8-2 角、角分线.题库教师版
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专题1.8 角的平分线(专项练习)一、单选题1.下列命题正确的是( )A .到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;B .线段的垂直平分线上的点与该线段的两端点均能构成等腰三角形;C .三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等;D .两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等.2.如图,已知AB=AC ,BE ⊥AC 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,BE 与CF 交于点D ,则下列结论中错误的是( )A .△ABE ≌△ACFB .△BDF ≌△CDEC .点D 是BE 的中点 D .点D 在∠BAC 的平分线上3.如图,AD 是∠EAC 的平分线,AD//BC ,∠B=30°,则∠C=( )A .30°B .40°C .50°D .60° 4.如图,在ABC 中, ∠ C=90 ° ,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,BC =7,DE =3.则BD 的长( )A .4B .5C .6D .10 5.如图,在Rt ABC 中,C 90∠=,AD 是BAC ∠的平分线,若AC 3=,BC 4=,则ABD ACD S :S 为( )A .5:4B .5:3C .4:3D .3:46.如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB 于点E ,S △ABC =7,DE =2,AB =4,则AC 长是( )A .2.5B .3C .3.5D .47.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为圆心,任意长为半径作弧,分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点,B 点,分别以点A ,点B 为圆心,AB 的长为半径作弧,两弧交于P 点,若点P 的坐标为(m ,n ),则下列结论正确的是( )A .m =2nB .2m =nC .m =nD .m =-n8.如图,点O 在ABC 内,且到三边的距离相等.若110BOC ∠=°,则A ∠的度数为( )A .40︒B .45︒C .50︒D .55︒9.在以下图形中,根据尺规作图痕迹,能判定射线AD 平分∠BAC 的是( )A .图2B .图1与图2C .图1与图3D .图2与图3 10.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,3AC =,4BC =,AD 平分CAB ∠交BC 于D 点,E ,F 分别是AD ,AC 上的动点,则CE EF +的最小值为( )A .152B .152C .3D .125二、填空题11.如图,点P 在AOB ∠内,因为PM OA ⊥,PN OB ⊥,垂足分别是M 、N ,PM PN =,所以OP 平分AOB ∠,理由是______.12.如图,在△ABC 中,AP 为∠BAC 的平分线,PD ⊥AB 于D ,PE ⊥AC 于E ,△ABC 的面积是24cm 2,AB =14cm ,AC =10cm ,则PE =_____cm .13.在ABC 中,C 90,ABD DBC ∠=︒∠=∠,CD=4,则点D 到AB 的距离是_______14.如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,AD 平分CAB ∠,交BC 于点D ,若1CD =,则BD =______________.15.如图,点P 是AOC ∠的角平分线上一点,PD OA ⊥,垂足为点D ,且3PD =,点M 是射线OC 上一动点,则PM 的最小值为________.16.如图,以点B 为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交,AB BC 两边于点,D E .分别以点,D E 为圆心,以大于12DE 的长度为半径画弧,两弧交于点F .已知点F 到边AB 的距离为3,则点F 到边BC 的距离为_________.。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案)已知∠AOB,用直尺和圆规作图:(1)作∠AOB的平分线;(2)过∠AOB边OA上一点P分别作边OA、OB的垂线.(不写作法,保留作图痕迹)【答案】作图见解析.【解析】【分析】(1)根据角平分线的做法作图即可;(2)分别过已知点作已知直线的垂线即可.【详解】(1)(2)如图:【点睛】考查角平分线及线段垂线的基本作图;掌握基本作图的作法是解决本题的关键.52.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC=76°,∠DOF=90°,求∠EOF的度数.【答案】∠EOF=52°.【解析】【分析】根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠DOE,然后根据∠EOF=∠DOF-∠DOE代入数据计算即可得解.【详解】由对顶角相等得,∠BOD=∠AOC=76°,∵OE平分∠BOD,∴∠DOE=12∠BOD=38°,∵∠DOF=90°,∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=90°﹣38°=52°【点睛】本题考查了对顶角、邻补角,和角平分线的定义,熟练掌握这些定义是本题解题的关键.53.如图,在△ABC中,点D,E,F在边BC上,点P在线段AD上,若PE∥AB,∠PFD=∠C,点D到AB和AC的距离相等.求证:点D到PE和PF的距离相等.【答案】证明见解析【解析】【分析】首先由∠PFD=∠C推出PF∠AC,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD,又由点D到AB和AC的距离相等,证得AD是∠BAC的平分线,即可证得DP平分∠EPF,根据角平分线的性质,即可证得结论.【详解】∵∠PFD=∠C,∠PF∠AC,∠∠DPF=∠DAC.∠PE∠AB,∠∠EPD=∠BAD.∵点D到AB和AC的距离相等,∠AD是∠BAC的角平分线,∠∠BAD=∠DAC,∠∠EPD=∠FPD,即DP平分∠EPF,∴点D到PE和PF的距离相等.【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定,平行线的性质,此题难度不大,解题的关键是熟记角平分线的性质和判定定理的应用,注意数形结合思想的应用.54.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF,EF与AD相交于点G,求证:AD是EF的垂直平分线。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》课时练习一、选择题1.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是()A.3B.4C.6D.52.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A=()A.35°B.95°C.85°D.75°3.如图,△ABC中,AD为△ABC的角平分线,BE为△ABC的高,∠C=70°,∠ABC=48°,那么∠3是( )A.59°B.60°C.56°D.22°4.如图,△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P,若∠BPC=35°,则∠A=()A.70°B.80°C.55°D.65°5.如图,在△AB C中,∠A=60°,∠ABC=50°,∠B.∠C的平分线相交于F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是( )①∠ACB=70°;②∠BFC=115°;③∠BDF=130°;④∠CFE=40°;A.①②B.③④C.①③D.①②③6.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是( )A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°7.如图,三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三个条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在()A.在AC、BC两边高线的交点处B.在AC、BC两边中线的交点处C.在∠A、∠B两内角平分线的交点处D.在AC、BC两边垂直平分线的交点处8.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD平分∠BAC,则点B到AD的距离是()A.1.5B.2C.D.9.如图,在△ACB中,∠ACB=100°,∠A=20°,D是AB上一点.将△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于()A.25° B.30° C.35° D.40°10.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是()A.8B.6C.4D.2二、填空题11.如图,直线AB∥CD,直线EC分别与AB,CD相交于点A、点C,AD平分∠BAC,已知∠ACD=80°,则∠DAC的度数为.12.如图,AD是△ABC的角平分线,AB:AC=3:2,△ABD的面积为15,则△ACD的面积为.13.如图,BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB于E,△ABC的面积是30cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE= cm.14.直线 l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路,现在拟建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选择的地址有处.三、解答题15.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=125°,求∠ACB和∠BAC的度数.16.如图,已知:CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,且BD=CE,BE交CD于点O.求证:AO平分∠BAC.参考答案1.A2.C.3.B4.A5.C6.B7.C8.C.9.D10.C.11.答案为:50°.12.答案为:10;13.答案为:2.14.答案为:4.15.解:∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AE⊥BC,∴∠DEC=90°.∵∠ADC=125°,∴∠DCE=∠ADC-∠DEC=35°.∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=70°.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=70°,∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=40°.16.证明:∵OD⊥AB,OE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°,又∵∠BOD=∠COE,BD=CE,∴△BOD≌△COE∴OD=OE又由已知条件得△AOD和△AOE都是Rt△,且OD=OE,OA=OA,∴Rt△AOD≌Rt△AOE.∴∠DAO=∠EAO,即AO平分∠BAC.。
