力学4-功和能pz
- 格式：ppt
- 大小：1.27 MB
- 文档页数：35
下载文档原格式
合集下载
大学物理-力学中的功和能1
W重力 = mgR
dh
drv
ϕ
mg
水平方向无外力，水平方向系统 动量守恒。
mv + MV = 0
V = − mv M
W重力
+ W内力
=
1 2
MV
2
+
1 2
mv
2
V = − mv M
对M，内力 N ’ 所做的功， 由质点的动能定理可得：
WN′
=
1 2
MV
2
=
m2v 2 2M
mN
M N’
对m，内力 N 所做的功
x1
y24dy
y1
∫ ∫ =
3 −2
x2 2
dx
+
9 4 4dy
1
4y = x+6
y
2.25
a 1
−2 O
＝ 10.8 J
x2 = 4y
b
3x
若质点沿直线运动
∫ ∫ ∫ W2 =
b a
(Fxdx
+
Fydy)
=
2 x2 ydx +
x1
y24dy
y1
∫ ∫ =
3 −2
1 2
(
x
+
6)d
x
+
9 4 4dy
Q2
？
例：有一面为 1/4 凹圆柱面（半径 R，质量 M），放置在 光滑水 平面上。一小球（质量 m），从静止开始沿圆柱面从顶端无摩擦 下落（如图），最终从水平方向以速度 v 飞离物体 ，求：1）此 过程中重力所做的功；2）内力所做的功。
m M
解：重力只对小球做功
R dW重力 = mg drv cosϕ = mgdh
dh
drv
ϕ
mg
水平方向无外力，水平方向系统 动量守恒。
mv + MV = 0
V = − mv M
W重力
+ W内力
=
1 2
MV
2
+
1 2
mv
2
V = − mv M
对M，内力 N ’ 所做的功， 由质点的动能定理可得：
WN′
=
1 2
MV
2
=
m2v 2 2M
mN
M N’
对m，内力 N 所做的功
x1
y24dy
y1
∫ ∫ =
3 −2
x2 2
dx
+
9 4 4dy
1
4y = x+6
y
2.25
a 1
−2 O
＝ 10.8 J
x2 = 4y
b
3x
若质点沿直线运动
∫ ∫ ∫ W2 =
b a
(Fxdx
+
Fydy)
=
2 x2 ydx +
x1
y24dy
y1
∫ ∫ =
3 −2
1 2
(
x
+
6)d
x
+
9 4 4dy
Q2
？
例：有一面为 1/4 凹圆柱面（半径 R，质量 M），放置在 光滑水 平面上。一小球（质量 m），从静止开始沿圆柱面从顶端无摩擦 下落（如图），最终从水平方向以速度 v 飞离物体 ，求：1）此 过程中重力所做的功；2）内力所做的功。
m M
解：重力只对小球做功
R dW重力 = mg drv cosϕ = mgdh
高中物理力学功和能易混淆知识点
高中物理力学功和能易混淆知识点首先，我们来看功（work）的概念。
根据物理学的定义，功是力在物体上作用的结果，是力对物体增加的能量。
它是标量量，单位是焦耳（J）。
功的计算公式为：\[ W = F \cdot s \cdot \cos(\theta) \]其中，W表示功，F表示力，s表示力作用的距离，θ表示力和位移之间的夹角。
根据该公式可以看出，功是一个力在物体上施加的力和物体位移之间的乘积。
在力学中，机械能（mechanical energy）是指物体由于位置或运动而拥有的能量。
机械能可以分为两种：动能（kinetic energy）和势能（potential energy）。
动能是物体由于运动而具有的能量，它与物体的质量和速度有关。
动能的计算公式为：\[ K = \frac{1}{2} mv^2 \]其中，K表示动能，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
从公式中可以看出，动能与物体的质量和速度的平方成正比。
势能是物体由于位置而具有的能量。
势能可以分为重力势能和弹性势能两种。
重力势能是物体在重力作用下，由于位置改变而具有的能量。
重力势能的计算公式为：\[ U = mgh \]其中，U表示重力势能，m表示物体的质量，g表示重力加速度，h表示物体的高度。
从公式可以看出，重力势能与物体的质量、重力加速度和高度成正比。
弹性势能是物体在弹性力作用下，由于形变而具有的能量。
\[ U = \frac{1}{2} kx^2 \]其中，U表示弹性势能，k表示弹簧的劲度系数，x表示弹簧的伸长量。
从公式可以看出，弹性势能与弹簧的劲度系数和伸长量的平方成正比。
那么，功和能有什么区别呢？首先，功是一个物体受力作用后增加的能量，而能是物体具有的能量。
换句话说，功是一个过程的描述，描述的是力对物体所做的功，而能是一个状态的描述，描述的是物体拥有的能量。
其次，功是与力和位移有关的物理量，而能是与物体的位置和状态有关的物理量。
例如，一个物体在地面上被抬起，由于位置改变而具有重力势能，这个过程中重力做了功，但物体并没有动能。
高考物理力学知识点之功和能全集汇编附解析(4)
