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2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|12}A x x =-剟，{1B =-，1}，则(A B =I ) A ．{|11}x x -剟B ．{0，1}C ．{1-，0，1}D ．{1-，1}2．（5分）若(1)(1)iz i i =-+，则(z = ) A ．2iB ．0C ．i -D ．2i -3．（5分）已知向量(1,1),(2,3)a b =-=-r r ，则||(a b -=r r )A B ．1 C ．5 D ．254．（5分）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()f x lgx =，则函数()f x 的零点个数为()A ．4B ．3C ．2D ．15．（5分）命题“[0x ∀∈，)+∞，22020cos 0x x ->”的否定为( )A ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-„ B ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞-„ C ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∉+∞-„D ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∉+∞-< 6．（5分）2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜()ga 、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是( )A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标7．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410a a +=，424S =，则1a 的值为( ) A ．9B ．1C ．9-D ．2-8．（5分）在棱长均相等的四面体OABC 中，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．（5分）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，⋯⋯，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）( ) A ．1031πB ．516πC ．10231D ．528π10．（5分）已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，1(2,0)F -，若双曲线的左支上有一点P ，满足12||||2PF PF -=-，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y x =C ．y =D ．13y x =±11．（5分）定义在R 上的函数()y f x =在(-∞，1]上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)f x f ->（3）成立的x 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(-∞，0)(2⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(,0)-∞12．（5分）在“家校连心，立德树人--重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成．已知该微信群众男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数．若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[a ，]b ，则b a -= ．14．（5分）数列{}n a 中，已知111,2n n n a a a +=+=，则6a = ．15．（5分）已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则tan()6a ππ-= ．16．（5分）“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，则FB AB =u u u r u u u rg ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABCD 是矩形，2AD AB =，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF ⊥平面PAF ；（2）若在棱PA 上存在一点G ，使得//EG 平面PFD，求AGAP的值．18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0a b C c B ++=． （1）求角C ；（2）若ABC ∆的面积83S =421R =ABC ∆的周长． 19．（12分）某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如表：日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日1月6日温差x （摄氏度） 10 11 12 13 8 9 发芽率y （粒)262730322124他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据1月2，3，4，5日的数据求出y 关于x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠．参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（12分）已知圆E 与圆22:(2)1F x y -+=相外切，且与直线10x +=相切． （1）记圆心E 的轨迹为曲线G ，求G 的方程；（2）过点(3,2)P 的两条直线1l ，2l 与曲线G 分别相交于点A ，B 和C ，D ，线段AB 和CD 的中点分别为M ，N ．如果直线1l 与2l 的斜率之积等于1，求证：直线MN 经过定点．。
甘肃省武威第十八中学2020届高三数学上学期第二次诊断考试试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝｛1，2,3}，B＝{2，3，4｝，则A∪B＝(）A．{1,2,3，4｝ B．{1，2,3｝C．{2,3，4｝D．｛1,3，4｝2．函数f（x）＝错误!＋错误!的定义域为（)A．［0，2) B．(2，＋∞)C．[0，2)∪（2,＋∞）D．（－∞，2)∪(2，＋∞)3．集合错误!中的角所表示的范围(阴影部分)是（)4．为了得到函数y＝2sin错误!的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象（)A．向右平移错误!个单位长度B．向右平移错误!个单位长度C．向左平移错误!个单位长度D．向左平移错误!个单位长度5．设函数f(x)＝cos错误!，则下列结论错误的是（）A．f（x)的一个周期为－2πB．y＝f(x）的图象关于直线x＝错误!对称C．f（x＋π)的一个零点为x＝错误!D．f（x)在错误!单调递减6。
如果f错误!＝错误!，则当x≠0且x≠1时,f（x）等于（）A.错误!B。
错误! C.错误!D。
错误!－17．最小正周期为π且图象关于直线x＝错误!对称的函数是( ) A．y＝2sin错误!B．y＝2sin错误!C．y＝2sin错误!D．y＝2sin错误!8.函数f(x）在(－∞,＋∞)单调递减，且为奇函数．若f（1)＝－1，则满足－1≤f(x－2）≤1的x的取值范围是（)A．［－2，2］B．[－1,1］C．[0，4］D．［1,3]9．已知函数f(x）＝log2x＋错误!，若x1∈（1,2），x2∈(2，＋∞），则（)A．f（x1）〈0,f（x2）〈0 B．f(x1)<0，f（x2)〉0C．f（x1)〉0,f(x2)〈0 D．f（x1)〉0，f(x2)〉010．已知函数f(x）的导函数为f′（x）,且满足f（x）＝2xf′（1）＋ln x,则f′（1)＝（)A．－e B．－1C．1 D．e11.已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x）的图象可能是( )12．已知扇形的周长是6,面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ）A．1 B．4C．1或4 D．2或4二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。
