≤x ≤4时,h '(x )=,则h (x )在区间[1,e)上为增函数,在区间[e,4]上为减函数.当≤x <1时,h '(x )=<0,则h (x )在区间上为减函数,ln ,14,3ln 1,1,4x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤<⎪⎩21ln x x-1423(ln 1)x x-1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭作出函数y =h (x )的图象(图略),易求得h =12ln 4,h (1)=0,h (e)=,h (4)==>0,故要使函数g (x )=f (x )-mx 有三个不同的零点,则≤m <.14⎛⎫ ⎪⎝⎭1e ln 44ln 22ln 221e方法指导已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.典例5(1)(2017浙江镇海中学模拟)已知函数f (x )=3x +x ,g (x )=log 3x +x ,h (x )=sin x +x 的零点依次为x 1,x 2,x 3,则下列正确的是(B )A.x 1<x 2<x 3B.x 1<x 3<x 2C.x 3<x 1<x 2D.x 2<x 3<x 1(2)已知函数f (x )=g (x )=则函数f [g (x )]的所有零点之和是( B )A.-+ B.+221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩22,0,1,0.x x x x x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩123123命题方向三函数零点性质C.-1+D.1+3232解析(1)易知三个函数都为单调递增函数,所以各自最多仅有一个零点,显然x 3=0.f (0)=1, f (-1)=-,由零点存在性定理知,-1<x 1<0.同理x 2∈,所以x 1<x 3<x 2,故选B.(2)令t =g (x ),∵f [g (x )]=0,∴f (t )=0.∵f (x )=∴t =2或t =-2.若g (x )=2,则x ;231,13⎛⎫ ⎪⎝⎭221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩3若g (x )=-2,则x =-.∴函数f [g (x )]的所有零点之和是1+=+故选B.12312123方法提示解决函数零点性质的问题,主要综合运用函数性质、零点存在性定理,必要时需要正确求解方程的根.同类练1设函数f (x )=x 2-x -1,若方程f (f (x ))=t 恰有三个根,则t =.2916解析令m =f (x ),则原方程为f (m )=t .设f (m )=t 的两根分别为m 1,m 2(m 1<m 2),则必有m 1=f =-,即t =f (m 1)=f ,得t =.12⎛⎫ ⎪⎝⎭5454⎛⎫- ⎪⎝⎭2916同类练2(2017福建漳州八校联考)已知函数f (x )=若函数g (x )=f (x )-m 有三个零点,则实数m 的取值范围是.221,0,,0,x x x x x ->⎧⎨+≤⎩1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦解析令g (x )=f (x )-m =0,得f (x )=m ,则函数g (x )=f (x )-m 有三个零点等价于函数f (x )与y =m 的图象有三个不同的交点,作出函数f (x )的图象如图:当x ≤0时, f (x )=x 2+x =-≥-,若函数f (x )与y =m 的图象有三个不同212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭14141 41,04⎛⎤- ⎥⎝⎦的交点,则-<m≤0,即实数m的取值范围是.变式练(2019天津模拟)已知函数f (x )=(a >0,且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f (x )|=2-x 恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是(C )A. B.C.∪ D.∪2(43)3,0,log (1)1,0,a x a x a x x x ⎧+-+<⎨++≥⎩20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦34⎧⎫⎨⎬⎩⎭12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭34⎧⎫⎨⎬⎩⎭解析要使函数f (x )在R 上单调递减,只需解得≤a ≤,因为方程|f (x )|=2-x 恰有两个不相等的实数解,所以直线y =2-x 与函数y =|f (x )|的图象有两个交点.