《空间图形中的轨迹问题的基本解法》

立体几何中的动点轨迹问题是一个常见的问题类型，它涉及到空间几何中的点、线、面等元素的运动和变化。

解决这类问题的关键在于理解运动和变化的过程，并能够通过数学模型进行描述。

解题策略主要包括以下几个方面：
1. **建立空间坐标系**：为了更好地描述空间几何元素的位置和运动，需要建立一个适当的空间坐标系。

坐标系的建立应依据问题的具体情境和需求，通常选择一个固定点作为原点，并确定三个互相垂直的轴。

2. **确定动点的坐标**：在确定了坐标系之后，需要确定动点的坐标。

这可以通过设定动点的坐标变量来实现，例如设动点的坐标为$(x, y, z)$。

3. **分析运动过程**：在确定了动点的坐标后，需要分析动点的运动过程。

这包括了解动点的运动方向、速度、加速度等参数，以及这些参数与坐标变量的关系。

4. **建立数学模型**：通过分析运动过程，可以建立描述动点运动的数学模型。

这通常涉及到物理、几何、代数等多个方面的知识，需要根据具体问题进行选择和应用。

5. **求解数学模型**：建立了数学模型后，需要求解该模型以得到动点的轨迹方程。

这可能涉及到微积分、线性代数、解析几何等多个数学领域的知识，需要根据问题的复杂程度和要求进行选择和应用。

6. **验证答案**：最后，需要对得到的答案进行验证，以确保其正确性和有效性。

这可以通过将答案代入原问题中进行检验，或者通过与其他已知的答案进行比较来进行验证。

综上所述，解决立体几何中的动点轨迹问题需要综合运用空间几何、物理、数学等多个领域的知识，并能够根据具体问题进行选择和应用。

同时，还需要有一定的逻辑思维和分析能力，以更好地理解和解决这类问题。

解析几何中轨迹问题的求解策略求曲线方程的常用思路和方法1.直译法例1 求与y 轴相切，并且和圆2240x y x +-=外切的圆的圆心的轨迹方程. 解 由2240x y x +-=，有()22222x y -+=.设动圆的圆心P 的坐标为(x ，y).根据题意设点A 的坐标为(2，0)，则有2PA x =+，即2x =+.化简整理得244y x x =+.当0x ≥时，28;y x =当x ﹤0时，y=0.综上可知，所求圆心的轨迹方程为28y x =(x ≥0)或y=0(x <0).小结 直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x 、y ，所得方程即为所求动点的轨迹方程.用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论.2.定义法例2 已知圆C ：()22125x y ++=内一点A(1，0)，Q 点为圆C 上任意一点，线段AQ的垂直平分线与线段CQ 连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.解 连接AM ，点M 在线段AQ 的垂直平分线上，则AM=MQ. 5=+MQ CM ，∴5=+MA CM .故点M(x ，y)到点C(-1，0)和点A(1，0)的距离之和是常数5，且5>2.所以点P 的轨迹是一个以A 、C 为焦点的椭圆.∵2a=5，2c=2，∴222214b ac =-=.∴点M 的轨迹方程为221252144xy+=.小结 若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程.用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，然后用待定系数法求解. 3.代入法例3 抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点M(0，-1)作直线l 交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程.解 设点R 的坐标为(x ，y)，平行四边形FARB 的对角线的点为P(x 0，y 0)，F(0，1)，由中点坐标公式可得001,22x y x y +==.设A 点的坐标为(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则可知x 1≠x 2, 且x 12=4y 1，x 22=4y 2.上述两式对应相减得x 12-x 22=4(y 1-y 2).从而有02A B x k =.又A 、P 、B 、M 四点共线，且001PM y k x +=，由K AB = K PM 可得x 02=2(y 0+1).把001,22x y x y +==代入上式并整理得x 2=4y+12.小结 动点是直线被圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获得动点的轨迹方程.事实上这就是中点弦问题的处理方法. 4.参数法例4 已知点P 在直线x=2上移动，直线l垂直，通过点A(1，0)及点P 的直线m 和直线l 相交于点Q Q 的轨迹方程.解 如图1所示，设OP 所在直线的斜率为k ，则点 P 的坐标为(2，2k).由l O P ⊥，得直线的方程为x+ky=0. ① 易得直线m 的方程为y=2k(x-1). ②由于点Q(x ，y)是直线l 和直线m 的交点，所以将①②联立，消去k ，得点Q 的轨迹方程为02222=-+x y x (x 小结 当动点坐标满足的等量关系不容易直接找到时，我们可选取与动点坐标有密切关系的量(如角、斜率k 、比值等)作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法.圆与圆锥曲线的轨迹问题例5 如图2所示，矩形A B C D 的两条对角线相交于点(20)M ，，A B 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在A D 边所在的直线上.(1)求A D 边所在直线的方程. (2)求矩形A B C D 外接圆的方程.(3)若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形A B C D 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.解 (1)A D 边所在直线的方程为320x y ++=. (2)矩形A B C D 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.(3)因为动圆P过点N，所以P N是该圆的半径.又动圆P与圆M外切，所以PM PN=+PM PN-=故点P的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长a=半焦距2c=，所以虚半轴长b==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x yx-=≤.小结根据题设条件，分析矩形图形的有关性质，通过解由两个直线方程组成的方程组求得圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出半径，从而得出“矩形ABCD的外接圆”的标准方程.本题的第(1)问和第(2)问，将平面几何中的一个重要而基本的图形——矩形与圆结合起来，难度不大，但考查的基础知识却不少.立体几何与解析几何的轨迹问题1.轨迹为椭圆例6如图3所示，AB是平面a的斜线段，A在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点PA.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解根据△ABP的面积为定值，线段AB是定值，则动点P到线段AB的距离也是定值，设此定值为d，所以点P在平面a的轨迹是一个以d为半径且与线段AB垂直的圆在平面a上的投影，即为椭圆.选B.小结涉及面积、点到直线的距离等多个知识点的综合，实质利用投影，考查对椭圆图像的理解.2.轨迹为抛物线例7如图4所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一个动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解由C1D1⊥平面BB1C1C，得PC1⊥C1D1，所以PC1就是点P到直线C1D1的距离.因此已知条件转化为点P到BC的距离等于点P到点C1的距离.根据抛物线的定义，可知点P的轨迹所在的曲线是抛物线.选D.小结例6和例7均巧妙地利用了题中某些定值定量条件，从而转化为定义法来判定动点轨迹.这其实也是解析几何中求轨迹问题常用的方法之一.3.轨迹为双曲线例8已知αα∉e,，过点P引与直线e成45°角的直线交平面α于Q，则Q点⊂p的轨迹是A.两个点B.双曲线C.椭圆D.抛物线解如图5所示，过点P作PO⊥α于O点，以过O点与e平行的直线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系.过点Q作OA⊥x轴于A.设Q点的坐标为(x，y，0)，则A点的坐标为(x，0，0).由于P点固定，我们不妨设P(0，0，h)，由OA=PA，可知y2=x2+h2.故Q点的轨迹是双曲线.选B.小结解答本题时，首先建立空间直角坐标系，然后把立体几何与解析几何知识直接联系起来，根据圆锥曲线的定义作出判断.。

