巧用单位圆解决三角函数问题

课程篇单位圆上的三角函数线是实现数形结合的一种有效方式，是能够对三角函数进行几何表示的一种方法。

很多学生在进行三角函数这一章节的学习时，会将学习的重点置于公式记忆、函数性质的掌握以及图像性质的理解，对于单位圆三角函数线的部分却掌握的不够牢固。

本文中笔者就将从以下几个角度来着手探讨这一类型问题的具体解题思路。

一、利用单位圆的三角函数线比较函数值大小利用单位圆的三角函数线来比较函数值的大小，其解题关键就在于对三角函数、角等相关数学量的转化过程，以这样一道题目为例：βx yOAB CE Dα已知0<α<β<π，试比较sin α-α与sin β-β的大小。

本题解题的难点在于sin α属于三角函数值，但是α本身属于角，二者之间属于不同的领域，看似无法做寻常的加减运算，所以如果单纯地想依靠计算的方式来进行判断，显然会陷入求解的瓶颈当中。

但是如果将题目当中所涉及的sin α、α等置于单位圆当中，我们发现，其本身在图形领域所富含的另外一层含义，我们可以利用单位圆将所要比较大小的部分转化为其他的、可以量化和具象化的内容。

如图所示，将A 、B 、D 视为单位圆上的点，E 、C 分别为D 、B 在x 轴上的垂点，α=∠EOB ，β=∠AOB ，则：sin α=ED 、sin β=BC （单位圆斜边大小视为1，正弦函数值等于对边比斜边，即等于角所对应的边长）S △AOD =12OA ·ED =12×1×ED =12sin α，同理S △AOB =12sin β扇形AOB 的面积=12·R ，弧长AB =12.β·π·R 180=12β，同理，扇形AOD 的面积=12α到此为止，比较大小过程中所涉及的sin α、sin β、α和β，已经转化成了统一的比较值，即全部通过面积来表示。

而“a -sin α”就可以视作“扇形AOD 的面积减去S △AOD ”的二倍，“β-sin β”就可以视作“扇形AOB 的面积减去S △AOB ”的二倍，换言之a -sin α和β-sin β就可以通过比较弓形AD 和弓形AB 的面积来求解，我们可以通过图像观察到弓形AB 的面积明显要大于弓形AD 的面积，即2（β-sin β）>2（α-sin α），而题目所求解的sin α-α和sin β-β的大小，也自然能够判断了。

单位圆上三角函数值的计算三角函数是一门与数学有关的学科，也是数学中的一种重要思想工具。

在三角函数中，常常会涉及单位圆。

单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系原点处。

在单位圆上，我们可以用三角函数计算出各种角度的正弦、余弦、正切值等。

一、单位圆上的正弦和余弦我们先来看正弦和余弦。

在单位圆上，任意一点(x,y)都可以表示为(x,√(1-x²))或(√(1-y²),y)的形式。

因为单位圆的方程式为x²+y²=1，所以当我们知道了x或y的值，就能算出另外一个未知的值。

因为正弦和余弦都是关于y和x的函数，所以对于一个三角形ABC，如果我们知道了其内角B的度数，就可以根据三角函数计算出BC与AB的比值，也就是正弦值sin(B)和余弦值cos(B)。

在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正弦函数值为sin(α)，其余弦函数值为cos(α)。

因为半径为1，所以在单位圆上，正弦和余弦的取值范围都是[-1,1]。

当角度为0度时，终边就在x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为1。

当角度为90度时，终边就在y轴上，此时的正弦函数值为1，余弦函数值为0。

类似地，当角度为180度时，终边就在-x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为-1；当角度为270度时，终边就在-y轴上，此时的正弦函数值为-1，余弦函数值为0。

二、单位圆上的正切值类似于正弦和余弦函数，正切函数也是与单位圆有关的。

在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正切函数值为tan(α)。

因为正切值的定义是一个比值，所以正切值没有像正弦或者余弦那样有固定的取值范围。

不过，在单位圆的第一象限和第三象限，正切值是正数，而在第二象限和第四象限，正切值是负数。

举个例子，假设终边角度为45度，则终边上的点为(√2/2,√2/2)。

这个点与x轴正方向之间的夹角为45度，所以其正切值为tan(45)=1。

单位圆的妙用单位圆是以原点为圆心，半径等于单位长度的圆。

其方程为x2+y2=1，根据它的结构特征，联想到同角三角函数式cos2x+sin2x=1，由上面的结构可发现点（x，y），是单位圆上的点，因而单位圆沟通了三角，解析几何，代数等有关知识的联系。

对于具备单位圆的思想进行分析解决。

本文通过几个实例体会一下单位圆的妙用。

例1：已知角αβγ满足条件sinα+sinβ+sinγ=2。

试证明∣cosαγ+cos β+cosγ∣≤√5。

证明：点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ), C(cosγ,sinγ)都在单位圆上x2+y2=1。