2020年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1 •若集合A={| - 1<< 2} , B={| - 2vv 1}，贝煉合A U B=( )A . {| - 1<< 1} B. {| - 2<< 1} C. {| - 2<< 2} D . {| 0<< 1}2•如图所示，向量■:.所对应的复数分别为1, 2,则12=( )A . 4+2i B. 2+i C. 2+2i D. 3+i3. 某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表:女生男生合计喜欢吃甜食8412不喜欢吃甜食21618合计102030附表:P (2 > 0 ) 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828经计算=10，则下列选项正确的是( )A .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C.有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响44. 已知tan=^，且在第三象限，则cos=( )4 n3 C.log,(3^x1, x<05. 函数f(Q二' ，则f (3)的值为(f(K-l), X>0A . - 1B . - 2C . 1D . 26. 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅A .①②⑥B .①②③C.④⑤⑥D .③④⑤助作用），贝U四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（7.设D ABC的所在平面内一点，「:[-1产,则：=（）8.某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量（单位: 台），把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=（）33⑥A . f () =2B . f () =1 - ||C . t 「匚二D . f () =ln (+1)10. 已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a , 2), B (- 4, a ), C (2a+2, 2), 则厶ABC 的外接圆的方程是()2 2 2 22 22 2A . 2+ (y - 3) 2=5B . 2+ (y+3) 2=5C . (- 3) 2+y 2=5D . (+3) 2+y 2=511.已知三棱锥S -ABC 的各顶点都在一个球面上，△ ABC 所在截面圆的圆心 O 在AB 上, SO 丄平面z 匚町；、仃「广.，若三棱锥的体积是等，则球体的表面积是( )AB 脊兀CD 25 n• 4 - 12- 48ITTT12.将函数1 K' :_in 1的图象向左平移^个单位，在向上平移1个单位，得到g()的图象，若 g (1) g (2)=16,且 y ] '「二一 —•,则 21 - 2 的最大值为( )9.Si196 B . 203 C .已知函数满足一下两个条件：①任意 1 , 2^( 0, +x),且佇 2 时，(1 - 2)[f ( l )(2) ]v 0;②对定义域内任意有f ()+f (-)=0,贝28 D . 29D .B.、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上13. ___________________________________________ 数列｛a n｝中，若a n+i (a n+1) =a n,a i=1，则a6= ___________________________________ .2x+y-4>014. 已知实数，y满足，则=-3y的最大值是_____ .y<315. ___________________________________________________________ 已知抛物线y2=8上一点P到焦点的距离为4,则厶PFO的面积为__________________________ .16. 已知函数丁亠丄1L与函数y=- 2的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是x-1三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列｛an+1｝是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7, a?=127.(1)求的a1值；(2)求数列｛a n｝的前n项和.18. 甘肃省瓜州县自古就以生产美瓜”面名扬中外，生产的瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%〜19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用，y，表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=+y+的值平定蜜瓜的顶级，若w>4,则为一级；若2 < w< 3，则为二级；若0w w< 1，则为三级，今年，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：2 从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w 至少有一个为4的概率.19. 如图，在△ ABC 中，AB 丄BC,点D，E 分别在AB，AC 上, AD=2DB，AC=3EC，(1)若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；沿DE将厶ADE翻折起，使得点A到P的位置，满足；…=1 .(1)证明：DB丄平面PBC;(2)若L乩丸丁，点M在PC上，且，求三棱锥P-BEM的体积.20. 已知椭圆的顶点到直线1:『=的距离分别为「;(1)求椭圆C i的离心率；(2)过圆O：2+y2=4上任意一点P作椭圆C i的两条切线PM和PN分别与圆交于点M, N，求△ PMN面积的最大值.21. 已知函数f () =sin+cos.(1)当汽—时，求函数f ()的单调区间；(2)若存在m L ［—、—，使得f ()> 2+cos成立，求实数的取值范围.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.［选修4-4坐标系与参数方程］(1)使判断I与C的位置关系；22.已知直线…(2)若把曲线C1上个点的横坐标压缩为原的倍，纵坐标压缩为原的-一倍，得到曲线C2,设点P是曲线C2上一个动点，求它到直线I的距离的最小值.［选修4-5不等式选讲］23.设函数f () =| - 3|，g () =| - 2|(1)解不等式 f () +g ()< 2；(2)对于实数，y,若f ()< 1, g (y)< 1,证明:2017年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 •若集合A={| - 1<< 2} , B={| - 2vv 1}，贝U集合A U B=( )A . {| - 1<< 1} B. {| - 2<< 1} C. {| - 2<< 2} D . {| 0<< 1}【考点】1D :并集及其运算.【分析】根据并集的定义写出 A U B即可.【解答】解：集合A={| - 1<<2}，B={| - 2<< 1}，则集合A U B={| - 2<< 2}.故选：C.2. 如图所示，向量〔三「二所对应的复数分别为1, 2,则代=( )【分析】读图求出复数1, 2,根据复数的乘法运算法则计算即可【解答】解：由图可得，1=1+i, 2=3- i,二徨=(1+i) (3 - i) =3+1+3i - i=4+2i,故选：A.3. 某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表:附表:经计算=10,则下列选项正确的是( )A .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响【考点】BL :独立性检验.【分析】根据观测值与对照临界值的关系，即可得出结论.【解答】解：根据观测值2=10,对照临界值表得10>7.879,所以有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响.故选：B.44. 已知tan=，且在第三象限，则cos=( ) 八4 o4 3 小3A.「B.C.「D.-【考点】G9：任意角的三角函数的定义.【分析】利用正切化为正弦、余弦函数，结合的象限，同角三角函数的基本关系式，cos即可.【解答】解：因为：，且在第三象限，所以丄并且sin2+cos2=1解得J COSX J4sin=-；求出3 COS=—己故选D.5•函数3，则f (3)的值为( )f(D, x>0A .- 1 B.- 2 C . 1 D . 2【考点】5B :分段函数的应用；3P:抽象函数及其应用.【分析】利用分段函数，化简求解即可.【解答】解：函数彳，二、，则 f (3) =f (2) =f (1) =f (0) =log33=1.fSi), x>0故选：C.6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )3④⑤⑥A .①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D .③④⑤【考点】L7 :简单空间图形的三视图.【分析】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案.【解答】解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD勺左视图为②，四面体ABCD勺俯视图为③，故四面体ABCD的三视图是①②③,故选：B7 •设D为厶ABC的所在平面内一点，矛--:丘，则■-=( )A . ~ —■ ■- B. .工. C. . 一］「.丄:. D . —：' j. -y~ ：f.