板块一 基本概念知识点 角的定义定义1:有公共端点的两条射线组成的图形叫角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关,而与角的边画出部分的长短无关.这是因为角的边是射线而不是线段.定义2:角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形,处于初始位置的那条射线叫做角的始边,终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到,这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到,这样的角叫周角.注意:由角的定义可知:(1) 角的组成部分为:两条边和一个顶点; (2) 顶点是这两条边的交点;例题精讲中考要求角(3)角的两条边是射线,是无限延伸的.(4)射线旋转时经过的平面部分称为角的内部,平面的其余部分称为角的外部.知识点角的表示方法①利用三个大写字母来表示,如图1.1.图1.1注意顶点一定要写在中间.也可记为BOA∠等.∠或ABO∠,但不能写成BAO②利用一个大写字母来表示,如图1.2.∠AA图1.2注意用一个大写字母来表示角的时候,这个大写字母一定要表示角的顶点,而且以它为顶点的角有且只有一个.③用数字来表示角,如图2.1.∠11图2.1④用希腊字母来表示角,如图2.2.∠αα图2.2【例1】角是由有的两条射线组成的图形,两条射线的是这个角的顶点,角也可以看成是由一条射线.【题型】填空 【关键词】 【解析】略【答案】公共端点 公共端点 绕端点旋转而得到的图形【巩固】 下列语句正确的是( )①角的大小与边的长短无关。
②如果一个角能用一个大写字母A 表示,那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠,那么以1∠顶点为顶点的角只有一个。
④两条射线组成的图形叫做角A ①、②B ①、③C ①、④D ②、③ 【考点】角的概念及表示方法 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】A【例2】 如图,角的顶点是 ,边是 ,用三种方法表示该角分别为 .αBAO【考点】角的概念及表示方法 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略【答案】O ;OA ,OB ;AOB ∠,α∠,O ∠.【巩固】 下列图中角的表示方法正确的个数有( )∠AOB 是平角直线是平角∠CAB∠ABCBABACCBAA .1个B .2个C .3个D .4个【题型】选择 【关键词】 【解析】略【答案】B【巩固】 在右图中,角的表示方法正确的是( )A .A ∠B .B ∠C .C ∠D .D ∠ABC DEO【考点】角的概念及表示方法 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】本题考查用一个大写英文字母表示角,本题选B . 【答案】B【巩固】 如图,以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来,以D 为顶点的角呢?D CEBA【考点】角的概念及表示方法 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】以B 为顶点的角有3个:ABE ∠,ABC ∠,EBC ∠以D 为顶点的角有4个:ADE ∠,ADB ∠,BDC ∠,CDE ∠【例3】 下图中,以A 为顶点的角是_________。
全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质:a 、对称性;b 、角平分线上的点到角两边的距离相等.对于有角平分线的辅助线的作法,一般有以下四种.1、角分线上点向角两边作垂线构全等:过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题; 2、截取构全等利用对称性,在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形; 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,构成等腰三角形; 4、做平行线:以角分线上一点做角的另一边的平行线,构造等腰三角形有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形.通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形.至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件.图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】 如图所示,BN 平分∠ABC ,P 为BN 上的一点,并且PD ⊥BC 于D ,2AB BC BD =+.求证:180BAP BCP ∠∠=︒+.【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E .∵PE ⊥AB ,PD ⊥BC ,BN 平分∠ABC ,∴PE PD =. 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中, BP BPPE PD =⎧⎨=⎩, ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC (HL ),∴BE BD =.∵2AB BC BD +=,BC CD BD =+,AB BE AE =-,∴AE CD =. ∵PE ⊥AB ,PD ⊥BC ,∴90PEB PDB ∠=∠=︒. 在△P AE 和Rt △PCD 中, ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△P AE ≌Rt △PCD ,∴PCB EAP ∠=∠.∵180BAP EAP ∠+∠=︒,∴180BAP BCP ∠+∠=︒.【答案】见解析.【例2】 如图,已知:90A ∠=︒,AD ∥BC ,P 是AB 的中点,PD 平分∠ADC ,求证:CP 平分∠DCB .【解析】因为已知PD 平分∠ADC ,所以我们过P 点作PE ⊥CD ,垂足为E ,则PA PE =,由P 是AB的中点,得PB PE =,即CP 平分∠DCB .【答案】作PE ⊥CD ,垂足为E ,∴90PEC A ∠=∠=︒,∵PD 平分∠ADC ,∴PA PE =, 又∵90B PEC ∠=∠=︒,∴PB PE =, ∴点P 在∠DCB 的平分线上, ∴CP 平分∠DCB .【例3】 已知:90AOB ∠=︒,OM 是∠AOB 的平分线,将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动,两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D .(1)PC 和PD 有怎样的数量关系是__________. (2)请你证明(1)得出的结论.PDCBA A BCDPE【解析】(1)PC PD =.(2)过P 分别作PE ⊥OB 于E ,PF ⊥OA 于F , ∴90CFP DEP ∠=∠=︒,∵OM 是∠AOB 的平分线,∴PE PF =,∵190FPD ∠+∠=︒,且90AOB ∠=︒,∴90FPE ∠=︒, ∴290FPD ∠+∠=︒,∴12∠=∠, 在△CFP 和△DEP 中12CPF DEPPF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△CFP ≌△DEP ,∴PC PD =. 【答案】见解析.【例4】 如图①,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,60B ∠=︒,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F ,请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系(不需证明); (2)如图③,在△ABC 中,60B ∠=︒,请问,在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.【解析】如图①所示;(1)FE FD =.(2)如图,过点F 作FG ⊥AB 于G ,作FH ⊥BC 于H ,作FK ⊥AC 于K , ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,∴FG FH FK ==, 在四边形BGFH 中,36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒, ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,60B ∠=︒, ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒. 