七、空间几何体中的轨迹问题本内容主要研究空间几何体中的轨迹问题.在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势.而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”.空间几何体中的轨迹问题包括判断轨迹的类型问题以及求轨迹中的长度、面积与体积问题.例：在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）.A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分答案：D整理：空间几何体中的轨迹问题：1.判断轨迹的类型问题2.求轨迹中的长度、面积与体积问题再看一个例题，加深印象例：已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________.答案：以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π.解析：因为AB ⊥面BC 1，P 在正方体的侧面BCC B 11上，设AP 3=AB =1,由勾股定理得BP 3=，因此点P 轨迹是以B 为圆心， 半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π.总结：1.空间几何体中的判断轨迹的类型问题，这常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等.在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题.2.空间几何体中的轨迹问题涉及到求轨迹中的长度、面积与体积问题.练习：1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（ ）.A. 圆或圆的一部分B. 抛物线或其一部分C. 双曲线或其一部分D. 椭圆或其一部分2.已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ）.A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 圆3.在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________.4.若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（ ）A A AB C B C B C B CA B C D5.已知棱长为3的正方体ABCD A B C D 1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积.6. 如图,AB 是平面α的斜线段,A 为斜足.若点P 在平面α内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线7. 如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60°,B 为斜足,平面α上的动点P 满足∠P AB =30°,则点P 的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支答案：1.解：由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP 与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.3.解：在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD1⊥面ACB1，所以满足BD1⊥AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C.本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹.4.解：动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在∠ABC的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在∠ABC的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D.所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，1 843163⨯⨯=ππ即。

本内容主要研究空间几何体中的轨迹问题.在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势.而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”.空间几何体中的轨迹问题包括判断轨迹的类型问题以及求轨迹中的长度、面积与体积问题.例：在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）.A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分答案：D整理：空间几何体中的轨迹问题： 1.判断轨迹的类型问题2.求轨迹中的长度、面积与体积问题再看一个例题，加深印象例：已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________.答案：以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π.解析：因为AB ⊥面BC 1，P 在正方体的侧面BCC B 11上，设AP 3=AB =1,由勾股定理得BP 3=，因此点P 轨迹是以B 为圆心， 半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π.总结：1.空间几何体中的判断轨迹的类型问题，这常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等.在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题.2.空间几何体中的轨迹问题涉及到求轨迹中的长度、面积与体积问题. 练习：1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（ ）. A. 圆或圆的一部分 B. 抛物线或其一部分 C. 双曲线或其一部分 D. 椭圆或其一部分2.已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ）. A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 圆3.在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________.4.若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（ ）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D5.已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积.6. 如图,AB 是平面α的斜线段,A 为斜足.若点P 在平面α内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线7. 如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60°,B 为斜足,平面α上的动点P 满足∠P AB =30°,则点P的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支答案：1.解：由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP 与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.3.解：在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD1⊥面ACB1，所以满足BD1⊥AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C.本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹.4.解：动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在∠ABC的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在∠ABC的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D.所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ.6.7.。