【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义.【分析】取BC的中点E,则D为CE的中点，用...,...表示出，「即可得出「关于/ ,... 的不等式.【解答】解：•••；- | ,二D是BC的靠近C点的四等分点，取BC的中点E,则D为CE的中点，故选B.8. 某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量(单位: 台)，把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=( )196 B . 203 C . 【考点】EF :程序框图.【分析】由茎叶图可知n=7,模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S , i的值，当i=8 时不满足条件i < 7,退出循环，输出S 的值为29. 【解答】解：由茎叶图可知n=7, 模拟程序的运行，可得 S=0, i=1满足条件i <7,执行循环体，S=20, i=220+22满足条件i <7,执行循环体，S= - =21, i=3满足条件i <7,执行循环体，S='= , i=4满足条件i <7,执行循环体，S=-, i=5 4满足条件i < 7,执行循环体，S"* -=29, i=87Si满足条件i <7,执行循环体,满足条件i <7,执行循环体, i=6134S严罟+34 1686i=728 D . 29不满足条件i <7,退出循环，输出S的值为29.故选：D.9. 已知函数满足一下两个条件：①任意1，2€( 0, +X),且1工2时，(1 - 2)[ f ( 1)- f(2)]v0;②对定义域内任意有f () +f (-) =0，则符合条件的函数是( )A. f() =2B. f() =1- ||C.[工:：-D. f () =ln(+1)【考点】3P:抽象函数及其应用.【分析】由①可知f ()在(0, +x)上是减函数，由②可知f ()是奇函数.逐个分析各选项是否符合两条件即可.【解答】解：由①可知f ()在(0, +x)上是减函数，由②可知f ()是奇函数.对于A , f () =2是增函数，不符合题意；对于B, f (-) +f () =1 - | - 1+1- II =2- 2|| 丰0,不符合题意，对于D, f ()的定义域为(-1, +x),故f ()不是奇函数，不符合题意；故选C.10. 已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A (2a, 2), B (- 4, a), C (2a+2, 2),则厶ABC的外接圆的方程是( )A. 2+ (y-3) 2=5B. 2+ (y+3) 2=5C. (-3) 2+y2=5D. (+3) 2+y2=5【考点】J1：圆的标准方程.【分析】根据点A是直角三角形ABC的直角顶点，求出a, B, C的坐标求得圆心的坐标和圆的半径，则圆的方程可得.【解答】解：由题意，2a=- 4,二a=- 2圆的半径为：=〔」「〕「「；=匸，圆心为(-3, 0)•••圆的方程为(+3) 2+y2=5故选D.11•已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，△ ABC所在截面圆的圆心0在AB 上，SO 丄平面"石厂1,若三棱锥的体积是芋，则球体的表面积是( )3A. ； B•垄「C. 「D. 25 n4 12 48【考点】LG :球的体积和表面积；LR :球内接多面体.【分析】利用条件，求出SO,禾U用勾股定理，求出R,即可求出球体的表面积.【解答】解：•••△ ABC所在截面圆的圆心0在AB 上, SO丄平面Ah:：.'：/.：- ::.，三棱锥的体积是竿，••• S0=2，设球体的半径=R，则R= [ ：：，• R=；，•••球体的表面积是■；. ' ■■ 7—=.:，lb Q故选：A.TT jr12. 将函数的图象向左平移r个单位，在向上平移1个单位，得到g()的图象，若g (1) g (2) =16，且「‘工，二'―；—-，则21 - 2的最大值为( ) A. ：「C.、【考点】HJ:函数y=Asin(M©)的图象变换.【分析】利用函数y=Asin (①+妨的图象变换规律，正弦函数的图象特征，求得21 - 2的最大值.【解答】解:将函数匚〔；_』匸一的图象向左平移亍个单位，在向上平移1个单位，e—IT JT 2兀，，E 宀得到g () =3sin (2+p+=) +仁3sin (2+ 一.)+1 的图象，••• g (1) g (2) =16，.・.g (1) =g (2) =4，都为最大值,令5 ，可得—•=,€,又因为宁」可以取：斗；二;-I-12 f12 ，则21 - 2的最大-■ - -，值:故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13. 数列｛a n｝中，若a n+i (a n+1) =a n，a i=1，则a6=.【考点】8H：数列递推式.【分析】&+1 (an+1) =a n，a i=1，可得：&==，同理可得：a3，a4，a5，a6，即可得出. 【解答】解：a n+1 (a n+1) =a n，a1=1，览=—，同理可得：a3=—，a4=—，応=广，贝U a6=-?,6故答案为：三2z+y-4^014. 已知实数，y满足m-lVO，则=-3y的最大值是占.y<3【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图，y<3x-y-l=O2x+y-4=0化目标函数=-3y 为y=* 一，由图可知，当直线y= " 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，有最大值为•十 故答案为：--.15•已知抛物线y 2=8上一点P 到焦点的距离为4,则厶PFO 的面积为_4_ 【考点】8:抛物线的简单性质.【分析】利用抛物线的定义，求出 P 的坐标，然后求出三角形的面积. 【解答】解：由抛物线定义，|PF|=P +2=4，所以P =2, |y p |=4,故答案为：4.16. 已知函数了亠丄吐与函数y=- 2的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是_ （-x-1 1，1）U （ 1，5）—.【考点】57:函数与方程的综合运用；54:根的存在性及根的个数判断. 【分析】化简函数的解析式，画出两个函数的图象，判断的范围即可. 卡（［二| 0+2） ST ） I 二| *2, -2<X<1 * x~l| x+2f 或 直线y=- 2过定点（o ,- 2）， 由函数图象: 可知结果为：（-1, 1）U （ 1, 5）. 给答案为：（-1, 1）U （ 1, 5）.所以，△ PFO 的面积S= |OF||y p | =¥ X 2X 4=4.【解答】解: 联立-三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列｛a n+1｝是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7，a?=127.(1)求的a i值；(2)求数列｛a n｝的前n项和.【考点】8E：数列的求和.【分析】(I)禾1」用等比数列的通项公式及其性质即可得出.(II)禾U用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解：(I)由题可知a3+仁8，a7+1=128,…又数列｛a n+1｝是一个各项均为正数的等比数列，则:;=:：‘产上;门十32 o可得a5+仁32= (a1+1)x 「i ,解得a1=1.…(II ) ｛a n+1｝是一个以2为首项，2为公比的等比数列，上1，…利用分组求和可得.' 1.…18. 甘肃省瓜州县自古就以生产美瓜”面名扬中外，生产的瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%〜19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用，y，表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=+y+的值平定蜜瓜的顶级，若w>4,则为一级；若2 < w < 3，则为二级；若0w w < 1，则为三级，今年，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：A B C D E种植地编号(，y,)(1, 0, 0)(2, 2, 1)(0, 1, 1)(2, 0, 2)(1, 1, 1)F G H I J种植地编号(，y,)(1, 1, 2)(2, 2, 2)(0, 0, 1)(2, 2, 1)(0, 2, 1)（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；（2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w 至少有一个为4的概率.【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】（1）计算10块种植地的综合指标，列出表格可知：等级为三级的有A，H 2块，其频率为卡，由此能估计等级为三级的块数.（2）等级是一级的（CD>4）有B，D，F，G，I，共5块，从中随机抽取两块，列举法能求出两块种植地的综合指标①至少有一个为4的概率.【解答】解：（1）计算10块种植地的综合指标，可得下表：用样本的频率估计总体的频率，2可估计等级为三级的块数为11.：—•一.