在△AFC 中, ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒, ∴120EFD AFC ∠=∠=︒,∴EFG DFH ∠=∠, 在△EFG 和△DFH 中,EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EFG ≌△DFH ,∴FE FD = 【答案】见解析.【例5】 已知120MAN ∠=︒,AC 平分∠MAN ,点B 、D 分别在AN 、AM 上.(1)如图1,若90ABC ADC ∠=∠=︒,请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系,并证明之;(2)如图2,若180ABC ADC ∠+∠=︒,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.【解析】(1)得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==,从而,证得结论; (2)过点C 分别作AM 、AN 的垂线,垂足分别为E 、F ,证得△CED ≌△CFB后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+,从而证得结论.【答案】(1)关系是:AD AB AC +=.证明:∵AC 平分∠MAN ,120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒, ∴30ACD ACB ∠=∠=︒ 则12AD AB AC ==(直角三角形一锐角为30°,则它所对直角边为斜边一半) ∴AD AB AC +=; (2)仍成立.证明:过点C 分别作AM 、AN 的垂线,垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =(角平分线上点到角两边距离相等) ∵180ABC ADC ∠+∠=︒,180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠ 又90CED CFB ∠=∠=︒, ∴△CED ≌△CFB (AAS ) ∵ED FB =,∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+ 由(1)知AE AF AC +=, ∴AD AB AC +=.【例6】 如图,在△ABC 中,2C B ∠=∠,AD 平分∠BAC ,求证:AB AC CD -=.【解析】在AB 上截取点E ,使得AE AC =.∵AD 平分∠BAC ,∴EAD CAD ∠=∠,∴△ADE ≌△ADC (SAS ).∴AED C ∠=∠,ED CD =. ∵2C B ∠=∠,∴=2AED B ∠∠.∵AED B EDB ∠=∠+∠,∴B EDB ∠=∠,∴BE DE =. ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-.【答案】见解析.【例7】 如图,△ABC 中,AB AC =,108A ∠=︒,BD 平分ABC ∠交AC 于D 点.求证:BC AC CD =+.【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =,连结DE .∵BD 平分ABC ∠,∴ABD EBD ∠=∠. 在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =,ABD EBD ∠=∠,BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌,∴A DEB ∠=∠∵AB AE =, ∴BAD BED ∠=∠,∴72DEC ∠=︒. 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒,∴72CDE ∠=︒ABCDE DCBAAB CD∴CDE DEC ∠=∠,∴CD CE = ∵BC BE EC =+,∴BC AC CD =+【答案】见解析.【例8】 已知ABC ∆中,60A ∠=︒,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =,易证BOE BOF ∆∆≌,在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒,再证明OCF OCD ∆∆≌即可.【答案】BC BE CD =+.【例9】 如图:已知AD 为△ABC 的中线,且12∠=∠,34∠=∠,求证:BE CF EF +>.【解析】在DA 上截取DN DB =,连接NE ,NF ,则DN DC =,在△DBE 和△DNE 中:E DCB AOED CBAFOED CBA∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBE ≌△DNE (SAS ),∴BE NE = 同理可得:CF NF =在△EFN 中,EN FN EF +>(三角形两边之和大于第三边) ∴BE CF EF +>.【答案】见解析.【例10】 已知:在四边形ABCD 中,BC BA >,180A C ∠+∠=︒,且60C ∠=︒,BD 平分∠ABC ,求证:BC AB DC =+.【解析】在BC 上截取BE BA =,∵BD 平分∠ABC ,∴ABD EBD ∠=∠, 在△BAD 和△BED 中, BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BAD ≌△BED ,∴AD DE =,A BED ∠=∠. ∵180BED DEC ∠+∠=︒,180A C ∠+∠=︒. ∴C DEC ∠=∠,∴DE DC =.∴DC AD =.∵60∠=︒,∴△CDE是等边三角形,C∴DE CD CE=+=+.==,∴BC BE CE AB CD【答案】见解析.【例11】观察、猜想、探究:在△ABC中,2∠=∠.ACB B(1)如图①,当90=+;C∠=︒,AD为∠BAC的角平分线时,求证:AB AC CD (2)如图②,当90∠≠︒,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量C关系?不需要证明,请直接写出你的猜想;(3)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.【解析】(1)过D作DE⊥AB,交AB于点E,理由角平分线性质得到ED=CD,利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等,由全等三角形的对应边相等,对应角相等,得到AE AC=,A CB B∠=∠,利用等量代换及外角性质得到一对角相等,利用等角对等∠=∠,由2AED ACB边得到BE DE=+,等量代换即可得证;=,由AB AE EB(2)AB CD AC=+,理由为:在AB上截取AG AC=,如图2所示,由角平分线定义得到=,利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等,接下来同(1)一对角相等,再由AD AD即可得证;(3)AB CD AC=,如图3所示,同(2)即可得证.=-,理由为:在AF上截取AG AC【答案】(1)过D作DE⊥AB,交AB于点E,如图1所示,∵AD为∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE DC=,在Rt △ACD 和Rt △AED 中,AD AD =,DE DC =, ∴Rt △ACD ≌Rt △AED (HL ),∴AC AE =,ACB AED ∠=∠, ∵2ACB B ∠=∠,∴2AED B ∠=∠, 又∵AED B EDB ∠=∠+∠,∴B EDB ∠=∠, ∴BE DE DC ==,则AB BE AE CD AC =+=+; (2)AB CD AC =+,理由为: 在AB 上截取AG AC =,如图2所示, ∵AD 为∠BAC 的平分线,∴GAD CAD ∠=∠, ∵在△ADG 和△ADC 中,AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC (SAS ),∴CD CG =,AGD ACB ∠=∠, ∵2ACB B ∠=∠,∴2AGD B ∠=∠, 又∵AGD B GDB ∠=∠+∠,∴B GDB ∠=∠, ∴BE DG DC ==,则AB BG AG CD AC =+=+; (3)AB CD AC =-,理由为: 在AF 上截取AG AC =,如图3所示, ∵AD 为∠F AC 的平分线,∴GAD CAD ∠=∠, ∵在△ADG 和△ADC 中,AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADG ≌△ADC (SAS ), ∴CD GD =,AGD ACD ∠=∠,即ACB FGD ∠=∠,∵2ACB B ∠=∠,∴2FGD B ∠=∠,又∵FGD B GDB ∠=∠+∠,∴B GDB ∠=∠, ∴BG DG DC ==,则AB BG AG CD AC =-=-.【例12】 如图所示,在△ABC 中,3ABC C ∠=∠,AD 是∠BAC 的平分线,BE ⊥AD 于F .求证:()12BE AC AB =-.【解析】延长BE 交AC 于点F .则AD 为∠BAC 的对称轴,∵BE ⊥AD 于F ,∴点B 和点F 关于AD 对称, ∴12BE EF BF ==,AB AF =,ABF AFB ∠=∠. ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠+,ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠+, ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠++, ∴FBC C ∠=∠,∴FB FC =,∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-,∴()12BE AC AB =-. 【答案】见解析.【例13】 如图,已知:△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ,DE ∥BC 交AB 于E .求证:EA EB =.【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ,可以想到等腰三角形中的三线合一,于是延长AD 交BC 与点F ,得D 是AF 的中点,又因为DE ∥BC ,由三角形中位线定理得EA EB =.