△ABC的重心坐标G((cosα+cosβ+cosγ)/3,(sinα+sinβ+sinγ)/3))。

令cosαγ+cosβ+cosγ=x ，则G的坐标变为(x/3,2/3) 。

无论△ABC 怎样变化，它的重心G都在单位圆内，而且在直线 y=2/3上。

特别地，当A，B，C三点重合时，点G在单位圆上。

因此，2/3≤∣OG∣≤1。

由此得：2/3≤√(X/3)2+(2/3) 2，即0≤x2≤5,∴∣x∣≤5。

所以∣cosαγ+cosβ+cosγ∣≤√5成立。

在这一证明中，所用的知识都是过去学习过的，只是对知识作出了重新组合：利用几何知识及解析几何知识，把三角不等式问题转化成了距离问题，避免了复杂的三角变换。

例2、设m∈R，A={(x,y)∣y=-√3x+m},B{(x,y)∣x=cosθ,y=sinθ,0＜θ＜2∏}A∩B= {(cosθ1,,sinθ1),(cosθ2,sinθ2)}，求（1）m的取值范围；（2）θ1+θ2的值。

解：把点（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）看作圆上除去点（1，0），圆心到直线√3x+y-m=0的距离d=∣m∣/2＜1,m≠√3∴m=∈(-2, √3)∪(√3,2)如果把点A（cosθ1，sinθ1）、B（cosθ2，sinθ2）看作直线y= -√3x+m上的两点，又看作在单位圆上，过O作OM⊥AB于M。

单位圆在三角函数中的应用
1 单位圆在三角函数中的定义
单位圆是以原点O为中心，以半径为1的圆，三角函数的定义就是根据单位圆来定义的，因此三角函数中也用到了单位圆，由此可以看出单位圆在三角函数中有重要的作用和地位。

2 弧度角
在三角函数中，直角三角形一个角称为直角，其对应的角度也叫做直角角，单位圆上任意一点A(x,y)，到圆心原点O的距离就是半径（和单位圆一样），从原点O到点A之间的弧度就称为弧度角，也称作弧度。

弧度角在三角函数中是非常重要的一个概念，它与度数角之间的关系是一个弧度的多少度数等于180度。

3 三角函数中的概念
三角函数中还有六边形概念，其中原点O为顶点，半径r构成六边形，其边长为2r，因为半径是单位圆的半径，所以单位圆也构成六边形。

两个相邻的角构成一个角，这个夹角被表示为rad，
rad(radians)就是弧度角所表示的值，因此单位圆的重要性也体现在了这里。

4 三角函数的应用
三角函数是数学和物理学中最常用的函数之一，三角函数的应用广泛，几乎涉及到几何、物理和科学的各个领域，比如测量角度、求
取球面表面面积和体积等，三角函数一般有三个基本函数——正弦函数、余弦函数和正切函数，这些函数均来源于单位圆，因此单位圆对于三角函数的运算不可或缺。

5 结论
正如本文所介绍的，单位圆和三角函数的使用是相辅相成的，而单位圆的重要性在于它以1度的最小角度来表示三角函数，可以精准运算达到测量。

由此可见，圆有受三角函数这一概念的应用，而圆也回馈出了三角函数精确计算的可能。

y x3 4 56 781 2 yxOPBRQ A妙用单位圆求解三角函数问题陕西 刘大鸣 梁杰引入单位圆中的三角函数线，为解决三角中的缩小角的范围、解或证明三角不等式、推导三角公式、求值及研究方程根的问题等提供了有利的工具.正确使用单位圆、坐标轴和象限角平分线，将直角坐标平面分为八个区域，简称“八卦”（如图）.各卦所在区上三角函数单调性和媒介值已知，利用三角函数线和八卦图可简捷的找到三角问题的解题思路.一用单位圆缩小角的范围。

如何缩小角的范围呢？凡是看到角和三角函数值，马上将角的终边纳入“八卦图”中缩小角的范围.例1（94高考）已知()π∈=+,x ,x cos x sin 051，则xc o t简析：若用单位圆和三角函数线及“八卦图”，注意填空题的特征，借助八卦图取特殊值使问题简单.由三角函数线和“八卦图”及()π∈=+,x ,x cos x sin 051知，⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ∈432,x ，取5354-==x c o s ,x s i n ，则43-=x c o t .二 妙用单位圆证明三角公式。

例2 求证()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+. 简证：如图β=∠α=∠BOP ,AOB，作OBPQ⊥于Q ，OAPM⊥于M ，OAQN⊥于N ，MPQG ⊥，易证α=∠=∠A O B Q P M ，由三角函数线定义有()ααβαs i n c o s c o s QP OQ GQ ON OM -=-==+βαβαs i ns i n c o s co s -=. 即()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+.三 妙用单位圆解三角不等式。