…（2）由（1）可知：等级是一级的（G3>4）有B，D，F，G，I，共5块,从中随机抽取两块，所有的可能结果为：（B，D ），（B，F），（B，G），（B，I），（D，F），（D，G），(D, I), (F, G), (F, I), (G, I),共计10 个;其中综合指标s =4的有：D, F 2个，符合题意的可能结果为：（B, D）,（B, F）,（D, F）,（D, G）,（ D , I）（ F , G）,（F , I）共7 个，设两块种植地的综合指标s至少有一个为4”为事件M所以概率为：血-下•…19. 如图,在厶ABC 中,AB 丄BC,点D , E 分别在AB , AC 上,AD=2DB , AC=3EC , 沿DE 将厶ADE翻折起,使得点A到P的位置,满足•…一i .（1）证明：DB丄平面PBC；（2）若二E覗；、:,点M在PC上,且,求三棱锥P- BEM的体积.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW:直线与平面垂直的判定.【分析】（1）设二乩叨丄-匕I —厂由此利用勾股定理得BD丄PB ,再由BD丄BC ,能证明BD丄面PBC.（2）由勾股定理得PB丄BC ,再由BD丄PB ,得PB丄面BCE ,从而三棱锥P-BEM的体3积'：f'LL '；L ri±\ I'LC【解答】证明：（1）设乂二u，FL ■ h 玉••• BD2+PB2=PD2••• BD 丄PB …••• BD 丄BC , PBA BC=B ,••• BD丄面PBC.…解：（2）t 亠「「- 1 -',••• PB丄BC•/ BD 丄PB 且BD n BC=B , /. PB丄面BCE ,•••三棱锥p-BEM的体积二20. 已知椭圆「］：二［的顶点到直线I: y=的距离分别为—：二a b z占上（1）求椭圆Ci的离心率；（2）过圆O：2+y2=4上任意一点P作椭圆Ci的两条切线PM和PN分别与圆交于点M, N，求△ PMN面积的最大值.【考点】4：椭圆的简单性质.【分析】（1）根据点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的离心率；（2）分类讨论，当一条切线的斜率不存在时，：…", yp=± 1,即可求得厶PMN面积,当切线的斜率存在时，设切线方程，代入椭圆方程，由厶=0，由PM丄PN，MN| =4..f i - V. ，即可求得△ PMN 面积的最大值.【解答】解：（1）由直线li的方程知，直线li与两坐标轴的夹角均为45° 故长轴端点到直线I1的距离为’'「，短轴端点到直线I1的距离为丄亍，••• C1的离心率（2）设点P （P，yp），贝则瘡掃二」（i ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则另一切线的斜率为0,从而PM丄PN.此时，■::-:.（ii）若切线的斜率均存在，则一「一二设过点P的椭圆的切线方程为y- yp= （- P）,y-y p=k（x'x p）2 ，消y 并整理得：（3kSi）/+6kGp“Xp）計3（那吨打）「3=0.—+y二1依题意△ =0,得 5 I：■，「丁- !' i ■"^11-y 工-3设切线PM, PN的斜率分别为i, 2,从而.;'.-, Ji at O Z3-% 3-%即PM丄PN,线段MN为圆0的直径，| MN|=4.所以，.一.祇［应卜三卜J . 「亠丨汕r -條「二当且仅当P. ■：：■-时，S A PMN 取最大值4.综合(i ) ( ii)可得：S A PMN取最大值4.…21. 已知函数f () =sin+cos.(1)当:. 时，求函数f ()的单调区间；(2)若存在-，使得f ()> 2+cos成立，求实数的取值范围.【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；(2)分离参数，问题转化为.令.八’，则.- ‘三m”，根据函XX x数的单调性求出h ()的最大值，从而求出的范围即可.【解答】解：(1) f () =sin+cos- sin=cos,…•••/：〒• =丿时，f () =cos> 0，•••函数f ()在'丄..才;上是增函数；4 |S叮二—-.时，f () =COS V 0,•••函数f ()在 …• 上是减函数； …(2)由题意等价于sin+cos >2 3+cos ,整理得，「一二― x人 ginx * / \ xcosx-sinx令.■''，则，：， 令 g () =cos- sin , g' () = - sin v 0,二g ()在 < -上单调递减， •••-：‘：； 一厂 - < .'，即卩 g () =cos- sin v 0, 甘 £ H .n V2 千3,即・ .7171 TTJT V ~T 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑， 把答案填在答题卡上.［选修4-4坐标系与 参数方程］ ,=2+¥t f x=cos0 22.已知直线… - 一为参数)，曲线：…. |■为参数). (2)将直线的参数方程化为普通方程，曲线 C 2任意点P 的坐标，利用点到直线的距离公 式P2使判断I 与C 的位置关系； 3 若把曲线C i 上个点的横坐标压缩为原的 倍，纵坐标压缩为原的—倍，得到曲线 C 2,设点P 是曲线C 2上一个动点，求它到直线I 的距离的最小值.【考点】HJ ：函数y=Asin (小^)的图象变换；Q4：简单曲线的极坐标方程；QH :参数 方程化成普通方程.【分析】(1)将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，即可得解.•■ ' ' ' '，即’亠在■ 上单调递到直线的距离d,分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d 的最小值即可.【解答】(本题满分为10分)解：(I ： x - - J 1，…，所以直线与曲线相离.…(II )变化后的曲线方程是，厂设点F' i~z~二m，…则点到直线的距离是丄V —•. - ■V2 =V2则最小距离是二•…2［选修4-5不等式选讲］23. 设函数f () =| - 3|，g() =| - 2|(1)解不等式f () +g ()v 2；(2)对于实数，y,若f ()w 1, g (y)< 1,证明：| - 2y+1| <3.【考点】R6:不等式的证明.【分析】(1)分类讨论，解不等式f () +g ()v 2;(2)利用绝对值不等式，即可证明结论.【解答】(1)解：解不等式| -3|+| - 2| v 2.①当W 2时，原不等式可化为3- +2-v2,可得■--.所以一:.②当2v< 3时，原不等式可化为3- +-2v2,可得1v2.所以2v< 3.③当》3时，原不等式可化为-3+- 2v2,可得「.所以W •.由①②③可知，不等式的解集为U £(2)证明：| —2y+1|=| (-3)— 2 (y - 2) | < | - 3|+2|y—2| < 1+2=3.当且仅当无｛［巾寸等号成立.…2017年5月24日。
2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A． B．10 C．D．53．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．15．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．229．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm211．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．（，2]C．[1，4）D．[2，8）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是______．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心，且与直线x﹣y﹣3=0相切的圆的标准方程为______．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，则此三棱柱外接球的表面积为______．16．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥．（Ⅰ）求锐角A的大小；（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的长．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定PM2.5的数值在0～50ug/m2为空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国“空气质量优秀城市”评选，下表是2011至2020年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）：2011年2020年2020年2020年2020年甲86 77 92 72 78乙78 82 88 82 95（Ⅰ）画出茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选出一个城市为“空气质量优秀城市”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）；（Ⅲ）若从甲、乙两市的2020至2020年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，AA1=2，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是A1D上一点，且A1E=2ED．