空间轨迹问题的三种模式及破解策略空间轨迹问题是近年来高考命题的一个热点题型，这类问题中涉及到的点，线，面较多，产生于空间，但落实到平面，空间关系复杂，往往交汇多个知识点，解题方法灵活多变，总给人无“法”可依，无“章”可循之感，是同学们公认的难点与失分点。

本文将此类问题分为三种模式，各个击破，只要同学们能够准确识别模式就能正确解决，对空间轨迹问题我们的口号是“无需忍痛——分必得！”【模式一】 定点+动点型——先定“大轨迹”，后寻“小轨迹”，特殊点定位例1 在正方体1AC 中，点P 在侧面11BCC B 的内部及边界上运动，总有1AP BD ⊥,则点P 的轨迹是（ ）A. 线段1B CB. 线段1BCC. 线段BCD. 线段11B C分析： 我们知道过直线外一点与该直线垂直的直线都在过该点与此直线垂直的平面内，设过A 与1BD 垂直的平面为α，有11P B C CB α∈平面,所求轨迹就是α与侧面11BCC B 的交线，此处应是线段，下面只需要取两个特殊点定位即可，易知只有线段1B C 符合题意，故选A.例2 已知正方体1AC 棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为3的点的集合曲线C ，则该曲线的长度为（ ）A. B. C. D.解：空间中与A 的点的集合是以A 为球心，曲线C 就是该球面与正方体各面相交所得的截面。

2313<<6个侧面均相交得到6段圆弧，可分为两种情况：ABCD,11AA D D , 11AA B B 为过球心的截面，截痕为大圆弧，易知三段圆弧圆心角均为6π；1111A B C D ,11BCC B ,11CDD C 与球心距离为1的截面，截痕是小圆弧，三段小3=，故各段圆弧圆心角均为2π，则曲线C 长度为 233533363236ππ+= 方法点拨此模式中我们可以先确定动点所在的“大轨迹”（某个平面或球面），而所求的“小轨迹”往往是“大轨迹”与一个指定平面的交线，我们熟知平面与平面或球面相交，交线是直线或圆，轨迹类型确定了，就可以取特殊点来确定即可，问题迎刃而解！【模式二】 动点+多距离型，转化为一个平面内的轨迹问题例3 如图，在正方体1AC 中，P 是侧面11BCC B 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解：连接1PC ,易知1PC 即P 到直线11C D 的距离，所以在平面11BCC B 内，动点P 到点1C 的距离与其到定直线BC 的距离相等，故其轨迹所在曲线是以1C 为焦点，直线BC 为准线的抛物线，选D例4 正四面体S-ABC ，动点M 在侧面SBC 内部及边界上运动，且点M 到点S 的距离与其到底面ABC 的距离相等，则动点M 的轨迹所在曲线是（ ）A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D.双曲线分析：过M 作MO ABC ⊥平面，过O 作ON BC ⊥,连接MN,易知MNO ∠是二面角S B C A --的平面角，由SM=MO,sin MO MN MNO =∠,可得sin (1SM MNO MN=∠<定值），在平面SBC 内，动M 到定点S 的距离与其到定直线BC 的距离之比是大于0小于1的常数，故M 的轨迹应该是椭圆的一部分，故选C方法点拨与模式一对比，我们无法确定“大轨迹”，因此需要转化。

高考解析几何轨迹问题解题策略
一、轨迹方程的求法
1. 直接法：直接法就是不设出动点的坐标，而是根据题设条件，直接列出轨迹上满足的点的几何条件，并从这个条件对方程进行整理，得到轨迹方程．
2. 定义法：定义法就是根据已知条件，结合所学过的圆锥曲线的定义直接写出曲线的方程．
3. 参数法：参数法是指先引入一个参数，如时间、速度等，根据已知条件，写出参数方程，再消去参数化为普通方程．
4. 交轨法：交轨法是指利用圆锥曲线统一定义，通过求交点坐标来求轨迹方程的方法．
二、轨迹问题的解题策略
1. 转化化归：将待求问题转化为已知问题，将复杂问题转化为简单问题，将抽象问题转化为具体问题，这是解决轨迹问题的基本策略．
2. 设而不求：在轨迹问题中，设点而不求出点的坐标是常用的一种解题策略．
3. 整体代换：在轨迹问题中，有时通过整体代换可以简化运算．
4. 坐标转移：在轨迹问题中，有时可以通过坐标转移来转化问题．
5. 逆向思维：在轨迹问题中，有时通过逆向思维可以简化运算．。