【答案】延长AD 交BC 与点F ,∵CD 平分∠ACF ,∴12∠=∠,又AD ⊥CD , ∴ΔADC ≌ΔFDC ,∴AD FD =, 又∵DE ∥BC ,∴EA EB =.【例14】 已知:如图,在△ABC 中,3ABC C ∠=∠,12∠=∠,BE ⊥AE .求证:2AC AB BE -=.【解析】延长BE 交AC 于M ,∵BE ⊥AE ,∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中,∵13180AEB ∠+∠+∠=︒, ∴3901∠=︒-∠ 同理,4902∠=︒-∠∵12∠=∠,∴34∠=∠,∴AB AM =∵BE ⊥AE ,∴2BM BE =, ∴AC AB AC AM CM -=-=, ∵∠4是△BCM 的外角,∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠,∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠,∴5C ∠=∠ ∴CM BM =,∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析.【例15】 如图,已知AB AC =,90BAC ∠=︒,BD 为∠ABC 的平分线,CE ⊥BE ,求证:2BD CE =.【解析】延长CE ,交BA 的延长线于点F .∵BD 为∠ABC 的平分线,CE ⊥BE , ∴△BEF ≌△BEC ,∴BC BF =,CE FE =. ∵90BAC ∠=︒,CE ⊥BE ,∴ABD ACF ∠=∠,又∵AB AC =,∴△ABD ≌△ACF ,∴BD CF =.∴2BD CE =.【答案】见解析.EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示,在△ABC 中,BP 、CP 分别是∠ABC 的外角的平分线,求证:点P 在∠A 的平分线上.【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ,PG ⊥AC 于点G ,PF ⊥BC 于点F .因为P 在∠EBC 的平分线上,PE ⊥AB ,PH ⊥BC ,所以PE PF =. 同理可证PF PG =. 所以PG PE =,又PE ⊥AB ,PG ⊥AC ,所以P 在∠A 的平分线上,【答案】见解析.【作业2】已知:如图,2AB AC =,BAD CAD ∠=∠,DA DB =,求证:DC ⊥AC .PCBAPABCD【解析】在AB 上取中点E ,连接DE ,则12AE BE AB ==. ∵DA DB =,∴DE ⊥AB ,90AED ∠=︒. 又∵2AB AC =,∴AE AC =.∵BAD CAD ∠=∠,∴△ADE ≌△ADC (SAS ). ∴90AED ACD ∠=∠=︒,即DC ⊥AC .【答案】见解析.【作业3】已知等腰ABC ∆,100A ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于D ,则BD AD BC +=.【解析】如图,在BC 上截取BE BD =,连接DE ,过D 作DF BC ∥,交AB 于F ,于是32∠=∠,ADF ECD ∠=∠. 又∵12∠=∠,∴13∠=∠,故DF BF =.显然FBCD 是等腰梯形. ∴BF DC =,DF DC =.∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒,()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒, ∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒,∴100FAD DEC ∠=∠=︒,∴AFD EDC ∆∆≌,AD EC =. 又∵BE BD =,∴BC BD EC BD AD =+=+.【答案】见解析.EDCBAABCD【作业4】如图,已知在△ABC 中,AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线,过顶点B 作BF ⊥AD ,交AD 的延长线于F ,连接FC 并延长交AE 于M .求证:AM ME =.【解析】延长AC ,交BF 的延长线于点N .∵AD 平分∠BAC ,BF ⊥AD ,∴△AFB ≌△AFN ,∴BF NF =. ∵AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线,∴EA ⊥F A . ∵BF ⊥AF ,∴BF ∥AE .∴::BF ME CF CM =,::FN AM CF CM =. ∵BF NF =,∴AM ME =.【答案】见解析.ECMF EDCBAN MFEDCBA。
内外角平分线问题类型一一内一外求角1.如图∠ACD是△ABC的外角∠A=40° BE平分∠ABC CE平分∠ACD且BE CE交于点E.(1)求∠E的度数;(2)请猜想∠A与∠E之间的数量关系不用说明理由.【答案】(1)∠E=20°;(2)∠A=2∠E.【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义三角形内角和定理三角形外角的性质进行解答即可;(2)根据(1)中的推导过程进行推论即可.【详解】(1)∠BE平分∠ABC CE平分∠ACD∠∠ABC=2∠CBE∠ACD=2∠DCE由三角形的外角性质得∠ACD=∠A+∠ABC∠DCE=∠E+∠CBE∠∠A+∠ABC=2(∠E+∠CBE),∠∠A =2∠E∠∠A =40°∠∠E =20°.(2)∠A =2∠E .理由如下:∠BE 平分∠ABC CE 平分∠ACD∠∠ABC =2∠CBE ∠ACD =2∠DCE由三角形的外角性质得∠ACD =∠A +∠ABC∠DCE =∠E +∠CBE∠∠A +∠ABC =2(∠E +∠CBE ),∠∠A =2∠E【点睛】本题考查了角平分线的定义 三角形内角和定理 三角形外角的性质 熟练掌握以上知识点是解本题的关键.2.如图 在∠ABC 中 ∠A =30° E 为BC 延长线上一点 ∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D 则∠D 等于( )A .10°B .15°C .20°D .30°【答案】B【解析】【分析】 先根据角平分线的定义得到12∠=∠ 34∠=∠ 再根据三角形外角性质得1234A ∠+∠=∠+∠+∠ 13D ∠=∠+∠ 则2123A ∠=∠+∠ 利用等式的性质得到12D A ∠=∠ 然后把A ∠的度数代入计算即可.【详解】解答:解:∠ABC ∠的平分线与ACE ∠的平分线交于点D∠12∠=∠34∠=∠∠ACE A ABC∠=∠+∠即1234A ∠+∠=∠+∠+∠∠2123A∠=∠+∠∠13D∠=∠+∠∠11301522D A∠=∠=⨯︒=︒.故选:B.【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键.3.如图∠ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P 若∠BPC=40° 则∠BAC的度数是____________.【答案】80°.【解析】【详解】试题分析:根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ∠PCD=∠P+∠PCB 根据角平分线的定义可得∠PCD=12∠ACD ∠PBC=12∠ABC 然后整理得到∠PCD=12∠A 再代入数据计算即可得解.在∠ABC中∠ACD=∠A+∠ABC在∠PBC中∠PCD=∠P+∠PCB∠PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线∠∠PCD=12∠ACD ∠PBC=12∠ABC∠∠P+∠PCB=12(∠A+∠ABC)=12∠A+12∠ABC=12∠A+∠PCB∠∠PCD=12∠A∠∠BPC=40°∠∠A=2×40°=80°即∠BAC=80°.考点:三角形内角和定理.4.如图△ABC BD平分∠ABC且与∠ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D 若∠ABC=m° ∠ACB=n° 求∠D的度数为()A.90°+12m°-12n°B.90°-12m°+12n°C.90°-12m°-12n°D.不能确定【答案】C【解析】【分析】由角平分线分别求出∠DBC和∠ACD 然后在∠BCD中利用三角形内角和定理可求出∠D.【详解】∠BD平分∠ABC∠∠DBC=12∠ABC=12m°∠∠ACB=n°∠∠ACE=180°-n°又∠CD平分∠ACE∠∠ACD=12∠ACE=()111809022-=-n n在∠BCD中∠DBC=12m° ∠BCD=∠ACB+∠ACD=1902+n∠∠D=1111 180DBC BCD=18090902222⎛⎫-∠-∠--+=--⎪⎝⎭m n m n故选C.【点睛】本题考查三角形中的角度计算 熟练运用三角形内角和定理是关键.5.如图 在ABC 中 点D 在边BA 的延长线上 ∠ABC 的平分线和∠DAC 的平分线相交于点M 若∠BAC =80° ∠AB C =40° 则∠M 的大小为( )A .20°B .25°C .30°D .35°【答案】C【解析】【分析】 先由80,BAC ∠=︒ 结合角平分线求解,,MAC MAB ∠∠ 再利用角平分线与40,ABC ∠=︒求解ABM ∠ 利用三角形的内角和定理可得答案.【详解】解:∠∠BAC=80°∠100,DAC ∠=︒ AM 平分,DAC ∠150,2MAC DAC ∴∠=∠=︒ 130,BAM BAC MAC ∴∠=∠+∠=︒∠ABC=40° BM 平分ABC ∠∠∠ABM=20°∠∠M=1802013030,︒-︒-︒=︒故选:C .【点睛】本题考查了角平分线的性质 三角形的内角和定理 邻补角的定义 熟记定理和概念是解题的关键. 6.如图 已知BD 为ABC 中ABC ∠的平分线 CD 为ABC 的外角ACE ∠的平分线 与BD 交于点D .若∠ABD =20° 50ACD ∠=︒ 则A D ∠+∠=( )A.70°B.90°C.80°D.100°【答案】B【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠DCE、∠ACE、∠DBC根据三角形外角性质求出∠A、∠D即可求出答案.