高考物理力学知识点之功和能全集汇编附解析(4)一、选择题1．连接A、B两点的在竖直面内的弧形轨道ACB和ADB形状相同、材料相同，如图所示．一个小物体从A点以一定初速度v开始沿轨道ACB运动，到达B点的速度为v1；若以相同大小的初速度v沿轨道ADB运动，物体到达B点的速度为v2，比较v1和v2的大小，有（）A．v1＞v2B．v1=v2C．v1＜v2D．条件不足，无法判定2．如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动．已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在高点时对轨道的压力大小为N2.重力加速度大小为g，则N1–N2的值为A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg3．如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图（乙）所示，则A．1t时刻小球动能最大B．2t时刻小球动能最大C．2t~3t这段时间内，小球的动能先增加后减少D．2t~3t这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能4．从空中某一高度同时以大小相等的速度竖直上抛和水平抛出两个质量均为m的小球，忽略空气阻力．在小球从抛出到落至水平地面的过程中A．动能变化量不同，动量变化量相同B．动能变化量和动量变化量均相同C．动能变化量相同,动量变化量不同D．动能变化量和动量变化量均不同5．如图是一汽车在平直路面上启动的速度-时间图象，t1时刻起汽车的功率保持不变．由图象可知（）A．0-t1时间内，汽车的牵引力增大，加速度增大，功率不变B．0-t1时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变，功率不变C．t1-t2时间内，汽车的牵引力减小，加速度减小D．t1-t2时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变6．质量为m的滑块沿高为h，长为L的粗糙斜面匀速下滑，在滑块从斜面顶端滑至底端的过程中A．滑块的机械能保持不变B．滑块克服摩擦所做的功为mgLC．重力对滑块所做的功为mgh D．滑块的机械能增加了mgh7．如图所示，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽高h处开始自由下滑，则（）A2ghB2ghC．小球在下滑过程中，小球和槽组成的系统总动量守恒D．小球自由下滑过程中机械能守恒8．我国的传统文化和科技是中华民族的宝贵精神财富，四大发明促进了科学的发展和技术的进步，对现代仍具有重大影响，下列说法正确的是（）A．春节有放鞭炮的习俗，鞭炮炸响的瞬间，动量守恒但能量不守恒B．火箭是我国的重大发明，现代火箭发射时，火箭对喷出气体的作用力大于气体对火箭的作用力C．装在炮弹中的火药燃烧爆炸时，化学能全部转化为弹片的动能D．指南针的发明促进了航海和航空，静止时指南针的N极指向北方9．如图所示，一表面光滑的木板可绕固定的水平轴O转动，木板从水平位置OA转到OB 位置的过程中，木板上重为5 N的物块从靠近转轴的位置由静止开始滑到图中虚线所示位置，在这一过程中，物块的重力势能减少了4 J。
m4功和能
机械能 E E K E P 质点系在运动过程中，它所 受的外力的功与系统内非保 守内力的功的总和等 于它的 机械能的增量。称为功能原理。
A外 A内非 E B E A
当质点系只有保守内力做功，外力和非保守内力做功为零时， 机械能守恒。 即：
A外 A内非保 0
E机 E B E A 常量
质点的动能：
1 2 E k mv 2
质点动能定理的微分形式；表明 合力对质点做功的功率等于质点 动能的时间变化率。
d P ( Ek ) dt
在 t1 到 t2 这段时间内，质点沿路径L从 A 到B
A L F dr L
B A B
F v dt
B A
d 1 1 1 2 2 L ( mv )dt mv 2 mv12 dt 2 2 2 A
A到B做功
B
ri
A
B
Fi
功等于质点受的力 和它的位移的标积
B Ai Fi ri L F dr i i A
AAB
AAB
L F dr
A
质点沿路径L从A到 B力F对它做的功
恒力的功
F
B
F
F
AAB
B
L F dr
更普遍地，孤立系统能量守恒。 在只有保守内力做 功的情况下，质点 系的机械能保持不 变。这一结论叫机 械能守恒。 械能守恒
五、能量守恒定律与三种宇宙速度
相对地心参考系
可绕地球运行 所需的最小 初速度称为
第一宇宙速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度
使人造星体
完全脱离地球 脱离太阳
第一宇宙速度
把卫星和地球看做一个系统，则其机械能守恒。(地心系）
A外 A内非 E B E A
当质点系只有保守内力做功，外力和非保守内力做功为零时， 机械能守恒。 即：
A外 A内非保 0
E机 E B E A 常量
质点的动能：
1 2 E k mv 2
质点动能定理的微分形式；表明 合力对质点做功的功率等于质点 动能的时间变化率。
d P ( Ek ) dt
在 t1 到 t2 这段时间内，质点沿路径L从 A 到B
A L F dr L
B A B
F v dt
B A
d 1 1 1 2 2 L ( mv )dt mv 2 mv12 dt 2 2 2 A
A到B做功
B
ri
A
B
Fi
功等于质点受的力 和它的位移的标积
B Ai Fi ri L F dr i i A
AAB
AAB
L F dr
A
质点沿路径L从A到 B力F对它做的功
恒力的功
F
B
F
F
AAB
B
L F dr
更普遍地，孤立系统能量守恒。 在只有保守内力做 功的情况下，质点 系的机械能保持不 变。这一结论叫机 械能守恒。 械能守恒
五、能量守恒定律与三种宇宙速度
相对地心参考系