例析空间图形中的轨迹问题近几年的高考数学试题, 设置了不少数学学科内容的综合题, 其新颖性、综合性正是于“知识网络的交汇点处命题”的体现. 由于空间图形的轨迹问题融立几知识、解几知识于一体, 能较好地考查学生的空间想象能力、思维的转换能力, 所以倍受各类考试的青睐. 作为师生, 应加强对这类问题的研究和训练.一般来说, 求解空间图形中的轨迹问题, 要善于把立体几何问题转化到平面上, 再综合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解, 实现立体几何到解析几何的转化. 下面举例说明.1 轨迹是直线例1 已知平面//α平面β, 直线α⊂l , 平面α、β间的距离为8, 则在β内到直线l 的距离为9的点的轨迹是( )(A)一个圆(B)两条平行直线 (C)两条相交直线(D)三条直线 分析 如图1, 在l 上取一点P, 作PO ⊥平面β,垂足为O, 在β内过O 作直线g // l , 过O 作OA ⊥g,且OA OB ==-=178922, 分别过A 、B 作直线m 、n 平行于g, 则直线m 、n 到l 的距离为9, 故答案为(B).例2 l 1、l 2是两条异面直线, l 1和l 2之间有一平面α与l 1、l 2都平行, 且与l 1、l 2距离相等. 求证: 平面α上与l 1、l 2距离相等的点的轨迹是两条相交直线.分析 如图2, 设MN 为l 1、l 2的公垂线, 交平面α于点O. 因为l 1、l 2与平面α平行且距离相等, 所以点O 为MN 的中点, 且MN ⊥平面α.设P 为所求轨迹上的点, 则P 到l 1、l 2的距离PA 、PB 相等. 设平面AMO A O '=α , 平面BNO B O '=α ,并取.,NB B O MA A O ='=' 易知,,,,PB PA B B A A B B A A =⊥'⊥''='又αα∴△A PA '≌△B PB ', B P A P '='.又A A A O PA A O '⊥'⊥',, ∴,A PA A O '⊥'平面 ∴A P A O '⊥'. 同理B O B P '⊥',即P 到B O A ''∠的两边距离相等. 又A 或B 还可能在MN 的另一侧, 故点P 的轨迹是B O A ''∠或其外角的平分线. 故所求轨迹是两条相交直线.2 轨迹是圆或圆的一部分例3 已知平面βα平面//, 直线αα平面点,,l P l ∈⊂、β间的距离为8, 则在β内到点P 的距离为10的点的轨迹是( )(A)一个圆 (B)两条直线 (C)四个点 (D)两个点分析 如图3, 设点P 在平面β内的射影为O, 则OP 是平面α、β的公垂线段, OP = 8.由于在β内到点P 的距离等于10的点到点O 的距离等于6, 故点的集合是以O 为圆心, 以6为半径的圆. 选(A). 例4 设相互垂直的两异面直线l 1、l 2间的距离为a , 两端点在l 1、l 2上的动线段PQ 的长为l (l > a ), PQ 的中点为M, 求证: (1)点M 在固定平面内; (2)点M 在定曲线上.证法1 (1)如图4, 作l 1、l 2的公垂线AB, AB 、AQ 的中点分别为O 、N, 则ON // BQ, MN // AP, ∴AO ⊥ON, AO ⊥MN, 从而AO ⊥平面OMN. 因此, 点M 在过点O 且垂直于AO 的固定平面β内.(2)∵AP ⊥AB, AP ⊥BQ, ∴AP ⊥平面ABQ,∴l PQ AM PAQ 2121,90==︒=∠则 又由AO ⊥平面OMN, 知AO ⊥OM,∴OM 222221a l AO AM -=-=. 可见, M 是在平面β内且是以O 为圆心, 以2221a l -为半径的定圆上. 证法2 (1)作l 1、l 2的公垂线AB, 记AB 的中点为O.∵−→−OM −→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−-=+++=+=OB OA BQ OB AP OA OQ OP 又),(21)(21 ∴)21−→−−→−−→−+=BQ AP OM∴0)(21)(21=⋅+⋅=⋅+=⋅−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−AB BQ AB AP AB BQ AP AB OM ∴OM ⊥AB, ∴点M 必在AB 的垂直平分面上.(2)∵)|||(|41)](21[222−→−−→−−→−−→−−→−−→−+=+=⋅BQ AP BQ AP OM OM , ∴)|||(|41)|||||||(|41222222−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−-=-+-=⋅AB PQ AB AQ AQ PQ OM OM )(4122a l -= 即2221||a l OM -=−→−. ∴点M 在以O 为圆, 半径为2221a l -的圆上. 例5 两个竖立的旗杆相距10米, 高分别为5米、3米, 从地面上的点P 观看杆顶的仰角相等, 求P 点的轨迹。