【详解】解:∠∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D∠ABD=20° ∠ACD=55°∠∠ABD=∠DBC=12∠ABC=20° ∠ACD=∠DCE=12∠ACE=50°∠∠ABC=40° ∠ACE=100°∠∠A=∠ACE-∠ABC=60° ∠D=∠DCE-∠DBC=50°-20°=30°∠∠A+∠D=90°故选:B.【点睛】本题考查了三角形的外角的性质角平分线的性质熟练掌握性质定理是解题的关键.7.如图所示在Rt ABC△中∠ACB=90° ∠CAB=60° ∠ACB的角平分线与∠ABC的外角平分线交于E点则∠AEB=()A.50°B.45°C.40°D.35°【答案】B【分析】过点E 作ED BC ⊥ EH AB ⊥ EF AC ⊥ 利用角平分线性质结合三角形内角和即可得出答案.【详解】解:如图所示 过点E 作ED BC ⊥ EH AB ⊥ EF AC ⊥∠BE CE 是角平分线∠ED EH = ED EF =.∠EH EF =.∠EH AB ⊥ EF AC ⊥∠AE 是BAF ∠的角平分线.∠60CAB ∠=︒∠30CBA ∠=︒ 60=︒∠BAE∠75ABE ∠=︒ 由三角形内角和可得:45AEB ∠=︒.故答案为:45.【点评】本题考查的知识点是角平分线性质 综合利用角平分线的性质是解此题的关键.8.如图 在∠ABC 中 ∠A =80° ∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1 得∠A 1 ∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2 得∠A 2 ∠ ∠A 3BC 与∠A 3CD 的平分线相交于点A 4 得∠A 4 则∠A 4的度数为( )A .5°B .10°C .15°D .20°【解析】【分析】根据角平分线的定义 三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知11118022A A ∠=∠=⨯︒ 212118022A A ∠=∠=⨯︒ ⋯ 依此类推可知4A ∠的度数 【详解】解:ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A11118022A ACD ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠-∠ 11180()(180)22ABC A A ABC ABC =︒-∠+∠-︒-∠-∠-∠ 11804022A =∠=⨯︒=︒ 同理可得 21211802022A A ∠=∠=⨯︒=︒ ⋯4480521A ∴∠=⨯︒=︒. 故选:A .【点睛】本题是找规律的题目 主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理 同时考查了角平分线的定义.解答的关键是掌握外角和内角的关系.类型二 内外角分线进阶9.如图 在四边形ABCD 中 ∠DAB 的角平分线与∠ABC 的邻补角的平分线相交于点P 且∠D +∠C =210° 则∠P =( )A .10°B .15°C .30°D .40°【答案】B【解析】利用四边形内角和是360︒可以求得150DAB ABC .然后由角平分线的性质 邻补角的定义求得 PAB ABP 的度数 所以根据ABP ∆的内角和定理求得P ∠的度数即可.【详解】解:210D C 360DAB ABC C D150DAB ABC .又DAB ∠的角平分线与ABC ∠的外角平分线相交于点P 111(180)90()165222PAB ABP DAB ABC ABC DAB ABC180()15P PAB ABP . 故选:B .【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角.熟知“四边形的内角和是360︒”是解题的关键. 10.如图 在ABC 中 ∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O 延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D若∠DOC =48° 则∠D =_____°.【答案】42【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论.【详解】解:∠∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O∠∠ACO =12∠ACB∠CD 平分∠ACE ∠∠ACD =12∠ACE∠∠ACB +∠ACE =180°∠∠OCD =∠ACO +∠ACD =12(∠ACB +∠ACE )=12×180°=90°∠∠DOC =48°∠∠D =90°﹣48°=42°故答案为:42.【点睛】本题考查了角平分线和三角形内角和 解题关键是熟练运用相关性质进行计算求角.11.如图 等腰ABC 中 顶角42A ∠=︒ 点E F 是内角ABC ∠与外角ACD ∠三等分线的交点 连接EF 则BFC ∠=_________︒.【答案】14【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC 和∠ACB 再根据三角形外角的性质可求∠ACD 再根据三等分线的定义与和差关系可求∠FBC 和∠BCF 再根据三角形的内角和定理可求∠BFC .【详解】解:∠等腰△ABC 中 顶角∠A=42︒ ∠∠ABC=∠ACB=12×(180︒-42︒)=69︒∠∠ACD=111︒∠点E F 是内角∠ABC 与外角∠ACD 三等分线的交点 ∠∠FBC=13×69︒=23︒ ∠FCA=23×111︒=74︒∠∠BCF=143︒∠∠BFC=180︒-23︒-143︒=14︒.故答案为:14.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质三角形内角和定理以及三角形外角的性质解答此题的关键是找到角与角之间的关系.12.如图在△ABC中∠A=96° 延长BC到D∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1则∠A1=__ 若∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2则∠A2=__ … 以此类推则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An则∠An的度数为__.【答案】48° 24° 96°×1 () 2n【解析】【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算.【详解】解:∠A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD∠∠ACD=2∠A1CD∠ABC=2∠A1BC而∠A1CD=∠A1+∠A1BC∠ACD=∠ABC+∠A∠∠A=2∠A1=96°∠∠A1=48°同理可得∠A1=2∠A2即∠A=2×2∠A2=96°∠∠A2=24°∠∠A=2n n A∠∠1962nnA⎛⎫∠=︒⨯ ⎪⎝⎭.故答案为48° 24° 96°×1 ()2n.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质角平分线的定义熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键.13.如图在五边形ABCDE中∠A+∠B+∠E=310° CF平分∠DCB FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P 求∠P的度数【答案】∠P=25°.【解析】【分析】延长ED BC相交于点G.由四边形内角和可求∠G=50° 由三角形外角性质可求∠P度数.【详解】解:延长ED BC相交于点G.在四边形ABGE中∠∠G=360°-(∠A+∠B+∠E)=50°∠∠P=∠FCD-∠CDP=12(∠DCB-∠CDG)=1 2∠G=12×50°=25°.【点睛】本题考查了三角形内角和定理三角形角平分线性质外角的性质熟练运用外角的性质是本题的关键.类型三综合解答14.如图∠XOY=90° 点A B分别在射线OX OY上移动BE是∠ABY的平分线BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C试问∠ACB的大小是否发生变化如果不变求出∠C的度数.【答案】不变45°【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解.【详解】解:∠∠ABY=90°+∠OAB AC平分∠OAB BE平分∠ABY∠∠4=12∠ABY=12(90°+∠OAB)=45°+12∠OAB即∠4=45°+∠1又∠∠4=∠C+∠1∠∠C=45°.【点睛】本题考查的是三角形内角与外角的关系解答此题目要注意:①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.15.如图∠CBF, ∠ACG是∠ABC的外角, ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD DE交于点D,E.(1)∠DBE的度数;(2)若∠A=70,求∠D的度数;(3)若∠A=α,求∠E 的度数(用含α的式子表示).【答案】(1)90DBE ∠=︒;(2)35D ∠=︒;(3)1902E α∠=︒- 【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得11,,22DBC ABC EBC FBC ∠=∠∠=∠ 再根据平角的定义可得出结论; (2)根据角平分线的定义可得11,,22DCG ACG DBC ABC ∠=∠∠=∠ 再根据三角形外角的性质可推出2A D ∠=∠则可求出∠D 的度数;(3)由第(2)问的结论可知1122D A α∠=∠= 再加上第(1)问的结论90DBE ∠=︒ 则可表示出∠E 的度数.【详解】(1)∠BD 平分ABC ∠ BE 平分,FBC ∠ ∠11,,22DBC ABC EBC FBC ∠=∠∠=∠ ∠180ABF ∠=︒ ∠1()902DBE DBC EBC ABC FBC ∠=∠+∠=∠+∠=︒ (2)∠CD 平分ACG ∠, BD 平分ABC ∠ ∠11,,22DCG ACG DBC ABC ∠=∠∠=∠ ∠ACG A ABC ∠=∠+∠∠22DCG A DBC ∠=∠+∠∠DCG D DBC ∠=∠+∠∠222DCG D DBC ∠=∠+∠∠2A D ∠=∠ ∠11703522D A ∠=∠=⨯︒=︒ (3)由(2)知1122D A α∠=∠= ∠90DBE ∠=︒ ∠1902E α∠=︒- 【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形外角的性质 掌握角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键.16.