（1）求证：EO∥平面A1ABB1；（2）求直线A1B与平面A1ACC1所成角的正弦值．20．以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l交椭圆C于M、N两点，P为椭圆C上的点，且与M、N不关于坐标轴对称，设直线MP、NP的斜率分别为k1，k2，试问：k1，k2的乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2lnx+ax（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；（Ⅱ）对于任意的x0＞0，记函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线在y轴上的截距为g（x0），求g（x0）的最大值．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD与CE相交于点F．（Ⅰ）证明：A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圆的半径．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数）（Ⅰ）求曲线M与曲线N的普通方程；（Ⅱ）若曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求不等式|2x﹣4|+|x+1|≥5解集；（Ⅱ）已知a，b为正数，若直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，求证：≥8．2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}【考点】并集及其运算．【分析】根据交集关系求出a，b，即可得到结论．【解答】解：∵M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，∴2a=2，即a=1，则N={1，b}，则b=2，即N={1，2}，则M∪N={0，1，2}，故选：C2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A． B．10 C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模．【解答】解：=1+=3+i，故模为；故选：A．3．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．【考点】数列与函数的综合；等比数列的性质．【分析】由已知条件推导出a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣2，由（a3+a8）2=2a2a9+6，能求出锐角α的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a3和a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣2=0的两根，∴a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣sinα，∵（a3+a8）2=2a2a9+6，∴4sin2α=﹣2+6，即sinα=，或sinα=﹣（舍），∴锐角α的值为．故选：C．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．5．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵=，∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣[1﹣2]=﹣[1﹣2•]=﹣，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出S≥2时终止循环，写出输出n的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，S=0，S＜2，S=0+sin=，n=2；S＜2，S=+sin=+，n=3；S＜2，S=++sin=+，n=4；S≥2，终止循环，输出n=4．故选：C．7．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由条件得．两边平方计算，得出∠AOB．从而得出∠AOC，∠BOC，分别计算三个小三角形的面积即可．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，∴OA=OB=OC=1．∵=，∴．∴，即1+1+2=2．∴．∴，即∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOC=135°，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=++=．故选D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵S10=S12，∴10a1+×（﹣2）=12a1+×（﹣2），化为：2a1=42，则a1=21．故选：C．9．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q【考点】三角函数线．【分析】判断三个数的范围，即可比较大小．【解答】解：﹣＜θ＜0，cosθ∈（0，1）且P=3cosθ＞1，Q=（cosθ）3∈（0，1）；R=∈（0，1）．（cosθ）3＜，可得：Q＜R＜P．故选：B．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的表面积公式、矩形面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，且圆锥的底面圆的半径是4、高为3，则母线长=5，正方体的棱长是4，∴该几何体的表面积S=5×4×4+π×42﹣4×4+π×4×5=64+36π（cm2），故选：B．11．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】求出x＞0时f（x）的表达式，结合函数的单调性以及奇偶性，得到|2x|＜|x﹣3|，解出即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）==1+，x→+∞时，f（x）→1，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，又f（x）是偶函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数．∵f（2x）＞f（x﹣3），∴|2x|＜|x﹣3|，即4x2＜x2﹣6x+9，解得：﹣3＜x＜1，故选：A．12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．（，2]C．[1，4）D．[2，8）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数零点的定义，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，∴log2a=x2+﹣4在（0，2]上有两解，设g（x）=x2+﹣4，则g′（x）=2x﹣，得x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（1）=﹣1，g（2）=1，∴﹣1＜log2a≤1，∴＜a≤2，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出他们参加项目不同包含的基本事件个数，由此能求出他们参加项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，基本事件总数n=3×3=9，他们参加项目不同包含的基本事件个数m=3×2=6，∴他们参加项目不同的概率p==．故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心，且与直线x﹣y﹣3=0相切的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【考点】圆的标准方程．【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．【解答】解：由题意可得圆心为点（1，0），半径为r==，∴要求的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2，故答案为：（x﹣1）2+y2=2．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，则此三棱柱外接球的表面积为20π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，可将棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=2，即为球的直径，∴球的半径为，∴球的表面积为4π×（）2=20π，故答案为：20π．16．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=3：5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，过点M作准线的垂线，设垂足为P，准线FA的斜率为﹣．