可绕地球运行 所需的最小 初速度称为
第一宇宙速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度
使人造星体
完全脱离地球 脱离太阳
第一宇宙速度
把卫星和地球看做一个系统，则其机械能守恒。(地心系）
高考物理力学知识点之功和能全集汇编含解析
高考物理力学知识点之功和能全集汇编含解析一、选择题1．如图所示，用同种材料制成的一个轨道，AB段为14圆弧，半径为R，水平放置的BC段长度为R．一小物块质量为m，与轨道间的动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A由静止下滑时，恰好运动到C点静止，那么物块在AB段克服的摩擦力做的功为（）A．μmgR B．mgR（1－μ）C．12πμmgR D．12mgR2．如图，倾角为θ的光滑斜面与光滑的半径为R的半圆形轨道相切于B点，固定在水平面上，整个轨道处在竖直平面内。
现将一质量为m的小球自斜面上距底端高度为H的某点A由静止释放，到达半圆最高点C时，对C点的压力为F，改变H的大小，仍将小球由静止释放，到达C点时得到不同的F值，将对应的F与H的值描绘在F H-图像中，如图所示。
则由此可知（）A．小球开始下滑的高度H的最小值是2R B．图线的斜率与小球质量无关C．a点的坐标值是5R D．b点坐标的绝对值是5mg3．美国的NBA篮球赛非常精彩，吸引了众多观众。
经常能看到这样的场面：在终场前0.1s的时候，运动员把球投出且准确命中，获得比赛的最后胜利。
已知球的质量为m，运动员将篮球投出，球出手时的高度为h1、动能为E k、篮筐距地面高度为h2。
不计空气阻力。
则篮球进筐时的动能为A．B．C．D．4．如图所示，物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零，运动中无碰撞能量损失。
DO是水平面，AB是斜面，初速度为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零。
如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点时速度也刚好为零，则此时物体具有的初速度v（）A ．大于v0B ．等于v0C ．小于v0D ．决定于斜面的倾角5．一质量为m 的木块静止在光滑的水平面上，从0t =开始，将一个大小为F 的水平恒力作用在该木块上，作用时间为1t ，在10~t 内力F 的平均功率是（ ）A ．212F m t ⋅B ．2212F m t ⋅C ．21F m t ⋅D ．221F mt ⋅6．2019年2月16日，世界游泳锦标赛跳水项目选拔赛（第一站）在京举行，重庆选手施延懋在女子3米跳板决赛中，以386.60分的成绩获得第一名，当运动员压板使跳板弯曲到最低点时，如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．跳板发生形变是因为运动员的重力大于板对她支持力B ．弯曲的跳板受到的压力，是跳板发生形变而产生的C ．在最低点时运动员处于超重状态D ．跳板由最低点向上恢复的过程中，运动员的机械能守恒7．如图所示,固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环,圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧的另一端连接在墙上,且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑,已知弹簧原长为L ,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L (未超过弹性限度),则在圆环下滑到最大距离的过程中( )A ．圆环的机械能守恒B 3mgLC ．圆环下滑到最大距离时,所受合力为零D ．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变8．如图所示，一轻弹簧的左端固定在竖直墙壁上，右端自由伸长，一滑块以初速度v 0在粗糙的水平面上向左滑行，先是压缩弹簧，后又被弹回。
4功和能bPPT课件
在质心系中两质子达到最近距离时，全部动
能转化为静电势能。（在实验室系如何？）
12(m2p)(3v0)2
e2 k
rmin
4ke2
rmin
9m
pv
2 0
4.12 两体问题
两物体在相互作用下的运动问题称两体问题，
如： 粒子被原子核散射，行星绕太阳运动等。
dE k dE kC dE p (1)
dW内非 dW内 非 （内力成对出现）
d W 外 d W 内 非 d E k d E p d E k d E k C d E p
(1)
· S
Fi
mi
ri ri′
rc
S′
vc
C
dW 外
F i d r i
F id r i F id r C
地球 — 物体系统的能量问题时， 可以不考虑
地球动能的道理。
例4.13 已知：质子间相互作用电势能为 k e 2 ，
r
mp mp k为常量。两个质子从相距很远处
●
e
r
●
e
分别以速率v0 和 2v0 相向运动。
求：二者能达到的最近距离 rmin
解：两质子间只有保守内力作用， 动能和静电
势能之和守恒（忽略万有引力） 。
答：最后这四个球中停下来的是 （ 球2），运动的球中 速率最小值为（v 0 5 ）。
4.11 质心系中的功能关系