解轨迹问题4种方法求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P 的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q 与点P 之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P 的轨迹可以得到点Q 的轨迹； （4）参数法. ●点击双基1.动点P 到直线x =1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是 A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆C.中心在原点的双曲线D.中心在（5，0）的双曲线 解析：直接法. 答案：B2.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F 1（－5，0）、F 2（5，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|=2，则该双曲线的方程是A.22x －32y =1B.32x －22y =1C.42x －y 2=1D.x 2－42y =1解析：设双曲线的方程为22a x －22by =1.由题意||PF 1|－|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（25）2.又∵|PF 1|·|PF 2|=2，∴a =2，b =1.故双曲线方程为42x －y 2=1.答案：C3.已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是A.y 2－482x ＝1（y ≤－1） B.y 2－482x ＝1 C.y 2－482x ＝－1 D.x 2－482y ＝1解析：由题意｜AC ｜＝13，｜BC ｜＝15，｜AB ｜＝14，又｜AF ｜＋｜AC ｜＝｜BF ｜＋｜BC ｜，∴｜AF ｜－｜BF ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜＝2.故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c =7，a =1，b 2＝48，所以轨迹方程为y 2－482x ＝1（y ≤－1）.答案：A4.F 1、F 2为椭圆42x +32y =1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________.解析：延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知DO =21F 2B =2，∴动点D 的轨迹方程为x 2+y 2=4.答案：x 2+y 2=45.已知△ABC 中，B （1，0）、C （5，0），点A 在x 轴上方移动，且tan B +tan C =3，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为________________.解析：设A （x 0，y 0），∵tan B +tan C =3，∴100-x y －500-x y =3，点A 的轨迹方程为y 0=－43（x 02－6x 0+5）（x 0≠1且x 0≠5）.若 G （x ，y ）为△ABC 的重心，则由重心坐标公式：x =3510x ++，y =30y，∴x 0=3x －6，且y 0=3y .代入A 点轨迹方程得G 的轨迹方程为y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠311）.答案：y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠311）●典例剖析【例1】 在△PMN 中，tan ∠PMN =21，tan ∠MNP =－2，且△PMN 的面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，且过点P 的椭圆的方程.M N剖析：如上图，以直线MN 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则所求椭圆方程为22a x +22by =1.显然a 2、b 2是未知数，但a 2、b 2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.解法一：如上图，过P 作PQ ⊥MN ，垂足为Q ，令|PQ |=m ，于是可得|MQ |=|PQ |cot ∠PMQ =2m ，|QN |=|PQ |cot ∠PNQ =21m . ∴|MN |=|MQ |－|NQ |=2m －21m =23m . 于是S △PMN =21|MN |·|PQ |=21·23m ·m =1.因而m =34，|MQ |=234，|NQ |=31，|MN |=3.|MP |=22||||PQ MQ +=34316+=3152，|NP |=22||||PQ NQ +=3431+=315.以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）.则2a =|MP |+|NP |=15，2c =|MN |=3，故所求椭圆方程为1542x +32y =1.解法二：设M （－c ，0）、N （c ，0），P （x ，y ），y ＞0，c x y + =21，cx y -=2， y ·c =1， 解之，得x =635，y =332，c =23.设椭圆方程为b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，则b 2·（635）2+a 2（332）2=a 2b 2， a 2－b 2=43， 解之，得a 2=415，b 2=3.（以下略）评述：解法一选择了与a 较接近的未知元|PM |、|PN |，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x 、y 、c .本题解法较多，但最能体现方程思则想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.深化拓展若把△PMN 的面积为1改为PM ·PN =38，求椭圆方程. 提示：由tan ∠PMN =21，tan ∠MNP =－2，易得sin ∠MPN =53，cos ∠MPN =54. 由PM ·PN =38，得|PM ||PN |=310.易求得|PM |=3152，|PN |=315.进而求得椭圆方程为1542x +32y =1.【例2】 （2004年福建，22）如下图，P 是抛物线C ：y =21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C交于另一点Q .若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.xyOQMTP Sl 剖析：欲求PQ 中点M 的轨迹方程，需知P 、Q 的坐标.思路一，P 、Q 是直线l 与抛物线C 的交点，故需求直线l 的方程，再与抛物线C 的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M 的轨迹方程；思路二，设出P 、Q 的坐标，利用P 、Q 的坐标满足抛物线C 的方程，代入抛物线C 的方程相减得PQ 的斜率，利用PQ 的斜率就是l 的斜率，可求得M 的轨迹方程.解：设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、M （x 0，y 0），依题意知x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y =21x 2， ① 得y ′=x . ∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1， ∴直线l 的斜率k l =－切k 1=－11x ，直线l 的方程为y －21x 12=－11x （x －x 1）. ②方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0.∵M 为PQ 的中点， x 0=221x x +=－11x ，y 0=21x 12－11x （x 0－x 1）. 消去x 1，得y 0=x 02+221x +1（x 0≠0）， ∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+221x +1（x ≠0）. 