例3 若x x 22cos sin >，求x 的范围.简析:xx x x cos sin cos sin 22>⇔>在八卦图中满足条件的x 的终边落在2、3、6、7卦限内，并在一起的解集为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,,43,4ππππ四 用单位圆证明三角不等式。

巧用单位圆妙解三角题作者：廖海涛来源：《中学教学参考·理科版》2018年第05期[摘要]利用单位圆，结合相关的数学知识，化解三角函数相关问题，以达到很好地解决问题的目的.[关键词]单位圆；三角函数；高中数学[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0036-01在解决三角函数问题时，如果能够抓住题目的结构特征，充分挖掘隐含条件，寻找条件和结论与单位圆的关系，进行合理的构造，创设单位圆的解题意境，就能为三角函数问题的解决，开辟许多巧解妙证的路径.一、三角求值问题【例1】求值：[sin40°-cos10°cos40°-cos80°]= .分析：本题中的角均为非特殊角，直接求值存在很大困难，而利用相应的三角函数关系式也比较难入手.而通过诱导公式的变换，并结合单位圆，利用直线的斜率问题来处理，则显得直观有效.解：[sin40°-cos10°cos40°-cos80°]=[sin40°-sin80°cos40°-cos80°]，其几何意义是点A（cos80[°]，sin80[°]）与点B（cos40[°]，sin40[°]）所在直线AB的斜率，又点A、B在单位圆x2+y2=1上，如图1，取AB的中点C，可知∠COB=[12]（80[°]-40[°]）=20[°]，可得∠ODB=30[°]，则知直线AB的倾斜角α=180[°]-30[°]=150[°]，故原式=tanα=tan150[°]=-[33].[点评]本题结合三角函数式的几何意义，并通过引入单位圆，数形结合，及利用单位圆上两点间所在直线的斜率，达到求解三角函数值的目的.二、大小比较问题【例2】设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三者的大小关系为 .分析：题中这些角都不是特殊角，求出值再比较行不通，但如果我们注意到角35°和55°的关联：cos55°=sin35°，就容易利用单位圆上的三角函数线区分比较其各自函数值的大小.解：由于a=sin33°，b=cos55°=sin35°，c=tan35°.如图2所示作出三角函数线，数形结合可知，c>b>a.[点评]利用单位圆中的三角函数线，通过数形结合，直观形象地判断相关的大小问题，是解决三角函数值大小比较问题中的常见方法.三、长度确定问题【例3】在平面直角坐标系中，已知两点A（cos130[°]，sin50[°]），B（cos70[°]，cos20[°]），则|AB|的值是 .分析：本题联想到点A、B是单位圆x2+y2=1上分别位于第二象限和第一象限的点，利用单位圆的知识加以分析即可求解.解：结合诱导公式可得A（cos130[°]，sin130[°]），B（cos70[°]，sin70[°]），则点A、B 是单位圆x2+y2=1上分别位于第二象限和第一象限的点，且∠AOB=130[°]-70[°]=60[°]，△AOB是边长为1的等边三角形，∴|AB|=1.[点评]巧妙引入单位圆，结合单位圆的性质，可以有效转化两点间的距离问题为三角形的边长问题.结合单位圆中相关图形的几何性质，可以有效转化，达到求解相应的长度问题的目的.要注意数形结合与单位圆的性质应用.四、不等式证明问题【例4】设α∈（0，[π2]），试证明：sinα分析：通过数形结合，利用单位圆上的三角函数线，并结合三角形内角平分线的性质来比较各函数值与角之间的大小，进而证明相应的三角不等式.证明：如图3，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P点，∵S△OPA[点评]利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来，这就是三角函数线.利用三角函数线可以证明三角不等式，数形结合，形象直观，有利于沟通三角与代数知识之间的联系.综上，在解决三角函数问题及其他相关问题时，有时引入单位圆，利用单位圆本身直观、形象、准确、方便等特点，结合相关的数学知识，可以使得三角函数相关问题化难为易、化繁为简，使解题思路清晰、方法明确，达到很好地解决问题的目的.（责任编辑黄春香）。

浅谈单位圆在三角函数教学中的作用临猗中学 姚霞单位圆是半径等于单位长的圆，而三角函数是以自变量为实数的函数；它们似乎没什么关系，在直角坐标系的媒介作用下，这两者的关系可谓“密不可分”。

与旧教材相比，课标教材中单位圆贯穿于三角函数教学始终，本文对此作一个探讨。

1．借单位圆定义任意角的三角函数。

如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P 。

那么y 叫做α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ；x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；xy 叫做α的正切，记作αtan ，即)0(tan ≠=x x y α。