一. 柯尼希定理（K‥onig theorem）
S（ （m质i ， 心v系i） ）：
v C 0 m iv i 0
Ek 12mivi2
S（ （v惯i ， 性系vC）） ：
Ek 12 mivi2， EkC12(mi)vC2
高中物理奥林匹克竞赛——第4章-功与能
§4-6 机械能守恒定律
3.18 一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m 的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬。 1)二人是否同时到达顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系 统的动量是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量 是否守恒？
解：1) 甲、乙二人受力情况相同，故运动相 同，即有相同的加速度和速度
定理：质点系外力功和内力功的总和等于总动能的增量。
§4-2 动能定理
§4-3 势能
Conservative Forces
§4-3 引力势能
Conservative Forces
1.保守力与非保守力
B
A引间的万考（AABB有虑1Gf）引质2m1r力万点213dm的系有s2功中引：r的2力两做d个AB功Gr质2m点r21m3m1和2 rmrrAB22G之 dmrr2122mm1 2rAfd12r2rf2A2r1Bm2
R
T mg ma
t
t T-mg
v v0
adt
0
0
m
dt
m
m
甲
乙
二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到 达顶点。
以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg)>0， 故系统的动量不守恒。
以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不 守恒。显然人在上升过程中机械能在增加。
Ek 2,A
相加，得
B A
F1
dr1
B
A F22
drr22
B A
f12
dr11
B A
f 21
dr2
(Ek1,B Ek 2,B ) (Ek1,A Ek 2,A )
2019中考(通用版)物理复习冲刺课件：专题二力学之四功和机械能(共26张PPT)
图4-4-7
3. 如图4-4-8所示，一小球在A点静止释放，然后沿无 摩擦轨道ABC运动，忽略一切阻力．下列说法正确的 是（ D ） A．在AB段，小球动能不断减少 B．在AB段，小球重力势能不变 C．在BC段，小球机械能不断减少 D．在BC段，小球速度不变
4. 如图4-4-9所示，轨道ABC光滑，弹簧固定在水平轨 道末端，小球从A处由静止滚下，撞击弹簧，至弹簧压 缩最大，在这过程中，机械能转化的情况是（ B ） A. 重力势能→动能 B. 重力势能→动能→弹性势能 C. 重力势能→弹性势能→动能 D. 小球机械能不断减小
7.小球在没有空气阻力的情况下，沿无摩擦轨道运动. （1）如图4-4-11所示，小球从A点静止释放，小球到达C点时速 度是否为零？__是__. （2）将轨道BC段改为水平，如图4-4-12所示. 小球仍从A点静止 释放，小球经过M点时的机械能大于、小于还是等于其在A点 的机械能？___等__于___. 以小球经过M点时为计时起点，大致画出 小球在MN段运动的速度－时间图线.
【例2】.火箭加速升空过程中，对于火箭搭载的卫星 来说，动能 变大 ，重力势能 变大 ，卫星的机械 能 变大 。（三空均选填“变大”“不变”或“变 小”）
1.电梯匀速上升过程中，电梯的（ A ） A．动能保持不变 B．机械能保持不变 C．重力势能保持不变 D．动能转化为重力势能
2.图4-4-5中玩具猩猩手中的香蕉以相同大小的速度转 动.图4-4-6所示，香蕉（看成点）从最高位置1转到最 低位置2的过程中，其动能_不__变___、重力势能__减__小___、 机械能__减__小___.（选填“增大”、“不变”、“减 小”）
势能
1.重力势能 物体由于 受到重力并处于一定高度时 所具有的能叫做重力势 能，重力势能的大小跟 物体的质量 和 位置 有关。 2.弹性势能 物体由于 发生弹性形变 而具有的能，叫做弹性势能，弹性势 能的大小跟 物体的弹性形变 有关。
3. 如图4-4-8所示，一小球在A点静止释放，然后沿无 摩擦轨道ABC运动，忽略一切阻力．下列说法正确的 是（ D ） A．在AB段，小球动能不断减少 B．在AB段，小球重力势能不变 C．在BC段，小球机械能不断减少 D．在BC段，小球速度不变
4. 如图4-4-9所示，轨道ABC光滑，弹簧固定在水平轨 道末端，小球从A处由静止滚下，撞击弹簧，至弹簧压 缩最大，在这过程中，机械能转化的情况是（ B ） A. 重力势能→动能 B. 重力势能→动能→弹性势能 C. 重力势能→弹性势能→动能 D. 小球机械能不断减小
7.小球在没有空气阻力的情况下，沿无摩擦轨道运动. （1）如图4-4-11所示，小球从A点静止释放，小球到达C点时速 度是否为零？__是__. （2）将轨道BC段改为水平，如图4-4-12所示. 小球仍从A点静止 释放，小球经过M点时的机械能大于、小于还是等于其在A点 的机械能？___等__于___. 以小球经过M点时为计时起点，大致画出 小球在MN段运动的速度－时间图线.