方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21（x 1+x 2）（x 1－x 2）=x 0（x 1－x 2），则x 0=2121x x y y --=k l =－11x ，∴x 1=－01x .将上式代入②并整理，得y 0=x 02+221x +1（x 0≠0）， ∴∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+221x+1（x ≠0）. 评述：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.深化拓展当点P 在抛物线C 上移动时，求点M 到x 轴的最短距离. 提示：∵x ≠0，x 2>0，∴y =x 2+221x +1≥221+1=2+1，当且仅当x 2=221x ，x =±214时等号成立，即点M 到x 轴的最短距离为2+1.【例3】 （2000年春季全国）已知抛物线y 2＝4px （p ＞0），O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程.剖析：点M 是OM 与AB 的交点，点M 随着A 、B 两点的变化而变化，而A 、B 为抛物线上的动点，点M 与A 、B 的直接关系不明显，因此需引入参数.解法一：设M （x 0，y 0），则k OM =00x y ，k AB =－00y x ，直线AB 方程是y =－00y x（x －x 0）+y 0. 由y 2=4px 可得x =py 42，将其代入上式，整理，得x 0y 2－（4py 0）y －4py 02－4px 02=0. ①此方程的两根y 1、y 2分别是A 、B 两点的纵坐标，∴A （p y 421，y 1）、B （py422，y 2）.∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB =－1.∴14y p ·24y p=－1.∴y 1y 2=－16p 2. 根据根与系数的关系，由①可得y 1·y 2=02020)(4x y x p +-，∴02020)(4x y x p +-=16p 2.化简，得x 02+y 02－4px 0=0，即x 2+y 2－4px =0（除去原点）为所求.∴点M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. 解法二：设A 、B 两点坐标为A （pt 12，2pt 1）、B （pt 22，2pt 2）. ∴k OA =12t ，k OB =22t ，k AB =212t t +.∵OA ⊥OB ，∴t 1·t 2=－4.∴AB 方程是y －2pt 1=212t t +（x －pt 12）， ① 直线OM 的方程是y =－221t t +x . ② ①×②，得（px ）t 12+2pyt 1－（x 2+y 2）=0. ③ ∴直线AB 的方程还可写为 y －2pt 2=212t t +（x －pt 22）. ④ 由②×④，得（px ）t 22+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0. ⑤由③⑤可知t 1、t 2是方程（px ）t 2+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0的两根.由根与系数的关系可得t 1t 2=pxy x )(22+-.又t 1·t 2=－4，∴x 2+y 2－4px =0（原点除外）为所求点M 的轨迹方程.故M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. 解法三：设M （x ，y ），直线AB 方程为y =kx +b ，由OM ⊥AB 得k =－yx. 由y 2=4px 及y =kx +b 消去y ，得k 2x 2+x （2kb －4p ）+b 2=0.所以x 1x 2=22k b .消去x ，得ky 2－4py +4pb =0.所以y 1y 2=k pb4.由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2，所以k pk4=－22kb ，b =－4kp .故y =kx +b =k （x －4p ）.用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0（x ≠0）. 解法四：设点M 的坐标为（x ，y ），直线OA 的方程为y =kx ，显然k ≠0，则直线OB 的方程为y =－k1x . y =kx ， y 2=4px ， 类似地可得B 点的坐标为（4pk 2，－4pk ）， 从而知当k ≠±1时，yxABM Ok AB =)1(4)1(422k kp k k p -+=kk -11.故得直线AB 的方程为y +4pk =k k-11（x －4pk 2），即（k1－k ）y +4p =x ， ① 直线OM 的方程为y =－（k1－k ）x . ② 可知M 点的坐标同时满足①②，由①及②消去k 便得4px =x 2+y 2，即（x －2p ）2+y 2=4p 2，但x ≠0，当k =±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程. 故点M 的轨迹方程为（x －2p ）2+y 2=4p 2（x ≠0）， 它表示以点（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆.评述：本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性”.此题是综合考查学生能力的一道好题.深化拓展本题中直线AB 恒过定点（4p ，0），读者不妨探究一番. ●闯关训练由 解得A 点的坐标为（24k p ，kp4），夯实基础1.已知M （－2，0）、N （2，0），｜PM ｜－｜PN ｜＝4，则动点P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 解析：利用几何性质.答案：C2.（2003年河南）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线y =x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－32，则此双曲线的方程是 A.32x －42y =1 B.42x －32y =1 C.52x －22y =1 D.22x －52y =1解析：设双曲线方程为22a x －22b y =1.将y =x －1代入22a x －22b y =1，整理得（b 2－a 2）x 2+2a 2x －a 2－a 2b 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2222b a a -，221x x +=222ba a -=－32.由c 2=a 2+b 2求得a 2=2，b 2=5.答案：D 3.曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为____________.解析：代入法（或相关点法）.答案：（x －6）2+4（y －10）2=44.与圆x 2+y 2－4x =0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.解析：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴.答案：y 2=8x （x >0）或y =0（x <0）5.自抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连结顶点O 与P 的直线和连结焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程.解：设P （x 1，y 1）、R （x ，y ），则Q （－21，y 1）、F （21，0）， ∴OP 的方程为y =11x y x ， ① FQ 的方程为y =－y 1（x －21）. ② 由①②得x 1＝x x212-，y 1＝xy 212-，代入y 2＝2x ，可得y 2＝－2x 2+x . 6.求经过定点A （1，2），以x 轴为准线，离心率为21的椭圆下方的顶点的轨迹方程.解：设椭圆下方的焦点F （x 0，y 0），由定义2||AF =21，∴|AF |=1，即点F 的轨迹方程为（x 0－1）2+（y 0－2）2=1. 又设椭圆下方顶点为P （x ，y ），则x 0=x ，y 0=23y ， ∴点P 的轨迹方程是（x －1）2+（23y －2）2=1. 培养能力7.