这样正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数；比大纲版的“距离比值”定义要简单直观，而且应用定义解决问题也非常简捷。

如课本第12页例1，求35π 的正弦、余弦和正切值。

解法过程：在直角坐标系中，作35π=∠AOB ，易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标)23,21(-B ，所以2135cos ,2335sin =-=ππ，335tan -=π，这样的解法学生易掌握好计算，只需找角的终边与单位圆的交点，用定义即可解决问题。

2．借单位圆来证明同角三角函数关系，让推导过程直观具体。

图1图2 图3如图3，以正弦线MP ，余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，且OP=1，由勾股定理有：OM 2+MP 2=1，因此122=+y x ，即1sin cos 22=+αα；当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。

再者，单位圆让学生求解知角一函数值，求其余两函数值不易出错。

如课本19页例6，已知53sin -=α，求αcos 、αtan 的值。

先利用正弦线找出α角的两条终边OP 、OQ ，然后再分第三、第四象限讨论，不易漏解，也不会出现54cos ±=α的错误写法。

3．借单位圆推导诱导公式。

大纲版从求三角函数值引入，把180°α±、α-、360°α-、90°α-的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式，并且把关于90°α-的诱导公式作为和（差）角公式的推论给出。

单位圆在三角函数中的应用作为数学中重要的概念之一，单位圆在三角函数中扮演了非常重要的角色。

它不仅是研究三角函数的基础，还在实际应用中有广泛的应用。

本文将介绍单位圆在三角函数中的应用，包括三角函数的定义、性质以及其在几何中、物理中的应用等。

首先，我们来了解一下三角函数的定义。

常见的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）以及它们的倒数函数。

以正弦函数为例，定义为单位圆上一个角的对边与斜边的比值。

也就是说，给定一个角度θ，在单位圆上，将线段OA的长度定义为对边，线段OP的长度定义为斜边，则正弦函数sin(θ)等于对边OA的长度。

三角函数的性质可以在单位圆上进行直观地解释。

对于正弦函数sin(θ)和余弦函数cos(θ)，单位圆上的点(x, y)满足x^2 + y^2 = 1，也就是说对于任意角度θ，单位圆上的点(x, y)满足这个方程。

这表明，单位圆上所有的点和角度θ之间存在着一一对应的关系。

而正弦函数和余弦函数的值正是对应角度所在点的纵坐标和横坐标。

单位圆在几何中的应用是显而易见的。

以正弦函数为例，可以用来计算三角形的边长和角度。

当已知一个三角形的一条边长和一个角度时，可以用正弦函数计算出另外两条边的长度。

当已知一个三角形的两条边长时，可以用正弦函数计算出两个角度。

这些计算都是基于单位圆上的三角函数值进行的。

单位圆在物理中的应用也非常广泛。

在力学中，单位圆可以用来描述物体在圆周运动时的速度和加速度的变化。

在电学中，单位圆可以用来表示交流电的相位差和频率，以及计算电阻、电容和电感等元件的阻抗。

在信号处理中，单位圆可以用来分析和设计滤波器，尤其是数字滤波器。

在光学中，单位圆可以用来描述光的偏振状态。

除了几何和物理领域，单位圆在经济学、概率统计和信号处理等学科中也有广泛的应用。

在经济学中，单位圆可以用来表示经济指标的周期性变化，如季节性变化和商业周期。

在概率统计中，单位圆可以用来描述正态分布和复平面上的随机变量。

在反三角函数问题中单位圆的妙用
反三角函数是指利用三角函数的逆(Inverse)函数。

在数学中，反三角函数可以将角度从0圆转换为一定的长度，或者将一定的长度转换为角度，因此反三角函数往往引入在角度与距离的关系中，而它的形式是以极坐标图形及它圆周上的点来表达的。

与点、线、三角形等简单图形不同，反三角函数是一个比较抽象的函数，它本质上是指一个虚拟的物体——单位圆，单位圆上的点按顺时针方向顺时针遍历，它可以用反三角函数来定义，每经过一个角度，我们就可以得到一个新的x座标值，也就是距离单位圆中心的半径。

在反三角函数中，单位圆的作用非常重要，它可以用来解决角度和距离等复杂的关系，让计算中的数字变得清楚。

在使用反三角函数进行计算的过程中，往往需要引入单位圆作为中间过渡，而它的圆周上的点也是计算的基础，例如计算三角形的角的余弦值等。

另外，利用单位圆，我们还可以进行反余弦与反正弦计算，这是解决三角函数计算问题的一个基础。

总之，单位圆在反三角函数中拥有重要的作用，它可以帮助我们更好地解决三角形函数计算问题，使得角度与距离的关系更加清晰，从而提高计算的精度。