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1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积［基础巩固］（25分钟，60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为错误!，则该圆锥的表面积为( )A．πB．2πC．3π D．4π解析：设圆锥的母线长为l，则l＝错误!＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×（1＋2）＝3π.答案:C2．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为（）A．26 B．28C．30 D．32解析：所求棱台的体积V＝错误!×（4＋16＋错误!）×3＝28.答案：B3．若圆柱的底面半径为1,其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( ）A．4π2B．3π2C．2π2D．π2解析:依题意，圆柱的母线长l＝2πr,故S侧＝2πrl＝4π2r2＝4π2。
答案：A4．正方体ABCD－A1B1C1D1中,以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4错误!,则该正方体的棱长为( ）A.错误!B．2C．4 D．2错误!解析：设正方体棱长为a,侧面的对角线长为错误!a，所以正三棱锥A－CB1D1的棱长为错误!a，其表面积为4×错误!×（错误!a)2＝4错误!,可得a2＝2，即a＝错误!.答案：A5．在△ABC中，AB＝2，BC＝错误!,∠ABC＝120°，将△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体的体积是( )A 。
92π B。
错误!π C.错误!π D.错误!π解析：如图，△ABC 绕直线BC 旋转一周，所形成的几何体是以△ACD 为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD 为轴截面的圆锥后剩余的部分．因为AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°, 所以AE ＝AB sin60°＝3，BE ＝AB ·cos60°＝1，CE ＝错误!。
V 1＝13π·AE 2·CE ＝错误!，V 2＝错误!π·AE 2·BE ＝π， 所以V ＝V 1－V 2＝错误!π.故选D 。
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积一、核心知识问题1：思考如何求出任意一个棱柱、棱锥、棱台的表面积?它与哪些平面图形有关系?解答:把他们的侧面展开，表面积等于底面积加上侧面积；棱柱的侧面是一组平行四边形；棱锥的侧面是一组三角形；棱台的侧面是一组梯形。
问题2：类比上述方法，求圆锥和圆台的侧面积和表面积？解答:把他们的侧面展开，圆锥侧面展开图是一个扇形，圆台的侧面展开图是一个扇环；表面积等于底面积加上侧面积；问题3：正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：=V S h ⨯底面。
据此，猜测一般的柱体的体积公式是什么？解答:=V S h ⨯底面问题4：根据圆锥的体积与圆柱体积的关系，猜测一般的锥体的体积公式是什么？解答：1=3V S h ⨯底面问题5：类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗? 如何求?解答：()1=3V h S S ' 问题6：比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体、是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体公式的“特殊”形式？ 解答： =V S h ⨯底 S=S ' ()1=3V h S S ''1=3V S h ⨯底面二、典例剖析【例1】已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积 ．分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．022=,sin 60ABC S SD BC BC DBC a SD SB S S ABC ⊥==∴=∴-Q 解：过作，交于点，四面体。
【例2】如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm ，盆底直径为15cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长15cm ．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取3.14，结果精确到12cm ）？解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:225.11522015215215⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS)(9992cm ≈答：花盆的表面积约是999 2cm ．【例3】有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底面六边形的边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,那么约有毛坯多少个?(铁的比重是7.8g/cm3)解:V 正六棱柱=1.732×122×6×10≈3.74×103(mm3)V 圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3) 毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103 ≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3)约有毛坯：5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)答:这堆毛坯约有250个。
1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课标要求1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法.2.会求简单组合体的表面积与体积.学法指导1.通过几何体的展开过程,体会几何体的结构,通过几何体表面积、体积公式的推导过程,加深对公式的理解.2.通过几何体展开的过程,领会空间问题平面化的基本思想.新课导入——实例引领思维激活实例:一种圆台形花盆盆口直径为20 cm,盆底直径为15 cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15 cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.想一想若每平方米用100毫升油漆,如何计算涂100个花盆需要的油漆用量?(只要求出每一个花盆外壁的表面积,就可以求出油漆的用量)知识探究——自主梳理思考辨析1.柱体、锥体、台体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的和. (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱=2πr(r+l), r为底面半径, l为侧面母线长圆锥S圆锥=πr(r+l), r为底面半径, l为侧面母线长圆台S圆台=π(r′2+r2+r′l+rl) r′为上底面半径,r为下底面半径,l为侧面母线长思考1:圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间有什么关系吗? (圆柱、圆锥、圆台的侧面积的关系如图所示.)2.柱体、锥体与台体的体积公式几何体体积说明柱体V柱体=Sh S为柱体的底面积,h为柱体的高锥体V锥体=13Sh S为锥体的底面积,h为锥体的高台体V台体=13(S′+S S +S)hS′,S分别为台体的上、下底面面积,h为台体的高思考2:柱体、锥体和台体的高如何确定?(柱体的高是指两底面之间的距离;锥体的高是指顶点到底面的距离;台体的高是指上、下底面之间的距离)思考3:比较柱体、锥体、台体的体积公式,你能发现三者之间的关系吗?(体积公式之间的关系: )题型探究——典例剖析 举一反三题型一 空间几何体的表面积【例1】 用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂),桶口直径为30 cm,桶底直径为25 cm,母线长是27.5 cm,已知1 m2需要油漆150 g,共需要多少油漆?(精确到0.1 kg)名师导引:给圆台形水桶内、外侧涂油漆,用量的多少与什么有关?(表面积)解:每个水桶需要涂油漆的面积为S=(S 桶底+S 侧)×2=π[20.252⎛⎫ ⎪⎝⎭+错误！未找到引用源。