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如下图），则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝a 2，设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有||||OM OP ＝||||MN PQ .∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2＝｜OM ｜·｜PQ ｜. ∴x 2+y 2＝a ｜y ｜，即 x 2＋（y ±2a ）2＝（2a）2. 轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆.8.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y =k （x －1），代入y 2=4x ， 得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点， ∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），根据韦达定理，有x 1+x 2=22)2(2kk +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k 4. 设△AOB 的重心为G （x ，y ），x =3021x x ++=32+234k，y =3021y y ++=k34，∴y 2=34x －98.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x －98，因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －98.探究创新9.（2004年春季安徽）已知k ＞0，直线l 1：y =kx ，l 2：y =－kx .（1）证明：到l 1、l 2的距离的平方和为定值a （a ＞0）的点的轨迹是圆或椭圆； （2）求到l 1、l 2的距离之和为定值c （c ＞0）的点的轨迹. （1）证明：设点P （x ，y ）为动点，则221||k kx y +-+221||kkx y ++=a ，整理得2222)1(k a k x ++2)1(22a k y +=1. 因此，当k =1时，动点的轨迹为圆；当k ≠1时，动点的轨迹为椭圆. （2）解：设点P （x ，y ）为动点，则|y －kx |+|y +kx |=c 21k +.当y ≥k |x |时，y －kx +y +kx =c 21k +，即y =21c 21k +； 当y ≤－k |x |时，kx －y －y －kx =c 21k +，即y =－21c 21k +；当－k |x |＜y ＜k |x |，x ＞0时，kx －y +y +kx =c 21k +，即x =k21c 21k +；则消去k ，得x =32+34（43y ）2，当－k |x |＜y ＜k |x |，x ＜0时，y －kx －y －kx =c 21k +，即x =－k21c 21k +. 综上，动点的轨迹为矩形. ●思悟小结1.求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验.检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性.2.如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.3.如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.4.如果轨迹动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程.此法称为代入法.5.如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.6.注意参数的取值范围对方程的影响. 教学点睛1.已知曲线求方程或已知方程画曲线是解析几何中的两个基本问题.如何探求动点的轨迹方程呢？①从定义出发，还本索源.在探求动点的轨迹方程时，如能结合解析几何中某种曲线的定义，也就能寻找到解决问题的钥匙；②利用平面几何的性质.动点的轨迹与图形的性质相关，若某些轨迹与直线或圆有关，则可以利用三角形或圆的性质来帮助分析；③伴随曲线的思想和方法.如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立起某种关系，则借助于点P 的运动轨迹，我们便可以得到点Q 的运动轨迹，这便是伴随曲线的思想方法.2.在探求轨迹的过程中，需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是说既不能多，也不能少，因此，在求得轨迹方程之后，要深入地再思考一下：①是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？②在所求得的轨迹方程中，x 、y 的取值范围是否有什么限制?拓展题例【例1】 是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由． （1）准线是y 轴； （2）顶点在x 轴上；（3）点A （3，0）到此抛物线上动点P 的距离最小值是2. 解：假设存在这样的抛物线，顶点为（a ，0），则方程为y 2＝4a （x －a ）（a ≠0）， 设P （x 0，y 0），则y 02＝4a （x 0－a ），｜AP ｜2＝（x 0－3）2＋y 02 ＝［x 0－（3－2a ）］2＋12a －8a 2，令f （a ）＝｜AP ｜2， ①当a ＞0时，有x 0≥a ，当3－2a ≥a 即a ∈（0，1］时，｜AP ｜2＝f （3－2a ），∴a ＝1或a ＝21；抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －21）. 当3－2a ＜a 即a ＞1时，｜AP ｜2＝f （a ）.∴a ＝5或a ＝1（舍），抛物线方程为y 2＝20（x －5）.②当a ＜0时，显然与已知矛盾，∴所求抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －21）或y 2＝20（x －5）． 【例2】 （2003年太原市模拟题）已知椭圆的焦点为F 1（－1，0）、F 2（1，0），直线x =4是它的一条准线.（1）求椭圆的方程；（2）设A 1、A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P 是椭圆上满足|P A 1|－|P A 2|=2的一点，求tan ∠A 1P A 2的值；（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A 2为焦点的抛物线相交于点M 、N ，求MN 中点Q 的轨迹方程.解：（1）设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0）.c =1，ca 2=4，c =1， a =2，所求椭圆方程为42x +32y =1.（2）由题设知，点P 在以A 1、A 2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上.由（1）知A 1（－2，0），A 2（2，0），设双曲线方程为22mx －22n y =1（m ＞0，n ＞0）.2m =2， m =1，m 2+n 2=4， n =3.∴双曲线方程为x 2－32y =1.由42x +32y =1， x 2－32y =1，解得P 点的坐标为（5102，553）或（5102，－553）.当P 点坐标为（5102，553）时，tan∠A 1P A 2=12121PA PA PA PA k k k k +-=－45.同理当P 点坐标为（5102，－353）时，tan ∠A 1P A 2=－45. 故tan ∠A 1P A 2=－45.（3）由题设知，抛物线方程为y 2=8x .设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），MN 的中点Q （x ，y ）， 当x 1≠x 2时，有y 12=8x 1， ① y 22=8x 2， ②x =221x x +， ③ y =221y y +， ④2121x x y y --=1-x y. ⑤①－②，得2121x x y y --（y 1+y 2）=8，将④⑤代入上式，有1-x y·2y =8，即y 2=4（x －1）（x ≠1）.当x 1=x 2时，MN 的中点为（1，0），仍满足上式.故所求点Q 的轨迹方程为y 2=4（x －1）.由题设有解得 ∴b 2=3.则解得。