利用|FM|：|MN|=|MP|：|MN|即可得出．【解答】解：如图所示，抛物线C：x2=12y的焦点为F（3，0），过点M作准线的垂线，设垂足为P，准线FA的斜率为﹣．利用抛物线的定义可得：|FM|=|MP|．|FM|：|MN|=|MP|：|MN|=3：5．故答案为：3：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥．（Ⅰ）求锐角A的大小；（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由两向量垂直得到tan2A=﹣，由此得到A．（Ⅱ）由余弦定理得到a，再由三角形面积公式得到AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥，∴且•=2sinA（2cos2A﹣1）+cos2A=sin2A+cos2A=0，∴tan2A=﹣，∵A为锐角，∴A=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=28，∴a=2，∵△ABC的面积为S=bcsinA=a•AD，∴AD=．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定PM2.5的数值在0～50ug/m2为空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国“空气质量优秀城市”评选，下表是2011至2020年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）：2011年2020年2020年2020年2020年甲86 77 92 72 78乙78 82 88 82 95（Ⅰ）画出茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选出一个城市为“空气质量优秀城市”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）；（Ⅲ）若从甲、乙两市的2020至2020年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）十位为茎，个位数为叶，完成茎叶图，（Ⅱ）由茎叶图可以直接判断，（Ⅲ）甲乙抽取的数据共有9种情况，其中其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有2种情况，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示；（Ⅱ）选乙好，因为乙空气质量一等天数的平均值高，（Ⅲ）甲乙抽取的数据共有9种情况，（92，88），（92，82），（92，95），（72，88），（72，82），（72，95），（78，88），（78，82），（78，95），其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有2种情况：（92，85），（92，82），故空气质量一等天数甲市比乙市多的概率P=19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，AA1=2，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是A1D上一点，且A1E=2ED．（1）求证：EO∥平面A1ABB1；（2）求直线A1B与平面A1ACC1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1B，利用△AOB∽△COD得出，又，故而OE∥A1B，于是EO∥平面A1ABB1．（2）过A1作A1F⊥B1C1于F，连结BF，则可证明A1F⊥平面BB1C1C，于是∠A1BF是直线A1B与平面A1ACC1所成的角，求出A1F和A1B即可求出线面角的正弦值．【解答】证明：（1）连结A1B，∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴，∵A1E=2ED，∴．∴，∴OE∥A1B，又OE⊄平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴EO∥平面A1ABB1．（2）过C1作C1G⊥A1B1于G，则四边形A1D1C1G是矩形，∴C1G=A1D1=AD=2，A1G=C1D1=2，∴B1G=2，B1C1=2．过A1作A1F⊥B1C1于F，连结BF，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，AF⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥AF，又BB1∩B1C1=B1，BB1⊂平面BB1C1C，B1C1⊂平面BB1C1C，∴A1F⊥平面BB1C1C，∴∠A1BF是直线A1B与平面A1ACC1所成的角．∵S==，∴A1F==．∵A1B==2．∴sin∠A1BF==．20．以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l交椭圆C于M、N两点，P为椭圆C上的点，且与M、N不关于坐标轴对称，设直线MP、NP的斜率分别为k1，k2，试问：k1，k2的乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，将A（2，3）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（s，t），代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式计算即可得到所求定值．【解答】解：（1）由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，将A（2，3）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=4，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意可设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（s，t），可得+=1， +=1，相减可得=﹣，则k1•k2=•=﹣=﹣．即有k1，k2的乘积为定值﹣．21．已知函数f（x）=x2lnx+ax（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；（Ⅱ）对于任意的x0＞0，记函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线在y轴上的截距为g（x0），求g（x0）的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得所求切线的方程，令x=0，即可得到所求y轴上的截距；（Ⅱ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，可令x=0，可得y轴上的截距，求得g（x0）的导数和单调区间，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx+ax的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，可得函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为1+a，切点为（1，a），即有切线的方程为y﹣a=（1+a）（x﹣1），令x=0，可得y=a﹣1﹣a=﹣1，在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为﹣1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，可得函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0lnx0+x0+a，即有切线的方程为y﹣（x02lnx0+ax0）=（2x0lnx0+x0+a）（x﹣x0），令x=0，可得y=x02lnx0+ax0﹣x0（2x0lnx0+x0+a）=﹣x02lnx0﹣x02，设g（x0）=﹣x02lnx0﹣x02，g′（x0）=﹣（2x0lnx0+x0）﹣2x0=﹣x0（2lnx0+3），当x0∈（0，e）时，g′（x0）＞0，g（x0）递增；当x0∈（e，+∞）时，g′（x0）＜0，g（x0）递减．可得g（x0）max=g（e）=e﹣3．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD与CE相交于点F．（Ⅰ）证明：A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）证明：△BAD≌△CBE，可得∠ADB=∠BEC，∠ADF+∠AEF=π，即可证明A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，证明点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为，利用A，E，F，D四点共圆，即可求△AEF外接圆的半径．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE=AB，∴BE=B．又∵AD=AC，AB=AC，∴AD=BE．