【例2】.火箭加速升空过程中，对于火箭搭载的卫星 来说，动能 变大 ，重力势能 变大 ，卫星的机械 能 变大 。（三空均选填“变大”“不变”或“变 小”）
1.电梯匀速上升过程中，电梯的（ A ） A．动能保持不变 B．机械能保持不变 C．重力势能保持不变 D．动能转化为重力势能
2.图4-4-5中玩具猩猩手中的香蕉以相同大小的速度转 动.图4-4-6所示，香蕉（看成点）从最高位置1转到最 低位置2的过程中，其动能_不__变___、重力势能__减__小___、 机械能__减__小___.（选填“增大”、“不变”、“减 小”）
势能
1.重力势能 物体由于 受到重力并处于一定高度时 所具有的能叫做重力势 能，重力势能的大小跟 物体的质量 和 位置 有关。 2.弹性势能 物体由于 发生弹性形变 而具有的能，叫做弹性势能，弹性势 能的大小跟 物体的弹性形变 有关。
2020高考物理二轮课件：4 功和能
答案 ABD
第12页
考点 动能定理 解|题|必|备
1．应用动能定理解题应抓好“一个过程、两个状态、一个纽带” (1)一个过程：明确物体在运动过程中的受力情况和位置变化，清楚各力做 功情况。 (2)两个状态：明确上述过程的始、末状态的速度或动能，如题组冲关 5 题中小球在 A、B 两点的速度。 (3) 一 个 纽 带 ： 对 于 多 阶 段 问 题 关 注 相 邻 两 个 阶 段 的 衔 接 点 的 速 度 ( 或 动 能)，它是联系前后两个过程的重要纽带。如题组冲关 6 题中 B 点的速度。
第24页
解析 两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能 守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得 mgL＝21mv2，v＝
2gL，因 LP<LQ，则 vP<vQ，又 mP>mQ，则两球的动能无法比较，A、B 两项错 误；在最低点绳的拉力为 F，则 F－mg＝mvL2，则 F＝3mg，因 mP>mQ，则 FP>FQ， C 项正确；向心加速度 a＝F－mmg＝2g，D 项错误。
第20页
(2)设运动员到达 C 点时的速度为 vC，在由 B 到达 C 的过程中，由动能定理 有
mgh＋W＝12mv2C－21mv2B，④ 设运动员在 C 点所受的支持力为 N，由牛顿第二定律有 N－mg＝mvR2C，⑤ 由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的 6 倍，联立④⑤式，代入数据 解得 R＝12.5 m。⑥
答案 C
第16页
5.如图所示的竖直轨道，其圆形部分半径分别是 R 和R2，质量为 m 的 小球通过这段轨道时，在 A 点时刚好对轨道无压力，在 B 点时对轨道的压 力为 mg。则小球由 A 点运动到 B 点的过程中摩擦力对小球做的功为( )
第12页
考点 动能定理 解|题|必|备
1．应用动能定理解题应抓好“一个过程、两个状态、一个纽带” (1)一个过程：明确物体在运动过程中的受力情况和位置变化，清楚各力做 功情况。 (2)两个状态：明确上述过程的始、末状态的速度或动能，如题组冲关 5 题中小球在 A、B 两点的速度。 (3) 一 个 纽 带 ： 对 于 多 阶 段 问 题 关 注 相 邻 两 个 阶 段 的 衔 接 点 的 速 度 ( 或 动 能)，它是联系前后两个过程的重要纽带。如题组冲关 6 题中 B 点的速度。
第24页
解析 两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能 守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得 mgL＝21mv2，v＝
2gL，因 LP<LQ，则 vP<vQ，又 mP>mQ，则两球的动能无法比较，A、B 两项错 误；在最低点绳的拉力为 F，则 F－mg＝mvL2，则 F＝3mg，因 mP>mQ，则 FP>FQ， C 项正确；向心加速度 a＝F－mmg＝2g，D 项错误。
第20页
(2)设运动员到达 C 点时的速度为 vC，在由 B 到达 C 的过程中，由动能定理 有
mgh＋W＝12mv2C－21mv2B，④ 设运动员在 C 点所受的支持力为 N，由牛顿第二定律有 N－mg＝mvR2C，⑤ 由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的 6 倍，联立④⑤式，代入数据 解得 R＝12.5 m。⑥
答案 C
第16页
5.如图所示的竖直轨道，其圆形部分半径分别是 R 和R2，质量为 m 的 小球通过这段轨道时，在 A 点时刚好对轨道无压力，在 B 点时对轨道的压 力为 mg。则小球由 A 点运动到 B 点的过程中摩擦力对小球做的功为( )
大学物理力学第四章功与能
（1）一对力的功与相对移动的路径无关，而只决 定于相互作用物体的始末相对位置，这样的一对 力称为保守力 （如：万有引力、弹力、重力）
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
系统所有能量的总和保持不变。
—— 普遍的能量守恒定律 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在
机械运动范围内的体现。
15
四.守恒定律联合应用举例
[例1] 已知：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.9m/s 。
求：hmax = ?