已知 在四边形ABCD 中 ∠F 为四边形ABCD 的∠ABC 的平分线及外角∠DCE 的平分线所在的直线构成的锐角 若∠A =α ∠D =β(1)如图① 当α+β>180°时 ∠F =____(用含α β的式子表示);(2)如图② 当α+β<180°时 请在图②中 画出∠F 且∠F =___(用含α β的式子表示); (3)当α β满足条件___时 不存在∠F .【答案】(1)12(α+β)﹣90°;(2)90°﹣12(α+β);(3)α+β=180°.【解析】【分析】(1)根据四边形的内角和定理表示出∠BCD 再表示出∠DCE 然后根据角平分线的定义可得∠FBC=12∠ABC ∠FCE=12∠DCE 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE 然后整理即可得解;(2)与(1)的思路相同得到∠FBC=12∠ABC ∠FCE=12∠DCE 由外角性质得到∠F+∠FBC=∠FCE 通过等量代换求解即可;(3)根据∠F的表示∠F为0时不存在.【详解】解:(1)如图:由四边形内角和定理得∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC∠∠DCE=180°﹣(360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC)=∠A+∠D+∠ABC﹣180° 由三角形的外角性质得∠FCE=∠F+∠FBC∠BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线∠∠FBC=12∠ABC ∠FCE=12∠DCE∠∠F+∠FBC=12(∠A+∠D+∠ABC﹣180°)=12(∠A+∠D)+12∠ABC﹣90°∠∠F=12(∠A+∠D)﹣90°∠∠A=α ∠D=β∠∠F=12(α+β)﹣90°;(2)如图3由(1)可知∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC∠∠DCE=180°﹣(360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC)=∠A+∠D+∠ABC﹣180°∠∠FCE =∠F+∠FBC∠∠FBC =12(360°﹣∠ABC ) ∠FCE =180°﹣12∠DCE∠∠F=∠FCE ﹣∠FBC=180°﹣12(∠A+∠D+∠ABC ﹣180°)﹣12(360°﹣∠ABC )∠∠F=90°﹣12(∠A+∠D )∠∠F =90°﹣12(α+β);(3)当α+β=180°时∠∠F =90°﹣118002⨯︒= 此时∠F 不存在.【点睛】本题考查了三角形的外角性质 三角形的内角和定理 多边形的内角和公式 此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键.17.如图 90MON ∠=︒ 点A 、B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合).(1)如图1 BC 是ABN ∠的平分线 BC 的反方向延长线与BAO ∠的平分线交于点D .①若60BAO ∠=︒ 则D ∠为多少度?请说明理由.②猜想:D ∠的度数是否随A 、B 的移动发生变化?请说明理由.(2)如图2 若13ABC ABN ∠=∠ 13BAD BAO ∠=∠ 则D ∠的大小为 度(直接写出结果); (3)若将“90MON ∠=︒”改为“MON α∠=(0180α︒<<︒)” 且1ABC ABN n ∠=∠ 1BAD BAO n∠=∠ 其余条件不变 则D ∠的大小为 度(用含α、n 的代数式直接表示出米).【答案】(1)①45° 理由见解析;②∠D 的度数不变;理由见解析(2)30 ;(3)a n【解析】【分析】(1)①先求出∠ABN=150° 再根据角平分线得出∠CBA=12∠ABN=75°、∠BAD=12∠BAO=30° 最后由外角性质可得∠D度数;②设∠BAD=α 利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α 利用∠D=∠ABC-∠BAD可得答案;(2)设∠BAD=α 得∠BAO=3α 继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α 根据∠D=∠ABC-∠BAD可得答案;(3)设∠BAD=β 分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=n+β 由∠D=∠ABC-∠BAD得出答案.【详解】解:(1)①45°∠∠BAO=60° ∠MON=90°∠∠ABN=150°∠BC平分∠ABN、AD平分∠BAO∠∠CBA=12∠ABN=75° ∠BAD=12∠BAO=30°∠∠D=∠CBA-∠BAD=45°②∠D的度数不变.理由是:设∠BAD=α∠AD平分∠BAO∠∠BAO=2α∠∠AOB=90°∠∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α∠BC平分∠ABN∠∠ABC=45°+α∠∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°;(2)设∠BAD=α∠∠BAD=13∠BAO∠∠BAO=3α∠∠AOB=90°∠∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α∠∠ABC=13∠ABN∠∠ABC=30°+α∠∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°;(3)设∠BAD=β∠∠BAD=1n∠BAO∠∠BAO=nβ∠∠AOB=α°∠∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ∠∠ABC=1n∠ABN∠∠ABC=an+β∠∠D=∠ABC-∠BAD=an+β-β=an.【点睛】本题主要考查角平分线和外角的性质熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性质是解题的关键.。
2024-2025学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题12.2 角平分线的性质与尺规作图(专项拔高30题)考试时间:90分钟试卷满分:100分难度:0.52姓名:___________班级:___________考号:___________题号一二三总分得分评卷人得分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022秋•兴城市期末)如图,△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AC,F是BC中点,连接AF,若AB=4,AC=6,DE=3,则S△AFC为()A.7.5 B.12 C.15 D.302.(2分)(2022秋•涪陵区期末)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若BD=5cm,则点D到边AC的距离DE的长为()A.4cm B.5cm C.5.5cm D.6cm3.(2分)(2022秋•青秀区校级期末)如图,是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图,该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质()A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS4.(2分)(2022秋•镇江期末)如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,已知,BC=8,DE=2,则△BCE的面积等于()A.4 B.6 C.8 D.105.(2分)(2023•武安市二模)在正方形网格中,M,N,P,Q均是格点,∠AOB的位置如图所示,则到∠AOB 的两边距离相等的格点是()A.点M B.点N C.点P D.点Q6.(2分)(2023春•北林区期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,过点C 作CG⊥AB于点G,交AD于点E,过点D作DF⊥AB于点F,下列这些结论:①∠CED=∠CDE;②S△AEC:S=AC:AG;③∠ADF=2∠FDB;④CE=DF,其中正确的是()△AEGA.①②④B.②③④C.①③D.①②③④7.(2分)(2022秋•建昌县期末)如图,AD平分∠BAC,DE⊥AC于点E,S△ABC=8,DE=2,AC=4,则AB的长是()A.2 B.4 C.6 D.88.(2分)(2022秋•罗湖区期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,BE是∠ABC的平分线,BE交AD于点F,下面说法:①∠BAD=∠C;②AE=AF;③∠CAD=2∠CBE;④S△BCE=BC•AE.其中正确的说法有()个.A.1 B.2 C.3 D.49.(2分)(2023春•尉氏县期末)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BG平分∠ABC,交AC于点G,若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为()A.1 B.C.2 D.无法确定10.(2分)(2022秋•武汉期末)如图,在△ABC中,AD平分∠CAB,下列说法:①若CD:BD=2:3,则S△ACD:S△ABD=4:9;②若CD:BD=2:3,则AC:AB=2:3;③若∠C=90°,AC+AB=20,CD=3,则S△ABC=30;④若∠C=90°,AC:AB=5:13,BC=36,则CD=10.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③④D.②③④评卷人得分二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)11.(2分)(2022秋•广东期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=4,DE=2,则S△ACD=.12.