又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，∴∠ADF+∠AEF=π，∴A，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：如图所示，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE．∵AE=AB，∴AG=GE=AB=．∵AD=AC=，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数）（Ⅰ）求曲线M与曲线N的普通方程；（Ⅱ）若曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．利用cos2α+sin2α=1可得普通方程，注意y的取值范围．曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m 为常数），展开可得：=m，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（ⅠI）由直线N与圆M相切时，=1，取m=．直线经过点（1，0）时，m=1．即可得出m的取值范围．【解答】解：（I）由曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．可得x2+y2=1（1≥y≥0）．曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数），展开可得：=m，化为：x+y=m．（ⅠI）由直线N与圆M相切时，=1，取m=．直线经过点（1，0）时，m=1．∵曲线M与曲线N有两个公共点，∴m的取值范围是[1，）．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求不等式|2x﹣4|+|x+1|≥5解集；（Ⅱ）已知a，b为正数，若直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，求证：≥8．【考点】绝对值不等式的解法；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据直线的垂直关系，求出关于a，b的等式，根据基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）=|2x﹣4|+|x+1|，∵f（x）=，x≥2时，3x﹣3≥5，解得：x≥，﹣1≤x＜2时，﹣x+5≥5，解得：x≤0，x＜﹣1时，﹣3x+3≥5，解得：x≤﹣，综上，不等式的解集是（﹣∞，0]∪[，+∞）．（Ⅱ）证明：∵直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，∴2（a﹣1）+2b=0，得：a+b=1，∵ab≤=，当且仅当a=b时取“=”，∴≥4，∴+≥≥8，当且仅当a=b=时取“=”，即：≥8．2020年9月18日。
2020年甘肃省第二次高考诊断考试数学试卷（理）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}21≤≤-=x x A ，{}1,1-=B ，则B A =A ．{}11≤≤-x xB ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}1,1-2．复数ii z -=22在复平面内表示的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，x x f lg )(=，则函数)(x f 的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．14．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标5．命题“0cos 2020),0[2>-+∞∈∀x x x ，”的否定为A ．0cos 2020),0[0200<-+∞∉∀x x x ，B ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∀x x x ，C ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∉∃x x x ，D ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∃x x x ，6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410442==+S a a ，，则1a 的值为A ．9B ．1C ．9-D ．2-7．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PAC BC AB ∆==,1,3为等边三角形，若四棱锥ABCD P -的体积为1，则此四棱锥的外接球表面积为A ．34πB ．38πC ．316π D ．π3 8．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为1000cm 3的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2×100cm 的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A ．π31102B ．π1652C ．31102D ． π852 9．已知21F 、F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，)0,2(1-F ，若双曲线的左支上有一点P ，满足221-=-PF PF ，则该双曲线的渐近线方程为A ．x y 3±=B ．x y 33±=C ．x y 3±=D ．x y 31±= 10．定义在R 上的函数)(x f y =在]1,(-∞上单调递减，且)1(+x f 是偶函数，则使)3()12(f x f >-成立的x 的取值范围是A ．),1(+∞B ．),2()0,(+∞-∞C ．)1,0(D ．)0,(-∞11．某人以1km/h 的速度向北偏东60°方向徒步前进，某一时刻收到短信提示，在其正东方3km 处有一信号干扰源，干扰区域半径为3km ，则该人在接下来4小时中，随机拿出手机拨打电话，不被干扰的概率为A ．23B ．43C ．232-D ．434- 12．如图，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，N 在边BC 上，且BN BC 3=，BM 与AN 交于点P ，若PN BP BC AB ⋅=⋅24，则BC AB的值是A ．33B ．3C ．31 D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设212z i =-，252z i =-+，则12z z +=（ ） A.2i -+ B.32i -+ C.3i -+D.22i -+2.若集合{}1,A m =，{}2,1B m m =+，且A B =，则m =（ ）A.0B.1C.1±D.0或13.已知椭圆()22166x y m m+=>的焦距为2，则m =（ ）B.37C.7D.494.设等比数列{}n a 的前6项和为6，且公比2q =，则1a =（ ）A.221B.17C.421D.5215.2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ） A.6天B.7天C.8天D.9天6.若函数()()2log f x x x a =+-的定义域为()1,+∞，则()3f a =（ ）A.2B.3C.4D.57.执行如图所示的程序框图，若输入的5t =，则输出的K =（ ）A.1B.2C.3D.48.函数()324f x x x =-的极大值点为（ ）A.-B.C.D.-9.若函数()2cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,m 上的最小值小于零，则m 的取值范围为（ ） A.24,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.2,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭A.14B.16C.18D.2011.在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2AB BD ==，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC =（ ）第Ⅱ卷二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上. 13.函数()35x f x =+的值域为______.14.设x ，y 满足约束条件10,10,30,x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩则当2z x y =+取得最大值时，y =______.15.若某正方体的外接球的表面积为12π，则这个正方体内切球的半径为______. 16.定义()p n 为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如()5551p =，()932p =，()17143p =.在等差数列{}n a 中，29a =，1025a =，则n a =______，数列(){}n p a 的前100项和为______.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17.