如图所示.340,201,31,a a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩1334易知y =|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为-1,又≤-1≤2,故由图可知,直线y =2-x 与y =|f (x )|的图象在x >0时有一个交点;当直线y =2-x 与y =x 2+(4a -3)x +3a (x <0)的图象相切时,设切点为(x 0,y 0),则整理可得4a 2-7a +3=0,解得a =1(舍)或a =.而当3a ≤2,即a ≤时,直线y =2-x 与y =|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点,综上可得a ∈∪.1a131a 200002(43)3,12(43),x x a x a x a ⎧-=+-+⎨-=+-⎩342312,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦34⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

2.7 函数图象A组基础题组1.若函数f(x)=a x-b的图象如图所示,则( )A.a>1,b>1B.a>1,0<b<1C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<1答案 D 根据图象结合a,b的几何意义即可判断.2.已知函数f(x)=x(1+a|x|)(a∈R),则在同一平面直角坐标系下函数f(x+a)与f(x)的图象不可能是( )答案 D 首先函数y=f(x)的图象过坐标原点.当a>0时,y=f(x+a)的图象是由y=f(x)的图象向左平移后得到的,且函数f(x)在R上单调递增,此时选项B有可能,选项D不可能;当a<0时,y=f(x+a)的图象是由y=f(x)的图象向右平移后得到的,且函数f(x)在-上为正,在-∞上为负,此时选项A,C均有可能.故选D.3.已知函数f(x)=---则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,则下列不等式成立的是( )A.f(x1)+f(x2)<0B.f(x1)+f(x2)>0C.f(x1)-f(x2)>0D.f(x1)-f(x2)<0答案 D 函数f(x)的图象如图所示.易知函数f(x)是偶函数,且在[ +∞)上是增函数.又0<|x1|<|x2|,所以f(x2)>f(x1),即f(x1)-f(x2)<0.4.(2019绍兴一中月考)函数y=xsinx(x∈[-π,π])的图象可能是( )答案 C 易知函数y=xsinx(x∈[-π,π])为偶函数,排除B,D.又当x∈[0,π]时,y≥0,排除A.故选C. 5.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )答案 B 由题意知|x|-1>0,即|x|>1,解得x>1或x<-1,∴函数f(x)的图象在直线x=-1的左边,和直线x=1的右边,∴排除C、D.又∵f( )= ∴排除A ∴选B.6.函数f(x)=--的图象为( )答案 D 化简得f(x)=故选D.7.若函数f(x)=ka x-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=log a(x+k)的图象是( )答案 C 由题意知k=1,a>1,所以g(x)的图象为C.8.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )A.f(x)=x+sinxB.f(x)=C.f(x)=xcosxD.f(x)=x·-·-答案 C 由图象知函数f(x)是奇函数,排除D;函数图象过原点,排除B;图象过点,显然A不正确,故选C.9.现有四个函数:①y= in ;②y= ;③y= · ;④y= ·2x的图象(部分)如下:则从左到右图象对应的函数序号正确的一组是( )A ①④③②B ①④②③C ④①②③D ③④②①答案 B 分析函数解析式,可得①y= in 为偶函数;②y= 为奇函数;③y= ·|cosx|为奇函数,且当x<0时,y=x·|cosx|≤0恒成立;④y= ·2x为非奇非偶函数.则从左到右图象对应的函数序号应为①④②③ 故选B. 10.设函数f(x)的图象与函数y=lg(x+a)的图象关于直线y=x+1对称,且f(-1)+f(0)=1,则实数a= .答案6解析设(x,y)为函数y=f(x)图象上任意一点,其关于直线y=x+1的对称点(y-1,x+1)在函数y=lg(x+a)的图象上,所以x+1=lg(y-1+a),即y=10x+1+1-a,故f(x)=10x+1+1-a,又 f(-1)+f(0)=1,所以1+1-a+10+1-a=1,解得a=6.11.已知定义域为R的函数f(x),对任意的x∈R,均有f(x+1)=f(x-1),且x∈(-1,1]时,有f(x)=∈[ - ∈(- )则方程f(f(x))=3在区间(-3,3]上的所有实根之和为. 答案3解析∵f( + )=f( -1),∴f( + )=f( )∴f( )是以2为周期的函数.作出函数f(x)在(-3,3]上的图象如图所示.∵f(f( ))=∴f( )= + k k∈Z.∵ <f( )≤3,∴f( )=∵ ∈(-3,3],∴ =-1或x=1或x=3.