(2分)(2023春•武功县期末)如图,射线OC是∠AOB的角平分线,D是射线OC上一点,DP⊥OA于点P,DP=5,若点Q是射线OB上一点,OQ=4,则△ODQ的面积是.13.(2分)(2022秋•宝山区期末)在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,如果DE =1,△ABC的面积是6,则△ABC的周长是.14.(2分)(2022秋•番禺区校级期末)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2.5,则PQ的最小值为.15.(2分)(2022秋•唐河县期末)如图,四边形ABCD中,∠BCD=90°,∠ABD=∠DBC,AB=5,DC=6,则△ABD的面积为.16.(2分)(2023春•南海区校级期中)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于D,PD=3cm,点E 是射线OB上的动点,则PE的最小值为cm.17.(2分)(2022秋•龙潭区校级期末)如图,在△ABC中,BD是AC边上的高,AE平分∠BAC,交BD于点E,若AB=12,DE=5,则△ABE的面积为.18.(2分)(2022秋•雨花区期末)如图所示,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°,CE⊥AD于点E,AD=10cm,AB=7cm,那么DE的长度为cm.19.(2分)(2022秋•黄岛区校级期末)如图,∠ABC=∠ACB,△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB 的外角平分线交于点D,△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E,以下结论:①AD∥BC;②DB⊥BE;③∠BDC+∠ABC=90°;④BD平分∠ADC;⑤∠BAC+2∠BEC=180°.其中正确的结论有.(填序号)20.(2分)(2022春•菏泽期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,两锐角的角平分线交于点P,点E、F 分别在边BC、AC上,且都不与点C重合,若∠EPF=45°,连接EF,当AC=6,BC=8,AB=10时,则△CEF的周长为.评卷人得分三.解答题(共10小题,满分60分)21.(4分)(2022秋•秦淮区期末)如图,在△ABC中,∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)连接OA,若AB=AC=5,BO=4,AO=2,则点O到三角形三条边的距离是.22.(4分)(2022秋•西丰县期末)如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠BAC的平分线.23.(6分)(2021秋•渑池县期末)已知:如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P,且PE ⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E、F.(1)求证:PE=PF;(2)若∠BAC=60°,连接AP,求∠EAP的度数.24.(6分)(2021秋•右玉县校级期末)阅读并理解下面内容,解答问题.三角形的内心:定义:三角形的三条内角平分线相交于一点,这个点叫做三角形的内心.如图1,已知AM,BN,CP是△ABC的三条内角平分线.求证:AM,BN,CP相交于一点.证明:如图2,设AM,BN相交于点O,过点O分别作OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为D,E,F.∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点,∴OE=OF(依据1),同理,OD=OF,∴OD=OE(依据2).∵CP是∠ACB的平分线,∴点O在CP上,(依据3).∴AM,BN,CP相交于一点.请解答以下问题:(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么?(2)如果BC=a,AC=b,AB=c,OD=r,请用a,b,c,r表示△ABC的面积.25.(6分)(2023春•巴州区期中)如图,点O是直线EF上一点,射线OA,OB,OC在直线EF的上方,射线OD在直线EF的下方,且OF平分∠COD,OA⊥OC,OB⊥OD.(1)若∠DOF=40°,求∠AOB的度数;(2)若OA平分∠BOE,求∠DOF的度数.26.(4分)(2022秋•江都区期末)如图,△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于E,EF⊥AB,交AB于F,EG⊥AC,交AC的延长线于G,试问:BF与CG的大小如何?证明你的结论.27.(6分)(2022秋•孝感期中)如图,在△ABC中,O为∠ABC,∠ACB的平分线的交点OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为D,E,F.(1)求证:AO平分∠BAC;(2)若△ABC的周长是30,△ABC的面积为45,求OF的长.28.(8分)(2021秋•遂宁期末)如图,△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC 于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°,连接DE.(1)求∠CAD的度数;(2)求证:DE平分∠ADC;(3)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积.29.(8分)(2021秋•扶绥县期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD=DF.(1)求证:CF=EB;(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系,并说明理由.30.(8分)(2022秋•朝阳区校级期中)在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B、C重合),连接AD.(1)如图1,当点D是BC边的中点时,S△ABD:S△ACD=;(2)如图2,当AD平分∠BAC时,若AB=m,AC=n,求S△ABD:S△ACD的值(用含m、n的式子表示);(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E.使得AD=DE,连接BE,若AC=3,AB=5,S△BDE=10,求S△ABC的值.。
北师大版2023-2024学年八年级下册数学《角平分线》暑期练习试题一、单选题1.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线,另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于OB OA 点P ,小明说:“射线就是的角平分线.”他这样做的依据是( )OP AOB ∠A .角平分线上的点到这个角两边的距离相等B .角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C .三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D .线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等2.下列命题:(1)等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合;(2)在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角平分线上;(3)直角三角形的两个锐角互余;(4)有一个角等于的三60︒角形是等边三角形;(5)已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为16.其中正确的命题个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.已知内一点M ,如果点M 到两边,的距离相等,那么点M 的位置是( )ABC AB BC A .在边的高上B .在边的中线上AB AC C .在的平分线上D .在边的垂直平分线上ABC ∠AC 4.如图,公路,公路交公路于,交公路于,若要建一汽车旅店到三条公MN PQ ∥AB MN A PQ B 路的距离相等,则可供选择的地址有( )12 A.处B.处5.如图,在正方形网格中,到A.M点A.17.如图,在直角△ABCAB的距离为()14.(2016育才月考)育才中学内有一块直角三角形空地15.如图,中,ABC 90C ∠=16.如图,△ABC 的角平分线18.如图,△ABC 中,AB ,AC 的平行线交BC三、解答题21.阅读与思考:下面是小宇同学的数学日记,请仔细阅读并完成相应的任务.×年×月×日星期日任务:(1)请你补全小宇日记中不完整的部分:①__________(2)尺规作图:在图2中作的角平分线,交CAB ∠BC (3)在(2)的条件下,求线段的长度.CD21.(1) (2)(3)32 CD=.略.(1)略(2)DBE ∠=︒75(3)2BE CD =24.略。