光滑
hmax M
v m
解： m + M + 地球： W外= 0，W内非 = 0 ，
自然界中许多物理量如动量、角动量、机械能、
电荷、质量等等，都具有相应的守恒定律。
物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，
这是因为：
第一，从方法论上看：
利用守恒定律研究问题，可避开过程的细节，
而对系统始、末态下结论（特点、优点）。
第二，从适用性来看：
守恒定律适用范围广，宏观、 微观、高速、
低速均适用。
角动量守恒相应于空间转动的对称性；
……
22
§4.8 质心系中的功能关系
一. 克尼希定理（K‥onig theorem）书P127
S（（m质i ，心v系i ））：
v C Ek
0
1
2
miv
miv i 2
i
0
S（（v惯i ，性系vC））：
Ek
1 2
miv
i2，
r
是斥力。
12
§4.6 功能原理，机械能守恒定律
一. 功能原理
对质点系有： W外 W内 Ek2 Ek1
W内 W内保 W内非 ( E p2 E p1 ) W内非 W外 W内非 （Ek 2 E p2）（Ek1 E p1）
引入系统的机械能 E Ek E p
dW惯
(miaC
)d
ri
aC
（
miv
i）d
t
i aC
mv C
d
t
0
（ivC 0 ）
于是有
dW外
dW内 非
d
E
W外
W内 非
E 26
质心系中机械能守恒定律：
若 dW外 0 且 dW内 非 0 ，则 E 常量。
4 功和能
1
§4.1 功
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的
标量积。
W12
((12))dW
(2)
(1)
F
d
r
×
2
(2)
(1)
F
cos
dr
L
dr m
F
▲ 功是标量，
×
1
有正、负之分。
2
§4.2 动能定理（kinetic energy theorem）
▲ 对质点，由牛顿第二定律，有动能定理：
20
第三，从认识世界来看：
守恒定律是认识世界的很有力的武器。 在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立，则往往作 以下考虑： （1）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立，
如中微子的发现。 （2）引入新概念，使守恒定律更普遍化(补救)。 （3）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立，
如弱相互作用宇称（parity）不守恒。
▲ 2→3：对（人+地球）系统，
· · 5
v
m 1
·4 3
只有重力作功，机械能守恒： 1 mv 2 mgl(1 cos ) （1）
··2
2
v
▲ 3→4：人对O，M外 0
角动量守恒：
mv l mvl （2）
▲ 4→5：对（人+地球）系统，机械能守恒：
1 mv 2 m gl(1 cos )
2
（3） 18
（1）、（2）、（3）联立解得：
O
l
l
l
· · 5 v m1 ·4 3
··2
v
1 cos l 3 1 cos l3 1
cos cos ，
。
即人越摆越高。
思考 人越摆越高，能量从哪儿来？
19
§4.7 守恒定律的意义
EkC
1
2
( mi
)
v
2 C
v i v i v C
23
Ek
1 2
miv
2 i
1 2
mi
(v i
vC ) (v i vC )
1 2
miv i 2
( miv i
//
) vC
1 2
(
mi
)v
2 C
0
Ek Ek EkC — 克尼希定理
f d r 0 （此式也可作为
L
保守力的定义4 ）
二. 几种保守力
1.万有引力
W12对
(2)
(1)
f
dr
(2) ×
r2
· dr erdmdrrer
·r f
M r1 × (1)
((12))
GMm r2
er
d
r
r2
r1
GMm r2
d
r
GMm GMm
x y z
f保 E p
二 . 由势能曲线求保守力
Ep
O
例：双原子分子势能曲线
斜率 <
r0
0 斜率
>
0
r
r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。 r > r0 ： 斜率 > 0 ， fr < 0，
×
×
是引力。
× 斜率 = 0 r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0，
而只决定于相互作用物体的始末相对位置，
这样的力称为保守力。
若 f 为保守力，则：
(2)
(1)
f
d
r
(2)
(1)
f
d
r
(2)
dr f m2
L2
r L1 (1)
m1
L=L1+L2
L1
(2)
(1)
f
d r
L2
(1)
(2)
f
d r
L1
L2
1 2
m2v
2 2
1 2
(m1
m2 )(
m1v 1 m1
m2v 2 m2
)2
=
1 2
m1m2
m 1 m2
(v 2
v1
)2
令 v 2 v1 v r — 相对速度
m1m2