∴f(f( ))= 在区间(-3,3]上的所有实根之和为(-1)+1+3=3.B组提升题组1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )A.f(x)=x2-2ln|x|B.f(x)=x2-ln|x|C.f(x)=|x|-2ln|x|D.f(x)=|x|-ln|x|答案 B 由图象知,函数f(x)是偶函数,四个选项都是偶函数,故只需考虑x>0时的图象即可.对于选项A,当x>0时,f(x)=x2-2lnx,所以f'(x)=2x-= (- ),所以f(x)在x=1处取得极小值,故A错误.对于选项B,当x>0时,f(x)=x2-lnx,所以f'(x)=2x-=-,所以f(x)在x=处取得极小值,故B正确.对于选项C,当x>0时,f(x)=x-2lnx,所以f'(x)=1-=-,所以f(x)在x=2处取得极小值,故C错误.对于选项D,当x>0时,f(x)=x-lnx,所以f'(x)=1-=-,所以f(x)在x=1处取得极小值,故D错误.故选B.2.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则函数y=f(|x-1|)-1的图象可能是( )答案 B 因为y=f(|x|)是R上的偶函数,其图象关于y轴(即直线x=0)对称,而y=f(|x-1|)-1的图象是由y=f(|x|)的图象向右平移1个单位,再向下平移1个单位得到的,则y=f(|x-1|)-1的图象的对称轴是直线x=1,且在( +∞)上单调递增,故选B.3.(2019汤溪中学月考)已知函数f(x)=|ln|x+1||,若存在互不相等的实数x1,x2,x3,x4满足f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则f∑=( )A.0B.ln2C.1D.2ln2答案 A 函数f(x)=|ln|x+1||的图象可以看作是y=|ln|x||的图象向左平移1个单位长度后得到的,其图象如图所示,不妨设x1<x2<x3<x4.根据图象可得f(x3)=-ln(x3+1),f(x4)=ln(x4+1),因为f(x3)=f(x4),所以-ln(x3+1)=ln(x4+1),由此得到(x3+1)(x4+1)=x3x4+x3+x4+1=1,所以x3x4=-(x3+x4),所以+==-1.同理,+=-1,所以∑=-2,所以f∑=f(-2)=0.4.(2018浙江,5,4分)函数y=2|x|sin2x的图象可能是( )答案 D 本小题考查函数的奇偶性,指数型函数、三角函数的值域.因为y=2|x|sin2x为奇函数,所以排除A,B;因为2|x|>0,且当0<x<时,sin2x>0,当<x<π时,sin2x<0,所以x∈时,y>0,x∈时,y<0,所以排除C.故选D.5.关于函数y=f(x),给出下列五个命题:①若f(-1+x)=f(1+x),则y=f(x)是周期函数;②若f(1-x)=-f(1+x),则y=f(x)为奇函数;③若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则y=f(x)为偶函数;④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称;⑤若f(1-x)=f(1+x),则y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.其中为真命题的是.(把所有正确命题的序号都填上)答案①③解析由f(-1+x)=f(1+x),得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是周期函数,故①对.由f(1-x)=-f(1+x),得f(-x)=-f(2+x),则y=f(x)不是奇函数,故②错.因为y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,而y=f(x)的图象是由y=f(x-1)的图象向左平移1个单位长度得到的,则函数y=f(x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称,故y=f(x)是偶函数,故③对.设g(x)=f(1+x),则g(-x)=f(1-x),而函数y=g(x)与函数y=g(-x)的图象关于y轴对称,故函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称,故④错.由f(1-x)=f(1+x),知y=f(1+x)是偶函数,则函数y=f(1+x)的图象关于y轴对称,从而函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故⑤错.6.已知函数f(x)=(x2-ax+2a)ln(x+1)的图象经过平面直角坐标系的四个象限,则实数a的取值范围是.答案-<a<0解析f(x)=(x2-ax+2a)ln(x+1)可看成g(x)=x2-ax+2a与h(x)=ln(x+1)的乘积,当x∈(-1,0)时,h(x)=ln(x+1)<0,则g(x)=x2-ax+2a在x∈(-1,0)时有变号,当x∈( +∞)时,h(x)=ln(x+1)>0,则g(x)=x2-ax+2a在x∈( +∞)时有变号.作出h(x),g(x)的大致图象如图所示,由f(0)=0,并结合图象可知,( )⇒-<a<0.(- )。