板块一基本概念知识点 角的定义定义1:有公共端点的两条射线组成的图形叫角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关,而与角的边画出部分的长短无关.这是因为角的边是射线而不是线段.定义2:角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形,处于初始位置的那条射线叫做角的始边,终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到,这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到,这样的角叫周角.注意:由角的定义可知:(1) 角的组成部分为:两条边和一个顶点; (2) 顶点是这两条边的交点;例题精讲中考要求角(3)角的两条边是射线,是无限延伸的.(4)射线旋转时经过的平面部分称为角的内部,平面的其余部分称为角的外部.知识点角的表示方法①利用三个大写字母来表示,如图1.1.图1.1注意顶点一定要写在中间.也可记为BOA∠等.∠或ABO∠,但不能写成BAO②利用一个大写字母来表示,如图1.2.∠AA图1.2注意用一个大写字母来表示角的时候,这个大写字母一定要表示角的顶点,而且以它为顶点的角有且只有一个.③用数字来表示角,如图2.1.∠11图2.1④用希腊字母来表示角,如图2.2.∠αα图2.2【例1】角是由有的两条射线组成的图形,两条射线的是这个角的顶点,角也可以看成是由一条射线.【考点】角的概念及表示方法【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】公共端点公共端点绕端点旋转而得到的图形【例2】下列说法正确的是()A.角的两边可以度量B.角是由两条射线构成的图形.C.一条直线可以看成是一个平角D.平角的两边可以看成直线.【考点】角的概念及表示方法【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】D【巩固】下列语句正确的是()①角的大小与边的长短无关。
②如果一个角能用一个大写字母A表示,那么以A为顶点的角只有一个③如果一个角能表示为1∠,那么以1∠顶点为顶点的角只有一个。
④两条射线组成的图形叫做角A ①、②B ①、③C ①、④D ②、③【考点】角的概念及表示方法【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】A【例3】如图,角的顶点是,边是,用三种方法表示该角分别为.αB AO 【考点】角的概念及表示方法【难度】1星【题型】填空 【关键词】 【解析】略【答案】O ;OA ,OB ;AOB ∠,α∠,O ∠.【巩固】 下列图中角的表示方法正确的个数有( )∠AOB 是平角直线是平角∠CAB∠ABCBABACCBAA .1个B .2个C .3个D .4个【考点】角的概念及表示方法 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略【答案】B【巩固】 在右图中,角的表示方法正确的是( )A .A ∠B .B ∠C .C ∠D .D ∠ABC DEO【考点】角的概念及表示方法 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】本题考查用一个大写英文字母表示角,本题选B . 【答案】B【巩固】 如图,下列角除了用三个大写字母表示外,还可以用一个大写字母表示的是( )A .BDC ∠B .ADC ∠ C .ABC ∠D .ACB ∠ABC DEO【考点】角的概念及表示方法【难度】1星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】C .【巩固】 如图,以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来,以D 为顶点的角呢?D CEBA【考点】角的概念及表示方法 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】以B 为顶点的角有3个:ABE ∠,ABC ∠,EBC ∠以D 为顶点的角有4个:ADE ∠,ADB ∠,BDC ∠,CDE ∠【例4】 下图中,以A 为顶点的角是_________。
有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________个。
HGFEDCB A【考点】角的概念及表示方法 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】【解析】按照约定,我们讨论的角都是小于平角的角。
【答案】以A 为顶点的角有:BAE BAD EAD ∠∠∠,,; 一边与射线FD 在同一条直线上的角有10个【例5】 判断( )一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角. ( )用2倍的放大镜看30︒的角,这个角就变成了60︒. ( )由两条射线组成的图形叫做角. ( )延长一个角的两边.( )平角就是一条直线;周角就是一条射线. 【考点】角的概念及表示方法 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略【答案】×;×;×;×;×.板块二 角度运算(一)角度换算知识点 单位换算1度=60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")【例6】 (1)32.43__________'''︒=︒(2)654312_____'''︒=︒ 【考点】角度的换算及运算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】(1)首先在第一个空上填上32,然后计算(32.4332)0.43︒-︒=︒,0.430.436025.8''︒=⨯=,25.8250.8'''-=,0.86048''''⨯=32.43322548'''︒=︒(2)这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式,12600.2'''÷=,430.243.2'''+=,43.2600.72'÷=︒,65431265.72'''︒=︒.【答案】(1)322548'''︒;(2)65.72︒【巩固】 (1)51492421________''︒+︒=;(2)39412445__________''︒-︒=;(3)2313423_________'''︒⨯=;(4)12134________'︒÷=. 【考点】角度的换算及运算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】【解析】(1)5149242175707610''''︒+︒=︒=︒;(2)394124453810124451456'''''︒-︒=︒-︒=︒;(3)231342369416''''''︒⨯=︒; (4)121343315''''︒÷=︒【答案】(1)7610'︒;(2)1456'︒;(3)69416'''︒;(4)3315'''︒【例7】 (1)2020'4______︒⨯=。
(2)4437'3______︒÷= 【考点】角度的换算及运算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】【解析】(1)原式8080'8120'=︒=︒(2)先将度、分、秒的量数都化成3的倍数:4437'42237'47156'1'47156'60''1452'20''︒=︒+︒=︒++=︒++=︒【答案】(1)8120'︒;(2)1452'20''︒【巩固】 (1)77423445______''︒+︒=; (2) 108185623____''︒-︒=;(3) 180(34542133)_______''︒-︒+︒=;(4)23295837______'''︒+︒=;(5)513932532______''''︒-︒=; (6) 135********______''︒⨯+︒÷= (7)57.32_________'''︒=︒; (8) 122342_______'''︒=︒ 【考点】角度的换算及运算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】【解析】(1)7742344511227'''︒+︒=︒; (2)1081856235155'''︒-︒=︒;(3)180(34542133)12333'''︒-︒+︒=︒;(4)23295837812937''''''︒+︒=︒;(5)513932532193328'''''''︒-︒=︒; (6)13533157435731136'''''︒⨯+︒÷=︒; (7) 57.3257 19 12'''︒=︒; (8)12234212.395'''︒=︒【答案】(1)11227'︒;(2)5155'︒;(3)12333'︒;(4)812937'''︒;(5)193328'''︒;(6)731136'''︒;(7)57 19 12'''︒(8)12.395︒【例8】 在小于平角的范围内,用一对普通的三角板能画出确定度数的角有( )个A .4个B .7个C .11个D .16个 【考点】角度的换算及运算 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】【解析】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为604515︒-︒=︒,而其它角都是15︒的倍数.所以在小于平角的范围内,能画出确定度数的角有153045607590105120135150165︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒,,,,,,,,,,共11个,故选C .【答案】C(二)角度求解知识点 角的度量(1) 度量角的工具常用量角器用量角器注意:对中(顶点对中心)、重合(角的一边与量角器上的零刻度重合)、读数(读出角的另一边所在线的度数)(2) 角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒.把平角分成180等份,每一份就是一度的角,记做1︒.把一度的角60等分,每一份叫做1分的角,记做1'.把一分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记做1''. 角度之间的关系1周角=360︒ 1平角=180︒ 1直角=90︒ 1周角=2平角 1平角=2直角角的分类:锐角α(090α<<︒),直角α(90α=︒),钝角α(90180α︒<<︒).知识点 两角的和、差、倍、分(1) 两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.(2) 从一个角的顶点出发,把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. (3) 角平分线的画法:①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角,记为∠PQR ,折线使射线QR 与射线QP 重合,把纸展开,以Q 为端点,沿折痕画一条射线,这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ?用尺规做已知角的平分线方法作法:(1)以O 点为圆心,以任意长为半径,交角的两边于A B 、两点;(2)分别以A 、B 两点为圆心,以大于12AB 长为半径画弧,画弧交于C 点; (3)过C 点作射线OC 。