×0.275+错误！未找到引用源。
×0.275]×2=0.1825π(m 2), 因此100个水桶需要油漆100×0.1825π×0.15≈8.6(kg).跟踪训练1-1:(2013年高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )(A)180 (B)200 (C)220 (D)240解析:由三视图知该几何体是四棱柱,底面为梯形,梯形的两腰长均为5,两个底面的面积之和为2×错误！未找到引用源。
×(2+8)×4=40,4个侧面的面积和为(2+5+5+8)×10=200,所以几何体的表面积为240.故选D.题型二 空间几何体的体积【例2】 如图所示,在长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中,用截面截下一个棱锥C-A ′DD ′,求棱锥C-A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.名师导引:求棱锥的体积需要什么?如何求剩余部分的体积?(求棱锥的体积需要底面积和高,求剩余部分的体积用长方体的体积减去三棱锥的体积)解:法一 设AB=a,AD=b,DD ′=c,则长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的体积V=abc, 又S △A ′DD ′=12bc,且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a.∴错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
S△A′D′D〃CD=错误！未找到引用源。
abc.则剩余部分的几何体体积V剩=abc-错误！未找到引用源。
abc=错误！未找到引用源。
abc.故错误！未找到引用源。
∶V剩=错误！未找到引用源。
abc∶错误！未找到引用源。
abc=1∶5.法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′,设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而棱锥C-A′DD′的底面面积为错误！未找到引用源。
S,高为h,因此棱锥C-A′DD′的体积错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
Sh=错误！未找到引用源。
Sh.剩余部分的体积是Sh-错误！未找到引用源。
Sh=错误！未找到引用源。
Sh.所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为错误！未找到引用源。
Sh∶错误！未找到引用源。
Sh=1∶5.题后反思(1)常见的求几何体体积的方法①公式法:直接代入公式求解.②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.跟踪训练2-1:(2013年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其体积为.解析:由几何体的三视图可知,原几何体是底面为半径是1的圆,高为2的圆锥的一半,体积V=错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
π×12×2=错误！未找到引用源。
π.题型三组合体的表面积与体积【例3】某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.(1)求该组合体的体积;(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?(已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘米))解:(1)四棱台的高为错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
(cm),V棱台=错误！未找到引用源。
(102+202+10×20)×错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
(cm 3). V 棱柱=10×10×30=3000(cm 3), ∴V=V 棱柱+V 棱台=70011930003⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ cm 3. (2)因为四棱柱ABCD-A 2B 2C 2D 2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以S 1=S 四棱柱上底面+S 四棱柱侧面=(A 2B 2)2+4AB 〃AA 2=102+4×10×30=1300(cm 2). 又因为四棱台A 1B 1C 1D 1-ABCD 的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以S 2=S 四棱台下底面+S 四棱台侧面=(A 1B 1)2+4×错误！未找到引用源。
(AB+A 1B 1)h 等腰梯形 =202+4×错误！未找到引用源。
×(10+20)×错误！未找到引用源。
=1120(cm 2). 于是该实心零部件的表面积为S=S 1+S 2=1300+1120=2420(cm 2), 故所需加工处理费为0.2S=0.2×2420=484(元).题后反思 求组合体表面积与体积时应注意的问题(1)首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面、各个面应怎样求其面积,然后把这些面的面积相加或相减;求体积时也要先弄清组成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义,以确保不重复、不遗漏.跟踪训练3-1:(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A)16+8π (B)8+8π (C)16+16π (D)8+16π解析:由三视图可知该几何体为一组合体,组合体的上面部分为从同一顶点出发的三棱长分别为4、2、2的长方体,下面部分为半圆柱,其中底面半径为2 ,母线长为4,其直观图如图所示,故几何体的体积为2×2×4+12×π×22×4=16+8π.故选A.备选例题【例1】 圆柱的一个底面面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)错误！未找到引用源。
πS解析:设圆柱的底面半径为r,则S=πr2,由题意知,S 侧=(2πr)2=4π2r2=4πS.故选A.【例2】 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )(A)错误！未找到引用源。
(B)错误！未找到引用源。
(C)1 (D)2解析:由三视图可知,该空间几何体是底面为直角三角形的三棱柱,三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和错误！未找到引用源。
,三棱柱的高为错误！未找到引用源。
,故该几何体的体积为V=1212⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×错误！未找到引用源。
=1.故选C.【例3】 降雨量是指水平平面上单位面积降水的深度,用上口直径为38 cm,底面直径为24 cm,深度为35 cm 的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量.如果在一次降雨过程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的错误！未找到引用源。
,求本次降雨的降水量是多少(精确到1 cm)?解:因为这次降雨的雨水正好是桶深的错误！未找到引用源。
,所以水深为错误！未找到引用源。
×35=5(cm).设水面半径为r cm,如图所示,在△ABC 中,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
=7,r=13.所以V 水=错误！未找到引用源。
〃(π〃122+错误！未找到引用源。
+π〃132)〃5=错误！未找到引用源。
π×469(cm 3). 水桶的上口的面积是S=πR 2=π〃192=361π(cm 2),达标检测——反馈矫正 及时总结1.(2014大连高一期末)圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2,则圆柱侧面展开图的面积为( )(A)4π (B)4错误！未找到引用源。
π (C)8π (D)8错误！未找到引用源。
π解析:S 侧=2π×2×2=8π.故选C.2.直角三角形的两直角边AB=3,AC=4,以AB 所在直线为轴旋转所得几何体的体积为( )(A)12π (B)16π (C)9π (D)24π解析:由题意得几何体为圆锥,底面半径为4,高为3,V=错误！未找到引用源。