某连锁超市旗舰店在元旦当天推出一个购物满百元抽奖活动，凡是一次性购物满百元者可以从抽奖箱中一次性任意摸出2个小球（抽奖箱内共有5个小球，每个小球大小形状完全相同，这5个小球上分别标有1，2，3，4，5 这5个数字）.（1）列出摸出的2个小球的所有可能的结果.（2）已知该超市活动规定：摸出的2个小球都是偶数为一等奖；摸出的2个小球都是奇数为二等奖.请分别求获得一等奖的概率与获得二等奖的概率.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥平面ABCD . （1）证明：平面PAD ⊥平面PCD .（2）若1AD =，2AB =，E 为AB 的中点，且四面体PBCE 的体积为12，求线段PE 的长.19.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知222sin 2sin sin sin cos 21C A A B B -++=.（1）求cos C ；（2）若2a =，3c =，求ABC △的面积. 20.在直角坐标系xOy 中，过点()2,0的直线l 与抛物线24y x =交于A ，B 两点.（1）证明：直线OA 与OB 的斜率之积为定值. （2）已知点()0,1M-，且AMB ∠为锐角，求l 的斜率的取值范围.21.设函数()ln x a f x x e =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为11e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. （1）证明：()f x 有且只有一个零点.（2）当()0,x ∈+∞时，()kf x ex<恒成立，求整数k 的最小值. （二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（1）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；23.[选修4—5：不等式选讲]（1）若()()f x g x <，求x 的取值范围；参考答案1.D 因为1213z =+=，252z i =-+，所以1222z z i +=-+.2.A 1m m ≠+Q ，2m m ∴=，0m ∴=或1，显然1m ≠，0m ∴=. 3.C 依题意可得261c m =-=，，则7m =.4.A 由题意可得()61611263612a S a -===-，即1221a =. 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天. 6.C 因为()()2log f x x x a =+-的定义域为(),a +∞，所以1a =，所以()233log 24f a =+=.7.D 10K =，1i =；11K =，2i =-；9K =，5i =-；45K =<，输出4K =.8.A()2324f x x '=-，当x <-或x >时，()0f x '>；当x -<<时，()0f x '<.故()324f x x x =-的极大值点为-9.D 因为[]0,x m ∈，所以2,2333x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.又cos y x =在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]0,π上单调递减，且()00f =，所以233m ππ->，解得3m π>. 10.C因为2CA OA OC OB=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2OA OB OC=+u u u r u u u r u u u r ，所以11.B 取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，则//EF AC ，BEF ∠为异面直线AC 与BE 所成的角，所以得2e =. 13.()5,+∞ 30x >Q ，()35x f x ∴=+的值域为()5,+∞.14.4 作出不等式组表示的可行域（图略），当直线2z x y =+经过点()3,4时，z 取得最大值.15.1 设这个正方体的棱长为a ，则这个正方体的外接球的半径为2a ，则2243122a a πππ⎛⎫⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，即2a =，故这个正方体内切球的半径为1.17a =，100205a =，且n a 为奇数，所以当7n a =，9，11，33，55，77，99，111时，()1n p a =；当101n a =，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199时，()2n p a =.在{}n a 中，小于100的项共有47项，这47项中满足()2n p a =的共有47740-=项，故(){}n p a 的前100项和为()()1824017310084017227⨯+⨯++⨯---=.17.解：（1）摸出的2个小球的所有可能的结果为()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5.（2）由（1）知，摸出的2个小球的所有可能的结果共有10个， 摸出的2个小球都是偶数的所有可能的结果为()2,4，所以获得一等奖的概率为110. 摸出的2个小球都是奇数的所有可能的结果为()1,3，()1,5，()3,5，所以获得二等奖的概率为310. 18.（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形， 所以AD CD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥，又CD PD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD （证CD ⊥平面PAD 亦可）. 因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PCD .（2）解：因为E 为AB 的中点，1AD =，2AB =，所以BCE △的面积为111122⨯⨯=， 所以四面体PBCE 的体积111322P BCE V V PD -==⨯⨯=， 所以3PD =.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以PA =易证AE ⊥平面PAD ，则AE PA ⊥，又1AE =，所以PE ==19.解：（1）因为222sin 2sin sin sin cos 21C A A B B -++=， 所以2222sin 2sin sin sin 1cos 22sin C A A B B B -+=-=， 由正弦定理得222222c a ab b -+=，（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，20.（1）证明：设l 的方程为2x my =+，联立24,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩得2480y my --=，设()11,Ax y ，()22,B x y ，则128y y =-.（2）解：由（1）知，124y y m +=.因为()11,1MA x y =+u u u r ，()22,1MB x y =+u u u r，且AMB ∠为锐角， 所以0MA MB ⋅>u u u r u u u r ，且MA u u u r 与MB u u u r不共线，所以()()121212121211148410x x y y x x y y y y m +++=++++=-++>，且02m ≠-+，21.（1）证明：()f x 的定义域为()0,+∞，()1x a f x e x'=--， 则()1111a f e e ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，解得1a =. ()110x f x e x '∴=--<，则()f x 在()0,+∞上单调递减， ()110f e =>Q ，()110e f e e =-<，()f x ∴有且仅有一个零点.（2）解：当1x =时，()11kf e e =<，由此可得1k >. 当2k =时，下面证明()2f x ex<对()0,x ∈+∞恒成立.证明：()2122ln ln x x x f x x x x ex e ex e e <⇔-<⇔<+.令()x x g x e =，则()1x xg x e-'=，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e≤=.令()2ln h x x x e =+，()1ln h x x '=+，()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()11h x h e e⎛⎫≥= ⎪⎝⎭. 从而()()gx h x ≤，又()g x 和()h x 不在同一处取到最值，则()()g x h x <.故当()0,x ∈+∞时，()2f x ex<恒成立，从而整数k 的最小值为2.即228290x y x y +-++=，故曲线C 的极坐标方程为28cos 2sin 90ρρθρθ-++=.射线L 的直角坐标方程为()0y x x =-≥.两边同时平方得22222144a x ax a x ax -+<++， 即63ax >-，所以()()f x g x +的最小值为3，解得lg 2lg5a ≤≤，故a 的最大值与最小值之和为lg 2lg5lg101+==.。