ʏ陈 婷立体几何中的轨迹问题,是立体几何与解析几何的知识交汇点㊂这类问题,立意新颖,重视不同知识的交叉与渗透,重视对数学知识与数学能力的考查与应用,是培养同学们数学核心素养的好素材㊂一㊁直接法直接法就是直接利用立体几何的相关知识,合理分析和研究问题中各个元素之间的关系,或者直接利用轨迹定义进行求解的方法㊂例1 如图1,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面B C C 1B 1上的一个动点,若点P 到直线B C 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹是下列哪种线的一部分( )㊂图1A.直线 B .圆C .双曲线 D .抛物线分析:根据题设条件,利用空间点线面的位置关系,直接得到动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等,再结合解析几何中抛物线的定义,可得对应的答案㊂解:根据正方体的性质,可知C 1D 1ʅ平面B C C 1B 1,所以动点P 到直线C 1D 1的距离与到点C 1的距离相等㊂又动点P 到直线B C 与到直线C 1D 1的距离相等,所以动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等㊂根据抛物线的定义,可得动点P 的轨迹是一条抛物线的一部分㊂应选D ㊂二㊁转化法转化法就是将立体几何问题转化为平面几何问题,进行合理 降维 处理,进而应用平面几何㊁解析几何等相关知识来分析与求解的方法㊂例2 (2022年高考北京卷)已知正三棱锥P -A B C 的六条棱长均为6,S 是әA B C 及其内部的点构成的集合㊂设集合T ={Q ɪS |P Q ɤ5},则T 表示的区域的面积为( )㊂A .3π4B .πC .2πD .3π分析:根据题设条件,结合正三棱锥的性质,合理构建点P 在底面әA B C 内的射影点O ,结合集合的创新设置进行合理转化,将空间中的距离问题转化为平面上的距离问题加以分析与求解㊂解:设点P 在底面әA B C 内的射影为点O ㊂依题意知әA B C 是边长为6的正三角形,所以A O =B O =C O =23㊂因为P A =P B =P C =6,所以P O =62-(23)2=26㊂若P Q =5,则O Q =P Q 2-P O 2=1,可知动点Q 的轨迹是在底面әA B C 内,以O 为圆心,半径为r =1的圆及其内部,其对应的面积为πr 2=π㊂应选B ㊂三㊁解析法解析法就是利用解析几何在研究轨迹方面的一整套比较完整的理论体系,通过坐标法进行代数运算与逻辑推理的一种求轨迹的方法㊂解析法是解决立体几何图形的二维轨迹问题的常用方法之一㊂例3 (多选题)如图2所示,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,E 是C C 1的中点,点P 在底面A B C D 内运动,若P D 1,P E 与底面A B C D 所成的角相等,则动点P 的轨迹是( )㊂71知识结构与拓展高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图2A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.经过线段B C靠近B的三等分点D.经过线段C D靠近C的三等分点分析:根据题意得D P=2P C,以点D为坐标原点,建立平面直角坐标系,通过坐标法进行讨论求解㊂解:由正方体的性质得D D1ʅ平面A B C D,E Cʅ平面A B C D,所以øD P D1,øC P E分别为P D1,P E与底面A B C D所成的角,所以øD P D1=øC P E㊂因为t a nøD P D1=D D1D P,t a nøC P E= C EP C,又D D1=2C E,所以D P=2P C㊂在平面A B C D中,以D为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图3所示㊂图3设正方体的边长为a,点P(x,y),xȡ0,yȡ0,则点D(0,0),C(a,0),所以D P2= x2+y2,P C2=(x-a)2+y2,所以x2+y2= 4(x-a)2+4y2,整理得3x2+3y2-8a x+ 4a2=0,显然3x2+3y2-8a x+4a2=0表示圆的方程,所以动点P的轨迹是圆的一部分,A正确,B错误㊂线段B C靠近B的三等分点的坐标为a,23a,线段C D靠近C的三等分点的坐标为23a,0,分别代入方程3x2+3y2-8a x+4a2=0,可得3a2+3ˑ23a2-8a2+4a2=13a2ʂ0,3ˑ23a2+ 3ˑ02-8aˑ23a+4a2=0,所以23a,0在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,a,23a不在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,C错误,D 正确㊂应选A D㊂四㊁性质法性质法就是利用轨迹的相关知识来解决立体几何中轨迹问题的一种基本方法㊂有些空间图形的轨迹不一定是二维的,转化为平面问题比较困难,这时可借助性质法来处理㊂例4已知棱长为3的正方体A B C D-A1B1C1D1中,长为2的线段M N的一个端点M在D D1上运动,另一个端点N在底面A B-C D上运动,则线段M N的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为㊂分析:不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂从而点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,由此可求出体积㊂解:如图4所示,端点N在正方形A B C D内运动㊂图4因为әMD N为直角三角形,P为斜边MN的中点,所以不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂利用立体几何的性质,可知动点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,所以所求体积V= 18ˑ43ˑπˑ13=π6㊂作者单位:江苏省海安高级中学(责任编辑郭正华)8 1知识结构与拓展高一数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。