m1 m2
— 约化质量(reduced mass)
则有
Ek
1 2
v
2 r
功能 原理
W外 W内非 E2 E1 （积分形式）
dW外 dW内非 d E
（微分形式） 13
二. 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy）
在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。
即 若 dW外 0 且 dW内非 0 ，则 E 常量
W12 Ek 2 Ek1 （对惯性系）
Ek
1 2
mv 2
—— 动能
▲ 对质点系，有动能定理：
W外 W内 Ek 2 Ek1 注意：内力虽成对出现，但内力功的和不一定
为零（各质点位移不一定相同）。 3
§4.3 保守力（conservative force）
一. 定义 如果一对力的功与相对移动的路径无关，
地球动能的道理。
29
[例] 已知：质子间相互作用电势能为 k e 2 ，
r
mp mp k为常量。两个质子从相距很远处
●
e
r
●
e
分别以速率v0 和 2v0 相向运动。
求：二者能达到的最近距离 rmin
解：两质子间只有保守内力作用， 动能和静电
f保 x
Ep， x
f保 y
Ep， y
f保 z
Ep z
f保 （
E
p
i
x
Hale Waihona Puke E p jyE p
k）
z
grad E p
grad E p — EP 的梯度（gradient）
11
引入算符 则有
i j k
（1）d Ek d Ep d E
W外 W内 非 E
25
质心系中的功能原理成立，也可以简单地做如 下的证明：
若质心系是惯性系，则功能原理必然成立。
若质心系是非惯性系，则还需考虑惯性力的功。
即： dW外 dW内 非 dW惯 d E
设质心加速度为aC ，则
滑动摩擦力作功恒为负；
▲ 爆炸力：作功为正。
6
§4.4 势能（potential energy）
利用保守力的功与路径无关的特点，可引入 “势能”（只是空间位置的函数） 的概念。
一. 系统的势能 Ep
定义：系统由位形(1)变到位形(2)的过程中，
其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。
E p1 E p2 E p W保12
—— 普遍的能量守恒定律 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在
机械运动范围内的体现。
15
四.守恒定律联合应用举例
[例1] 已知：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.9m/s 。
求：hmax = ?
光滑
hmax M
v m
解： m + M + 地球： W外= 0，W内非 = 0 ，
自然界中许多物理量如动量、角动量、机械能、
电荷、质量等等，都具有相应的守恒定律。
物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，
这是因为：
第一，从方法论上看：
利用守恒定律研究问题，可避开过程的细节，
而对系统始、末态下结论（特点、优点）。
第二，从适用性来看：
守恒定律适用范围广，宏观、 微观、高速、
低速均适用。
角动量守恒相应于空间转动的对称性；
……
22
§4.8 质心系中的功能关系
一. 克尼希定理（K‥onig theorem）书P127
S（（m质i ，心v系i ））：
v C Ek
0
1
2
miv
miv i 2
i
0
S（（v惯i ，性系vC））：
Ek
1 2
miv
i2，
r
是斥力。
12
§4.6 功能原理，机械能守恒定律
一. 功能原理
对质点系有： W外 W内 Ek2 Ek1
W内 W内保 W内非 ( E p2 E p1 ) W内非 W外 W内非 （Ek 2 E p2）（Ek1 E p1）
引入系统的机械能 E Ek E p
dW惯
(miaC
)d
ri
aC
（
miv
i）d
t
i aC
mv C
d
t
0
（ivC 0 ）
于是有
dW外
dW内 非
d
E
W外
W内 非
E 26
质心系中机械能守恒定律：
若 dW外 0 且 dW内 非 0 ，则 E 常量。
4 功和能
1
§4.1 功
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的
标量积。
W12
((12))dW
(2)
(1)
F
d
r
×
2
(2)
(1)
F
cos
dr
L
dr m
F
▲ 功是标量，
×
1
有正、负之分。
2
§4.2 动能定理（kinetic energy theorem）
▲ 对质点，由牛顿第二定律，有动能定理：
20
第三，从认识世界来看：
守恒定律是认识世界的很有力的武器。 在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立，则往往作 以下考虑： （1）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立，
如中微子的发现。 （2）引入新概念，使守恒定律更普遍化(补救)。 （3）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立，
如弱相互作用宇称（parity）不守恒。
▲ 2→3：对（人+地球）系统，
· · 5
v
m 1
·4 3
只有重力作功，机械能守恒： 1 mv 2 mgl(1 cos ) （1）
··2
2
v
▲ 3→4：人对O，M外 0
角动量守恒：
mv l mvl （2）
▲ 4→5：对（人+地球）系统，机械能守恒：
1 mv 2 m gl(1 cos )
2
（3） 18
（1）、（2）、（3）联立解得：
O
l
l
l
· · 5 v m1 ·4 3
··2
v
1 cos l 3 1 cos l3 1
cos cos ，
。
即人越摆越高。
思考 人越摆越高，能量从哪儿来？
19
§4.7 守恒定律的意义
EkC
1
2
( mi
)
v
2 C
v i v i v C
23
Ek
1 2
miv
2 i
1 2
mi
(v i
vC ) (v i vC )
1 2
miv i 2
( miv i
//
) vC
1 2
(
mi
)v
2 C
0
Ek Ek EkC — 克尼希定理
f d r 0 （此式也可作为
L
保守力的定义4 ）
二. 几种保守力
1.万有引力
W12对
(2)
(1)
f
dr
(2) ×
r2
· dr erdmdrrer
·r f
M r1 × (1)
((12))
GMm r2
er
d
r
r2
r1
GMm r2
d
r
GMm GMm
x y z
f保 E p
二 . 由势能曲线求保守力
Ep
O
例：双原子分子势能曲线
斜率 <
r0
0 斜率
>
0
r
r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。 r > r0 ： 斜率 > 0 ， fr < 0，
×
×
是引力。
× 斜率 = 0 r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0，
而只决定于相互作用物体的始末相对位置，
这样的力称为保守力。
若 f 为保守力，则：
(2)
(1)
f
d
r
(2)
(1)
f
d
r
(2)
dr f m2
L2
r L1 (1)
m1
L=L1+L2
L1
(2)
(1)
f
d r
L2
(1)
(2)
f
d r
L1
L2
1 2
m2v
2 2
1 2
(m1
m2 )(
m1v 1 m1
m2v 2 m2
)2
=
1 2
m1m2
m 1 m2
(v 2
v1
)2
令 v 2 v1 v r — 相对速度
m1m2
m1 m2
— 约化质量(reduced mass)
则有
Ek
1 2
v
2 r
功能 原理
W外 W内非 E2 E1 （积分形式）
dW外 dW内非 d E
（微分形式） 13
二. 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy）
在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。
即 若 dW外 0 且 dW内非 0 ，则 E 常量
W12 Ek 2 Ek1 （对惯性系）
Ek
1 2
mv 2
—— 动能
▲ 对质点系，有动能定理：
W外 W内 Ek 2 Ek1 注意：内力虽成对出现，但内力功的和不一定
为零（各质点位移不一定相同）。 3
§4.3 保守力（conservative force）
一. 定义 如果一对力的功与相对移动的路径无关，
地球动能的道理。
29
[例] 已知：质子间相互作用电势能为 k e 2 ，
r
mp mp k为常量。两个质子从相距很远处
●
e
r
●
e
分别以速率v0 和 2v0 相向运动。
求：二者能达到的最近距离 rmin
解：两质子间只有保守内力作用， 动能和静电
f保 x
Ep， x
f保 y
Ep， y
f保 z
Ep z
f保 （
E
p
i
x
Hale Waihona Puke E p jyE p
k）
z
grad E p
grad E p — EP 的梯度（gradient）
11
引入算符 则有
i j k
（1）d Ek d Ep d E
W外 W内 非 E
25
质心系中的功能原理成立，也可以简单地做如 下的证明：
若质心系是惯性系，则功能原理必然成立。
若质心系是非惯性系，则还需考虑惯性力的功。
即： dW外 dW内 非 dW惯 d E
设质心加速度为aC ，则
滑动摩擦力作功恒为负；
▲ 爆炸力：作功为正。
6
§4.4 势能（potential energy）
利用保守力的功与路径无关的特点，可引入 “势能”（只是空间位置的函数） 的概念。
一. 系统的势能 Ep
定义：系统由位形(1)变到位形(2)的过程中，
其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。
E p1 E p2 E p W保12